Kosinussatz. Visueller Leitfaden (2019)
Aussage des Kosinussatzes
Für ein ebenes Dreieck mit den Seiten a,b,c und dem Winkel α gegenüber der Seite a gilt die folgende Beziehung:
Nützliche Formeln des Kosinussatzes:
Wie Sie oben sehen können, können Sie mit dem Kosinussatz nicht nur die Länge zweier Seiten eines Dreiecks und den Winkel zwischen ihnen ermitteln, sondern auch die Kosinuswerte aller Seiten bestimmen, indem Sie die Größe aller Seiten des Dreiecks kennen Winkel und berechnen Sie auch die Größe eines beliebigen Winkels des Dreiecks. Die Berechnung eines beliebigen Winkels eines Dreiecks anhand seiner Seiten ist eine Folge der Transformation der Formel des Kosinussatzes.
Beweis des Kosinussatzes
Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC. Nehmen wir an, wir kennen die Größe der Seite AC (sie entspricht einer bestimmten Zahl b), die Größe der Seite AB (sie entspricht einer bestimmten Zahl c) und den Winkel zwischen diesen Seiten, dessen Wert ist gleich α. Ermitteln wir die Größe der Seite BC (bezeichnend für ihre Länge durch die Variable a).
Zum Beweis Kosinussätze Lassen Sie uns zusätzliche Konstruktionen durchführen. Vom Scheitelpunkt C zur Seite AB verringern wir die Höhe CD.
Lassen Sie uns die Länge der Seite AB ermitteln. Wie aus der Abbildung hervorgeht, können wir dies aufgrund der zusätzlichen Konstruktion sagen
AB = AD + BD
Lassen Sie uns die Länge des Segments AD ermitteln. Basierend auf der Tatsache, dass das Dreieck ADC rechtwinklig ist und wir die Länge seiner Hypotenuse (b) und den Winkel (α) kennen, kann die Größe der Seite AD aus dem Verhältnis ihrer Seiten unter Verwendung der Eigenschaften trigonometrischer Funktionen ermittelt werden in einem rechtwinkligen Dreieck:
AD/AC = cos α
Wo
AD = AC cos α
AD = b cos α
Wir ermitteln die Länge der Seite BD als Differenz zwischen AB und AD:
BD = AB – AD
BD = c − b cos α
Schreiben wir nun den Satz des Pythagoras für zwei rechtwinklige Dreiecke ADC und BDC auf:
für Dreieck BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
für Dreieck-ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2
Beachten wir, dass beide Dreiecke eine gemeinsame Seite haben – CD. Bestimmen wir seine Länge für jedes Dreieck – geben Sie seinen Wert auf die linke Seite des Ausdrucks und den Rest auf die rechte Seite ein.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - AD 2
Da die linken Seiten der Gleichungen (das Quadrat der Seite CD) gleich sind, setzen wir die rechten Seiten der Gleichungen gleich:
BC 2 – BD 2 = AC 2 – AD 2
Aufgrund der zuvor durchgeführten Berechnungen wissen wir bereits Folgendes:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. = b(nach Bedingung)
Und wir bezeichnen den Wert der Seite BC als A.
BC=a
(Das müssen wir finden)
BC 2 – BD 2 = AC 2 – AD 2
Ersetzen wir die Buchstabenbezeichnungen der Seiten durch die Ergebnisse unserer Berechnungen
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
Verschieben Sie den unbekannten Wert (a) auf die linke Seite und die restlichen Teile der Gleichung nach rechts
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
Öffnen wir die Klammern
a 2 = b 2 + c 2 – 2c b cos α + (b cos α) 2 – (b cos α) 2
wir bekommen
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α
Der Kosinussatz ist bewiesen.
Nicht alle Schulkinder und insbesondere Erwachsene wissen, dass der Kosinussatz in direktem Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras steht. Genauer gesagt handelt es sich bei Letzterem um einen Sonderfall des Ersteren. Dieser Punkt sowie zwei Möglichkeiten, den Kosinussatz zu beweisen, werden Ihnen helfen, eine sachkundigere Person zu werden. Darüber hinaus fördert das Üben des Ausdrückens von Mengen aus anfänglichen Ausdrücken das logische Denken gut. Die lange Formel des untersuchten Theorems wird Sie definitiv dazu zwingen, hart zu arbeiten und sich zu verbessern.
Ein Gespräch beginnen: Einführung in die Notation
Dieser Satz wird für ein beliebiges Dreieck formuliert und bewiesen. Daher kann es immer und in jeder Situation verwendet werden, wenn zwei Seiten, in manchen Fällen auch drei, und ein Winkel und nicht unbedingt zwischen ihnen vorhanden sind. Unabhängig von der Art des Dreiecks funktioniert der Satz immer.
Und nun zur Bezeichnung von Mengen in allen Ausdrücken. Es ist besser, sofort zuzustimmen, um später nicht mehrmals erklären zu müssen. Zu diesem Zweck wurde die folgende Tabelle zusammengestellt.
Formulierung und mathematische Notation
Der Kosinussatz wird also wie folgt formuliert:
Das Quadrat einer Seite eines beliebigen Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate seiner beiden anderen Seiten minus dem Doppelten des Produkts dieser Seiten und dem Kosinus des zwischen ihnen liegenden Winkels.
Natürlich ist es lang, aber wenn Sie das Wesentliche verstehen, können Sie es sich leicht merken. Sie können sich sogar vorstellen, ein Dreieck zu zeichnen. Es ist immer einfacher, sich visuell zu erinnern.
Die Formel dieses Theorems sieht folgendermaßen aus:
Etwas lang, aber alles ist logisch. Wenn man etwas genauer hinschaut, erkennt man, dass sich die Buchstaben wiederholen, was bedeutet, dass es nicht schwer ist, sie sich zu merken.
Gemeinsamer Beweis des Theorems
Da dies für alle Dreiecke gilt, können Sie für die Argumentation jeden beliebigen Typ wählen. Lass es eine Figur mit allen scharfen Winkeln sein. Betrachten wir ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck, dessen Winkel C größer als der Winkel B ist. Von der Spitze mit diesem großen Winkel müssen Sie eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite absenken. Die gezeichnete Höhe teilt das Dreieck in zwei rechteckige Teile. Dies wird zum Nachweis benötigt.
Die Seite wird in zwei Segmente unterteilt: x, y. Sie müssen in bekannten Größen ausgedrückt werden. Der Teil, der in einem Dreieck mit einer Hypotenuse gleich b endet, wird durch die Notation ausgedrückt:
x = b * cos A.
Der andere wird dieser Differenz entsprechen:
y = c - in * cos A.
Jetzt müssen Sie den Satz des Pythagoras für die beiden resultierenden rechtwinkligen Dreiecke aufschreiben und dabei die Höhe als unbekannten Wert verwenden. Diese Formeln sehen folgendermaßen aus:
n 2 = in 2 - (in * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Diese Gleichungen enthalten links dieselben Ausdrücke. Das bedeutet, dass auch ihre rechten Seiten gleich sind. Es ist einfach, es aufzuschreiben. Jetzt müssen Sie die Klammern öffnen:
in 2 - in 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * in * cos A - in 2 * (cos A) 2.
Wenn Sie hier die Übertragung und Reduktion ähnlicher Terme durchführen, erhalten Sie die Ausgangsformel, die nach der Formulierung geschrieben wird, also den Kosinussatz. Der Beweis ist vollständig.
Beweis des Satzes mit Vektoren
Es ist viel kürzer als das vorherige. Und wenn Sie die Eigenschaften von Vektoren kennen, ist der Kosinussatz für ein Dreieck einfach zu beweisen.
Wenn die Seiten a, b, c durch die Vektoren BC, AC bzw. AB bezeichnet werden, dann gilt die Gleichheit:
BC = AC - AB.
Jetzt müssen Sie einige Schritte ausführen. Die erste davon ist die Quadrierung beider Seiten der Gleichheit:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Dann muss die Gleichheit in Skalarform umgeschrieben werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass das Produkt der Vektoren gleich dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen und ihren Skalarwerten ist:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Es bleibt nur noch, zur alten Notation zurückzukehren, und schon erhalten wir den Kosinussatz:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Formeln für andere Seiten und alle Winkel
Um die Seite zu finden, müssen Sie die Quadratwurzel aus dem Kosinussatz ziehen. Die Formel für die Quadrate einer der anderen Seiten sieht folgendermaßen aus:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Den Ausdruck für das Quadrat einer Seite schreiben V, müssen Sie in der vorherigen Gleichheit ersetzen Mit An V, und umgekehrt, und setzen Sie den Winkel B unter den Kosinus.
Aus der Grundformel des Satzes können wir den Wert des Kosinus des Winkels A ausdrücken:
cos A = (in 2 + c 2 - a 2) / (2 in * c).
Formeln für andere Winkel werden auf ähnliche Weise abgeleitet. Es empfiehlt sich, sie selbst zu schreiben.
Natürlich ist es nicht nötig, diese Formeln auswendig zu lernen. Es reicht aus, den Satz zu verstehen und diese Ausdrücke aus seiner Hauptnotation ableiten zu können.
Die ursprüngliche Formel des Satzes ermöglicht es, die Seite zu finden, wenn der Winkel nicht zwischen zwei bekannten Winkeln liegt. Zum Beispiel müssen Sie finden V, wenn die Werte angegeben sind: a, c, A. Oder unbekannt Mit, aber es gibt Bedeutungen a, b, A.
In dieser Situation müssen Sie alle Terme der Formel nach links verschieben. Sie erhalten die folgende Gleichheit:
с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.
Schreiben wir es in einer etwas anderen Form um:
c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.
Sie können die quadratische Gleichung leicht erkennen. Da ist eine unbekannte Menge drin - Mit, und der Rest ist gegeben. Daher reicht es aus, es mit einer Diskriminante zu lösen. Auf diese Weise wird die unbekannte Seite gefunden.
Die Formel für die zweite Seite ergibt sich auf ähnliche Weise:
in 2 - (2 * c * cos A) * in + (c 2 - a 2) = 0.
Aus anderen Ausdrücken lassen sich solche Formeln auch leicht unabhängig voneinander erhalten.
Wie kann man die Art des Winkels herausfinden, ohne den Kosinus zu berechnen?
Wenn Sie sich die zuvor abgeleitete Winkelkosinusformel genau ansehen, werden Sie Folgendes bemerken:
- der Nenner eines Bruchs ist immer eine positive Zahl, da er das Produkt von Seiten enthält, die nicht negativ sein können;
- Der Wert des Winkels hängt vom Vorzeichen des Zählers ab.
Winkel A wird sein:
- akut in einer Situation, in der der Zähler größer als Null ist;
- dumm, wenn dieser Ausdruck negativ ist;
- direkt, wenn es gleich Null ist.
Übrigens verwandelt die letztere Situation den Kosinussatz in den Satz des Pythagoras. Denn für einen Winkel von 90° ist sein Kosinus null und der letzte Term verschwindet.
Erste Aufgabe
Zustand
Der stumpfe Winkel eines beliebigen Dreiecks beträgt 120°. Über die Seiten, durch die es begrenzt ist, ist bekannt, dass eine davon 8 cm größer ist als die andere. Die Länge der dritten Seite ist bekannt, sie beträgt 28 cm. Es ist erforderlich, den Umfang des Dreiecks zu ermitteln.
Lösung
Zuerst müssen Sie eine der Seiten mit dem Buchstaben „x“ markieren. In diesem Fall ist der andere gleich (x + 8). Da es für alle drei Seiten Ausdrücke gibt, können wir die Formel des Kosinussatzes verwenden:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
In den Tabellen für Kosinus müssen Sie den Wert finden, der 120 Grad entspricht. Dies ist die Zahl 0,5 mit einem Minuszeichen. Jetzt müssen Sie die Klammern nach allen Regeln öffnen und ähnliche Begriffe einfügen:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Diese quadratische Gleichung wird gelöst, indem die Diskriminante ermittelt wird, die gleich ist:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Da ihr Wert größer als Null ist, hat die Gleichung zwei Wurzelantworten.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
Die letzte Wurzel kann nicht die Lösung des Problems sein, da die Seite positiv sein muss.
Was ist der Kosinussatz? Stellen Sie sich Folgendes vor ... Satz des Pythagoras für ein beliebiges Dreieck.
Der Kosinussatz: Formulierung.
Der Kosinussatz besagt: Das Quadrat einer beliebigen Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten des Dreiecks minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Und jetzt erkläre ich, warum das so ist und was der Satz des Pythagoras damit zu tun hat.
Was sagt schließlich der Satz des Pythagoras?
Was passiert, wenn es beispielsweise scharf ist?
Was ist, wenn ich dumm bin?
Jetzt werden wir es herausfinden, oder besser gesagt, wir werden es zunächst formulieren und dann beweisen.
Für jedes (spitzwinklige, stumpfwinklige und sogar rechteckige!) Dreieck gilt also: Kosinussatz.
Kosinussatz:
Was ist und?
kann aus einem Dreieck (Rechteck!) ausgedrückt werden.
Und hier ist es (von noch einmal).
Ersetzen wir:
Wir verraten:
Wir nutzen, was wir haben und... das ist alles!
2 Fall: let.
Also, das ist dumm.
Und nun, Achtung, der Unterschied!
Das ist von, was jetzt draußen ist, und
Daran erinnern wir uns
(Lesen Sie das Thema, wenn Sie völlig vergessen haben, warum das so ist.)
Das war's! Der Unterschied ist vorbei!
So wie es war, heißt das:
Nun, es gibt noch einen letzten Fall.
3 Fall: lassen.
Also, . Aber dann verwandelt sich der Kosinussatz einfach in den Satz des Pythagoras:
Bei welchen Problemen ist der Kosinussatz nützlich?
Nun, zum Beispiel, wenn ja Gegeben sind zwei Seiten eines Dreiecks und der Winkel zwischen ihnen, dann du sofort Können Sie einen Dritten finden?.
Oder wenn Sie alle drei Seiten sind gegeben, dann werden Sie es sofort finden Kosinus beliebiger Winkel gemäß der Formel
Und selbst wenn du gegeben sind zwei Seiten und ein Winkel NICHT zwischen ihnen, dann kann die dritte Seite auch durch Lösen einer quadratischen Gleichung gefunden werden. Es stimmt, in diesem Fall erhält man manchmal zwei Antworten und muss sich für eine entscheiden oder beide lassen.
Probieren Sie es aus und haben Sie keine Angst – der Kosinussatz ist fast so einfach anzuwenden wie der Satz des Pythagoras.
Satz des Kosinus. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE
Kosinussatz: Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen:
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Kosinussatz ist ein Satz der euklidischen Geometrie, der den Satz des Pythagoras verallgemeinert.
Kosinussatz:
Für ein ebenes Dreieck, dessen Seiten A, B, C und Winkel α , die der Seite gegenüberliegt A gilt folgende Beziehung:
A 2 = B 2 + C 2 - 2 v. Chr cosα.
Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden Seiten minus dem doppelten Produkt dieser Seiten und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.
Folgerung des Kosinussatzes.
- Zur Bestimmung wird der Kosinussatz verwendet cos Dreieckswinkel:
Um genau zu sein:
- Wann B 2 + C 2 - A 2 > 0 , Ecke α wird scharf sein;
- Wann B 2 + C 2 - A 2 = 0 , Ecke α wird gerade sein (wenn der Winkel α ist direkt, was bedeutet, dass der Kosinussatz in den Satz des Pythagoras übergeht);
- Wann B 2 + C 2 - A 2 < 0 , Ecke α wird dumm sein.
Klassischer Beweis des Kosinussatzes.
Lass es ein Dreieck sein ABC. Von oben C auf die Seite AB die Höhe gesenkt CD. Bedeutet:
AD = b cos α,
DB = c – b cos α
Wir schreiben den Satz des Pythagoras für 2 rechtwinklige Dreiecke auf ADC Und BDC:
h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)
h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)
Wir setzen die rechten Seiten der Gleichungen (1) und (2) gleich:
b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α.
Wenn einer der Winkel an der Basis stumpf ist (die Höhe grenzt an die Fortsetzung der Basis), ist dies dem oben besprochenen völlig ähnlich.
Bestimmen Sie die Parteien B Und C:
b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos γ.
An einem Punkt zentriert A.
α
- Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.
Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des gegenüberliegenden Schenkels |BC| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.
Akzeptierte Notationen
;
;
.
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;
.
Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x
Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x
Eigenschaften von Sinus und Cosinus
Periodizität
Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.
Parität
Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.
Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme
Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).
| y = Sünde x | y = weil x | |
| Umfang und Kontinuität | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Wertebereich | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Zunehmend | ||
| Absteigend | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Nullen, y = 0 | ||
| Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Grundformeln
Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus
Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz
;
;
Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus
Summen- und Differenzformeln
Sinus durch Kosinus ausdrücken
;
;
;
.
Kosinus durch Sinus ausdrücken
;
;
;
.
Ausdruck durch Tangente
; .
Wenn wir haben:
;
.
Bei :
;
.
Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens
Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments. 
Ausdrücke durch komplexe Variablen
;
Eulers Formel
Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen
;
;
Derivate
; . Formeln ableiten > > >
Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ <
x < +∞ }
Sekante, Kosekans
Umkehrfunktionen
Die Umkehrfunktionen von Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.
Arkussinus, Arkussinus
Arccosinus, arccos
Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
