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A afirmação de Einstein de que Deus não joga dados com o universo foi mal interpretada

Poucos dos bordões de Einstein foram tão amplamente citados quanto sua observação de que Deus não joga dados com o universo. As pessoas naturalmente tomam esse comentário espirituoso dele como prova de que ele se opunha dogmaticamente à mecânica quântica, que considera a aleatoriedade uma característica do mundo físico. Quando o núcleo de um elemento radioativo decai, acontece espontaneamente, não existe uma regra que diga exatamente quando ou por que isso acontecerá. Quando uma partícula de luz incide em um espelho translúcido, ela é refletida ou passa por ele. O resultado pode ser qualquer coisa até o momento em que esse evento ocorreu. E você não precisa ir ao laboratório para ver esse tipo de processo: muitos sites da Internet mostram fluxos de números aleatórios gerados por contadores Geiger ou dispositivos óticos quânticos. Sendo imprevisíveis mesmo em princípio, esses números são ideais para criptografia, estatísticas e torneios de pôquer online.

Einstein, como diz a lenda padrão. recusou-se a aceitar o fato de que alguns eventos são indeterminados devido à sua natureza. - eles simplesmente acontecem e nada pode ser feito para descobrir o porquê. Permanecendo quase em esplêndido isolamento, cercado de iguais, agarrou-se com as duas mãos ao universo mecânico da física clássica, medindo mecanicamente os segundos, em que cada momento predetermina o que acontecerá no próximo. A linha de dados tornou-se um indicativo do outro lado de sua vida: a tragédia de um revolucionário tornado reacionário que revolucionou a física com sua teoria da relatividade, mas - como Niels Bohr colocou diplomaticamente - confrontado com a teoria quântica, "deixado de fora para o jantar".

No entanto, ao longo dos anos, muitos historiadores, filósofos e físicos questionaram essa interpretação da história. Mergulhando em um mar de tudo o que Einstein realmente disse, eles descobriram que seus julgamentos sobre imprevisibilidade eram mais radicais e mais sutis do que geralmente retratados. "Tentar desenterrar a história verdadeira torna-se uma espécie de missionário", diz Don Howard (Don A. Howard), historiador da Universidade de Notre Dame. ideia aceita." Como ele e outros historiadores da ciência mostraram, Einstein reconheceu a natureza não determinista da mecânica quântica - o que não é surpreendente, pois foi ele quem descobriu seu indeterminismo. O que ele nunca reconheceu é que o indeterminismo é de natureza fundamental. Tudo isso indicava que o problema surge em um nível mais profundo da realidade, que a teoria não refletia. Sua crítica não era mística, mas se concentrava em problemas científicos específicos que permanecem sem solução até hoje.

A questão de saber se o universo é um relógio ou uma mesa de dados mina os fundamentos do que pensamos que a física é: a busca por regras simples que fundamentam a espantosa diversidade da natureza. Se algo acontece sem motivo, põe fim à investigação racional. "O indeterminismo fundamental significaria o fim da ciência", disse Andrew S. Friedman, cosmólogo do Instituto de Tecnologia de Massachusetts. No entanto, os filósofos ao longo da história acreditaram que o indeterminismo é uma condição necessária para o livre-arbítrio humano. Ou somos todos engrenagens de um relógio e, portanto, tudo o que fazemos é predeterminado, ou somos o agente do nosso próprio destino, caso em que o Universo ainda não deveria ser determinista.

Essa dicotomia teve consequências muito reais na forma como a sociedade responsabiliza as pessoas por suas ações. Nosso sistema legal é baseado no pressuposto do livre arbítrio; para que o réu seja considerado culpado, ele deve ter agido com dolo. Os tribunais constantemente questionam a questão: e se uma pessoa é inocente por motivo de insanidade, impulsividade juvenil ou um ambiente social podre?

No entanto, sempre que as pessoas falam sobre uma dicotomia, tendem a tentar expô-la como um equívoco. De fato, muitos filósofos acreditam que não faz sentido falar se o universo é determinista ou não determinista. Pode ser ambos, dependendo de quão grande ou complexo é o objeto de estudo: partículas, átomos, moléculas, células, organismos, psique, comunidades. “A diferença entre determinismo e indeterminismo depende do nível de estudo do problema”, diz Christian List, filósofo da London School of Economics and Political Science, “Mesmo se você observar o determinismo em algum nível particular, isso é bastante consistente com o indeterminismo em níveis mais altos e mais baixos." Os átomos em nossos cérebros podem se comportar de maneira completamente determinista, enquanto ainda nos deixam livres para agir enquanto átomos e órgãos funcionam em diferentes níveis.

Da mesma forma, Einstein estava procurando um nível subquântico determinístico, sem negar ao mesmo tempo que o nível quântico é probabilístico.

A que Einstein se opôs?

Como Einstein ganhou o rótulo de teoria antiquântica é um mistério quase tão grande quanto a própria mecânica quântica. O próprio conceito de quantum - uma unidade discreta de energia - foi fruto de suas reflexões em 1905, e por uma década e meia ele o defendeu quase sozinho. Einstein sugeriu isso. o que os físicos consideram hoje como as principais características da física quântica, como a estranha capacidade da luz de agir como partícula e como onda, e foi a partir de suas reflexões sobre a física ondulatória que Erwin Schrödinger desenvolveu a formulação mais amplamente aceita da física quântica teoria na década de 1920. Einstein também não era um oponente do acaso. Em 1916, ele mostrou que quando os átomos emitem fótons, o tempo e a direção da emissão são variáveis ​​aleatórias.

"Isso vai contra o retrato popular de Einstein em oposição à abordagem probabilística", argumenta Jan von Plato, da Universidade de Helsinque. Mas Einstein e seus contemporâneos enfrentaram um problema sério. Os fenômenos quânticos são aleatórios, mas a teoria quântica em si não é. A equação de Schrödinger é 100% determinística. Ele descreve uma partícula ou um sistema de partículas usando a chamada função de onda, que usa a natureza ondulatória das partículas e explica o padrão ondulatório que uma coleção de partículas forma. A equação prevê o que acontecerá com a função de onda a qualquer momento, com total certeza. De muitas maneiras, essa equação é mais determinista do que as leis do movimento de Newton: ela não leva a confusões como singularidade (onde as quantidades se tornam infinitas e, portanto, indescritíveis) ou caos (onde o movimento se torna imprevisível).

O problema é que o determinismo da equação de Schrödinger é o determinismo da função de onda, e a função de onda não pode ser observada diretamente, ao contrário da localização e das velocidades das partículas. Em vez disso, a função de onda determina as magnitudes que podem ser observadas e a probabilidade de cada um dos resultados possíveis. A teoria deixa em aberto as questões sobre o que é a própria função de onda e se ela deve ser tomada literalmente como uma onda real em nosso mundo material. Assim, fica em aberto a seguinte questão: a aleatoriedade observada é uma propriedade intrínseca inerente à natureza ou apenas sua fachada? "Afirma-se que a mecânica quântica não é determinista, mas esta é uma conclusão muito precipitada", diz o filósofo Christian Wuthrich, da Universidade de Genebra, na Suíça.

Werner Heisenberg, outro dos pioneiros que lançaram as bases da teoria quântica, concebeu a função de onda como uma névoa de existência potencial. Se não for possível indicar de forma clara e inequívoca onde a partícula está, é porque a partícula não está realmente localizada em nenhum lugar em particular. Somente quando você observa uma partícula ela se materializa em algum lugar do espaço. A função de onda pode ser espalhada por uma vasta região do espaço, mas no momento em que uma observação é feita, ela colapsa instantaneamente, encolhe em um ponto estreito localizado em um único local específico e, de repente, uma partícula aparece lá. Mas mesmo quando você olha para a partícula, bang! - de repente deixa de se comportar de forma determinística e salta para o estado final, como uma criança agarrando uma cadeira em um jogo de "cadeiras musicais". (O jogo consiste no fato de as crianças andarem em uma dança redonda ao som da música em torno de cadeiras, cujo número é um a menos que o número de jogadores, e tentarem sentar-se em uma cadeira vazia assim que a música parar).

Não há lei que regule esse colapso. Não há equação para isso. Simplesmente acontece - isso é tudo! O colapso tornou-se um elemento-chave da interpretação de Copenhague: uma visão da mecânica quântica com o nome da cidade onde Bohr e seu instituto, junto com Heisenberg, fizeram a maior parte do trabalho seminal. (Ironicamente, o próprio Bohr nunca reconheceu o colapso da função de onda.) A escola de Copenhague considera a aleatoriedade observada da física quântica como sua característica nominal, não passível de explicação adicional. A maioria dos físicos concorda com isso, uma das razões para isso é o chamado efeito âncora conhecido da psicologia, ou o efeito âncora: esta é uma explicação completamente satisfatória e apareceu primeiro. Embora Einstein não fosse um oponente da mecânica quântica, ele era definitivamente um oponente de sua interpretação de Copenhague. Partiu da ideia de que o ato de medir provoca uma ruptura na evolução contínua do sistema físico, e foi nesse contexto que começou a expressar sua oposição ao jogo divino de dados. “É precisamente sobre este ponto que Einstein lamenta em 1926, e não sobre a reivindicação metafísica abrangente do determinismo como uma condição absolutamente necessária”, argumenta Howard.

Pluralidade da realidade.E, no entanto, o mundo é determinista ou não? A resposta a esta pergunta depende não apenas das leis básicas do movimento, mas também do nível em que descrevemos o sistema. Considere cinco átomos em um gás movendo-se deterministicamente (diagrama superior). Eles começam quase no mesmo local e gradualmente divergem. No entanto, no nível macroscópico (diagrama inferior), não são os átomos individuais que são visíveis, mas um fluxo amorfo no gás. Depois de algum tempo, o gás provavelmente será distribuído aleatoriamente em vários fluxos. Essa aleatoriedade no nível macro é um subproduto da ignorância do observador sobre as leis do nível micro, é uma propriedade objetiva da natureza que reflete a forma como os átomos se juntam. Da mesma forma, Einstein assumiu que a estrutura interna determinista do universo leva à natureza probabilística do reino quântico.

É improvável que o colapso seja um processo real, argumentou Einstein. Isso exigiria uma ação instantânea à distância, um mecanismo misterioso pelo qual, digamos, ambos os lados esquerdo e direito da função de onda colapsam no mesmo ponto minúsculo, mesmo quando nenhuma força está coordenando seu comportamento. Não apenas Einstein, mas todos os físicos de seu tempo acreditavam que tal processo era impossível, teria que ocorrer mais rápido que a velocidade da luz, o que está em óbvia contradição com a teoria da relatividade. Na verdade, a mecânica quântica não fornece apenas dados, mas também pares de dados que sempre saem com a mesma face, mesmo que você jogue um em Vegas e outro em Vega. Para Einstein, parecia óbvio que os dados devem ser carregados, permitindo que você influencie o resultado das jogadas de maneira oculta com antecedência. Mas a escola de Copenhague nega tal possibilidade, sugerindo que os nós dos dedos de fato influenciam instantaneamente uns aos outros através da vasta extensão do espaço. Além disso, Einstein estava preocupado com o poder que os habitantes de Copenhague atribuíam ao ato de medir. O que é uma medida afinal? Talvez seja algo que apenas seres sencientes possam fazer, ou mesmo professores titulares? Heisenberg e outros representantes da escola de Copenhague nunca especificaram esse conceito. Alguns sugeriram que criamos a realidade circundante em nossas mentes no ato de observá-la, uma ideia que soa poética, talvez poética demais. Einstein também achava que era o cúmulo da arrogância de Copenhague dizer que a mecânica quântica está completa, que é a teoria definitiva que nunca será suplantada por outra. Ele considerava todas as teorias, inclusive a sua, como pontes para algo ainda maior.

Na verdade. Howard argumenta que Einstein ficaria feliz em aceitar o indeterminismo se pudesse obter respostas para todos os seus problemas que precisam ser resolvidos - se, por exemplo, alguém pudesse afirmar claramente o que é medição e como as partículas podem permanecer sincronizadas sem ação de longo alcance. Uma indicação de que Einstein considerava o indeterminismo um problema secundário é que ele fez as mesmas exigências às alternativas deterministas à escola de Copenhague e também as rejeitou. Outro historiador, Arthur Fine, da Universidade de Washington. acredita. Que Howard exagera a suscetibilidade de Einstein ao indeterminismo, mas concorda que seus julgamentos são baseados em uma base mais forte do que várias gerações de físicos estão acostumadas a acreditar, com base em fragmentos de suas declarações sobre o jogo de dados.

pensamentos aleatórios

Se você aceitar o cabo de guerra do lado da escola de Copenhague, acreditava Einstein, descobrirá que a desordem quântica é como todos os outros tipos de desordem na física: é o produto de uma percepção mais profunda. A dança de minúsculas partículas de poeira em um feixe de luz trai o movimento complexo das moléculas, e a emissão de fótons ou o decaimento radioativo dos núcleos é um processo semelhante, acreditava Einstein. Para ele, a mecânica quântica é uma teoria avaliativa que expressa o comportamento geral dos blocos de construção da natureza, mas não possui resolução suficiente para captar detalhes individuais.

Uma teoria mais profunda e completa explicará completamente o movimento - sem saltos misteriosos. Deste ponto de vista, a função de onda é uma descrição coletiva, como uma afirmação de que um dado regular, se lançado muitas vezes, cairá aproximadamente o mesmo número de vezes em cada um de seus lados. O colapso da função de onda não é um processo físico, mas uma aquisição de conhecimento. Se você rolar um dado de seis lados e ele sair, digamos, um quatro, o intervalo de opções de um a seis encolhe, ou você pode dizer, cai para o valor real de "quatro". Um demônio semelhante a um deus que pode rastrear os detalhes da estrutura atômica que afeta o resultado de um dado (ou seja, medir exatamente como sua mão empurra e gira o dado antes que ele atinja a mesa) nunca falará sobre colapso.

A intuição de Einstein foi reforçada por seus primeiros trabalhos sobre o efeito coletivo do movimento molecular, estudado em um campo da física chamado mecânica estatística, no qual ele mostrou que a física pode ser probabilística mesmo quando os fenômenos são baseados na realidade determinista. Em 1935, Einstein escreveu ao filósofo Karl Popper: "Não acho que você esteja certo em sua afirmação de que é impossível tirar conclusões estatísticas com base na teoria determinista. Tomemos, por exemplo, a mecânica estatística clássica (a teoria dos gases ou a teoria do movimento browniano)." As probabilidades na compreensão de Einstein eram tão reais quanto na interpretação da escola de Copenhague. Manifestadas nas leis fundamentais do movimento, elas refletem outras propriedades do mundo circundante, não são apenas artefatos da ignorância humana. Einstein sugeriu a Popper, como exemplo, considerar uma partícula que se move em círculo com velocidade constante; a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado segmento de um arco circular reflete a simetria de sua trajetória. Da mesma forma, a probabilidade de um dado cair em uma determinada face é um sexto porque ela tem seis faces iguais. "Ele entendia melhor do que a maioria na época que a importante essência física estava nos detalhes da probabilidade estatística-mecânica", diz Howard.

Outra lição da mecânica estatística foi que as quantidades que observamos não existem necessariamente em um nível mais profundo. Por exemplo, um gás tem uma temperatura, mas não faz sentido falar sobre a temperatura de uma única molécula de gás. Por analogia, Einstein passou a acreditar que uma teoria subquântica era necessária para significar uma ruptura radical com a mecânica quântica. Em 1936 ele escreveu: "Não há dúvida de que a mecânica quântica capturou o belo elemento da verdade<...>No entanto, não acredito que a mecânica quântica será o ponto de partida na busca por esse fundamento, nem, inversamente, não se pode passar da termodinâmica (respectivamente, mecânica estatística) para os fundamentos da mecânica. "Para preencher esse nível mais profundo, Einstein liderou a busca na direção de uma teoria unificada, um campo no qual as partículas são derivadas de estruturas que não são nada parecidas com partículas. explicar a aleatoriedade, para não fazer parecer que ela não existe.

Faça do seu nível o melhor

Embora o projeto da teoria unificada de Einstein tenha falhado, os princípios básicos de sua abordagem intuitiva da aleatoriedade ainda são verdadeiros: o indeterminismo pode surgir do determinismo. Os níveis quântico e subquântico - ou qualquer outro par de níveis na hierarquia da natureza - são compostos de diferentes tipos de estruturas, por isso obedecem a diferentes tipos de leis. A lei que rege um nível pode naturalmente permitir um elemento de chance, mesmo que as leis do nível inferior sejam totalmente regulamentadas. "A microfísica determinista não dá origem à macrofísica determinista", diz o filósofo Jeremy Butterfield, da Universidade de Cambridge.

Imagine um dado no nível atômico. Um cubo pode ser feito de um número inimaginavelmente grande de configurações atômicas que são completamente indistinguíveis umas das outras a olho nu. Se você seguir qualquer uma dessas configurações enquanto o dado estiver girando, isso levará a um resultado específico - estritamente determinístico. Em algumas configurações, a matriz parará com um ponto na face superior, em outras, com dois. etc. Portanto, um único estado macroscópico (se você fizer o cubo girar) pode levar a vários resultados macroscópicos possíveis (uma das seis faces estará no topo). “Se descrevermos um dado no nível macro, podemos pensar nele como um sistema estocástico que permite aleatoriedade objetiva”, diz Liszt, que estuda conjugação de níveis com Marcus Pivato, matemático da Universidade de Cergy-Pontoise, na França.

Embora o nível superior se construa no nível inferior, ele é autônomo. Para descrever os dados, é preciso trabalhar no nível em que os dados existem como tal, e quando você faz isso, você não pode deixar de negligenciar os átomos e sua dinâmica. Se você cruzar um nível com outro, está cometendo um truque de substituição de categoria: é como perguntar sobre a filiação política de um sanduíche de salmão (para usar o exemplo do filósofo da Universidade de Columbia, David Albert). "Quando temos um fenômeno que pode ser descrito em diferentes níveis, temos que ser conceitualmente muito cuidadosos para não misturar níveis", diz List. Por esta razão, o resultado de uma rolagem de dados não parece apenas aleatório. É realmente aleatório. Um demônio divino pode se gabar de saber exatamente o que vai acontecer, mas ele só sabe o que vai acontecer com os átomos. Ele nem sequer suspeita o que é um dado, pois esta é uma informação de nível superior. O demônio nunca vê a floresta, apenas as árvores. Ele é como o protagonista da história do escritor argentino Jorge Luis Borges "Funes, o memorável" - um homem que lembra de tudo, mas não entende nada. "Pensar é esquecer a diferença, generalizar, abstrair", escreve Borges. Para que o demônio saiba de que lado os dados cairão, é necessário explicar o que procurar. “A única maneira de um demônio entrar no que está acontecendo no nível superior é se receber uma descrição detalhada de como definimos o limite entre os níveis”, diz List. De fato, depois disso, o demônio provavelmente ficará com ciúmes de que somos mortais.

A lógica dos níveis também funciona exatamente na direção oposta. A microfísica não determinística pode levar à macrofísica determinista. Uma bola de beisebol pode ser feita de partículas que apresentam comportamento caótico, mas seu vôo é completamente previsível; aleatoriedade quântica, média. desaparece. Da mesma forma, os gases são compostos de moléculas que se movem em movimentos extremamente complexos - e de fato não determinísticos -, mas sua temperatura e outras propriedades seguem leis tão simples quanto dois e dois. Mais especulativamente, alguns físicos, como Robert Laughlin, da Universidade de Stanford, sugerem que o nível inferior não importa nada. Os blocos de construção podem ser qualquer coisa e ainda assim seu comportamento coletivo será o mesmo. Afinal, sistemas tão diversos quanto moléculas de água, estrelas em uma galáxia e carros em uma rodovia seguem as mesmas leis de fluxo de fluido.

Finalmente livre

Quando você pensa em termos de níveis, a preocupação de que o indeterminismo possa marcar o fim da ciência desaparece. Não há muro alto ao nosso redor, protegendo nosso fragmento do Universo que respeita a lei do resto incompreensível e propenso à anarquia. Na verdade, o mundo é uma camada de bolo de determinismo e indeterminismo. O clima da Terra, por exemplo, é governado pelas leis determinísticas do movimento de Newton, mas a previsão do tempo é probabilística, enquanto as tendências climáticas sazonais e de longo prazo são novamente previsíveis. A biologia também decorre da física determinista, mas organismos e ecossistemas requerem outros métodos de descrição, como a evolução darwiniana. "O determinismo não explica absolutamente tudo", observa Daniel Dennett, filósofo da Universidade Tufts. "Por que as girafas apareceram? Porque quem determinou: que assim seja?"

As pessoas são intercaladas dentro deste bolo de camadas. Temos um poderoso senso de livre arbítrio. Muitas vezes tomamos decisões imprevisíveis e principalmente vitais, entendemos que poderíamos ter feito diferente (e muitas vezes lamentamos não ter feito). Por milênios, os chamados libertários, proponentes da doutrina filosófica do livre-arbítrio (não confundir com o movimento político!), argumentaram que a liberdade do indivíduo requer a liberdade da partícula. Algo deve destruir o curso determinístico dos eventos, como aleatoriedade quântica ou "desvios", que, como alguns filósofos antigos acreditavam, os átomos podem experimentar durante seu movimento (o conceito de um desvio aleatório imprevisível de um átomo de sua trajetória original foi introduzido no filosofia antiga de Lucrécio para defender a doutrina atomística de Epicuro).

O principal problema com essa linha de raciocínio é que ela libera as partículas, mas nos deixa como escravos. Não importa se sua decisão foi predeterminada no momento do Big Bang ou por uma pequena partícula, ainda não é sua decisão. Para sermos livres, precisamos de indeterminismo, não no nível das partículas, mas no nível humano. E isso é possível porque o nível humano e o nível de partículas são independentes um do outro. Mesmo que tudo o que você faça possa ser rastreado até os primeiros passos, você é o mestre de suas ações, porque nem você nem suas ações existem no nível da matéria, mas apenas no nível macro da consciência. "Esse macroindeterminismo baseado no microdeterminismo é provavelmente o que garante o livre arbítrio", disse Butterfield. O macroindeterminismo não é a razão de suas decisões. Esta é a sua decisão.

Alguns provavelmente irão objetar e dizer que você ainda é um fantoche, e as leis da natureza agem como um marionetista, e que sua liberdade nada mais é do que uma ilusão. Mas a própria palavra “ilusão” traz à mente miragens no deserto e mulheres serradas ao meio: tudo isso não existe na realidade. O macroindeterminismo não é o mesmo. É bastante real, mas não fundamental. Pode ser comparado à vida. Os átomos individuais são matéria absolutamente inanimada, mas sua enorme massa pode viver e respirar. "Tudo o que tem a ver com agentes, seus estados de intenção, suas decisões e escolhas - nenhuma dessas entidades tem nada a ver com o conjunto de ferramentas conceituais da física fundamental, mas isso não significa que esses fenômenos não sejam reais", observa List. . simplesmente significa que todos eles são fenômenos de um nível muito mais alto."

Seria um erro de categoria, senão completa ignorância, descrever as decisões humanas em termos da mecânica do movimento dos átomos em sua cabeça. Em vez disso, é necessário usar todos os conceitos da psicologia: desejo, possibilidade, intenções. Por que bebi água e não vinho? Porque eu queria. Meus desejos explicam minhas ações. Na maioria dos casos, quando fazemos a pergunta "Por quê?", estamos procurando a motivação do indivíduo, e não sua formação física. As explicações psicológicas permitem o tipo de indeterminismo de que fala List. Por exemplo, os teóricos dos jogos modelam a tomada de decisão humana apresentando uma gama de opções e explicando qual você escolheria se estivesse agindo racionalmente. Sua liberdade de escolher uma determinada opção governa sua escolha, mesmo que você nunca escolha essa opção.

Para ter certeza, os argumentos de List não explicam completamente o livre-arbítrio. A hierarquia de níveis abre espaço para o livre arbítrio, separando a psicologia da física e nos dando a capacidade de fazer coisas inesperadas. Mas devemos aproveitar esta oportunidade. Se, por exemplo, tomássemos todas as decisões jogando uma moeda, isso ainda seria considerado macroindeterminismo, mas dificilmente se qualificaria como livre-arbítrio em qualquer sentido significativo. Por outro lado, a tomada de decisão por algumas pessoas pode ser tão desgastante que não se pode dizer que agem livremente.

Uma abordagem semelhante ao problema do determinismo dá sentido à interpretação da teoria quântica, que foi proposta alguns anos após a morte de Einstein em 1955. Foi chamada de interpretação de muitos mundos, ou interpretação de Everett. Seus proponentes argumentam que a mecânica quântica descreve uma coleção de universos paralelos – um multiverso que geralmente se comporta de forma determinística, mas parece não determinista para nós porque só podemos ver um único universo. Por exemplo, um átomo pode emitir um fóton para a direita ou para a esquerda; a teoria quântica deixa o resultado deste evento em aberto. De acordo com a interpretação de muitos mundos, tal imagem é observada porque exatamente a mesma situação ocorre em inúmeros universos paralelos: em alguns deles, o fóton voa deterministicamente para a esquerda e no restante, para a direita. Sem poder dizer exatamente em qual dos universos estamos, não podemos prever o que acontecerá, então essa situação parece inexplicável por dentro. "No espaço, não há aleatoriedade verdadeira, mas os eventos podem parecer aleatórios aos olhos do observador", explica o cosmólogo Max Tegmark, do Instituto de Tecnologia de Massachusetts, um conhecido defensor dessa visão. "A aleatoriedade reflete sua incapacidade de determinar onde você está."

É como dizer que um dado ou um cérebro podem ser construídos a partir de qualquer uma das inúmeras configurações de átomos. Essa configuração em si pode ser determinista, mas como não podemos saber qual corresponde aos nossos dados ou ao nosso cérebro, somos forçados a supor que o resultado não é determinístico. Assim, os universos paralelos não são uma ideia exótica pairando em uma imaginação doentia. Nosso corpo e nosso cérebro são pequenos multiversos, é a diversidade de possibilidades que nos dá liberdade.

Método de composição musical com texto sonoro solto; como forma independente de compor música tomou forma no século XX. A. significa a renúncia total ou parcial do compositor ao controle estrito sobre o texto musical, ou mesmo a eliminação da própria categoria do compositor-autor no sentido tradicional. A inovação de A. está na correlação de componentes estavelmente estabelecidos de um texto musical com a aleatoriedade conscientemente introduzida, a mobilidade arbitrária da matéria musical. O conceito de A. pode se referir tanto ao layout geral das partes da composição (à forma), quanto à estrutura de seu tecido. Tchau. Denisov, a interação entre a estabilidade e mobilidade do tecido e da forma dá 4 tipos principais de combinação, três dos quais - 2º, 3º e 4º - são aleatórios: 1. Tecido estável - forma estável (composição tradicional usual, opus perfectum et absolutum; como, por exemplo, 6 sinfonias de Tchaikovsky); 2. Tecido estável - forma móvel; de acordo com V. Lutoslavs, “A. formas” (P. Boulez, 3ª sonata para piano, 1957); 3. Tecido móvel - forma estável; ou, de acordo com Lutoslavsky, “A. texturas” (Lutoslavsky, Quarteto de Cordas, 1964, Movimento Principal); 4. Tecido móvel - forma móvel; ou "A. cela"(com improvisação coletiva de vários intérpretes). Estes são os pontos nodais do método de A., em torno dos quais existem muitos tipos e casos específicos de estruturas, vários graus de imersão em A.; além disso, as metábolas (“modulações”) também são naturais - a transição de um tipo ou tipo para outro, também para um texto estável ou dele.

A. tornou-se difundida desde a década de 1950, aparecendo (juntamente com sonora), em particular, como uma reação à extrema escravização da estrutura musical no serialismo multiparâmetro (ver: dodecafonia). Enquanto isso, o princípio da liberdade de estrutura de uma forma ou de outra tem raízes antigas. Em essência, o fluxo de som, e não uma obra estruturada exclusivamente, é a música folclórica. Daí a instabilidade, "não-opus" da música folclórica, variação, variância e improvisação nela. A imprevisibilidade, a improvisação da forma são características da música tradicional da Índia, dos povos do Extremo Oriente e da África. Portanto, os representantes de A. confiam ativa e conscientemente nos princípios essenciais da música oriental e folclórica. Elementos de seta também existiam na música clássica europeia. Por exemplo, entre os clássicos vienenses, que eliminaram o princípio do baixo geral e tornaram o texto musical completamente estável (sinfonias e quartetos de I. Haydn), um forte contraste foi a "cadenza" em forma de concerto instrumental - um solo virtuoso, parte da qual o compositor não compôs, mas forneceu a critério do intérprete (forma do elemento A.). Métodos “aleatórios” cômicos de compor peças simples (minuetos) combinando peças de música em dados (Würfelspiel) são conhecidos nos dias de Haydn e Mozart (tratado de I.F. Kirnberger “A qualquer momento um compositor pronto de polonesas e minuetos” . Berlim, 1757).

No século XX. o princípio do "projeto individual" na forma começou a sugerir a admissibilidade de versões textuais da obra (ou seja, A.). Em 1907 o compositor americano C. Ives compôs o quinteto de piano "Hallwe" en (= "All Saints' Eve"), cujo texto, quando executado em concerto, deveria ser tocado diferentemente quatro vezes seguidas. cela composta em 1951 “Música das Mutações” para piano, cujo texto ele compilou “manipulando acidentes” (palavras do compositor), usando para isso o “Livro das Mutações” chinês. Classi-

exemplo cal A. - "Peça para piano XI" de K. Stockhausen, 1957. Em uma folha de papel ca. 0,5 m² em ordem aleatória são 19 fragmentos musicais. O pianista começa com qualquer um deles e os toca em ordem aleatória, seguindo um olhar casual; no final da passagem anterior está escrito em que andamento e em que volume tocar a próxima. Quando parece ao pianista que ele já tocou todos os fragmentos desta forma, eles devem ser tocados uma segunda vez novamente na mesma ordem aleatória, mas em uma sonoridade mais brilhante. Após a segunda rodada, o jogo termina. Para maior efeito, recomenda-se repetir a obra aleatória em um concerto - o ouvinte verá outra composição do mesmo material. Método A. é amplamente utilizado por compositores modernos (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke e etc).

Um pré-requisito para A. no século 20. novas leis vieram harmonia e as tendências deles decorrentes de buscar novas formas que correspondam ao novo estado do material musical e são características vanguarda. A textura aleatória era completamente impensável antes da emancipação dissonância desenvolvimento da música atonal (ver: dodecafonia). Um defensor do “limitado e controlado” A. Lutoslavsky vê nele um valor indubitável: “A. abriu novas e inesperadas perspectivas para mim. Em primeiro lugar - uma enorme riqueza de ritmo, inatingível com a ajuda de outras técnicas. Denisov, justificando a "introdução de elementos aleatórios na música", afirma que "nos dá grande liberdade na operação com a matéria musical e nos permite obter novos efeitos sonoros<...>, mas as ideias de mobilidade só podem dar bons resultados se<... >se as tendências destrutivas ocultas na mobilidade não destroem a construtividade necessária para a existência de qualquer forma de arte.

Alguns outros métodos e formas de música se cruzam com A. Em primeiro lugar, são eles: 1. improvisação - execução de uma obra composta durante o jogo; 2. música gráfica, que o performer improvisa de acordo com as imagens visuais do desenho postas à sua frente (por exemplo, I. Brown, Folio, 1952), traduzindo-as em imagens sonoras, ou de acordo com os gráficos musicais aleatórios criados pelo compositor a partir de peças de texto musical numa folha de papel (S. Bussotti, "Paixão pelo Jardim", 1966); 3. acontecendo- ação improvisada (neste sentido, aleatória) (Ações) com a participação de músicas com enredo (quase) arbitrário (por exemplo, o happening "Réplica" de A. Volkonsky do conjunto Madrigal na temporada 1970/71); 4. formas abertas de música - ou seja, aquelas cujo texto não é fixo de forma estável, mas é obtido toda vez no processo de execução. São tipos de composição que não são fundamentalmente fechados e permitem uma continuação infinita (por exemplo, a cada nova performance), o inglês. Trabalho em progresso. Para P. Boulez, um dos estímulos que o transformaram em forma aberta foi o trabalho de J. Joyce(“Ulysses”) e S. Mallarmé (“Le Livre”). Um exemplo de uma composição aberta é "Available Forms II" de Earl Brown para 98 instrumentos e dois maestros (1962). O próprio Brown aponta para a conexão de sua forma aberta com "móbiles" nas artes visuais (ver: arte cinética) em particular, A. Calder ("Calder Piece" para 4 bateristas e móbile de Calder, 1965). Por fim, a ação “Gesamtkunst” é permeada de princípios aleatórios (ver: Gezamtkunstwerk). 5. Multimídia cuja especificidade é a sincronização instalações várias artes (por exemplo: um concerto + uma exposição de pintura e escultura + uma noite de poesia em qualquer combinação de formas de arte, etc.). Assim, a essência de A. é conciliar a ordem artística tradicionalmente estabelecida e o fermento refrescante da imprevisibilidade, da aleatoriedade - tendência característica de cultura artística do século XX. em geral e estética não clássica.

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Escrito pelo designer Tyler Sigman, em "Gamasutra". Eu afetuosamente me refiro a ele como o artigo “cabelo nas narinas de um orc”, mas ele cobre muito bem o básico de probabilidades em jogos.

O tema desta semana

Até hoje, quase tudo sobre o que falamos foi determinístico, e na semana passada analisamos mais de perto a mecânica transitiva e a detalhamos com o máximo de detalhes que posso explicar. Mas até agora não prestamos atenção a um aspecto enorme de muitos jogos, ou seja, os aspectos não determinísticos, em outras palavras - aleatoriedade. Compreender a natureza da aleatoriedade é muito importante para os designers de jogos porque criamos sistemas que afetam a experiência do jogador em um determinado jogo, por isso precisamos saber como esses sistemas funcionam. Se houver aleatoriedade no sistema, você precisa entender natureza essa aleatoriedade e como alterá-la para obter os resultados que queremos.

Dados

Vamos começar com algo simples: rolar os dados. Quando a maioria das pessoas pensa em dados, elas pensam em um dado de seis faces conhecido como d6. Mas a maioria dos jogadores já viu muitos outros dados: quatro lados (d4), oito lados (d8), doze lados (d12), vinte lados (d20) ... e se você real geek, você pode ter alguns dados de 30 ou 100 lados em algum lugar. Se você não estiver familiarizado com essa terminologia, o "d" significa um dado, e o número depois dele é quantas faces ele tem. Se um antes da“d” representa um número, representa quantia dado quando lançado. Por exemplo, no Monopólio, você rola 2d6.

Então, neste caso, a frase “dado” é uma designação convencional. Há um grande número de outros geradores de números aleatórios que não têm a forma de um bloco de plástico, mas realizam a mesma função de gerar um número aleatório de 1 a n. Uma moeda comum também pode ser pensada como um dado diedro d2. Vi dois desenhos de um dado de sete lados: um deles parecia um dado, e o segundo parecia mais um lápis de madeira de sete lados. Um pião tetraédrico (também conhecido como titotum) é um análogo de um osso tetraédrico. O campo de jogo da flecha giratória no jogo “Chutes & Ladders”, onde o resultado pode ser de 1 a 6, corresponde a um dado de seis lados. O gerador de números aleatórios no computador pode criar qualquer número de 1 a 19 se o projetista der tal comando, embora o computador não tenha um dado de 19 faces (em geral, falarei mais sobre a probabilidade de os números caírem no computador em próximo semana). Embora todos esses itens pareçam diferentes, eles são na verdade equivalentes: você tem a mesma chance de obter um dos vários resultados.

Os dados têm algumas propriedades interessantes que precisamos conhecer. Primeiro, a probabilidade de qualquer uma das faces aparecer é a mesma (suponho que você esteja rolando os dados certos, não a geometria errada). Então se você quer saber significa role (também conhecido entre os probabilistas como a “expectativa matemática”), some os valores de todas as arestas e divida essa soma por quantia rostos. O valor médio de uma jogada para um dado padrão de seis lados é 1+2+3+4+5+6 = 21, dividido pelo número de faces (6) e obtemos o valor médio de 21/6 = 3,5. Este é um caso especial porque assumimos que todos os resultados são igualmente prováveis.

E se você tiver dados especiais? Por exemplo, eu vi um jogo de dados de seis lados com adesivos especiais nos rostos: 1, 1, 1, 2, 2, 3, então ele se comporta como um dado estranho de três lados, que é mais provável de rolar o número 1 que 2, e 2 que 3. Qual é o valor médio de lançamento deste dado? Então 1+1+1+2+2+3 = 10 dividido por 6 é igual a 5/3 ou cerca de 1,66. Então, se você tem esse dado em particular e os jogadores jogam três dados e somam os resultados, você sabe que a soma aproximada de seus lançamentos será cerca de 5, e você pode equilibrar o jogo com base nessa suposição.

Dados e independência

Como já disse, partimos do pressuposto de que a desistência de cada face é igualmente provável. Não depende de quantos dados você joga. Cada rolo de um dado sem considerar, o que significa que as rolagens anteriores não afetam os resultados das rolagens subsequentes. Com um número suficiente de testes, você certamente perceber"série" de números, como rolar principalmente valores mais altos ou mais baixos, ou outros recursos, e falaremos sobre isso mais tarde, mas isso não significa que os dados sejam "quentes" ou "frios". Se você lançar um dado padrão de seis lados e o número 6 aparecer duas vezes seguidas, a probabilidade de que o próximo lançamento resulte em um 6 também é 1/6. A probabilidade não é aumentada pelo fato de o cubo estar “aquecido”. A probabilidade não diminui, porque o número 6 já caiu duas vezes seguidas, o que significa que agora outra face cairá. (Claro, se você jogar um dado vinte vezes e o número 6 aparecer todas as vezes, a chance de que o número 6 apareça na vigésima primeira vez é bem alta... !) Mas se você tiver o dado certo, a probabilidade de cair de cada uma das faces é a mesma, independentemente dos resultados de outras jogadas. Você também pode imaginar que cada vez que trocamos o dado, se o número 6 aparecer duas vezes seguidas, remova o dado "quente" do jogo e substitua-o por um novo dado de seis lados. Peço desculpas se algum de vocês já sabia sobre isso, mas eu precisava esclarecer isso antes de prosseguir.

Como fazer os dados rolarem mais ou menos aleatórios

Vamos falar sobre como obter resultados diferentes em dados diferentes. Se você jogar o dado apenas uma ou várias vezes, o jogo parecerá mais aleatório se o dado tiver mais arestas. Quanto mais vezes você rola um dado, ou quanto mais dados você rola, mais os resultados se aproximam da média. Por exemplo, se você rolar 1d6+4 (ou seja, um dado padrão de seis lados uma vez e adicionar 4 ao resultado), a média será um número entre 5 e 10. Se você rolar 5d2, a média também será um número entre 5 e 10. Mas ao lançar um dado de seis faces, a probabilidade de obter os números 5, 8 ou 10 é a mesma. O resultado de uma rolagem de 5d2 será principalmente os números 7 e 8, menos frequentemente outros números. A mesma série, até a mesma média (7,5 em ambos os casos), mas a natureza da aleatoriedade é diferente.

Espere um minuto. Eu não acabei de dizer que os dados não aquecem ou esfriam? E agora estou dizendo que se você jogar muitos dados, os resultados das jogadas ficam mais próximos da média? Por quê?

Deixe-me explicar. Se você está jogando 1 dados, a probabilidade de cair de cada uma das faces é a mesma. Isso significa que, se você rolar muitos dados, com o tempo, cada face aparecerá aproximadamente o mesmo número de vezes. Quanto mais dados você rolar, mais o resultado total se aproximará da média. Não é porque o número rolado "causa" outro número que ainda não apareceu. Porque uma pequena sequência de 6s (ou 20s, ou o que quer que seja) não acaba sendo um grande problema se você jogar os dados mais dez mil vezes e é principalmente a média que sai... talvez agora você tenha alguns números com um valor alto, mas talvez mais tarde alguns números com um valor baixo e com o tempo eles se aproximem do valor médio. Não porque as jogadas anteriores afetam os dados (sério, os dados são feitos de plástico, ela não tem cérebro para pensar "ah, faz muito tempo desde que um 2 apareceu"), mas porque é o que geralmente acontece com muitas jogadas de dados. Uma pequena série de números repetidos será quase invisível em um grande número de resultados.

Assim, é bastante fácil calcular para uma jogada aleatória de um dado, pelo menos até o cálculo do valor médio da jogada. Há também maneiras de calcular "quão aleatório" algo é, uma maneira de dizer que os resultados de uma rolagem de 1d6+4 serão "mais aleatórios" do que um 5d2, para um 5d2 a distribuição dos resultados rolados será mais uniforme, geralmente você calcula o desvio padrão para isso, e quanto mais valor, mais aleatórios serão os resultados, mas isso requer mais cálculos do que eu gostaria de dar hoje (explicarei esse tópico mais tarde). A única coisa que peço que você saiba é que, como regra geral, quanto menos dados rolados, mais aleatório. E mais uma adição neste tópico: quanto mais lados o dado tiver, mais aleatoriedade, pois você tem mais opções.

Como calcular a probabilidade usando a contagem

Você pode ter uma pergunta: como podemos calcular a probabilidade exata de um determinado resultado aparecer? Isso é realmente muito importante para muitos jogos, porque se você rolar um dado, é provável que haja algum resultado ideal inicialmente. A resposta é: precisamos calcular dois valores. Primeiro, calcule o número máximo de resultados ao lançar um dado (independentemente de qual será o resultado). Em seguida, conte o número de resultados favoráveis. Ao dividir o segundo valor pelo primeiro, você obtém a probabilidade desejada. Para obter uma porcentagem, multiplique o resultado por 100.

Exemplos:

Aqui está um exemplo muito simples. Você quer rolar um 4 ou mais e um dado de seis faces uma vez. O número máximo de resultados é 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Destes, 3 resultados (4, 5, 6) são favoráveis. Então, para calcular a probabilidade, dividimos 3 por 6 e obtemos 0,5 ou 50%.

Aqui está um exemplo que é um pouco mais complicado. Você quer um número par em uma rolagem de 2d6. O número máximo de resultados é 36 (6 para cada dado, e como um dado não afeta o outro, multiplicamos 6 resultados por 6 e obtemos 36). A dificuldade desse tipo de pergunta é que é fácil contar duas vezes. Por exemplo, na verdade existem dois resultados possíveis de um 3 em uma rolagem de 2d6: 1+2 e 2+1. Eles parecem iguais, mas a diferença é qual número é exibido no primeiro dado e qual é o segundo. Você também pode imaginar que os dados são de cores diferentes, então, por exemplo, neste caso um dado é vermelho e o outro é azul. Em seguida, conte o número de opções para obter um número par: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2 +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Acontece que existem 18 opções para um resultado favorável de 36, como no caso anterior, a probabilidade será de 0,5 ou 50%. Talvez inesperado, mas bastante preciso.

Simulação de Monte Carlo

E se você tiver muitos dados para este cálculo? Por exemplo, você quer saber qual é a probabilidade de rolar um total de 15 ou mais em uma rolagem de 8d6. Existem MUITAS pontuações individuais diferentes para oito dados e levaria muito tempo para calculá-las manualmente. Mesmo se encontrarmos uma boa solução para agrupar diferentes séries de rolagens de dados, ainda levará muito tempo para contar. Nesse caso, a maneira mais fácil de calcular a probabilidade não é calcular manualmente, mas usar um computador. Existem duas maneiras de calcular a probabilidade em um computador.

A primeira maneira pode obter a resposta exata, mas envolve um pouco de programação ou script. Em essência, o computador analisará cada possibilidade, avaliará e contará o número total de iterações e o número de iterações que correspondem ao resultado desejado e, em seguida, fornecerá respostas. Seu código pode ser algo assim:

int wincount=0, totalcount=0;

para (int i = 1; i<=6; i++) {

para (int j=1; j<=6; j++) {

para (int k=1; k<=6; k++) {

… // insira mais loops aqui

se (i+j+k+… >= 15) (

probabilidade de float = wincount/totalcount;

Se você não sabe muito sobre programação e quer apenas uma resposta imprecisa, mas aproximada, você pode simular essa situação no Excel, onde você rola 8d6 algumas milhares de vezes e obtém a resposta. Para rolar 1d6 no Excel, use a seguinte fórmula:

PISO(RAND()*6)+1

Existe um nome para a situação em que você não sabe a resposta e tenta várias vezes - Simulação de Monte Carlo, e é uma ótima solução para recorrer quando você está tentando calcular uma probabilidade e é muito complicado. O legal é que nesse caso não precisamos entender como funciona a matemática, e sabemos que a resposta será "muito boa" porque, como já sabemos, quanto mais rolagens, mais o resultado se aproxima do valor médio.

Como combinar testes independentes

Se você perguntar sobre várias tentativas repetidas, mas independentes, o resultado de uma jogada não afetará o resultado das outras jogadas. Há outra explicação mais simples para esta situação.

Como distinguir entre algo dependente e independente? Em princípio, se você pode isolar cada jogada de um dado (ou série de jogadas) como um evento separado, então é independente. Por exemplo, se quisermos rolar um total de 15 rolando 8d6, este caso não pode ser dividido em várias jogadas de dados independentes. Como você está calculando a soma dos valores de todos os dados para o resultado, o resultado que é rolado em um dado afeta os resultados que devem ser rolados em outros dados, pois somente somando todos os valores você obterá o resultado desejado.

Aqui está um exemplo de jogadas independentes: você está jogando um jogo de dados e joga dados de seis faces várias vezes. Para permanecer no jogo, você deve rolar 2 ou mais em sua primeira rolagem. Para o segundo rolo, 3 ou superior. A terceira requer 4 ou mais, a quarta requer 5 ou mais, a quinta requer 6. Se todas as cinco jogadas forem bem sucedidas, você vence. Neste caso, todos os lançamentos são independentes. Sim, se uma jogada falhar, afetará o resultado de todo o jogo, mas uma jogada não afetará outra jogada. Por exemplo, se seu segundo lançamento de dados for muito bem-sucedido, isso não afeta a probabilidade de que os próximos lançamentos sejam igualmente bem-sucedidos. Portanto, podemos considerar a probabilidade de cada lançamento dos dados separadamente.

Se você tem probabilidades separadas e independentes e quer saber qual é a probabilidade de que tudo eventos virão, você determina cada probabilidade individual e as multiplica. Outra forma: se você usar a conjunção “e” para descrever várias condições (por exemplo, qual é a probabilidade de algum evento aleatório ocorrer? e algum outro evento aleatório independente?), calcule as probabilidades individuais e multiplique-as.

Não importa o que você pensa Nunca não some as probabilidades independentes. Este é um erro comum. Para entender por que isso está errado, imagine uma situação em que você joga uma moeda 50/50, você quer saber qual é a probabilidade de obter cara duas vezes seguidas. Cada lado tem 50% de chance de sair cara, então se você somar as duas probabilidades, você tem 100% de chance de sair cara, mas sabemos que isso não é verdade porque duas coroas consecutivas podem sair. Se, em vez disso, você multiplicar essas duas probabilidades, obterá 50% * 50% = 25%, que é a resposta correta para calcular a probabilidade de obter cara duas vezes seguidas.

Exemplo

Vamos voltar ao jogo de dados de seis lados, onde você precisa primeiro rolar um número maior que 2, depois maior que 3 e assim por diante. até 6. Quais são as chances de que em uma determinada série de 5 lances, todos os resultados sejam favoráveis?

Como mencionado acima, essas são tentativas independentes, então calculamos a probabilidade para cada jogada individual e as multiplicamos. A probabilidade de que o resultado do primeiro lance seja favorável é de 5/6. O segundo - 4/6. Terceiro - 3/6. O quarto - 2/6, o quinto - 1/6. Multiplicando todos esses resultados, obtemos cerca de 1,5%… Portanto, ganhar este jogo é bastante raro, portanto, se você adicionar esse elemento ao seu jogo, precisará de um jackpot bem grande.

Negação

Aqui está outra dica útil: às vezes é difícil calcular a probabilidade de um evento ocorrer, mas é mais fácil determinar quais são as chances de um evento ocorrer. não virá.

Por exemplo, suponha que temos outro jogo e você joga 6d6, e se pelo menos uma vez rola 6, você ganha. Qual é a probabilidade de ganhar?

Nesse caso, há muitas opções a serem consideradas. Talvez um número 6 caia, ou seja, um dos dados vai rolar um 6 e os outros vão rolar de 1 a 5, e há 6 opções para qual dos dados vai rolar um 6. Então você pode rolar um 6 em dois dados, ou três, ou até mais, e cada vez que precisamos fazer um cálculo separado, é fácil ficar confuso.

Mas há outra maneira de resolver este problema, vamos olhar do outro lado. Você perder E se Nenhum do dado não sairá o número 6. Neste caso, temos seis tentativas independentes, a probabilidade de cada uma delas é 5/6 (qualquer número diferente de 6 pode cair nos dados). Multiplique-os e você terá cerca de 33%. Assim, a probabilidade de perder é de 1 para 3.

Portanto, a probabilidade de ganhar é de 67% (ou 2 a 3).

A partir deste exemplo é óbvio que se você estiver calculando a probabilidade de um evento não ocorrer, subtraia o resultado de 100%. Se a probabilidade de ganhar é 67%, então a probabilidade perder — 100% menos 67% ou 33%. E vice versa. Se for difícil calcular uma probabilidade, mas fácil calcular o oposto, calcule o oposto e depois subtraia de 100%.

Condições de conexão para um teste independente

Eu disse um pouco antes que você nunca deve somar probabilidades em testes independentes. Existem casos em que posso somar as probabilidades? Sim, em uma situação particular.

Se você quiser calcular a probabilidade de vários resultados favoráveis, não relacionados, na mesma tentativa, some as probabilidades de cada resultado favorável. Por exemplo, a probabilidade de rolar um 4, 5 ou 6 em 1d6 é soma a probabilidade de rolar um 4, a probabilidade de rolar um 5 e a probabilidade de rolar um 6. Você também pode pensar nessa situação da seguinte forma: se você usar a conjunção “ou” em uma pergunta sobre probabilidade (por exemplo, o que é a probabilidade de ou resultado diferente de um evento aleatório?), calcule as probabilidades individuais e some-as.

Observe que quando você soma todos os resultados possíveis jogo, a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 100%. Se a soma não for igual a 100%, seu cálculo foi feito incorretamente. Esta é uma boa maneira de verificar seus cálculos. Por exemplo, você analisou a probabilidade de obter todas as combinações no pôquer, se somar todos os resultados, deve obter exatamente 100% (ou pelo menos um valor bem próximo de 100%, se usar uma calculadora, pode ter um pequeno erro de arredondamento , mas se você somar os números exatos manualmente, tudo deve somar). Se a soma não convergir, provavelmente você não levou em consideração algumas combinações ou calculou as probabilidades de algumas combinações incorretamente e, em seguida, precisará verificar novamente seus cálculos.

Probabilidades desiguais

Até agora, assumimos que cada face do dado cai na mesma frequência, porque é assim que o dado funciona. Mas às vezes você se depara com uma situação em que resultados diferentes são possíveis e eles vários perder chances. Por exemplo, em uma das expansões do jogo de cartas "Nuclear War" há um campo de jogo com uma flecha que determina o resultado de um lançamento de míssil: basicamente causa dano normal, mais ou menos dano, mas às vezes o dano é dobrado ou triplicou, ou o foguete explode na plataforma de lançamento e o prejudica, ou ocorre outro evento. Ao contrário do tabuleiro de flechas em "Chutes & Ladders" ou "A Game of Life", os resultados do tabuleiro em "Guerra Nuclear" são desiguais. Algumas seções do campo de jogo são maiores e a flecha para nelas com muito mais frequência, enquanto outras seções são muito pequenas e a flecha raramente para nelas.

Então, à primeira vista, o osso se parece com isso: 1, 1, 1, 2, 2, 3; já falamos sobre isso, é algo como 1d3 ponderado, portanto, precisamos dividir todas essas seções em partes iguais, encontrar a menor unidade de medida, que é um múltiplo dela, e então representar a situação na forma de d522 (ou algum outro ), onde o conjunto de faces de dados apresentará a mesma situação, mas com um número maior de resultados. E essa é uma forma de resolver o problema, e é tecnicamente viável, mas existe uma forma mais fácil.

Vamos voltar aos nossos dados padrão de seis faces. Dissemos que para calcular o valor médio de um lançamento de um dado normal, você precisa somar os valores de todas as faces e dividi-los pelo número de faces, mas como exatamente o calculo esta acontecendo? Você pode expressá-lo de forma diferente. Para um dado de seis faces, a probabilidade de cada face sair é exatamente 1/6. Agora vamos multiplicar Êxodo cada borda em probabilidade este resultado (neste caso, 1/6 para cada face), então some os valores resultantes. Somando (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6), obtemos o mesmo resultado (3.5) do cálculo acima. Na verdade, calculamos isso todas as vezes: multiplicamos cada resultado pela probabilidade desse resultado.

Podemos fazer o mesmo cálculo para a seta no campo de jogo no jogo "Guerra Nuclear"? Claro que podemos. E se somarmos todos os resultados encontrados, obtemos o valor médio. Tudo o que temos a fazer é calcular a probabilidade de cada resultado para a seta no campo de jogo e multiplicar pelo resultado.

Outro exemplo

Esse método de calcular a média, multiplicando cada resultado por sua probabilidade individual, também é apropriado se os resultados forem igualmente prováveis, mas tiverem vantagens diferentes, como se você jogar um dado e ganhar mais em alguns lados do que em outros. Por exemplo, vamos pegar um jogo que acontece em um cassino: você aposta e rola 2d6. Se três números de baixo valor (2, 3, 4) ou quatro números de alto valor (9, 10, 11, 12) aparecerem, você ganhará uma quantia igual à sua aposta. Os números com o valor mais baixo e mais alto são especiais: se 2 ou 12 rolarem, você ganha o dobro do que o seu lance. Se qualquer outro número aparecer (5, 6, 7, 8), você perderá sua aposta. Este é um jogo bastante simples. Mas qual é a probabilidade de ganhar?

Vamos começar contando quantas vezes você pode ganhar:

• O número máximo de resultados em uma rolagem de 2d6 é 36. Qual é o número de resultados favoráveis?
• Há 1 opção de que dois cairão e 1 opção de que doze cairão.
• Existem 2 opções para rolar três e onze.
• Existem 3 opções para rolar quatro e 3 opções para rolar dez.
• Existem 4 opções para nove aparecerem.
• Somando todas as opções, obtemos o número de resultados favoráveis ​​16 de 36.

Assim, em condições normais, você ganhará 16 vezes de 36 possíveis... a probabilidade de ganhar é ligeiramente inferior a 50%.

Mas em dois casos desses 16, você ganhará o dobro, ou seja, é como ganhar duas vezes! Se você jogar este jogo 36 vezes, apostando $ 1 de cada vez, e cada um de todos os resultados possíveis aparecer uma vez, você ganhará um total de $ 18 (na verdade, você ganha 16 vezes, mas duas dessas vezes contarão como duas vitórias). Se você jogar 36 vezes e ganhar $18, isso não significa que é uma chance equilibrada?

Sem pressa. Se você contar o número de vezes que pode perder, obtém 20, não 18. Se jogar 36 vezes, apostando $1 de cada vez, ganhará um total de $18 com todas as probabilidades lançadas... mas perderá o total da quantia de $ 20 para todos os 20 resultados ruins! Como resultado, você estará um pouco atrás: você perde uma média de $ 2 líquidos para cada 36 jogos disputados (você também pode dizer que perde uma média de $ 1/18 por dia). Agora você vê como é fácil cometer um erro neste caso e calcular a probabilidade incorretamente!

permutação

Até agora, assumimos que a ordem em que os números são lançados não importa ao rolar os dados. Uma rolagem de 2+4 é o mesmo que uma rolagem de 4+2. Na maioria dos casos, contamos manualmente o número de resultados favoráveis, mas às vezes esse método é impraticável e é melhor usar uma fórmula matemática.

Um exemplo desta situação é o jogo de dados “Farkle”. Para cada nova rodada, você rola 6d6. Se você tiver sorte e todos os resultados possíveis de 1-2-3-4-5-6 (Straight) aparecerem, você receberá um grande bônus. Qual é a probabilidade de que isso aconteça? Nesse caso, há muitas opções para a perda dessa combinação!

A solução é a seguinte: um dos dados (e apenas um) deve rolar o número 1! Quantas maneiras de obter o número 1 em um dado? Seis, pois são 6 dados, e qualquer um deles pode acertar o número 1. Assim, pegue um dado e coloque-o de lado. Agora, o número 2 deve cair em um dos dados restantes.Existem cinco opções para isso. Pegue outro dado e reserve. Segue-se então que quatro dos dados restantes podem rolar um 3, três dos dados restantes podem rolar um 4, dois dos dados restantes podem rolar um 5, e você acaba com um dado que deve rolar um 6 (no último caso, há apenas um dado e não há escolha). Para contar o número de resultados favoráveis ​​para uma combinação direta, multiplicamos todas as diferentes opções independentes: 6x5x4x3x2x1 = 720 - parece que há muitas opções para essa combinação surgir.

Para calcular a probabilidade de obter uma sequência, precisamos dividir 720 pelo número de todos os resultados possíveis para rolar 6d6. Qual é o número de todos os resultados possíveis? Cada dado pode dar 6 faces, então multiplicamos 6x6x6x6x6x6 = 46656 (número muito maior!). Dividimos 720/46656 e obtemos uma probabilidade igual a aproximadamente 1,5%. Se você estivesse projetando este jogo, seria útil que você soubesse disso para poder criar um sistema de pontuação apropriado. Agora entendemos por que no jogo "Farkle" você recebe um bônus tão grande se obtiver uma combinação de "hetero", porque essa situação é bastante rara!

O resultado também é interessante por outro motivo. O exemplo mostra quão raramente um resultado correspondente à probabilidade realmente cai em um curto período. É claro que, se lançássemos vários milhares de dados, diferentes lados dos dados apareceriam com bastante frequência. Mas quando jogamos apenas seis dados, quase Nunca não acontece que cada uma das faces caia! A partir disso, fica claro que é tolice esperar que outro rosto caia agora, que ainda não caiu “porque não deixamos cair o número 6 há muito tempo, o que significa que ele cairá agora. ”

Olha, seu gerador de números aleatórios está quebrado...

Isso nos leva a um equívoco comum sobre probabilidade: a suposição de que todos os resultados surgem com a mesma frequência. durante um curto período de tempo, o que na verdade não é o caso. Se jogarmos os dados várias vezes, a frequência de cada uma das faces não será a mesma.

Se você já trabalhou em um jogo online com algum tipo de gerador de números aleatórios antes, você provavelmente encontrou uma situação em que um jogador escreve para o suporte técnico para dizer que seu gerador de números aleatórios está quebrado e não mostra números aleatórios, e ele chegou a essa conclusão porque ele acabou de matar 4 monstros seguidos e recebeu 4 exatamente as mesmas recompensas, e essas recompensas devem cair apenas 10% das vezes, então isso Quase nunca não deveria tomar lugar, o que significa que obviamente que seu gerador de números aleatórios está quebrado.

Você está fazendo matemática. 1/10*1/10*1/10*1/10 é igual a 1 em 10.000, o que significa que é bem raro. E é isso que o jogador está tentando lhe dizer. Há algum problema neste caso?

Tudo depende das circunstâncias. Quantos jogadores estão no seu servidor agora? Suponha que você tenha um jogo bastante popular e 100.000 pessoas o joguem todos os dias. Quantos jogadores vão matar quatro monstros seguidos? Talvez tudo, várias vezes ao dia, mas vamos supor que metade deles esteja apenas negociando itens diferentes em leilões ou conversando em servidores de RP, ou fazendo outras atividades do jogo, então apenas metade deles está realmente caçando monstros. Qual é a probabilidade de alguém a mesma recompensa vai cair? Nessa situação, você pode esperar que a mesma recompensa possa cair várias vezes ao dia, pelo menos!

A propósito, é por isso que parece que a cada poucas semanas pelo menos alguém ganha na loteria, mesmo que esse alguém Nunca você ou seus amigos não vêm. Se um número suficiente de pessoas jogar a cada semana, é provável que haja pelo menos 1 sorte... mas se vocês você joga na loteria, é menos provável que você ganhe um emprego na Infinity Ward.

Mapas e vício

Discutimos eventos independentes, como lançar um dado, e agora conhecemos muitas ferramentas poderosas para analisar aleatoriedade em muitos jogos. O cálculo de probabilidade é um pouco mais complicado quando se trata de tirar cartas do baralho, porque cada carta que tiramos afeta as cartas restantes do baralho. Se você tem um baralho padrão de 52 cartas e tira 10 de copas, por exemplo, e quer saber a probabilidade de que a próxima carta seja do mesmo naipe, a probabilidade mudou porque você já removeu uma carta de copas do área coberta. Cada carta que você remove altera a probabilidade da próxima carta do baralho. Como neste caso o evento anterior afeta o próximo, chamamos essa probabilidade dependente.

Observe que quando digo "cartas" quero dizer algum mecânica de jogo em que há um conjunto de objetos e você remove um dos objetos sem recolocá-lo, um “baralho de cartas” neste caso é análogo a um saco de fichas, do qual você retira uma ficha e não a recoloca, ou uma urna da qual você retira bolinhas coloridas (na verdade, nunca vi um jogo em que houvesse uma urna com bolinhas coloridas retiradas dela, mas parece que os professores de teoria das probabilidades preferem esse exemplo por algum motivo).

Propriedades de dependência

Gostaria de esclarecer que, quando se trata de cartas, presumo que você compre cartas, olhe para elas e as remova do baralho. Cada uma dessas ações é uma propriedade importante.

Se eu tivesse um baralho de, digamos, seis cartas numeradas de 1 a 6, e as embaralhei e tirei uma carta e depois embaralhei todas as seis cartas novamente, isso seria o mesmo que lançar um dado de seis lados; um resultado não afeta o próximo. Somente se eu comprar cartas e não as substituir, o resultado de tirar uma carta com o número 1 aumentará a probabilidade de que na próxima vez que eu tirar uma carta com o número 6 (a probabilidade aumentará até que eu compre esta carta ou até embaralhei as cartas).

O fato de nós nós olhamos nos cartões também é importante. Se eu tirar uma carta do baralho e não olhar para ela, não tenho nenhuma informação adicional e a probabilidade na verdade não muda. Isso pode soar ilógico. Como pode simplesmente virar uma carta magicamente mudar as probabilidades? Mas é possível, porque você pode calcular a probabilidade de itens desconhecidos apenas pelo fato de que você você sabe. Por exemplo, se você embaralhar um baralho de cartas padrão, revelar 51 cartas e nenhuma delas for dama de paus, você saberá com 100% de certeza que a carta restante é uma dama de paus. Se você embaralhar um baralho de cartas padrão e comprar 51 cartas, apesar de sobre eles, então a probabilidade de que a carta restante seja a dama de paus ainda será 1/52. Ao abrir cada cartão, você obtém mais informações.

O cálculo da probabilidade de eventos dependentes segue os mesmos princípios dos eventos independentes, exceto que é um pouco mais complicado, pois as probabilidades mudam quando você revela as cartas. Assim, você precisa multiplicar muitos valores diferentes, em vez de multiplicar o mesmo valor. Na verdade, isso significa que precisamos combinar todos os cálculos que fizemos em uma combinação.

Exemplo

Você embaralha um baralho padrão de 52 cartas e compra duas cartas. Qual é a probabilidade de você tirar um par? Existem várias maneiras de calcular essa probabilidade, mas talvez a mais simples seja: qual é a probabilidade de que, se você tirar uma carta, não consiga tirar um par? Essa probabilidade é zero, portanto, não importa qual primeira carta você compra, desde que corresponda à segunda. Não importa qual carta tirarmos primeiro, ainda temos a chance de tirar um par, então a probabilidade de podermos sacar um par depois de sacar a primeira carta é de 100%.

Qual é a probabilidade de que a segunda carta coincida com a primeira? Restam 51 cartas no baralho e 3 delas correspondem à primeira carta (na verdade, seriam 4 de 52, mas você já removeu uma das cartas correspondentes quando tirou a primeira carta!), então a probabilidade é 1/ 17. (Então, da próxima vez que o cara do outro lado da mesa jogando Texas Hold'em disser: "Legal, outro par? Estou com sorte hoje", você saberá que há uma grande chance de ele estar blefando.)

E se somarmos dois coringas e agora temos 54 cartas no baralho e queremos saber qual é a probabilidade de tirar um par? A primeira carta pode ser o Joker, e depois o baralho conterá apenas 1 cartão, não três, que irá corresponder. Como encontrar a probabilidade neste caso? Dividimos as probabilidades e multiplicamos cada possibilidade.

Nossa primeira carta pode ser um coringa ou alguma outra carta. A probabilidade de tirar um coringa é 2/54, a probabilidade de tirar outra carta é 52/54.

Se a primeira carta for um coringa (2/54), então a probabilidade de que a segunda carta corresponda à primeira é 1/53. Multiplicando os valores (podemos multiplicá-los porque são eventos separados e queremos Ambas eventos aconteceram) e obtemos 1/1431 - menos de um décimo de por cento.

Se você tirar alguma outra carta primeiro (52/54), a probabilidade de acertar a segunda carta é 3/53. Multiplicamos os valores​​e obtemos 78/1431 (pouco mais de 5,5%).

O que fazemos com esses dois resultados? Eles não se cruzam e queremos saber a probabilidade todos deles, então somamos os valores! Obtemos o resultado final 79/1431 (ainda cerca de 5,5%).

Se quiséssemos ter certeza da precisão da resposta, poderíamos calcular a probabilidade de todos os outros resultados possíveis: tirar um coringa e não combinar com a segunda carta ou tirar outra carta e não combinar com a segunda carta e somar todos com a probabilidade de ganhar, receberíamos exatamente 100%. Eu não vou dar a matemática aqui, mas você pode tentar a matemática para verificar novamente.

O paradoxo de Monty Hall

Isso nos leva a um paradoxo bastante famoso que muitas vezes confunde muitos, o paradoxo de Monty Hall. O paradoxo recebeu o nome de Monty Hall, apresentador do programa de TV Let's Make a Deal. Se você nunca viu esse programa, era o oposto do programa de TV "The Price Is Right". Em “The Price Is Right”, o apresentador (anteriormente Bob Barker, agora é… Drew Carey? Enfim…) é seu amigo. Ele quer para você ganhar dinheiro ou prêmios legais. Ele tenta dar a você todas as oportunidades de ganhar, desde que você consiga adivinhar quanto os itens patrocinados realmente valem.

Monty Hall se comportou de maneira diferente. Ele era como o gêmeo malvado de Bob Barker. O objetivo dele era fazer você parecer um idiota na televisão nacional. Se você estava no programa, ele era seu oponente, você jogava contra ele e as chances eram a favor dele. Talvez eu esteja sendo duro, mas quando a chance de ser escolhido como oponente parece ser diretamente proporcional ao fato de você estar ou não vestindo uma fantasia ridícula, chego a conclusões semelhantes.

Mas um dos memes mais famosos do programa foi este: havia três portas na sua frente, e elas se chamavam Porta Número 1, Porta Número 2 e Porta Número 3. Você podia escolher qualquer porta... de graça! Atrás de uma dessas portas, havia um prêmio magnífico, por exemplo, um carro novo. Não havia prêmios atrás das outras portas, essas duas portas não tinham valor. O objetivo deles era humilhar você e então não é como se não houvesse nada por trás deles, havia algo atrás deles que parecia estúpido, como uma cabra atrás deles ou um tubo enorme de pasta de dente, ou algo... algo, o que exatamente era não carro novo.

Você escolheu uma das portas e Monty estava prestes a abri-la para que você soubesse se ganhou ou não... antes de sabermos vamos ver um dos Essa a porta que você não escolhido. Como Monty sabe de qual porta está o prêmio, e só há um prêmio e dois portas que você não escolheu, não importa o que aconteça, ele sempre pode abrir uma porta que não tem um prêmio atrás dela. “Você escolhe a Porta número 3? Então vamos abrir a Porta 1 para mostrar que não havia prêmio por trás disso." E agora, por generosidade, ele está oferecendo a você a chance de trocar a Porta nº 3 escolhida pelo que está atrás da Porta nº 2. É aqui que entra a questão da probabilidade: ser capaz de escolher uma porta diferente aumenta ou diminui sua chance de ganhar, ou continua o mesmo? O que você acha?

Resposta correta: a capacidade de escolher outra porta aumenta probabilidade de ganhar de 1/3 a 2/3. Isso é ilógico. Se você não encontrou esse paradoxo antes, é provável que esteja pensando: espere, abrindo uma porta, magicamente mudamos a probabilidade? Mas como vimos no exemplo do mapa acima, isso é exatamente o que acontece quando obtemos mais informações. É óbvio que a probabilidade de ganhar na primeira vez que você escolhe é 1/3, e acho que todos concordarão com isso. Quando uma porta se abre, isso não altera em nada a probabilidade de ganhar para a primeira escolha, a probabilidade ainda é 1/3, mas isso significa que a probabilidade de outro porta correta agora é 2/3.

Vejamos este exemplo do outro lado. Você escolhe uma porta. A probabilidade de ganhar é 1/3. Eu sugiro que você mude dois outras portas, que é o que Monty Hall realmente se propõe a fazer. Claro, ele abre uma das portas para mostrar que não há prêmio por trás disso, mas ele sempre pode fazer isso, então isso realmente não muda nada. Claro, você vai querer escolher uma porta diferente!

Se você não entende muito bem esta questão e precisa de uma explicação mais convincente, clique neste link para ir para um ótimo pequeno aplicativo Flash que permitirá que você explore esse paradoxo com mais detalhes. Você pode começar com cerca de 10 portas e depois ir gradualmente até um jogo com três portas; há também um simulador onde você pode escolher qualquer número de portas de 3 a 50 e jogar ou executar vários milhares de simulações e ver quantas vezes você ganharia se jogasse.

Uma observação de um professor de matemática superior e especialista em equilíbrio de jogos Maxim Soldatov, que, é claro, Schreiber não tinha, mas sem a qual é bastante difícil entender essa transformação mágica:

Escolha uma porta, uma das três, a probabilidade de "ganhar" 1/3. Agora você tem 2 estratégias: mudar a escolha depois de abrir a porta errada ou não. Se você não alterar sua escolha, a probabilidade permanecerá 1/3, pois a escolha está apenas no primeiro estágio e você deve adivinhar imediatamente, mas se você mudar, poderá ganhar se escolher a porta errada primeiro ( então eles abrem outro errado, vai continuar verdadeiro, você muda a decisão é só tomar)
A probabilidade de escolher a porta errada no início é de 2/3, então, ao alterar sua decisão, você aumenta a probabilidade de ganhar 2 vezes

Revisitando o paradoxo de Monty Hall

Quanto ao programa em si, Monty Hall sabia disso, porque mesmo que seus oponentes não fossem bons em matemática, ele a entende bem. Aqui está o que ele fez para mudar um pouco o jogo. Se você escolheu a porta atrás da qual estava o prêmio, cuja probabilidade é 1/3, sempre ofereceu-lhe a opção de escolher outra porta. Porque você escolheu um carro e depois mudou para um bode e parece muito estúpido, que é exatamente o que ele precisa, porque ele é meio malvado. Mas se você escolher a porta atrás da qual não haverá prêmio, só metade em tais casos ele irá pedir que você escolha outra porta, e em outros casos ele simplesmente lhe mostrará sua nova cabra e você sairá de cena. Vamos analisar este novo jogo onde Monty Hall pode escolher oferecer-lhe a chance de escolher outra porta ou não.

Suponha que ele siga este algoritmo: se você escolher uma porta com prêmio, ele sempre lhe oferece a oportunidade de escolher outra porta, caso contrário, a probabilidade de ele lhe oferecer uma porta diferente ou lhe dar um bode é de 50/50. Qual é a probabilidade de você ganhar?

Em uma das três opções, você escolhe imediatamente a porta atrás da qual o prêmio está localizado, e o anfitrião o convida a escolher outra porta.

Das duas opções restantes de três (você inicialmente escolhe uma porta sem prêmio), metade das vezes o anfitrião pedirá que você escolha outra porta e a outra metade não. Metade de 2/3 é 1/3, ou seja em um caso de três você receberá uma cabra, em um caso de três você escolherá a porta errada e o anfitrião pedirá que você escolha outra e em um caso de três você escolherá a porta certa e ele pedirá que você escolha outra porta.

Se o anfitrião sugere escolher uma porta diferente, já sabemos que um dos três casos em que ele nos dá uma cabra e saímos não aconteceu. Esta é uma informação útil porque significa que nossas chances de ganhar mudaram. Duas em cada três vezes temos uma escolha, em um caso significa que acertamos e no outro significa que acertamos, então se nos foi oferecida uma escolha, significa que a probabilidade de ganharmos é 50 /50, e não há matemático benefícios, fique com a sua escolha ou escolha outra porta.

Como o pôquer, agora é um jogo psicológico, não matemático. Monty lhe ofereceu uma escolha porque ele acha que você é um simplório que não sabe que escolher uma porta diferente é a decisão "certa", e que você vai se agarrar teimosamente à sua escolha porque, psicologicamente, a situação quando você escolhe uma carro, e depois perdeu, mais difícil? Ou ele acha que você é inteligente e escolhe outra porta, e ele lhe oferece essa chance porque sabe que você acertou da primeira vez e que você será fisgado e preso? Ou talvez ele seja extraordinariamente gentil consigo mesmo e o pressione a fazer algo de seu interesse pessoal porque ele não doa um carro há muito tempo e seus produtores lhe dizem que o público está ficando entediado e seria melhor se ele desse um grande prêmio em breve. para que as classificações não caiam?

Assim, Monty consegue oferecer uma escolha (às vezes) e a probabilidade geral de ganhar permanece 1/3. Lembre-se de que a probabilidade de você perder imediatamente é de 1/3. Há uma chance de 1/3 de você adivinhar imediatamente e 50% dessas vezes você ganhará (1/3 x 1/2 = 1/6). A probabilidade de você errar no início, mas depois ter a chance de escolher outra porta é de 1/3, e em 50% desses casos você ganhará (também 1/6). Some duas possibilidades de vitórias independentes e você terá uma probabilidade de 1/3, portanto, se você permanecer na sua escolha ou escolher outra porta, a probabilidade total de sua vitória ao longo do jogo é de 1/3... a probabilidade não aumenta do que em uma situação em que você teria adivinhado a porta e o anfitrião teria mostrado o que está atrás dessa porta, sem a possibilidade de escolher outra porta! Portanto, o objetivo de oferecer a opção de escolher uma porta diferente não é alterar a probabilidade, mas tornar o processo de tomada de decisão mais divertido de assistir na TV.

Aliás, essa é uma das razões pelas quais o pôquer pode ser tão interessante: na maioria dos formatos entre rodadas, quando as apostas são feitas (por exemplo, o flop, o turn e o river no Texas Hold'em), as cartas são reveladas gradualmente. , e se no início do jogo você tiver uma probabilidade de ganhar, então após cada rodada de apostas, quando mais cartas estiverem abertas, essa probabilidade muda.

Paradoxo de menino e menina

Isso nos leva a outro paradoxo bem conhecido que tende a confundir a todos, o paradoxo menino-menina. A única coisa sobre a qual estou escrevendo hoje que não está diretamente relacionada a jogos (embora eu ache que isso significa apenas que eu deveria pressioná-lo a criar a mecânica de jogo apropriada). Este é mais um quebra-cabeça, mas interessante e, para resolvê-lo, você precisa entender a probabilidade condicional de que falamos acima.

Tarefa: Tenho um amigo com dois filhos, pelo menos um a criança é uma menina. Qual é a probabilidade de que o segundo filho também menina? Vamos supor que em qualquer família a chance de ter uma menina ou um menino é 50/50 e isso é verdade para todas as crianças (na verdade, alguns homens têm mais espermatozóides no esperma com um cromossomo X ou Y, então a probabilidade muda um pouco se você souber que uma criança é uma menina, a probabilidade de ter uma menina é um pouco maior, além disso, existem outras condições, por exemplo, hermafroditismo, mas para resolver esse problema, não levaremos isso em consideração e assumiremos que o nascimento de um filho é um evento independente e a probabilidade de ter um menino ou uma menina é a mesma).

Como estamos falando de uma chance de 1/2, intuitivamente esperamos que a resposta seja provavelmente 1/2 ou 1/4, ou algum outro número redondo que seja um múltiplo de 2. Mas a resposta é: 1/3 . Espere por quê?

A dificuldade neste caso é que a informação que temos reduz o número de possibilidades. Suponha que os pais sejam fãs da Vila Sésamo e, independentemente de a criança ter nascido menino ou menina, nomearam seus filhos de A e B. Em circunstâncias normais, existem quatro possibilidades igualmente prováveis: A e B são dois meninos, A e B são duas meninas, A é menino, B é menina, A é menina e B é menino. Já que sabemos que pelo menos um a criança é uma menina, podemos descartar a possibilidade de que A e B sejam dois meninos, deixando-nos com três possibilidades (ainda igualmente prováveis). Se todas as possibilidades são igualmente prováveis ​​e existem três delas, sabemos que a probabilidade de cada uma delas é 1/3. Apenas em uma dessas três opções as duas crianças são duas meninas, então a resposta é 1/3.

E novamente sobre o paradoxo de um menino e uma menina

A solução para o problema torna-se ainda mais ilógica. Imagine que eu lhe diga que meu amigo tem dois filhos e um filho - menina nascida na terça. Suponha que em condições normais a probabilidade de ter um filho em um dos sete dias da semana seja a mesma. Qual é a probabilidade de que o segundo filho também seja uma menina? Você pode pensar que a resposta ainda seria 1/3; Qual é o significado da terça-feira? Mas neste caso, a intuição nos falha. Responda: 13/27 que não é apenas intuitivo, é muito estranho. Qual é o problema nesse caso?

Na verdade, terça-feira muda a probabilidade porque não sabemos que bebê nasceu na terça-feira ou possivelmente dois filhos nasceram em uma terça-feira. Neste caso, usamos a mesma lógica acima, contamos todas as combinações possíveis quando pelo menos uma criança é uma menina que nasceu na terça-feira. Como no exemplo anterior, suponha que os filhos sejam nomeados A e B, as combinações são as seguintes:

• A é uma menina que nasceu na terça-feira, B é um menino (nessa situação existem 7 possibilidades, uma para cada dia da semana em que um menino pode nascer).
• B é uma menina que nasceu na terça-feira, A é um menino (também 7 possibilidades).
• A é uma menina que nasceu na terça-feira, B é uma menina que nasceu em outro dia da semana (6 possibilidades).
• B é uma menina que nasceu na terça-feira, A é uma menina que não nasceu na terça (também 6 probabilidades).
• A e B são duas meninas que nasceram na terça-feira (1 possibilidade, você precisa prestar atenção nisso para não contar duas vezes).

Somamos e obtemos 27 combinações diferentes igualmente possíveis de nascimento de crianças e dias com pelo menos uma possibilidade de uma menina nascer na terça-feira. Destas, 13 possibilidades são quando nascem duas meninas. Também parece completamente ilógico, e parece que essa tarefa foi criada apenas para causar dor de cabeça. Se você ainda está intrigado com este exemplo, o teórico dos jogos Jesper Juhl tem uma boa explicação sobre o assunto em seu site.

Se você está atualmente trabalhando em um jogo...

Se houver aleatoriedade no jogo que você está projetando, esta é uma ótima oportunidade para analisá-la. Selecione qualquer elemento que você deseja analisar. Primeiro pergunte a si mesmo qual é a probabilidade desse elemento de acordo com suas expectativas, qual deveria ser, na sua opinião, no contexto do jogo. Por exemplo, se você está fazendo um RPG e está pensando em quão provável deve ser para um jogador derrotar um monstro em batalha, pergunte a si mesmo qual porcentagem de vitórias parece certa para você. Normalmente, ao jogar RPGs de console, os jogadores ficam muito frustrados quando perdem, então é melhor que eles não percam com frequência... talvez 10% das vezes ou menos? Se você é um designer de RPG, provavelmente sabe melhor do que eu, mas precisa ter uma ideia básica de qual deve ser a probabilidade.

Então pergunte a si mesmo se isso é algo dependente(como cartas) ou independente(como dados). Discuta todos os resultados possíveis e suas probabilidades. Certifique-se de que a soma de todas as probabilidades seja 100%. Finalmente, é claro, compare seus resultados com suas expectativas. Se os dados são rolados ou as cartas são tiradas da maneira que você pretendia ou você vê que precisa ajustar os valores. E claro se você achar o que precisa ser ajustado, você pode usar os mesmos cálculos para determinar o quanto ajustar algo!

Trabalho de casa

Seu “dever de casa” desta semana o ajudará a aprimorar suas habilidades de probabilidade. Aqui estão dois jogos de dados e um jogo de cartas que você analisará usando probabilidade, bem como uma estranha mecânica de jogo que eu desenvolvi uma vez, na qual você testará o método de Monte Carlo.

Jogo #1 - Ossos de Dragão

Este é um jogo de dados que meus colegas e eu criamos uma vez (graças a Jeb Havens e Jesse King!), e que deliberadamente impressiona as pessoas com suas probabilidades. Este é um jogo de cassino simples chamado "Dragon Bones" e é uma competição de dados de jogo entre o jogador e o estabelecimento. Você recebe um dado normal de 1d6. O objetivo do jogo é rolar um número maior que o da casa. Tom recebe um 1d6 fora do padrão - o mesmo que o seu, mas em vez de um de um lado - a imagem de um dragão (portanto, o cassino tem um dado Dragon-2-3-4-5-6). Se a instituição receber um Dragão, ela automaticamente ganha e você perde. Se ambos obtiverem o mesmo número, é um empate e você rola os dados novamente. Vence aquele que tirar o maior número.

Obviamente, nem tudo acaba a favor do jogador, porque o cassino tem uma vantagem na forma do rosto do dragão. Mas é realmente assim? Você tem que calcular. Mas antes disso, verifique sua intuição. Digamos que a vitória é de 2 para 1. Então, se você ganhar, você mantém sua aposta e recebe o dobro do valor. Por exemplo, se você apostar $ 1 e ganhar, você mantém esse dólar e recebe mais $ 2 no topo, para um total de $ 3. Se você perder, você só perde a sua aposta. Você jogaria? Então, você sente intuitivamente que a probabilidade é maior que 2 para 1, ou você ainda acha que é menor? Ou seja, em média ao longo de 3 jogos, você espera ganhar mais de uma vez, ou menos, ou uma vez?

Depois de lidar com sua intuição, aplique a matemática. Existem apenas 36 posições possíveis para ambos os dados, então você pode contá-las facilmente. Se você não tiver certeza sobre esta oferta de 2 para 1, considere o seguinte: digamos que você jogou o jogo 36 vezes (apostando $ 1 de cada vez). Para cada vitória você ganha $ 2, para cada derrota você perde $ 1, e um empate não muda nada. Conte todas as suas prováveis ​​vitórias e perdas e decida se perderá alguns dólares ou ganhará. Em seguida, pergunte a si mesmo como sua intuição se mostrou correta. E então - perceba que vilão eu sou.

E, sim, se você já pensou sobre essa questão - eu deliberadamente o confundi distorcendo a mecânica real dos jogos de dados, mas tenho certeza que você pode superar esse obstáculo apenas com um bom pensamento. Tente resolver este problema sozinho. Vou postar todas as respostas aqui na próxima semana.

Jogo #2 - Jogo da Sorte

Este é um jogo de dados chamado Lucky Roll (também chamado Birdcage porque às vezes os dados não são rolados, mas colocados em uma grande gaiola de arame, semelhante à gaiola do Bingo). É um jogo simples que é mais ou menos assim: Aposte, digamos, $1 em um número entre 1 e 6. Então você rola 3d6. Para cada dado que acertar seu número, você recebe $ 1 (e mantém sua aposta original). Se o seu número não cair em nenhum dos dados, o cassino recebe seu dólar e você não recebe nada. Então, se você apostar em 1 e receber 1 na face três vezes, você recebe $ 3.

Intuitivamente, parece que neste jogo as chances são iguais. Cada dado é uma chance individual de 1 em 6 de ganhar, então a soma de todos os três é 3 em 6. No entanto, lembre-se, é claro, que você está adicionando três dados separados e você só pode adicionar se estivermos falando sobre combinações vencedoras separadas dos mesmos dados. Algo que você precisará multiplicar.

Depois de calcular todos os resultados possíveis (provavelmente é mais fácil fazer isso no Excel do que manualmente, existem 216 deles), o jogo ainda parece par-ímpar à primeira vista. Mas, na realidade, o cassino ainda tem mais chances de ganhar - quanto mais? Em particular, quanto dinheiro você espera perder em média por rodada de jogo? Tudo o que você precisa fazer é somar as vitórias e derrotas de todos os 216 resultados e depois dividir por 216, o que deve ser bem fácil… : Se você acha que este jogo tem chances iguais de ganhar, está enganado.

Jogo #3 - Stud de 5 cartas

Se você já se aqueceu em jogos anteriores, vamos verificar o que sabemos sobre probabilidade condicional usando este jogo de cartas como exemplo. Em particular, vamos imaginar o poker com um baralho de 52 cartas. Vamos também imaginar o 5 card stud onde cada jogador recebe apenas 5 cartas. Não pode descartar uma carta, não pode comprar uma nova, nenhum baralho comum - você só recebe 5 cartas.

Um royal flush é 10-J-Q-K-A em uma combinação, para um total de quatro, então há quatro maneiras possíveis de obter um royal flush. Calcule a probabilidade de você obter uma dessas combinações.

Eu tenho uma coisa para avisá-lo: lembre-se de que você pode comprar essas cinco cartas em qualquer ordem. Ou seja, no começo você pode sacar um ás, ou um dez, não importa. Portanto, ao calcular isso, lembre-se de que existem mais de quatro maneiras de obter um royal flush, assumindo que as cartas foram distribuídas em ordem!

Jogo #4 - Loteria do FMI

A quarta tarefa não será tão fácil de resolver usando os métodos que falamos hoje, mas você pode simular facilmente a situação usando programação ou Excel. É no exemplo deste problema que você pode elaborar o método de Monte Carlo.

Mencionei anteriormente o jogo “Chron X”, no qual trabalhei uma vez, e havia um cartão muito interessante - a loteria do FMI. Veja como funcionou: você usou em um jogo. Após o término da rodada, as cartas eram redistribuídas e havia 10% de chance de que a carta ficasse fora de jogo e que um jogador aleatório recebesse 5 de cada tipo de recurso que tivesse um token naquela carta. Uma carta era colocada em jogo sem uma única ficha, mas cada vez que permanecia em jogo no início da próxima rodada, recebia uma ficha. Então havia 10% de chance de você colocar em jogo, a rodada terminar, a carta sair do jogo e ninguém receber nada. Se isso não acontecer (com 90% de chance), há 10% de chance (na verdade 9%, já que são 10% de 90%) de que ela saia do jogo na próxima rodada e alguém receba 5 recursos. Se a carta sair do jogo após uma rodada (10% dos 81% disponíveis, então 8,1% de chance), alguém receberá 10 unidades, outra rodada - 15, outra 20 e assim por diante. Pergunta: qual é o valor esperado do número de recursos que você receberá desta carta quando ela finalmente sair do jogo?

Normalmente, tentaríamos resolver esse problema encontrando a possibilidade de cada resultado e multiplicando pelo número de todos os resultados. Portanto, há uma chance de 10% de você obter 0 (0,1 * 0 = 0). 9% que você receberá 5 recursos (9%*5 = 0,45 recursos). 8,1% do que você obtém é 10 (8,1%*10 = 0,81 recursos totais, valor esperado). E assim por diante. E então resumiríamos tudo.

E agora o problema é óbvio para você: sempre há uma chance de que o cartão não sai do jogo para que ela possa ficar no jogo para sempre e sempre, por um número infinito de rodadas, de modo que as possibilidades de calcular qualquer possibilidade não existe. Os métodos que aprendemos hoje não nos permitem calcular a recursão infinita, então teremos que criá-la artificialmente.

Se você é bom o suficiente em programação, escreva um programa que simule esta placa. Você deve ter um loop de tempo que traga a variável para a posição inicial de zero, mostre um número aleatório e com 10% de chance de a variável sair do loop. Caso contrário, adiciona 5 à variável e o loop se repete. Quando finalmente sair do loop, aumente o número total de execuções de teste em 1 e o número total de recursos (quanto depende de onde a variável parou). Em seguida, redefina a variável e comece de novo. Execute o programa milhares de vezes. No final, divida o total de recursos pelo número total de execuções - este é o valor esperado de Monte Carlo. Execute o programa algumas vezes para certificar-se de que os números obtidos são aproximadamente os mesmos; se o spread ainda for grande, aumente o número de repetições no loop externo até começar a obter correspondências. Você pode ter certeza de que quaisquer números que você obtiver serão aproximadamente corretos.

Se você é novo em programação (ou mesmo se for), aqui está um pequeno exercício para aquecer suas habilidades no Excel. Se você é um designer de jogos, as habilidades do Excel nunca são supérfluas.

Agora as funções IF e RAND serão muito úteis para você. RAND não requer valores, apenas produz um número decimal aleatório entre 0 e 1. Geralmente combinamos com FLOOR e mais e menos para simular um lançamento do dado, que mencionei anteriormente. No entanto, neste caso, estamos deixando apenas 10% de chance de que o cartão saia do jogo, então podemos apenas verificar se o valor RAND é menor que 0,1 e não nos preocupar mais com isso.

SE tem três significados. Em ordem, a condição que é verdadeira ou não, o valor que é retornado se a condição for verdadeira e o valor que é retornado se a condição for falsa. Portanto, a seguinte função retornará 5% das vezes e 0 nos outros 90% das vezes:
=SE(RAND()<0.1,5,0)

Existem muitas maneiras de definir esse comando, mas eu usaria essa fórmula para a célula que representa a primeira rodada, digamos que seja a célula A1:

SE(ALEATÓRIO()<0.1,0,-1)

Aqui estou usando uma variável negativa que significa "esta carta não saiu do jogo e ainda não forneceu nenhum recurso". Então, se a primeira rodada acabou e a carta está fora de jogo, A1 é 0; caso contrário, é -1.

Para a próxima célula que representa a segunda rodada:

SE(A1>-1, A1, SE(RAND()<0.1,5,-1))

Portanto, se a primeira rodada terminou e a carta saiu imediatamente do jogo, A1 é 0 (número de recursos) e essa célula simplesmente copiará esse valor. Caso contrário, A1 é -1 (a carta ainda não saiu do jogo), e esta célula continua o movimento aleatório: 10% das vezes ela retornará 5 unidades de recursos, o resto das vezes seu valor ainda será -1 . Se aplicarmos esta fórmula a células adicionais, obteremos rodadas adicionais e, qualquer que seja a célula que você terminar, você obterá o resultado final (ou -1 se a carta não tiver saído do jogo depois de todas as rodadas que você jogou).

Pegue esta linha de células, que é a única rodada com este cartão, e copie e cole algumas centenas (ou milhares) de linhas. Podemos não ser capazes de fazer sem fim teste para Excel (há um número limitado de células na tabela), mas pelo menos podemos cobrir a maioria dos casos. Em seguida, selecione uma célula onde você colocará a média dos resultados de todas as rodadas (o Excel gentilmente fornece a função AVERAGE() para isso).

No Windows, pelo menos você pode pressionar F9 para recalcular todos os números aleatórios. Como antes, faça isso algumas vezes e veja se os valores que você obtém são os mesmos. Se o spread for muito grande, dobre o número de execuções e tente novamente.

Problemas não resolvidos

Se por acaso você tem um diploma em Probabilidade e os problemas acima parecem muito fáceis para você, aqui estão dois problemas pelos quais venho coçando a cabeça há anos, mas, infelizmente, não sou bom em matemática para resolvê-los. Se de repente você souber a solução, por favor poste aqui nos comentários, vou ler com prazer.

Problema não resolvido nº 1: loteriaFMI

O primeiro problema não resolvido é a tarefa de casa anterior. Posso facilmente usar o método de Monte Carlo (usando C++ ou Excel) e ter certeza da resposta para a pergunta “quantos recursos o jogador receberá”, mas não sei exatamente como fornecer uma resposta exata e demonstrável matematicamente (isso é uma série infinita). Se você souber a resposta, poste aqui... depois de Monte Carlo verifique, é claro.

Problema não resolvido nº 2: sequências de formas

Essa tarefa (e novamente vai muito além das tarefas resolvidas neste blog) me foi lançada por um jogador familiar há mais de 10 anos. Ele notou uma característica interessante enquanto jogava blackjack em Vegas: quando ele tirou cartas de um sapato de 8 baralhos, ele viu dez figuras em uma fileira (uma figura, ou carta de figura - 10, Joker, King ou Queen, então há 16 delas em um baralho padrão de 52 cartas, então há 128 delas em um sapato de 416 cartas). Qual é a probabilidade de que neste sapato pelo menos uma sequência de dez ou mais figuras? Vamos supor que eles foram embaralhados honestamente, em ordem aleatória. (Ou, se preferir, qual é a probabilidade de que não foi encontrado em nenhum lugar uma sequência de dez ou mais figuras?)

Podemos simplificar a tarefa. Aqui está uma sequência de 416 partes. Cada parte é 0 ou 1. Existem 128 uns e 288 zeros espalhados aleatoriamente por toda a sequência. Quantas maneiras existem para intercalar aleatoriamente 128 1s com 288 0s, e quantas vezes haverá pelo menos um grupo de dez ou mais 1s dessas maneiras?

Toda vez que eu assumi essa tarefa, parecia fácil e óbvio para mim, mas assim que me aprofundei nos detalhes, de repente ela desmoronou e parecia simplesmente impossível para mim. Portanto, não se apresse em deixar escapar a resposta: sente-se, pense com cuidado, estude as condições do problema, tente inserir números reais, porque todas as pessoas com quem falei sobre esse problema (incluindo vários estudantes de pós-graduação que trabalham nessa área) reagiu da mesma forma: "É bastante óbvio... oh não, espere, não é nada óbvio." Este é o caso para o qual não tenho um método para calcular todas as opções. Eu certamente poderia forçar o problema através de um algoritmo de computador, mas seria muito mais interessante conhecer a maneira matemática de resolver esse problema.

Tradução - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Quais são as três leis da aleatoriedade e por que a imprevisibilidade nos dá a capacidade de fazer as previsões mais confiáveis.

Nossa mente resiste à ideia de aleatoriedade com todas as suas forças. No curso de nossa evolução como espécie biológica, desenvolvemos a capacidade de procurar relações de causa e efeito em tudo. Muito antes do advento da ciência, já sabíamos que um pôr do sol carmesim pressagia uma tempestade perigosa, e um rubor febril no rosto de um bebê significa que sua mãe terá uma noite difícil. Nossa mente automaticamente tenta estruturar os dados que recebe de tal forma que nos ajude a tirar conclusões de nossas observações e usar essas conclusões para entender e prever eventos.

A ideia de aleatoriedade é tão difícil de aceitar porque vai contra o instinto básico que nos faz buscar padrões racionais no mundo ao nosso redor. E os acidentes apenas nos mostram que tais padrões não existem. Isso significa que a aleatoriedade limita fundamentalmente nossa intuição, pois prova que existem processos cujo curso não podemos prever completamente. Este conceito não é fácil de aceitar, embora seja uma parte essencial do mecanismo do universo. Não entendendo o que é aleatoriedade, nos encontramos no beco sem saída de um mundo perfeitamente previsível que simplesmente não existe fora da nossa imaginação.

Eu diria que somente quando aprendemos os três aforismos - as três leis do acaso - podemos nos libertar de nosso desejo primitivo de previsibilidade e aceitar o universo como ele é, e não como gostaríamos que fosse.

A aleatoriedade existe

Usamos quaisquer mecanismos mentais para evitar enfrentar a aleatoriedade. Falamos de carma, desse equalizador cósmico que conecta coisas aparentemente não relacionadas. Acreditamos em bons e maus presságios, que "Deus ama uma trindade", afirmamos que somos influenciados pelas posições das estrelas, as fases da lua e o movimento dos planetas. Se somos diagnosticados com câncer, automaticamente tentamos culpar algo (ou alguém) por isso.

Mas muitos eventos não podem ser totalmente previstos ou explicados. Catástrofes acontecem de forma imprevisível, e pessoas boas e más sofrem, incluindo aquelas que nasceram "sob uma estrela da sorte" ou "sob um signo auspicioso". Às vezes conseguimos prever algo, mas o acaso pode facilmente refutar até mesmo as previsões mais confiáveis. Não se surpreenda se o seu vizinho, um motociclista obeso, fumante inveterado e imprudente, viver mais do que você.

Além disso, eventos aleatórios podem fingir ser não aleatórios. Mesmo o cientista mais astuto pode ter dificuldade em distinguir entre um efeito real e uma flutuação aleatória. A aleatoriedade pode transformar um placebo em uma droga mágica, ou um composto inofensivo em um veneno mortal; e pode até criar partículas subatômicas do nada.

Alguns eventos são imprevisíveis

Se você for a um cassino em Las Vegas e observar a multidão de jogadores nas mesas de jogo, provavelmente verá alguém que pensa que está com sorte hoje. Ele ganhou várias vezes seguidas, e seu cérebro lhe garante que ele continuará ganhando, então o jogador continua apostando. Você também verá alguém que acabou de perder. O cérebro do perdedor, como o cérebro do vencedor, também o aconselha a continuar o jogo: já que você perdeu tantas vezes seguidas, isso significa que agora você provavelmente começará a ter sorte. É tolice sair agora e perder essa chance.

Mas não importa o que nossos cérebros nos digam, não há força misteriosa capaz de nos fornecer uma "raia de sorte" ou justiça universal que garantiria que o perdedor finalmente começasse a vencer. O Universo não se importa se você ganha ou perde; para ela, todas as jogadas de dados são iguais.

Não importa quanto esforço você gaste assistindo ao próximo lançamento de dados, e não importa o quão de perto você olhe para os jogadores que pensam que conseguiram aproveitar a sorte, você não receberá absolutamente nenhuma informação sobre o próximo lançamento. O resultado de cada jogada é completamente independente do histórico de jogadas anteriores. Portanto, qualquer cálculo de que se possa obter uma vantagem assistindo ao jogo está fadado ao fracasso. Tais eventos - independentes de qualquer coisa e completamente aleatórios - desafiam qualquer tentativa de encontrar padrões, porque esses padrões simplesmente não existem.

A aleatoriedade coloca uma barreira no caminho da engenhosidade humana, porque demonstra que toda a nossa lógica, toda a nossa ciência e capacidade de raciocínio não podem prever totalmente o comportamento do universo. Quaisquer métodos que você use, qualquer teoria que você invente, qualquer lógica que você aplique para prever o resultado de um lançamento de dados, cinco em seis vezes você perderá. É sempre.

Um conjunto de eventos aleatórios é previsível, mesmo que eventos individuais não sejam.

A aleatoriedade é assustadora, limita a confiabilidade até mesmo das teorias mais sofisticadas e esconde de nós certos elementos da natureza, por mais persistentemente que tentemos penetrar em sua essência. No entanto, não se pode argumentar que o aleatório é sinônimo de incognoscível. Isto não é verdade, de forma alguma.

A aleatoriedade obedece a suas próprias regras, e essas regras tornam o processo aleatório compreensível e previsível.

A lei dos grandes números afirma que, embora eventos aleatórios únicos sejam completamente imprevisíveis, uma amostra suficientemente grande desses eventos pode ser bastante previsível - e quanto maior a amostra, mais precisa a previsão. Outra ferramenta matemática poderosa, os teoremas do limite central, também mostra que a soma de um número suficientemente grande de variáveis ​​aleatórias terá uma distribuição próxima da normal. Com essas ferramentas, podemos prever eventos com bastante precisão a longo prazo, não importa quão caóticos, estranhos e aleatórios possam ser a curto prazo.

As regras do acaso são tão poderosas que formam a base das leis mais inabaláveis ​​e imutáveis ​​da física. Embora os átomos em um recipiente de gás se movam aleatoriamente, seu comportamento geral é descrito por um conjunto simples de equações. Mesmo as leis da termodinâmica vêm da previsibilidade de um grande número de eventos aleatórios; essas leis são inabaláveis ​​precisamente porque o acaso é tão absoluto.

Paradoxalmente, é a imprevisibilidade de eventos aleatórios que nos permite fazer nossas previsões mais confiáveis.

A vantagem de um gerador de dados online sobre os dados normais é óbvia - nunca se perderá! O cubo virtual lidará com suas funções muito melhor do que o real - o malabarismo dos resultados é completamente excluído e você só pode esperar que Sua Majestade seja o caso. Os dados online são, entre outras coisas, um grande entretenimento no seu tempo livre. A geração do resultado leva três segundos, aquecendo a empolgação e o interesse dos jogadores. Para simular jogadas de dados, basta pressionar o botão "1" no teclado, o que permite não se distrair, por exemplo, de um emocionante jogo de tabuleiro.

Número de cubos:

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Quando ouvimos uma frase como "Dice", a associação do cassino vem imediatamente, onde eles simplesmente não podem ficar sem eles. Para começar, vamos relembrar um pouco o que é esse assunto.

Dados são dados, em cada lado dos quais os números de 1 a 6 são representados por pontos. Quando os jogamos, estamos sempre na esperança de que exatamente o número que escolhemos e desejamos sairá. Mas há momentos em que o cubo, caindo na borda, não mostra o número. Isso significa que quem joga assim pode escolher qualquer um.

Acontece também que o cubo pode rolar para debaixo da cama ou do armário e, quando é removido de lá, o número muda de acordo. Neste caso, o osso é jogado novamente para que todos possam ver claramente o número.

Rolo de dados online em 1 clique

Em um jogo envolvendo dados comuns, é muito fácil trapacear. Para obter o número certo, você precisa colocar esse lado do cubo em cima e torcê-lo para que permaneça o mesmo (apenas a parte lateral está girando). Esta não é uma garantia completa, mas a porcentagem de vitórias será de setenta e cinco por cento.

Se você usar dois dados, as chances são reduzidas para trinta, mas essa é uma porcentagem considerável. Devido à trapaça, muitas campanhas de jogadores não gostam de usar dados.

Da mesma forma, nosso maravilhoso serviço funciona justamente para evitar tais situações. Será impossível trapacear conosco, pois o lançamento de dados online não pode ser falsificado. Um número de 1 a 6 aparecerá na página de forma completamente aleatória e descontrolada.

Gerador de cubo conveniente

Uma vantagem muito grande é que o gerador de dados online não pode se perder (especialmente porque pode ser marcado), e um pequeno dado comum pode facilmente desaparecer em algum lugar. Também uma grande vantagem será o fato de que a manipulação dos resultados é completamente excluída. O gerador possui um recurso que permite selecionar de um a três dados para rolar ao mesmo tempo.

O gerador de dados online é um entretenimento muito interessante, uma das formas de desenvolver a intuição. Use nosso serviço e obtenha resultados instantâneos e confiáveis.