O menor período positivo de uma função são exemplos. Investigação de uma função para periodicidade
A seu pedido!
7. Encontre o menor período positivo funções: y=2cos(0,2x+1).
Vamos aplicar a regra: se a função f é periódica e tem um período T, então a função y=Af(kx+b) onde A, k e b são constantes, e k≠0, também é periódica, além disso, seu período T o = T: |k|. Temos T \u003d 2π - este é o menor período positivo da função cosseno, k \u003d 0,2. Encontramos T o = 2π:0,2=20π:2=10π.
9. A distância de um ponto equidistante dos vértices do quadrado ao seu plano é 9 dm. Encontre a distância deste ponto aos lados do quadrado se o lado do quadrado for 8 pol.
10. Resolva a equação: 10=|5x+5x 2 |.
Como |10|=10 e |-10|=10, 2 casos são possíveis: 1) 5x 2 +5x=10 e 2) 5x 2 +5x=-10. Divida cada uma das igualdades por 5 e resolva as equações quadráticas resultantes:
1) x 2 +x-2=0, raízes de acordo com o teorema de Vieta x 1 \u003d -2, x 2 \u003d 1. 2) x2 +x+2=0. O discriminante é negativo - não há raízes.
11. Resolva a equação:
Aplicamos a identidade logarítmica básica ao lado direito da igualdade:
Obtemos a igualdade:
Resolvemos a equação quadrática x 2 -3x-4=0 e encontramos as raízes: x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 4.
13. Resolva a equação e encontre a soma de suas raízes no intervalo especificado.
22. Resolva a desigualdade:
Então a desigualdade assume a forma: tgt< 2. Построим графики уравнений: y=tgt и y=2. Выберем промежуток значений переменной t, при которых график y=tgt лежит ниже прямой у=2.
24. Reta y= uma x+b é perpendicular à reta y=2x+3 e passa pelo ponto C(4; 5). Escreva a equação dela. Diretoy=k 1 x+b 1 ey=k 2 x+b 2 são mutuamente perpendiculares se a condição k 1 ∙k 2 =-1 for satisfeita. Daí segue que uma 2=-1. A linha desejada será semelhante a: y=(-1/2) x+b. Encontraremos o valor de b se na equação da nossa linha reta em vez de X e no Substitua as coordenadas do ponto C.
5=(-1/2) 4+b ⇒ 5=-2+b ⇒ b=7. Então obtemos a equação: y \u003d (-1/2) x + 7.
25. Quatro pescadores A, B, C e D se gabavam de suas capturas:
1. D pegou mais C;
2. A soma das capturas de A e B é igual à soma das capturas de C e D;
3. A e D juntos pegaram menos que B e C juntos. Registre as capturas dos pescadores em ordem decrescente.
Nós temos: 1)
D>C; 2)
A+B=C+D; 3)
A+D Objetivo: generalizar e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre o tema “Periodicidade das funções”; formar habilidades na aplicação das propriedades de uma função periódica, encontrar o menor período positivo de uma função, traçar funções periódicas; promover o interesse pelo estudo da matemática; cultivar observação, precisão. Equipamentos: computador, projetor multimídia, cartões de tarefas, slides, relógios, mesas de enfeites, elementos de artesanato popular “Matemática é o que as pessoas usam para controlar a natureza e a si mesmas” Durante as aulas I. Fase organizacional. Verificar a prontidão dos alunos para a aula. Apresentação do tema e objetivos da aula. II. Verificando a lição de casa. Verificamos a lição de casa de acordo com as amostras, discutimos os pontos mais difíceis. III. Generalização e sistematização do conhecimento. 1. Trabalho frontal oral. Questões de teoria. 1) Forme a definição do período da função y=sen(x) = sen(x+360º) tg(x+π n)=tgx, n ∈ Z sen(x+2π n)=senx, n ∈ Z 5) Como traçar uma função periódica? exercícios orais. 1) Prove as seguintes relações a) sin(740º) = sin(20º) 2. Prove que o ângulo de 540º é um dos períodos da função y= cos(2x) 3. Prove que o ângulo de 360º é um dos períodos da função y=tg(x) 4. Transforme essas expressões para que os ângulos nelas incluídos não ultrapassem 90º em valor absoluto. a) tg375º 5. Onde você encontrou as palavras PERIOD, PERIODICITY? Respostas dos alunos: Um período na música é uma construção em que se afirma um pensamento musical mais ou menos completo. O período geológico faz parte de uma era e é dividido em épocas com um período de 35 a 90 milhões de anos. A meia-vida de uma substância radioativa. Fração periódica. Periódicos são publicações impressas que aparecem em datas estritamente definidas. Sistema periódico de Mendeleev. 6. As figuras mostram partes dos gráficos de funções periódicas. Defina o período da função. Determine o período da função. Responda: T=2; T=2; T=4; T=8. 7. Onde em sua vida você se deparou com a construção de elementos repetitivos? Os alunos respondem: Elementos de ornamentos, arte popular. 4. Resolução coletiva de problemas. (Resolução de problemas em slides.) Vamos considerar uma das maneiras de estudar uma função para periodicidade. Este método contorna as dificuldades associadas a provar que um ou outro período é o menor, e também não há necessidade de tocar em questões sobre operações aritméticas em funções periódicas e sobre a periodicidade de uma função complexa. O raciocínio é baseado apenas na definição de uma função periódica e no seguinte fato: se T é o período da função, então nT(n? 0) é seu período. Problema 1. Encontre o menor período positivo da função f(x)=1+3(x+q>5) Solução: Vamos supor que o T-período desta função. Então f(x+T)=f(x) para todo x ∈ D(f), i.e. 1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25) Seja x=-0,25 obtemos (T)=0<=>T=n, n ∈ Z Obtivemos que todos os períodos da função considerada (se existirem) estão entre inteiros. Escolha entre esses números o menor número positivo. isto 1
. Vamos verificar se é realmente um período 1
. f(x+1)=3(x+1+0,25)+1 Como (T+1)=(T) para qualquer T, então f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x ), ou seja, 1 - período f. Como 1 é o menor de todos os inteiros positivos, então T=1. Tarefa 2. Mostre que a função f(x)=cos 2 (x) é periódica e encontre seu período principal. Tarefa 3. Encontre o período principal da função f(x)=sen(1,5x)+5cos(0,75x) Assuma o período T da função, então para qualquer X a proporção sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sen(1,5x)+5cos(0,75x) Se x=0 então sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sen0+5cos0 sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 Se x=-T, então sin0+5cos0=sen(-1,5T)+5cos0,75(-T) 5= - sin(1,5T)+5cos(0,75T) – sin(1,5Т)+5cos(0,75Т)=5 Somando, temos: 10cos(0,75T)=10 2π
n, n€ Z Vamos escolher entre todos os números "suspeitos" para o período o menor positivo e verificar se é um período para f. Este número f(x+)=sen(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)=sen(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x) Portanto, é o período principal da função f. Tarefa 4. Verifique se a função f(x)=sin(x) é periódica Seja T o período da função f. Então para qualquer x sen|x+T|=sen|x| Se x=0, então sen|T|=sen0, sen|T|=0 T=π n, n ∈ Z. Suponha. Que para algum n o número π n é um período função considerada π n>0. Então sen|π n+x|=sen|x| Isso implica que n deve ser par e ímpar ao mesmo tempo, o que é impossível. Portanto, esta função não é periódica. Tarefa 5. Verifique se a função é periódica f(x)= Seja T o período f, então Como os numeradores são iguais, seus denominadores também são, então Portanto, a função f não é periódica. Trabalho em equipe. Tarefas para o grupo 1. Tarefas para o grupo 2. Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir). f(x)=cos(2x)+2sen(2x) Tarefas para o grupo 3. Ao final do trabalho, os grupos apresentam suas soluções. VI. Resumindo a lição. Reflexão. O professor dá aos alunos cartões com desenhos e se oferece para pintar parte do primeiro desenho de acordo com o grau em que, ao que parece, eles dominam os métodos de estudo da função da periodicidade e em parte do segundo desenho , de acordo com sua contribuição para o trabalho na lição. VII. Trabalho de casa 1). Verifique se a função f é periódica e encontre seu período principal (se existir) b). f(x)=x 2 -2x+4 c). f(x)=2tg(3x+5) 2). A função y=f(x) tem um período T=2 ef(x)=x 2 +2x para x € [-2; 0]. Encontre o valor da expressão -2f(-3)-4f(3,5) Literatura/ Instrução Observe que período ic nem sempre tem o menor valor positivo período. Assim, por exemplo, como período mas constante funções pode ser absolutamente qualquer número, e , pode não ter o menor valor positivo período uma. Também são instáveis período ico funções, que não têm o menor valor positivo período uma. No entanto, na maioria dos casos, o menor valor positivo período no período ic ainda está lá. Ao menos período seno é 2?. Considere isso com um exemplo funções y=sen(x). Seja T arbitrário período ohm do seno, neste caso sen(a+T)=sen(a) para qualquer valor de a. Se a=?/2, acontece que sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Entretanto, sin(x)=1 somente se x=?/2+2?n, onde n é um inteiro. Segue-se que T=2?n e, portanto, o menor valor positivo 2?n 2?. Menos positivo período cosseno também é igual a 2?. Considere a prova disso com um exemplo funções y=cos(x). Se T é arbitrário período cosseno, então cos(a+T)=cos(a). No caso de a=0, cos(T)=cos(0)=1. Em vista disso, o menor valor positivo de T, no qual cos(x)=1, é 2?. Dado o fato de que 2? - período seno e cosseno, será o mesmo período ohm da cotangente, bem como da tangente, mas não o mínimo, pois, como , o menor valor positivo período tangente e cotangente é igual?. Você pode verificar isso considerando o seguinte: os pontos correspondentes a (x) e (x +?) em um círculo trigonométrico têm uma localização diametralmente oposta. A distância do ponto (x) ao ponto (x + 2?) corresponde à metade do círculo. Por definição de tangente e cotangente, tg(x+?)=tgx, e ctg(x+?)=ctgx, o que significa que o menos positivo período cotangente e ?. Nota Não confunda as funções y=cos(x) e y=sin(x) - tendo o mesmo período, essas funções são exibidas de forma diferente. Conselho útil Para maior clareza, desenhe uma função trigonométrica para a qual o menor período positivo é calculado. Fontes: Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número cuja adição ao argumento da função não altera o valor da função. Você vai precisar Instrução Vídeos relacionados Nota Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas. Conselho útil O período de uma função que consiste em duas funções periódicas é o mínimo múltiplo comum dos períodos dessas funções. Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. combinar uns com os outros. Então a trigonométrica funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período é conhecido funções, você pode construir uma função neste período e repeti-la em outros. Instrução Seja a função f(x) = sin^2(10x) dada. Considere sen^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Use a fórmula de redução: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Então obtenha 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Assim, T = π/10. T é o menor período, e a função se repetirá por 2T e por 3T e para o lado ao longo do eixo: -T, -2T, etc. Conselho útil Use fórmulas para diminuir o grau de uma função. Se você já conhece os períodos de alguma função, tente reduzir a função existente para as conhecidas. Uma função cujos valores se repetem após um determinado número é chamada periódico. Ou seja, não importa quantos períodos você adicione ao valor de x, a função será igual ao mesmo número. Qualquer estudo de funções periódicas começa com a busca do menor período para não fazer trabalho extra: basta estudar todas as propriedades em um segmento igual ao período. Instrução Como resultado, você obterá uma certa identidade, tente encontrar o período mínimo dela. Por exemplo, se você obtiver a igualdade sen (2T) = 0,5, portanto, 2T = P / 6, ou seja, T = P / 12. Se a igualdade for verdadeira apenas quando T = 0 ou o parâmetro T depender de x (por exemplo, a igualdade 2T = x acabou), certifique-se de que a função não seja periódica. Para encontrar o menor período funções contendo apenas uma expressão trigonométrica, use . Se a expressão contiver sin ou cos, o período para funções será 2P, e para as funções tg, ctg defina o menor período P. Observe que a função não deve ser elevada a nenhuma potência, e a variável sob o sinal funções não deve ser multiplicado por um número diferente de 1. Se cos ou pecado dentro funções elevado a uma potência par, reduza pela metade o período de 2P. Graficamente, você pode ver assim: funções, abaixo do eixo x, será refletido simetricamente para cima, de modo que a função se repetirá duas vezes mais. Para encontrar o menor período funções dado que o ângulo x é multiplicado por algum número, proceda da seguinte forma: determine o período padrão desta funções(por exemplo, para cos é 2P). Em seguida, divida-o antes da variável. Este será o período mínimo exigido. A diminuição do período é claramente visível no gráfico: é exatamente tantas vezes quanto o ângulo sob o sinal trigonométrico é multiplicado funções. Se a sua expressão tem dois periódicos funções multiplicados um pelo outro, encontre o menor período para cada um separadamente. Em seguida, determine o fator menos comum para eles. Por exemplo, para os períodos P e 2/3P, o menor fator comum será 3P (não há resto em P e 2/3P). O cálculo do salário médio dos funcionários é necessário para o cálculo dos benefícios por incapacidade temporária, pagamento de viagens de negócios. O salário médio dos especialistas é calculado com base nas horas reais trabalhadas e depende do salário, subsídios, bônus indicados na tabela de pessoal. Mínimo positivo período funções em trigonometria denotada por f. Caracteriza-se pelo menor valor de um número positivo T, ou seja, seu menor valor T não será mais período ohm funções . Você vai precisar 1.
Observe que período função ical não tem invariavelmente um mínimo correto período. Assim, por exemplo, como período mas contínuo funções pode ser incondicionalmente qualquer número, o que significa que não pode ter o menor valor positivo período uma. Também são instáveis período ico funções, que não possuem a menor regularidade período uma. No entanto, na maioria dos casos, o mínimo correto período no período funções ical ainda estão lá. 2.
Mínimo período seno é 2?. Veja este exemplo para confirmação. funções y=sen(x). Seja T arbitrário período ohm do seno, neste caso sen(a+T)=sen(a) para qualquer valor de a. Se a=?/2, acontece que sin(T+?/2)=sin(?/2)=1. Entretanto, sin(x)=1 somente se x=?/2+2?n, onde n é um inteiro. Segue-se daqui que T=2?n, o que significa que o menor valor positivo de 2?n é 2?. 3.
Mínimo correto período cosseno também é igual a 2?. Veja este exemplo para confirmação. funções y=cos(x). Se T é arbitrário período cosseno, então cos(a+T)=cos(a). No caso de a=0, cos(T)=cos(0)=1. Em vista disso, o menor valor positivo de T para o qual cos(x)=1 é 2?. 4.
Considerando o fato de que 2? - período seno e cosseno, o mesmo valor será período ohm da cotangente, assim como da tangente, porém, não o mínimo, pelo fato de que, como se sabe, o mínimo correto período tangente e cotangente é igual?. Você poderá verificar isso observando o exemplo a seguir: os pontos correspondentes aos números (x) e (x +?) no círculo trigonométrico têm uma localização diametralmente oposta. A distância do ponto (x) ao ponto (x + 2?) corresponde à metade do círculo. Por definição de tangente e cotangente, tg(x+?)=tgx, e ctg(x+?)=ctgx, o que significa que o mínimo correto período cotangente e tangente é igual?. Uma função periódica é uma função que repete seus valores após algum período diferente de zero. O período de uma função é um número cuja adição ao argumento da função não altera o valor da função. Você vai precisar 1.
Vamos denotar o período da função f(x) pelo número K. Nossa tarefa é encontrar esse valor de K. Para fazer isso, imagine que a função f(x), usando a definição de uma função periódica, equacione f (x+K)=f(x). 2.
Resolvemos a equação resultante para o desconhecido K, como se x fosse uma constante. Dependendo do valor de K, haverá várias opções. 3.
Se K>0, então este é o período da sua função. Se K=0, então a função f(x) não é periódica. Se a solução da equação f(x+K)=f(x) não existir para qualquer K diferente de zero, essa função é chamada aperiódica e também não tem período. Vídeos relacionados Observação! Conselho útil Se considerarmos pontos em um círculo, então os pontos x, x + 2π, x + 4π, etc. combinar uns com os outros. Então a trigonométrica funções em linha reta periodicamente repetir seu significado. Se o período é famoso funções, é permitido construir uma função neste período e repeti-la em outros. 1.
O período é um número T tal que f(x) = f(x+T). Para encontrar o período, resolva a equação correspondente, substituindo x e x + T como argumento. Nesse caso, são usados períodos mais conhecidos para funções. Para as funções seno e cosseno, o período é 2π, e para a tangente e cotangente, é π. 2.
Seja a função f(x) = sin^2(10x) dada. Considere a expressão sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Use a fórmula para reduzir o grau: sin^2(x) = (1 - cos 2x)/2. Então obtenha 1 - cos 20x = 1 - cos 20(x+T) ou cos 20x = cos (20x+20T). Sabendo que o período do cosseno é 2π, 20T = 2π. Assim, T = π/10. T é o período mínimo correto, e a função será repetida após 2T, e após 3T, e na outra direção ao longo do eixo: -T, -2T, etc. Conselho útil Uma função cujos valores são repetidos após um determinado número é chamada periódico. Ou seja, não importa quantos períodos você adicione ao valor de x, a função será igual ao mesmo número. Qualquer busca por funções periódicas começa com a busca pelo menor período, para não dar trabalho extra: basta investigar todas as propriedades em um segmento igual ao período. 1.
Use a definição periódico funções. Todos os valores de x em funções substitua por (x+T), onde T é o período mínimo funções. Resolva a equação resultante, considerando T como um número desconhecido. 2.
Como resultado, você obterá alguma identidade, tente encontrar o menor período dela. Digamos, se a igualdade sen (2T) = 0,5 for obtida, portanto, 2T = P / 6, ou seja, T = P / 12. 3.
Se a igualdade for correta apenas em T=0 ou o parâmetro T depender de x (digamos, a igualdade 2T=x acabou), conclua que a função não é periódica. 4.
Para encontrar o período mínimo funções contendo apenas uma expressão trigonométrica, use a regra. Se a expressão contiver sin ou cos, o período para funções será 2P, e para as funções tg, ctg defina o período mínimo P. Observe que a função não deve ser elevada a nenhuma potência, mas a variável sob o sinal funções não deve ser multiplicado por um número bom de 1. 5.
Se cos ou pecado dentro funções construído para uma potência uniforme, reduza o período 2P pela metade. Graficamente, você pode ver assim: gráfico funções, localizado abaixo do eixo x, será refletido simetricamente para cima, consequentemente a função será repetida duas vezes mais. 6.
Para encontrar o período mínimo funções apesar do ângulo x ser multiplicado por algum número, proceda da seguinte forma: determine o período típico desta funções(digamos, para cos é 2P). Em seguida, divida-o pelo fator antes da variável. Este será o período mínimo desejado. A diminuição do período é perfeitamente visível no gráfico: encolhe exatamente tantas vezes quanto o ângulo sob o sinal trigonométrico é multiplicado. funções . 7.
Observe que se x for precedido por um número fracionário menor que 1, o período aumenta, ou seja, o gráfico, ao contrário, é alongado. 8.
Se a sua expressão tem dois periódicos funções multiplicados um pelo outro, encontre o período mínimo para cada um separadamente. Depois disso, determine o multiplicador geral mínimo para eles. Digamos que para os períodos P e 2/3P o fator comum mínimo será 3P (é dividido sem resto por P e 2/3P). O cálculo do salário médio dos funcionários é necessário para calcular os benefícios por incapacidade temporária, pagar viagens de negócios. O salário médio dos especialistas é calculado com base nas horas reais trabalhadas e depende do salário, subsídios e bônus especificados na tabela de pessoal. Você vai precisar 1.
Para calcular o salário médio de um funcionário, primeiro determine o período para o qual você precisa calculá-lo. Como de costume, esse período é de 12 meses corridos. Mas se o funcionário trabalha na empresa por menos de um ano, por exemplo, 10 meses, você precisa encontrar o salário médio pelo tempo em que o especialista desempenha sua função trabalhista. 2.
Agora determine o valor dos salários que foram realmente acumulados para ele no período de cobrança. Para fazer isso, use a folha de pagamento, segundo a qual o funcionário recebeu todos os pagamentos devidos a ele. Se for impensável usar esses documentos, multiplique o salário mensal, bônus, subsídios por 12 (ou o número de meses que o funcionário trabalha na empresa se estiver registrado na empresa há menos de um ano). 3.
Calcule seus ganhos diários médios. Para fazer isso, divida o valor dos salários do período de cobrança pelo número médio de dias em um mês (atualmente é 29,4). Divida o total resultante por 12. 4.
Depois disso, determine o número de horas reais trabalhadas. Para fazer isso, use a folha de ponto. Este documento deve ser preenchido por um cronometrista, oficial de pessoal ou outro funcionário que tenha isso especificado em suas responsabilidades de trabalho. 5.
Multiplique o número de horas efetivamente trabalhadas pelo salário médio diário. O valor recebido é o salário médio de um especialista para o ano. Divida o resultado por 12. Essa será a renda média mensal. Este cálculo é usado para empregados cuja folha de pagamento depende das horas reais trabalhadas. 6.
Quando um empregado é pago por peça, multiplique a tarifa (indicada na tabela de pessoal e determinada pelo contrato de trabalho) pelo número de produtos produzidos (use o ato de trabalho realizado ou outro documento em que isso seja registrado). Observação! Conselho útil
UM. Kolmogorov
2) Qual é o menor período positivo das funções y=sin(x), y=cos(x)
3). Qual é o menor período positivo das funções y=tg(x), y=ctg(x)
4) Use o círculo para provar a exatidão das relações:
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
ctg(x+π n)=ctgx, n ∈ Z
cos(x+2π n)=cosx, n ∈ Z
b) cos(54º) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
b) ctg530º
c) sin1268º
d) cos(-7363º)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
, portanto sinT=0, T=π n, n € Z. Vamos supor que para algum n o número π n é de fato o período da função dada. Então o número 2π n também será um período
Instrução
Instrução
Todas as funções trigonométricas são periódicas e todas as funções polinomiais com grau maior que 2 são aperiódicas.
O período de uma função que consiste em 2 funções periódicas é o mínimo múltiplo comum dos períodos dessas funções.Instrução
Use fórmulas para diminuir o grau de uma função. Se você estiver mais familiarizado com os períodos de algumas funções, tente reduzir a função existente às famosas.Instrução
Instrução
Não confunda as funções y=cos(x) e y=sin(x) - tendo um período idêntico, essas funções são exibidas de forma diferente.
Para maior clareza, desenhe uma função trigonométrica para a qual o período mínimo correto é calculado.
