Решение тфкп онлайн. Функции комплексной переменной
Функции комплексной переменной.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
Данная статья открывает серию уроков, на которых я рассмотрю типовые задачи, связанные с теорией функций комплексной переменной. Для успешного освоения примеров необходимо обладать базовыми знаниями о комплексных числах. В целях закрепления и повторения материала достаточно посетить страницу . Также потребуются навыки нахождения частных производных второго порядка . Вот они какие, эти частные производные… даже сам сейчас немного удивился, насколько часто встречаются…
Тема, которую мы начинаем разбирать, не представляет особых сложностей, и в функциях комплексной переменной, в принципе, всё понятно и доступно. Главное, придерживаться основного правила, которое выведено мной опытным путём. Читайте дальше!
Понятие функции комплексной переменной
Сначала освежим знания о школьной функции одной переменной:
Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции . Естественно, «икс» и «игрек» – действительные числа.
В комплексном случае функциональная зависимость задается аналогично:
Однозначная функция комплексной переменной – это правило, по которому каждому комплексному значению независимой переменной (из области определения) соответствует одно и только одно комплексное значение функции . В теории рассматриваются также многозначные и некоторые другие типы функций, но для простоты я остановлюсь на одном определении.
Чем отличается функция комплексной переменной?
Главное отличие: числа комплексные. Я не иронизирую. От таких вопросов нередко впадают в ступор, в конце статьи историю прикольную расскажу. На уроке Комплексные числа для чайников мы рассматривали комплексное число в виде . Поскольку сейчас буква «зет» стала переменной , то её мы будем обозначать следующим образом: , при этом «икс» и «игрек» могут принимать различные действительные значения. Грубо говоря, функция комплексной переменной зависит от переменных и , которые принимают «обычные» значения. Из данного факта логично вытекает следующий пункт:
Функцию комплексной переменной можно записать в виде:
, где и – две функции двух действительных
переменных.
Функция называется действительной частью
функции .
Функция называется мнимой частью
функции .
То есть, функция комплексной переменной зависит от двух действительных функций и . Чтобы окончательно всё прояснить рассмотрим практические примеры:
Пример 1
Решение:
Независимая переменная «зет», как вы помните, записывается в виде , поэтому:
(1) В исходную функцию подставили .
(2) Для первого слагаемого использовали формулу сокращенного умножения . В слагаемом – раскрыли скобки.
(3) Аккуратно возвели в квадрат , не забывая, что
(4) Перегруппировка слагаемых: сначала переписываем слагаемые, в которых нет мнимой единицы (первая группа), затем слагаемые, где есть (вторая группа). Следует отметить, что перетасовывать слагаемые не обязательно, и данный этап можно пропустить (фактически выполнив его устно).
(5) У второй группы выносим за скобки.
В результате наша функция оказалась представлена в виде
Ответ:
– действительная часть функции .
– мнимая часть функции .
Что это получились за функции? Самые что ни на есть обыкновенные функции двух переменных, от которых можно найти такие популярные частные производные . Без пощады – находить будем. Но чуть позже.
Кратко алгоритм прорешанной задачи можно записать так: в исходную функцию подставляем , проводим упрощения и делим все слагаемые на две группы – без мнимой единицы (действительная часть) и с мнимой единицей (мнимая часть).
Пример 2
Найти действительную и мнимую часть функции
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как с шашками наголо броситься в бой на комплексной плоскости, позвольте дать самый важный совет по теме:
БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ! Внимательным нужно быть, конечно, везде, но в комплексных числах следует быть внимательным, как никогда! Помните, что , аккуратно раскрывайте скобки, ничего не теряйте. По моим наблюдениям, самой распространенной ошибкой является потеря знака. Не спешите!
Полное решение и ответ в конце урока.
Теперь куб. Используя формулу сокращенного умножения , выведем:
.
Формулы очень удобно использовать на практике, поскольку они значительно ускоряют процесс решения.
Дифференцирование функций комплексной переменной.
У меня есть две новости: хорошая и плохая. Начну с хорошей. Для функции комплексной переменной справедливы правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Таким образом, производная берётся точно так же, как и в случае функции действительной переменной .
Плохая новость состоит в том, что для многих функций комплексной переменной производной не существует вообще, и приходится выяснять, дифференцируема ли та или иная функция. А «выяснять», как чует ваше сердце, связано с дополнительными заморочками.
Рассмотрим функцию комплексной переменной . Для того, чтобы данная функция была дифференцируема необходимо и достаточно:
1) Чтобы существовали частные производные первого порядка . Об этих обозначениях сразу забудьте, поскольку в теории функции комплексного переменного традиционно используется другой вариант записи: .
2) Чтобы выполнялись так называемые условия Коши-Римана
:
Только в этом случае будет существовать производная!
Пример 3
Решение раскладывается на три последовательных этапа:
1) Найдём действительную и мнимую часть функции. Данное задание было разобрано в предыдущих примерах, поэтому запишу без комментариев:
Так как , то:
Таким образом:
– мнимая часть функции .
Остановлюсь еще на одном техническом моменте: в каком порядке записывать слагаемые в действительной и мнимой частях? Да, в принципе, без разницы. Например, действительную часть можно записать так: , а мнимую – так: .
2) Проверим выполнение условий Коши Римана. Их два.
Начнем с проверки условия . Находим частные производные
:
Таким образом, условие выполнено.
Несомненно, приятная новость – частные производные почти всегда очень простые.
Проверяем выполнение второго условия :
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть, условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция дифференцируема.
3) Найдём производную функции. Производная тоже очень простая и находится по обычным правилам:
Мнимая единица при дифференцировании считается константой.
Ответ:
– действительная часть, – мнимая часть.
Условия Коши-Римана выполнены, .
Существуют еще два способа нахождения производной, они, конечно, применяются реже, но информация будет полезна для понимания второго урока – Как найти функцию комплексной переменной?
Производную можно найти по формуле:
В данном случае:
Таким образом
Предстоит решить обратную задачу – в полученном выражении нужно вычленить . Для того, чтобы это сделать, необходимо в слагаемых и вынести за скобку:
Обратное действие, как многие заметили, выполнять несколько труднее, для проверки всегда лучше взять выражение и на черновике либо устно раскрыть обратно скобки, убедившись, что получится именно
Зеркальная формула для нахождения производной:
В данном случае: , поэтому:
Пример 4
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. В случае выполнения условий Коши-Римана, найти производную функции.
Краткое решение и примерный образец чистового оформления в конце урока.
Всегда ли выполняются условия Коши-Римана? Теоретически они чаще не выполняются, чем выполняются. Но в практических примерах я не припомню случая, чтобы они не выполнялись =) Таким образом, если у вас «не сошлись» частные производные, то с очень большой вероятностью можно сказать, что вы где-то допустили ошибку.
Усложним наши функции:
Пример 5
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить
Решение: Алгоритм решения полностью сохраняется, но в конце добавится новый пунктик: нахождение производной в точке. Для куба нужная формула уже выведена:
Определим действительную и мнимую части данной функции:
Внимание и еще раз внимание!
Так как , то:
Таким образом:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Проверка второго условия:
Получилось одно и то же, но с противоположными знаками, то есть условие также выполнено.
Условия Коши-Римана выполнены, следовательно, функция является дифференцируемой:
Вычислим значение производной в требуемой точке:
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены,
Функции с кубами встречаются часто, поэтому пример для закрепления:
Пример 6
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Вычислить .
Решение и образец чистового оформления в конце урока.
В теории комплексного анализа определены и другие функции комплексного аргумента: экспонента, синус, косинус и т.д. Данные функции обладают необычными и даже причудливыми свойствами – и это действительно интересно! Очень хочется рассказать, но здесь, так уж получилось, не справочник или учебник, а решебник, поэтому я рассмотрю ту же задачу с некоторыми распространенными функциями.
Сначала о так называемых формулах Эйлера :
Для любого действительного
числа справедливы следующие формулы:
Тоже можете переписать в тетрадь в качестве справочного материала.
Строго говоря, формула всего одна, но обычно для удобства пишут и частный случай с минусом в показателе. Параметр не обязан быть одинокой буковкой, в качестве может выступать сложное выражение, функция, важно лишь, чтобы они принимали только действительные значения. Собственно, мы это увидим прямо сейчас:
Пример 7
Найти производную.
Решение: Генеральная линия партии остаётся непоколебимой – необходимо выделить действительную и мнимую части функции. Приведу подробное решение, и ниже закомментирую каждый шаг:
Поскольку , то:
(1) Подставляем вместо «зет».
(2) После подстановки нужно выделить действительную и мнимую часть сначала в показателе экспоненты. Для этого раскрываем скобки.
(3) Группируем мнимую часть показателя, вынося мнимую единицу за скобки.
(4) Используем школьное действие со степенями.
(5) Для множителя используем формулу Эйлера , при этом .
(6) Раскрываем скобки, в результате:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Дальнейшие действия стандартны, проверим выполнение условий Коши-Римана:
Пример 9
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана. Производную, так и быть, находить не станем.
Решение: Алгоритм решения очень похож на предыдущие два примера, но есть очень важные моменты, поэтому начальный этап я опять закомментирую пошагово:
Поскольку , то:
1) Подставляем вместо «зет».
(2) Сначала выделяем действительную и мнимую часть внутри синуса . В этих целях раскрываем скобки.
(3) Используем формулу , при этом .
(4) Используем чётность гиперболического косинуса : и нечётность гиперболического синуса : . Гиперболики, хоть и не от мира сего, но во многом напоминают аналогичные тригонометрические функции.
В итоге:
– действительная часть функции ;
– мнимая часть функции .
Внимание!
Знак «минус» относится к мнимой части, и его ни в коем случае не теряем! Для наглядной иллюстрации полученный выше результат можно переписать так:
Проверим выполнение условий Коши-Римана:
Условия Коши-Римана выполнены.
Ответ: , , условия Коши-Римана выполнены.
С косинусом, дамы и господа, разбираемся самостоятельно:
Пример 10
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Я специально подобрал примеры посложнее, поскольку с чем-нибудь вроде все справятся, как с очищенным арахисом. Заодно внимание потренируете! Орехокол в конце урока.
Ну и в заключение рассмотрю ещё один интересный пример, когда комплексный аргумент находится в знаменателе. Пару раз в практике встречалось, разберём что-нибудь простое. Эх, старею…
Пример 11
Определить действительную и мнимую части функции . Проверить выполнение условий Коши-Римана.
Решение:
Снова необходимо выделить действительную и мнимую часть функции.
Если , то
Возникает вопрос, что же делать, когда «зет» находится в знаменателе?
Всё бесхитростно – поможет стандартный приём умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение
, он уже применялся в примерах урока Комплексные числа для чайников
. Вспоминаем школьную формулу . В знаменателе у нас уже есть , значит, сопряженным выражением будет . Таким образом, нужно умножить числитель и знаменатель на :