Eine Buchstabendarstellung der Eigenschaften von Addition und Subtraktion. Natürliche Zahlen subtrahieren
Kann mit Buchstaben geschrieben werden.
1. Die kommutative Eigenschaft der Addition wird wie folgt geschrieben: a + b = b + a.
In dieser Gleichung können die Buchstaben a und b jeden natürlichen Wert und den Wert 0 annehmen.
3. Die Eigenschaft der Null bei der Addition kann wie folgt geschrieben werden: Dabei kann der Buchstabe a eine beliebige Bedeutung haben.
4. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren, wird mit Buchstaben wie folgt geschrieben:
a - (b + c) = a - b - c. Hier b + c< а или b + с = а.
5. Die Eigenschaft, eine Zahl von einer Summe zu subtrahieren, wird mit Buchstaben wie diesen geschrieben:
(a + b) – c = a + (b – c), wenn c< Ь или о = b;
(a + b) - c = (a - c) + b, wenn c< а или с = а.
6. Die Eigenschaften von Null während der Subtraktion können wie folgt geschrieben werden: a - 0 = a; a - a = 0.
Dabei kann a beliebige natürliche Werte und den Wert 0 annehmen.
Lesen Sie die Eigenschaften der mit Buchstaben geschriebenen Addition und Subtraktion.
337. Schreiben Sie die Kombinationseigenschaft der Addition mit den Buchstaben a, b und c. Ersetzen Sie die Buchstaben durch ihre Werte: a = 9873, b = 6914, c = 10.209 – und überprüfen Sie die resultierende Zahlengleichheit.
338. Schreiben Sie die Eigenschaft auf, eine Summe von zu subtrahieren Zahlen mit den Buchstaben a, b und c. Ersetzen Sie die Buchstaben durch ihre Werte: a = 243, b = 152, c = 88 – und überprüfen Sie die resultierende Zahlengleichheit.
339. Schreiben Sie die Eigenschaft auf, eine Zahl auf zwei Arten von einer Summe zu subtrahieren. Überprüfen Sie die resultierenden numerischen Gleichungen, indem Sie die Buchstaben durch ihre Werte ersetzen:
a) a = 98, b = 47 und c = 58;
b) a = 93, b = 97 und c = 95.
340. a) Verwenden Sie in Abbildung 42 einen Kompass, um die Punkte M(a + b) und N(a - b) zu finden.
b) Erklären Sie anhand von Abbildung 43 die Bedeutung der assoziativen Eigenschaft der Addition.
c) Erklären Sie anhand von Bildern die weiteren Eigenschaften der Addition und Subtraktion.
341. Aus den Eigenschaften der Addition folgt:
56 + x + 14 = x + 56 + 14 = x + (56 + 14) = x + 70.
Vereinfachen Sie gemäß diesem Beispiel Ausdruck:
a) 23 + 49 + m; c) x + 54 + 27;
b) 38 + n + 27; d) 176 4- J + 24.
342. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks, nachdem Sie ihn vereinfacht haben:
a) 28 + m + 72 mit m = 87; c) 228 + k + 272 mit k = 48;
b) n + 49 + 151 mit n = 63; d) 349 + p + 461 mit p = 115.
343. Aus den Eigenschaften der Subtraktion folgt:
28 - (15 + s) = 28 - 15 - s = 13 - s,
a - 64 - 26 = a - (64 + 26) = a - 90.
Welche Eigenschaft der Subtraktion wird dabei verwendet? Beispiele? Vereinfachen Sie den Ausdruck mithilfe dieser Subtraktionseigenschaft:
a) 35 - (18 + J);
b) m- 128 - 472.
344. Aus den Eigenschaften der Addition und Subtraktion folgt:
137 - s - 27 « 137 - (s + 27) = 137 - (27 + s) = 137 - 27 - s = 110 - s.
Welche Eigenschaften der Addition und Subtraktion werden in diesem Beispiel verwendet?
Vereinfachen Sie den Ausdruck mithilfe dieser Eigenschaften:
a) 168 - (x + 47);
b) 384 - m - 137.
345. Aus den Eigenschaften der Subtraktion folgt:
(154 + b) - 24 = (154 - 24) + b = 130 + b;
a - 10 + 15 = (a - 10) + 15 = (a + 15) - 10 = a + (15 - 10) = a + 5.
Welche Eigenschaft der Subtraktion wird in diesem Beispiel verwendet?
Vereinfachen Sie mit dieser Eigenschaft den Ausdruck:
a) (248 + m) - 24; c) b + 127 - 84; e) (12 - k) + 24;
b) 189 + n – 36; d) a - 30 + 55; e) x - 18 + 25.
346. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks, nachdem Sie ihn vereinfacht haben:
a) a - 28 - 37 bei a = 265; c) 237 + c + 163 mit c = 194; 188;
b) 149 + b – 99 mit b = 77; d) d - 135 + 165 mit d = 239; 198.
347. Die Punkte C und D sind auf der Strecke AB markiert und Punkt C liegt zwischen den Punkten A und D. Schreiben Sie einen Ausdruck für Länge Segment:
a) AB, wenn AC = 453 mm, CD = x mm und DB = 65 mm. Finden Sie den Wert des resultierenden Ausdrucks bei x = 315; 283.
b) AC, wenn AB = 214 mm, CD = 84 mm und DB = y mm. Finden Sie den Wert des resultierenden Ausdrucks, wenn y = 28; 95.
348. Ein Dreher erledigte einen Auftrag zur Herstellung identischer Teile in drei Tagen. Am ersten Tag machte er 23 Teile, am zweiten Tag – b Teile mehr als am ersten Tag und am dritten Tag – vier Teile weniger als am ersten Tag. Wie viele Teile hat der Dreher in diesen drei Tagen produziert? Schreiben Sie einen Ausdruck, um das Problem zu lösen und seinen Wert für b = 7 und b = 9 zu ermitteln.
349. Berechnen Sie mündlich:
350. Finden Sie die Hälfte, das Viertel und das Drittel jeder der Zahlen: 12; 36; 60; 84; 120.
a) 37 2 und 45 - 17;
b) 156: 12 und 31 7.
362. Ein Fußgänger und ein Radfahrer bewegen sich auf der Straße aufeinander zu. Jetzt beträgt die Entfernung zwischen ihnen 52 km. Die Geschwindigkeit eines Fußgängers beträgt 4 km/h, die eines Radfahrers 9 km/h. Wie groß wird der Abstand zwischen ihnen nach 1 Stunde sein? nach 2 Stunden; in 4 Stunden? Wie viele Stunden später treffen sich Fußgänger und Radfahrer?
363. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1) 1032: (5472: 19: 12);
2) 15 732: 57: (156: 13).
364. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
a) 37 + m + 56; c) 49 - 24 - k;
b) n - 45 - 37; d) 35 - t - 18.
365. Vereinfachen Sie den Ausdruck und finden Sie seine Bedeutung:
a) 315 - p + 185 bei p = 148; 213;
b) 427 – l – 167 bei I = 59; 260.
366. Der Motorradrennfahrer legte den ersten Streckenabschnitt in 54 s zurück, den zweiten in 46 s und den dritten p s schneller als der zweite. Wie lange brauchte der Motorradrennfahrer, um diese drei Abschnitte zu absolvieren? Finden Sie den Wert des resultierenden Ausdrucks, wenn n = 9; 17; 22.
367. In einem Dreieck ist eine Seite 36 cm, die andere 4 cm kürzer und die dritte x cm länger als die erste Seite. Finden Sie den Umfang des Dreiecks. Schreiben Sie einen Ausdruck zur Lösung des Problems und ermitteln Sie seinen Wert bei x = 4 und x = 8.
368. Ein Tourist reiste 40 km mit dem Bus, also fünfmal Außerdem der Weg, den er gegangen ist. Welche Gesamtstrecke nimmt der Tourist zurück?
369. Von der Stadt zum Dorf 24 km. Ein Mann kommt aus der Stadt und geht mit einer Geschwindigkeit von 6 km/h. Zeichnen Sie auf der Entfernungsskala (ein Skalenteil - 1 km) die Position des Fußgängers 1 Stunde nach Verlassen der Stadt ein; nach 2 Stunden; in 3 Stunden usw. Wann kommt er ins Dorf?
370. Wahre oder falsche Ungleichung:
a) 85 678 > 48 - (369 - 78);
b) 7508 + 8534< 26 038?
371. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
a) 36.366-17.366: (200 - 162);
b) 2 355 264: 58 + 1 526 112: 56;
c) 85 408 - 408 (155 - 99);
d) 417 908 + 6073 56 + 627 044.
N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Mathematik Klasse 5, Lehrbuch für Bildungsinstitutionen
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Das Addieren einer Zahl zu einer anderen ist ganz einfach. Schauen wir uns ein Beispiel an: 4+3=7. Dieser Ausdruck bedeutet, dass drei Einheiten zu vier Einheiten addiert wurden und das Ergebnis sieben Einheiten war.
Die von uns hinzugefügten Zahlen 3 und 4 heißen Bedingungen. Und das Ergebnis der Addition der Zahl 7 heißt Menge.
Summe ist die Addition von Zahlen. Pluszeichen „+“. 
In wörtlicher Form würde dieses Beispiel so aussehen:
a+b=C
Zusatzkomponenten:
A- Begriff, B- Bedingungen, C- Summe.
Wenn wir 4 Einheiten zu 3 Einheiten addieren, erhalten wir als Ergebnis der Addition das gleiche Ergebnis; es ist gleich 7. 
Aus diesem Beispiel schließen wir, dass die Antwort dieselbe bleibt, egal wie wir die Begriffe austauschen:
Diese Eigenschaft von Begriffen heißt kommutatives Additionsgesetz.
Kommutatives Additionsgesetz.
Durch eine Änderung der Stellen der Begriffe ändert sich die Summe nicht.
In wörtlicher Schreibweise sieht das Kommutativgesetz so aus:
a+b=b+A
Wenn wir zum Beispiel drei Terme betrachten, nehmen wir die Zahlen 1, 2 und 4. Und wir führen die Addition in dieser Reihenfolge durch, addieren zuerst 1 + 2 und addieren dann zur resultierenden Summe 4, wir erhalten den Ausdruck:
(1+2)+4=7
Wir können das Gegenteil tun, zuerst 2+4 addieren und dann 1 zur resultierenden Summe addieren. Unser Beispiel wird so aussehen:
1+(2+4)=7
Die Antwort bleibt dieselbe. Beide Additionsarten für dasselbe Beispiel haben die gleiche Antwort. Wir fassen zusammen:
(1+2)+4=1+(2+4)
Diese Additionseigenschaft heißt Assoziatives Additionsgesetz.
Das kommutative und assoziative Additionsgesetz gilt für alle nichtnegativen Zahlen.
Kombinationsgesetz der Addition.
Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen hinzuzufügen, können Sie die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.
(a+b)+c=a+(b+C)
Das Kombinationsgesetz gilt für beliebig viele Terme. Wir verwenden dieses Gesetz, wenn wir Zahlen in einer geeigneten Reihenfolge hinzufügen müssen. Addieren wir zum Beispiel die drei Zahlen 12, 6, 8 und 4. Es ist bequemer, zuerst 12 und 8 zu addieren und dann die Summe der beiden Zahlen 6 und 4 zur resultierenden Summe zu addieren.
(12+8)+(6+4)=30
Eigenschaft der Addition mit Null.
Wenn Sie eine Zahl mit Null addieren, ist die resultierende Summe dieselbe Zahl.
3+0=3
0+3=3
3+0=0+3
In einem Literalausdruck sieht die Addition mit Null so aus:
a+0=A
0+
a=A
Fragen zur Addition natürliche Zahlen:
Erstellen Sie eine Additionstabelle und sehen Sie, wie die Eigenschaft des Kommutativgesetzes funktioniert?
Eine Additionstabelle von 1 bis 10 könnte so aussehen:
Zweite Version der Additionstabelle.
Wenn wir uns die Additionstabellen ansehen, können wir sehen, wie das Kommutativgesetz funktioniert.
Wie lautet die Summe im Ausdruck a+b=c?
Antwort: Die Summe ergibt sich aus der Addition der Terme. a+b und c.
Was wird im Ausdruck a+b=c sein?
Antwort: a und b. Addends sind Zahlen, die wir addieren.
Was passiert mit einer Zahl, wenn man 0 dazu addiert?
Antwort: Nichts, die Nummer wird sich nicht ändern. Beim Addieren mit Null bleibt die Zahl gleich, da Null das Fehlen von Einsen bedeutet.
Wie viele Terme müsste das Beispiel enthalten, damit das kombinatorische Additionsgesetz angewendet werden kann?
Antwort: ab drei Semestern oder mehr.
Das Kommutativgesetz wörtlich aufschreiben?
Antwort: a+b=b+a
Beispiele für Aufgaben.
Beispiel 1:
Schreiben Sie die Antwort auf die angegebenen Ausdrücke auf: a) 15+7 b) 7+15
Antwort: a) 22 b) 22
Beispiel #2:
Wenden Sie das Kombinationsgesetz auf die Terme an: 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Antwort: 20.
Beispiel #3:
Lösen Sie den Ausdruck:
a) 5921+0 b) 0+5921
Lösung:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921
Es lassen sich eine Reihe von Ergebnissen feststellen, die dieser Aktion innewohnen. Diese Ergebnisse werden aufgerufen Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen. In diesem Artikel werden wir die Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen im Detail analysieren, sie mit Buchstaben schreiben und erklärende Beispiele geben.
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Kombinationseigenschaft der Addition natürlicher Zahlen.
Lassen Sie uns nun ein Beispiel geben, das die assoziative Eigenschaft der Addition natürlicher Zahlen veranschaulicht.
Stellen wir uns eine Situation vor: 1 Apfel fiel vom ersten Apfelbaum, und 2 Äpfel und 4 weitere Äpfel fielen vom zweiten Apfelbaum. Betrachten Sie nun diese Situation: 1 Apfel und 2 weitere Äpfel fielen vom ersten Apfelbaum und 4 Äpfel fielen vom zweiten Apfelbaum. Es ist klar, dass sowohl im ersten als auch im zweiten Fall gleich viele Äpfel auf dem Boden liegen werden (was durch Neuberechnung überprüft werden kann). Das heißt, das Ergebnis der Addition der Zahl 1 mit der Summe der Zahlen 2 und 4 ist gleich dem Ergebnis der Addition der Summe der Zahlen 1 und 2 mit der Zahl 4.
Das betrachtete Beispiel ermöglicht es uns, die kombinatorische Eigenschaft der Addition natürlicher Zahlen zu formulieren: Um eine gegebene Summe zweier Zahlen zu einer gegebenen Zahl zu addieren, können wir den ersten Term der gegebenen Summe zu dieser Zahl addieren und den zweiten Term der gegebene Summe zum resultierenden Ergebnis. Diese Eigenschaft kann mit Buchstaben wie diesen geschrieben werden: a+(b+c)=(a+b)+c, wobei a, b und c beliebige natürliche Zahlen sind.
Bitte beachten Sie, dass die Gleichung a+(b+c)=(a+b)+c Klammern „(“ und „)“ enthält. Klammern werden in Ausdrücken verwendet, um die Reihenfolge anzugeben, in der Aktionen ausgeführt werden – die Aktionen in Klammern werden zuerst ausgeführt (mehr dazu finden Sie im Abschnitt). Mit anderen Worten: Ausdrücke, deren Werte zuerst ausgewertet werden, werden in Klammern gesetzt.
Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die kombinatorische Eigenschaft der Addition es uns ermöglicht, die Addition von drei, vier oder mehr natürlichen Zahlen eindeutig zu bestimmen.
Die Eigenschaft, Null und eine natürliche Zahl zu addieren, die Eigenschaft, Null und Null zu addieren.
Wir wissen, dass Null KEINE natürliche Zahl ist. Warum haben wir uns entschieden, uns in diesem Artikel mit der Eigenschaft der Addition von Null und einer natürlichen Zahl zu befassen? Dafür gibt es drei Gründe. Erstens: Diese Eigenschaft wird beim Hinzufügen natürlicher Zahlen in einer Spalte verwendet. Zweitens: Diese Eigenschaft wird beim Subtrahieren natürlicher Zahlen verwendet. Drittens: Wenn wir annehmen, dass Null die Abwesenheit von etwas bedeutet, dann stimmt die Bedeutung der Addition von Null und einer natürlichen Zahl mit der Bedeutung der Addition zweier natürlicher Zahlen überein.
Lassen Sie uns einige Überlegungen anstellen, die uns helfen, die Eigenschaft der Addition von Null und einer natürlichen Zahl zu formulieren. Stellen wir uns vor, dass sich keine Objekte in der Box befinden (mit anderen Worten, es sind 0 Objekte in der Box) und ein Objekt darin platziert ist, wobei a eine beliebige natürliche Zahl ist. Das heißt, wir haben 0 und ein Objekt hinzugefügt. Es ist klar, dass sich nach dieser Aktion Gegenstände in der Box befinden. Daher ist die Gleichung 0+a=a wahr.
Wenn eine Box einen Artikel enthält und 0 Artikel hinzugefügt werden (d. h. es werden keine Artikel hinzugefügt), befindet sich nach dieser Aktion ein Artikel in der Box. Also a+0=a .
Jetzt können wir die Eigenschaft der Addition von Null und einer natürlichen Zahl formulieren: die Summe zweier Zahlen, von denen eine Null ist, ist gleich der zweiten Zahl. Mathematisch kann diese Eigenschaft als folgende Gleichheit geschrieben werden: 0+a=a oder a+0=a, wobei a eine beliebige natürliche Zahl ist.
Lassen Sie uns gesondert darauf achten, dass bei der Addition einer natürlichen Zahl und einer Null die kommutative Eigenschaft der Addition wahr bleibt, d. h. a+0=0+a.
Lassen Sie uns abschließend die Eigenschaft der Addition von Null zu Null formulieren (sie ist ziemlich offensichtlich und bedarf keiner weiteren Kommentare): die Summe zweier Zahlen, die jeweils gleich Null sind, ist gleich Null. Also, 0+0=0 .
Jetzt ist es an der Zeit, herauszufinden, wie man natürliche Zahlen addiert.
Referenzliste.
- Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
- Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
Das Thema, dem diese Lektion gewidmet ist, ist „Eigenschaften der Addition“. Darin lernen Sie die kommutativen und assoziativen Eigenschaften der Addition kennen und betrachten sie konkrete Beispiele. Erfahren Sie, in welchen Fällen Sie diese nutzen können, um den Berechnungsprozess zu erleichtern. Mithilfe von Testbeispielen können Sie feststellen, wie gut Sie den Lernstoff beherrschen.
Lektion: Eigenschaften der Addition
Schauen Sie sich den Ausdruck genau an:
9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3
Wir müssen seinen Wert finden. Lass es uns tun.
9 + 6 = 15
15 + 8 = 23
23 + 7 = 30
30 + 2 = 32
32 + 4 = 36
36 + 1 = 37
37 + 3 = 40
Das Ergebnis des Ausdrucks ist 9 + 6 + 8 + 7 + 2 + 4 + 1 + 3 = 40.
Sagen Sie mir, war es bequem zu berechnen? Die Berechnung war nicht sehr bequem. Schauen Sie sich noch einmal die Zahlen in diesem Ausdruck an. Ist es möglich, sie auszutauschen, um die Berechnungen komfortabler zu gestalten?
Wenn wir die Zahlen anders anordnen:
9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = …
9 + 1 = 10
10 + 8 = 18
18 + 2 = 20
20 + 7 = 27
27 + 3 = 30
30 + 6 = 36
36 + 4 = 40
Das Endergebnis des Ausdrucks ist 9 + 1 + 8 + 2 + 7 + 3 + 6 + 4 = 40.
Wir sehen, dass die Ergebnisse der Ausdrücke gleich sind.
Die Terme können vertauscht werden, wenn es für Berechnungen praktisch ist, und der Wert der Summe ändert sich nicht.
In der Mathematik gibt es ein Gesetz: Kommutatives Additionsgesetz. Darin heißt es, dass eine Neuordnung der Begriffe die Summe nicht verändert.
Onkel Fjodor und Sharik stritten. Sharik fand die Bedeutung des Ausdrucks so, wie er geschrieben war, und Onkel Fjodor sagte, dass er eine andere, bequemere Berechnungsmethode kenne. Sehen Sie eine bessere Möglichkeit zur Berechnung?
Sharik löste den Ausdruck so, wie er geschrieben wurde. Und Onkel Fjodor sagte, er kenne das Gesetz, das das Vertauschen von Begriffen erlaubt, und vertauschte die Zahlen 25 und 3.
37 + 25 + 3 = 65 37 + 25 = 62
37 + 3 + 25 = 65 37 + 3 = 40
Wir sehen, dass das Ergebnis gleich bleibt, die Berechnung jedoch viel einfacher geworden ist.
Schauen Sie sich die folgenden Ausdrücke an und lesen Sie sie.
6 + (24 + 51) = 81 (zu 6 die Summe von 24 und 51 addieren)
Gibt es eine bequeme Möglichkeit zur Berechnung?
Wir sehen, dass wir eine runde Zahl erhalten, wenn wir 6 und 24 addieren. Es ist immer einfacher, einer runden Zahl etwas hinzuzufügen. Setzen wir die Summe der Zahlen 6 und 24 in Klammern.
(6 + 24) + 51 = …
(addieren Sie 51 zur Summe der Zahlen 6 und 24)
Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen und prüfen, ob sich der Wert des Ausdrucks geändert hat.
6 + 24 = 30
30 + 51 = 81
Wir sehen, dass die Bedeutung des Ausdrucks dieselbe bleibt.
Üben wir mit einem weiteren Beispiel.
(27 + 19) + 1 = 47 (addieren Sie 1 zur Summe der Zahlen 27 und 19)
Welche Zahlen lassen sich bequem gruppieren, um eine praktische Methode zu bilden?
Sie haben vermutet, dass es sich dabei um die Zahlen 19 und 1 handelt. Setzen wir die Summe der Zahlen 19 und 1 in Klammern.
27 + (19 + 1) = …
(Zu 27 addieren Sie die Summe der Zahlen 19 und 1)
Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Ausdrucks herausfinden. Wir erinnern uns, dass die Aktion in Klammern zuerst ausgeführt wird.
19 + 1 = 20
27 + 20 = 47
Die Bedeutung unseres Ausdrucks bleibt dieselbe.
Kombinationsgesetz der Addition: Zwei benachbarte Terme können durch ihre Summe ersetzt werden.
Lassen Sie uns nun die Anwendung beider Gesetze üben. Wir müssen den Wert des Ausdrucks berechnen:
38 + 14 + 2 + 6 = …
Lassen Sie uns zunächst die kommutative Eigenschaft der Addition verwenden, die es uns ermöglicht, Addenden zu vertauschen. Lassen Sie uns die Begriffe 14 und 2 vertauschen.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = …
Nun nutzen wir die Kombinationseigenschaft, die es uns ermöglicht, zwei benachbarte Terme durch ihre Summe zu ersetzen.
38 + 14 + 2 + 6 = 38 + 2 + 14 + 6 = (38 + 2) + (14 + 6) =…
Zuerst ermitteln wir den Wert der Summe von 38 und 2.
Jetzt ist die Summe 14 und 6.
3. Festival pädagogische Ideen « Öffentlicher Unterricht» ().
Machen Sie es zu Hause
1. Berechnen Sie die Summe der Terme auf verschiedene Arten:
a) 5 + 3 + 5 b) 7 + 8 + 13 c) 24 + 9 + 16
2. Werten Sie die Ergebnisse der Ausdrücke aus:
a) 19 + 4 + 16 + 1 b) 8 + 15 + 12 + 5 c) 20 + 9 + 30 + 1
3. Berechnen Sie den Betrag bequem:
a) 10 + 12 + 8 + 20 b) 17 + 4 + 3 + 16 c) 9 + 7 + 21 + 13
Also, Im Allgemeinen hat die Subtraktion natürlicher Zahlen NICHT die kommutative Eigenschaft. Schreiben wir diese Aussage mit Buchstaben. Wenn a und b ungleiche natürliche Zahlen sind, dann a−b≠b−a. Zum Beispiel 45−21≠21−45.
Die Eigenschaft, die Summe zweier Zahlen von einer natürlichen Zahl zu subtrahieren.
Die nächste Eigenschaft bezieht sich auf die Subtraktion der Summe zweier Zahlen von einer natürlichen Zahl. Schauen wir uns ein Beispiel an, das uns ein Verständnis für diese Eigenschaft vermittelt.
Stellen wir uns vor, wir hätten 7 Münzen in der Hand. Wir beschließen zunächst, zwei Münzen zu behalten, denken aber, dass dies nicht ausreicht, und beschließen, eine weitere Münze zu behalten. Basierend auf der Bedeutung der Addition natürlicher Zahlen kann argumentiert werden, dass wir uns in diesem Fall entschieden haben, die Anzahl der Münzen zu speichern, die durch die Summe 2+1 bestimmt wird. Also nehmen wir zwei Münzen, fügen eine weitere hinzu und legen sie in das Sparschwein. In diesem Fall wird die Anzahl der in unseren Händen verbleibenden Münzen durch die Differenz 7−(2+1) bestimmt.
Stellen Sie sich nun vor, dass wir 7 Münzen haben und 2 Münzen in das Sparschwein legen und danach noch eine Münze. Mathematisch wird dieser Vorgang durch den folgenden numerischen Ausdruck beschrieben: (7−2)−1.
Wenn wir die Münzen zählen, die wir noch in der Hand haben, dann haben wir sowohl im ersten als auch im zweiten Fall 4 Münzen. Das heißt, 7−(2+1)=4 und (7−2)−1=4, also 7−(2+1)=(7−2)−1.
Das betrachtete Beispiel ermöglicht es uns, die Eigenschaft zu formulieren, die Summe zweier Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren. Das Subtrahieren einer gegebenen Summe zweier natürlicher Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl ist dasselbe, als würde man den ersten Term einer gegebenen Summe von einer gegebenen natürlichen Zahl subtrahieren und dann den zweiten Term von der resultierenden Differenz subtrahieren.
Erinnern wir uns daran, dass wir der Subtraktion natürlicher Zahlen nur für den Fall Bedeutung gegeben haben, dass der Minuend größer als der Subtrahend oder gleich diesem ist. Daher können wir eine gegebene Summe von einer gegebenen natürlichen Zahl nur dann subtrahieren, wenn diese Summe nicht größer ist als die zu reduzierende natürliche Zahl. Beachten Sie, dass, wenn diese Bedingung erfüllt ist, jeder der Terme die natürliche Zahl, von der die Summe subtrahiert wird, nicht überschreitet.
Mit Buchstaben wird die Eigenschaft, die Summe zweier Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren, als Gleichheit geschrieben a−(b+c)=(a−b)−c, wobei a, b und c einige natürliche Zahlen sind und die Bedingungen a>b+c oder a=b+c erfüllt sind.
Die betrachtete Eigenschaft sowie die kombinatorische Eigenschaft der Addition natürlicher Zahlen ermöglichen es, die Summe von drei oder mehr Zahlen von einer gegebenen natürlichen Zahl zu subtrahieren.
Die Eigenschaft, eine natürliche Zahl von der Summe zweier Zahlen zu subtrahieren.
Kommen wir zur nächsten Eigenschaft, die mit der Subtraktion einer gegebenen natürlichen Zahl von einer gegebenen Summe zweier natürlicher Zahlen zusammenhängt. Schauen wir uns Beispiele an, die uns helfen, diese Eigenschaft der Subtraktion einer natürlichen Zahl von der Summe zweier Zahlen zu „verstehen“.
Wir haben 3 Bonbons in der ersten Tasche und 5 Bonbons in der zweiten und müssen 2 Bonbons verschenken. Wir können es schaffen verschiedene Wege. Schauen wir sie uns einzeln an.
Zuerst können wir alle Bonbons in eine Tasche stecken, dann 2 Bonbons daraus herausnehmen und verschenken. Beschreiben wir diese Aktionen mathematisch. Nachdem wir die Bonbons in eine Tasche gesteckt haben, wird ihre Anzahl durch die Summe 3+5 bestimmt. Von der Gesamtzahl der Bonbons werden wir nun 2 Bonbons verschenken, während die verbleibende Anzahl an Bonbons durch die folgende Differenz (3+5)−2 bestimmt wird.
Zweitens können wir 2 Bonbons verschenken, indem wir sie aus der ersten Tasche nehmen. In diesem Fall bestimmt die Differenz 3−2 die verbleibende Anzahl an Bonbons in der ersten Tasche, und die Gesamtzahl der in unserer Tasche verbleibenden Bonbons wird durch die Summe (3−2)+5 bestimmt.
Drittens können wir aus der zweiten Tasche 2 Bonbons verschenken. Dann entspricht die Differenz 5−2 der Anzahl der verbleibenden Bonbons in der zweiten Tasche, und die gesamte verbleibende Anzahl an Bonbons wird durch die Summe 3+(5−2) bestimmt.
Es ist klar, dass wir in allen Fällen die gleiche Anzahl an Süßigkeiten haben werden. Folglich gelten die Gleichungen (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2).
Wenn wir nicht 2, sondern 4 Bonbons verschenken müssten, könnten wir dies auf zwei Arten tun. Verschenken Sie zunächst 4 Bonbons, nachdem Sie diese zuvor alle in eine Tasche gesteckt haben. In diesem Fall wird die verbleibende Anzahl an Bonbons durch einen Ausdruck der Form (3+5)−4 bestimmt. Zweitens konnten wir aus der zweiten Tasche 4 Bonbons verschenken. In diesem Fall ergibt die Gesamtzahl der Bonbons die folgende Summe 3+(5−4) . Es ist klar, dass wir sowohl im ersten als auch im zweiten Fall die gleiche Anzahl an Bonbons haben werden, daher gilt die Gleichheit (3+5)−4=3+(5−4).
Nachdem wir die Ergebnisse der Lösung der vorherigen Beispiele analysiert haben, können wir die Eigenschaft formulieren, eine gegebene natürliche Zahl von einer gegebenen Summe zweier Zahlen zu subtrahieren. Das Subtrahieren einer gegebenen natürlichen Zahl von einer gegebenen Summe zweier Zahlen ist dasselbe wie Subtrahieren angegebene Nummer aus einem der Terme, addieren Sie dann die resultierende Differenz und den anderen Term. Es ist zu beachten, dass die zu subtrahierende Zahl NICHT größer sein darf als der Term, von dem diese Zahl subtrahiert wird.
Schreiben wir die Eigenschaft auf, eine natürliche Zahl von einer Summe mit Buchstaben zu subtrahieren. Seien a, b und c einige natürliche Zahlen. Dann ist die Gleichheit wahr, vorausgesetzt, dass a größer oder gleich c ist (a+b)−c=(a−c)+b, und wenn die Bedingung erfüllt ist, dass b größer oder gleich c ist, ist die Gleichheit wahr (a+b)−c=a+(b−c). Wenn sowohl a als auch b größer oder gleich c sind, dann sind beide letzten Gleichungen wahr und können wie folgt geschrieben werden: (a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c) .
Analog können wir die Eigenschaft formulieren, eine natürliche Zahl von der Summe von drei und zu subtrahieren mehr Zahlen. In diesem Fall kann diese natürliche Zahl von jedem Term subtrahiert werden (natürlich nur, wenn sie größer oder gleich der zu subtrahierenden Zahl ist) und die restlichen Terme können zur resultierenden Differenz addiert werden.
Um die erklingende Eigenschaft zu veranschaulichen, können Sie sich vorstellen, dass wir viele Taschen haben und sich darin Süßigkeiten befinden. Angenommen, wir müssen 1 Süßigkeit verschenken. Es ist klar, dass wir aus jeder Tasche 1 Bonbon verschenken können. Dabei spielt es keine Rolle, aus welcher Tasche wir es verschenken, da dies keinen Einfluss auf die Menge an Süßigkeiten hat, die wir noch haben.
Geben wir ein Beispiel. Seien a, b, c und d einige natürliche Zahlen. Wenn a>d oder a=d, dann ist die Differenz (a+b+c)−d gleich der Summe (a−d)+b+c. Wenn b>d oder b=d, dann ist (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Wenn c>d oder c=d, dann ist die Gleichung (a+b+c)−d=a+b+(c−d) wahr.
Es ist zu beachten, dass die Eigenschaft, eine natürliche Zahl von der Summe von drei oder mehr Zahlen zu subtrahieren, keine neue Eigenschaft ist, da sie sich aus den Eigenschaften der Addition natürlicher Zahlen und der Eigenschaft, eine Zahl von der Summe von zwei Zahlen zu subtrahieren, ergibt.
Referenzliste.
- Mathematik. Alle Lehrbücher für die 1., 2., 3., 4. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
- Mathematik. Alle Lehrbücher für die 5. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen.
