Was ergibt die Minus-zu-Plus-Regel? Wie man versteht, warum „Plus“ zu „Minus“ „Minus“ ergibt

Wenn sie einem Mathematiklehrer zuhören, nehmen die meisten Schüler den Stoff als Axiom wahr. Gleichzeitig versuchen nur wenige Menschen, der Sache auf den Grund zu gehen und herauszufinden, warum „Minus“ mal „Plus“ ein „Minus“-Zeichen ergibt und bei der Multiplikation zweier negativer Zahlen ein positives Ergebnis herauskommt.

Gesetze der Mathematik

Die meisten Erwachsenen sind nicht in der Lage, sich selbst oder ihren Kindern zu erklären, warum das passiert. Sie beherrschten diesen Stoff in der Schule gut, versuchten aber nicht einmal herauszufinden, woher solche Regeln kamen. Aber vergeblich. Moderne Kinder sind oft nicht so leichtgläubig; sie müssen den Dingen auf den Grund gehen und beispielsweise verstehen, warum ein „Plus“ und ein „Minus“ ein „Minus“ ergeben. Und manchmal stellen Wildfangjäger bewusst knifflige Fragen, um den Moment zu genießen, in dem Erwachsene keine verständliche Antwort geben können. Und es ist wirklich eine Katastrophe, wenn ein junger Lehrer in Schwierigkeiten gerät ...

Übrigens ist zu beachten, dass die oben genannte Regel sowohl für die Multiplikation als auch für die Division gilt. Das Produkt einer negativen und einer positiven Zahl ergibt nur „Minus“. Wenn wir reden über Geben Sie etwa zwei Ziffern mit einem „-“-Zeichen ein. Das Ergebnis ist eine positive Zahl. Das Gleiche gilt für die Teilung. Wenn eine der Zahlen negativ ist, erhält der Quotient ebenfalls ein „-“-Zeichen.

Um die Richtigkeit dieses mathematischen Gesetzes zu erklären, ist es notwendig, die Axiome des Rings zu formulieren. Aber zuerst müssen Sie verstehen, was es ist. Als Ring bezeichnet man in der Mathematik meist eine Menge, an der zwei Operationen mit zwei Elementen beteiligt sind. Aber es ist besser, dies anhand eines Beispiels zu verstehen.

Ringaxiom

Es gibt mehrere mathematische Gesetze.

Der erste von ihnen ist kommutativ, demnach gilt C + V = V + C.
Die zweite heißt assoziativ (V + C) + D = V + (C + D).

Auch die Multiplikation (V x C) x D = V x (C x D) gehorcht ihnen.

Niemand hat die Regeln aufgehoben, nach denen Klammern geöffnet werden (V + C) x D = V x D + C x D, es gilt auch, dass C x (V + D) = C x V + C x D.

Darüber hinaus wurde festgestellt, dass ein spezielles, additionsneutrales Element in den Ring eingeführt werden kann, bei dessen Verwendung gilt: C + 0 = C. Darüber hinaus gibt es zu jedem C ein Gegenelement, das dies kann als (-C) bezeichnet werden. In diesem Fall ist C + (-C) = 0.

Ableitung von Axiomen für negative Zahlen

Nachdem wir die obigen Aussagen akzeptiert haben, können wir die Frage beantworten: „Plus und Minus geben welches Vorzeichen?“ Wenn man das Axiom über die Multiplikation negativer Zahlen kennt, muss man bestätigen, dass tatsächlich (-C) x V = -(C x V) ist. Und auch, dass die folgende Gleichheit wahr ist: (-(-C)) = C.

Dazu müssen Sie zunächst beweisen, dass jedem Element nur ein „Bruder“ gegenübersteht. Betrachten Sie das folgende Beweisbeispiel. Versuchen wir uns vorzustellen, dass für C zwei Zahlen entgegengesetzt sind – V und D. Daraus folgt, dass C + V = 0 und C + D = 0, also C + V = 0 = C + D. Erinnern wir uns an die Gesetze von Kommutierung und über die Eigenschaften der Zahl 0 können wir die Summe aller drei Zahlen betrachten: C, V und D. Versuchen wir, den Wert von V herauszufinden. Es ist logisch, dass V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, da der Wert von C + D, wie oben angenommen wurde, gleich 0 ist. Das bedeutet V = V + C + D.

Der Wert für D ergibt sich auf die gleiche Weise: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Daraus wird klar, dass V = D.

Um zu verstehen, warum „Plus“ zu „Minus“ immer noch „Minus“ ergibt, müssen Sie Folgendes verstehen. Für das Element (-C) sind C und (-(-C)) also entgegengesetzt, das heißt, sie sind einander gleich.

Dann ist es offensichtlich, dass 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Daraus folgt, dass C x V das Gegenteil von (-)C x V ist, was bedeutet (-C) x V = -(C x V).

Für vollständige mathematische Genauigkeit muss außerdem bestätigt werden, dass 0 x V = 0 für jedes Element ist. Folgt man der Logik, dann ist 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Das bedeutet, dass die Addition des Produkts 0 x V den ermittelten Betrag in keiner Weise verändert. Schließlich ist dieses Produkt gleich Null.

Wenn Sie alle diese Axiome kennen, können Sie nicht nur ableiten, wie viel „Plus“ und „Minus“ ergeben, sondern auch, was passiert, wenn negative Zahlen multipliziert werden.

Zwei Zahlen mit einem „-“-Zeichen multiplizieren und dividieren

Wenn Sie nicht tief in die mathematischen Nuancen eintauchen, können Sie mehr ausprobieren auf einfache Weise Erklären Sie die Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen.

Nehmen wir an, dass C - (-V) = D, basierend darauf C = D + (-V), also C = D - V. Wir übertragen V und erhalten, dass C + V = D. Das heißt, C + V = C – (-V). Dieses Beispiel erklärt, warum in einem Ausdruck, in dem zwei „Minuszeichen“ hintereinander stehen, die genannten Zeichen in „Plus“ geändert werden sollten. Schauen wir uns nun die Multiplikation an.

(-C) x (-V) = D, Sie können zwei identische Produkte zum Ausdruck addieren und subtrahieren, wodurch sich sein Wert nicht ändert: (-C) x (-V) + (C x V) – (C x V) = D.

Wenn wir uns an die Regeln für die Arbeit mit Klammern erinnern, erhalten wir:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Daraus folgt, dass C x V = (-C) x (-V).

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Division zweier negativer Zahlen eine positive Zahl ergibt.

Allgemeine mathematische Regeln

Für Schulkinder ist diese Erklärung natürlich nicht geeignet Junior-Klassen die gerade erst anfangen, abstrakte negative Zahlen zu lernen. Es ist besser, wenn sie es erklären sichtbare Objekte, den vertrauten Begriff durch den Spiegel manipulieren. Dort befinden sich beispielsweise erfundene, aber nicht existierende Spielzeuge. Sie können mit einem „-“-Zeichen angezeigt werden. Durch die Multiplikation zweier Spiegelobjekte werden diese in eine andere Welt übertragen, die der realen Welt gleichgesetzt wird, d. h. als Ergebnis erhalten wir positive Zahlen. Aber die Multiplikation einer abstrakten negativen Zahl mit einer positiven Zahl ergibt nur ein Ergebnis, das jedem bekannt ist. Denn „Plus“ multipliziert mit „Minus“ ergibt „Minus“. Zwar versuchen Kinder nicht wirklich, alle mathematischen Nuancen zu verstehen.

Obwohl, seien wir ehrlich, für viele Menschen sogar mit höhere Bildung Viele Regeln bleiben ein Rätsel. Jeder hält das, was die Lehrer ihm beibringen, für selbstverständlich und taucht ohne Schwierigkeiten in alle Komplexitäten ein, die die Mathematik verbirgt. „Minus“ für „Minus“ ergibt „Plus“ – das weiß ausnahmslos jeder. Dies gilt sowohl für ganze Zahlen als auch Bruchzahlen.

1) Warum ist minus eins mal minus eins gleich plus eins?
2) Warum ist minus eins mal plus eins gleich minus eins?

„Der Feind meines Feindes ist mein Freund.“

Die einfachste Antwort lautet: „Weil dies die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen sind.“ Regeln, die wir in der Schule lernen und unser Leben lang anwenden. Die Lehrbücher erklären jedoch nicht, warum die Regeln so sind, wie sie sind. Wir werden dies zunächst anhand der Entwicklungsgeschichte der Arithmetik zu verstehen versuchen und diese Frage dann aus der Sicht der modernen Mathematik beantworten.

Es war einmal, die Menschen wussten es nur ganze Zahlen: 1, 2, 3, ... Sie wurden verwendet, um Utensilien, Beute, Feinde usw. zu zählen. Aber die Zahlen selbst sind ziemlich nutzlos – man muss wissen, wie man damit umgeht. Die Addition ist klar und verständlich, und außerdem ist die Summe zweier natürlicher Zahlen auch eine natürliche Zahl (ein Mathematiker würde sagen, dass die Menge der natürlichen Zahlen durch die Additionsoperation abgeschlossen ist). Wenn es um natürliche Zahlen geht, ist die Multiplikation im Wesentlichen dasselbe wie die Addition. Im Leben führen wir häufig Aktionen aus, die mit diesen beiden Operationen zusammenhängen (z. B. beim Einkaufen addieren und multiplizieren), und es ist seltsam zu glauben, dass unsere Vorfahren ihnen seltener begegneten – Addition und Multiplikation wurden von der Menschheit schon sehr lange beherrscht vor. Oft muss man einige Größen durch andere dividieren, aber hier wird das Ergebnis nicht immer als natürliche Zahl ausgedrückt – so entstanden Bruchzahlen.

Natürlich geht es auch nicht ohne Subtraktion. In der Praxis subtrahieren wir jedoch normalerweise die kleinere Zahl von der größeren Zahl, und es besteht keine Notwendigkeit, negative Zahlen zu verwenden. (Wenn ich 5 Bonbons habe und meiner Schwester 3 gebe, dann habe ich 5 - 3 = 2 Bonbons übrig, aber ich kann ihr keine 7 Bonbons geben, selbst wenn ich möchte.) Dies kann erklären, warum Menschen für a keine negativen Zahlen verwendet haben lange Zeit.

Negative Zahlen tauchen seit dem 7. Jahrhundert n. Chr. in indischen Dokumenten auf; Die Chinesen haben offenbar schon etwas früher damit begonnen, sie zu nutzen. Sie wurden zur Schuldenbilanzierung oder in Zwischenberechnungen zur Vereinfachung der Lösung von Gleichungen verwendet – sie waren lediglich ein Hilfsmittel, um eine positive Antwort zu erhalten. Die Tatsache, dass negative Zahlen im Gegensatz zu positiven Zahlen nicht das Vorhandensein einer Entität ausdrücken, löste großes Misstrauen aus. Die Menschen mieden buchstäblich negative Zahlen: Wenn ein Problem eine negative Antwort hatte, glaubten sie, dass es überhaupt keine Antwort gab. Dieses Misstrauen hielt sehr lange an und sogar Descartes, einer der „Begründer“ der modernen Mathematik, nannte sie „falsch“ (im 17. Jahrhundert!).

Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung 7x - 17 = 2x - 2. Es kann folgendermaßen gelöst werden: Verschieben Sie die Begriffe mit dem Unbekannten auf die linke Seite und den Rest auf die rechte Seite, es wird sich herausstellen 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Mit dieser Lösung sind wir nicht einmal auf negative Zahlen gestoßen.

Aber es war möglich, es aus Versehen anders zu machen: Verschieben Sie die Begriffe mit dem Unbekannten auf die rechte Seite und erhalten Sie 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Um das Unbekannte zu finden, müssen Sie eine negative Zahl durch eine andere dividieren: x = (-15)/(-5). Aber die richtige Antwort ist bekannt, und daraus muss noch geschlossen werden (-15)/(-5) = 3 .

Was zeigt dieses einfache Beispiel? Zunächst wird die Logik deutlich, die die Regeln für das Arbeiten mit negativen Zahlen bestimmt hat: Die Ergebnisse dieser Aktionen müssen mit den auf andere Weise erhaltenen Antworten ohne negative Zahlen übereinstimmen. Zweitens, indem wir die Verwendung negativer Zahlen zulassen, vermeiden wir das mühsame (falls die Gleichung komplizierter ist, mit eine große Anzahl Begriffe) auf der Suche nach einem Lösungsweg, bei dem alle Operationen nur auf natürlichen Zahlen durchgeführt werden. Darüber hinaus denken wir möglicherweise nicht mehr jedes Mal über die Sinnhaftigkeit der transformierten Größen nach – und dies ist bereits ein Schritt auf dem Weg, die Mathematik zu einer abstrakten Wissenschaft zu machen.

Die Regeln für den Umgang mit negativen Zahlen wurden nicht sofort formuliert, sondern wurden zu einer Verallgemeinerung zahlreicher Beispiele, die bei der Lösung angewandter Probleme entstanden. Im Allgemeinen lässt sich die Entwicklung der Mathematik in Phasen einteilen: Jede nächste Phase unterscheidet sich von der vorherigen durch eine neue Abstraktionsebene beim Studium von Objekten. So erkannten Mathematiker im 19. Jahrhundert, dass ganze Zahlen und Polynome trotz aller äußerlichen Unterschiede viel gemeinsam haben: Beide können addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Diese Operationen gehorchen den gleichen Gesetzen – sowohl im Fall von Zahlen als auch im Fall von Polynomen. Aber ganze Zahlen durcheinander zu dividieren, so dass das Ergebnis wieder ganze Zahlen sind, ist nicht immer möglich. Dasselbe gilt auch für Polynome.

Dann wurden andere Sätze mathematischer Objekte entdeckt, an denen solche Operationen durchgeführt werden konnten: formale Potenzreihen, stetige Funktionen ... Schließlich kam man zu der Erkenntnis, dass die Ergebnisse auf alle angewendet werden können, wenn man die Eigenschaften der Operationen selbst untersucht diese Mengen von Objekten (dieser Ansatz ist typisch für die gesamte moderne Mathematik).

Daraus entstand ein neues Konzept: Ring. Es handelt sich lediglich um eine Reihe von Elementen und Aktionen, die mit ihnen ausgeführt werden können. Die Grundregeln hier sind die Regeln (sie heißen Axiome), denen Handlungen unterliegen, und nicht die Art der Elemente der Menge (hier ist es, Neues level Abstraktionen!). Um zu betonen, dass es auf die Struktur ankommt, die nach Einführung der Axiome entsteht, sagen Mathematiker: ein Ring aus ganzen Zahlen, ein Ring aus Polynomen usw. Ausgehend von den Axiomen kann man andere Eigenschaften von Ringen ableiten.

Wir werden die Axiome des Rings formulieren (die natürlich den Regeln für die Arbeit mit ganzen Zahlen ähneln) und dann beweisen, dass in jedem Ring die Multiplikation eines Minus mit einem Minus ein Plus ergibt.

Ring ist eine Menge mit zwei binären Operationen (d. h. jede Operation umfasst zwei Elemente des Rings), die traditionell als Addition und Multiplikation bezeichnet werden, und den folgenden Axiomen:

Die Addition von Ringelementen unterliegt der kommutativen ( A + B = B + A für beliebige Elemente A Und B) und assoziativ ( A + (B + C) = (A + B) + C) Gesetze; Im Ring gibt es ein spezielles Element 0 (neutrales Element durch Addition), so dass A+0=A und für jedes Element A es gibt ein entgegengesetztes Element (bezeichnet (-A)), Was A + (-A) = 0 ;
Die Multiplikation folgt dem Kombinationsgesetz: A·(B·C) = (A·B)·C ;
Addition und Multiplikation hängen durch die folgenden Regeln zum Öffnen von Klammern zusammen: (A + B) C = A C + B C Und A (B + C) = A B + A C .

Beachten Sie, dass Ringe in der allgemeinsten Konstruktion weder die Kommutierbarkeit der Multiplikation noch deren Umkehrbarkeit (d. h. Division kann nicht immer durchgeführt werden) oder die Existenz einer Einheit – eines neutralen Elements bei der Multiplikation – erfordern. Wenn wir diese Axiome einführen, erhalten wir unterschiedliche algebraische Strukturen, aber in ihnen werden alle für Ringe bewiesenen Sätze wahr sein.

Jetzt beweisen wir das für beliebige Elemente A Und B eines beliebigen Rings gilt erstens: (-A) B = -(A B), und zweitens (-(-A)) = A. Aussagen über Einheiten lassen sich daraus leicht ableiten: (-1) 1 = -(1 1) = -1 Und (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .

Dazu müssen wir einige Fakten ermitteln. Zuerst beweisen wir, dass jedes Element nur ein Gegenteil haben kann. Lassen Sie das Element tatsächlich A es gibt zwei gegensätze: B Und MIT. Also A + B = 0 = A + C. Betrachten wir den Betrag A+B+C. Unter Verwendung der assoziativen und kommutativen Gesetze und der Nulleigenschaft erhalten wir einerseits, dass die Summe gleich ist B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, und andererseits ist es gleich C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Bedeutet, B=C .

Lassen Sie uns das jetzt zur Kenntnis nehmen A, Und (-(-A)) sind Gegensätze desselben Elements (-A), also müssen sie gleich sein.

Die erste Tatsache sieht so aus: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, also (-A)·B Gegenteil A·B, was bedeutet, dass es gleich ist -(A B) .

Um mathematisch genau zu sein, erklären wir auch, warum 0·B = 0 für jedes Element B. Tatsächlich, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Das heißt, der Zusatz 0·Bändert den Betrag nicht. Das bedeutet, dass dieses Produkt gleich Null ist.

Und die Tatsache, dass es genau eine Nullstelle im Ring gibt (die Axiome besagen schließlich, dass ein solches Element existiert, über seine Einzigartigkeit wird aber nichts gesagt!), überlassen wir dem Leser als einfache Übung.

Evgeny Epifanov, Erde (Sol III).

Zwei Negative ergeben ein Bejahendes- Dies ist eine Regel, die wir in der Schule gelernt haben und die wir unser ganzes Leben lang anwenden. Und wen von uns interessierte das Warum? Natürlich ist es einfacher, sich diese Aussage zu merken, ohne unnötige Fragen zu stellen und sich nicht eingehend mit dem Kern des Themas zu befassen. Jetzt gibt es bereits genügend Informationen, die „verdaut“ werden müssen. Aber für diejenigen, die sich immer noch für diese Frage interessieren, werden wir versuchen, eine Erklärung für dieses mathematische Phänomen zu geben.

Seit der Antike verwenden Menschen positive natürliche Zahlen: 1, 2, 3, 4, 5, ... Zahlen wurden verwendet, um Vieh, Ernten, Feinde usw. zu zählen. Bei der Addition und Multiplikation zweier positiver Zahlen erhielten sie immer eine positive Zahl; bei der Division einer Größe durch eine andere erhielten sie nicht immer natürliche Zahlen – so entstanden Bruchzahlen. Was ist mit der Subtraktion? Von Kindheit an wissen wir, dass es besser ist, weniger zu mehr zu addieren und weniger von mehr zu subtrahieren, und auch hier verwenden wir keine negativen Zahlen. Es stellt sich heraus, dass ich, wenn ich 10 Äpfel habe, nur jemandem weniger als 10 oder 10 geben kann. Ich kann auf keinen Fall 13 Äpfel geben, weil ich sie nicht habe. Negative Zahlen waren lange Zeit nicht nötig.

Erst ab dem 7. Jahrhundert n. Chr. In einigen Zählsystemen wurden negative Zahlen als Hilfsgrößen verwendet, die es ermöglichten, eine positive Zahl in der Antwort zu erhalten.

Schauen wir uns ein Beispiel an, 6x – 30 = 3x – 9. Um die Antwort zu finden, ist es notwendig, die Terme mit Unbekannten auf der linken Seite und den Rest auf der rechten Seite zu belassen: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 . Bei der Lösung dieser Gleichung haben wir sogar festgestellt, dass es keine negativen Zahlen gab. Wir könnten Terme mit Unbekannten auf die rechte Seite und ohne Unbekannte auf die linke Seite verschieben: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Wenn wir eine negative Zahl durch eine negative Zahl dividieren, erhalten wir eine positive Antwort: x = 7.

Was sehen wir?

Wenn wir mit negativen Zahlen arbeiten, sollten wir zum gleichen Ergebnis kommen wie wenn wir nur mit positiven Zahlen arbeiten. Wir müssen nicht mehr über die praktische Unmöglichkeit und Sinnhaftigkeit von Handlungen nachdenken – sie helfen uns, das Problem viel schneller zu lösen, ohne die Gleichung auf eine Form mit nur positiven Zahlen zu reduzieren. In unserem Beispiel haben wir keine komplexen Berechnungen verwendet, sondern wann große Mengen Summandenrechnungen mit negativen Zahlen können uns die Arbeit erleichtern.

Im Laufe der Zeit gelang es nach langwierigen Experimenten und Berechnungen, die Regeln zu identifizieren, die alle Zahlen und Operationen auf ihnen regeln (in der Mathematik werden sie Axiome genannt). Hierher kam es ein Axiom, das besagt, dass wir eine positive Zahl erhalten, wenn wir zwei negative Zahlen multiplizieren.

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Gesetze der Mathematik

Übrigens ist zu beachten, dass die oben genannte Regel sowohl für die Multiplikation als auch für die Division gilt. Das Produkt einer negativen und einer positiven Zahl ergibt nur ein „Minus“. Wenn es sich um zwei Ziffern mit einem „-“-Zeichen handelt, ist das Ergebnis eine positive Zahl. Das Gleiche gilt für die Division. Wenn eine der Zahlen negativ ist, dann hat der Quotient auch ein „-“-Zeichen.

Ringaxiom

Es gibt mehrere mathematische Gesetze.

Der erste von ihnen ist kommutativ, demnach gilt C + V = V + C.
Die zweite heißt assoziativ (V + C) + D = V + (C + D).

Auch die Multiplikation (V x C) x D = V x (C x D) gehorcht ihnen.

Niemand hat die Regeln aufgehoben, nach denen Klammern geöffnet werden (V + C) x D = V x D + C x D, es gilt auch, dass C x (V + D) = C x V + C x D.

Ableitung von Axiomen für negative Zahlen

Dazu müssen Sie zunächst beweisen, dass jedes Element nur einen entgegengesetzten „Bruder“ hat. Betrachten Sie das folgende Beweisbeispiel. Versuchen wir uns vorzustellen, dass für C zwei Zahlen entgegengesetzt sind – V und D. Daraus folgt, dass C + V = 0 und C + D = 0, also C + V = 0 = C + D. Erinnern wir uns an die Gesetze von Kommutierung und über die Eigenschaften der Zahl 0 können wir die Summe aller drei Zahlen betrachten: C, V und D. Versuchen wir, den Wert von V herauszufinden. Es ist logisch, dass V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, da der Wert von C + D, wie oben angenommen wurde, gleich 0 ist. Das bedeutet V = V + C + D.

Der Wert für D ergibt sich auf die gleiche Weise: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Daraus wird klar, dass V = D.

Dann ist es offensichtlich, dass 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Daraus folgt, dass C x V das Gegenteil von (-)C x V ist, was bedeutet (-C) x V = -(C x V).

Wenn Sie alle diese Axiome kennen, können Sie nicht nur ableiten, wie viel „Plus“ und „Minus“ ergeben, sondern auch, was passiert, wenn Sie negative Zahlen multiplizieren.

Zwei Zahlen mit einem „-“-Zeichen multiplizieren und dividieren

Wenn Sie nicht tief in die mathematischen Nuancen eintauchen, können Sie versuchen, die Regeln für die Arbeit mit negativen Zahlen auf einfachere Weise zu erklären.

(-C) x (-V) = D, Sie können zwei identische Produkte zum Ausdruck addieren und subtrahieren, wodurch sich sein Wert nicht ändert: (-C) x (-V) + (C x V) – (C x V) = D.

Wenn wir uns an die Regeln für die Arbeit mit Klammern erinnern, erhalten wir:

1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;

2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;

3) (-C) x 0 + C x V = D;

Daraus folgt, dass C x V = (-C) x (-V).

Ebenso lässt sich beweisen, dass die Division zweier negativer Zahlen eine positive Zahl ergibt.

Allgemeine mathematische Regeln

Natürlich ist diese Erklärung nicht für Grundschüler geeignet, die gerade erst anfangen, abstrakte negative Zahlen zu lernen. Für sie ist es besser, Erklärungen an sichtbaren Objekten abzugeben und dabei den Begriff „Spiegel“ zu manipulieren, mit dem sie vertraut sind. Dort befinden sich beispielsweise erfundene, aber nicht existierende Spielzeuge. Sie können mit einem „-“-Zeichen angezeigt werden. Durch die Multiplikation zweier Spiegelobjekte werden diese in eine andere Welt übertragen, die der realen Welt gleichgesetzt wird, d. h. als Ergebnis erhalten wir positive Zahlen. Aber die Multiplikation einer abstrakten negativen Zahl mit einer positiven Zahl ergibt nur ein Ergebnis, das jedem bekannt ist. Denn „Plus“ multipliziert mit „Minus“ ergibt „Minus“. Zwar versuchen Kinder nicht wirklich, alle mathematischen Nuancen zu verstehen.

Obwohl, um der Wahrheit ins Auge zu sehen, für viele Menschen, selbst mit höherer Bildung, viele Regeln ein Rätsel bleiben. Jeder hält das, was die Lehrer ihm beibringen, für selbstverständlich und taucht ohne Schwierigkeiten in alle Komplexitäten ein, die die Mathematik verbirgt. „Minus“ für „Minus“ ergibt „Plus“ – das weiß ausnahmslos jeder. Dies gilt sowohl für ganze als auch für gebrochene Zahlen.

Achtung, nur HEUTE!