Помощь по Теле2, тарифы, вопросы

Теория вероятностей

1. Петя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 50.
2. Петя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 11.
3. На тарелке 10 пирожков: 2 с мясом, 6 с капустой и 2 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
4. На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Вова наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
5. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 7 черных, 6 желтых и 17 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
6. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Петя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Петя не найдет приз в своей банке.
7. Игорь с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать кабинок, из них 3 - синие, 14 - зеленые, остальные - красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Игорь прокатится в красной кабинке.
8. Петя с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двенадцать кабинок, из них 3 - синие, 6 - зеленые, остальные - красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Петя прокатится в красной кабинке.
9. У дедушки 10 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Дедушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
10. У бабушки 20 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
11. На экзамене 50 билетов. Петя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
12. На экзамене 50 билетов. Петя не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
13. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 2 с машинами и 8 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Вове достанется пазл с машиной.
14. Родительский комитет закупил 25 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 22 с машинами и 3 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Диме достанется пазл с машиной.
15. В среднем на 100 карманных фонариков приходится семь неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
16. В среднем на 75 карманных фонариков приходится семь неисправных. Найдите вероятность купить работающий фонарик.
17. В среднем из каждых 100 поступивших в продажу аккумуляторов 91 аккумулятор заряжен. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
18. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 68 аккумулятор заряжен. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
19. Саша наудачу выбирает двузначное число. Найдите вероятность того, что оно оканчивается на 6.
20. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало нечетное число очков.
21. Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало 1.
22. Одновременно бросают две симметричные монеты. Какова вероятность того, что выпадут орел и решка?
23. Одновременно бросают три симметричные монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
24. В классе 21 учащийся, среди них два друга - Петя и Вася. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 7 равных групп. Найдите вероятность того, что Петя и Вася попали в одну группу.
25. Перед началом футбольного матча судья бросают монетку, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда А должна сыграть три матча - с командой В, с командой С и с командой D. Найдите вероятность того, что во всех матчах владение мячом первыми будет принадлежать команде А.
26. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсмена из Румынии и 7 - из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяются жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.
27. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Дании, 8 спортсменов из Швеции, 4 спортсмена из Румынии и 9 - из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяются жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
28. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 9 очков. Результат округлите до сотых.
29. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
30. На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача на тему "Треугольники", равна 0,5. Вероятность того, что это окажется задача на тему "Окружность" равна 0,25. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
31. На экзамене по геометрии школьнику достается одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача на тему "Окружность", равна 0,45. Вероятность того, что это окажется задача на тему "Углы" равна 0,5. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
32. Стрелок четыре раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся.
33. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первый раз попал в мишени, а последние два раза промахнулся.
34. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень два раза и один раз промахнулся.
35. Стрелок три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок попал в мишень два раза и один раз промахнулся.
36. В девятом экономическом классе учатся 24 мальчика и 6 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет мальчик?
37. В девятом математическом классе учатся 2 мальчика и 23 девочек. По жребию они выбирают одного дежурного по классу. Какова вероятность того, что это будет девочка?
38. Вероятность того, что новый компьютер прослужит больше года, равна 0,98. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
39. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
40. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 25 до 39 делится на 5?
41. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 36 делится на 2?
42. На олимпиаде по химии участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 180 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 450 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
43. На олимпиаде по математике участников рассаживают по трем аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчете выяснилось, что всего было 300 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
44. Вероятность того, что на тесте по физике Петя верно решит больше 11 задач, равна 0,65. Вероятность того, что он верно решит больше 10 задач, равна 0,71. Найдите вероятность того, что Петя верно решит ровно 11 задач.
45. Вероятность того, что на тесте по математике Вася верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что он верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что Вася верно решит ровно 12 задач.
46. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 22 пассажиров, равна 0,86. Вероятность того, что окажется меньше 9 пассажиров, равна 0,5. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 9 до 21.
47. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 21 пассажира, равна 0,96. Вероятность того, что окажется меньше 11 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 11 до 20.
48. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,03. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
49. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,03. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,97. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,05. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Задачи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по вероятности

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсменов из Румынии и 7 - из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.

Решение: Всего исходов 4+6+7+3=20; Благоприятных – 7. Ответ: 7/20=0,35

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

Решение: Искомая вероятность равна P=0.94−0.56=0.38. Ответ 0,38

Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов – первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Преображенского окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Воспользуемся классическим определением вероятности. По условию задачи, на последний день приходится 12 докладов, а всего их 75, тогда искомая вероятность равна P=12/75=0.16. Ответ 0,16

На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3

На семинар приехали 3 ученых из Индонезии, 3 из Камбоджи, 4 из Чили и ещё 10 ученых из стран Европы. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Индонезии. Ответ: 0,15

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 - из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

Решение: Всего исходов 6+3+6+10=25; Благоприятных – 3. Ответ: 3/25=0,12. Ответ: 0,12

В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Барселона», «Ювентус», «Бавария», «Челси», «Порту» и «ПСЖ». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария» окажутся в одной группе?

Пусть "Барселона" и "Бавария" должны попасть в первую группу. Вероятность того, что туда попадет "Барселона", равна 3/6=1/2, так как в группе 3 места, а всего команд 6. Вероятность того, что в первую группу попадет и "Бавария", равна 2/5, так как в группе уже осталось 2 места, а всего выбираем из 5 оставшихся команд. Следовательно, вероятность того, что обе команды попадут в первую группу, равна 1/2∗ 2/5=0,2. Так как группы две , то вероятности складываюся (обе команд ы попадут в первую ИЛИ во воторую группу). Тогда искомая вероятность равна 0,4. Ответ: 0,4.

Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной. Решение 3/10. Ответ: 0,3

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.Решение: Обозначим за x искомую вероятность того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве. Тогда 1−x - вероятность того, что купленное яйцо произведено вторым хозяйством. Применим формулу полной вероятности и получим 0.4x+0.2(1−x)=0.35 ⇒ x=0.75. Ответ: 0,75

Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с городом. Ответ: 14/ 20 = 0,7

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: 0,2

В сборнике билетов по физике всего 25 билетов в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене попадется билет по оптике.

Ответ: 13/25=0,52

В сборнике билетов по физике всего 15 билетов в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене не попадется билет по электростатике. Ответ: 3/15 = 0,2

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.

Решение: Всего на 12 секторов разбивают циферблат числа от1 до 12. Благоприятные для нас сектора от 5 до 11. Их – 6. Тогда Р = 6/12 = 0,5. Ответ: 0,5

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.

Решение: Всего 12 секторов. Благоприятные – 3. Тогда Р = 3/12 = 0,25. Ответ: 0,25

Команда бобслеистов состоит из четырех человек. Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго – 0,2, а для третьего – 0,3, а для четвертого – 0,4. Какова вероятность, что команда бобслеистов не выйдет на старт?

Решение. Найдем вероятность того, что команда выйдет на старт: P 1 =(1−0.1)∗ (1− 0.2)∗ (1− 0.3)∗ (1− 0.4)=0,3024. Тогда вероятность того, что команда не выйдет на старт, равна P=1−P 1 =1-0,3024= 0.6976. Ответ 0,6976.

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ 6/30=0,2

В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 4/16 = 0,25

В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 7/20=0,35

На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что при случайном выборе ему попадется выученный билет. Ответ: 28/35=0,8

В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке.

Решение: Так как, согласно условиям в каждой двадцать пятой банке кофе есть приз,

то в остальных 24-х приза нет. Тогда, вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке равна

24 / 25 = 0,96 Ответ: 0,96:

Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная клавиатура исправна. Ответ: 1- 12/600=0,98

В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна. Ответ: 147/150=0,98

Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет. Ответ 4/5=0,8

Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру должен будет мальчик. Ответ: 0,4

В кармане у Серёжи было четыре конфеты - «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка». Ответ: 1/4=0,25

Перед началом первого тура чемпионате по теннису участников разбивают на игровые пары случайный образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. Ответ: 6/75=0,08

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Решение: найдём сколько выступлений запланировано на третий день: (80-8)/4=18

Тогда, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса равна

Р = 18/80=0,225 Ответ: 0,225

По статистическим данным вероятность того, что телефон марки “Sumsung”, купленный в магазине “Евросеть”, прослужит больше четырёх лет равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,66. Найдите вероятность того, что телефон данной марки выйдет из строя в течение пятого года эксплуатации.

Решение: Вероятность искомого события равна P = 0,83−0,66 = 0,17. Ответ 0.17.

Какова вероятность того что случайно выбранное натуральное число от 30 до 54 делится на 2?

Решение. От 30 до 54 25чисел. Четных из 13.(30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; и 54) Ответ 13/25=0,52

В урне 5 красных и 3 синих шара. На удачу выбирают три из них. Какова вероятность того, что два из них будут синими.

Решение. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)

В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Два несовместных события Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 5/30+10/30=15/30=0,5

Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900, из 180 чисел кратны 5, поэтому Р = 180/900 = 0,2 Ответ: 0,2

В урне лежат 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар будет: белый, черный, синий, красный, белый или черный, синий или красный, белый или черный или синий?

Решение. События вынуть шар белого цвета или вынуть шар черного цвета несовместны. Поэтому в решении используем теорему сложения. Всего 70 шаров.

Найдем Р(б)=10/70: Р(ч)=15/70: Р(с)=20/70: Р(к)=25/70

По теореме о сумме получим Р(б+ч) = Р(б)+ Р(ч)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; Р(с+к)= Р(с)+Р(к)= 20/70+25/70=45/70=9/14; Р(б+ч+с) = Р(б)+Р(с)+ Р(ч)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14

Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что оба шара будут белыми? Решение. Рассмотрим события:

А и В независимые события поэтому Р(А*В)= Р(А)*Р(В)=1/6*2/3=1/9 Ответ 1/9

Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что один вынутый шар белый, а другой - черный? Решение.

А – вынимаем белый шар из 1 ящика Р(А)=2/12

В – вынимаем белый шар из 2 ящика Р(В)=8/12

С – вынимаем черный шар из 1 ящика Р(С)=10/12

Д- вынимаем черный шар из 2 ящика Р(Д)=4/12

Каковы возможные случаи Р(АД) Р(ВС). Так как ящики не зависят друг от друга, то и события будут независимыми. Тогда Р(АД) = Р(А)*Р(Д)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 *5/6 = 5/9

В итоге у нас два несовместных события и получаем Р = Р(АД) + Р(ВС) = 11/18.

Вова выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 49. Решение. Трехзначных чисел – 900. Первое число которое делится на 49 это 147. Максимальное: решается неравенством 49*n < 1000 n < 20 20/49 т.е. n =20-2=18 Ответ 18/900=0,02

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение.P(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0,3+0,25=0,55 P(AB)=0

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события: А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате. Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P (A + B )= P (A )+ P (B )− P (A ·B )=0,3+0,3−0,12=0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов производится по вечерам после закрытия. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Такая же вероятность события, что к вечеру кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. P (АUB )=P (A )+P (B )-P (AB )=0,25+0,25-0,15 – хотя бы в одном, тогда если из 1-0,35=0,65 - кофе останется в обоих автоматах

Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,98. вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение. Прослужит дольше чем год- это значит больше двух лет или сломается в промежутке от 1 до 2 лет. Р(>1)=Р(1-2)+Р(>2) Р=0,98-0,84

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач. Ответ Р=0,79-0,7=0,09

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда А должна сыграть два матча - с командой В и с командой С. Найдите вероятность того что в обоих матчах первым мячом будет владеть команда А. Решение ½*1/2=0,25

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Монтёр» по очереди играет с командами «Ротор», «Статор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Монтёр» будет начинать только первую игру.

Решение: Капитан команды "Монтер" будет трижды кидать жребий: с капитаном команды "Ротор", затем с капитаном команды "Статор" и с капитаном команды "Мотор".

В первом жребие вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со "Статором" и с "Мотором" равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗ 0.5∗ 0.5=0.125. Ответ: 0,125

Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифра- ми?

Решение. А- Четная предпоследняя – Р(А)=1/2. В- четная последняя Р(В)=1/2

Р = 0,5*0,5 = 0,25 или всего четных цифр 5 на последнем месте и на предпоследнем тоже 5. Итого 5*5=25. Всего цифр на двух последних местах 10*10=100. Ответ 25/100=0,25

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию.

Решение: Найдем вероятность того, что гроссмейстер А не выйграет ни одну партию. Она равна P 1 =0.5∗ 0.7=0.35. Тогда , вероятность того , что А . выиграет хотя бы одну партию , равна (по формуле вероятности прот ипоположного события) P = 1−P 1 = 0,65. Ответ: 0,65.

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ 0,5*0,32=0,16

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156 . Ответ: 0,156

Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными? Ответ 0,98*0,98=0,9604

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 2/10 = 0,2, что не пристрелянный 8/10 = 0,8
Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,2 · 0,9 = 0,18
Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,8 · 0,3 = 0,24

Вероятность попасть: 0,18 + 0,24 = 0,42
Вероятность промаха: Р = 1 - 0,42 = 0,58 Ответ: 0,58

Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение. Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

поусловию P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P(A3)=0,8

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).

Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 2.

Таким образом,

X =A 1⋅ A 2*⋅ A 3*+A 1* ⋅ A 2⋅ A 3*+A 1*⋅ A 2*⋅ A 3.

Так как события А1,А2,А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3)=

0,95⋅ 0,1⋅ 0,2+0,05⋅ 0,9⋅ 0,2+0,05⋅ 0,1⋅ 0,8=0,032.

Найдем вероятность события Y=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y*=(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

P(Y*)=P(A1 ⋅ A2 ⋅ A3)=P(A1) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3)=0,95 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8=0,684.

Тогда вероятность события Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0,684=0,316. Ответ: 0,032; 0,316.

В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке.

Номер стрелка

Число выстрелов

Число попаданий

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер.

Решение. Сравним дроби

26/44 45/70 14/40 48/67 Лучший результат 4. Ответ 4.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Пять выстрелов по пяти различным мишеням. Какова вероятность того, что биатлонист поразит ровно три мишени.

Решение. Так как в задаче происходит несколько выстрелов, и вероятность появления попадания одинакова при каждом выстреле, то речь идет о схеме Бернулли P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Ответ = 10 * 0.8 3 * 0.2 2 = 0.2048

Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Решение. Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из n бросков монет герб выпадет ровно k раз: P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Записываем данные из условия задачи: n=8,p=0,5 (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и k=5. Подставляем и получаем вероятность:

P(X)=P 8 (5)=C 5 8 ⋅ 0,5 5 ⋅ (1− 0,5) 8 − 5 = 8! / 5!3!⋅ 0,5 8 = (6⋅ 7⋅ 8)/(1⋅ 2⋅ 3) ⋅ 0,58 = 0,219. Ответ 0,219.

Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:

А1= (при аварии сработает первый сигнализатор);

А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);

по условию задачи P(A1)=0,95,P(A2)=0,9P(A1)=0,95,P(A2)=0,9.

Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть X=A1⋅ A2* +A1* ⋅ A2. Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2)=0,95 ⋅ 0,1+0,05 ⋅ 0,9=0,14. Ответ: 0,14.

В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

РЕШЕНИЕ. Введем событие X = (Оба извлеченных шара черного цвета).

Введем вспомогательные независимые события: H 1× = (Из первой урны извлечен черный шар),

H 2× = (Из второй урны извлечен черный шар).

Найдем вероятности этих событий по классическому определению вероятности: P (H 1×)=4/14

P (H 2×) = 9/14 . Тогда P (X)= P(H 1х) *P(H 2х) = 2/7*9/14 = 9/49 = 0,184 . ОТВЕТ . 0,184.

Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.

Решение. Введем событие X = (Хотя бы один учащийся решит задачу) и противоположное ему X* = (Ни один учащийся не решит задачу). Введем вспомогательные события: A1 = (Первый учащийся решил задачу), A2 = (Второй учащийся решил задачу), A3 = (Третий учащийся решил задачу), вероятности P (A1) = 0,8 , P (А2) = 0,7 , P (А3)) = 0,6 . Выразим событие X*=A1* A2* A3* . Считаем вероятность как вероятность произведения независимых событий : Р(Х*) = (1- 0,8)(1 - 0,7)(1- 0,6) = 0, 2* 0,3* 0,4 = 0,024.

Тогда вероятность искомого события P (X)= 1- P(X*) = 1 - 0,024 = 0,976 . ОТВЕТ . 0,976.

Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень ровно один раз.

Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Белые" по очереди играет с командами "Красные", "Синие", "Зеленые". Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда "Белые".

Решение: Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с "Красными" (К), "Синими" (С) и "Зелеными" (З).
П - первая владеет мячом, Н - нет.

ППП ППН ПНП НПП ПНН НПН ННП ННН

и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда "Белые" будет первой владеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов - 8. Тогда искомая вероятность равна 3 / 8 = 0,375. Ответ: 0,375

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая - 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0, 0135

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01= 0,0055

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

Ключевые задачи по теории вероятностей Подготовка К ОГЭ № 9 МБОУ «Гимназия №4 им. А.С. Пушкина» Автор-составитель: Софина Н.Ю.

2 слайд

Описание слайда:

Основные проверяемые требования к математической подготовке № 9 ОГЭ по математике Решать практические задачи, требующие систематического перебора вариантов; сравнивать шансы наступления случайных событий, оценивать вероятности случайного события, сопоставлять и исследовать модели реальной ситуации с использованием аппарата вероятности и статистики. № 9 – базовое задание. Максимальный балл за выполнение задания - 1.

3 слайд

Описание слайда:

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения Классическое определение вероятности Напомним формулу для вычисления классической вероятности случайного события Р = n m

4 слайд

Описание слайда:

Классическое определение вероятности Пример: Родительский комитет закупил 40 кижек-раскрасок для подарков детям на окончание учебного года. Из них 14 по сказкам А.С. Пушкина и 26 по сказкам Г.Х.Андерсена. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Насте достанется книжка-раскраска по сказкам А.С. Пушкина. Решение: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Ответ: 0, 35.

5 слайд

Описание слайда:

Пример: На экзамен было вынесено 60 вопросов. Иван не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный вопрос. Решение: Здесь n=60. Иван не выучил 3, значит выучил все остальные, т.е. m= 60-3=57. Р=57/60=0,95. Классическое определение вероятности Ответ: 0,95.

6 слайд

Описание слайда:

«Порядок определяется жеребьёвкой» Пример: В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США, остальные- из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая пятой, окажется из Китая. Решение: В условии задачи есть «волшебное» слово «жребий», значит мы забываем о порядке выступления. Т.о., m= 20-8-7=5 (из Китая); n=20. Р= 5/20 = 0,25. Ответ: 0, 25.

7 слайд

Описание слайда:

Пример: Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов- первые 3 дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между 4-м и 5-м днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора Иванова окажется запланированным на последний день конференции? Решение: Занесём данные в таблицу. Получили, что m=12; n=75. Р=12/75= 0,16. Ответ: 0,16. «Порядок определяется жеребьёвкой» День I II III IV V Всего Число докладов 17 17 17 12 12 75

8 слайд

Описание слайда:

Частота события Точно так же, как и вероятность, находится частота события, задания на которую также есть в прототипах. В чём же отличие? Вероятность- это прогнозируемая величина, а частота- констатация факта. Пример: Вероятность того, что новый планшет в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных планшетов в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе? Решение: Найдём частоту события: 51/1000=0,051. А вероятность равна 0,045 (по условию).Значит в этом городе событие «гарантийный ремонт» происходит чаще, чем предполагалось. Найдём разницу ∆= 0,051- 0,045= 0,006. При этом, надо учесть, что нам НЕ важен знак разности, а лишь её абсолютное значение. Ответ: 0,006.

9 слайд

Описание слайда:

Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи») Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2k. Пример: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Решение: Варианты выпадения монеты: ОО; ОР; РР; РО. Т.о., n=4. Благоприятные исходы: ОР и РО. Т.е., m= 2. Р=2/4 = 1/2 = 0,5. Ответ: 0,5.

10 слайд

Описание слайда:

Пример: Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"? Задачи с перебором вариантов («монеты», «матчи») Решение: Обозначим право владения первой мячом команды "Меркурий" в матче с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право владения второй мячом этой команды – «Орел». Итак, напишем все возможные исходы бросания монеты три раза. «О» – орел, «Р» – решка. ; т.е., n=8; m=1. Р=1/8= 0,125. Ответ: 0,125 n = 23 «Марс» «Юпитер» «Уран» О О О О О Р О Р О О Р Р Р О О Р О Р Р Р Р

11 слайд

Описание слайда:

Задачи на «кубики» (игральные кости) Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6k. Пример: Даша дважды бросает игральный кубик. Найдите вероятность того, что сумме у нее выпало 8 очков. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,14. Решение: В сумме на двух кубиках должно выпасть 8 очков. Это возможно, если будут следующие комбинации: 2 и 6 6 и 2 3 и 5 5 и 3 4 и 4 m= 5 (5 подходящих комбинаций) n =36 Р= 5/36 = 0,13(8)

12 слайд

Описание слайда:

Независимые события и закон умножения Вероятность нахождения и 1-го, и 2-го, и n-го события находятся по формуле: Р= Р1*Р2*…*Рn Пример: Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых. Ответ: 0,02. Решение: Результат каждого следующего выстрела не зависит от предыдущих. Поэтому события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и т.д. независимы. Вероятность каждого попадания равна 0,8. Значит, вероятность промаха равна 1 – 0,8 = 0,2. 1 выстрел: 0,8 2 выстрел: 0,8 3 выстрел: 0,8 4 выстрел: 0,2 5 выстрел: 0,2 По формуле умножения вероятностей независимых событий, получаем: Р= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

13 слайд

Описание слайда:

Сочетания законов «и» и законов «или» Пример: Офис закупает канцелярию для сотрудников 3 различных фирм. Причём продукция 1-ой фирмы составляет 40% всех поставок, а остальных 2-х- поровну. Выяснилось, что 2% ручек 2-ой фирмы- бракованные. Процент брака в 1-ой и 3-ей фирме соответственно 1% и 3%. Сотрудник А взял ручку из новой поставки. Найдите вероятность того, что она будет исправна. Решение: Продукция 2и 3 фирм составляет (100%-40%):2=30% от поставок. Р(брака)= 0,4· 0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. Р(исправных ручек) = 1- 0,019 = 0,981. Ответ: 0,981.