Elemente der Mengenlehre. Das Konzept der Menge. Präsentation: Mengen und Operationen darauf

Urjupinsker Zweigstelle der staatlichen Haushaltsbildungseinrichtung „Wolgograd Medical College“

Folie 2: Schlüsselfragen:

Das Konzept einer Menge. Methoden zum Definieren einer Menge. Beziehungen zwischen Mengen. Operationen auf Mengen

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„Eine Menge sind viele Dinge, die wir als eins betrachten“ – der Begründer der Mengenlehre – Georg Cantor (1845-1918) – deutscher Mathematiker, Logiker, Theologe, Schöpfer der Theorie der unendlichen Mengen, die einen entscheidenden Einfluss auf die Theorie der unendlichen Mengen hatte Entwicklung der mathematischen Wissenschaften an der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert.

Folie 4: Konzepte der Mengenlehre

Der Mengenbegriff ist einer der allgemeinsten und wichtigsten mathematischen Begriffe. Es wurde von dem deutschen Wissenschaftler Georg Cantor (1845-1918) in die Mathematik eingeführt. In Anlehnung an Cantor kann der Begriff „Menge“ wie folgt definiert werden: Eine Menge ist eine Sammlung von Objekten, die eine bestimmte Eigenschaft haben und zu einem einzigen Ganzen vereint sind .

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Mit dem Konzept der Menge kommen wir vor allem dann in Kontakt, wenn wir aus irgendeinem Grund einige Objekte zu einer Gruppe zusammenfassen und diese Gruppe oder Sammlung dann als ein einziges Ganzes betrachten. Mengen werden üblicherweise mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet: A, B, C, D. Objekte, die eine Menge bilden, werden Elemente der Menge genannt und zur Bezeichnung von Elementen werden in der Regel Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets verwendet.

Folie 6: Beispiele für Sets:

viele Studenten in einem bestimmten Publikum; viele Menschen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt auf unserem Planeten leben; die Menge der Punkte einer gegebenen geometrischen Figur; Menge gerader Zahlen; Satz von Wurzeln der Gleichung x2-5x+6=0; Menge reeller Wurzeln der Gleichung x2+9=0;

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Montag Dienstag Mittwoch Freitag Samstag Wochentage

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Musikinstrumente

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Wenn ein Element x zur Menge X gehört, dann schreiben Sie x  X ( - gehört). Andernfalls, wenn a nicht zur Menge A gehört, verwenden wir die Notation : Wenn Menge A Teil von Menge B ist, dann schreiben wir A  B ( - enthalten).

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Mengenelement Trapez, Parallelogramm, Raute, Quadrat, Rechteck Kugel, Quader, Prisma, Pyramide, Oktaeder Natürliche Zahlen 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.. 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8, 9 Zweistellige gerade Zahlen Viele Vierecke Raumkörper 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11... Zahlenquadrate Zahlen von das Dezimalsystem 10, 12, 14, 16 … 96, 98

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Mengen, deren Elemente Zahlen sind, heißen Zahlenmengen.

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Bezeichnungen einiger Zahlenmengen: N – Menge natürlicher Zahlen; Z – Menge von ganzen Zahlen; Q – Menge rationaler Zahlen; I – Menge irrationaler Zahlen; R ist die Menge der reellen Zahlen.

Folie 13: Methoden zur Definition von Mengen

Eine Menge kann durch Auflisten aller ihrer Elemente oder durch eine Liste definiert werden. In diesem Fall werden die Elemente der Menge in geschweifte Klammern geschrieben, zum Beispiel: A = (Schüler A., Arbeiter L., Schüler M.). 2. Eine Menge kann durch eine Beschreibung der Eigenschaften ihrer Elemente spezifiziert werden. Am häufigsten wird eine Notation verwendet, die wie folgt lautet: „A ist eine Menge von Elementen b, für die die Eigenschaft B gilt.“ Beispielsweise ist a eine gerade natürliche Zahl. 3. Eine Menge kann spezifiziert werden, indem die charakteristische Eigenschaft ihrer Elemente angegeben wird, d Satz. Die Notation P(x) bedeutet, dass das Element x die Eigenschaft P hat. Die Eigenschaft P(x) wird in Worten, Symbolen formuliert oder durch eine Gleichung oder Ungleichung ausgedrückt.

Folie 14: Beispiele

Folie 15: Beispiele

Folie 16: Arten von Sets:

1 – endlich, 2 – unendlich, 3 – leer.

Folie 17: Wenn die Elemente einer Menge gezählt werden können, dann ist die Menge ENDLICH

Beispiel: Die Vokalmenge im Wort „Mathematik“ besteht aus drei Elementen – den Buchstaben „a“, „e“, „and“, und der Vokal wird nur einmal gezählt, d. h. Elemente der Menge werden bei der Aufzählung nicht wiederholt.

Folie 18: Wenn die Elemente einer Menge nicht gezählt werden können, dann ist die Menge UNENDLICH

Beispiel: Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich. Beispiel Die Menge der Punkte auf einer Strecke ist unendlich. Beispiel Viele Atome im Universum

Folie 19: Eine Menge, die kein einziges Element enthält, heißt EMPTY. Symbolisch wird es durch das Zeichen  angezeigt

Beispiel Die Menge der reellen Wurzeln der Gleichung x 2 +1=0. Beispiel: Viele Menschen leben auf der Sonne.

Folie 20: Potenz des Sets

Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge wird als Kardinalität dieser Menge bezeichnet und mit dem Symbol m (A) oder |A| bezeichnet. Es ist natürlich, die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge durch ihre Anzahl zu charakterisieren. In diesem Sinne sind die Zahlenmenge (-2, 0, 3,8) und die Buchstabenmenge (c, x, φ, a) äquivalent, da sie die gleiche Anzahl an Elementen enthalten.

Folie 21: Beispiel. Bestimmen Sie die Kardinalität, welche der Mengen A = (1, 3, 5, 7, 9) oder B = (2, 4, 6, 8) größer ist

Lösung. Das Konzept der Kardinalität endlicher Mengen ermöglicht es uns, sie anhand der Anzahl der Elemente zu vergleichen. Wenn also A = (1, 3, 5, 7, 9) und B = (2, 4, 6, 8), dann ist m (A) = 5 und m (B) = 4 und daher m (A ) > m (B).

Folie 22: Beziehungen zwischen Mengen

Die Beziehungen zwischen Mengen werden anhand spezieller Zeichnungen, sogenannter EULER-KREISE (oder Euler-Venn-Diagramme), visuell dargestellt. Stellen Sie diese Menge unabhängig davon, wie viele Elemente sie enthält, in Form von Kreisen oder anderen geschlossenen Kurven (Figuren) dar.

Folie 23

Bei der grafischen Darstellung von Mengen ist es zweckmäßig, Venn-Diagramme zu verwenden, in denen die universelle Menge normalerweise als Rechteck und die übrigen Mengen als in diesem Rechteck eingeschlossene Ovale dargestellt werden

Folie 24

Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn irgendein Element der Menge A zur Menge B gehört. Diese Abhängigkeit zwischen Mengen wird Inklusion genannt. In diesem Fall schreiben sie A  B, wobei  das Einbettungszeichen der Teilmenge ist.

Folie 25: Eigenschaften von Mengen

Jede Menge ist eine Teilmenge ihrer selbst (Reflexivität): A  B. Für alle Mengen A, B, C gilt die Transitivitätseigenschaft: wenn und dann. Für jede Menge A ist die leere Menge  ihre Teilmenge:   A

Folie 26

Zwei Mengen A und B heißen gleich (A = B), wenn sie aus den gleichen Elementen bestehen, das heißt, jedes Element der Menge A ist ein Element der Menge B und umgekehrt ist jedes Element der Menge B ein Element der Menge A . Beispiele 1.,. Die Mengen und bestehen aus den gleichen Elementen, sind also gleich: A = B. 2. Die Menge der Lösungen der Gleichung ist die Menge der Zahlen 2 und 3, also. Die Menge B der Primzahlen kleiner als 5 besteht also auch aus den Zahlen 2 und 3.

Folie 27: Anzahl der Teilmengen

Wenn die Kardinalität einer Menge n ist, dann hat diese Menge 2 n Teilmengen. A= (1,2) Teilmengen von A: ( ), ( 1), ( 2), ( 1,2).

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B= (1,3,5) Teilmengen B: (), (1), (3), (5), (1,3), (1,5), (5,3), (1,3 ,5) C = ( a, u, e, o ) Teilmengen von C: (  ), ( a ), ( and ), ( e ), ( o ), ( a, u ), ( a, e ), ( a,o ), ( u, e ), ( u, o ), ( e, o ), ( a, u, e ), ( a, u, o ), ( a, e, o ), ( und , e,o ), ( a,i,e,o ). Anzahl der Teilmengen

Folie 29: Operationen festlegen

Der Schnittpunkt (Produkt) der Mengen A und B ist die Menge A ∩ B, deren Elemente sowohl zur Menge A als auch zur Menge B gehören. A ∩ B = ( x│ xєA und x єB)

Folie 30

Wenn zum Beispiel A = ( a, b, c ), B = ( b, c, f, e ), dann A ∩ B = ( b ) Operationen am Mengenschnittpunkt

Folie 31: Operationen festlegen

Folie 32

Die Vereinigung (Summe) zweier Mengen A und B ist die Menge A B, die aus allen zu A oder B gehörenden Elementen besteht. Operationen auf Mengen A U B = (x│xєA oder x єB)

Folie 33: Vereinigung

Wenn zum Beispiel A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), dann ist A  B = (1,2,3,4,5,6) 1 2 4 A 4 3 5 6 B Set-Operationen

Folie 34: Operationen festlegen

Folie 35: Operationen festlegen

Die Differenz der Mengen A und B ist die Menge A-B, deren Elemente zur Menge A, aber nicht zur Menge B gehören. Operationen an Mengen

Folie 36: Unterschied

Wenn beispielsweise A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), dann ist A\B = (1,2) 1 2 4 A 4 3 5 6 B Mengenoperationen

ICH. Das Konzept der Menge.

Die Mengenlehre wurde am 7. Dezember 1873 geboren. Der Begründer dieser Theorie ist der deutsche Mathematiker und Philosoph Georg Cantor (1845–1918). Ihn interessierte die Frage, welche Zahlen größer sind – natürliche oder reelle? In einem seiner Briefe an seinen Freund Richard Dedekind schrieb Cantor, dass er durch Mengen beweisen konnte, dass es mehr reelle als natürliche Zahlen gibt. Der Tag, an dem dieser Brief datiert wurde, wird von Mathematikern als Geburtstag der Mengenlehre angesehen.

Was genau sind Sets? „Vieles ist Vieles, als Eins gedacht“ (G. Kantor). Der Begriff einer Menge ist so einfach, im Alltag akzeptiert und auf die Mathematik übertragen, dass er zwar nicht definiert, aber anhand von Beispielen erklärt werden kann: viele Städte, viele Bundesländer, viele Studenten. Objekte, Objekte, die eine gegebene Menge bilden, werden als ihre bezeichnet Elemente. In der Mathematik werden nur solche Mengen betrachtet, die klar definierte Eigenschaften haben und aus Elementen bestehen, die einige gemeinsame Eigenschaften haben.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Mengen zu bezeichnen. Sie können alle Elemente einer Menge in geschweifte Klammern umschreiben.

Gleichzeitig sehen wir deutlich, aus welchen Elementen das Set besteht. Diese Notation ist jedoch unpraktisch, wenn man Mengen mit einer großen Anzahl von Elementen oder Mengen beschreibt, deren Anzahl an Elementen nicht vollständig aufgelistet werden kann, also unendliche Mengen. Beispielsweise ist es unmöglich, alle Elemente einer durch 10 teilbaren Zahlenmenge aufzuschreiben. In diesem Fall wird die Menge folgendermaßen geschrieben:

Um die Arbeit mit Mengen zu erleichtern, werden sie mit einem Großbuchstaben gekennzeichnet.

Wenn eine Menge kein einzelnes Element enthält, wird sie aufgerufen leeres Set und ist angegeben? . Es gibt zum Beispiel eine Reihe geflügelter Wale und eine leere Reihe.

Auch Mengen selbst können Elemente einer Menge sein

Gegeben sei eine Menge. Element 3 gehört zur Menge IN, wird es als bezeichnet. Element 8 gehört nicht zur Menge IN, dies wird durch angezeigt.

Übungen

II. Gleichheit der Mengen.

Ein sehr wichtiges Merkmal einer Menge ist, dass sie keine identischen Elemente enthält, oder besser gesagt, dass sie sich alle voneinander unterscheiden. Das bedeutet, dass Sie so viele identische Elemente schreiben können, wie Sie möchten, diese jedoch als eins fungieren. Das heißt, eine Menge kann nicht dieselben Elemente in mehreren Versionen enthalten. Angenommen, wir haben die Menge aufgeschrieben. In diesem Satz wird Element 7 mehrmals wiederholt, wir betrachten es jedoch als eins. Deshalb wird unsere Menge sein.

Betrachten wir zwei Mengen und . Diese Mengen bestehen aus den gleichen Elementen, obwohl sie in unterschiedlicher Reihenfolge geschrieben sind. Solche Mengen heißen gleich. Also zwei Mengen sind gleich, wenn sie die gleichen Elemente enthalten.

Übungen

III. Teilmenge.

Betrachten Sie viele Tage in einer Woche. Schreiben wir es auf.

Jetzt wählen wir nur Arbeitstage aus. Sie bilden eine Vielzahl.

Mal sehen, in welcher Beziehung die Menge steht R, angesichts seiner Elemente, in Bezug auf die Menge S. Sie können feststellen, dass alle Elemente des Sets R in vielen enthalten S. Es gibt also viele R ist Teil des Sets S oder Teilmenge. Deshalb, wenn jeden Element einer Menge R ist zugleich Element der Menge S, dann können wir das sagen R – Teilmenge Sätze S. Es wird wie folgt bezeichnet. Die Menge selbst S ist auch eine eigene Teilmenge. Es ist sehr wichtig zu beachten, dass die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist. Das heißt, wenn wir alle Teilmengen der Menge aufschreiben müssen, schreiben wir: .

Übungen

1. Gegebene Mengen:

ein Haufen A Schüler der 5. Klasse unserer Schule;
ein Haufen IN alle Schüler unserer Schule;
ein Haufen MIT Schüler der 5. Klasse unserer Schule besuchen das Schwimmbad;
ein Haufen E alle Schulkinder der Stadt Nowokusnezk;
ein Haufen ZU Schüler der 5. Mathematikklasse unserer Schule.

Ist es wahr dass:

ein Haufen A ist eine Teilmenge der Menge IN;
ein Haufen A ist eine Teilmenge der Menge ZU;
ein Haufen IN ist eine Teilmenge der Menge E;
ein Haufen ZU ist eine Teilmenge der Menge MIT;

Schreiben Sie mit dem Zeichen I die Namen der Mengen in einer solchen Reihenfolge auf, dass jede nachfolgende Menge eine Teilmenge der vorherigen Menge ist.

2. Für viele Schreiben Sie alle Teilmengen auf.

IV. Schnittpunkt von vielen.

Betrachten Sie zwei Sätze Und . Lassen Sie uns ein neues Set erstellen MIT, in die wir die gemeinsamen Elemente der Mengen schreiben A Und IN. Gemeinsam sind ihnen die Elemente 5 und 6, also . Ein Haufen MIT angerufen Überschneidung Sätze A Und IN. Es wird wie folgt bezeichnet:

Der Schnittpunkt der Mengen A und B ist eine neue Menge, die nur diejenigen Elemente enthält, die gleichzeitig sowohl zu Menge A als auch zu Menge B gehören.

Lassen R– viele Schüler im Mathematikunterricht an unserer Schule, ZU ist dann die Menge der Schüler der fünften Klasse (durch den Schnittpunkt der Mengen). R Und ZU) wird es viele Mathematikschüler der fünften Klasse geben.

Die Mengen haben kein einziges gemeinsames Element, daher ist ihr Schnittpunkt die leere Menge O

Übungen

1. Mengen sind gegeben. Finde einen) ; B) ; V) ; G) .

2. Finden Sie, ob a) ; B)

V. Vereinigung von Mengen.

Nehmen wir die gleichen zwei Sätze Und . Jetzt erstellen wir ein Set E wie folgt: Wir schreiben die Elemente hinein, die zu mindestens einer der Mengen gehören A Und IN. Wir bekommen eine Menge davon. Ein Haufen E nennt man die Vereinigung von Mengen A Und IN. Festgelegt

Die Vereinigung der Mengen A und B ist eine neue Menge, die nur aus denjenigen Elementen besteht, die zu mindestens einer der Mengen A oder B gehören.

Übungen

1. Mengen sind gegeben. Finden: A) ; B) ; V) ; G) .

2. Finden Sie, ob und .

3. Gegebene Mengen. Finden: A) ; B) ; V) ;
G) .

VI. Unterschied der Sätze.

Nehmen wir die bereits bekannten Sets Und . Lassen Sie uns ein neues Set erstellen F in die wir die Elemente der Menge schreiben A, nicht im Set enthalten IN. . Ein Haufen F Mengendifferenz genannt A Und IN. Festgelegt A\ IN= F.

Die Differenz zweier Mengen A und B ist eine Menge, die alle Elemente aus Menge A enthält, die nicht zu Menge B gehören.

Es ist wichtig zu beachten, dass Sie beim Subtrahieren von Sätzen diese nicht vertauschen können. Beim Finden des Unterschieds IN\ A Wir werden die Elemente der Menge in die neue Menge schreiben IN, die nicht zur Menge gehören A. Bedeutet IN\A =.

Übungen

Es werden Sätze angegeben. Finde einen) ; B) ; V) ; G) .

Finden und wenn und .

Es werden Sätze angegeben. Finde einen) ; B) ; V) ;
G)

VII. Euler-Kreise.

Einer der größten Mathematiker der St. Petersburger Akademie, Leonard Euler (1707–1783), verfasste im Laufe seines langen Lebens mehr als 850 wissenschaftliche Arbeiten. In einem von ihnen entstanden Kreise, die „sehr geeignet sind, unsere Überlegungen zu erleichtern.“ Diese Kreise wurden aufgerufen Euler-Kreise. Mit Hilfe dieser Kreise lassen sich Operationen auf Mengen bequem geometrisch veranschaulichen. Die Figuren zeigen Abbildungen von Aktionen an Sets. Sie können nicht nur Kreise, sondern auch Ovale, Rechtecke und andere geometrische Formen zeichnen. Jungs. Im „mathematischen“ Kreis M Es sind 20 Jungs, was bedeutet, dass sie sich in dem Teil des „biologischen“ Kreises befinden, der außerhalb des Kreises liegt M, es gibt Biologen, die den Matheclub nicht besuchen. Der Rest der Biologen, ihr Mann, befindet sich im allgemeinen Teil der Kreise MB. Somit interessieren sich 6 Biologen für Mathematik.

Antwort. 6 Biologen interessieren sich für Mathematik .

Übungen

Die Klasse besteht aus 29 Schülern. Jeder von ihnen lernt mindestens eine Sprache – Englisch oder Deutsch. 18 Personen lernen Englisch, 15 Personen lernen Deutsch. Wie viele Menschen lernen zwei Sprachen, sowohl Deutsch als auch Englisch?
Die Klasse besteht aus 29 Schülern. Davon studieren 16 Musik, 21 besuchen einen Mathe-Club; 4 machen keine Musik und besuchen keinen Mathe-Club. Wie viele Schüler besuchen nur den Mathe-Club? Wie viele Mathematiker studieren auch Musik?
Im Pionierlager leben 70 Kinder. Davon engagieren sich 27 im Schauspielverein, 32 singen im Chor, 22 sind sportbegeistert. Es gibt 10 Jungs vom Chor im Theaterclub, 6 Athleten im Chor, 8 Athleten im Theaterclub; 3 Athleten besuchen sowohl den Theaterclub als auch den Chor. Wie viele Kinder singen nicht, interessieren sich nicht für Sport, nehmen nicht an einem Theaterclub teil? Wie viele Männer treiben nur Sport?
Die Klasse besteht aus 38 Personen. Davon spielen 16 Personen Basketball, 17 Personen Hockey und 18 Personen Volleyball. Sie lieben zwei Sportarten – Basketball und Hockey für 4 Personen, Basketball und Volleyball für 3 Personen, Volleyball und Hockey für 5 Personen. Drei interessieren sich nicht für Basketball, Volleyball oder Hockey. Wie viele Kinder interessieren sich gleichzeitig für drei Sportarten?

Fragen für den thematischen Test zum Thema
„Elemente der Mengenlehre“

Erforderliche Fähigkeiten: Schnittpunkt, Vereinigung, Differenz von Mengen auf Eulerkreisen zeigen; Schnittmenge, Vereinigung, Mengendifferenz finden, kombinierte Beispiele lösen; Lösen Sie einfache Probleme mit Euler-Kreisen.

Mengen werden normalerweise mit groß bezeichnet
Buchstaben: A,B,X N ,..., und ihre Elemente sind
in entsprechenden Kleinbuchstaben: a,b,x,n...
Insbesondere werden folgende Notationen übernommen:
ℕ – Menge natürlicher Zahlen;
ℤ – Menge von ganzen Zahlen;
ℚ – Menge rationaler Zahlen;
ℝ – Menge reeller Zahlen (numerisch
gerade).
– eine Menge komplexer Zahlen. Und das stimmt
Folgendes:
N Z Q R C

Typischerweise werden die Elemente einer Menge bezeichnet
in Kleinbuchstaben und die Sets selbst in Großbuchstaben.
Zugehörigkeit
Element
M
viele
M
wie folgt bezeichnet: m M, wo das Vorzeichen ist
Stilisierung des ersten Buchstabens eines griechischen Wortes
(ist zu sein),
Nicht-Eigentumszeichen:

Mengen können endlich, unendlich und sein
leer.
Eine Menge, die eine endliche Anzahl von Elementen enthält
heißt endgültig.
Wenn die Menge kein einzelnes Element enthält, dann
es heißt leer und wird mit Ø bezeichnet.
Zum Beispiel:
die Menge der Erstsemesterstudierenden ist eine endliche Menge;
Die Anzahl der Sterne im Universum ist unendlich
ein Haufen;
ein Haufen
Studenten,
Bußgeld
kenntnisreich
drei
ausländisch
Sprache
(Japanisch,
Chinesisch
Und
Französisch), offenbar ein leerer Satz.

Methoden zur Angabe von Mengen

Es gibt drei Möglichkeiten, Mengen zu definieren:
1) Beschreibung des Sets
Beispiele: Y=(yΙ1≤y ≤10) – Wertemenge y von
Segment
X=(xIx>2) – die Menge aller Zahlen x größer als 2.
2) Aufzählung der Menge
Beispiele:
A = (a, b, c) – drei Anfangsbuchstaben des Russischen
Alphabet
N=(1,2,3…)-natürliche Zahlen
3) Die grafische Definition von Mengen erfolgt mit
unter Verwendung von Euler-Venn-Diagrammen

Gegeben sind zwei Sätze:
Und
Wenn es nur wenige Elemente der Mengen gibt, dann
Sie können im Diagramm explizit angegeben werden.

Menge A heißt Teilmenge von Menge B
(bezeichnet mit A B), wenn jedes Element
Menge A ist ein Element von Menge B:
siehe Abbildung 1.1
Reis. 1.1
In diesem Fall sagen wir, dass B A enthält oder dass B A überdeckt
Nichtaufnahme von Satz C in Satz B,
wie folgt bezeichnet:

Die Mengen A und B sind genau dann gleich (A=B).
dann wenn A B und B A, also Elemente der Mengen
A und B sind gleich.
Beispiel: A=(1,2,3), B=(3,2,1), C=(1,2,3,3) sind gleich.
Menge C ist nur darin Menge A
Element 3 wird zweimal geschrieben.
Beispiel: A=(1,2), B=(1,2,3) – SIND NICHT GLEICH
Eine Mengenfamilie ist eine Menge
deren Elemente selbst Mengen sind.
Beispiel: A=((Ø),(1,2),(3,4,5)) – Familie bestehend
aus drei Sätzen.
Jede nichtleere Teilmenge A≠ Ø hat
mindestens zwei verschiedene Teilmengen: sich selbst
Satz aus A und Ø.

Ein Haufen
A
angerufen
eigen
eine Teilmenge der Menge B, wenn A B und B A ist.
Es wird wie folgt bezeichnet: A B.
Zum Beispiel,
Es wird allgemein angenommen, dass die leere Menge vorhanden ist
eine Teilmenge einer beliebigen Menge.
Die Kardinalität einer endlichen Menge M ist die Zahl
seine Elemente. Bezeichnet mit M
Zum Beispiel ist B =6. A =3.

Operationen festlegen

Die Vereinigung (Summe) der Mengen A und B
(bezeichnet mit A B) heißt die Menge C
Elemente, von denen jedes zwar dazugehört
einer der Sätze A oder B. Drei sind möglich
Fall:
1) A=B;
2) Mengen haben gemeinsame Elemente;
3) Mengen haben keine gemeinsamen Elemente.
Beispiele:
1)A=(1,2,3), B= (1,2,3), dann A B= (1,2,3).

A B=(1,2,3,4,5,6)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), dann A B=(1,2,3,4,6,8)

Die betrachteten Fälle sind eindeutig
in der Abbildung dargestellt
A, B
A
IN
A
IN

Der Schnittpunkt der Mengen A und B
heißt die neue Menge C,
das nur aus Elementen besteht
gleichzeitig dazu gehören
setzt A, B
Bezeichnung C=A B
Drei Fälle sind möglich:
1) A=B
2) Mengen haben gemeinsame Elemente
3) Die Mengen haben keine Gemeinsamkeit
Elemente.

Beispiele:
1)A=(1,2,3), B= (1,2,3), dann A B=
{1,2,3}.
2)A=(1,2,3), B=(2,3,4,5,6), dann
A B=(2.3)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), dann A B=

Die Differenz der Mengen A und B heißt
Menge C bestehend aus Elementen
gehört nur zur Menge A und
gehört nicht zu V.
Bezeichnung: C=A\B

Gegeben sind zwei Sätze:
A=(1,2,3,b,c,d),B=(2,b,d,3).
Dann:
A B=(1,2,3,b,c,d)
B Teilmenge A
A/B=(1,c)
A B=(2,3,b,d)

Eigenschaften:
1. Kommutativität der Vereinigung A B=B A
2. Kommutativität des Schnittpunkts A B=B A
3. Kombinationsgesetz A (B C)=B (A C)
4. Das Gleiche gilt für die Kreuzung.
5. Verteilung relativ zur Schnittmenge
A (B C) = A B A C
6. Distributiv in Bezug auf Assoziation
A (B C) = (A B) (A C)
7. Absorptionsgesetz A (A B) = A
8. Absorptionsgesetz A (A B)=A
9. A A=A
10. A A=A

Das kartesische (direkte) Produkt von A und B ist
eine neue Menge C bestehend aus geordnet
Paare, aus denen das erste Element des Paares entnommen wird
Satz A und der zweite aus B.
A=(1,2,3)
V=(4,5)
C=A B = ((1.4);(1.5);(2.4);(2.5);(3.4);(3.5))
Die Potenz des kartesischen Produkts ist gleich
das Produkt der Potenzen der Mengen A und B:
A B = A ∙ B

A B ≠ B A, außer wenn A=B (in diesem Fall
Gleichheit ist erfüllt)
Gegeben:
Numerische Koordinatenachse X.x (- ,+).
Koordinate der numerischen Achse Y.y (- ,+).
D=X Y
Kartesisches Produkt zweier Achsen - Punkt
auf der Oberfläche.
Betrachten Sie das kartesische Produkt,
der das Eigentum hat
Kommutativität. A=(Iwanow, Petrow)
B=(groß, dünn, stark)
A B = Ivanov ist groß, Ivanov ist dünn,
Ivanov ist stark, Petrov ist groß, Petrov
dünn, Petrov stark