Wenn wir 497 durch 4 teilen müssen, werden wir bei der Division feststellen, dass 497 nicht gleichmäßig durch 4 teilbar ist, d. h. der Rest der Division bleibt bestehen. In solchen Fällen spricht man von „vollendet“. Division mit Rest, und die Lösung lautet wie folgt:
497: 4 = 124 (1 Rest).

Die Divisionskomponenten auf der linken Seite der Gleichheit heißen genauso wie bei der Division ohne Rest: 497 - Dividende, 4 - Teiler. Das Ergebnis der Division bei Division mit einem Rest wird aufgerufen unvollständig privat. In unserem Fall ist dies die Zahl 124. Und schließlich ist die letzte Komponente, die nicht in der gewöhnlichen Division steht Rest. In Fällen, in denen es keinen Rest gibt, spricht man von der Division einer Zahl durch eine andere spurlos oder vollständig. Es wird angenommen, dass bei einer solchen Aufteilung der Rest ausbleibt gleich Null. In unserem Fall ist der Rest 1.

Der Rest ist immer kleiner als der Divisor.

Die Division kann durch Multiplikation überprüft werden. Liegt beispielsweise eine Gleichheit 64:32 = 2 vor, dann kann die Prüfung so erfolgen: 64 = 32 * 2.

In Fällen, in denen eine Division mit einem Rest durchgeführt wird, ist es häufig praktisch, die Gleichheit zu verwenden
a = b * n + r,
Dabei ist a der Dividend, b der Divisor, n der Teilquotient und r der Rest.

Der Quotient natürlicher Zahlen kann als Bruch geschrieben werden.

Der Zähler eines Bruchs ist der Dividend und der Nenner ist der Divisor.

Da der Zähler eines Bruchs der Dividend und der Nenner der Divisor ist, glauben, dass die Gerade eines Bruchs die Aktion der Division bedeutet. Manchmal ist es praktisch, die Division als Bruch zu schreiben, ohne das Zeichen „:“ zu verwenden.

Der Quotient der Division der natürlichen Zahlen m und n kann als Bruch \(\frac(m)(n)\) geschrieben werden, wobei der Zähler m der Dividend und der Nenner n der Divisor ist:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Es gelten folgende Regeln:

Um den Bruch \(\frac(m)(n)\) zu erhalten, müssen Sie die Einheit in n gleiche Teile (Anteile) teilen und m solcher Teile nehmen.

Um den Bruch \(\frac(m)(n)\) zu erhalten, müssen Sie die Zahl m durch die Zahl n dividieren.

Um einen Teil eines Ganzen zu finden, müssen Sie die dem Ganzen entsprechende Zahl durch den Nenner dividieren und das Ergebnis mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Um aus seinem Teil ein Ganzes zu finden, müssen Sie die diesem Teil entsprechende Zahl durch den Zähler dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs multiplizieren, der diesen Teil ausdrückt.

Wenn sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl (außer Null) multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Wenn sowohl Zähler als auch Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (außer Null) dividiert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Diese Eigenschaft heißt Haupteigenschaft eines Bruchs.

Die letzten beiden Transformationen werden aufgerufen einen Bruch reduzieren.

Wenn Brüche als Brüche mit demselben Nenner dargestellt werden müssen, wird diese Aktion aufgerufen Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren.

Echte und unechte Brüche. Gemischte Zahlen

Sie wissen bereits, dass man einen Bruch erhalten kann, indem man ein Ganzes in gleiche Teile teilt und mehrere solcher Teile nimmt. Beispielsweise bedeutet der Bruch \(\frac(3)(4)\) drei Viertel eins. In vielen der Aufgaben im vorherigen Absatz wurden Brüche verwendet, um Teile eines Ganzen darzustellen. Der gesunde Menschenverstand schreibt vor, dass der Teil immer kleiner sein sollte als das Ganze, aber was ist mit Brüchen wie \(\frac(5)(5)\) oder \(\frac(8)(5)\)? Es ist klar, dass dies nicht mehr Teil der Einheit ist. Dies ist wahrscheinlich der Grund, warum man Brüche nennt, deren Zähler größer oder gleich dem Nenner ist unechte Brüche. Die restlichen Brüche, also Brüche, deren Zähler kleiner als der Nenner ist, werden aufgerufen richtige Brüche.

Wie Sie wissen, kann man sich jeden gewöhnlichen Bruch, sowohl den echten als auch den unechten Bruch, als das Ergebnis der Division des Zählers durch den Nenner vorstellen. Daher bedeutet der Begriff „unechter Bruch“ in der Mathematik im Gegensatz zur gewöhnlichen Sprache nicht, dass wir etwas falsch gemacht haben, sondern nur, dass der Zähler dieses Bruchs größer oder gleich dem Nenner ist.

Wenn eine Zahl aus einem ganzzahligen Teil und einem Bruch besteht, dann Brüche heißen gemischt.

Zum Beispiel:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ist der ganzzahlige Teil und \(\frac(2)(3) \) ist der Bruchteil.

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b)\) durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, dann muss, um diesen Bruch durch n zu teilen, sein Zähler durch diese Zahl geteilt werden:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Wenn der Zähler des Bruchs \(\frac(a)(b)\) nicht durch eine natürliche Zahl n teilbar ist, müssen Sie zum Teilen dieses Bruchs durch n seinen Nenner mit dieser Zahl multiplizieren:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Beachten Sie, dass die zweite Regel auch gilt, wenn der Zähler durch n teilbar ist. Daher können wir es verwenden, wenn es schwierig ist, auf den ersten Blick festzustellen, ob der Zähler eines Bruchs durch n teilbar ist oder nicht.

Aktionen mit Brüchen. Brüche addieren.

Sie können mit Bruchzahlen arithmetische Operationen durchführen, genau wie mit natürlichen Zahlen. Schauen wir uns zunächst das Addieren von Brüchen an. Es ist einfach, Brüche mit gleichen Nennern zu addieren. Finden wir zum Beispiel die Summe von \(\frac(2)(7)\) und \(\frac(3)(7)\). Es ist leicht zu verstehen, dass \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren müssen, müssen diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden. Zum Beispiel:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Für Brüche gelten wie für natürliche Zahlen die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition.

Gemischte Brüche addieren

Es werden Notationen wie \(2\frac(2)(3)\) aufgerufen gemischte Brüche. In diesem Fall wird die Nummer 2 aufgerufen ganzer Teil gemischter Bruch, und die Zahl \(\frac(2)(3)\) ist sein Bruchteil. Der Eintrag \(2\frac(2)(3)\) lautet wie folgt: „zwei und zwei Drittel.“

Wenn man die Zahl 8 durch die Zahl 3 dividiert, erhält man zwei Antworten: \(\frac(8)(3)\) und \(2\frac(2)(3)\). Sie drücken dieselbe Bruchzahl aus, d. h. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Somit wird der unechte Bruch \(\frac(8)(3)\) als gemischter Bruch \(2\frac(2)(3)\) dargestellt. In solchen Fällen spricht man von einem unechten Bruch den ganzen Teil hervorgehoben.

Subtrahieren von Brüchen (Bruchzahlen)

Die Subtraktion von Bruchzahlen wird wie bei natürlichen Zahlen auf der Grundlage der Additionswirkung bestimmt: Eine andere von einer Zahl zu subtrahieren bedeutet, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie zur zweiten addiert, die erste ergibt. Zum Beispiel:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) da \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Die Regel zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner ähnelt der Regel zum Addieren solcher Brüche:
Um die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner zu ermitteln, müssen Sie den Zähler des zweiten vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner gleich lassen.

Mit Buchstaben wird diese Regel wie folgt geschrieben:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Brüche multiplizieren

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren und das erste Produkt als Zähler und das zweite als Nenner schreiben.

Mit Buchstaben lässt sich die Regel zur Multiplikation von Brüchen wie folgt formulieren:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Mit der formulierten Regel können Sie einen Bruch mit einer natürlichen Zahl, mit einem gemischten Bruch und auch mit gemischten Brüchen multiplizieren. Dazu müssen Sie eine natürliche Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 und einen gemischten Bruch als unechten Bruch schreiben.

Das Ergebnis der Multiplikation sollte (wenn möglich) vereinfacht werden, indem der Bruch reduziert und der ganze Teil des unechten Bruchs isoliert wird.

Für Brüche gelten wie für natürliche Zahlen die kommutativen und kombinativen Eigenschaften der Multiplikation sowie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Division von Brüchen

Nehmen wir den Bruch \(\frac(2)(3)\) und „drehen“ ihn um, indem wir Zähler und Nenner vertauschen. Wir erhalten den Bruch \(\frac(3)(2)\). Dieser Bruch heißt umkehren Brüche \(\frac(2)(3)\).

Wenn wir nun den Bruch \(\frac(3)(2)\) „umkehren“, erhalten wir den ursprünglichen Bruch \(\frac(2)(3)\). Daher heißen Brüche wie \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(3)(2)\). gegenseitig umgekehrt.

Zum Beispiel die Brüche \(\frac(6)(5) \) und \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) und \(\frac (18). )(7)\).

Mit Buchstaben können Kehrbrüche wie folgt geschrieben werden: \(\frac(a)(b) \) und \(\frac(b)(a) \)

Es ist klar, dass das Produkt der reziproken Brüche ist gleich 1. Zum Beispiel: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Mithilfe reziproker Brüche können Sie die Division von Brüchen auf die Multiplikation reduzieren.

Die Regel zum Teilen eines Bruchs durch einen Bruch lautet:
Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Unter Verwendung von Buchstaben kann die Regel zum Teilen von Brüchen wie folgt geschrieben werden:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Wenn der Dividend oder Divisor ist natürliche Zahl oder ein gemischter Bruch, dann muss er, um die Regel zum Teilen von Brüchen anwenden zu können, zunächst als unechter Bruch dargestellt werden.

Viele Leute stellen Fragen dazu, wie man einen Bruch in einen Dezimalbruch umwandelt. Es gibt mehrere Möglichkeiten. Die Wahl einer bestimmten Methode hängt von der Art des Bruchs ab, der in eine andere Form umgewandelt werden muss, oder genauer gesagt, von der Zahl in seinem Nenner. Aus Gründen der Zuverlässigkeit muss jedoch angegeben werden, dass ein gewöhnlicher Bruch ein Bruch ist, der mit einem Zähler und einem Nenner geschrieben wird, beispielsweise 1/2. Häufiger wird die Linie zwischen Zähler und Nenner horizontal statt schräg gezogen. Ein Dezimalbruch wird als gewöhnliche Zahl mit Komma geschrieben: zum Beispiel 1,25; 0,35 usw.

Um also einen Bruch ohne Taschenrechner in eine Dezimalzahl umzuwandeln, müssen Sie Folgendes tun:

Achten Sie auf den Nenner des gemeinsamen Bruchs. Wenn der Nenner problemlos mit der gleichen Zahl wie der Zähler bis zu 10 multipliziert werden kann, sollten Sie diese Methode als die einfachste verwenden. Beispielsweise lässt sich der gewöhnliche Bruch 1/2 ganz einfach im Zähler und Nenner mit 5 multiplizieren, was die Zahl 5/10 ergibt, die sich bereits als Dezimalbruch schreiben lässt: 0,5. Diese Regel basiert auf der Tatsache, dass ein Dezimalbruch immer eine runde Zahl im Nenner hat: 10, 100, 1000 und dergleichen. Wenn Sie also Zähler und Nenner eines Bruchs multiplizieren, müssen Sie als Ergebnis der Multiplikation genau die gleiche Zahl im Nenner erhalten, unabhängig davon, was im Zähler erhalten wird.

Es gibt gewöhnliche Brüche, deren Berechnung nach der Multiplikation gewisse Schwierigkeiten bereitet. Es ist beispielsweise ziemlich schwierig zu bestimmen, mit wie viel der Bruch 5/16 multipliziert werden muss, um eine der oben genannten Zahlen im Nenner zu erhalten. In diesem Fall sollten Sie die übliche Aufteilung verwenden, die in einer Spalte erfolgt. Die Antwort sollte ein Dezimalbruch sein, der das Ende des Übertragungsvorgangs markiert. Im obigen Beispiel beträgt die resultierende Zahl 0,3125. Wenn Spaltenberechnungen schwierig sind, können Sie auf die Hilfe eines Taschenrechners nicht verzichten.

Schließlich gibt es gewöhnliche Brüche, die nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden können. Wenn man beispielsweise den gemeinsamen Bruch 4/3 umwandelt, ist das Ergebnis 1,33333, wobei die Drei bis ins Unendliche wiederholt wird. Der Rechner wird auch die sich wiederholenden Drei nicht entfernen. Es gibt mehrere solcher Brüche, man muss sie nur kennen. Ein Ausweg aus der oben genannten Situation kann das Runden sein, wenn die Bedingungen des zu lösenden Beispiels oder Problems das Runden zulassen. Wenn die Bedingungen dies nicht zulassen und die Antwort genau in Form eines Dezimalbruchs geschrieben werden muss, bedeutet dies, dass das Beispiel oder Problem falsch gelöst wurde und Sie mehrere Schritte zurückgehen sollten, um den Fehler zu finden.

Daher ist die Umwandlung eines Bruchs in eine Dezimalzahl recht einfach und ohne die Hilfe eines Taschenrechners nicht schwer zu bewältigen. Es ist noch einfacher, Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umzuwandeln, indem Sie die in Methode 1 beschriebenen umgekehrten Schritte ausführen.

Video: 6. Klasse. Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln.

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Brüche sind im Gymnasium kein großes Ärgernis. Vorerst. Bis Sie auf Potenzen mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da... Sie drücken und drücken auf den Taschenrechner und er zeigt eine vollständige Anzeige einiger Zahlen an. Man muss wie in der dritten Klasse mit dem Kopf denken.

Lasst uns endlich Brüche herausfinden! Nun, wie sehr kann man darin verwirrt sein!? Darüber hinaus ist alles einfach und logisch. Also, Welche Arten von Brüchen gibt es?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt Brüche drei Typen.

1. Gemeinsame Brüche , Zum Beispiel:

Manchmal wird anstelle einer horizontalen Linie ein Schrägstrich eingefügt: 1/2, 3/4, 19/5 usw. Hier werden wir diese Schreibweise oft verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, untere - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es kommt vor...), sagen Sie sich den Satz: „ Zzzzz erinnern! Zzzzz Nenner - schau zzzzzäh!" Schauen Sie, alles wird zzz in Erinnerung bleiben.)

Der Strich, entweder horizontal oder geneigt, bedeutet Aufteilung von der oberen Zahl (Zähler) zur unteren (Nenner). Und alle! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen – zwei Punkte.

Wenn eine vollständige Teilung möglich ist, muss dies erfolgen. Anstelle des Bruchs „32/8“ ist es also viel angenehmer, die Zahl „4“ zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht einmal vom Bruch „4/1“. Was auch nur „4“ ist. Und wenn es nicht vollständig teilbar ist, belassen wir es als Bruch. Manchmal muss man den umgekehrten Vorgang durchführen. Wandeln Sie eine ganze Zahl in einen Bruch um. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalzahlen , Zum Beispiel:

In diesem Formular müssen Sie die Antworten auf die Aufgaben „B“ aufschreiben.

3. Gemischte Zahlen , Zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden im Gymnasium praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber das muss man unbedingt können! Sonst stößt man bei einem Problem auf eine solche Nummer und friert ein... aus dem Nichts. Aber wir werden uns an diesen Vorgang erinnern! Etwas tiefer.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Wenn ein Bruch übrigens allerlei Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben enthält, ändert das übrigens nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Die Haupteigenschaft eines Bruchs.

So lass uns gehen! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Haupteigenschaft eines Bruchs. Erinnern: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass man weiterschreiben kann, bis einem blau im Gesicht wird. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Die Hauptsache ist zu verstehen, dass es all diese verschiedenen Ausdrücke gibt der gleiche Bruch . 2/3.

Brauchen wir das, all diese Transformationen? Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die Grundeigenschaft eines Bruchs für verwenden Brüche reduzieren. Es scheint eine elementare Sache zu sein. Teilen Sie Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, einen Fehler zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Du kannst überall einen Fehler machen! Vor allem, wenn Sie keinen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie man Brüche ohne Mehraufwand richtig und schnell kürzen kann, lesen Sie im Sonderkapitel 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles durch, was oben und unten gleich ist! Hier lauert es typischer Fehler, ein Patzer, wenn man so will.

Beispielsweise müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Hier gibt es nichts zu bedenken, streichen Sie oben den Buchstaben „a“ und unten die „2“ durch! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber wirklich, du hast gespalten alle Zähler und alle der Nenner ist „a“. Wenn Sie es gewohnt sind, einfach das „a“ im Ausdruck zu streichen, können Sie es schnell streichen

und hol es dir wieder

Was absolut unwahr wäre. Denn hier alle der Zähler auf „a“ ist schon nicht geteilt! Dieser Anteil kann nicht reduziert werden. Übrigens ist eine solche Reduzierung, ähm... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das ist nicht vergeben! Erinnerst du dich? Beim Reduzieren muss man dividieren alle Zähler und alle Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie erhalten irgendwo einen Bruchteil, zum Beispiel 375/1000. Wie kann ich jetzt weiterhin mit ihr zusammenarbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen wir, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, kürzen Sie es sorgfältig um fünf und noch einmal um fünf, und sogar... während es gekürzt wird, kurz gesagt. Holen wir uns 3/8! Viel schöner, oder?

Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für das Einheitliche Staatsexamen, oder?

So konvertieren Sie Brüche von einem Typ in einen anderen.

Mit Dezimalbrüchen ist alles einfach. So wie es gehört wird, so steht es auch geschrieben! Sagen wir 0,25. Das sind null Komma fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (wir dividieren Zähler und Nenner durch 25) und erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alle. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, also 3/10.

Was ist, wenn die ganzen Zahlen nicht Null sind? Macht nichts. Wir schreiben den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Zum Beispiel: 3.17. Das sind drei Komma siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner. Wir erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das bedeutet alles. Das ist die Antwort. Elementarer Watson! Aus allem Gesagten eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt werden .

Aber manche Leute können die umgekehrte Umrechnung vom Normalwert in den Dezimalwert ohne einen Taschenrechner nicht durchführen. Und es ist notwendig! Wie schreiben Sie die Antwort auf das Einheitliche Staatsexamen auf? Lesen Sie diesen Prozess sorgfältig durch und meistern Sie ihn.

Was ist das Merkmal eines Dezimalbruchs? Ihr Nenner ist Stets kostet 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, ist das kein Problem. Zum Beispiel 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Was wäre, wenn die Antwort auf die Aufgabe in Abschnitt „B“ 1/2 wäre? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalzahlen sind erforderlich...

Lass uns erinnern Haupteigenschaft eines Bruchs ! In der Mathematik ist es vorteilhaft, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens alles! Außer Null natürlich. Nutzen wir also diese Immobilie zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass es 10 oder 100 oder 1000 wird (kleiner ist natürlich besser...)? Natürlich um 5 Uhr. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathematik Forderungen! Wir erhalten 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. Das ist alles.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Sie könnten zum Beispiel auf den Bruch 3/16 stoßen. Versuchen Sie herauszufinden, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert das nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 dividieren. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie mit einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in der Grundschule gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt auch sehr schlechte Nenner. Beispielsweise gibt es keine Möglichkeit, den Bruch 1/3 in eine gute Dezimalzahl umzuwandeln. Sowohl auf dem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333... Das bedeutet, dass 1/3 ein exakter Dezimalbruch ist übersetzt nicht. Dasselbe wie 1/7, 5/6 und so weiter. Es gibt viele davon, unübersetzbar. Dies bringt uns zu einer weiteren nützlichen Schlussfolgerung. Nicht jeder Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln !

Übrigens, das hier eine nützliche Information zum Selbsttest. Im Abschnitt „B“ müssen Sie in Ihrer Antwort einen Dezimalbruch notieren. Und du hast zum Beispiel 4/3 bekommen. Dieser Bruch lässt sich nicht in eine Dezimalzahl umwandeln. Das bedeutet, dass Sie unterwegs irgendwo einen Fehler gemacht haben! Gehen Sie zurück und überprüfen Sie die Lösung.

Also haben wir gewöhnliche und dezimale Brüche herausgefunden. Es bleibt nur noch, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Sie können einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer ist ein Sechstklässler zur Stelle ... Das müssen Sie selbst machen. Es ist nicht schwer. Sie müssen den Nenner des Bruchteils mit dem ganzen Teil multiplizieren und den Zähler des Bruchteils addieren. Dies ist der Zähler des gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt derselbe. Es klingt kompliziert, aber in Wirklichkeit ist alles einfach. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Angenommen, Sie waren entsetzt, als Sie die Zahl im Problem sahen:

Ruhig, ohne Panik, denken wir. Der gesamte Teil ist 1. Einheit. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner wird der Nenner des gewöhnlichen Bruchs sein. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (dem Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies wird der Zähler des gemeinsamen Bruchs sein. Das ist alles. In mathematischer Notation sieht es noch einfacher aus:

Ist das klar? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! Konvertieren Sie in gewöhnliche Brüche. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation – die Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl – ist in der Oberstufe selten erforderlich. Na ja, wenn ja... Und wenn Sie nicht in der High School sind, können Sie einen Blick in den Sonderabschnitt 555 werfen. Dort erfahren Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Nun, das ist praktisch alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden Wie Übertragen Sie sie von einem Typ auf einen anderen. Bleibt die Frage: Wofür Tu es? Wo und wann kann dieses tiefe Wissen angewendet werden?

Ich antworte. Jedes Beispiel selbst legt die notwendigen Maßnahmen nahe. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen miteinander vermischt werden, wandeln wir alles in gewöhnliche Brüche um. Es ist immer machbar. Nun, wenn da etwa 0,8 + 0,3 steht, dann zählen wir es so, ohne Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die für Sie am bequemsten ist uns !

Wenn die Aufgabe nur aus Dezimalbrüchen besteht, aber ähm ... irgendwelche bösen Brüche, gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen über und probieren Sie es aus! Schauen Sie, alles wird gut. Beispielsweise müssen Sie die Zahl 0,125 quadrieren. Es ist nicht so einfach, wenn man sich nicht an den Umgang mit einem Taschenrechner gewöhnt hat! Sie müssen nicht nur Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch darüber nachdenken, wo Sie das Komma einfügen! In deinem Kopf wird es definitiv nicht funktionieren! Was wäre, wenn wir zu einem gewöhnlichen Bruch übergehen würden?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren es um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal um 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft immer noch! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Wir quadrieren es leicht (in unseren Gedanken!) und erhalten 1/64. Alle!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gemeinsame, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen Stets kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübertragung nicht immer verfügbar.

3. Die Wahl der Art der Brüche für die Arbeit mit einer Aufgabe hängt von der Aufgabe selbst ab. Wenn vorhanden verschiedene Typen Um Brüche in einer Aufgabe zu lösen, ist es am zuverlässigsten, mit gewöhnlichen Brüchen fortzufahren.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zunächst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (durcheinander!):

Lassen Sie uns hier fertig werden. In dieser Lektion haben wir unser Gedächtnis aufgefrischt Schlüsselpunkte durch Brüche. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zu aktualisieren gibt...) Wenn jemand es völlig vergessen hat oder es noch nicht beherrscht... Dann können Sie zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Dort werden alle Grundlagen ausführlich behandelt. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und sie lösen Brüche im Handumdrehen.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Ein Bruch kann in eine ganze Zahl oder eine Dezimalzahl umgewandelt werden. Ein unechter Bruch, dessen Zähler größer als der Nenner ist und durch ihn ohne Rest teilbar ist, wird in eine ganze Zahl umgewandelt, zum Beispiel: 20/5. Teilen Sie 20 durch 5 und erhalten Sie die Zahl 4. Wenn der Bruch richtig ist, das heißt, der Zähler kleiner als der Nenner ist, wandeln Sie ihn in eine Zahl (Dezimalbruch) um. Weitere Informationen zu Brüchen erhalten Sie in unserer Rubrik -.

Möglichkeiten, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln

• Die erste Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, eignet sich für einen Bruch, der in eine Zahl umgewandelt werden kann, die ein Dezimalbruch ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, ob es möglich ist, den angegebenen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln. Achten wir dazu auf den Nenner (die Zahl, die unter der Linie oder rechts von der schrägen Linie steht). Wenn der Nenner faktorisiert werden kann (in unserem Beispiel 2 und 5), was wiederholt werden kann, kann dieser Bruch tatsächlich in einen endgültigen Dezimalbruch umgewandelt werden. Zum Beispiel: 11/40 =11/(2∙2∙2∙5). Dieser gemeinsame Bruch wird in eine Zahl (Dezimalzahl) mit endlich vielen Dezimalstellen umgewandelt. Aber der Bruch 17/60 =17/(5∙2∙2∙3) wird in eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen umgewandelt. Das heißt, bei der genauen Berechnung eines Zahlenwerts ist es ziemlich schwierig, die letzte Dezimalstelle zu bestimmen, da es unendlich viele solcher Zeichen gibt. Daher erfordert die Lösung von Problemen normalerweise das Runden des Werts auf Hundertstel oder Tausendstel. Als nächstes müssen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit einer solchen Zahl multiplizieren, sodass der Nenner die Zahlen 10, 100, 1000 usw. ergibt. Beispiel: 11/40 = (11∙25)/(40∙25) = 275/1000 = 0,275
• Die zweite Möglichkeit, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist einfacher: Sie müssen den Zähler durch den Nenner dividieren. Um diese Methode anzuwenden, führen wir einfach eine Division durch und die resultierende Zahl ist der gewünschte Dezimalbruch. Beispielsweise müssen Sie den Bruch 2/15 in eine Zahl umwandeln. Teilen Sie 2 durch 15. Wir erhalten 0,1333... – einen unendlichen Bruch. Wir schreiben es so: 0,13(3). Wenn der Bruch ein unechter Bruch ist, also der Zähler größer als der Nenner ist (z. B. 345/100), führt die Umwandlung in eine Zahl zu einem ganzzahligen Wert oder einem Dezimalbruch mit einem ganzen Bruchteil. In unserem Beispiel beträgt er 3,45. Um einen gemischten Bruch wie 3 2 / 7 in eine Zahl umzuwandeln, müssen Sie ihn zunächst in einen unechten Bruch umwandeln: (3∙7+2)/7 = 23/7. Als nächstes teilen wir 23 durch 7 und erhalten die Zahl 3,2857143, die wir auf 3,29 reduzieren.

Der einfachste Weg, einen Bruch in eine Zahl umzuwandeln, ist die Verwendung eines Taschenrechners oder eines anderen Computergeräts. Zuerst geben wir den Zähler des Bruchs an, drücken dann die Schaltfläche mit dem „Dividieren“-Symbol und geben den Nenner ein. Nach Drücken der Taste „=“ erhalten wir die gewünschte Zahl.

Dezimalzahlen wie 0,2; 1,05; 3.017 usw. wie sie gehört werden, so werden sie geschrieben. Null Komma zwei, wir bekommen einen Bruchteil. Ein Komma fünf Hundertstel, wir bekommen einen Bruchteil. Drei Komma siebzehn Tausendstel, wir bekommen den Bruchteil. Die Zahlen vor dem Dezimalpunkt sind der ganze Teil des Bruchs. Die Zahl nach dem Komma ist der Zähler des zukünftigen Bruchs. Bei einer einstelligen Zahl nach dem Dezimalpunkt ist der Nenner 10, bei einer zweistelligen Zahl 100, bei einer dreistelligen Zahl 1000 usw. Einige resultierende Brüche können gekürzt werden. In unseren Beispielen

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln

Dies ist die Umkehrung der vorherigen Transformation. Was ist das Merkmal eines Dezimalbruchs? Sein Nenner ist immer 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 und so weiter. Wenn Ihr gemeinsamer Bruch einen solchen Nenner hat, ist das kein Problem. Zum Beispiel, oder

Wenn der Bruch zum Beispiel ist. In diesem Fall ist es notwendig, die Grundeigenschaft eines Bruchs zu nutzen und den Nenner in 10 oder 100 oder 1000 umzuwandeln... Wenn wir in unserem Beispiel Zähler und Nenner mit 4 multiplizieren, erhalten wir einen Bruch, der sein kann geschrieben als Dezimalzahl 0,12.

Manche Brüche lassen sich leichter dividieren als den Nenner umrechnen. Zum Beispiel,

Manche Brüche können nicht in Dezimalzahlen umgewandelt werden!
Zum Beispiel,

Einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln

Ein gemischter Bruch kann beispielsweise leicht in einen unechten Bruch umgewandelt werden. Dazu müssen Sie den ganzen Teil mit dem Nenner (unten) multiplizieren und mit dem Zähler (oben) addieren, wobei der Nenner (unten) unverändert bleibt. Also

Wenn Sie einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln, können Sie daran denken, dass Sie die Bruchaddition verwenden können

Einen unechten Bruch in einen gemischten Bruch umwandeln (den ganzen Teil hervorheben)

Ein unechter Bruch kann durch Markieren des ganzen Teils in einen gemischten Bruch umgewandelt werden. Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir ermitteln, wie viele ganze Zahlen mal „3“ in „23“ passen. Oder dividieren Sie 23 durch 3 auf einem Taschenrechner, die ganze Zahl auf den Dezimalpunkt genau ist die gewünschte. Das ist „7“. Als nächstes bestimmen wir den Zähler des zukünftigen Bruchs: Wir multiplizieren die resultierende „7“ mit dem Nenner „3“ und subtrahieren das Ergebnis vom Zähler „23“. Wie finden wir das Extra, das vom Zähler „23“ übrig bleibt, wenn wir es entfernen? Höchstbetrag"3". Wir lassen den Nenner unverändert. Alles ist erledigt, notieren Sie das Ergebnis