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Wie baut man eine Parabel? Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine quadratische Funktion grafisch darzustellen. Jeder von ihnen hat seine Vor- und Nachteile. Betrachten wir zwei Möglichkeiten.

Beginnen wir mit der Darstellung einer quadratischen Funktion der Form y=x²+bx+c und y= -x²+bx+c.

Beispiel.

Stellen Sie die Funktion y=x²+2x-3 grafisch dar.

Lösung:

y=x²+2x-3 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Ästen. Koordinaten des Parabelscheitelpunkts

Aus dem Scheitelpunkt (-1;-4) erstellen wir einen Graphen der Parabel y=x² (vom Koordinatenursprung aus. Anstelle von (0;0) - Scheitelpunkt (-1;-4). Aus (-1; -4) wir gehen um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben, dann um 1 nach links und um 1 nach oben; weiter: 2 - rechts, 4 - hoch, 2 - links, 4 - hoch; 3 - rechts, 9 - oben, 3 - links, 9 - oben. Wenn diese 7 Punkte nicht ausreichen, dann 4 nach rechts, 16 nach oben usw.).

Der Graph der quadratischen Funktion y= -x²+bx+c ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind. Um einen Graphen zu konstruieren, suchen wir nach den Koordinaten des Scheitelpunkts und konstruieren daraus eine Parabel y= -x².

Beispiel.

Zeichnen Sie die Funktion y= -x²+2x+8.

Lösung:

y= -x²+2x+8 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen. Koordinaten des Parabelscheitelpunkts

Von oben bauen wir eine Parabel y= -x² (1 - nach rechts, 1 - nach unten; 1 - nach links, 1 - nach unten; 2 - nach rechts, 4 - nach unten; 2 - nach links, 4 - nach unten usw.):

Mit dieser Methode können Sie schnell eine Parabel erstellen und bereiten keine Schwierigkeiten, wenn Sie wissen, wie man die Funktionen y=x² und y= -x² grafisch darstellt. Nachteil: wenn die Scheitelpunktkoordinaten sind Bruchzahlen Das Erstellen eines Diagramms ist nicht sehr praktisch. Wenn Sie es wissen müssen genaue Werte Um die Schnittpunkte des Graphen mit der Ox-Achse zu ermitteln, müssen Sie zusätzlich die Gleichung x²+bx+c=0 (oder -x²+bx+c=0) lösen, auch wenn diese Punkte direkt aus der Zeichnung ermittelt werden können.

Eine andere Möglichkeit, eine Parabel zu konstruieren, ist nach Punkten, das heißt, Sie können mehrere Punkte im Diagramm finden und eine Parabel durch sie zeichnen (wobei zu berücksichtigen ist, dass die Linie x=xₒ ihre Symmetrieachse ist). Normalerweise nehmen sie dazu den Scheitelpunkt der Parabel, die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen und 1-2 zusätzliche Punkte.

Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y=x²+5x+4.

Lösung:

y=x²+5x+4 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit nach oben gerichteten Ästen. Koordinaten des Parabelscheitelpunkts

das heißt, der Scheitelpunkt der Parabel ist der Punkt (-2,5; -2,25).

Sind auf der Suche nach . Am Schnittpunkt mit der Ox-Achse y=0: x²+5x+4=0. Die Wurzeln der quadratischen Gleichung x1=-1, x2=-4, das heißt, wir haben zwei Punkte im Diagramm (-1; 0) und (-4; 0).

Am Schnittpunkt des Graphen mit der Oy-Achse x=0: y=0²+5∙0+4=4. Wir haben den Punkt bekommen (0; 4).

Um die Grafik zu verdeutlichen, finden Sie einen zusätzlichen Punkt. Nehmen wir x=1, dann ist y=1²+5∙1+4=10, das heißt, ein weiterer Punkt im Diagramm ist (1; 10). Wir markieren diese Punkte auf der Koordinatenebene. Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Parabel relativ zur Geraden, die durch ihren Scheitelpunkt verläuft, markieren wir zwei weitere Punkte: (-5; 6) und (-6; 10) und zeichnen eine Parabel durch sie:

Zeichnen Sie die Funktion y= -x²-3x.

Lösung:

y= -x²-3x ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit nach unten gerichteten Ästen. Koordinaten des Parabelscheitelpunkts

Der Scheitelpunkt (-1,5; 2,25) ist der erste Punkt der Parabel.

An den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse y=0, also lösen wir die Gleichung -x²-3x=0. Seine Wurzeln sind x=0 und x=-3, also (0;0) und (-3;0) – zwei weitere Punkte im Diagramm. Der Punkt (o; 0) ist auch der Schnittpunkt der Parabel mit der Ordinatenachse.

Bei x=1 ist y=-1²-3∙1=-4, also (1; -4), ein zusätzlicher Punkt für die Darstellung.

Die Konstruktion einer Parabel aus Punkten ist im Vergleich zur ersten Methode eine arbeitsintensivere Methode. Wenn die Parabel die Ox-Achse nicht schneidet, sind weitere zusätzliche Punkte erforderlich.

Bevor wir mit der Konstruktion von Graphen quadratischer Funktionen der Form y=ax²+bx+c fortfahren, betrachten wir die Konstruktion von Funktionsgraphen mithilfe geometrischer Transformationen. Es ist auch am bequemsten, Graphen von Funktionen der Form y=x²+c mit einer dieser Transformationen zu erstellen – der Paralleltranslation.

Sehen wir uns an, wie man mit einem Modul ein Diagramm erstellt.

Finden wir die Punkte, an deren Übergang sich das Vorzeichen der Module ändert.
Wir setzen jeden Ausdruck unter dem Modul mit 0 gleich. Wir haben zwei davon x-3 und x+3.
x-3=0 und x+3=0
x=3 und x=-3

Unser Zahlenstrahl wird in drei Intervalle (-∞;-3)U(-3;3)U(3;+∞) unterteilt. In jedem Intervall müssen Sie das Vorzeichen der modularen Ausdrücke bestimmen.

1. Dies ist sehr einfach, betrachten Sie das erste Intervall (-∞;-3). Nehmen wir einen beliebigen Wert aus diesem Segment, zum Beispiel -4, und setzen wir den Wert von x in jede der modularen Gleichungen ein.
x=-4
x-3=-4-3=-7 und x+3=-4+3=-1

Beide Ausdrücke haben negative Vorzeichen, was bedeutet, dass wir vor dem Modulzeichen in der Gleichung ein Minuszeichen setzen und anstelle des Modulzeichens Klammern setzen und die erforderliche Gleichung für das Intervall (-∞;-3) erhalten.

y= — (x-3)-( — (x+3))=-x+3+x+3=6

Für das Intervall (-∞;-3) wurde der Graph erstellt lineare Funktion(direkt) y=6

2. Betrachten Sie das zweite Intervall (-3;3). Lassen Sie uns herausfinden, wie die Diagrammgleichung in diesem Segment aussehen wird. Nehmen wir eine beliebige Zahl von -3 bis 3, zum Beispiel 0. Ersetzen Sie den Wert x durch 0.
x=0
x-3=0-3=-3 und x+3=0+3=3

Der erste Ausdruck x-3 hat ein negatives Vorzeichen und der zweite Ausdruck x+3 hat ein positives Vorzeichen. Daher schreiben wir vor dem Ausdruck x-3 ein Minuszeichen und vor dem zweiten Ausdruck ein Pluszeichen.

y= — (x-3)-( + (x+3))=-x+3-x-3=-2x

Auf dem Intervall (-3;3) haben wir einen Graphen einer linearen Funktion (gerade Linie) y=-2x erhalten

3. Betrachten Sie das dritte Intervall (3;+∞). Nehmen wir einen beliebigen Wert aus diesem Segment, zum Beispiel 5, und setzen wir den Wert x in jede der modularen Gleichungen ein.

x=5
x-3=5-3=2 und x+3=5+3=8

Für beide Ausdrücke erwiesen sich die Vorzeichen als positiv, was bedeutet, dass wir in der Gleichung ein Plus vor das Modulzeichen setzen und anstelle des Modulzeichens Klammern setzen und die erforderliche Gleichung für das Intervall (3;+) erhalten ∞).

y= + (x-3)-( + (x+3))=x-3-x-3=-6

Auf dem Intervall (3;+∞) haben wir einen Graphen einer linearen Funktion (gerade) у=-6 erhalten

4. Fassen wir nun zusammen: Zeichnen wir den Graphen y=|x-3|-|x+3|.
Auf dem Intervall (-∞;-3) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) y=6.
Auf dem Intervall (-3;3) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) y=-2x.
Um einen Graphen von y = -2x zu erstellen, wählen wir mehrere Punkte aus.
x=-3 y=-2*(-3)=6 das Ergebnis ist ein Punkt (-3;6)
x=0 y=-2*0=0 das Ergebnis ist ein Punkt (0;0)
x=3 y=-2*(3)=-6 das Ergebnis ist Punkt (3;-6)
Auf dem Intervall (3;+∞) erstellen wir einen Graphen der linearen Funktion (gerade) у=-6.

5. Analysieren wir nun das Ergebnis und beantworten wir die Frage: Finden Sie den Wert von k, den die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| hat Eine gegebene Funktion hat genau einen gemeinsamen Punkt.

Die Gerade y=kx für jeden Wert von k verläuft immer durch den Punkt (0;0). Daher können wir nur die Steigung dieser Linie y=kx ändern, und der Koeffizient k ist für die Steigung verantwortlich.

Wenn k eine positive Zahl ist, gibt es einen Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3|. Diese Option passt zu uns.

Wenn k den Wert (-2;0) annimmt, dann ist der Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| es werden drei sein. Diese Option passt nicht zu uns.

Wenn k=-2, gibt es viele Lösungen [-2;2], da die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| zusammenfällt in dieser Gegend. Diese Option passt nicht zu uns.

Wenn k kleiner als -2 ist, dann ist die Gerade y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| wird eine Kreuzung haben. Diese Option passt zu uns.

Wenn k=0, dann ist der Schnittpunkt der Geraden y=kx mit dem Graphen y=|x-3|-|x+3| Es wird auch eine geben. Diese Option passt zu uns.

Antwort: für k, das zum Intervall (-∞;-2)U gehört)