Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Kung sa problema ang parehong mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang pilak na pinggan", kung gayon ang kalagayan ng problema at ang solusyon nito ay ganito ang hitsura:

Halimbawa 1. Binigyan ng mga vector. Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vector kung ang kanilang mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:

Ang isa pang kahulugan ay wasto din, na ganap na katumbas ng Depinisyon 1.

Kahulugan 2... Ang scalar product ng mga vector ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vector na ito sa pamamagitan ng projection ng isa pang vector sa axis na tinutukoy ng una sa mga ipinahiwatig na vectors. Formula ayon sa Depinisyon 2:

Lutasin natin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang teoretikal na punto.

Pagtukoy sa tuldok na produkto ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate

Ang parehong numero ay maaaring makuha kung ang mga vectors na pinaparami ay ibinibigay sa kanilang mga coordinate.

Kahulugan 3. Ang tuldok na produkto ng mga vector ay isang numero na katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate.

Sa ibabaw

Kung ang dalawang vector at nasa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa Cartesian rectangular coordinate

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate:

.

Halimbawa 2. Hanapin ang numerical value ng projection ng vector sa isang axis na parallel sa vector.

Solusyon. Nahanap namin ang tuldok na produkto ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga coordinate:

Ngayon ay kailangan nating i-equate ang resultang scalar product sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa axis na kahanay ng vector (alinsunod sa formula).

Nahanap namin ang haba ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:

.

Bumuo kami ng isang equation at lutasin ito:

Sagot. Ang gustong numerical value ay minus 8.

Sa kalawakan

Kung ang dalawang vector at nasa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong Cartesian rectangular coordinate

,

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas din ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kanilang kaukulang mga coordinate, mayroon na lamang tatlong coordinate:

.

Ang problema sa paghahanap ng produkto ng tuldok sa pamamagitan ng isinasaalang-alang na pamamaraan ay pagkatapos ng pag-parse ng mga katangian ng produkto ng tuldok. Dahil sa gawain ay kinakailangan upang matukoy kung anong anggulo ang nabuo ng mga multiply na vector.

Mga katangian ng produkto ng vector dot

Mga katangian ng algebraic

1. (ari-arian ng pag-aalis: ang magnitude ng kanilang tuldok na produkto ay hindi nagbabago mula sa pagpapalit ng mga vector na pinarami).

2. (multiplier combinatory property: ang tuldok na produkto ng isang vector na pinarami ng ilang salik at isa pang vector ay katumbas ng tuldok na produkto ng mga vector na ito na pinarami ng parehong salik).

3. (distributional property na may kinalaman sa kabuuan ng mga vectors: ang tuldok na produkto ng kabuuan ng dalawang vector ng ikatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng tuldok ng unang vector ng ikatlong vector at ang pangalawang vector ng ikatlong vector).

4. (ang scalar square ng vector ay mas malaki sa zero), kung ay isang nonzero vector, at, kung, ay isang zero vector.

Mga katangiang geometriko

Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, nahawakan na natin ang konsepto ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.

Sa larawan sa itaas, dalawang vector ang makikita, na dinadala sa isang karaniwang pinagmulan. At ang unang bagay na dapat bigyang-pansin: mayroong dalawang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito - φ 1 at φ 2 ... Alin sa mga anggulong ito ang makikita sa mga kahulugan at katangian ng tuldok na produkto ng mga vector? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga cosine ng mga anggulong ito ay pantay. Kasama sa kahulugan ng produkto ng tuldok ang cosine ng isang anggulo, hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit sa mga ari-arian ay isang sulok lamang ang isinasaalang-alang. At ito ang isa sa dalawang anggulo na hindi hihigit π , ibig sabihin, 180 degrees. Sa figure, ang anggulong ito ay itinalaga bilang φ 1 .

1. Dalawang vector ang tinatawag orthogonal at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay isang tuwid na linya (90 degrees o π / 2) kung ang tuldok na produkto ng mga vector na ito ay zero :

.

Ang orthogonality sa vector algebra ay ang perpendicularity ng dalawang vectors.

2. Dalawang nonzero vector ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degrees, o, na pareho - mas mababa π dot product ay positibo .

3. Dalawang nonzero vector ang bumubuo mahinang anggulo (mula 90 hanggang 180 degrees, o, na pareho - higit pa π / 2) kung at kung ang kanilang dot product ay negatibo .

Halimbawa 3. Ang mga vector ay ibinibigay sa mga coordinate:

.

Kalkulahin ang mga produkto ng tuldok ng lahat ng mga pares ng ibinigay na mga vector. Anong anggulo (acute, straight, obtuse) ang nabubuo ng mga pares ng vectors na ito?

Solusyon. Kakalkulahin namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.

Nakatanggap ng negatibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang mapurol na anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 4. Ang mga haba ng dalawang vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ibinibigay:

.

Tukuyin kung anong halaga ng numero ang mga vectors at orthogonal (perpendicular).

Solusyon. Pinaparami namin ang mga vector ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial:

Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:

.

Bumuo tayo ng isang equation (pagkakapantay-pantay ng produkto sa zero), magbigay ng mga katulad na termino at lutasin ang equation:

Sagot: nakuha namin ang kahulugan λ = 1.8, kung saan ang mga vector ay orthogonal.

Halimbawa 5. Patunayan na ang vector orthogonal (patayo) sa vector

Solusyon. Upang suriin ang orthogonality, pinaparami namin ang mga vector at bilang mga polynomial, na pinapalitan sa halip ang expression na ibinigay sa pahayag ng problema:

.

Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang bawat termino (term) ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawa at idagdag ang mga resultang produkto:

.

Bilang resulta, ang fraction ay nabawasan sa gastos. Ang resulta ay ang mga sumusunod:

Konklusyon: bilang isang resulta ng pagpaparami, nakakuha kami ng zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.

Lutasin ang problema sa iyong sarili, at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 6. Dahil sa mga haba ng mga vector at, at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay π /4 . Tukuyin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Ang representasyon ng matrix ng tuldok na produkto ng mga vector at produkto ng mga n-dimensional na vector

Minsan ito ay kapaki-pakinabang para sa kalinawan upang kumatawan sa dalawang vectors na pinarami sa anyo ng mga matrice. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang row matrix, at ang pangalawa - bilang isang column matrix:

Kung gayon ang scalar product ng mga vectors ay magiging produkto ng mga matrice na ito :

Ang resulta ay kapareho ng nakuha sa pamamaraan na napag-isipan na natin. Ang isang solong numero ay nakuha, at ang produkto ng row matrix sa pamamagitan ng column matrix ay isang solong numero din.

Ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors sa matrix form. Kaya, ang produkto ng dalawang four-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may apat na elemento at isang column matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang five-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may limang elemento at isang column matrix din na may limang elemento, at iba pa.

Halimbawa 7. Maghanap ng mga tuldok na produkto ng mga pares ng mga vector

,

gamit ang representasyon ng matrix.

Solusyon. Ang unang pares ng mga vector. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang row matrix, at ang pangalawa bilang isang column matrix. Nakikita namin ang tuldok na produkto ng mga vector na ito bilang produkto ng row matrix sa pamamagitan ng column matrix:

Katulad nito, kinakatawan namin ang pangalawang pares at nahanap namin:

Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay pareho sa mga parehong pares mula sa halimbawa 2.

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector

Ang derivation ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maigsi.

Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vector

(1)

sa coordinate form, una nating mahanap ang scalar product ng unit vectors. Ang tuldok na produkto ng isang vector sa pamamagitan ng sarili nitong kahulugan:

Ang ibig sabihin ng nakasulat sa formula sa itaas ay: ang tuldok na produkto ng isang vector mismo ay katumbas ng parisukat ng haba nito... Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat ort ay magiging katumbas ng isa:

Dahil sa mga vectors

ay pairwise perpendicular, kung gayon ang mga pairwise na produkto ng mga unit vector ay magiging katumbas ng zero:

Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga vector polynomial:

Pinapalitan namin sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga vector ng yunit:

Nakukuha namin ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:

Halimbawa 8. Binigyan ng tatlong puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Hanapin ang sulok.

Solusyon. Hanapin ang mga coordinate ng mga vectors:

,

.

Ayon sa pormula para sa cosine ng isang anggulo, nakukuha natin:

Kaya naman, .

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot product ng mga vectors at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 9. Dalawang vector ang ibinigay

Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, tuldok na produkto at anggulo sa pagitan nila.

2. Pagkakaiba

Tuldok na produkto ng mga vector

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vectors. Sa unang aralin Mga vector para sa mga dummies sinuri namin ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng isang vector at ang pinakasimpleng mga gawain na may mga vector. Kung nakarating ka sa pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa isang search engine, lubos kong inirerekumenda na basahin ang panimulang artikulo sa itaas, dahil upang makabisado ang materyal, kailangan mong mag-navigate sa mga termino at notasyong ginagamit ko, magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vector at maging kayang lutasin ang mga problema sa elementarya. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa loob nito ay susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain kung saan ginagamit ang tuldok na produkto ng mga vector. Ito ay isang MAHALAGANG aktibidad.... Subukang huwag laktawan ang mga halimbawa, ang mga ito ay sinamahan ng isang kapaki-pakinabang na bonus - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyo na pagsamahin ang materyal na iyong sakop at makuha ang iyong mga kamay sa solusyon sa mga karaniwang problema sa analytical geometry.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero…. Ito ay walang muwang isipin na ang mga mathematician ay walang ibang naisip. Bilang karagdagan sa mga aksyon na isinasaalang-alang na, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vector, katulad: tuldok na produkto ng mga vector, produkto ng vector ng mga vector at pinaghalong produkto ng mga vector... Ang scalar na produkto ng mga vector ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, ang iba pang dalawang produkto ay tradisyonal na nauugnay sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay stereotyped at naiintindihan. Ang tanging bagay. Mayroong isang disenteng dami ng impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang makabisado, lutasin ang LAHAT NG SAMAHAN. Ito ay totoo lalo na para sa mga teapot, maniwala ka sa akin, ang may-akda ay hindi nais na pakiramdam tulad ng Chikatilo mula sa matematika sa lahat. Well, at hindi mula sa matematika, siyempre, din =) Ang mga mas handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyales nang pili, sa isang kahulugan, "kunin" ang nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Count Dracula =)

Sa wakas, buksan natin ng kaunti ang pinto at makita nang may sigasig kung ano ang mangyayari kapag nagtagpo ang dalawang vectors....

Pagpapasiya ng tuldok na produkto ng mga vector.
Mga katangian ng produkto ng tuldok. Mga karaniwang gawain

Konsepto ng produkto ng tuldok

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector... Sa tingin ko lahat ay madaling maunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ngunit kung sakali, mas detalyado. Isaalang-alang ang mga libreng nonzero vectors at. Kung ipagpaliban mo ang mga vector na ito mula sa isang arbitrary na punto, makakakuha ka ng isang larawan na naisip na ng marami sa kanilang isipan:

Inaamin ko na dito ko binalangkas ang sitwasyon sa antas lamang ng pang-unawa. Kung kailangan mo ng mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vector, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit para sa mga praktikal na problema, sa prinsipyo, hindi namin ito kailangan. Gayundin DITO AT KARAGDAGANG Ipagwawalang-bahala ko sa mga lugar ang mga zero vector dahil sa kanilang mababang praktikal na kahalagahan. Gumawa ako ng reserbasyon partikular para sa mga advanced na bisita sa site na maaaring sisihin ako para sa teoretikal na hindi kumpleto ng ilan sa mga sumusunod na pahayag.

maaaring tumagal ng mga halaga mula 0 hanggang 180 degrees (mula 0 hanggang radians) kasama. Analytically, ang katotohanang ito ay nakasulat sa anyo ng isang dobleng hindi pagkakapantay-pantay: o (sa radians).

Sa panitikan, ang icon ng anggulo ay madalas na napapansin at nakasulat nang simple.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vector ay ang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito sa pamamagitan ng cosine ng anggulo sa pagitan nila:

Ito ay isa nang mahigpit na kahulugan.

Nakatuon kami sa mahahalagang impormasyon:

pagtatalaga: ang produkto ng tuldok ay tinutukoy ng o simpleng.

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: Ang vector ay pinarami ng vector, at ang resulta ay isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vector ay mga numero, ang cosine ng isang anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto magiging isang numero din.

Ilan lamang sa mga halimbawa ng warm-up:

Halimbawa 1

Solusyon: Ginagamit namin ang formula ... Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan... Inirerekomenda ko ang pag-print nito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tore at kakailanganin ng maraming beses.

Mula sa isang purong mathematical na pananaw, ang tuldok na produkto ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, ay isang numero lamang at iyon na. Mula sa punto ng view ng mga problema sa pisika, ang scalar na produkto ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, ang isa o isa pang pisikal na yunit ay dapat ipahiwatig. Ang isang kanonikal na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang formula ay eksaktong produkto ng tuldok). Ang gawain ng puwersa ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, at ang sagot ay isusulat nang partikular, halimbawa,.

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay.

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon, ang sagot ay nasa dulo ng tutorial.

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Sa Halimbawa 1, naging positibo ang produkto ng tuldok, at sa Halimbawa 2, naging negatibo ito. Alamin natin kung saan nakasalalay ang sign ng produkto ng tuldok. Tinitingnan namin ang aming formula: ... Ang mga haba ng nonzero vectors ay palaging positibo:, kaya ang sign ay maaari lamang depende sa halaga ng cosine.

Tandaan: Para sa mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, mas mabuting pag-aralan ang cosine graph sa manwal Mga function na graph at katangian... Tingnan kung paano kumikilos ang cosine sa isang segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay maaaring mag-iba sa loob , at posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector maanghang: (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , at dot product ay magiging positibo co-directed, pagkatapos ay ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang tuldok na produkto ay magiging positibo din. Dahil, ang formula ay pinasimple:.

2) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector mapurol: (mula 90 hanggang 180 degrees), pagkatapos , at kaugnay nito, dot product ay negatibo:. Espesyal na kaso: kung mga vector kabaligtaran ng direksyon, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila ipinakalat: (180 degrees). Ang produkto ng tuldok ay negatibo rin, dahil

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

1) Kung, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vector ay codirectional.

2) Kung, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ibinigay na vectors ay malabo. Bilang kahalili, ang mga vector ay kabaligtaran na nakadirekta.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector tuwid: (90 degrees), pagkatapos dot product ay zero:. Totoo rin ang kabaligtaran: kung, kung gayon. Ang pahayag ay binuo nang compact gaya ng sumusunod: Ang scalar product ng dalawang vectors ay zero kung at kung orthogonal lang ang mga vector na ito... Maikling notasyon sa matematika:

! Tandaan : ulitin pundasyon ng lohika ng matematika: ang dobleng panig na lohikal na kinahinatnan na icon ay karaniwang binabasa "pagkatapos at pagkatapos lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula dito ay sumusunod dito, at kabaliktaran - mula sa kung ano ang sumusunod mula dito." Nga pala, ano ang pagkakaiba sa one-way follow icon? Inaangkin ng icon yun lang na "ito ay sumusunod mula dito", at ito ay hindi isang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: ngunit hindi lahat ng hayop ay panther, kaya hindi magagamit ang icon sa kasong ito. Kasabay nito, sa halip na ang icon pwede gumamit ng one-way na icon. Halimbawa, ang paglutas ng problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vector ay orthogonal: - ang naturang entry ay magiging tama, at mas naaangkop kaysa sa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan. dahil pinapayagan ka nitong suriin kung ang mga vector ay orthogonal o hindi. Lutasin natin ang problemang ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-directed... Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay katumbas ng zero, at ang formula ng produkto ng tuldok ay nasa anyong:.

Ano ang mangyayari kung ang vector ay pinarami ng sarili nito? Malinaw na ang vector ay codirectional sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang pinasimpleng formula sa itaas:

Tinatawag ang numero scalar square vector, at tinukoy bilang.

Sa ganitong paraan, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, maaari kang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Habang tila malabo, ngunit ang mga gawain ng aralin ay maglalagay ng lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema, kailangan din natin mga katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga arbitrary na vector at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay wasto:

1) - displaceable o commutative batas ng produktong scalar.

2) - pamamahagi o distributive batas ng produktong scalar. Simple lang, maaari mong palawakin ang mga panaklong.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay batas ng produktong scalar. Ang pare-pareho ay maaaring alisin mula sa produkto ng tuldok.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng mga ari-arian (na kailangan ding patunayan!) Ay itinuturing ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangan lamang na kabisaduhin at ligtas na makalimutan pagkatapos ng pagsusulit. Mukhang ang mahalaga dito, alam ng lahat mula sa unang baitang na ang produkto ay hindi nagbabago mula sa muling pagsasaayos ng mga kadahilanan :. Dapat kong balaan ka, sa mas mataas na matematika na may ganitong diskarte, madaling masira ang kahoy. Kaya, halimbawa, ang displacement property ay hindi wasto para sa algebraic matrices... Hindi rin ito totoo para sa produkto ng vector ng mga vector... Samakatuwid, hindi bababa sa ito ay mas mahusay na bungkalin ang anumang mga pag-aari na makikita mo sa kurso ng mas mataas na matematika upang maunawaan kung ano ang maaari at hindi maaaring gawin.

Halimbawa 3

.

Solusyon: Una, linawin natin ang sitwasyon gamit ang vector. Ano naman ito? Ang kabuuan ng mga vector at ay isang mahusay na tinukoy na vector, na tinutukoy ng. Ang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vector ay matatagpuan sa artikulo Mga vector para sa mga dummies... Ang parehong perehil na may vector ay ang kabuuan ng mga vector at.

Kaya, ayon sa kundisyon ay kinakailangan upang mahanap ang produkto ng tuldok. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang formula , ngunit ang problema ay hindi natin alam ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit ang kundisyon ay nagbibigay ng katulad na mga parameter para sa mga vector, kaya pupunta tayo sa ibang paraan:

(1) Palitan ang mga expression ng vector.

(2) Pinalawak namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, ang isang bulgar na twister ng dila ay matatagpuan sa artikulo Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng isang fractional rational function... Hindi ko na uulitin ang sarili ko =) By the way, ang distribution property ng scalar product ay nagpapahintulot sa amin na palawakin ang mga bracket. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling mga termino, isinulat namin ang mga scalar square ng mga vectors: ... Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang permutability ng scalar product:.

(4) Nagbibigay kami ng mga katulad na termino:.

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang scalar square formula, na nabanggit hindi pa katagal. Sa huling termino, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong bagay ay gumagana:. Pinalawak namin ang pangalawang termino ayon sa karaniwang formula .

(6) Pinapalitan namin ang mga kundisyong ito , at MAINGAT na gawin ang mga huling kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng tuldok ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo.

Ang gawain ay tipikal, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vector at, kung ito ay kilala na .

Ngayon isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula para sa haba ng isang vector. Ang mga pagtatalaga dito ay mag-o-overlap ng kaunti, kaya para sa kalinawan, isusulat ko ito sa ibang titik:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Solusyon ay ang mga sumusunod:

(1) Magbigay ng vector expression.

(2) Ginagamit namin ang formula ng haba:, habang ang buong expression ay gumaganap bilang isang vector "ve".

(3) Ginagamit namin ang formula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Pansinin kung paano ito gumagana nang kakaiba dito: - sa katunayan, ito ay ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay. Ang mga interesado ay maaaring muling ayusin ang mga vector sa mga lugar: - ito ay naging pareho hanggang sa muling pagsasaayos ng mga termino.

(4) Ang iba ay pamilyar na sa dalawang nakaraang problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa tuldok na produkto. Tingnan natin muli ang ating formula ... Ayon sa panuntunan ng proporsyon, i-reset natin ang mga haba ng mga vector sa denominator ng kaliwang bahagi:

At ipapalit namin ang mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung alam mo ang haba ng dalawang vector at ang kanilang tuldok na produkto, maaari mong kalkulahin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ito, at, samakatuwid, ang anggulo mismo.

Numero ba ang produkto ng tuldok? Numero. Ang haba ba ng mga numero ng vectors? Numero. Samakatuwid, ang fraction ay isang tiyak na numero din. At kung ang cosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang inverse function na madaling mahanap ang mismong anggulo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at, kung ito ay kilala na.

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Sa huling yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang isang pamamaraan - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denominator. Upang maalis ang irrationality, pinarami ko ang numerator at denominator sa.

Kaya kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng inverse trigonometric function ay matatagpuan sa pamamagitan ng trigonometriko talahanayan... Bagama't bihira itong mangyari. Sa mga problema ng analytical geometry, ang ilang uri ng clumsy bear ay mas madalas na lumilitaw, at ang halaga ng anggulo ay kailangang matagpuan nang humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa totoo lang, makikita natin ang gayong larawan nang higit sa isang beses.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - radian at degree. Sa personal, upang sadyang "linawin ang lahat ng mga tanong", mas gusto kong ipahiwatig iyon at iyon (maliban kung, siyempre, ayon sa kondisyon, kinakailangan na ipakita ang sagot lamang sa mga radian o sa mga degree lamang).

Ngayon ay magagawa mong makayanan ang isang mas mahirap na gawain sa iyong sarili:

Halimbawa 7 *

Ibinigay ang mga haba ng mga vector, at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector,.

Ang gawain ay hindi kahit na napakahirap bilang multi-step.
Suriin natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vectors at, samakatuwid, kailangan mong gamitin ang formula .

2) Hanapin ang produkto ng tuldok (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 5, 6).

4) Ang dulo ng solusyon ay tumutugma sa Halimbawa No. 7 - alam natin ang numero, na nangangahulugang madaling mahanap ang mismong anggulo:

Isang maikling solusyon at sagot sa dulo ng tutorial.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng tuldok. Mga coordinate. Ito ay magiging mas madali kaysa sa unang bahagi.

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang tuldok na produkto ng mga vector at, kung

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Dito maaari mong gamitin ang pagkakaugnay ng operasyon, iyon ay, huwag mabibilang, ngunit agad na ilipat ang triple mula sa scalar na produkto at i-multiply ito sa huli. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa dulo ng talata, isang nakakapukaw na halimbawa ng pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Hanapin ang mga haba ng mga vector , kung

Solusyon: muli ang paraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi mismo:, ngunit may isa pang paraan:

Hanapin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang produkto ng tuldok ay wala sa tanong dito!

Dahil wala sa negosyo ito ay kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil ka. Bakit hindi samantalahin ang halatang pag-aari ng haba ng vector? Paano ang tungkol sa haba ng vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi mahalaga, dahil ang usapan ay tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero sa bawat haba ng vector:
- ang tanda ng module ay "kumakain" ng posibleng minus ng numero.

Sa ganitong paraan:

Sagot:

Ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector, na ibinibigay ng mga coordinate

Ngayon ay mayroon na kaming kumpletong impormasyon upang ipahayag ang dating nagmula na formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vector:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ng eroplano at ibinigay sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:
.

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng espasyo ibinigay sa isang orthonormal na batayan, ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Tatlong vertex ng tatsulok ang ibinibigay. Hanapin (anggulo ng vertex).

Solusyon: Ayon sa kondisyon, ang pagguhit ay hindi kinakailangan na maisagawa, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng berdeng arko. Agad naming naaalala ang pagtatalaga ng paaralan ng anggulo: - espesyal na atensyon sa karaniwan ang titik - ito ang tuktok ng sulok na kailangan natin. Para sa maikli, maaari rin itong isulat nang simple.

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vectors at, sa madaling salita: .

Ito ay kanais-nais na matutunan kung paano isakatuparan ang pagsusuri na isinagawa sa pag-iisip.

Maghanap ng mga vector:

Kalkulahin natin ang produkto ng tuldok:

At ang haba ng mga vectors:

Cosine ng isang anggulo:

Ito ang pagkakasunud-sunod ng pagkumpleto ng gawain na inirerekomenda ko sa mga teapot. Ang mga mas advanced na mambabasa ay maaaring magsulat ng mga pagkalkula "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng cosine. Ang resultang halaga ay hindi pinal, kaya may maliit na punto sa pag-alis ng irrationality sa denominator.

Hanapin natin ang sulok mismo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na kapani-paniwala. Para sa pagsuri, ang anggulo ay maaari ding masukat gamit ang isang protractor. Huwag sirain ang takip ng monitor =)

Sagot:

Sa sagot, huwag kalimutan iyon nagtanong tungkol sa anggulo ng tatsulok(at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: natagpuan gamit ang calculator.

Ang mga nasiyahan sa proseso ay maaaring kalkulahin ang mga anggulo at siguraduhin na ang canonical equality ay totoo

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay tinukoy sa espasyo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertice nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at

Ito ay isang halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa dulo ng tutorial

Ang isang maikling huling seksyon ay ilalaan sa mga projection, kung saan ang scalar na produkto ay "halo-halo" din:

Vector-to-vector projection. Ang projection ng vector sa mga coordinate axes.
Mga cosiine ng direksyon ng isang vector

Isaalang-alang ang mga vector at:

Ipinapalabas namin ang vector sa vector, para dito ay tinanggal namin mula sa simula at pagtatapos ng vector patayo bawat vector (mga berdeng tuldok na linya). Isipin ang mga sinag ng liwanag na bumabagsak nang patayo sa vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay magiging "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng vector papunta sa vector ay ang LENGTH ng segment. Ibig sabihin, ang PROJECTION AY ISANG NUMERO.

Ang NUMBER na ito ay tinukoy bilang sumusunod:, "malaking vector" ay tumutukoy sa isang vector ALING ANG proyekto, ang "maliit na subscript vector" ay tumutukoy sa isang vector SA na pinaplano.

Ang rekord mismo ay nagbabasa ng ganito: "ang projection ng vector" isang "sa vector" bh "".

Ano ang mangyayari kung ang vector na "bs" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". At ang vector na "a" ay ipapakita na sa direksyon ng vector "bh", simple - sa tuwid na linya na naglalaman ng vector na "be". Ganoon din ang mangyayari kung ang vector "a" ay ipagpaliban sa ika-tatlumpung kaharian - madali pa rin itong mai-project sa tuwid na linya na naglalaman ng vector na "bh".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector maanghang(tulad ng nasa larawan), pagkatapos

Kung mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay ipinapalagay na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector mapurol(sa figure, itak na muling ayusin ang arrow ng vector), pagkatapos (parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

Ipagpaliban natin ang mga vector na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag gumagalaw ang vector, hindi nagbabago ang projection nito.

I. Ang produkto ng tuldok ay naglalaho kung at kung ang isa man lang sa mga vector ay zero o kung ang mga vector ay patayo. Sa katunayan, kung o, o pagkatapos.

Sa kabaligtaran, kung ang mga vectors na pinarami ay hindi zero, kung gayon dahil mula sa kondisyon

kapag ito ay sumusunod:

Dahil ang direksyon ng zero vector ay hindi natukoy, ang zero vector ay maaaring ituring na patayo sa anumang vector. Samakatuwid, ang ipinahiwatig na pag-aari ng produktong scalar ay maaaring mabuo sa isang mas maikling anyo: ang produkto ng scalar ay naglalaho kung at kung ang mga vector ay patayo.

II. Ang produkto ng tuldok ay may katangian ng transposability:

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan:

dahil iba't ibang mga pagtatalaga para sa parehong anggulo.

III. Ang batas sa pamamahagi ay ang pinakamahalaga. Ang aplikasyon nito ay kasinghusay ng sa ordinaryong aritmetika o algebra, kung saan ito ay nabuo bilang mga sumusunod: upang i-multiply ang kabuuan, kailangan mong i-multiply ang bawat termino at idagdag ang mga resultang produkto, i.e.

Malinaw, ang multiplikasyon ng mga multivalued na numero sa arithmetic o polynomial sa algebra ay batay sa property na ito ng multiplication.

Ang batas na ito ay may parehong pangunahing kahulugan sa vector algebra, dahil sa batayan nito maaari nating ilapat ang karaniwang tuntunin ng pagpaparami ng mga polynomial sa mga vector.

Patunayan natin na para sa anumang tatlong vectors A, B, C ang pagkakapantay-pantay

Ayon sa pangalawang kahulugan ng produkto ng tuldok, na ipinahayag ng formula, nakukuha natin ang:

Ang paglalapat ngayon ng property 2 ng mga projection mula sa § 5, nakita namin:

Q.E.D.

IV. Ang produkto ng tuldok ay may pag-aari ng pagsasama-sama na may kinalaman sa isang numerical factor; ang pag-aari na ito ay ipinahayag ng sumusunod na formula:

iyon ay, upang i-multiply ang tuldok na produkto ng mga vector sa isang numero, sapat na upang i-multiply ang isa sa mga kadahilanan sa numerong ito.