O vetor e o produto escalar facilitam o cálculo do ângulo entre os vetores. Sejam dados dois vetores $ \ overline (a) $ e $ \ overline (b) $, o ângulo orientado entre os quais é $ \ varphi $. Calcule os valores $ x = (\ overline (a), \ overline (b)) $ e $ y = [\ overline (a), \ overline (b)] $. Então $ x = r \ cos \ varphi $, $ y = r \ sin \ varphi $, onde $ r = | \ overline (a) | \ cdot | \ overline (b) | $, e $ \ varphi $ é o ângulo exigido, ou seja, o ponto $ (x, y) $ tem um ângulo polar igual a $ \ varphi $ e, portanto, $ \ varphi $ pode ser encontrado como atan2 (y, x).

Área de um triângulo

Uma vez que o produto vetorial contém o produto de dois comprimentos de vetor pelo cosseno do ângulo entre eles, o produto vetorial pode ser usado para calcular a área do triângulo ABC:

$ S_ (ABC) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AC)] | $.

Um ponto pertencente a uma linha reta

Sejam dados um ponto $ P $ e uma linha reta $ AB $ (dados por dois pontos $ A $ e $ B $). É necessário verificar se o ponto pertence à linha $ AB $.

Um ponto pertence à reta $ AB $ se e somente se os vetores $ AP $ e $ AB $ são colineares, ou seja, se $ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $.

Pertencendo a um ponto a um raio

Sejam um ponto $ P $ e um raio $ AB $ (dados por dois pontos - o início do raio $ A $ e um ponto no raio $ B $). É necessário verificar se o ponto pertence ao raio $ AB $.

Para a condição de que o ponto $ P $ pertença à linha $ AB $, é necessário adicionar uma condição adicional - os vetores $ AP $ e $ AB $ são codirecionais, ou seja, são colineares e seu produto escalar não é negativo, ou seja, $ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $.

Um ponto pertence a um segmento de linha

Sejam um ponto $ P $ e um segmento $ AB $ dados. É necessário verificar se o ponto pertence ao segmento $ AB $.

Neste caso, o ponto deve pertencer ao raio $ AB $ e ao raio $ BA $, portanto, as seguintes condições devem ser verificadas:

$ [\ overline (AP), \ overline (AB)] = 0 $,

$ (\ overline (AB), \ overline (AP)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BA), \ overline (BP)) \ ge 0 $.

Distância de ponto a linha

Sejam dados um ponto $ P $ e uma linha reta $ AB $ (dados por dois pontos $ A $ e $ B $). É necessário encontrar a distância do ponto da reta $ AB $.

Considere um triângulo ABP. Por outro lado, sua área é $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | $.

Por outro lado, sua área é $ S_ (ABP) = \ frac (1) (2) h | AB | $, onde $ h $ é a altura da queda do ponto $ P $, ou seja, a distância de $ P $ a $ AB $. De onde $ h = | [\ overline (AB), \ overline (AP)] | / | AB | $.

Aponte para a distância do feixe

Sejam um ponto $ P $ e um raio $ AB $ (dados por dois pontos - o início do raio $ A $ e um ponto no raio $ B $). É necessário encontrar a distância do ponto ao raio, ou seja, o comprimento do segmento mais curto do ponto $ P $ a qualquer ponto do raio.

Essa distância é igual ao comprimento $ AP $ ou à distância do ponto $ P $ à linha $ AB $. Qual dos casos ocorre é fácil de determinar pela posição relativa da viga e do ponto. Se o ângulo PAB for agudo, ou seja, $ (\ overline (AB), \ overline (AP))> 0 $, então a resposta será a distância do ponto $ P $ à reta $ AB $, caso contrário a resposta será o comprimento do segmento $ AB $.

Distância de ponto a linha

Sejam um ponto $ P $ e um segmento $ AB $ dados. É necessário encontrar a distância de $ P $ ao segmento $ AB $.

Se a base da perpendicular caiu de $ P $ para a linha $ AB $ cai no segmento $ AB $, o que pode ser verificado pelas condições

$ (\ overline (AP), \ overline (AB)) \ ge 0 $,

$ (\ overline (BP), \ overline (BA)) \ ge 0 $,

então a resposta é a distância do ponto $ P $ à linha $ AB $. Caso contrário, a distância será igual a $ \ min (AP, BP) $.

Definição 1

O produto escalar dos vetores é um número igual ao produto da dyn desses vetores e do cosseno do ângulo entre eles.

A notação do produto dos vetores a → eb → tem a forma a →, b →. Vamos converter para a fórmula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^. a → eb → denotam os comprimentos dos vetores, a →, b → ^ denotam o ângulo entre os vetores dados. Se pelo menos um vetor é zero, ou seja, tem valor 0, então o resultado também será zero, a →, b → = 0

Ao multiplicar o vetor por si mesmo, obtemos o quadrado de seu comprimento:

a →, b → = a → b → cos a →, a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definição 2

A multiplicação escalar de um vetor por si só é chamada de quadrado escalar.

Calculado pela fórmula:

a →, b → = a → b → cos a →, b → ^.

A notação a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → mostra que npb → a → é a projeção numérica de a → em b →, npa → a → é a projeção de b → em a →, respectivamente.

Vamos formular a definição de um produto para dois vetores:

O produto escalar de dois vetores a → por b → é denominado produto do comprimento do vetor a → pela projeção b → pela direção a → ou produto do comprimento b → pela projeção a → respectivamente.

Produto escalar em coordenadas

O cálculo do produto escalar pode ser executado através das coordenadas dos vetores em um determinado plano ou no espaço.

O produto escalar de dois vetores em um plano, no espaço tridimensional, é chamado de soma das coordenadas dos vetores dados a → eb →.

Ao calcular o produto escalar dos vetores dados a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) no sistema cartesiano, use:

a →, b → = a x b x + a y b y,

para o espaço tridimensional, a seguinte expressão se aplica:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

Na verdade, esta é a terceira definição do produto escalar.

Vamos provar.

Prova 1

Para a prova, usamos a →, b → = a → b → cos a →, b → ^ = ax bx + ay por para vetores a → = (ax, ay), b → = (bx, por) em cartesiano sistema.

Vetores devem ser adiados

O A → = a → = a x, a y e O B → = b → = b x, b y.

Então, o comprimento do vetor A B → será igual a A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y).

Considere um triângulo O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) é verdadeiro com base no teorema do cosseno.

Pela condição, pode-se ver que O A = a →, O B = b →, A B = b → - a →, ∠ A O B = a →, b → ^, portanto, escrevemos a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores de forma diferente

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a →, b → ^).

Então, segue da primeira definição que b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a →, b →), portanto (a →, b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2).

Aplicando a fórmula para calcular o comprimento dos vetores, obtemos:
a →, b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + por 2) 2 - ((bx - ax) 2 + (por - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (por - ay) 2) = = ax bx + ay por

Deixe-nos provar as igualdades:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- respectivamente para vetores de espaço tridimensional.

O produto escalar de vetores com coordenadas diz que o quadrado escalar de um vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas no espaço e em um plano, respectivamente. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) e (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Produto escalar e suas propriedades

Existem propriedades de produto escalar que são aplicáveis ​​para a →, b → e c →:

1. comutatividade (a →, b →) = (b →, a →);
2. distributividade (a → + b →, c →) = (a →, c →) + (b →, c →), (a → + b →, c →) = (a →, b →) + (a → , c →);
3. a propriedade de combinação (λ a →, b →) = λ (a →, b →), (a →, λ b →) = λ (a →, b →), λ é qualquer número;
4. o quadrado escalar é sempre maior que zero (a →, a →) ≥ 0, onde (a →, a →) = 0 no caso em que a → é zero.

Exemplo 1

As propriedades são explicáveis ​​graças à definição do produto escalar no plano e às propriedades ao adicionar e multiplicar números reais.

Prove a propriedade de comutatividade (a →, b →) = (b →, a →). Da definição temos que (a →, b →) = a y b y + a y b y e (b →, a →) = b x a x + b y a y.

Pela propriedade de comutatividade, as igualdades a x b x = b x a x e a y b y = b y a y são verdadeiras, então a x b x + a y b y = b x a x + b y a y.

Segue-se que (a →, b →) = (b →, a →). Q.E.D.

A distributividade é válida para qualquer número:

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b →) = (a (1) →, b →) + (a (2) →, b →) +. ... ... + (a (n) →, b →)

e (a →, b (1) → + b (2) → + .. + b (n) →) = (a →, b (1) →) + (a →, b (2) →) +. .. ... ... + (a →, b → (n)),

portanto temos

(a (1) → + a (2) → + .. + a (n) →, b (1) → + b (2) → + ... + b (m) →) = (a (1) →, b (1) →) + (a (1) →, b (2) →) +. ... ... + (a (1) →, b (m) →) + + (a (2) →, b (1) →) + (a (2) →, b (2) →) +. ... ... + (a (2) →, b (m) →) +. ... ... + + (a (n) →, b (1) →) + (a (n) →, b (2) →) +. ... ... + (a (n) →, b (m) →)

Produto pontilhado com exemplos e soluções

Qualquer problema de tal plano é resolvido usando propriedades e fórmulas relativas ao produto escalar:

1. (a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^);
2. (a →, b →) = a → n p a → b → = b → n p b → a →;
3. (a →, b →) = a x b x + a y b y ou (a →, b →) = a x b x + a y b y + a z b z;
4. (a →, a →) = a → 2.

Vejamos alguns exemplos de solução.

Exemplo 2

O comprimento de a → é 3, o comprimento de b → é 7. Encontre o produto escalar se o ângulo for 60 graus.

Solução

Por condição, temos todos os dados, então calculamos pela fórmula:

(a →, b →) = a → b → cos (a →, b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Resposta: (a →, b →) = 21 2.

Exemplo 3

Dados os vetores a → = (1, - 1, 2 - 3), b → = (0, 2, 2 + 3). Qual é o produto escalar.

Solução

Neste exemplo, a fórmula de cálculo por coordenadas é considerada, uma vez que são especificadas na declaração do problema:

(a →, b →) = ax bx + ay por + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

Resposta: (a →, b →) = - 9

Exemplo 4

Encontre o produto escalar A B → e A C →. Os pontos A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) são dados no plano de coordenadas.

Solução

Para começar, as coordenadas dos vetores são calculadas, já que as coordenadas dos pontos são dadas pela condição:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Substituindo na fórmula usando coordenadas, obtemos:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Resposta: (A B →, A C →) = 28.

Exemplo 5

Dados os vetores a → = 7 m → + 3 n → eb → = 5 m → + 8 n →, encontre seu produto. m → é igual a 3 en → é igual a 2 unidades, eles são perpendiculares.

Solução

(a →, b →) = (7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →). Aplicando a propriedade distributiva, obtemos:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + ( 3 n →, 8 n →)

Tiramos o coeficiente do sinal do produto e obtemos:

(7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n →, 5 m →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 5 (m →, m →) + 7 8 (m →, n →) + 3 5 (n →, m →) + 3 8 (n →, n →) = = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →)

Pela propriedade de comutatividade transformamos:

35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (n →, m →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 56 (m →, n →) + 15 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →)

Como resultado, obtemos:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →).

Agora vamos aplicar a fórmula para o produto escalar com um ângulo predeterminado:

(a →, b →) = 35 (m →, m →) + 71 (m →, n →) + 24 (n →, n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411.

Resposta: (a →, b →) = 411

Se houver projeção numérica.

Exemplo 6

Encontre o produto escalar a → eb →. O vetor a → possui coordenadas a → = (9, 3, - 3), a projeção b → com coordenadas (- 3, - 1, 1).

Solução

Por hipótese, os vetores a → e a projeção b → têm direções opostas, porque a → = - 1 3 · npa → b → →, então a projeção b → corresponde ao comprimento npa → b → →, e com o sinal " - ":

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Substituindo na fórmula, obtemos a expressão:

(a →, b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33.

Resposta: (a →, b →) = - 33.

Problemas com um produto escalar conhecido, onde é necessário encontrar o comprimento de um vetor ou uma projeção numérica.

Exemplo 7

Qual valor λ deve assumir para um determinado produto escalar a → = (1, 0, λ + 1) e b → = (λ, 1, λ) será igual a -1.

Solução

A fórmula mostra que é necessário encontrar a soma dos produtos das coordenadas:

(a →, b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ.

Dado que temos (a →, b →) = - 1.

Para encontrar λ, calculamos a equação:

λ 2 + 2 λ = - 1, portanto λ = - 1.

Resposta: λ = - 1.

O significado físico do produto escalar

A mecânica lida com a aplicação do produto escalar.

Ao trabalhar A com uma força constante F → o corpo se moveu do ponto M para N, você pode encontrar o produto dos comprimentos dos vetores F → e MN → com o cosseno do ângulo entre eles, o que significa que o trabalho é igual ao produto dos vetores de força e deslocamento:

A = (F →, M N →).

Exemplo 8

O movimento de um ponto material em 3 metros sob a ação de uma força igual a 5 ntons é direcionado em um ângulo de 45 graus em relação ao eixo. Encontre um.

Solução

Uma vez que trabalho é o produto do vetor força e deslocamento, isso significa que, com base na condição F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, obtemos A = (F →, S →) = F → S → cos (F →, S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2.

Resposta: A = 15 2 2.

Exemplo 9

Um ponto material, movendo-se de M (2, - 1, - 3) para N (5, 3 λ - 2, 4) sob a força F → = (3, 1, 2), realizou um trabalho igual a 13 J. Calcule a duração do movimento.

Solução

Para as coordenadas fornecidas do vetor M N → temos M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1), 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7).

Pela fórmula para encontrar trabalho com os vetores F → = (3, 1, 2) e MN → = (3, 3 λ - 1, 7), obtemos A = (F ⇒, MN →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Por hipótese, é dado que A = 13 J, o que significa 22 + 3 λ = 13. Portanto, λ = - 3, portanto, M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Para encontrar o comprimento do deslocamento M N →, aplique a fórmula e substitua os valores:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Resposta: 158.

Se você notar um erro no texto, selecione-o e pressione Ctrl + Enter

Haverá também tarefas para uma solução independente, para as quais você pode ver as respostas.

Se no problema os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles são apresentados "em uma bandeja de prata", então a condição do problema e sua solução são assim:

Exemplo 1. Vetores dados. Encontre o produto escalar dos vetores se seus comprimentos e o ângulo entre eles forem representados pelos seguintes valores:

Outra definição também é válida, que é completamente equivalente à Definição 1.

Definição 2... O produto escalar dos vetores é um número (escalar) igual ao produto do comprimento de um desses vetores pela projeção do outro vetor no eixo determinado pelo primeiro dos vetores indicados. Fórmula de acordo com a Definição 2:

Resolveremos o problema usando esta fórmula após o próximo ponto teórico importante.

Determinando o produto escalar de vetores em termos de coordenadas

O mesmo número pode ser obtido se os vetores que estão sendo multiplicados forem dados por suas coordenadas.

Definição 3. O produto escalar dos vetores é um número igual à soma dos produtos dos pares de suas respectivas coordenadas.

Na superfície

Se dois vetores e no plano são definidos por seus dois Coordenadas retangulares cartesianas

então, o produto escalar desses vetores é igual à soma dos produtos dos pares de suas respectivas coordenadas:

.

Exemplo 2. Encontre o valor numérico da projeção do vetor em um eixo paralelo ao vetor.

Solução. Encontramos o produto escalar dos vetores adicionando os produtos dos pares de suas coordenadas:

Agora precisamos igualar o produto escalar resultante ao produto do comprimento do vetor e a projeção do vetor no eixo paralelo ao vetor (de acordo com a fórmula).

Encontramos o comprimento do vetor como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas:

.

Elaboramos uma equação e a resolvemos:

Responder. O valor numérico desejado é menos 8.

No espaço

Se dois vetores e no espaço são definidos por suas três coordenadas retangulares cartesianas

,

então o produto escalar desses vetores também é igual à soma dos produtos dos pares de suas coordenadas correspondentes, só que já existem três coordenadas:

.

O problema de encontrar o produto escalar pelo método considerado é depois de analisar as propriedades do produto escalar. Porque na tarefa será necessário determinar em que ângulo se formam os vetores multiplicados.

Propriedades do produto de ponto vetorial

Propriedades algébricas

1. (propriedade de deslocamento: a magnitude de seu produto escalar não muda com a troca dos vetores sendo multiplicados).

2. (propriedade combinatória multiplicadora: o produto escalar de um vetor multiplicado por algum fator e outro vetor é igual ao produto escalar desses vetores multiplicado pelo mesmo fator).

3. (propriedade distributiva em relação à soma dos vetores: o produto escalar da soma de dois vetores pelo terceiro vetor é igual à soma dos produtos escalares do primeiro vetor pelo terceiro vetor e do segundo vetor pelo terceiro vetor).

4. (o quadrado escalar do vetor é maior que zero), se é um vetor diferente de zero e, se, é um vetor zero.

Propriedades geométricas

Nas definições da operação em estudo, já tocamos no conceito de ângulo entre dois vetores. É hora de esclarecer esse conceito.

Na foto acima, dois vetores são visíveis, os quais são trazidos para uma origem comum. E a primeira coisa a prestar atenção: existem dois ângulos entre esses vetores - φ 1 e φ 2 ... Qual desses ângulos aparece nas definições e propriedades do produto escalar dos vetores? A soma dos ângulos considerados é 2 π e, portanto, os cossenos desses ângulos são iguais. A definição do produto escalar inclui apenas o cosseno de um ângulo, não o valor de sua expressão. Mas nas propriedades, apenas um canto é considerado. E este é um dos dois ângulos que não supera π , ou seja, 180 graus. Na figura, este ângulo é designado como φ 1 .

1. Dois vetores são chamados ortogonal e o ângulo entre esses vetores é uma linha reta (90 graus ou π / 2) se o produto escalar desses vetores é zero :

.

A ortogonalidade na álgebra vetorial é a perpendicularidade de dois vetores.

2. Dois vetores diferentes de zero constituem canto afiado (de 0 a 90 graus, ou, o que é o mesmo - menos π produto escalar é positivo .

3. Dois vetores diferentes de zero compõem ângulo obtuso (de 90 a 180 graus, ou, o que é o mesmo - mais π / 2) se e somente se seu produto escalar é negativo .

Exemplo 3. Os vetores são dados em coordenadas:

.

Calcule os produtos escalares de todos os pares de vetores fornecidos. Que ângulo (agudo, reto, obtuso) esses pares de vetores formam?

Solução. Iremos calcular somando os produtos das coordenadas correspondentes.

Recebido um número negativo, então os vetores formam um ângulo obtuso.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Nós temos zero, então os vetores formam um ângulo reto.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

.

Obtivemos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Para o autoteste, você pode usar calculadora online Produto de pontos de vetores e o cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 4. Os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles são dados:

.

Determine em que valor do número os vetores e são ortogonais (perpendiculares).

Solução. Multiplicamos os vetores de acordo com a regra de multiplicação de polinômios:

Agora vamos calcular cada termo:

.

Vamos compor uma equação (igualdade do produto a zero), dar termos semelhantes e resolver a equação:

Resposta: entendemos o significado λ = 1.8, para o qual os vetores são ortogonais.

Exemplo 5. Prove que o vetor ortogonal (perpendicular) ao vetor

Solução. Para verificar a ortogonalidade, multiplicamos os vetores e como polinômios, substituindo a expressão dada na declaração do problema:

.

Para fazer isso, você precisa multiplicar cada termo (termo) do primeiro polinômio por cada termo do segundo e adicionar os produtos resultantes:

.

Como resultado, a fração é reduzida à custa. O resultado é o seguinte:

Conclusão: como resultado da multiplicação, obtemos zero, portanto, prova-se a ortogonalidade (perpendicularidade) dos vetores.

Resolva o problema sozinho e, em seguida, veja a solução

Exemplo 6. Dados os comprimentos dos vetores e, e o ângulo entre esses vetores é π / 4. Determine em que valor μ vetores e são mutuamente perpendiculares.

Para o autoteste, você pode usar calculadora online Produto de pontos de vetores e o cosseno do ângulo entre eles .

Representação matricial do produto escalar de vetores e produto de vetores n-dimensionais

Às vezes, é vantajoso para a clareza representar os dois vetores sendo multiplicados na forma de matrizes. Em seguida, o primeiro vetor é representado como uma matriz de linha, e o segundo - como uma matriz de coluna:

Então, o produto escalar dos vetores será produto dessas matrizes :

O resultado é o mesmo obtido pelo método que já consideramos. Um único número é obtido, e o produto da matriz da linha pela matriz da coluna também é um único número.

É conveniente representar o produto de vetores n-dimensionais abstratos em forma de matriz. Assim, o produto de dois vetores quadridimensionais será o produto de uma matriz de linha com quatro elementos e uma matriz de coluna também com quatro elementos, o produto de dois vetores de cinco dimensões será o produto de uma matriz de linha com cinco elementos e uma matriz de coluna também com cinco elementos e assim por diante.

Exemplo 7. Encontre produtos escalares de pares de vetores

,

usando representação de matriz.

Solução. O primeiro par de vetores. Representamos o primeiro vetor como uma matriz de linha e o segundo como uma matriz de coluna. Encontramos o produto escalar desses vetores como o produto da matriz da linha pela matriz da coluna:

Da mesma forma, representamos o segundo par e encontramos:

Como você pode ver, os resultados são iguais aos dos mesmos pares do exemplo 2.

Ângulo entre dois vetores

A derivação da fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores é muito bonita e concisa.

Para expressar o produto escalar de vetores

(1)

na forma de coordenadas, primeiro encontramos o produto escalar dos vetores unitários. O produto escalar de um vetor por si só, por definição:

O que está escrito na fórmula acima significa: o produto escalar de um vetor por si só é igual ao quadrado de seu comprimento... O cosseno de zero é igual a um, então o quadrado de cada ort será igual a um:

Desde vetores

são perpendiculares aos pares, então os produtos dos vetores unitários serão iguais a zero:

Agora vamos fazer a multiplicação de polinômios vetoriais:

Substituímos no lado direito da igualdade os valores dos produtos escalares correspondentes dos vetores unitários:

Obtemos a fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores:

Exemplo 8. Dados três pontos UMA(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Encontre a esquina.

Solução. Encontre as coordenadas dos vetores:

,

.

De acordo com a fórmula do cosseno de um ângulo, obtemos:

Portanto, .

Para o autoteste, você pode usar calculadora online Produto de pontos de vetores e o cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 9. Dois vetores são dados

Encontre a soma, diferença, comprimento, produto escalar e ângulo entre eles.

2. Diferença

Palestra: Coordenadas vetoriais; produto escalar de vetores; ângulo entre vetores

Coordenadas vetoriais

Portanto, como mencionado anteriormente, os vetores são um segmento direcionado, que tem seu próprio começo e fim. Se o início e o fim são representados por alguns pontos, então, em um plano ou no espaço, eles têm suas próprias coordenadas.

Se cada ponto tiver suas próprias coordenadas, podemos obter as coordenadas de todo o vetor.

Suponha que temos algum vetor, em que o início e o fim do vetor têm as seguintes designações e coordenadas: A (A x; Ay) e B (B x; Por)

Para obter as coordenadas deste vetor, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes do início das coordenadas do final do vetor:

Para determinar as coordenadas de um vetor no espaço, use a seguinte fórmula:

Produto escalar de vetores

Existem duas maneiras de definir o produto escalar:

• Forma geométrica. Segundo ele, o produto escalar é igual ao produto dos valores desses módulos pelo cosseno do ângulo entre eles.

• Significado algébrico. Do ponto de vista da álgebra, o produto escalar de dois vetores é uma certa quantidade que se obtém como resultado da soma dos produtos dos vetores correspondentes.

Se os vetores forem dados no espaço, você deve usar uma fórmula semelhante:

Propriedades:

• Se você multiplicar dois vetores idênticos escalarmente, o produto escalar não será negativo:

• Se o produto escalar de dois vetores idênticos acabar sendo igual a zero, então esses vetores são considerados zero:

• Se um vetor é multiplicado por si mesmo, o produto escalar será igual ao quadrado de seu módulo:

• O produto escalar possui uma propriedade comunicativa, ou seja, o produto escalar não mudará a partir da permutação dos vetores:

• O produto escalar de vetores diferentes de zero pode ser zero apenas se os vetores forem perpendiculares entre si:

• Para o produto escalar de vetores, a lei de deslocamento é válida no caso de multiplicação de um dos vetores por um número:

• Com o produto escalar, você também pode usar a propriedade distributiva de multiplicação:

Ângulo entre vetores

Produto escalar de vetores

Continuamos a lidar com vetores. Na primeira aula Vetores para manequins examinamos o conceito de vetor, ações com vetores, coordenadas de um vetor e as tarefas mais simples com vetores. Se você veio a esta página pela primeira vez a partir de um mecanismo de busca, recomendo fortemente a leitura do artigo introdutório acima, porque para dominar o material, você precisa navegar nos termos e notações que utilizo, ter conhecimento básico de vetores e ser capaz de resolver problemas elementares. Esta lição é uma continuação lógica do tópico e nela analisarei em detalhes tarefas típicas nas quais o produto escalar de vetores é usado. Esta é uma atividade MUITO IMPORTANTE.... Tente não pular os exemplos, eles são acompanhados por um bônus útil - a prática o ajudará a consolidar o material que você cobriu e a colocar as mãos na solução de problemas comuns em geometria analítica.

Adição de vetores, multiplicação de um vetor por um número…. Seria ingênuo pensar que os matemáticos não inventaram mais nada. Além das ações já consideradas, existem várias outras operações com vetores, a saber: produto escalar de vetores, produto vetorial de vetores e produto misto de vetores... O produto escalar de vetores é familiar para nós da escola, os outros dois produtos são tradicionalmente relacionados ao curso de matemática superior. Os tópicos são simples, o algoritmo para resolver muitos problemas é estereotipado e compreensível. A única coisa. Existe uma quantidade decente de informação, por isso é indesejável tentar dominar, resolver TUDO DE UMA VEZ. Isso é especialmente verdadeiro para bules, acredite, o autor não quer se sentir como o Chikatilo da matemática. Bem, e não da matemática, claro também =) Alunos mais preparados podem usar os materiais seletivamente, de certa forma, "pegar" o conhecimento que falta, para você serei um Conde Drácula inofensivo =)

Por fim, abramos um pouco a porta e vejamos com entusiasmo o que acontece quando dois vetores se encontram….

Determinação do produto escalar de vetores.
Propriedades do produto de ponto. Tarefas típicas

Conceito de produto pontual

Primeiro sobre ângulo entre vetores... Acho que todos entendem intuitivamente o que é o ângulo entre os vetores, mas apenas no caso, um pouco mais detalhadamente. Considere vetores diferentes de zero livres e. Se você adiar esses vetores de um ponto arbitrário, terá uma imagem que muitos já imaginaram em suas mentes:

Confesso que aqui esbocei a situação apenas ao nível da compreensão. Se você precisar de uma definição estrita do ângulo entre os vetores, consulte o livro didático, mas para problemas práticos nós, em princípio, não precisamos dela. Também AQUI E AINDA irei em alguns lugares ignorar vetores zero devido ao seu baixo significado prático. Fiz uma reserva especificamente para visitantes avançados do site, que podem me censurar pela incompletude teórica de algumas das declarações a seguir.

pode assumir valores de 0 a 180 graus (de 0 a radianos), inclusive. Analiticamente, esse fato é escrito na forma de uma dupla desigualdade: ou (em radianos).

Na literatura, o ícone do ângulo é frequentemente esquecido e escrito de forma simples.

Definição: O produto escalar de dois vetores é o NÚMERO igual ao produto dos comprimentos desses vetores pelo cosseno do ângulo entre eles:

Esta já é uma definição bastante estrita.

Nós nos concentramos em informações essenciais:

Designação: produto escalar é denotado por ou simplesmente.

O resultado da operação é um NUMBER: O vetor é multiplicado pelo vetor e o resultado é um número. Na verdade, se os comprimentos dos vetores são números, o cosseno de um ângulo é um número, então seu produto também será um número.

Apenas alguns exemplos de aquecimento:

Exemplo 1

Solução: Nós usamos a fórmula ... Nesse caso:

Responder:

Os valores de cosseno podem ser encontrados em mesa trigonométrica... Eu recomendo imprimi-lo - será necessário em quase todas as seções da torre e muitas vezes.

Do ponto de vista puramente matemático, o produto escalar é adimensional, ou seja, o resultado, neste caso, é apenas um número e pronto. Do ponto de vista dos problemas físicos, o produto escalar sempre possui um determinado significado físico, ou seja, após o resultado, uma ou outra unidade física deve ser indicada. Um exemplo canônico de cálculo do trabalho de uma força pode ser encontrado em qualquer livro didático (a fórmula é exatamente o produto escalar). O trabalho de força é medido em Joules, portanto, e a resposta será escrita de forma bem específica, por exemplo ,.

Exemplo 2

Descubra se , e o ângulo entre os vetores é.

Este é um exemplo de solução faça você mesmo, a resposta está no final do tutorial.

Ângulo entre vetores e valor de produto escalar

No Exemplo 1, o produto escalar acabou sendo positivo, e no Exemplo 2, acabou sendo negativo. Vamos descobrir de que depende o sinal do produto escalar. Nós olhamos nossa fórmula: ... Os comprimentos dos vetores diferentes de zero são sempre positivos :, portanto, o sinal só pode depender do valor do cosseno.

Observação: Para uma melhor compreensão das informações abaixo, é melhor estudar o gráfico de cosseno no manual Gráficos de funções e propriedades... Veja como o cosseno se comporta em um segmento.

Como já observado, o ângulo entre os vetores pode variar dentro , e os seguintes casos são possíveis:

1) Se injeção entre vetores apimentado: (de 0 a 90 graus), então , e o produto escalar será positivo co-dirigido, então o ângulo entre eles é considerado zero e o produto escalar também será positivo. Desde então, a fórmula é simplificada :.

2) Se injeção entre vetores cego: (de 90 a 180 graus), então , e correspondentemente, produto escalar é negativo: Caso especial: se vetores direção oposta, então o ângulo entre eles é considerado implantado: (180 graus). O produto escalar também é negativo, uma vez que

As afirmações inversas também são verdadeiras:

1) Se, então o ângulo entre esses vetores é agudo. Alternativamente, os vetores são codirecionais.

2) Se, então o ângulo entre os vetores dados é obtuso. Alternativamente, os vetores são direcionados de forma oposta.

Mas o terceiro caso é de particular interesse:

3) Se injeção entre vetores em linha reta: (90 graus), então produto escalar é zero: O inverso também é verdadeiro: se, então. A declaração é formulada compactamente da seguinte forma: O produto escalar de dois vetores é zero se e somente se esses vetores forem ortogonais... Notação matemática curta:

! Observação : repita fundamentos da lógica matemática: o ícone de dupla face da consequência lógica é geralmente lido "então e somente então", "se e somente se". Como você pode ver, as setas são direcionadas em ambas as direções - "daqui segue isso, e vice-versa - do que segue disso". A propósito, qual é a diferença do ícone de seguimento unilateral? O ícone afirma só isso que "isso decorre disso", e não é um fato que o oposto seja verdadeiro. Por exemplo: mas nem todo animal é uma pantera, então o ícone não pode ser usado neste caso. Ao mesmo tempo, em vez do ícone posso use o ícone unilateral. Por exemplo, resolvendo o problema, descobrimos que concluímos que os vetores são ortogonais: - tal entrada será correta e ainda mais apropriada do que .

O terceiro caso é de grande importância prática. já que permite verificar se os vetores são ortogonais ou não. Resolveremos esse problema na segunda seção da lição.

Propriedades do produto de ponto

Voltemos à situação em que dois vetores co-dirigido... Nesse caso, o ângulo entre eles é igual a zero e a fórmula do produto escalar assume a forma :.

O que acontece se o vetor for multiplicado por ele mesmo? É claro que o vetor é codirecional consigo mesmo, então usamos a fórmula simplificada acima:

O número é chamado quadrado escalar vetor e denotado como.

Desta maneira, o quadrado escalar de um vetor é igual ao quadrado do comprimento do vetor fornecido:

A partir dessa igualdade, você pode obter uma fórmula para calcular o comprimento de um vetor:

Embora pareça obscuro, as tarefas da lição colocarão tudo em seu lugar. Para resolver problemas, também precisamos propriedades do produto escalar.

Para vetores arbitrários e qualquer número, as seguintes propriedades são válidas:

1) - deslocável ou comutativo lei de produto escalar.

2) - distribuição ou distributivo lei de produto escalar. Simplesmente, você pode expandir os parênteses.

3) - combinação ou associativo lei de produto escalar. A constante pode ser retirada do produto escalar.

Muitas vezes, todos os tipos de propriedades (que também precisam ser comprovadas!) São percebidas pelos alunos como lixo desnecessário, que só precisa ser memorizado e esquecido com segurança logo após o exame. Parece que o que é importante aqui, todo mundo sabe desde o primeiro grau que o produto não muda desde o rearranjo dos fatores :. Devo adverti-lo, em matemática superior com essa abordagem, é fácil quebrar madeira. Então, por exemplo, a propriedade de deslocamento não é válida para matrizes algébricas... Também não é verdade para produto vetorial de vetores... Portanto, pelo menos é melhor mergulhar em quaisquer propriedades que você encontre no curso de matemática superior para entender o que pode e o que não pode ser feito.

Exemplo 3

.

Solução: Primeiro, vamos esclarecer a situação com o vetor. Afinal, o que é isso? A soma dos vetores e é um vetor bem definido, que é denotado por. A interpretação geométrica de ações com vetores pode ser encontrada no artigo Vetores para manequins... A mesma salsa com um vetor é a soma dos vetores e.

Portanto, por condição, é necessário encontrar o produto escalar. Em teoria, você precisa aplicar a fórmula de trabalho , mas o problema é que não sabemos os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Mas a condição fornece parâmetros semelhantes para vetores, portanto, seguiremos outro caminho:

(1) Substituir expressões vetoriais.

(2) Expandimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios, um trava-língua vulgar pode ser encontrado no artigo Números complexos ou Integração de uma função racional fracionária... Não vou me repetir =) A propósito, a propriedade de distribuição do produto escalar nos permite expandir os colchetes. Temos o direito.

(3) No primeiro e no último termos, escrevemos compactamente quadrados escalares de vetores: ... No segundo termo, usamos a permutabilidade do produto escalar :.

(4) Fornecemos termos semelhantes :.

(5) No primeiro termo, usamos a fórmula do quadrado escalar, que foi mencionada não há muito tempo. No último período, respectivamente, funciona a mesma coisa :. Expandimos o segundo termo de acordo com a fórmula padrão .

(6) Substituímos essas condições e CUIDADOSAMENTE faça os cálculos finais.

Responder:

O valor negativo do produto escalar indica o fato de que o ângulo entre os vetores é obtuso.

A tarefa é típica, aqui está um exemplo de solução independente:

Exemplo 4

Encontre o produto escalar de vetores e, se for conhecido que .

Agora, outra tarefa comum, apenas para a nova fórmula para o comprimento de um vetor. As designações aqui se sobreporão um pouco, então, para maior clareza, vou reescrever com uma letra diferente:

Exemplo 5

Encontre o comprimento do vetor se .

Solução será a seguinte:

(1) Forneça uma expressão vetorial.

(2) Usamos a fórmula de comprimento :, enquanto a expressão inteira atua como um vetor "ve".

(3) Usamos a fórmula escolar para o quadrado da soma. Observe como funciona curiosamente aqui: - na verdade, é o quadrado da diferença, e, de fato, é. Os interessados ​​podem reorganizar os vetores nos lugares: - resultou o mesmo até o rearranjo dos termos.

(4) O resto já é conhecido dos dois problemas anteriores.

Responder:

Já que estamos falando de comprimento, não se esqueça de indicar a dimensão - "unidades".

Exemplo 6

Encontre o comprimento do vetor se .

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Solução completa e resposta no final do tutorial.

Continuamos a extrair coisas úteis do produto escalar. Vamos olhar nossa fórmula novamente ... De acordo com a regra de proporção, vamos redefinir os comprimentos dos vetores para o denominador do lado esquerdo:

E vamos trocar as peças:

Qual é o significado desta fórmula? Se você conhece os comprimentos de dois vetores e seu produto escalar, pode calcular o cosseno do ângulo entre esses vetores e, portanto, o próprio ângulo.

O produto escalar é um número? Número. Os comprimentos dos vetores são números? Números. Portanto, a fração também é um certo número. E se o cosseno do ângulo for conhecido: , então, usando a função inversa, é fácil encontrar o próprio ângulo: .

Exemplo 7

Encontre o ângulo entre os vetores e, se for conhecido disso.

Solução: Usamos a fórmula:

Na etapa final dos cálculos, foi utilizada uma técnica - a eliminação da irracionalidade do denominador. Para eliminar a irracionalidade, multipliquei o numerador e o denominador por.

Então se , então:

Os valores das funções trigonométricas inversas podem ser encontrados por mesa trigonométrica... Embora isso raramente aconteça. Em problemas de geometria analítica, algum tipo de urso desajeitado aparece com muito mais frequência, e o valor do ângulo deve ser encontrado aproximadamente usando uma calculadora. Na verdade, veremos essa imagem mais de uma vez.

Responder:

Novamente, não se esqueça de indicar a dimensão - radianos e graus. Pessoalmente, para intencionalmente "esclarecer todas as questões", prefiro indicar isso e aquilo (a menos, é claro, por condição, que seja necessário apresentar a resposta apenas em radianos ou apenas em graus).

Agora você será capaz de lidar com uma tarefa mais difícil por conta própria:

Exemplo 7 *

São dados os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Encontre o ângulo entre os vetores.

A tarefa não é tão difícil quanto em várias etapas.
Vamos analisar o algoritmo da solução:

1) De acordo com a condição, é necessário encontrar o ângulo entre os vetores e, portanto, é necessário usar a fórmula .

2) Encontre o produto escalar (veja os Exemplos No. 3, 4).

3) Encontre o comprimento do vetor e o comprimento do vetor (veja os Exemplos No. 5, 6).

4) O final da solução coincide com o Exemplo nº 7 - sabemos o número, o que significa que é fácil encontrar o próprio ângulo:

Uma solução curta e resposta no final do tutorial.

A segunda seção da lição enfoca o mesmo produto escalar. Coordenadas. Será ainda mais fácil do que na primeira parte.

Produto escalar de vetores,
dado por coordenadas em uma base ortonormal

Responder:

Desnecessário dizer que lidar com coordenadas é muito mais agradável.

Exemplo 14

Encontre o produto escalar de vetores e, se

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Aqui você pode usar a associatividade da operação, ou seja, não contar, mas imediatamente mover o triplo para fora do produto escalar e multiplicar por ele. Solução e resposta no final da lição.

No final do parágrafo, um exemplo provocativo de cálculo do comprimento de um vetor:

Exemplo 15

Encontre os comprimentos dos vetores , E se

Solução: mais uma vez, o caminho da seção anterior sugere-se :, mas há outro caminho:

Encontre o vetor:

E seu comprimento de acordo com a fórmula trivial :

O produto escalar está fora de questão aqui!

Como fora do mercado, é ao calcular o comprimento de um vetor:
Pare. Por que não tirar proveito da propriedade óbvia do comprimento do vetor? E quanto ao comprimento do vetor? Este vetor é 5 vezes maior que o vetor. A direção é oposta, mas não importa, porque a conversa é sobre extensão. Obviamente, o comprimento do vetor é igual ao produto módulo números por comprimento de vetor:
- o sinal do módulo "come" um possível menos do número.

Desta maneira:

Responder:

A fórmula para o cosseno do ângulo entre os vetores, que são dados por coordenadas

Agora temos informações completas para expressar a fórmula derivada anteriormente para o cosseno do ângulo entre os vetores em termos das coordenadas dos vetores:

Cosseno do ângulo entre os vetores do plano e dado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:
.

Cosseno de ângulo entre vetores espaciais dado em uma base ortonormal, expresso pela fórmula:

Exemplo 16

Três vértices do triângulo são fornecidos. Encontre (ângulo do vértice).

Solução: De acordo com a condição, o sorteio não precisa ser realizado, mas ainda assim:

O ângulo necessário é marcado com um arco verde. Lembramos imediatamente a designação da escola do ângulo: - atenção especial para média a letra - este é o vértice do canto de que precisamos. Por questões de brevidade, também pode ser escrito de forma simples.

Pelo desenho é bastante óbvio que o ângulo do triângulo coincide com o ângulo entre os vetores e, em outras palavras: .

É desejável aprender como realizar a análise realizada mentalmente.

Encontre vetores:

Vamos calcular o produto escalar:

E os comprimentos dos vetores:

Cosseno de um ângulo:

Esta é a ordem de conclusão da tarefa que recomendo aos bules. Leitores mais avançados podem escrever cálculos "em uma linha":

Aqui está um exemplo de um valor de cosseno “ruim”. O valor resultante não é final, portanto, não faz sentido se livrar da irracionalidade no denominador.

Vamos encontrar o canto propriamente dito:

Se você olhar para o desenho, o resultado é bastante plausível. Para verificação, o ângulo também pode ser medido com um transferidor. Não danifique a tampa do monitor =)

Responder:

Na resposta, não se esqueça disso questionado sobre o ângulo do triângulo(e não sobre o ângulo entre os vetores), não se esqueça de indicar a resposta exata: e o valor aproximado do ângulo: encontrado com a calculadora.

Quem gostou do processo pode calcular os ângulos e certificar-se de que a igualdade canônica é verdadeira

Exemplo 17

Um triângulo é definido no espaço pelas coordenadas de seus vértices. Encontre o ângulo entre os lados e

Este é um exemplo de solução do tipo "faça você mesmo". Solução completa e resposta no final do tutorial

Uma curta seção final será dedicada às projeções, nas quais o produto escalar também é "misto":

Projeção vetor a vetor. A projeção do vetor para os eixos coordenados.
Cossenos de direção de um vetor

Considere vetores e:

Projetamos o vetor no vetor, para isso omitimos do início e do final do vetor perpendiculares por vetor (linhas pontilhadas verdes). Imagine raios de luz caindo perpendiculares ao vetor. Então o segmento (linha vermelha) será a "sombra" do vetor. Nesse caso, a projeção do vetor no vetor é o COMPRIMENTO do segmento. Ou seja, A PROJEÇÃO É UM NÚMERO.

Este NÚMERO é denotado da seguinte maneira: "vetor grande" denota um vetor QUAL O projeto, "vetor pequeno subscrito" denota um vetor NO que está sendo projetado.

O próprio registro lê-se assim: "a projeção do vetor" a "no vetor" bh "".

O que acontece se o vetor "bs" for "muito curto"? Desenhamos uma linha reta contendo o vetor "ser". E o vetor "a" já estará projetado na direção do vetor "bh", simplesmente - na linha reta contendo o vetor "ser". O mesmo acontecerá se o vetor "a" for adiado no trigésimo reino - ele ainda será facilmente projetado na linha reta contendo o vetor "bh".

Se o ângulo entre vetores apimentado(como na foto), então

Se vetores ortogonal, então (a projeção é um ponto cujas dimensões são consideradas zero).

Se o ângulo entre vetores cego(na figura, reorganize mentalmente a seta do vetor), então (o mesmo comprimento, mas tirado com um sinal de menos).

Vamos adiar esses vetores de um ponto:

Obviamente, quando o vetor se move, sua projeção não muda.