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Das grundlegende (undefinierte) Konzept der mathematischen Logik ist das Konzept der "einfachen Aussage".

Unter einer Aussage wird üblicherweise jeder Aussagesatz verstanden, der etwas über etwas aussagt und gleichzeitig sagen kann, ob er unter gegebenen Bedingungen von Ort und Zeit wahr oder falsch ist. Die logischen Werte von Aussagen sind „wahr“ und „falsch“.

Hier einige Beispiele für Aussagen:

1) Novgorod steht am Wolchow.

2) Paris ist die Hauptstadt von England.

3) Karpfen ist kein Fisch.

4) Die Zahl 6 ist durch 2 und 3 teilbar.

5) Wenn der junge Mann seinen Abschluss gemacht hat weiterführende Schule, dann erhält er eine Immatrikulationsbescheinigung.

Die Aussagen 1), 4), 5) sind wahr und 2) und 3) sind falsch.

Offensichtlich ist der Satz „Es lebe unsere Athleten!“ ist keine aussage.

Eine Anweisung, die eine einzelne Anweisung ist, wird normalerweise als einfach oder elementar bezeichnet. Beispiele für Elementarsätze sind die Sätze 1) und 2).

Aussagen, die aus elementaren mit Hilfe der grammatikalischen Konnektoren „nicht“, „und“, „oder“, „wenn ..., dann ...“, „dann und nur dann“ gewonnen werden, werden üblicherweise als komplex oder zusammengesetzt bezeichnet . So wird Aussage 3) aus einer einfachen Aussage „Kruzian ist ein Fisch“ mit Hilfe der Negation von „nicht“ gewonnen, Aussage 4) wird aus elementaren Aussagen „Die Zahl 6 wird durch 2 geteilt“, „Die Zahl 6 wird durch 3 geteilt“, verbunden durch die Vereinigung „und“. Aussage 5) ergibt sich aus einfachen Aussagen „Der junge Mann hat Abitur gemacht“, „Der junge Mann erhält eine Immatrikulationsbescheinigung“ unter Verwendung des grammatikalischen Konnektors „wenn …,
dann …". Ebenso können komplexe Aussagen aus einfachen Aussagen mit den grammatikalischen Konnektiven „oder“, „wenn und nur dann“ gewonnen werden.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen nur unter dem Gesichtspunkt ihrer logischen Bedeutung betrachtet und ihr alltäglicher Inhalt abstrahiert. Es wird angenommen, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist, und keine Aussage kann sowohl wahr als auch falsch sein.

Im Folgenden werden elementare Aussagen mit Buchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet: a,b,c,…,x,y,z,…; der wahre Wert ist der Buchstabe I oder die Zahl 1, und der falsche Wert ist der Buchstabe L oder die Zahl 0.

Wenn die Aussage a wahr, wir werden schreiben a=1, wenn falsch, dann a=0.

Logische Aussagen werden normalerweise in zwei Arten unterteilt: elementare logische Aussagen und zusammengesetzte logische Aussagen.

Zusammengesetzte logische Aussage ist eine Aussage, die mit Hilfe logischer Verknüpfungen aus anderen Aussagen gebildet wird.

logische Verknüpfung ist eine beliebige logische Operation auf einer Anweisung. Zum Beispiel Wörter und Sätze, die in der gewöhnlichen Sprache verwendet werden „nicht“, „und“, „oder“, „wenn … dann“, „dann und nur dann“ sind logische Verknüpfungen.

Elementare logische Aussagen Dies sind nicht zusammengesetzte Aussagen.

Beispiele: "Ivanov ist ein Fußballspieler" - elementare logische Aussagen. „Iwanow ist ein Fußballspieler und ein Schachspieler“ ist eine zusammengesetzte logische Aussage, die aus zwei elementaren Aussagen besteht, die durch eine Reihe von „und“ miteinander verbunden sind.

46. ​​​​Elemente der Algebra der Logik

Die Algebra der Logik ist ein Abschnitt der mathematischen Logik, deren Werte aller Elemente (Funktionen und Argumente) in einer zweielementigen Menge definiert sind: 0 und 1. Die Algebra der Logik arbeitet mit logischen Aussagen.

Erklärung - es ist jeder Satz, in Bezug auf den die Aussage über seine Wahrheit oder Falschheit Sinn macht. Gleichzeitig wird davon ausgegangen, dass die Aussage das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten erfüllt, dh jede Aussage ist entweder wahr oder falsch und kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.

Sprüche:

- "Jetzt es schneit” - diese Aussage kann wahr oder falsch sein;

– „Washington ist die Hauptstadt der USA“ ist eine wahre Aussage;

– „Der Quotient der Division von 10 durch 2 ist 3“ – falsche Aussage.

In der Algebra der Logik werden alle Aussagen mit Buchstaben bezeichnet a, b, c es. e) Der Inhalt von Erklärungen wird nur berücksichtigt, wenn sie eingeführt werden. Briefe, und in Zukunft können alle von dieser Algebra bereitgestellten Aktionen an ihnen ausgeführt werden. Wenn darüber hinaus bestimmte Operationen, die in der logischen Algebra erlaubt sind, an den Anfangselementen der Algebra durchgeführt werden, dann werden die Ergebnisse der Operationen auch Elemente dieser Algebra sein.

Die einfachsten Operationen in der Algebra der Logik sind die Operationen logische Ergänzung(sonst: Betrieb ODER(ODER) Disjunktionsoperation) und logische Multiplikation(sonst: Betrieb UND UND),Konjunktionsoperation). Die Symbole + oder V werden verwendet, um die Operation der logischen Addition zu bezeichnen, und die Symbole oder Symbole werden für die logische Multiplikation verwendet Die Regeln zum Ausführen von Operationen in der Algebra der Logik werden durch eine Anzahl von Axiomen, Theoremen und Folgerungen bestimmt. Insbesondere gelten für die Algebra der Logik folgende Gesetze:

1. Kombiniert:

47. (a + b) + c = a +(b+c),

48. (a b) mit= a(b mit).

2. Verschiebbar:

49. (a + b) = (b + a)

50. (a b)= (ba).

3. Verteilung:

51. a (b + c) = a b + (a mit),

52. (a + b) c = a c + b c.

Es gelten insbesondere die Verhältnisse:

53. a + a = aa + b = b, Wenn a ≤ b,

54. a a = aa b= a, Wenn a ≤ b,

a + a b = aa b = b, Wenn a≥ b,

a + b = a, Wenn a≥ b.

Das kleinste Element der Algebra der Logik ist 0, das größte Element ist 1. In der Algebra der Logik wird auch eine weitere Operation eingeführt - Verweigerung(Betrieb NICHT NICHT), Umkehrung), gekennzeichnet durch einen Balken über dem Element.

A-Priorat

Eine Funktion in der Algebra der Logik ist ein Ausdruck, der Elemente der Algebra der Logik enthält a, b, c und andere, die durch Operationen verbunden sind, die in dieser Algebra definiert sind. Beispiele für logische Funktionen:

usw. Diese Beziehungen werden verwendet, um logische Funktionen und Rechenschaltungen zu synthetisieren.

Der Ausdruck eines bestimmten Gedankens, einer Idee erfolgt durch die Bildung von Sätzen. Ihr Kern ist der Gedanke, der ausgedrückt werden muss. Gleichzeitig gibt es in der russischen Sprache den Begriff "Erklärung". Es ähnelt einem Satz, hat aber eine etwas andere Bedeutung.

Was ist eine aussage

Eine Äußerung ist ein geäußerter Gedanke. Gleichzeitig kommt diese Idee von spezielle Person. Das heißt, die Äußerung ist eine Wiederholung von direkter Rede oder direkter direkter Rede.

Daher kann die Aussage die Worte einer bestimmten Person sein, die sie gerade ausspricht oder gerade gesagt hat. Darüber hinaus kann es sich bei der Aussage um die Worte einer Person handeln, die vor langer Zeit gesprochen wurden und allgemein bekannt geworden sind.

Das können zum Beispiel Zitate aus Filmen sein“, Redewendungen» berühmte Menschen. Ähnliche Ausdrücke werden verwendet, um sich auf eine bestimmte Situation zu beziehen. Gleichzeitig erklären sie sehr verständlich das Wesen der Situation oder charakterisieren die Einstellung einer Person dazu.

Viele Aussagen sind zu Aphorismen geworden. In der Regel drücken sie eine Idee sehr genau und umfassend aus. Daher ist eine Aussage immer ein Gedanke und immer ein eigener Satz.

Auch eine humorvolle Konnotation ist möglich. Eine Aussage sind schließlich die Worte, die einmal von einer Person in Bezug auf eine bestimmte Situation oder ein bestimmtes Ereignis geäußert wurden.

Was ist der Unterschied zwischen einem Satz und einem Satz

Jeder Satz ist ein Satz, aber nicht jeder Satz ist ein Satz. Die Gültigkeit dieser Aussage lässt sich wie folgt belegen:

• Ein Satz darf nur ein Wort enthalten. Ein solches Wort wird in einem allgemeinen Zusammenhang verwendet und betont einen einzelnen Gedanken, den der Autor im Text ausdrückt. Unterdessen besteht eine Aussage aus mehreren Wörtern, die durch einen einzigen Gedanken verbunden sind. Aussagen aus einem Wort gibt es nicht;
• Der Vorschlag kann einführend sein. An sich drückt es sich nicht aus individueller Gedanke. Aber die Aussage drückt notwendigerweise eine Idee oder einen Gedanken aus;
• Ein Satz kann nur aus der Aussage einer Person bestehen. Dies reicht aus, um die Essenz des Textes auszudrücken.

Erklärung Aussagesatz, der als wahr oder falsch bezeichnet werden kann. In der Algebra werden einfache Aussagen mit logischen Variablen (A, B, C usw.)

boolesche Variable ist eine einfache Aussage.
Boolesche Variablen werden durch Groß- und Kleinbuchstaben gekennzeichnet mit lateinischen Buchstaben(a-z, A-Z) und kann nur zwei Werte annehmen - 1, wenn die Aussage wahr ist, oder 0, wenn die Aussage falsch ist.

Spruchbeispiel:

Boolesche Funktion- Dies ist eine komplexe Anweisung, die durch logische Operationen an einfachen Anweisungen erhalten wird.

Für die Bildung komplexer Anweisungen wird am häufigsten verwendet grundlegende logische Operationen, ausgedrückt durch logische Konnektoren „und“, „oder“, „nicht“.
Zum Beispiel,

Viele Menschen mögen kein nasses Wetter..

Sei A = "Viele Leute mögen nasses Wetter." Wir erhalten eine logische Funktion F(A) = nicht A.

Bündel „NICHT“, „UND“, „ODER“ werden durch logische Operationen ersetzt Umkehrung , Verbindung , Disjunktion . Das grundlegende logische Operationen, die zum Schreiben eines beliebigen logischen Ausdrucks verwendet werden kann.

Boolesche Formel (logischer Ausdruck) - eine Formel, die nur logische Werte und Zeichen logischer Operationen enthält. Das Ergebnis der Auswertung einer logischen Formel ist TRUE (1) oder FALSE (0).

Der Wert einer logischen Funktion hängt von den Werten der darin enthaltenen logischen Variablen ab. Daher kann der Wert einer logischen Funktion über eine spezielle Tabelle ermittelt werden ( Wahrheitstabellen), die alle möglichen Werte der eingegebenen booleschen Variablen und ihre entsprechenden Funktionswerte auflistet.

Grundlegende (grundlegende) logische Operationen:

1. Logische Multiplikation (Konjunktion), von lat. konjunctio - ich verbinde:
Kombinieren von zwei (oder mehreren) Anweisungen zu einer mit der Union AND;
in Programmiersprachen - Und.
Herkömmliche Schreibweise: /\ , , und und.
In der Mengenalgebra entsprechen Konjunktionen der Schnittoperation von Mengen.

Eine Konjunktion ist genau dann wahr, wenn alle darin enthaltenen Aussagen wahr sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 und 3 3 = 10“. Schauen wir uns einige einfache Aussagen an:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist falsch.

2. Logische Addition (Disjunktion), von lat. disjunctio - ich unterscheide:
Kombinieren von zwei (oder mehr) Anweisungen zu einer mit der Vereinigung OR;
in Programmiersprachen - Oder.
Notation: \/, +, oder, oder.
In der Mengenalgebra entspricht die Disjunktion der Operation der Vereinigung von Mengen.

Eine Disjunktion ist genau dann falsch, wenn alle darin enthaltenen Aussagen falsch sind.

Beispiel:
Betrachten Sie die zusammengesetzte Aussage „2 2 = 4 oder 2 2 = 5“. Lassen Sie uns einfache Aussagen herausgreifen:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (weil dies eine wahre Aussage ist)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (weil dies eine falsche Aussage ist)
Daher ist die logische Funktion F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (laut Wahrheitstabelle), dh diese zusammengesetzte Aussage ist wahr.

3. Negation (Umkehrung), von lat. InVersion - Ich drehe um:

Entspricht dem Partikel NICHT, die Phrasen sind FALSCH, WAS oder IST NICHT WAHR, WAS;
in Programmiersprachen - Nicht;
Bezeichnung: nicht A, ¬A, nicht
In der Mengenalgebra entspricht die logische Negation der Komplementoperation einer universellen Menge.

Inversi i einer booleschen Variablen ist wahr, wenn die Variable selbst falsch ist, und umgekehrt ist die Umkehrung falsch, wenn die Variable wahr ist.

Beispiel:

A \u003d (zwei mal zwei ist vier) \u003d 1.

¬A= ( Das stimmt nicht zwei mal zwei gleich vier = 0.

Betrachten Sie Aussage A: Der Mond ist der Satellit der Erde“; dann wird ¬A wie folgt formuliert: „ Der Mond ist kein Satellit der Erde“.

Betrachten Sie die Aussage: "Es ist nicht wahr, dass 4 durch 3 teilbar ist." Bezeichne mit A die einfache Aussage "4 ist durch 3 teilbar". Dann hat die logische Form der Negation dieser Aussage die Form ¬A

Priorität der logischen Operationen:

Operationen in einem booleschen Ausdruck werden von links nach rechts ausgeführt, einschließlich Klammern in nächste in Ordnung:
1. Umkehrung;
2. Konjunktion;
3. Disjunktion;
Klammern werden verwendet, um die angegebene Reihenfolge logischer Operationen zu ändern.

Zusammengesetzte logische Ausdrücke Aussagenalgebren genannt werden Formeln.
Der wahre oder falsche Wert einer Formel kann durch die Gesetze der Algebra der Logik bestimmt werden, ohne sich auf die Bedeutung zu beziehen:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - wahr
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - falsch

Es ist bekannt, dass die Kenntnis der Logik die allgemeine intellektuelle Kultur einer Person erhöht und zur Bildung eines logisch korrekten Denkens beiträgt, dessen Hauptmerkmale eine klare Gewissheit, Konsistenz, Konsistenz und Beweise sind. Die Beherrschung der logischen Wissenschaft ermöglicht es, bewusst richtige Ideen aufzubauen, sie von falschen zu unterscheiden, logische Fehler zu vermeiden, die Wahrheit von Gedanken geschickt und effektiv zu begründen, eigene Ansichten zu verteidigen und die falschen Gedanken und falschen Ideen seiner Gegner überzeugend zu widerlegen und zur Verbesserung der spontan gebildeten Denklogik beitragen. Dank der Logik hängt eine Person an den neuesten Ergebnissen der logischen Forschung.

Der Begriff der Äußerung

Eines der Grundkonzepte der Logik ist „ Erklärung". Lassen Sie uns die Bedeutung dieses Begriffs festlegen.

Jede menschliche Aktivität ist irgendwie mit verschiedenen Aussagen verbunden. Urteil, Bemerkung, Notiz usw. sind Aussagen. In der Algebra der Logik sind Aussagen eine Variable, die einen von zwei Werten annehmen kann und an der bestimmte Aktionen ausgeführt werden können. Mit anderen Worten, eine Proposition ist ein Satz, der als wahr oder falsch bewertet werden kann.

In ähnlicher Weise wird die Variable einer gewöhnlichen Aussagenalgebra mit Buchstaben eines Alphabets bezeichnet, zum Beispiel lateinisch: A, B, X usw.

Arten von Aussagen Einfache Aussage

Strukturierte Anweisungen können einfach oder zusammengesetzt sein.

Aussagen enthalten ihrer Bedeutung nach eine Botschaft oder Aussagen über bestehende Welt. Eine solche Aussage heißt einfach. Zum Beispiel „Diagnose eines Myokardinfarkts“; "Der Patient hat einen unregelmäßigen Herzschlag."

Zusammengesetzte Anweisungen (logische Funktionen)

Aus einfachen Aussagen werden mit Hilfe von Verknüpfungen UND, ODER und NICHT zusammengesetzte Aussagen gebildet, die aufgerufen werden logische Funktionen. Es werden einfache Sätze genannt, aus denen zusammengesetzte Sätze gebildet werden logische Argumente. Der Satz „Der Patient verspürt starke Schmerzen im Kieferbereich, der Mund schließt nicht von alleine, das Schlucken und Sprechen fällt schwer“ ist eine zusammengesetzte Aussage (logische Funktion „UND“).

Problematische, zuverlässige, bedingte Aussage

Die Aussage in ihrer Bedeutung kann problematisch, zuverlässig oder bedingt sein.

problematisch ist eine Aussage, in der etwas mit einem gewissen Maß an Annahme bejaht oder verneint wird. Zum Beispiel: „Die Ursache der Kopfschmerzen ist wahrscheinlich Bluthochdruck.“

glaubwürdig- Dies ist eine Aussage, die Wissen enthält, das durch die Praxis belegt und erprobt ist. Zum Beispiel „der Mensch atmet Luft“.

Bedingt- Dies ist eine Aussage, die die Abhängigkeit des einen oder anderen Phänomens von bestimmten Umständen zeigt und in der die Basis und die Konsequenz durch die logische Vereinigung „wenn ..., das ist ...“ verbunden sind. Zum Beispiel „wenn die Diagnose ist ein Myokardinfarkt, dann liegt eine Verletzung des Herzrhythmus vor“. Daher muss bei einer bedingten Aussage zwischen einem Grund und einer Folge unterschieden werden.

Die Menge der Bedeutungen der Anweisung

Jede Aussage kann wahr sein oder auch nicht. Im ersten Fall heißt es wahr in dieser Sekunde FALSCH. Eine wahre Aussage kann durch das Symbol 1 und eine falsche Aussage + durch das Symbol 0 oder umgekehrt gekennzeichnet werden. Diese Bezeichnung ist bedingt. Sie können auch andere Bezeichnungssymbole verwenden: Bezeichnen Sie eine wahre Aussage mit dem Symbol UND und eine falsche mit L. Unabhängig von der Vielfalt der Aussagen können also alle in der Algebra der Logik nur zwei Werte annehmen: 1 oder 0 .

Es gibt Aussagen, die immer wahr sind. Zum Beispiel „Eine Person atmet Luft“, „Lungenentzündung ist eine Lungenentzündung“. Wenn wir die obigen Aussagen mit X bzw. Y bezeichnen, können wir schreiben

Es gibt Falschaussagen. Zum Beispiel „Anämie ist Herzinsuffizienz“, „Für die Entwicklung eines lebenden Organismus wird Nikotin benötigt.“ Wenn wir sie mit S bzw. P bezeichnen, können wir schreiben

Die meisten Aussagen können wahr oder falsch sein. Die Aussage „Die Haut einer Person ist blassrosa“ gilt nur für eine gesunde Person, in anderen Fällen ist sie eine Implikation;  

), was einiges ausdrückt Bedeutung und ist entweder wahr, oder FALSCH, aber nicht beides gleichzeitig. Aussagen sind in der Regel beschreibender oder beschreibender Natur, und ihre Hauptaufgabe besteht darin, eine bestimmte Realität zu beschreiben. Die Aussage ist also entweder wahr oder falsch; Es wird manchmal angenommen, dass es in der Lage ist, einige "unbestimmte" Wahrheitswerte anzunehmen, die zwischen vollständiger Wahrheit und vollständiger Falschheit liegen. Der so verstandenen Aussage stehen in der Regel zwingende, fragende, nichtssagende und überhaupt alle anderen Sätze (z. B. Einschätzungen, Normen, temporäre Aussagen, die ihren Wahrheitswert im Laufe der Zeit verändern) gegenüber, deren Einschätzung auf Wahrheit oder Falschheit erfolgt ist unmöglich. Neben der Wahrheitsbewertung wird die Aussage auch im Zusammenhang mit Bestimmtheit betrachtet Modalitäten(„wahrscheinlich“, „möglicherweise“, „unmöglich“, „notwendig“ und andere). In der modernen Logik werden Sätze formalisiert und hauptsächlich bei der Anwendung des logischen Kalküls in einem bestimmten Bereich von Objekten angewendet.

Per Definition hat jede Aussage grammatikalisch und Rätsel Aspekte von. Der grammatikalische Aspekt einer Äußerung wird durch einen Aussagesatz (einfach oder komplex) ausgedrückt, und der logische Aspekt wird durch seine Bedeutung und seinen Wahrheitswert ausgedrückt. Eine Anweisung, die andere Anweisungen enthält, wird aufgerufen schwer(zusammengesetzt); nicht einschließlich dieser einfach(unteilbar). Jede Aussage drückt etwas aus Gedanke, das ist seins Inhalt und angerufen die Bedeutung der Aussage. Der eine oder andere Wahrheitswert einer Aussage wird als ihr bezeichnet Wahrheitswert. Das Objekt, auf das sich die Anweisung bezieht, wird aufgerufen Betreff.

Im Zusammenhang mit der Sprachpraxis werden Möglichkeiten der Verwendung von Aussagen unterschieden. Es versteht sich, dass die Aussage bejahend verwendet wird, wenn der Zweck ihrer Verwendung der Ausdruck eines wahren Gedankens ist. Die bejahende Verwendung einer Aussage ist ihre häufigste Verwendung, da Menschen normalerweise ihre Wahrheit beanspruchen, wenn sie ihre Gedanken ausdrücken. Aber eine Anweisung kann einfach als syntaktischer Ausdruck verwendet werden. In dem Fall, in dem die Wahrheit des Inhalts der Aussage nicht eindeutig bejaht wird, ist die nicht bejahende Verwendung der Aussage impliziert. Eine der Möglichkeiten der nicht-bejahenden Verwendung von Aussagen ist ihre indirekte Verwendung. Es zielt nicht darauf ab, die Wahrheit eines Gedankens zu bestätigen, sondern nur seinen Inhalt zu vermitteln. Aus verschiedene Sorten die verwendung von aussagen sollte sich durch ihre zitierung unterscheiden, die darauf abzielt, den genauen text der aussage zu kommunizieren (und nur durch diese aussage den darin enthaltenen gedanken auszudrücken). Daher werden zitierte Aussagen (die in der Regel Teil anderer Aussagen sind) durch bestimmte Zeichenmittel (z. B. Anführungszeichen) gekennzeichnet. Die indirekte Verwendung von Sätzen kommt in den am häufigsten verwendeten logischen Berechnungen praktisch nicht vor, da ihre Annahme zu erheblichen Formalisierungsschwierigkeiten führt.

In natürlichen Sprachen hängt die Bewertung von Aussagen hinsichtlich Wahrheit oft davon ab, wer, wann und in welchem ​​Zusammenhang diese oder jene Aussage verwendet hat. Der Ausdruck dieser Abhängigkeit sind die in den Aussagen enthaltenen Wortindikatoren: „ich“, „du“, „jetzt“, „dort“ und so weiter; Die Bedeutung dieser Wörter variiert je nach Situation. Bei der Konstruktion künstlicher Sprachen - interpretierte Kalküle der mathematischen Logik oder Zwischensprachen beim Übersetzen von einer natürlichen Sprache in eine andere (siehe) - werden sie von der Abhängigkeit der Bewertung der Aussage von den angegebenen Umständen abstrahiert, dh sie die Pragmatik der Sprache von der Betrachtung ausschließen (siehe), wodurch Sie den Begriff der "Äußerung" präzisieren können.

Bei der Konstruktion des elementarsten logischen Kalküls - des zweiwertigen Satzkalküls - geht man nur von der Aufteilung von Sätzen in Teilsätze aus. Diejenigen Aussagen, die keiner weiteren Aufteilung in Komponenten unterzogen werden, werden als elementar bezeichnet. Davon werden mit Hilfe von logischen Vereinigungen (meist fünf bekannte grammatikalische Konnektoren werden dafür ausgewählt: „nicht“, „und“, „oder“, „wenn …, dann“ und „wenn …, und nur wenn“) komplexe Aussagen gemacht werden. Beim Aufbau des Prädikatenkalküls geht man von einer tieferen Gliederung der Aussagen in einzelne Terme (und andere Sprachformationen) aus. Die Analyse von Sätzen (einschließlich elementarer) der mathematischen Logik basiert auf dem Konzept eines Prädikats oder einer logischen Funktion, dh einer Funktion, die jedem Objekt des betrachteten Objektbereichs entweder wahr oder falsch zuweist. Logische Funktionen sind das, was im logischen Kalkül normalerweise den Begriffen sinnvollen menschlichen Denkens entspricht. Zum Beispiel entspricht eine logische Funktion, die jeder der Zahlen 1 und 2 wahr und jeder der Zahlen 3, 4, 5, ... usw. falsch zuweist, dem Konzept "sei kleiner als 3" ( der Bereich von Objekten ist positive ganze Zahlen).

Ausdrücke, die logische Funktionen in der Sprache darstellen, sind an sich weder wahr noch falsch, das heißt, sie sind keine Aussagen. Solche Ausdrücke enthalten Variablen und werden zu Anweisungen, wenn stattdessen die Namen von Objekten aus dem angegebenen Bereich ersetzt werden (siehe ). Das ist zum Beispiel der Ausdruck „ x x stimmt das x x kleiner als 3", der erste ist falsch und der zweite ist wahr.

Im logischen Kalkül werden Aussagen hauptsächlich in der Anwendung von Kalkülen auf bestimmte Wissenschaftsgebiete behandelt. In den Formeln des Kalküls selbst tauchen hauptsächlich die sogenannten Variablenaussagen auf. Eine variable Aussage ist keine Aussage im eigentlichen Sinne, da die Frage nach ihrer Wahrheit oder Falschheit bedeutungslos ist; es ist eine Variable für eine Äußerung, d. h. ein Symbol, das bestimmte Äußerungen (oder ihre Namen) ersetzen kann. Um den Unterschied zwischen variablen Anweisungen und realen Anweisungen hervorzuheben, werden letztere oft als konstante Anweisungen bezeichnet. Die Verwendung von Aussagenvariablen dient dazu, Universalität auszudrücken: Sie erlaubt es, die Gesetze der Analysis für beliebige Aussagen einer bestimmten Art zu formulieren. Einige Kalküle führen auch konstante Sätze ein. In der axiomatischen Konstruktion logischer Kalküle (siehe ) haben die Begriffe Konstanten- und Variablenaussagen bis zu einer Interpretation des Kalküls nicht den oben angegebenen Inhalt, sondern werden einfach als durch spezielle Definitionen eingeführte Symbole betrachtet. Allerdings sind diese Definitionen so gewählt, dass bei der Interpretation des Kalküls die formal definierten Begriffe mit den sinnvollen Begriffen einer konstanten und variablen Aussage zusammenfallen.

Kein Kalkül ist in der Lage, alle logischen Eigenschaften von verschiedenen darzustellen verschiedene Typen Ausdrücke, die in natürlichen Sprachen verwendet werden. Jedes logische Kalkül geht von bestimmten idealisierten Vorstellungen über den zu formalisierenden Inhalt aus. Beispielsweise muss eine Aussage entweder wahr oder falsch sein, und eines von beiden ist erforderlich. Aber es gibt Vorschläge, die diese Anforderung nicht direkt erfüllen. Sie bedürfen der Klärung. Dies gilt vor allem für Ausdrücke, die formal grammatikalisch korrekte Sätze sind, aber keinen Sinn ergeben. In solchen Fällen ist es in der Regel möglich, die Bedeutung der Begriffe so zu verfeinern, dass der betreffende Ausdruck wahr oder falsch wird. In logischen Kalkülen und deduktiven Theorien wird der Begriff eines sinnvollen Ausdrucks normalerweise unabhängig vom Begriff eines wahren (oder falschen) Ausdrucks definiert, und die Wahrheitswerte wahr und falsch beziehen sich nur auf sinnvolle Ausdrücke, die in solchen Fällen aufgerufen werden Aussagen.

Zu beachten ist, dass neben dem Begriff „Aussage“ teilweise auch die Begriffe „Satz“ und „Urteil“ verwendet werden – entweder als Synonyme oder ihnen werden unterschiedliche Bedeutungen zugeordnet. Die Unterscheidung zwischen diesen Begriffen bezieht sich auf logische Semantik(siehe), während im logischen und Philosophische Literatur Es gibt eine Reihe von Diskussionen, die damit verbunden sind. Im Allgemeinen laufen diese Unterschiede auf Folgendes hinaus. Ein Satz als syntaktisches Gebilde, nur der Form nach betrachtet, unabhängig von der Bedeutung und Einschätzung von Wahrheit oder Modalität, wird als grammatischer Satz bezeichnet. Erklärung zugehörig verschiedene Sprachen und sogar in derselben Sprache denselben Gedanken ausdrücken können. Wenn Sätze, die dieselbe Bedeutung haben, sich aber als syntaktische Bildungen unterscheiden, als ein und dieselbe Aussage betrachtet werden, dann werden sie als Urteile bezeichnet. Dabei ist jedoch zu beachten, dass in der modernen Logik (siehe) meist der Begriff „Satz“ verwendet wird, während in der traditionellen Logik (siehe) der Begriff „Urteil“ (siehe) verwendet wurde. Im Allgemeinen zeigt die Liste der verschiedenen Arten von Sätzen, die von der Logik untersucht werden, dass der Umfang des Begriffs eines Satzes heterogen ist und keine klaren Grenzen hat.