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O triângulo impossível é um dos surpreendentes paradoxos matemáticos. À primeira vista para ele, você não pode nem por um segundo duvidar de sua existência real. No entanto, isso é apenas uma ilusão, um engano. E a própria possibilidade de tal ilusão nos será explicada pela matemática!

Descoberta das Penroses

Em 1958, o British Psychological Journal publicou um artigo de L. Penrose e R. Penrose, no qual eles introduziram um novo tipo de ilusão de ótica, que chamaram de "triângulo impossível".

Um triângulo visualmente impossível é percebido como uma estrutura que realmente existe no espaço tridimensional e é composta por barras retangulares. Mas isso é apenas uma ilusão de ótica. É impossível construir um modelo real de um triângulo impossível.

O artigo de Penrose continha várias opções para representar um triângulo impossível. - sua apresentação "clássica".

Quais elementos compõem um triângulo impossível?

Mais precisamente, a partir de que elementos ela nos parece construída? O projeto é baseado em um canto retangular, que é obtido conectando duas barras retangulares idênticas em ângulo reto. Três desses cantos são necessários e as barras, portanto, seis peças. Esses cantos devem ser visualmente “conectados” uns aos outros de uma certa maneira para que formem uma cadeia fechada. O que acontece é o triângulo impossível.

Coloque o primeiro canto em um plano horizontal. Vamos anexar o segundo canto a ele, direcionando uma de suas bordas para cima. Finalmente, adicionamos um terceiro canto a este segundo canto para que sua borda fique paralela ao plano horizontal original. Nesse caso, as duas bordas do primeiro e terceiro cantos serão paralelas e direcionadas em direções diferentes.

Se considerarmos a barra como um segmento de unidade de comprimento, as extremidades das barras do primeiro canto têm coordenadas e, o segundo canto - , e o terceiro - , e. Temos uma estrutura "torcida" que realmente existe no espaço tridimensional.

E agora vamos tentar olhar mentalmente para isso de diferentes pontos no espaço. Imagine como fica de um ponto, de outro, de um terceiro. Ao mudar o ponto de observação, parecerá que as duas bordas "finais" de nossos cantos se movem uma em relação à outra. Não é difícil encontrar uma posição na qual eles se conectem.

Mas se a distância entre as costelas for muito menor do que a distância dos cantos até o ponto de onde estamos vendo nossa estrutura, então ambas as costelas terão a mesma espessura para nós, e surgirá a ideia de que essas duas costelas são na verdade uma continuação um do outro. Essa situação é mostrada em 4.

A propósito, se olharmos simultaneamente para o reflexo da estrutura no espelho, não veremos um circuito fechado lá.

E do ponto de observação escolhido, vemos com nossos próprios olhos um milagre que aconteceu: há uma cadeia fechada de três cantos. Só não mude o ponto de observação para que essa ilusão não desmorone. Agora você pode desenhar um objeto que você vê ou colocar uma lente de câmera no ponto encontrado e obter uma fotografia de um objeto impossível.

Os Penroses foram os primeiros a se interessar por esse fenômeno. Eles usaram as possibilidades que surgem ao mapear o espaço tridimensional e objetos tridimensionais em um plano bidimensional e chamaram a atenção para algumas incertezas do projeto - uma construção aberta de três cantos pode ser percebida como uma cadeia fechada.

Prova da impossibilidade do triângulo de Penrose

Analisando as características de uma imagem bidimensional de objetos tridimensionais em um plano, entendemos como as características desta tela levam a um triângulo impossível. Talvez alguém se interesse por uma prova puramente matemática.

É extremamente fácil provar que um triângulo impossível não existe, porque cada um de seus ângulos é reto, e sua soma é 270 graus em vez dos 180 graus "colocados".

Além disso, mesmo se considerarmos um triângulo impossível colado a partir de cantos menores que 90 graus, nesse caso podemos provar que o triângulo impossível não existe.

Vemos três faces planas. Eles se cruzam em pares ao longo de linhas retas. Os planos que contêm essas faces são ortogonais aos pares, de modo que se cruzam em um ponto.

Além disso, linhas de intersecção mútua dos planos devem passar por este ponto. Portanto, as linhas retas 1, 2, 3 devem se cruzar em um ponto.

Mas isso não. Portanto, a construção apresentada é impossível.

Arte "impossível"

O destino desta ou daquela ideia - científica, técnica, política - depende de muitas circunstâncias. E não menos importante na forma como essa ideia será apresentada, em que imagem ela aparecerá para o grande público. Se a encarnação será seca e difícil de perceber, ou, pelo contrário, a manifestação da ideia será brilhante, capturando nossa atenção mesmo contra nossa vontade.

O triângulo impossível tem um destino feliz. Em 1961, o artista holandês Moritz Escher completou uma litografia que chamou de "Cachoeira". O artista percorreu um caminho longo, mas rápido, desde a própria ideia de um triângulo impossível até sua incrível incorporação artística. Lembre-se de que o artigo de Penrose apareceu em 1958.

No coração da "Cachoeira" são mostrados dois triângulos impossíveis. Um triângulo é grande, outro triângulo está localizado dentro dele. Pode parecer que três triângulos impossíveis idênticos estão representados. Mas este não é o ponto, o design apresentado é bastante complicado.

À primeira vista, seu absurdo não será imediatamente visível para todos, pois toda conexão apresentada é possível. como se costuma dizer, localmente, ou seja, em uma pequena área do desenho, tal projeto é viável ... Mas, em geral, é impossível! Suas peças individuais não se encaixam, não concordam umas com as outras.

E para entender isso, devemos despender certos esforços intelectuais e visuais.

Vamos fazer uma viagem ao longo das bordas da estrutura. Este caminho é notável porque ao longo dele, como nos parece, o nível relativo ao plano horizontal permanece inalterado. Seguindo por esse caminho, não subimos nem descemos.

E tudo estaria bem, familiar, se no final do caminho - ou seja, no ponto - não encontrássemos que, em relação ao ponto de partida, de alguma forma misteriosamente inconcebivelmente subimos a vertical!

Para chegar a esse resultado paradoxal, devemos escolher esse caminho, e até mesmo monitorar o nível em relação ao plano horizontal... Não é uma tarefa fácil. Em sua decisão, Escher veio em auxílio de... água. Vamos relembrar a música sobre movimento do maravilhoso ciclo vocal de Franz Schubert "The Beautiful Miller's Woman":

E primeiro na imaginação, e depois nas mãos de um mestre maravilhoso, estruturas nuas e secas se transformam em aquedutos, por onde correm correntes de água limpas e rápidas. Seu movimento captura nosso olhar, e agora, contra nossa vontade, corremos rio abaixo, seguindo todas as curvas e curvas do caminho, junto com o córrego que quebramos, caímos nas lâminas de um moinho de água, depois corremos novamente rio abaixo .. .

Percorremos esse caminho uma, duas, três vezes... e só então percebemos: descendo e descendo, de alguma forma subimos fantasticamente ao topo! A surpresa inicial se transforma em uma espécie de desconforto intelectual. Parece que nos tornamos vítimas de algum tipo de brincadeira, objeto de algum tipo de piada que ainda não foi compreendida.

E novamente repetimos esse caminho por um estranho conduto, agora lentamente, com cautela, como se temesse uma captura de um quadro paradoxal, percebendo criticamente tudo o que acontece nesse misterioso caminho.

Estamos tentando desvendar o mistério que nos surpreendeu, e não podemos escapar de seu cativeiro até encontrarmos a fonte oculta que está em sua base e traz o redemoinho inimaginável em movimento incessante.

O artista especificamente enfatiza, nos impõe a percepção de suas pinturas como imagens de objetos tridimensionais reais. A tridimensionalidade é realçada pela imagem de poliedros bastante reais nas torres, alvenaria com a representação mais fiel de cada tijolo nas paredes do aqueduto, terraços ascendentes com jardins ao fundo. Tudo é projetado para convencer o espectador da realidade do que está acontecendo. E graças à arte e à excelente tecnologia, esse objetivo foi alcançado.

Quando saímos do cativeiro em que nossa consciência cai, começamos a comparar, comparar, analisar, descobrimos que a base, a fonte dessa imagem está escondida nos recursos do design.

E temos mais uma prova "física" da impossibilidade do "triângulo impossível": se tal triângulo existisse, então também existiria a "Cachoeira" de Escher, que é essencialmente uma máquina de movimento perpétuo. Mas uma máquina de movimento perpétuo é impossível, portanto, o "triângulo impossível" também é impossível. E, talvez, essa "evidência" seja a mais convincente.

O que fez de Moritz Escher um fenômeno, uma pessoa única que não teve predecessores óbvios na arte e que não pode ser imitada? Esta é uma combinação de planos e volumes, atenção especial às formas bizarras do microcosmo - vivas e não vivas, a pontos de vista incomuns sobre coisas comuns. O principal efeito de suas composições é o efeito do surgimento de relações impossíveis entre objetos familiares. Essas situações à primeira vista podem assustar e causar um sorriso. Você pode olhar alegremente para a diversão que o artista oferece ou pode mergulhar seriamente nas profundezas da dialética.

Moritz Escher mostrou que o mundo pode não ser da maneira como o vemos e estamos acostumados a percebê-lo - você só precisa olhar para ele de um ângulo diferente e novo!

Moritz Escher

Moritz Escher teve mais sorte como cientista do que como artista. Suas gravuras e litografias eram vistas como chaves para provar teoremas ou contra-exemplos originais que desafiavam o senso comum. Na pior das hipóteses, eles foram percebidos como excelentes ilustrações para tratados científicos sobre cristalografia, teoria de grupos, psicologia cognitiva ou computação gráfica. Moritz Escher trabalhou no campo das relações espaço-temporais e sua identidade, ele usou padrões básicos de mosaicos, aplicando transformações a eles. Este é um grande mestre das ilusões de ótica. As gravuras de Escher retratam não o mundo das fórmulas, mas a beleza do mundo. Seu armazém intelectual se opõe fundamentalmente às criações ilógicas dos surrealistas.

O artista holandês Moritz Cornelius Escher nasceu em 17 de junho de 1898 na província da Holanda. A casa onde Escher nasceu é agora um museu.

Desde 1907, Moritz estuda carpintaria e toca piano, estudando em uma escola secundária. As notas de Moritz em todas as matérias eram ruins, exceto no desenho. O professor de arte percebeu o talento do menino e o ensinou a fazer xilogravuras.

Em 1916, Escher realiza seu primeiro trabalho gráfico, uma gravura em linóleo roxo - um retrato de seu pai G. A. Escher. Ele visita a oficina do artista Gert Stiegemann, que tinha uma prensa tipográfica. As primeiras gravuras de Escher foram impressas nesta máquina.

Em 1918-1919 Escher frequentou o Technical College na cidade holandesa de Delft. Ele recebe um adiamento do serviço militar para continuar seus estudos, mas devido a problemas de saúde, Moritz não deu conta do currículo e foi expulso. Como resultado, ele nunca recebeu um ensino superior. Ele estuda na Escola de Arquitetura e Ornamentação de Haarlem, onde tem aulas de desenho com Samuel Jeserin de Mesquite, que teve uma influência formativa na vida e obra de Escher.

Em 1921, a família Escher visitou a Riviera e a Itália. Fascinado pela vegetação e flores do clima mediterrâneo, Moritz fez desenhos detalhados de cactos e oliveiras. Ele esboçou muitos esboços de paisagens montanhosas, que mais tarde formaram a base de seu trabalho. Mais tarde, ele retornaria constantemente à Itália, que lhe serviria de fonte de inspiração.

Escher começa a experimentar uma nova direção para si mesmo, mesmo assim em suas obras há imagens espelhadas, figuras de cristal e esferas.

O final dos anos 20 provou ser um período muito frutífero para Moritz. Seu trabalho foi exibido em muitas exposições na Holanda e, em 1929, sua popularidade atingiu tal nível que cinco exposições individuais foram realizadas em um ano na Holanda e na Suíça. Foi durante esse período que as pinturas de Escher foram chamadas pela primeira vez de mecânicas e "lógicas".

Asher viaja muito. Vive na Itália e na Suíça, Bélgica. Estuda mosaicos mouros, faz litografias, gravuras. Com base em esboços de viagem, ele cria sua primeira pintura da realidade impossível Still Life with Street.

No final dos anos 30, Escher continuou a experimentar mosaicos e transformações. Ele cria um mosaico na forma de dois pássaros voando um em direção ao outro, que formou a base da pintura "Dia e Noite".

Em maio de 1940, os nazistas ocuparam a Holanda e a Bélgica e, em 17 de maio, Bruxelas também caiu na zona de ocupação, onde Escher e sua família viviam na época. Eles encontram uma casa em Varna e se mudam para lá em fevereiro de 1941. Até o fim de seus dias, Escher viverá nesta cidade.

Em 1946, Escher se interessou pela tecnologia de impressão de gravuras. E embora essa tecnologia fosse muito mais complicada do que a usada por Escher antes e exigisse mais tempo para criar uma imagem, os resultados foram impressionantes - linhas finas e reprodução precisa de sombras. Uma das obras mais famosas em impressão de gravura "Dewdrop" foi concluída em 1948.

Em 1950, Moritz Escher ganhou popularidade como palestrante. Então, em 1950, sua primeira exposição individual foi realizada nos Estados Unidos e sua obra começou a ser comprada. 27 de abril de 1955 Moritz Escher é nomeado cavaleiro e se torna um nobre.

Em meados da década de 1950, Escher combina mosaicos com figuras que chegam ao infinito.

No início dos anos 60, foi publicado o primeiro livro com as obras de Escher, Grafiek en Tekeningen, no qual o próprio autor comentava 76 obras. O livro ajudou a ganhar compreensão entre matemáticos e cristalógrafos, incluindo alguns na Rússia e no Canadá.

Em agosto de 1960, Escher deu uma palestra sobre cristalografia em Cambridge. Os aspectos matemáticos e cristalográficos do trabalho de Escher estão se tornando muito populares.

Em 1970, após uma nova série de cirurgias, Escher mudou-se para uma nova casa em Laren, que tinha um estúdio, mas problemas de saúde o impediam de trabalhar muito.

Moritz Escher morreu em 1971, aos 73 anos. Escher viveu o suficiente para ver The World of M.C. Escher traduzido para o inglês e ficou muito satisfeito com isso.

Várias imagens impossíveis são encontradas nos sites de matemáticos e programadores. A versão mais completa que vimos, em nossa opinião, é o site de Vlad Alekseev

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