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Obwohl Mathematik für die meisten Menschen schwierig erscheint, ist sie alles andere als wahr. Viele mathematische Operationen sind recht einfach zu verstehen, insbesondere wenn man die Regeln und Formeln kennt. Wenn Sie also die Multiplikationstabelle kennen, können Sie schnell im Kopf multiplizieren. Die Hauptsache ist, ständig zu trainieren und die Multiplikationsregeln nicht zu vergessen. Das Gleiche gilt für die Teilung.

Schauen wir uns die Division von ganzen Zahlen, Brüchen und negativen Zahlen an. Erinnern wir uns an die Grundregeln, Techniken und Methoden.

Divisionsbetrieb

Beginnen wir vielleicht mit der Definition und dem Namen der Zahlen, die an dieser Operation beteiligt sind. Dies wird die weitere Präsentation und Wahrnehmung von Informationen erheblich erleichtern.

Die Division ist eine der vier grundlegenden mathematischen Operationen. Sein Studium beginnt in Grundschule. Anschließend wird den Kindern das erste Beispiel zum Teilen einer Zahl durch eine Zahl gezeigt und die Regeln erklärt.

Die Operation umfasst zwei Zahlen: den Dividenden und den Divisor. Das erste ist die Zahl, die geteilt wird, das zweite ist die Zahl, durch die geteilt wird. Das Ergebnis der Division ist der Quotient.

Es gibt verschiedene Notationen zum Schreiben dieser Operation: „:“, „/“ und ein horizontaler Balken – Schreiben in Form eines Bruchs, wenn der Dividend oben und der Divisor unten, unterhalb der Linie, steht.

Regeln

Beim Erlernen einer bestimmten mathematischen Operation ist der Lehrer verpflichtet, die Schüler mit den Grundregeln vertraut zu machen, die sie kennen sollten. Allerdings bleiben sie nicht immer so gut in Erinnerung, wie wir es gerne hätten. Aus diesem Grund haben wir uns entschieden, Ihr Gedächtnis ein wenig über die vier Grundregeln aufzufrischen.

Grundregeln zum Teilen von Zahlen, die Sie immer beachten sollten:

1. Sie können nicht durch Null dividieren. Diese Regel sollte man sich zuerst merken.

2. Sie können Null durch eine beliebige Zahl dividieren, aber das Ergebnis ist immer Null.

3. Wenn eine Zahl durch eins geteilt wird, erhalten wir dieselbe Zahl.

4. Wenn eine Zahl durch sich selbst geteilt wird, erhalten wir eins.

Wie Sie sehen, sind die Regeln recht einfach und leicht zu merken. Obwohl manche eine so einfache Regel wie die Unmöglichkeit vergessen oder die Division von Null durch eine Zahl damit verwechseln.

pro Zahl

Einer der meisten nützliche Regeln- ein Zeichen, anhand dessen die Möglichkeit bestimmt wird, eine natürliche Zahl ohne Rest durch eine andere zu dividieren. Somit werden die Vorzeichen der Teilbarkeit durch 2, 3, 5, 6, 9, 10 unterschieden. Sie erleichtern die Durchführung von Operationen mit Zahlen erheblich. Wir geben auch ein Beispiel für jede Regel zum Teilen einer Zahl durch eine Zahl.

Diese Regelzeichen werden von Mathematikern häufig verwendet.

Test auf Teilbarkeit durch 2

Das am einfachsten zu merkende Zeichen. Eine Zahl, die mit einer geraden Ziffer (2, 4, 6, 8) oder 0 endet, ist immer durch zwei teilbar. Ganz einfach zu merken und zu verwenden. Die Zahl 236 endet also mit einer geraden Ziffer, was bedeutet, dass sie durch zwei teilbar ist.

Überprüfen wir: 236:2 = 118. Tatsächlich ist 236 ohne Rest durch 2 teilbar.

Diese Regel ist nicht nur Erwachsenen, sondern auch Kindern am besten bekannt.

Test auf Teilbarkeit durch 3

Wie teilt man Zahlen richtig durch 3? Denken Sie an die folgende Regel.

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Summe ihrer Ziffern ein Vielfaches von drei ist. Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 381. Die Summe aller Ziffern ergibt 12. Das ist drei, was bedeutet, dass sie ohne Rest durch 3 teilbar ist.

Schauen wir uns auch dieses Beispiel an. 381: 3 = 127, dann ist alles richtig.

Teilbarkeitstest für Zahlen durch 5

Auch hier ist alles einfach. Sie können nur die Zahlen ohne Rest durch 5 dividieren, die auf 5 oder 0 enden. Nehmen wir zum Beispiel Zahlen wie 705 oder 800. Die erste endet auf 5, die zweite auf Null, daher sind beide durch 5 teilbar. Dies ist eine der einfachsten Regeln, mit der Sie schnell durch eine einstellige Zahl 5 dividieren können.

Überprüfen wir dieses Zeichen anhand der folgenden Beispiele: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Wie Sie sehen, funktioniert das Schild.

Teilbarkeit durch 6

Wenn Sie herausfinden möchten, ob eine Zahl durch 6 teilbar ist, müssen Sie zunächst herausfinden, ob sie durch 2 und dann durch 3 teilbar ist. Wenn ja, kann die Zahl beispielsweise ohne Rest durch 6 geteilt werden , die Zahl 216 ist durch 2 teilbar, da sie mit einer geraden Ziffer endet, und durch 3, da die Ziffernsumme 9 ist.

Überprüfen wir: 216:6 = 36. Das Beispiel zeigt, dass dieses Zeichen gültig ist.

Teilbarkeit durch 9

Lassen Sie uns auch darüber sprechen, wie man Zahlen durch 9 dividiert. angegebene Nummer Die Summe der Ziffern, deren Summe durch 9 teilbar ist, ist teilbar, ähnlich der Regel der Division durch 3. Zum Beispiel die Zahl 918. Addieren wir alle Ziffern und erhalten wir 18 – eine Zahl, die ein Vielfaches von 9 ist. Das bedeutet es ist ohne Rest durch 9 teilbar.

Lassen Sie uns dieses Beispiel lösen, um zu überprüfen: 918:9 = 102.

Teilbarkeit durch 10

Ein letztes Zeichen, das Sie wissen sollten. Nur Zahlen, die auf 0 enden, sind durch 10 teilbar. Dieses Muster ist recht einfach und leicht zu merken. Also 500:10 = 50.

Das sind alle wichtigen Anzeichen. Indem Sie sich an sie erinnern, können Sie Ihr Leben einfacher machen. Natürlich gibt es auch andere Zahlen, bei denen es Anzeichen für Teilbarkeit gibt, aber wir haben nur die wichtigsten hervorgehoben.

Divisionstabelle

In der Mathematik gibt es nicht nur ein Einmaleins, sondern auch eine Divisionstabelle. Sobald Sie es gelernt haben, können Sie Operationen problemlos durchführen. Im Wesentlichen ist eine Divisionstabelle eine umgekehrte Multiplikationstabelle. Es selbst zusammenzustellen ist nicht schwierig. Dazu sollten Sie jede Zeile aus der Multiplikationstabelle folgendermaßen umschreiben:

1. Setzen Sie das Produkt der Zahl an die erste Stelle.

2. Setzen Sie ein Divisionszeichen und notieren Sie den zweiten Faktor aus der Tabelle.

3. Notieren Sie nach dem Gleichheitszeichen den ersten Faktor.

Nehmen Sie zum Beispiel die folgende Zeile aus der Multiplikationstabelle: 2*3= 6. Jetzt schreiben wir sie gemäß dem Algorithmus um und erhalten: 6 ÷ 3 = 2.

Sehr oft werden Kinder gebeten, selbst einen Tisch zu erstellen und so ihr Gedächtnis und ihre Aufmerksamkeit zu entwickeln.

Wenn Sie keine Zeit zum Schreiben haben, können Sie das im Artikel vorgestellte verwenden.

Arten der Teilung

Lassen Sie uns ein wenig über die Arten der Teilung sprechen.

Beginnen wir mit der Tatsache, dass wir zwischen der Division ganzer Zahlen und der Division von Brüchen unterscheiden können. Darüber hinaus können wir im ersten Fall über Operationen mit ganzen Zahlen und Dezimalzahlen sprechen und im zweiten Fall nur über Bruchzahlen. In diesem Fall kann ein Bruch entweder der Dividend oder der Divisor oder beides gleichzeitig sein. Dies liegt daran, dass sich Operationen mit Brüchen von Operationen mit ganzen Zahlen unterscheiden.

Anhand der an der Operation beteiligten Zahlen lassen sich zwei Arten der Division unterscheiden: in einstellige Zahlen und in mehrstellige. Am einfachsten ist die Division durch eine einstellige Zahl. Hier müssen Sie keine umständlichen Berechnungen durchführen. Darüber hinaus kann eine Divisionstabelle eine gute Hilfe sein. Die Division durch andere – zwei- oder dreistellige Zahlen – ist schwieriger.

Schauen wir uns Beispiele für diese Teilungsarten an:

14:7 = 2 (Division durch eine einstellige Zahl).

240:12 = 20 (geteilt durch zweistellige Zahl).

45387: 123 = 369 (Division durch eine dreistellige Zahl).

Die letzte kann durch Division unterschieden werden, die positive und negative Zahlen umfasst. Wenn Sie mit letzterem arbeiten, sollten Sie die Regeln kennen, nach denen einem Ergebnis ein positiver oder negativer Wert zugewiesen wird.

Beim Teilen von Zahlen mit verschiedene Zeichen(der Dividend ist eine positive Zahl, der Divisor ist negativ oder umgekehrt) wir erhalten eine negative Zahl. Wenn wir Zahlen mit demselben Vorzeichen dividieren (sowohl der Dividend als auch der Divisor sind positiv oder umgekehrt), erhalten wir eine positive Zahl.

Betrachten Sie zur Verdeutlichung die folgenden Beispiele:

Division von Brüchen

Wir haben uns also die Grundregeln angesehen und ein Beispiel für die Division einer Zahl durch eine Zahl gegeben. Nun wollen wir darüber sprechen, wie man dieselben Operationen mit Brüchen korrekt ausführt.

Auch wenn das Teilen von Brüchen auf den ersten Blick wie eine Menge Arbeit erscheint, ist die Arbeit damit eigentlich gar nicht so schwierig. Das Dividieren eines Bruchs erfolgt auf die gleiche Weise wie das Multiplizieren, allerdings mit einem Unterschied.

Um einen Bruch zu dividieren, müssen Sie zunächst den Zähler des Dividenden mit dem Nenner des Divisors multiplizieren und das resultierende Ergebnis als Zähler des Quotienten aufzeichnen. Dann multiplizieren Sie den Nenner des Dividenden mit dem Zähler des Divisors und schreiben Sie das Ergebnis als Nenner des Quotienten.

Es geht einfacher. Schreiben Sie den Teilerbruch um, indem Sie den Zähler mit dem Nenner vertauschen, und multiplizieren Sie dann die resultierenden Zahlen.

Teilen wir zum Beispiel zwei Brüche: 4/5:3/9. Drehen wir zunächst den Divisor um und erhalten 9/3. Jetzt multiplizieren wir die Brüche: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Wie Sie sehen, ist alles ganz einfach und nicht schwieriger als die Division durch eine einstellige Zahl. Die Beispiele sind nicht einfach zu lösen, wenn man diese Regel nicht vergisst.

Schlussfolgerungen

Division ist eine der mathematischen Operationen, die jedes Kind in der Grundschule lernt. Essen bestimmte Regeln, die Sie kennen sollten, Techniken, die diesen Vorgang erleichtern. Die Division kann mit oder ohne Rest erfolgen; es kann eine Division negativer und gebrochener Zahlen geben.

Es ist ziemlich einfach, sich die Merkmale dieser mathematischen Operation zu merken. Wir haben das meiste geklärt wichtige Punkte Wir haben uns mehr als ein Beispiel für die Division einer Zahl durch eine Zahl angesehen und sogar darüber gesprochen, wie man mit Bruchzahlen arbeitet.

Wenn Sie Ihre Mathematikkenntnisse verbessern möchten, empfehlen wir Ihnen, sich diese einfachen Regeln zu merken. Darüber hinaus können wir Ihnen raten, auf diese Weise Ihr Gedächtnis und Ihre Kopfrechenfähigkeiten zu entwickeln mathematische Diktate oder einfach nur versuchen, den Quotienten von zwei verbal zu berechnen Zufallszahlen. Glauben Sie mir, diese Fähigkeiten werden niemals überflüssig sein.

Division ist eine der vier grundlegenden mathematischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation). Division ist wie andere Operationen nicht nur in der Mathematik wichtig, sondern auch in Alltag. Zum Beispiel spenden Sie als ganze Klasse (25 Personen) Geld und kaufen ein Geschenk für den Lehrer, geben aber nicht alles aus, es bleibt Restgeld übrig. Sie müssen das Wechselgeld also unter allen aufteilen. Die Divisionsoperation kommt ins Spiel, um Ihnen bei der Lösung dieses Problems zu helfen.

Division ist eine interessante Operation, wie wir in diesem Artikel sehen werden!

Zahlen dividieren

Also erst ein bisschen Theorie und dann Praxis! Was ist Teilung? Division bedeutet, etwas in gleiche Teile zu zerlegen. Das heißt, es könnte sich um eine Tüte Süßigkeiten handeln, die in gleiche Teile geteilt werden muss. In einer Tüte sind zum Beispiel 9 Bonbons und die Person, die sie erhalten möchte, ist drei. Dann müssen Sie diese 9 Bonbons auf drei Personen aufteilen.

Es wird so geschrieben: 9:3, die Antwort wird die Zahl 3 sein. Das heißt, wenn man die Zahl 9 durch die Zahl 3 dividiert, erhält man die Anzahl der drei Zahlen, die in der Zahl 9 enthalten sind. Die umgekehrte Aktion, ein Scheck, wird sein Multiplikation. 3*3=9. Rechts? Absolut.

Schauen wir uns also Beispiel 12:6 an. Lassen Sie uns zunächst jede Komponente des Beispiels benennen. 12 – Dividende also. eine Zahl, die in Teile geteilt werden kann. 6 ist ein Divisor, das ist die Anzahl der Teile, in die der Dividend geteilt wird. Und das Ergebnis wird eine Zahl sein, die „Quotient“ genannt wird.

Teilen wir 12 durch 6, das Ergebnis ist die Zahl 2. Sie können die Lösung überprüfen, indem Sie Folgendes multiplizieren: 2*6=12. Es stellt sich heraus, dass die Zahl 6 zweimal in der Zahl 12 enthalten ist.

Division mit Rest

Was ist Division mit Rest? Dies ist die gleiche Division, nur dass das Ergebnis keine gerade Zahl ist, wie oben gezeigt.

Teilen wir zum Beispiel 17 durch 5. Da die größte Zahl, die durch 5 bis 17 teilbar ist, 15 ist, lautet das Ergebnis 3 und der Rest ist 2 und wird wie folgt geschrieben: 17:5 = 3(2).

Zum Beispiel 22:7. Auf die gleiche Weise bestimmen wir die maximale Zahl, die durch 7 bis 22 teilbar ist. Diese Zahl ist 21. Die Antwort lautet dann: 3 und der Rest 1. Und es steht geschrieben: 22:7 = 3 (1).

Division durch 3 und 9

Ein Sonderfall der Division wäre die Division durch die Zahl 3 und die Zahl 9. Wenn Sie herausfinden möchten, ob eine Zahl ohne Rest durch 3 oder 9 teilbar ist, benötigen Sie:

Finden Sie die Summe der Ziffern der Dividende.

Teilen Sie durch 3 oder 9 (je nachdem, was Sie benötigen).

Ergibt sich die Antwort ohne Rest, so wird die Zahl ohne Rest dividiert.

Zum Beispiel die Zahl 18. Die Ziffernsumme ist 1+8 = 9. Die Ziffernsumme ist sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar. Die Zahl 18:9=2, 18:3=6. Ohne Rest geteilt.

Zum Beispiel die Zahl 63. Die Summe der Ziffern ist 6+3 = 9. Teilbar durch 9 und 3. 63:9 = 7 und 63:3 = 21. Solche Operationen werden mit einer beliebigen Zahl durchgeführt, um dies herauszufinden ob es durch den Rest durch 3 oder 9 teilbar ist oder nicht.

Multiplikation und Division

Multiplikation und Division sind gegensätzliche Operationen. Die Multiplikation kann als Test für die Division verwendet werden, und die Division kann als Test für die Multiplikation verwendet werden. In unserem Artikel über Multiplikation erfahren Sie mehr über die Multiplikation und beherrschen die Operation. Hier wird die Multiplikation im Detail beschrieben und wie man sie richtig macht. Dort finden Sie auch die Multiplikationstabelle und Beispiele für das Training.

Hier ist ein Beispiel für die Überprüfung von Division und Multiplikation. Nehmen wir an, das Beispiel ist 6*4. Antwort: 24. Dann überprüfen wir die Antwort durch Division: 24:4=6, 24:6=4. Es wurde richtig entschieden. In diesem Fall erfolgt die Prüfung durch Division der Antwort durch einen der Faktoren.

Oder es wird ein Beispiel für die Teilung 56:8 gegeben. Antwort: 7. Dann lautet der Test 8*7=56. Rechts? Ja. In diesem Fall wird der Test durch Multiplikation der Antwort mit dem Divisor durchgeführt.

Klasse Division 3

In der dritten Klasse fangen sie gerade erst an, die Abteilung zu durchlaufen. Daher lösen Drittklässler die einfachsten Aufgaben:

Problem 1. Ein Fabrikarbeiter erhielt die Aufgabe, 56 Kuchen in 8 Pakete zu packen. Wie viele Kuchen sollten in jede Packung gegeben werden, um jeweils die gleiche Menge zu ergeben?

Problem 2. An Silvester bekamen die Kinder einer 15-köpfigen Klasse in der Schule 75 Bonbons geschenkt. Wie viele Süßigkeiten sollte jedes Kind bekommen?

Problem 3. Roma, Sasha und Misha pflückten 27 Äpfel vom Apfelbaum. Wie viele Äpfel bekommt jede Person, wenn sie gleichmäßig aufgeteilt werden muss?

Problem 4. Vier Freunde kauften 58 Kekse. Aber dann wurde ihnen klar, dass sie sie nicht gleichmäßig aufteilen konnten. Wie viele Kekse müssen die Kinder zusätzlich kaufen, damit jeder 15 bekommt?

Abteilung 4. Klasse

Die Spaltung in der vierten Klasse ist gravierender als in der dritten. Alle Berechnungen werden mit der Spaltenteilungsmethode durchgeführt, und die an der Teilung beteiligten Zahlen sind nicht klein. Was ist eine lange Division? Die Antwort finden Sie unten:

Spalteneinteilung

Was ist eine lange Division? Dies ist eine Methode, mit der Sie die Antwort auf die Division großer Zahlen finden können. Wenn Primzahlen wie 16 und 4, können geteilt werden, und die Antwort ist klar: 4. Dass 512:8 im Kopf ist, ist für ein Kind nicht einfach. Und erzählen Sie uns von der Lösungstechnik ähnliche Beispiele- unsere Aufgabe.

Schauen wir uns ein Beispiel an, 512:8.

1 Schritt. Schreiben wir Dividende und Divisor wie folgt:

Unter dem Divisor wird letztlich der Quotient geschrieben, unter dem Dividenden die Berechnungen.

Schritt 2. Wir beginnen mit der Aufteilung von links nach rechts. Zuerst nehmen wir die Zahl 5:

Schritt 3. Die Zahl 5 ist kleiner als die Zahl 8, was bedeutet, dass eine Teilung nicht möglich ist. Daher nehmen wir eine andere Ziffer der Dividende:

Jetzt ist 51 größer als 8. Dies ist ein unvollständiger Quotient.

Schritt 4. Wir setzen einen Punkt unter den Divisor.

Schritt 5. Nach 51 gibt es eine weitere Zahl 2, was bedeutet, dass die Antwort noch eine Zahl mehr enthält. Quotient ist eine zweistellige Zahl. Lassen Sie uns den zweiten Punkt formulieren:

Schritt 6. Wir beginnen mit der Divisionsoperation. Größte Zahl, teilbar durch 8 ohne Rest zu 51 – 48. Wenn wir 48 durch 8 teilen, erhalten wir 6. Schreiben Sie die Zahl 6 anstelle des ersten Punktes unter den Divisor:

Schritt 7. Dann schreiben Sie die Zahl genau unter die Zahl 51 und setzen Sie ein „-“-Zeichen:

Schritt 8. Dann subtrahieren wir 48 von 51 und erhalten die Antwort 3.

* 9 Schritt*. Wir notieren die Nummer 2 und schreiben sie neben die Nummer 3:

Schritt 10 Wir teilen die resultierende Zahl 32 durch 8 und erhalten die zweite Ziffer der Antwort – 4.

Die Antwort lautet also 64, ohne Rest. Wenn wir die Zahl 513 dividieren würden, wäre der Rest eins.

Division von drei Ziffern

Die Division dreistelliger Zahlen erfolgt mit der Methode der langen Division, die im obigen Beispiel erläutert wurde. Ein Beispiel für eine nur dreistellige Zahl.

Division von Brüchen

Brüche zu dividieren ist nicht so schwierig, wie es auf den ersten Blick scheint. Beispiel: (2/3):(1/4). Die Methode dieser Aufteilung ist recht einfach. 2/3 ist der Dividend, 1/4 ist der Divisor. Sie können das Divisionszeichen (:) durch Multiplikation ( ), aber dazu müssen Sie Zähler und Nenner des Divisors vertauschen. Das heißt, wir erhalten: (2/3)(4/1), (2/3)*4, das entspricht 8/3 oder 2 ganzen Zahlen und 2/3. Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel mit einer Illustration zum besseren Verständnis geben. Betrachten Sie die Brüche (4/7):(2/5):

Wie im vorherigen Beispiel kehren wir den 2/5-Divisor um und erhalten 5/2, indem wir die Division durch Multiplikation ersetzen. Wir erhalten dann (4/7)*(5/2). Wir machen eine Reduktion und antworten: 10/7, dann nehmen wir den ganzen Teil heraus: 1 Ganzes und 3/7.

Zahlen in Klassen einteilen

Stellen wir uns die Zahl 148951784296 vor und dividieren sie durch drei Ziffern: 148.951.784.296. Von rechts nach links: 296 ist die Klasse der Einheiten, 784 ist die Klasse der Tausender, 951 ist die Klasse der Millionen, 148 ist die Klasse der Milliarden. In jeder Klasse haben wiederum 3 Ziffern eine eigene Ziffer. Von rechts nach links: Die erste Ziffer ist die Einerstelle, die zweite Ziffer die Zehnerstelle und die dritte die Hunderterstelle. Die Einheitenklasse ist beispielsweise 296, 6 sind Einsen, 9 sind Zehner, 2 sind Hunderter.

Division natürlicher Zahlen

Division natürliche Zahlen– Dies ist die einfachste Unterteilung, die in diesem Artikel beschrieben wird. Es kann entweder mit oder ohne Rest sein. Der Divisor und der Dividend können beliebige nicht gebrochene ganze Zahlen sein.

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Präsentation der Abteilung

Die Präsentation ist eine weitere Möglichkeit, das Thema Teilung zu visualisieren. Nachfolgend finden Sie einen Link zu einer hervorragenden Präsentation, die gut erklärt, wie man dividiert, was Division ist, was Dividende, Divisor und Quotient sind. Verschwenden Sie keine Zeit, sondern festigen Sie Ihr Wissen!

Beispiele für Division

Einfaches Niveau

Mittelstufe

Schwieriges Level

Spiele zur Entwicklung des Kopfrechnens

Spezielle Lernspiele, die unter Beteiligung russischer Wissenschaftler aus Skolkowo entwickelt wurden, werden zur Verbesserung der Fähigkeiten beitragen mündliches Zählen auf interessante spielerische Art und Weise.

Spiel „Erraten Sie die Operation“

Das Spiel „Guess the Operation“ fördert das Denken und Gedächtnis. Der Hauptpunkt Im Spiel müssen Sie ein mathematisches Vorzeichen wählen, damit die Gleichheit wahr ist. Es gibt Beispiele auf dem Bildschirm, schauen Sie genau hin und stellen Sie sie ein das richtige Zeichen„+“ oder „-“, damit die Gleichheit wahr ist. Die Zeichen „+“ und „-“ befinden sich am unteren Rand des Bildes. Wählen Sie das gewünschte Zeichen aus und klicken Sie auf die gewünschte Schaltfläche. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

Spiel "Vereinfachung"

Das Spiel „Vereinfachung“ fördert das Denken und Gedächtnis. Der Kern des Spiels besteht darin, schnell eine mathematische Operation durchzuführen. Ein Schüler wird an der Tafel auf den Bildschirm gezeichnet und ihm wird eine mathematische Operation gegeben; er muss dieses Beispiel berechnen und die Antwort aufschreiben. Nachfolgend finden Sie drei Antworten. Zählen Sie die benötigte Zahl und klicken Sie mit der Maus darauf. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

Spiel „Schnelle Zugabe“

Das Spiel „Quick Addition“ fördert Denken und Gedächtnis. Der Kern des Spiels besteht darin, Zahlen zu wählen, deren Summe einer bestimmten Zahl entspricht. In diesem Spiel wird eine Matrix von eins bis sechzehn vorgegeben. Über der Matrix steht eine bestimmte Zahl; Sie müssen die Zahlen in der Matrix so auswählen, dass die Summe dieser Ziffern der angegebenen Zahl entspricht. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

Visuelles Geometriespiel

Das Spiel „Visual Geometry“ fördert Denken und Gedächtnis. Der Kern des Spiels besteht darin, schnell die Anzahl der schattierten Objekte zu zählen und sie aus der Antwortliste auszuwählen. In diesem Spiel werden einige Sekunden lang blaue Quadrate auf dem Bildschirm angezeigt. Sie müssen sie schnell zählen, dann schließen sie sich. Unterhalb der Tabelle stehen vier Zahlen. Sie müssen eine richtige Zahl auswählen und mit der Maus darauf klicken. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

Spiel „Sparschwein“

Das Sparschweinspiel fördert das Denken und das Gedächtnis. Der Hauptpunkt des Spiels besteht darin, auszuwählen, welches Sparschwein verwendet werden soll mehr Geld.In diesem Spiel gibt es vier Sparschweine. Sie müssen zählen, welches Sparschwein das meiste Geld hat, und dieses Sparschwein mit der Maus zeigen. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

Spiel „Schnelles Additions-Nachladen“

Das Spiel „Fast Addition Reboot“ fördert Denken, Gedächtnis und Aufmerksamkeit. Der Hauptpunkt des Spiels besteht darin, die richtigen Begriffe auszuwählen, deren Summe der angegebenen Zahl entspricht. In diesem Spiel werden drei Zahlen auf dem Bildschirm angezeigt und es wird eine Aufgabe gegeben: Fügen Sie die Zahl hinzu. Der Bildschirm zeigt an, welche Zahl hinzugefügt werden muss. Sie wählen aus drei Ziffern die gewünschten Ziffern aus und drücken diese. Wenn Sie richtig geantwortet haben, erhalten Sie Punkte und können weiterspielen.

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Einstellige natürliche Zahlen lassen sich leicht im Kopf dividieren. Aber wie dividiert man mehrstellige Zahlen? Wenn eine Zahl bereits mehr als zwei Ziffern hat, kann das mentale Zählen viel Zeit in Anspruch nehmen und die Fehleranfälligkeit beim Arbeiten mit mehrstelligen Zahlen steigt.

Die Spaltendivision ist eine praktische Methode, die häufig zum Dividieren mehrstelliger natürlicher Zahlen verwendet wird. Dieser Methode ist dieser Artikel gewidmet. Im Folgenden sehen wir uns an, wie man eine lange Division durchführt. Schauen wir uns zunächst den Algorithmus zum Teilen einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl in eine Spalte und dann - mehrstellige Zahl durch mehrstellige Zahl - an. Neben der Theorie liefert der Artikel praktische Beispiele zur Langdivision.

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Am bequemsten ist es, Notizen auf kariertem Papier zu machen, da die Linien bei Berechnungen verhindern, dass Sie sich bei den Ziffern verwirren. Zuerst werden Dividend und Divisor von links nach rechts in einer Zeile geschrieben und dann durch ein spezielles Divisionszeichen in einer Spalte getrennt, die wie folgt aussieht:

Nehmen wir an, wir müssen 6105 durch 55 teilen. Schreiben wir:

Unter dem Dividenden schreiben wir Zwischenberechnungen und unter dem Divisor das Ergebnis. Im Allgemeinen sieht das Spaltenaufteilungsschema so aus:

Bitte beachten Sie, dass Berechnungen freien Platz auf der Seite benötigen. Darüber hinaus sind die Berechnungen umso umfangreicher, je größer der Unterschied in den Ziffern von Dividende und Divisor ist.

Beispielsweise benötigt die Division der Zahlen 614.808 und 51.234 weniger Platz als die Division der Zahl 8.058 durch 4. Obwohl im zweiten Fall die Zahlen kleiner sind, ist der Unterschied in der Anzahl der Ziffern größer und die Berechnungen werden umständlicher. Lassen Sie uns dies veranschaulichen:

Es ist am bequemsten, praktische Fähigkeiten daran zu üben einfache Beispiele. Teilen wir daher die Zahlen 8 und 2 in eine Spalte auf. Natürlich ist diese Operation einfach im Kopf oder mit der Multiplikationstabelle durchzuführen, aber einfach durchzuführen detaillierte Analyse Es wird der Klarheit halber nützlich sein, obwohl wir bereits wissen, dass 8 ÷ 2 = 4.

Also schreiben wir zunächst den Dividenden und den Divisor nach der Spaltenteilungsmethode auf.

Im nächsten Schritt gilt es herauszufinden, wie viele Teiler die Dividende enthält. Wie geht das? Wir multiplizieren den Divisor nacheinander mit 0, 1, 2, 3. . Wir tun dies, bis das Ergebnis eine Zahl ist, die gleich oder größer als die Dividende ist. Wenn das Ergebnis sofort eine Zahl ergibt, die dem Dividenden entspricht, schreiben wir unter den Divisor die Zahl, mit der der Divisor multipliziert wurde.

Andernfalls, wenn wir eine Zahl erhalten, die größer als der Dividend ist, schreiben wir unter den Divisor die im vorletzten Schritt berechnete Zahl. Anstelle des unvollständigen Quotienten schreiben wir die Zahl, mit der der Divisor im vorletzten Schritt multipliziert wurde.

Kehren wir zum Beispiel zurück.

2 · 0 = 0 ; 2 · 1 = 2 ; 2 · 2 = 4 ; 2 · 3 = 6 ; 2 4 = 8

Wir erhielten also sofort eine Zahl, die der Dividende entspricht. Wir schreiben es unter den Dividenden und schreiben an die Stelle des Quotienten die Zahl 4, mit der wir den Divisor multipliziert haben.

Jetzt müssen nur noch die Zahlen unter dem Divisor subtrahiert werden (ebenfalls mit der Spaltenmethode). In unserem Fall ist 8 - 8 = 0.

In diesem Beispiel werden Zahlen ohne Rest dividiert. Die nach der Subtraktion erhaltene Zahl ist der Rest der Division. Ist sie gleich Null, werden die Zahlen ohne Rest dividiert.

Schauen wir uns nun ein Beispiel an, bei dem Zahlen durch einen Rest dividiert werden. Teilen Sie die natürliche Zahl 7 durch die natürliche Zahl 3.

In diesem Fall die sequentielle Multiplikation von drei mit 0, 1, 2, 3. . wir erhalten als Ergebnis:

3 0 = 0< 7 ; 3 · 1 = 3 < 7 ; 3 · 2 = 6 < 7 ; 3 · 3 = 9 > 7

Unter die Dividende schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl. Mit dem Divisor schreiben wir die Zahl 2 auf – den unvollständigen Quotienten, den wir im vorletzten Schritt erhalten haben. Mit zwei multiplizierten wir den Divisor, als wir 6 erhielten.

Um die Operation abzuschließen, subtrahieren Sie 6 von 7 und erhalten:

In diesem Beispiel werden Zahlen durch einen Rest dividiert. Der Teilquotient ist 2 und der Rest ist 1.

Nachdem wir nun elementare Beispiele betrachtet haben, gehen wir nun zur Aufteilung mehrstelliger natürlicher Zahlen in einstellige Zahlen über.

Wir betrachten den Spaltenteilungsalgorithmus am Beispiel der Division der mehrstelligen Zahl 140288 durch die Zahl 4. Sagen wir gleich, dass es viel einfacher ist, das Wesen der Methode anhand praktischer Beispiele zu verstehen, und dieses Beispiel wurde nicht zufällig ausgewählt, da es alle möglichen Nuancen der Division natürlicher Zahlen in einer Spalte veranschaulicht.

1. Schreiben Sie die Zahlen zusammen mit dem Divisionszeichen in eine Spalte. Schauen Sie sich nun die erste Ziffer links in der Dividendennotation an. Zwei Fälle sind möglich: Die durch diese Ziffer definierte Zahl ist größer als der Teiler und umgekehrt. Im ersten Fall arbeiten wir mit dieser Zahl, im zweiten Fall nehmen wir zusätzlich die nächste Ziffer in der Dividendenschreibweise und arbeiten mit der entsprechenden zweistelligen Zahl. In Übereinstimmung mit diesem Punkt markieren wir im Beispieldatensatz die Nummer, mit der wir zunächst arbeiten werden. Diese Zahl ist 14, weil die erste Ziffer des Dividenden 1 kleiner als der Divisor 4 ist.

2. Bestimmen Sie, wie oft der Zähler in der resultierenden Zahl enthalten ist. Bezeichnen wir diese Zahl als x = 14. Wir multiplizieren nacheinander den Teiler 4 mit jedem Mitglied der Reihe natürlicher Zahlen ℕ, einschließlich Null: 0, 1, 2, 3 und so weiter. Dies machen wir so lange, bis wir als Ergebnis x oder eine Zahl größer als x erhalten. Wenn das Ergebnis der Multiplikation die Zahl 14 ist, schreiben wir sie gemäß den Regeln für das Schreiben von Subtraktionen in eine Spalte unter die hervorgehobene Zahl. Unter dem Divisor steht der Faktor, mit dem der Divisor multipliziert wurde. Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl größer als x ist, schreiben wir unter die hervorgehobene Zahl die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl und anstelle des unvollständigen Quotienten (unter dem Divisor) den Faktor, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde im vorletzten Schritt.

Gemäß dem Algorithmus haben wir:

4 0 = 0< 14 ; 4 · 1 = 4 < 14 ; 4 · 2 = 8 < 14 ; 4 · 3 = 12 < 14 ; 4 · 4 = 16 > 14 .

Unter die hervorgehobene Zahl schreiben wir die im vorletzten Schritt erhaltene Zahl 12. Anstelle des Quotienten schreiben wir den Faktor 3.

3. Subtrahieren Sie mithilfe einer Spalte 12 von 14 und schreiben Sie das Ergebnis unter die horizontale Linie. Analog zum ersten Punkt vergleichen wir die resultierende Zahl mit dem Divisor.

4. Die Zahl 2 ist kleiner als die Zahl 4, also schreiben wir unter den horizontalen Strich nach den beiden die Zahl, die sich in der nächsten Ziffer des Dividenden befindet. Wenn der Dividend keine weiteren Ziffern mehr enthält, endet die Division. In unserem Beispiel schreiben wir nach der im vorherigen Absatz erhaltenen Zahl 2 die nächste Ziffer der Dividende auf – 0. Als Ergebnis notieren wir eine neue Arbeitsnummer - 20.

Wichtig!

Die Punkte 2 - 4 werden zyklisch wiederholt, bis die Operation der Division natürlicher Zahlen durch eine Spalte abgeschlossen ist.

2. Zählen wir noch einmal, wie viele Teiler in der Zahl 20 enthalten sind. 4 mit 0, 1, 2, 3 multiplizieren. . wir bekommen:

Da wir als Ergebnis eine Zahl gleich 20 erhalten haben, schreiben wir diese unter die markierte Zahl und anstelle des Quotienten schreiben wir in die nächste Ziffer 5 – den Faktor, mit dem die Multiplikation durchgeführt wurde.

3. Wir führen die Subtraktion in einer Spalte durch. Da die Zahlen gleich sind, ergibt sich die Zahl Null: 20 - 20 = 0.

4. Wir werden die Zahl Null nicht aufschreiben, da diese Phase nicht das Ende der Division darstellt. Erinnern wir uns einfach an die Stelle, an der wir es aufschreiben könnten, und schreiben wir daneben die Zahl ab der nächsten Ziffer der Dividende. In unserem Fall ist die Zahl 2.

Wir nehmen diese Zahl als Arbeitszahl und führen erneut die Schritte des Algorithmus aus.

2. Multiplizieren Sie den Divisor mit 0, 1, 2, 3. . und vergleichen Sie das Ergebnis mit der markierten Zahl.

4 0 = 0< 2 ; 4 · 1 = 4 > 2

Dementsprechend schreiben wir unter die markierte Zahl die Zahl 0 und unter den Divisor in der nächsten Ziffer des Quotienten schreiben wir ebenfalls 0.

3. Führen Sie die Subtraktionsoperation durch und schreiben Sie das Ergebnis unter die Zeile.

4. Fügen Sie rechts unter der Zeile die Zahl 8 hinzu, da dies die nächste Ziffer der zu dividierenden Zahl ist.

Somit erhalten wir eine neue Arbeitsnummer - 28. Wir wiederholen die Punkte des Algorithmus noch einmal.

Nachdem wir alles nach den Regeln gemacht haben, erhalten wir das Ergebnis:

Wir verschieben die letzte Ziffer der Dividende unter die Linie - 8. IN Letztes Mal Wir wiederholen die Algorithmuspunkte 2 – 4 und erhalten:

Ganz unten in der Zeile schreiben wir die Zahl 0. Diese Nummer wird nur geschrieben letzte Etappe Teilung, wenn der Vorgang abgeschlossen ist.

Das Ergebnis der Division der Zahl 140228 durch 4 ist also die Zahl 35072. Dieses Beispiel wird sehr detailliert analysiert und bei der Lösung gelöst praktische Aufgaben Es ist nicht nötig, alle Aktionen so ausführlich zu beschreiben.

Wir geben weitere Beispiele für die Aufteilung von Zahlen in eine Spalte und Beispiele für das Schreiben von Lösungen.

Beispiel 1. Spaltenteilung natürlicher Zahlen

Teilen Sie die natürliche Zahl 7136 durch die natürliche Zahl 9.

Nach dem zweiten, dritten und vierten Schritt des Algorithmus hat der Datensatz die Form:

Wiederholen wir den Zyklus:

Der letzte Durchgang, und wir lesen das Ergebnis:

Antwort: Der Teilquotient von 7136 und 9 ist 792 und der Rest ist 8.

Bei der Entscheidung praktische Beispiele Verzichten Sie idealerweise gänzlich auf Erklärungen in Form von verbalen Kommentaren.

Beispiel 2. Aufteilen natürlicher Zahlen in eine Spalte

Teilen Sie die Zahl 7042035 durch 7.

Antwort: 1006005

Der Algorithmus zum Teilen mehrstelliger Zahlen in eine Spalte ist dem zuvor diskutierten Algorithmus zum Teilen einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl sehr ähnlich. Genauer gesagt betreffen die Änderungen nur den ersten Punkt, während die Punkte 2 – 4 unverändert bleiben.
Wenn wir bei der Division durch eine einstellige Zahl nur auf die erste Ziffer des Dividenden geschaut haben, schauen wir uns jetzt so viele Ziffern an, wie im Divisor vorhanden sind. Wenn die durch diese Ziffern bestimmte Zahl größer als der Divisor ist, Wir nehmen es als Arbeitsnummer. Andernfalls fügen wir eine weitere Ziffer von der nächsten Ziffer des Dividenden hinzu. Dann folgen wir den Schritten des oben beschriebenen Algorithmus.

Betrachten wir die Anwendung des Algorithmus zur Division mehrstelliger Zahlen anhand eines Beispiels.

Beispiel 3. Aufteilen natürlicher Zahlen in eine Spalte

Teilen wir 5562 durch 206.

Der Divisor enthält drei Vorzeichen, also wählen wir gleich die Zahl 556 im Dividenden aus.
556 > 206, also nehmen wir diese Zahl als Arbeitszahl und fahren mit Punkt 2 des Agloritms fort.
Multiplizieren Sie 206 mit 0, 1, 2, 3. . und wir bekommen:

206 0 = 0< 556 ; 206 · 1 = 206 < 556 ; 206 · 2 = 412 < 556 ; 206 · 3 = 618 > 556

618 > 556, also schreiben wir unter den Divisor das Ergebnis der vorletzten Aktion und unter den Dividenden den Faktor 2

Führen Sie eine Spaltensubtraktion durch

Als Ergebnis der Subtraktion erhalten wir die Zahl 144. Rechts neben dem Ergebnis schreiben wir unter der Zeile die Zahl aus der entsprechenden Ziffer der Dividende und erhalten eine neue Arbeitszahl – 1442.

Wir wiederholen die Punkte 2 – 4 mit ihm. Wir bekommen:

206 5 = 1030< 1442 ; 206 · 6 = 1236 < 1442 ; 206 · 7 = 1442

Unter die markierte Arbeitszahl schreiben wir 1442 und in die nächste Quotientenziffer schreiben wir die Zahl 7 – den Multiplikator.

Wir führen eine Subtraktion in einer Spalte durch und verstehen, dass dies das Ende der Divisionsoperation ist: Es gibt keine weiteren Ziffern im Divisor, die rechts vom Subtraktionsergebnis geschrieben werden könnten.

Zum Abschluss dieses Themas geben wir ohne Erklärung ein weiteres Beispiel für die Aufteilung mehrstelliger Zahlen in eine Spalte.

Beispiel 5. Spaltenteilung natürlicher Zahlen

Teilen Sie die natürliche Zahl 238079 durch 34.

Antwort: 7002

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Division ist eine zur Multiplikation umgekehrte arithmetische Operation, durch die man herausfindet, wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten ist.

Die zu dividierende Zahl wird aufgerufen teilbar, die Zahl, durch die dividiert wird, heißt Teiler, das Ergebnis der Division heißt Privat.

So wie die Multiplikation die wiederholte Addition ersetzt, ersetzt die Division die wiederholte Subtraktion. Wenn man beispielsweise die Zahl 10 durch 2 dividiert, muss man herausfinden, wie oft die Zahl 2 in 10 enthalten ist:

10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

Indem wir die Operation des Subtrahierens von 2 von 10 wiederholen, finden wir, dass 2 fünfmal in 10 enthalten ist. Dies lässt sich leicht überprüfen, indem man 2 mal fünf addiert oder 2 mit 5 multipliziert:

10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5

Um die Division aufzuzeichnen, verwenden Sie das Zeichen: (Doppelpunkt), ÷ (Obelus) oder / (Schrägstrich). Es wird zwischen dem Dividenden und dem Divisor platziert, wobei der Dividend links vom Divisionszeichen und der Divisor rechts davon geschrieben wird. Wenn Sie beispielsweise 10: 5 schreiben, bedeutet dies, dass die Zahl 10 durch die Zahl 5 teilbar ist. Setzen Sie rechts neben dem Divisionsdatensatz ein =-Zeichen (Gleichheitszeichen), danach wird das Ergebnis der Division geschrieben. Somit sieht die vollständige Divisionsnotation wie folgt aus:

Dieser Eintrag lautet wie folgt: Der Quotient von zehn und fünf ist gleich zwei, oder zehn geteilt durch fünf ist zwei.

Division kann auch als die Aktion betrachtet werden, durch die eine Zahl in so viele gleiche Teile geteilt wird, wie es Einheiten in einer anderen Zahl gibt (durch die sie geteilt wird). Dadurch wird bestimmt, wie viele Einheiten in jedem einzelnen Teil enthalten sind.

Wenn wir zum Beispiel 10 Äpfel haben, teilen wir 10 durch 2 und erhalten zwei gleiche Teile, die jeweils 5 Äpfel enthalten:

Abteilung prüfen

Um die Division zu überprüfen, können Sie den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren (oder umgekehrt). Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl ist, die dem Dividenden entspricht, ist die Division korrekt.

Betrachten Sie den Ausdruck:

Dabei ist 12 der Dividend, 4 der Divisor und 3 der Quotient. Überprüfen wir nun die Division, indem wir den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren:

oder Divisor durch Quotienten:

Die Division kann auch durch Division überprüft werden; dazu müssen Sie den Dividenden durch den Quotienten dividieren. Wenn das Ergebnis der Division eine Zahl ist, die dem Divisor entspricht, wird die Division korrekt durchgeführt:

Das Haupteigentum des Privaten

Der Quotient hat eine wichtige Eigenschaft:

Der Quotient ändert sich nicht, wenn Dividend und Divisor mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Zum Beispiel,

32: 4 = 8, (32 3) : (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8

Eine Zahl durch sich selbst und eins dividieren

Für jede natürliche Zahl A Die folgenden Gleichheiten sind wahr:

A : 1 = A
A : A = 1

Nummer 0 in der Division

Wenn Null durch eine beliebige natürliche Zahl dividiert wird, ist das Ergebnis Null:

0: A = 0

Eine Division durch Null ist nicht möglich.

Schauen wir uns an, warum man nicht durch Null dividieren kann. Wenn der Dividend nicht Null ist, sondern eine beliebige andere Zahl, zum Beispiel 4, dann würde die Division durch Null bedeuten, eine Zahl zu finden, die mit Null multipliziert die Zahl 4 ergibt. Eine solche Zahl gibt es aber nicht, denn jede Zahl, wenn man es mit Null multipliziert, ergibt es wieder Null.

Wenn der Dividend ebenfalls gleich Null ist, ist eine Division möglich, aber jede Zahl kann als Quotient dienen, denn in diesem Fall ergibt jede Zahl nach Multiplikation mit dem Divisor (0) den Dividenden (also wieder 0). Somit führt eine Teilung zwar möglich, aber nicht zu einem einzigen eindeutigen Ergebnis.

Teilbarkeitsrelation. Wenn bei der Division einer natürlichen Zahl a durch eine natürliche Zahl b mit Rest der Rest 0 ist, dann heißt a durch b teilbar. In diesem Fall heißt a ein Vielfaches von b, b heißt ein Teiler von a.

Bezeichnung a:b

Aufnahme mit Symbolen (a,bN) (a:b)(cN) (a=bc).

Primzahl. Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie nur durch sich selbst und durch eins teilbar ist, also nur zwei Teiler hat.

Zusammengesetzte Zahl. Eine natürliche Zahl heißt zusammengesetzt, wenn sie mehr als zwei Teiler hat.

• 1 ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl, da sie nur einen Teiler hat – sich selbst.
• 2 ist die einzige gerade Primzahl.

Eigenschaften der Teilbarkeitsrelation:

• 1. Wenn a durch b teilbar ist, dann a?b.
• 2. Reflexivität, d.h. Jede natürliche Zahl ist durch sich selbst teilbar.
• 3. Antisymmetrie, d.h. Wenn zwei Zahlen ungleich sind und die erste durch die zweite teilbar ist, dann ist die zweite nicht durch die erste teilbar.
• 4. Transitivität, d.h. Wenn die erste Zahl durch die zweite Zahl teilbar ist, ist die zweite Zahl durch die dritte Zahl teilbar, dann ist die erste Zahl durch die dritte Zahl teilbar.

Die Teilbarkeitsrelation durch N ist eine partielle nichtstrikte Ordnungsrelation. Die Bestellung ist teilweise, weil Es gibt Paare verschiedener natürlicher Zahlen, von denen keine durch die andere teilbar ist.

Ein Zeichen dafür, dass eine Summe durch eine Zahl teilbar ist. Wenn jeder Term einer Summe durch eine Zahl teilbar ist, dann wird die gesamte Summe durch diese Zahl geteilt (damit die Summe durch eine Zahl teilbar ist, reicht es aus, dass jeder Term durch diese Zahl teilbar ist). Diese Funktion ist nicht notwendig, d.h. Wenn jeder Term nicht durch eine Zahl teilbar ist, kann die gesamte Summe durch diese Zahl geteilt werden.

Testen Sie die Teilbarkeit einer Differenz durch eine Zahl. Wenn der Minuend und der Subtrahend durch eine Zahl geteilt werden und der Minuend größer als der Subtrahend ist, dann wird die Differenz durch diese Zahl geteilt (damit die Differenz durch eine Zahl teilbar ist, reicht es aus, dass der Minuend und der Subtrahend werden durch diese Zahl dividiert, sofern diese Differenz positiv ist). Diese Funktion ist nicht notwendig, d.h. Minuend und Subtrahend sind möglicherweise nicht durch die Zahl teilbar, aber ihre Differenz kann durch diese Zahl teilbar sein.

Ein Zeichen dafür, dass eine Summe durch eine Zahl unteilbar ist. Wenn alle Terme einer Summe bis auf einen durch eine Zahl teilbar sind, dann ist die Summe nicht durch diese Zahl teilbar.

Ein Test für die Teilbarkeit eines Produkts durch eine Zahl. Wenn mindestens ein Faktor in einem Produkt durch eine Zahl teilbar ist, dann wird das Produkt durch diese Zahl geteilt (damit das Produkt durch eine Zahl teilbar ist, reicht es aus, dass ein Faktor im Produkt durch diese Zahl teilbar ist) . Diese Funktion ist nicht notwendig, d.h. Wenn kein Faktor in einem Produkt durch eine Zahl teilbar ist, kann das Produkt durch diese Zahl geteilt werden.

Ein Zeichen für die Teilbarkeit eines Werkes in ein Produkt. Wenn die Zahl a durch die Zahl b teilbar ist, wird die Zahl c durch die Zahl d geteilt, dann wird das Produkt der Zahlen a und c durch das Produkt der Zahlen b und d geteilt. Dieses Attribut ist nicht erforderlich.

Test auf Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 2. Damit eine natürliche Zahl durch 2 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Dezimalschreibweise dieser Zahl auf eine der Ziffern 0, 2, 4, 6 oder 8 endet.

Test auf Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 5. Damit eine natürliche Zahl durch 5 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Dezimalschreibweise dieser Zahl auf 0 oder 5 endet.

Test auf Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 4. Damit eine natürliche Zahl durch 4 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Dezimalschreibweise dieser Zahl auf 00 oder zwei endet letzten Ziffern In der Dezimalschreibweise bildete diese Zahl eine zweistellige Zahl, die ein Vielfaches von 4 war.

Test auf Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 3. Damit eine natürliche Zahl durch 3 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe aller Ziffern der Dezimalschreibweise dieser Zahl durch 3 teilbar ist.

Test auf Teilbarkeit natürlicher Zahlen durch 9. Damit eine natürliche Zahl durch 9 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Summe aller Ziffern der Dezimalschreibweise dieser Zahl durch 9 teilbar ist.

Der gemeinsame Teiler der natürlichen Zahlen a und b ist eine natürliche Zahl, die ein Teiler jeder dieser Zahlen ist.

Der größte gemeinsame Teiler der natürlichen Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl aller gemeinsamen Teiler dieser Zahlen.

Bezeichnung GCD (a, b)

Eigenschaften von GCD (a, b):

• 1. Es gibt immer nur einen.
• 2. den kleineren Wert von a und b nicht überschreitet.
• 3. teilbar durch jeden gemeinsamen Teiler von a und b.

Das gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen a und b ist die natürliche Zahl, die ein Vielfaches jeder dieser Zahlen ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der natürlichen Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl aller gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.

Bezeichnung NOC (a, b)

Eigenschaften von NOC (a, b):

• 1. Es gibt immer nur eins.
• 2. nicht kleiner als der größere Wert von a und b.
• 3. Jedes gemeinsame Vielfache von a und b ist durch es teilbar.

Gegenseitig Primzahlen. Natürliche Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn sie außer 1 keinen gemeinsamen Teiler haben, also GCD (a, b) = 1.

Teilbarkeitstest für eine zusammengesetzte Zahl. Damit eine natürliche Zahl a durch das Produkt teilerfremder Zahlen m und n teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass die Zahl a durch jede dieser Zahlen teilbar ist.

• 1. Damit eine Zahl durch 12 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie durch 3 und 4 teilbar ist.
• 2. Damit eine Zahl durch 18 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie durch 2 und 9 teilbar ist.

Unter Faktorisieren einer Zahl in Primfaktoren versteht man die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primfaktoren.

Grundsatz der Arithmetik. Jede zusammengesetzte Zahl kann eindeutig als Produkt von Primfaktoren dargestellt werden.

Algorithmus zum Finden von GCD:

Schreiben Sie das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren der gegebenen Zahlen auf und geben Sie jeden Faktor mit dem kleinsten Exponenten an, mit dem er in allen Erweiterungen enthalten ist.

Finden Sie den Wert des resultierenden Produkts. Dies wird der GCD dieser Zahlen sein.

Algorithmus zum Finden von LOC:

Teilen Sie jede Zahl in Primfaktoren auf.

Schreiben Sie das Produkt aller Primfaktoren aus den Entwicklungen auf und schreiben Sie jede davon mit dem höchsten Exponenten, mit dem sie in allen Entwicklungen enthalten ist.

Finden Sie den Wert des resultierenden Produkts. Dies wird das LCM dieser Zahlen sein.

Die Menge der positiven rationalen Zahlen

Fraktion. Das Segment sei gegeben A und Einheitensegment e, bestehend aus N Segmente gleich e.

Wenn das Segment A besteht aus M Segmente gleich e. dann kann seine Länge dargestellt werden als

Das Symbol heißt Fraktion; M, N- natürliche Zahlen; M- Zähler des Bruchs, N- Nenner des Bruchs. N zeigt an, in wie viele gleiche Teile eine Maßeinheit unterteilt ist; M zeigt an, wie viele solcher Teile in einem Segment enthalten sind A.

Gleiche Brüche. Brüche, die die Länge desselben Segments in einer Maßeinheit ausdrücken, werden als gleich bezeichnet.

Zeichen der Bruchgleichheit.

Die Haupteigenschaft eines Bruchs. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden, erhält man einen Bruch, der der angegebenen Zahl entspricht.

Beim Kürzen eines Bruchs wird ein gegebener Bruch durch einen anderen ersetzt, der ihm gleich ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist.

Ein irreduzibler Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler und Nenner zueinander Primzahlen sind, d. h. ihr gcd ist gleich eins.

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren bedeutet, gegebene Brüche durch andere zu ersetzen, die ihnen gleichen und gleichen Nenner haben.

Eine positive rationale Zahl ist eine unendliche Menge von Brüchen mit unterschiedlicher Schreibweise, die aber untereinander gleich sind; Jeder Bruchteil dieser Menge ist eine Schreibweise dieser positiven rationalen Zahl.

Gleiche positive rationale Zahlen sind Zahlen, die als gleiche Brüche geschrieben werden können.

Summe positiver rationaler Zahlen. Wenn eine positive rationale Zahl A B dargestellt durch einen Bruch, dann ihre Summe Mit, dargestellt durch einen Bruch.

Kommutative Eigenschaft der Addition. Durch eine Änderung der Stellen der Begriffe ändert sich der Wert der Summe nicht.

Kombinationseigenschaft der Addition. Um eine Terz zur Summe zweier Zahlen hinzuzufügen, können Sie die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.

Die Existenz einer Summe und ihre Einzigartigkeit. Was auch immer die positiven rationalen Zahlen sind A Und B ihre Summe existiert immer und ist einzigartig.

Ein echter Bruch ist ein Bruch. dessen Zähler kleiner als der Nenner ist.

Ein unechter Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler größer oder gleich dem Nenner ist.

Ein unechter Bruch kann als natürliche Zahl oder als gemischter Bruch geschrieben werden.

Ein gemischter Bruch ist die Summe einer natürlichen Zahl und eines echten Bruchs (normalerweise ohne Additionszeichen geschrieben).

Die „Kleiner-als“-Relation auf Q. Positive rationale Zahl B kleiner als eine positive rationale Zahl A, wenn es eine positive rationale Zahl gibt C, was insgesamt mit ist B gibt A.

Eigenschaften der „Kleiner als“-Beziehung.

• 1. Antireflexivität. Keine Zahl kann kleiner sein als sie selbst.
• 2. Antisymmetrie. Wenn die erste Zahl weniger als zwei, dann kann der zweite nicht kleiner sein als der erste.
• 3. Transitivität. Wenn die erste Zahl kleiner als die zweite und die zweite kleiner als die dritte ist, dann ist die erste Zahl kleiner als die dritte.
• 4. Verbundenheit. Wenn zwei Zahlen nicht gleich sind, ist entweder die erste kleiner als die zweite oder die zweite kleiner als die erste.

Die „Kleiner-als“-Relation auf Q ist eine Relation streng linearer Ordnung.

Differenz positiver rationaler Zahlen. Der Unterschied positiver rationaler Zahlen A Und B heißt eine positive rationale Zahl C, was insgesamt mit ist B gibt A.

Existenz von Unterschieden. Zahlenunterschied A Und B existiert genau dann, wenn B weniger A.

Wenn es einen Unterschied gibt, dann ist es der einzige.

Produkt positiver rationaler Zahlen. Wenn eine positive rationale Zahl A dargestellt durch einen Bruch, eine positive rationale Zahl B durch einen Bruch dargestellt, dann ist ihr Produkt eine positive rationale Zahl Mit, dargestellt durch einen Bruch.

Die Existenz eines Werkes und seine Einzigartigkeit. Was auch immer die positiven rationalen Zahlen sind A Und B Ihre Arbeit existiert immer und ist einzigartig.

Kommutative Eigenschaft der Multiplikation. Durch eine Änderung der Orte der Faktoren ändert sich der Wert des Produkts nicht.

Kombinationseigenschaft der Multiplikation. Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren.

Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition. Um die Summe der Zahlen mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Der Quotient positiver rationaler Zahlen. Quotienten positiver rationaler Zahlen A Und B heißt eine positive rationale Zahl C, was multipliziert mit B gibt A.

Die Existenz des Privaten. Was auch immer die positiven rationalen Zahlen sind A Und B, ihr Quotient existiert immer und ist eindeutig.

Die Menge Q und ihre Eigenschaften.

• 1. Q wird mithilfe der Kleiner-als-Beziehung linear geordnet.
• 2. Es gibt keine kleinste Zahl in Q.
• 3. Es gibt keine größte Zahl in Q.
• 4. Q ist eine unendliche Menge.
• 5. Q ist in sich dicht, d.h. Zwei beliebige verschiedene positive rationale Zahlen enthalten unendlich viele positive rationale Zahlen.

Positive rationale Zahlen als Dezimalzahlen schreiben.

Ein Dezimalbruch ist ein Bruch der Form m/n, wobei M Und N- natürliche Zahlen.

Arten von Dezimalbrüchen. Endlich, unendlich, periodisch (rein periodisch und gemischt periodisch), nichtperiodisch.

Die letzte Dezimalzahl ist ein Bruch. bei dem es eine endliche Anzahl von Nachkommastellen gibt.

Ein unendlicher periodischer Dezimalbruch ist ein Bruch, der durch endloses Wiederholen derselben Zifferngruppe ab einer bestimmten Zahl erhalten wird. Die sich wiederholende Zifferngruppe wird als Periode bezeichnet.

Rein periodische und gemischt periodische Brüche. Beginnt die Periode eines Bruchs unmittelbar nach dem Komma, so nennt man diesen Bruch rein periodisch. Stehen zwischen dem Dezimalpunkt und dem Beginn der Periode mehrere Ziffern, so heißt der Bruch gemischt periodisch.

Satz. Jede positive rationale Zahl kann entweder als endliche Dezimalzahl oder als unendliche periodische Dezimalzahl dargestellt werden.

Einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. Zum Umrechnen müssen Sie in einer Spalte den Zähler durch den Nenner dividieren. Beim Dividieren erhält man entweder einen endlichen Dezimalbruch oder einen unendlichen periodischen Bruch.

Konvertieren eines letzten Dezimalbruchs in einen gemeinsamen Bruch. Lassen Sie das Komma weg, schreiben Sie die resultierende Zahl in den Zähler und schreiben Sie nach der Eins so viele Nullen, wie es Nachkommastellen in den Nenner gibt.

Übersetzung ist rein periodischer Bruch zu gewöhnlich. Schreiben Sie die Periode des Bruchs in den Zähler und schreiben Sie so viele Neunen in den Nenner, wie es Ziffern in der Periode gibt.

Umwandeln eines gemischten periodischen Bruchs in einen gewöhnlichen Bruch. Notieren Sie im Zähler die Differenz zwischen der Zahl zwischen dem Komma und der zweiten Klammer und der Zahl zwischen dem Komma und der ersten Klammer; Schreiben Sie in den Nenner so viele Neunen, wie der Punkt Ziffern enthält, und danach so viele Nullen, wie Ziffern zwischen dem Dezimalpunkt und der ersten Klammer vorhanden sind.

Satz. Damit ein irreduzibler Bruch als endlicher Dezimalbruch geschrieben werden kann, ist es notwendig und ausreichend, dass die Faktorisierung seines Nenners in Primfaktoren nur die Zahlen 2 und 5 umfasst.