Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang imposibleng tatsulok ay isa sa mga kamangha-manghang mathematical paradoxes. Sa unang tingin mo dito, hindi mo maaaring pagdudahan kahit isang segundo ang tunay na pag-iral nito. Gayunpaman, ito ay isang ilusyon lamang, isang panlilinlang. At ang mismong posibilidad ng gayong ilusyon ay ipapaliwanag sa atin ng matematika!

Pagbubukas ng Penroses

Noong 1958, inilathala ng British Journal of Psychology ang isang artikulo nina L. Penrose at R. Penrose, kung saan ipinakilala nila ang isang bagong uri ng optical illusion, na tinawag nilang "impossible triangle."

Ang isang biswal na imposibleng tatsulok ay itinuturing bilang isang istraktura na aktwal na umiiral sa tatlong-dimensional na espasyo, na binubuo ng mga parihabang bar. Ngunit ito ay isang optical illusion lamang. Imposibleng bumuo ng isang tunay na modelo ng isang imposibleng tatsulok.

Ang artikulo ng Penroses ay naglalaman ng ilang mga pagpipilian para sa paglalarawan ng isang imposibleng tatsulok. - ang kanyang "klasikong" pagtatanghal.

Anong mga elemento ang ginagamit upang makabuo ng imposibleng tatsulok?

Mas tiyak, mula sa anong mga elemento ang tila sa atin ay binuo? Ang disenyo ay batay sa isang hugis-parihaba na sulok, na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng dalawang magkaparehong hugis-parihaba na mga bar sa tamang mga anggulo. Tatlong ganoong sulok ang kinakailangan, at samakatuwid ay anim na piraso ng mga bar. Ang mga sulok na ito ay dapat na biswal na "konektado" sa isa't isa sa isang tiyak na paraan upang sila ay bumuo ng isang saradong kadena. Ang mangyayari ay isang imposibleng tatsulok.

Ilagay ang unang sulok sa pahalang na eroplano. Magkakabit kami ng pangalawang sulok dito, ididirekta ang isa sa mga gilid nito paitaas. Sa wakas, ikinakabit namin ang ikatlong sulok sa pangalawang sulok na ito upang ang gilid nito ay kahanay sa orihinal na pahalang na eroplano. Sa kasong ito, ang dalawang gilid ng una at ikatlong sulok ay magiging parallel at ididirekta sa iba't ibang direksyon.

Kung isasaalang-alang namin ang isang bar bilang isang segment ng haba ng yunit, kung gayon ang mga dulo ng mga bar ng unang sulok ay may mga coordinate, at, ang pangalawang sulok - , at, ang pangatlo - , at. Nakakuha kami ng isang "twisted" na istraktura na aktwal na umiiral sa tatlong-dimensional na espasyo.

Ngayon subukan nating tingnan ito sa isip mula sa iba't ibang mga punto sa kalawakan. Isipin kung ano ang hitsura nito mula sa isang punto, mula sa isa pa, mula sa isang pangatlo. Habang nagbabago ang punto ng pagtingin, ang dalawang "dulo" na gilid ng aming mga sulok ay lilitaw na gumagalaw nang may kaugnayan sa isa't isa. Hindi mahirap maghanap ng posisyon kung saan sila magkokonekta.

Ngunit kung ang distansya sa pagitan ng mga tadyang ay mas mababa kaysa sa distansya mula sa mga sulok hanggang sa punto kung saan natin tinitingnan ang ating istraktura, kung gayon ang parehong mga tadyang ay magkakaroon ng parehong kapal para sa atin, at ang ideya ay lilitaw na ang dalawang tadyang ito ay talagang isang pagpapatuloy. ng isa't isa. Ang sitwasyong ito ay inilalarawan 4.

Sa pamamagitan ng paraan, kung sabay-sabay nating titingnan ang repleksyon ng istraktura sa salamin, hindi natin makikita ang isang closed circuit doon.

At mula sa napiling punto ng pagmamasid ay nakikita natin sa ating mga mata ang himala na nangyari: may saradong tanikala ng tatlong sulok. Huwag lamang baguhin ang iyong punto ng pagmamasid upang ang ilusyong ito ay hindi bumagsak. Ngayon ay maaari kang gumuhit ng isang bagay na maaari mong makita o ilagay ang isang lens ng camera sa natagpuang punto at kumuha ng litrato ng isang imposibleng bagay.

Ang mga Penrose ang unang naging interesado sa hindi pangkaraniwang bagay na ito. Sinamantala nila ang mga posibilidad na lumitaw kapag nagma-map ng tatlong-dimensional na espasyo at tatlong-dimensional na mga bagay sa isang dalawang-dimensional na eroplano at iginuhit ang pansin sa ilan sa kawalan ng katiyakan sa disenyo - ang isang bukas na istraktura ng tatlong sulok ay maaaring makita bilang isang closed circuit.

Patunay ng imposibilidad ng Penrose triangle

Sa pamamagitan ng pagsusuri sa mga feature ng isang two-dimensional na imahe ng mga three-dimensional na bagay sa isang eroplano, naunawaan namin kung paano humantong ang mga feature ng display na ito sa isang imposibleng tatsulok. Marahil ang isang tao ay interesado sa isang purong mathematical na patunay.

Napakadaling patunayan na ang isang imposibleng tatsulok ay hindi umiiral, dahil ang bawat isa sa mga anggulo nito ay tama, at ang kanilang kabuuan ay 270 degrees sa halip na "nakaposisyon" na 180 degrees.

Bukod dito, kahit na isaalang-alang namin ang isang imposibleng tatsulok na nakadikit mula sa mga anggulo na mas mababa sa 90 degrees, kung gayon sa kasong ito maaari naming patunayan na ang isang imposibleng tatsulok ay hindi umiiral.

Nakikita namin ang tatlong patag na gilid. Nag-intersect sila nang pares sa mga tuwid na linya. Ang mga eroplano na naglalaman ng mga mukha na ito ay orthogonal sa mga pares, kaya't sila ay nagsalubong sa isang punto.

Bilang karagdagan, ang mga linya ng mutual intersection ng mga eroplano ay dapat dumaan sa puntong ito. Samakatuwid, ang mga tuwid na linya 1, 2, 3 ay dapat magsalubong sa isang punto.

Ngunit hindi iyon totoo. Samakatuwid, imposible ang ipinakita na disenyo.

"Imposible" na sining

Ang kapalaran ng ito o ang ideyang iyon - siyentipiko, teknikal, pampulitika - ay nakasalalay sa maraming mga pangyayari. At hindi bababa sa lahat, depende ito sa eksaktong anyo kung saan ipapakita ang ideyang ito, sa anong anyo ito lilitaw sa pangkalahatang publiko. Ang sagisag ba ay magiging tuyo at mahirap maramdaman, o, sa kabaligtaran, ang pagpapakita ng ideya ay magiging maliwanag, na kumukuha ng ating pansin kahit na labag sa ating kalooban.

Ang imposibleng tatsulok ay may masayang kapalaran. Noong 1961, natapos ng Dutch artist na si Moritz Escher ang isang lithograph na tinawag niyang Waterfall. Ang artista ay dumating sa isang mahaba ngunit mabilis na paraan mula sa mismong ideya ng isang imposibleng tatsulok hanggang sa nakamamanghang artistikong sagisag nito. Tandaan natin na ang artikulo ng Penroses ay lumabas noong 1958.

Ang "Waterfall" ay batay sa dalawang imposibleng tatsulok na ipinakita. Malaki ang isang tatsulok, na may isa pang tatsulok na matatagpuan sa loob nito. Maaaring mukhang tatlong magkaparehong imposibleng tatsulok ang inilalarawan. Ngunit hindi ito ang punto;

Sa isang mabilis na sulyap, ang kahangalan nito ay hindi agad makikita ng lahat, dahil posible ang bawat koneksyon na ipinakita. tulad ng sinasabi nila, lokal, iyon ay, sa isang maliit na lugar ng pagguhit, ang gayong disenyo ay magagawa... Ngunit sa pangkalahatan ito ay imposible! Ang mga indibidwal na piraso nito ay hindi magkasya, hindi sumasang-ayon sa bawat isa.

At upang maunawaan ito, kailangan nating gumastos ng ilang mga pagsisikap sa intelektwal at visual.

Maglakbay tayo sa mga aspeto ng istraktura. Ang landas na ito ay kapansin-pansin sa kahabaan nito, na tila sa amin, ang antas na nauugnay sa pahalang na eroplano ay nananatiling hindi nagbabago. Sa paglipat sa landas na ito, hindi tayo umaakyat o bumaba.

At ang lahat ay magiging maayos, pamilyar, kung sa dulo ng landas - lalo na sa punto - hindi natin matutuklasan na, kaugnay sa inisyal, panimulang punto, kahit papaano ay bumangon tayo nang patayo sa ilang misteryoso, hindi maisip na paraan!

Upang makarating sa kabalintunaan na resulta, dapat nating piliin ang eksaktong landas na ito, at subaybayan din ang antas na may kaugnayan sa pahalang na eroplano... Hindi isang madaling gawain. Sa kanyang desisyon, tumulong si Escher sa...tubig. Alalahanin natin ang kanta tungkol sa paggalaw mula sa kahanga-hangang vocal cycle ni Franz Schubert na "The Beautiful Miller's Wife":

At una sa imahinasyon, at pagkatapos ay sa ilalim ng kamay ng isang kahanga-hangang master, ang hubad at tuyong mga istraktura ay nagiging mga aqueduct kung saan ang malinis at mabilis na mga daloy ng tubig ay tumatakbo. Ang kanilang paggalaw ay nakakakuha ng aming mga tingin, at ngayon, laban sa aming kalooban, kami ay nagmamadali sa ibaba ng agos, sinusundan ang lahat ng mga pagliko at mga liko ng landas, nahuhulog sa agos, nahuhulog sa mga talim ng isang gilingan ng tubig, pagkatapos ay muling sumugod pababa...

Umikot tayo sa landas na ito minsan, dalawang beses, tatlong beses... at saka lang natin napagtanto: pababa, tayo ay hindi kapani-paniwalang umaakyat sa tuktok! Ang paunang sorpresa ay bubuo sa isang uri ng intelektwal na kakulangan sa ginhawa. Tila tayo ay naging biktima ng isang uri ng praktikal na biro, ang bagay ng ilang biro na hindi pa natin naiintindihan.

At muli, inuulit namin ang landas na ito sa isang kakaibang tubo, ngayon ay dahan-dahan, nang may pag-iingat, na parang natatakot sa isang lansihin mula sa kabalintunaan na larawan, na kritikal na nakikita ang lahat ng nangyayari sa mahiwagang landas na ito.

Sinisikap naming lutasin ang misteryong nagpahanga sa amin, at hindi kami makakatakas mula sa pagkabihag nito hanggang sa matagpuan namin ang nakatagong bukal na nasa batayan nito at dinadala ang hindi maisip na ipoipo sa walang tigil na paggalaw.

Partikular na binibigyang-diin at ipinapataw sa amin ng pintor ang pang-unawa sa kanyang pagpipinta bilang isang imahe ng mga tunay na three-dimensional na bagay. Ang volumetricity ay binibigyang diin ng imahe ng mga tunay na polyhedron sa mga tore, brickwork na may pinakatumpak na representasyon ng bawat brick sa mga dingding ng aqueduct, at mga tumataas na terrace na may mga hardin sa background. Ang lahat ay idinisenyo upang kumbinsihin ang tumitingin sa katotohanan ng kung ano ang nangyayari. At salamat sa sining at mahusay na teknolohiya, nakamit ang layuning ito.

Kapag lumabas tayo sa pagkabihag kung saan bumagsak ang ating kamalayan, sinimulan nating ihambing, ihambing, suriin, nalaman natin na ang batayan, ang pinagmulan ng larawang ito ay nakatago sa mga tampok ng disenyo.

At nakatanggap kami ng isa pa - "pisikal" na patunay ng imposibilidad ng "imposibleng tatsulok": kung umiiral ang gayong tatsulok, kung gayon ang "Talon" ni Escher, na mahalagang isang panghabang-buhay na makina ng paggalaw, ay magkakaroon din. Ngunit ang isang walang hanggang motion machine ay imposible, samakatuwid, ang "imposibleng tatsulok" ay imposible din. At marahil ang "ebidensya" na ito ay ang pinaka-nakakumbinsi.

Ano ang naging kababalaghan ni Moritz Escher, isang kakaibang walang halatang nauna sa sining at hindi maaaring tularan? Ito ay isang kumbinasyon ng mga eroplano at volume, malapit na pansin sa mga kakaibang anyo ng microworld - buhay at walang buhay, sa hindi pangkaraniwang mga pananaw sa mga ordinaryong bagay. Ang pangunahing epekto ng kanyang mga komposisyon ay ang epekto ng paglitaw ng mga imposibleng relasyon sa pagitan ng mga pamilyar na bagay. Sa unang tingin, ang mga sitwasyong ito ay maaaring parehong matakot at mapangiti ka. Maaari mong masayang tingnan ang saya na inaalok ng artist, o maaari kang seryosong bumulusok sa kailaliman ng dialectics.

Ipinakita ni Moritz Escher na maaaring ganap na naiiba ang mundo sa kung paano natin ito nakikita at nakasanayan na natin itong makita - kailangan lang nating tingnan ito mula sa ibang, bagong anggulo!

Moritz Escher

Si Moritz Escher ay mas masuwerteng bilang isang scientist kaysa bilang isang artist. Ang kanyang mga ukit at lithograph ay nakita bilang mga susi sa patunay ng mga theorems o orihinal na mga counterexamples na lumabag sa sentido komun. Sa pinakamasama, sila ay itinuturing na mahusay na mga paglalarawan para sa mga siyentipikong treatise sa crystallography, teorya ng grupo, cognitive psychology o computer graphics. Nagtrabaho si Moritz Escher sa larangan ng mga relasyon sa pagitan ng espasyo, oras at kanilang pagkakakilanlan, gamit ang mga pangunahing pattern ng mosaic at paglalapat ng mga pagbabago sa kanila. Ito ay isang mahusay na master ng optical illusions. Ang mga ukit ni Escher ay hindi naglalarawan ng mundo ng mga formula, ngunit ang kagandahan ng mundo. Ang kanilang intelektwal na anyo ay lubos na sumasalungat sa mga hindi makatwirang likha ng mga surrealist.

Ang Dutch artist na si Moritz Cornelius Escher ay ipinanganak noong Hunyo 17, 1898 sa lalawigan ng Holland. Ang bahay kung saan ipinanganak si Escher ay isa na ngayong museo.

Mula noong 1907, si Moritz ay nag-aaral ng karpintero at tumugtog ng piano at nag-aaral sa high school. Mahina ang mga marka ni Moritz sa lahat ng asignatura, maliban sa pagguhit. Napansin ng guro ng sining ang talento ng bata at tinuruan siyang gumawa ng mga ukit na kahoy.

Noong 1916, natapos ni Escher ang kanyang unang graphic na gawa, isang ukit sa purple linoleum - isang larawan ng kanyang ama na si G. A. Escher. Bumisita siya sa studio ng artist na si Gert Stiegemann, na may isang imprenta. Ang mga unang ukit ni Escher ay inilimbag sa press na ito.

Noong 1918-1919, nag-aral si Escher sa Technical College sa Dutch town ng Delft. Nakatanggap siya ng pagpapaliban mula sa serbisyo militar upang ipagpatuloy ang kanyang pag-aaral, ngunit dahil sa mahinang kalusugan, nabigo si Moritz na makayanan ang kurikulum at pinatalsik. Bilang resulta, hindi siya nakatanggap ng mas mataas na edukasyon. Nag-aaral siya sa School of Architecture and Ornament sa lungsod ng Haarlem.

Noong 1921, bumisita ang pamilya Escher sa Riviera at Italy. Nabighani sa mga halaman at bulaklak ng klima ng Mediterranean, gumawa si Moritz ng mga detalyadong guhit ng mga puno ng cacti at olive. Nag-sketch siya ng maraming sketch ng mga landscape ng bundok, na kalaunan ay naging batayan ng kanyang mga gawa. Kalaunan ay patuloy siyang babalik sa Italya, na magsisilbing mapagkukunan ng inspirasyon para sa kanya.

Si Escher ay nagsimulang mag-eksperimento sa isang bagong direksyon para sa kanyang sarili, kahit na, ang mga imahe ng salamin, mga mala-kristal na figure at mga sphere ay matatagpuan sa kanyang mga gawa.

Ang pagtatapos ng twenties ay naging isang napakabungang panahon para kay Moritz. Ang kanyang trabaho ay ipinakita sa maraming mga eksibisyon sa Holland, at noong 1929 ang kanyang katanyagan ay umabot sa isang antas na sa isang taon limang solo na eksibisyon ang ginanap sa Holland at Switzerland. Sa panahong ito unang tinawag na mekanikal at "lohikal" ang mga pagpipinta ni Escher.

Naglalakbay si Asher. Nakatira sa Italy at Switzerland, Belgium. Nag-aaral siya ng Moorish mosaic, gumagawa ng mga lithograph at mga ukit. Batay sa mga sketch sa paglalakbay, nilikha niya ang kanyang unang larawan ng imposibleng katotohanan, Still Life with Street.

Sa pagtatapos ng thirties, ipinagpatuloy ni Escher ang mga eksperimento sa mga mosaic at pagbabago. Lumilikha siya ng isang mosaic sa anyo ng dalawang ibon na lumilipad patungo sa isa't isa, na naging batayan ng pagpipinta na "Araw at Gabi".

Noong Mayo 1940, sinakop ng mga Nazi ang Holland at Belgium, at noong Mayo 17, pumasok ang Brussels sa occupation zone, kung saan nakatira si Escher at ang kanyang pamilya noong panahong iyon. Nakahanap sila ng bahay sa Varna at lumipat doon noong Pebrero 1941. Aser ay maninirahan sa lungsod na ito hanggang sa katapusan ng kanyang mga araw.

Noong 1946, nagsimulang maging interesado si Escher sa teknolohiya ng pag-print ng intaglio. At kahit na ang teknolohiyang ito ay mas kumplikado kaysa sa ginamit ni Escher noon at nangangailangan ng mas maraming oras upang lumikha ng isang larawan, ang mga resulta ay kahanga-hanga - mga pinong linya at tumpak na pag-render ng mga anino. Ang isa sa mga pinakatanyag na gawa sa intaglio printing technique, "Dew Drop," ay natapos noong 1948.

Noong 1950, si Moritz Escher ay nakakuha ng katanyagan bilang isang lektor. Pagkatapos, noong 1950, ang kanyang unang personal na eksibisyon ay naganap sa Estados Unidos at ang kanyang mga gawa ay nagsimulang mabili. Noong Abril 27, 1955, si Moritz Escher ay naging kabalyero at naging isang maharlika.

Noong kalagitnaan ng 50s, pinagsama ni Escher ang mga mosaic na may mga figure na umaabot sa infinity.

Noong unang bahagi ng 60s, ang unang aklat na may mga gawa ni Escher, ang Grafiek en Tekeningen, ay nai-publish, kung saan 76 na gawa ang kinomento ng may-akda mismo. Nakatulong ang aklat na magkaroon ng pang-unawa sa mga mathematician at crystallographer, kabilang ang ilan sa Russia at Canada.

Noong Agosto 1960, nagbigay si Escher ng panayam sa crystallography sa Cambridge. Ang mathematical at crystallographic na aspeto ng trabaho ni Escher ay nagiging napakapopular.

Noong 1970, pagkatapos ng isang bagong serye ng mga operasyon, lumipat si Escher sa isang bagong bahay sa Laren, na kinabibilangan ng isang studio, ngunit ang mahinang kalusugan ay humadlang sa kanya na magtrabaho nang husto.

Noong 1971, namatay si Moritz Escher sa edad na 73. Nabuhay nang matagal si Escher upang makita ang The World of M. C. Escher na isinalin sa Ingles at labis siyang nasiyahan dito.

Ang iba't ibang mga imposibleng larawan ay matatagpuan sa mga website ng mga mathematician at programmer. Ang pinakakumpletong bersyon ng mga tiningnan namin, sa aming opinyon, ay ang website ni Vlad Alekseev

Ang site na ito ay nagtatanghal hindi lamang ng mga kilalang painting, kabilang ang mga ni M. Escher, kundi pati na rin ang mga animated na imahe, nakakatawang mga guhit ng mga imposibleng hayop, mga barya, mga selyo, atbp. Ang site na ito ay buhay, ito ay pana-panahong na-update at pinupunan ng mga kamangha-manghang mga guhit.