ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான பணிகளும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் பார்க்கலாம்.

சிக்கலில் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் இரண்டும் "வெள்ளித் தட்டில்" வழங்கப்பட்டால், சிக்கலின் நிலை மற்றும் அதன் தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 1திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பின்வரும் மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

மற்றொரு வரையறையும் செல்லுபடியாகும், இது வரையறை 1 க்கு முற்றிலும் சமமானதாகும்.

வரையறை 2. திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களில் ஒன்றின் நீளத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமான ஒரு எண் (ஸ்கேலார்) மற்றும் இந்த திசையன்களில் முதல் திசையினால் தீர்மானிக்கப்படும் அச்சில் மற்றொரு திசையனைத் திட்டமிடுகிறது. வரையறை 2 இன் படி சூத்திரம்:

அடுத்த முக்கியமான கோட்பாட்டு புள்ளிக்குப் பிறகு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை

பெருக்கப்படும் திசையன்களை அவற்றின் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டால் அதே எண்ணைப் பெறலாம்.

வரையறை 3.திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணாகும்.

மேற்பரப்பில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் அவற்றின் இரண்டால் வரையறுக்கப்பட்டால் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகள்

இந்த வெக்டார்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2வெக்டருக்கு இணையான அச்சில் வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனின் எண் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறிகிறோம்:

இப்போது நாம் விளைந்த ஸ்கேலர் தயாரிப்பை திசையன் நீளம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான அச்சில் (சூத்திரத்தின் படி) திசையன் முன்கணிப்பு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமன் செய்ய வேண்டும்.

திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம்:

.

ஒரு சமன்பாட்டை எழுதி அதை தீர்க்கவும்:

பதில். விரும்பிய எண் மதிப்பு கழித்தல் 8 ஆகும்.

விண்வெளியில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விண்வெளியில் அவற்றின் மூன்று கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்

,

இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு, அந்தந்த ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், ஏற்கனவே மூன்று ஆயங்கள் மட்டுமே உள்ளன:

.

அளவிடல் தயாரிப்பின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்த பிறகு, பரிசீலிக்கப்பட்ட வழியில் அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கண்டறியும் பணி. ஏனெனில் பணியில் பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் உருவாகின்றன என்பதை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியின் பண்புகள்

இயற்கணித பண்புகள்

1. (பரிமாற்ற சொத்து: பெருக்கப்பட்ட திசையன்களின் இடங்களை மாற்றுவதிலிருந்து அவற்றின் அளவிடுதல் உற்பத்தியின் மதிப்பு மாறாது).

2. (ஒரு எண் காரணியைப் பொறுத்து துணை சொத்து: ஒரு திசையனின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு சில காரணிகளால் பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் மற்றொரு திசையன் இந்த திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்திக்கு சமமாக அதே காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது).

3. (திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்து பகிர்ந்தளிக்கும் சொத்து: மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் அளவிடல் உற்பத்தியானது, மூன்றாவது திசையன் மூலம் முதல் திசையன் மற்றும் மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டாவது வெக்டரின் அளவிடல் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்).

4. (பூஜ்ஜியத்தை விட பெரிய திசையன் ஸ்கேலர் சதுரம்) பூஜ்ஜிய திசையன் என்றால், மற்றும் , பூஜ்ஜிய திசையன் என்றால்.

வடிவியல் பண்புகள்

ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் வரையறைகளில், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தொட்டுள்ளோம். இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்த வேண்டிய நேரம் இது.

மேலே உள்ள படத்தில், இரண்டு திசையன்கள் தெரியும், அவை பொதுவான தொடக்கத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன. நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டிய முதல் விஷயம்: இந்த திசையன்களுக்கு இடையில் இரண்டு கோணங்கள் உள்ளன - φ 1 மற்றும் φ 2 . திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளில் இந்தக் கோணங்களில் எது தோன்றும்? கருதப்படும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 2 ஆகும் π எனவே இந்த கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும். புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறையானது கோணத்தின் கோசைனை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு அல்ல. ஆனால் பண்புகளில் ஒரு மூலை மட்டுமே கருதப்படுகிறது. மேலும் இது தாண்டாத இரண்டு கோணங்களில் ஒன்றாகும் π அதாவது 180 டிகிரி. இந்த கோணம் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது φ 1 .

1. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் ஒரு வலது (90 டிகிரி அல்லது π /2) என்றால் இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் :

.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்பது இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக உள்ளது.

2. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன கூர்மையான மூலையில் (0 முதல் 90 டிகிரி வரை, அல்லது, அதே அளவு, குறைவானது π புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறை .

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன மழுங்கிய கோணம் (90 முதல் 180 டிகிரி வரை, அல்லது, அதே என்ன - மேலும் π /2) என்றால் மற்றும் இருந்தால் மட்டும் புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது .

எடுத்துக்காட்டு 3திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்புகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் புள்ளி தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும். இந்த ஜோடி திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் (கடுமையான, வலது, மழுங்கிய) உருவாகின்றன?

தீர்வு. தொடர்புடைய ஆயங்களின் தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடுவோம்.

எங்களுக்கு எதிர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு தீவிர கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு தீவிர கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு தீவிர கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 4இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கொடுக்கப்பட்டால்:

.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக (செங்குத்தாக) எந்த எண்ணின் மதிப்பில் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி நாம் திசையன்களை பெருக்குகிறோம்:

இப்போது ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் கணக்கிடுவோம்:

.

சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்), இது போன்ற சொற்களைக் கொடுத்து சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்:

பதில்: எங்களுக்கு மதிப்பு கிடைத்தது λ = 1.8 , இதில் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல்.

எடுத்துக்காட்டு 5திசையன் என்பதை நிரூபிக்கவும் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக).

தீர்வு. ஆர்த்தோகனாலிட்டியை சரிபார்க்க, வெக்டார்களையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும் பெருக்குகிறோம், அதற்கு பதிலாக சிக்கல் நிலையில் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக:

.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் (காலம்) இரண்டாவதாக ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

.

இதன் விளைவாக, செலுத்த வேண்டிய பகுதி குறைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

முடிவு: பெருக்கத்தின் விளைவாக, நமக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே, திசையன்களின் ஆர்த்தோகனலிட்டி (செங்குத்தாக) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரச்சனையை நீங்களே தீர்த்துக் கொள்ளுங்கள், பிறகு தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 6திசையன்களின் நீளம் மற்றும் , மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் π /நான்கு. எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும் μ திசையன்கள் மற்றும் பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ளன.

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் n-பரிமாண திசையன்களின் தயாரிப்பு

சில நேரங்களில், தெளிவுக்காக, இரண்டு பெருக்கல் திசையன்களை மெட்ரிக்குகளின் வடிவத்தில் குறிப்பிடுவது சாதகமானது. பின்னர் முதல் திசையன் ஒரு வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது - ஒரு நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

அப்போது வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இருக்கும் இந்த மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு :

முடிவு நாம் ஏற்கனவே பரிசீலித்த முறையால் பெறப்பட்டதைப் போன்றது. நாங்கள் ஒரு ஒற்றை எண்ணைப் பெற்றுள்ளோம், மேலும் அணி-வரிசையின் மேட்ரிக்ஸ்-நெடுவரிசையின் பெருக்கமும் ஒரு ஒற்றை எண்ணாகும்.

மேட்ரிக்ஸ் வடிவத்தில், சுருக்க n-பரிமாண திசையன்களின் உற்பத்தியைக் குறிப்பிடுவது வசதியானது. எனவே, இரண்டு நான்கு பரிமாண வெக்டார்களின் பலன் ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸுடன் ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸால் நான்கு உறுப்புகளையும் நான்கு உறுப்புகளையும் கொண்ட ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாக இருக்கும், இரண்டு ஐந்து பரிமாண வெக்டார்களின் பலன் ஐந்து கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாக இருக்கும். ஒரு நிரல் அணி ஐந்து உறுப்புகள் மற்றும் பல.

எடுத்துக்காட்டு 7வெக்டார் ஜோடிகளின் புள்ளி தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்

,

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

தீர்வு. முதல் ஜோடி திசையன்கள். முதல் திசையனை வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடுகிறோம். இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் உற்பத்தியை நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பெருக்கமாகக் காண்கிறோம்:

இதேபோல், நாங்கள் இரண்டாவது ஜோடியைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, எடுத்துக்காட்டு 2 இலிருந்து அதே ஜோடிகளுக்கு ஒரே மாதிரியான முடிவுகள் இருக்கும்.

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் அழகாகவும் சுருக்கமாகவும் உள்ளது.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை வெளிப்படுத்த

(1)

ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், நாம் முதலில் orts இன் அளவிடல் உற்பத்தியைக் காண்கிறோம். ஒரு வெக்டரின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு என்பது வரையறையின்படி:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டதன் பொருள்: ஒரு வெக்டரின் அளவிடல் தயாரிப்பு அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜியத்தின் கோசைன் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே ஒவ்வொரு ஆர்த்தின் சதுரமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

திசையன்கள் என்பதால்

ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் orts இன் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

இப்போது திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தைச் செய்வோம்:

நாம் சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் ஆர்ட்ஸின் தொடர்புடைய ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளின் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8மூன்று புள்ளிகள் வழங்கப்பட்டது ஏ(1;1;1), பி(2;2;1), சி(2;1;2).

ஒரு கோணத்தைக் கண்டுபிடி.

தீர்வு. திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம்:

,

.

ஒரு கோணத்தின் கொசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

இதன் விளைவாக, .

சுய பரிசோதனைக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 9இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

கூட்டுத்தொகை, வேறுபாடு, நீளம், புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வேறுபாடு

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

திசையன்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கையாளுகிறோம். முதல் பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்வெக்டரின் கருத்து, திசையன்களுடனான செயல்கள், திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் வெக்டார்களுடனான எளிய சிக்கல்களை நாங்கள் கருத்தில் கொண்டோம். நீங்கள் தேடுபொறியிலிருந்து முதன்முறையாக இந்தப் பக்கத்திற்கு வந்திருந்தால், மேலே உள்ள அறிமுகக் கட்டுரையைப் படிக்க நான் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனெனில் பொருளை ஒருங்கிணைக்க, நான் பயன்படுத்தும் விதிமுறைகள் மற்றும் குறியீட்டில் நீங்கள் வழிநடத்தப்பட வேண்டும், திசையன்கள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு இருக்க வேண்டும். மற்றும் அடிப்படை பிரச்சனைகளை தீர்க்க முடியும். இந்த பாடம் தலைப்பின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சியாகும், மேலும் அதில் திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தும் வழக்கமான பணிகளை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வேன். இது ஒரு மிக முக்கியமான வேலை.. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தவிர்க்க முயற்சி செய்யுங்கள், அவை ஒரு பயனுள்ள போனஸுடன் உள்ளன - பயிற்சியானது உள்ளடக்கப்பட்ட பொருளை ஒருங்கிணைக்க மற்றும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் "உங்கள் கையைப் பெற" உதவும்.

திசையன்களைச் சேர்த்தல், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்.... கணிதவியலாளர்கள் வேறு எதையும் கொண்டு வரவில்லை என்று நினைப்பது அப்பாவியாக இருக்கும். ஏற்கனவே கருதப்பட்ட செயல்களுக்கு கூடுதலாக, திசையன்களுடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது: திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பள்ளியிலிருந்து நமக்கு நன்கு தெரிந்ததே, மற்ற இரண்டு தயாரிப்புகளும் பாரம்பரியமாக உயர் கணிதப் பாடத்துடன் தொடர்புடையவை. தலைப்புகள் எளிமையானவை, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை ஒரே மாதிரியானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. அந்த ஒரு விஷயம். ஒரு கண்ணியமான தகவல் உள்ளது, எனவே எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் மாஸ்டர் மற்றும் தீர்க்க முயற்சிப்பது விரும்பத்தகாதது. டம்மிகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, என்னை நம்புங்கள், ஆசிரியர் கணிதத்திலிருந்து சிக்கடிலோவைப் போல உணர விரும்பவில்லை. சரி, கணிதத்தில் இருந்து அல்ல, நிச்சயமாக, ஒன்று =) மேலும் தயாரிக்கப்பட்ட மாணவர்கள் பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுத்துப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், காணாமல் போன அறிவை "பெறலாம்", உங்களுக்காக நான் ஒரு பாதிப்பில்லாத கவுண்ட் டிராகுலாவாக இருப்பேன் =)

இறுதியாக, கதவை சிறிது திறந்து இரண்டு திசையன்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் போது என்ன நடக்கிறது என்பதைப் பார்ப்போம்.

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை.
அளவிடுதல் உற்பத்தியின் பண்புகள். வழக்கமான பணிகள்

புள்ளி தயாரிப்பு கருத்து

முதலில் பற்றி திசையன்களுக்கு இடையே கோணம். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் என்ன என்பதை அனைவரும் உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நான் நினைக்கிறேன், ஆனால் இன்னும் கொஞ்சம். இலவச பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் மற்றும் . இந்த திசையன்களை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியிலிருந்து ஒத்திவைத்தால், பலர் ஏற்கனவே மனதளவில் வழங்கிய ஒரு படத்தைப் பெறுகிறோம்:

நான் ஒப்புக்கொள்கிறேன், இங்கே நான் நிலைமையை புரிந்து கொள்ளும் மட்டத்தில் மட்டுமே விவரித்தேன். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கடுமையான வரையறை உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும், ஆனால் நடைமுறைப் பணிகளுக்கு, கொள்கையளவில், எங்களுக்கு இது தேவையில்லை. இங்கும் மேலும், சில சமயங்களில் பூஜ்ஜிய திசையன்களை அவற்றின் குறைந்த நடைமுறை முக்கியத்துவம் காரணமாக புறக்கணிப்பேன். தளத்தின் மேம்பட்ட பார்வையாளர்களுக்காக நான் குறிப்பாக முன்பதிவு செய்துள்ளேன், பின்வரும் சில அறிக்கைகளின் தத்துவார்த்த முழுமையற்ற தன்மைக்காக என்னைக் கண்டிக்க முடியும்.

0 முதல் 180 டிகிரி வரை (0 முதல் ரேடியன்கள் வரை) மதிப்புகளை எடுக்கலாம். பகுப்பாய்வு ரீதியாக, இந்த உண்மை இரட்டை சமத்துவமின்மை என எழுதப்பட்டுள்ளது: அல்லது (ரேடியன்களில்).

இலக்கியத்தில், கோண ஐகான் பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்பட்டு எளிமையாக எழுதப்படுகிறது.

வரையறை:இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கமானது, இந்த திசையன்களின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கும் சமமான NUMBER ஆகும்:

இப்போது அது மிகவும் கடுமையான வரையறை.

அத்தியாவசிய தகவல்களில் நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம்:

பதவி:அளவிடுதல் தயாரிப்பு அல்லது எளிமையாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் முடிவு NUMBER ஆகும்: ஒரு எண்ணைப் பெற ஒரு திசையனை ஒரு திசையன் மூலம் பெருக்கவும். உண்மையில், திசையன்களின் நீளம் எண்களாக இருந்தால், கோணத்தின் கொசைன் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், அவற்றின் தயாரிப்பு ஒரு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு சூடான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் . இந்த வழக்கில்:

பதில்:

கொசைன் மதிப்புகளைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. நான் அதை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன் - இது கோபுரத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரிவுகளிலும் தேவைப்படும் மற்றும் பல முறை தேவைப்படும்.

முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு பரிமாணமற்றது, அதாவது, இந்த விஷயத்தில், முடிவு ஒரு எண் மட்டுமே. இயற்பியல் சிக்கல்களின் பார்வையில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, அதன் விளைவாக, ஒன்று அல்லது மற்றொரு உடல் அலகு குறிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு சக்தியின் வேலையை கணக்கிடுவதற்கான நியமன உதாரணம் எந்த பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம் (சூத்திரம் சரியாக ஒரு புள்ளி தயாரிப்பு). ஒரு சக்தியின் வேலை ஜூல்ஸில் அளவிடப்படுகிறது, எனவே, பதில் மிகவும் குறிப்பாக எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக,.

எடுத்துக்காட்டு 2

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் , மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் .

சுய முடிவெடுப்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

திசையன்களுக்கும் புள்ளி தயாரிப்பு மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

எடுத்துக்காட்டு 1 இல், அளவிடுதல் தயாரிப்பு நேர்மறையாகவும், எடுத்துக்காட்டு 2 இல் எதிர்மறையாகவும் மாறியது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் அடையாளம் எதைப் பொறுத்தது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்: . பூஜ்ஜியம் அல்லாத திசையன்களின் நீளம் எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்: , எனவே குறியானது கொசைனின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்.

குறிப்பு: கீழே உள்ள தகவலை நன்கு புரிந்துகொள்ள, கையேட்டில் உள்ள கொசைன் வரைபடத்தைப் படிப்பது நல்லது வரைபடங்கள் மற்றும் செயல்பாட்டு பண்புகள். பிரிவில் கொசைன் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மாறுபடலாம் , மற்றும் பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான: (0 முதல் 90 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் இணைந்து இயக்கினார், பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும். , பின்னர் சூத்திரம் எளிமைப்படுத்தப்பட்டது: .

2) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்: (90 முதல் 180 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் அதற்கேற்ப, புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது: . சிறப்பு வழக்கு: திசையன்கள் என்றால் நேர்மாறாக இயக்கப்பட்டது, பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கருதப்படுகிறது பயன்படுத்தப்பட்டது: (180 டிகிரி). ஸ்கேலர் தயாரிப்பும் எதிர்மறையானது, என்பதால்

எதிர் அறிக்கைகளும் உண்மையே:

1) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் கடுமையானது. மாற்றாக, திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன.

2) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் மழுங்கலாக உள்ளது. மாற்றாக, திசையன்கள் எதிர் திசையில் இயக்கப்படுகின்றன.

ஆனால் மூன்றாவது வழக்கு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது:

3) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் நேராக: (90 டிகிரி) பின்னர் மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு பூஜ்யம்: . உரையாடலும் உண்மைதான்: என்றால் , பிறகு . சுருக்கமான அறிக்கை பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்.. குறுகிய கணிதக் குறிப்பு:

! குறிப்பு : மீண்டும் கணித தர்க்கத்தின் அடிப்படைகள்: இரட்டை பக்க தர்க்க விளைவு ஐகான் பொதுவாக "இருந்தால் மட்டும்", "இருந்தால் மட்டும் இருந்தால்" என்று படிக்கப்படும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அம்புகள் இரு திசைகளிலும் இயக்கப்படுகின்றன - "இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு, மற்றும் நேர்மாறாக - அதிலிருந்து, இது பின்வருமாறு." ஒருவழிப் பின்தொடர் ஐகானில் இருந்து என்ன வித்தியாசம்? ஐகான் கோருகிறது அது மட்டும்"இதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது", மாறாக உண்மை என்பது உண்மை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: , ஆனால் ஒவ்வொரு மிருகமும் ஒரு சிறுத்தை அல்ல, எனவே இந்த விஷயத்தில் ஐகானைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதே நேரத்தில், ஐகானுக்கு பதிலாக முடியும்ஒரு பக்க ஐகானைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம்: - அத்தகைய பதிவு சரியானதாக இருக்கும், மேலும் அதை விட மிகவும் பொருத்தமானது .

மூன்றாவது வழக்கு மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது., இது திசையன்கள் ஆர்த்தோகனா இல்லையா என்பதை சரிபார்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. பாடத்தின் இரண்டாவது பிரிவில் இந்த சிக்கலை தீர்ப்போம்.

புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்

இரண்டு திசையன்கள் போது நிலைமைக்கு திரும்புவோம் இணைந்து இயக்கினார். இந்த வழக்கில், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், மற்றும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு சூத்திரம் வடிவத்தை எடுக்கும்: .

ஒரு திசையன் தானே பெருக்கினால் என்ன நடக்கும்? திசையன் தன்னுடன் இணைந்து இயக்கப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே மேலே உள்ள எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எண் அழைக்கப்படுகிறது ஸ்கேலர் சதுரம்திசையன் , மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

இந்த வழியில், ஒரு திசையனின் அளவிடல் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்:

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து, திசையன் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

இது தெளிவற்றதாகத் தோன்றினாலும், பாடத்தின் பணிகள் எல்லாவற்றையும் அதன் இடத்தில் வைக்கும். பிரச்சினைகளைத் தீர்க்க, நமக்கும் தேவை புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் எந்த எண்ணுக்கும், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

1) - இடமாற்றம் செய்யக்கூடிய அல்லது மாற்றத்தக்கஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம்.

2) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். எளிமையாகச் சொன்னால், அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கலாம்.

3) - சேர்க்கை அல்லது துணைஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். மாறிலியை ஸ்கேலர் தயாரிப்பில் இருந்து எடுக்கலாம்.

பெரும்பாலும், அனைத்து வகையான சொத்துக்களும் (நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவை!) மாணவர்களால் தேவையற்ற குப்பைகளாக உணரப்படுகின்றன, இது பரீட்சைக்குப் பிறகு உடனடியாக மனப்பாடம் செய்து பாதுகாப்பாக மறக்கப்பட வேண்டும். இங்கே முக்கியமானது என்னவென்றால், காரணிகளின் வரிசைமாற்றத்திலிருந்து தயாரிப்பு மாறாது என்பதை முதல் வகுப்பிலிருந்தே அனைவருக்கும் ஏற்கனவே தெரியும்: நான் உங்களை எச்சரிக்க வேண்டும், அத்தகைய அணுகுமுறையுடன் உயர் கணிதத்தில் விஷயங்களை குழப்புவது எளிது. எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பரிமாற்ற சொத்து செல்லாது இயற்கணித மெட்ரிக்குகள். இது உண்மையல்ல திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு. எனவே, என்ன செய்ய முடியும் மற்றும் என்ன செய்ய முடியாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்காக, உயர் கணிதத்தின் போக்கில் நீங்கள் சந்திக்கும் எந்தவொரு பண்புகளையும் ஆராய்வது நல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

தீர்வு:முதலில், திசையன் மூலம் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். அது என்ன? திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும், இது குறிக்கப்படுகிறது. திசையன்களுடன் செயல்களின் வடிவியல் விளக்கத்தை கட்டுரையில் காணலாம் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள். ஒரு திசையன் கொண்ட அதே வோக்கோசு என்பது திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் .

எனவே, நிபந்தனையின் படி, அளவிடுதல் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கோட்பாட்டில், நீங்கள் வேலை செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் , ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் நிலையில், திசையன்களுக்கு ஒத்த அளவுருக்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, எனவே நாங்கள் வேறு வழியில் செல்வோம்:

(1) திசையன்களின் வெளிப்பாடுகளை நாங்கள் மாற்றுகிறோம்.

(2) பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம், ஒரு மோசமான நாக்கு முறுக்கு கட்டுரையில் காணலாம் சிக்கலான எண்கள்அல்லது ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு. நான் என்னை மீண்டும் செய்ய மாட்டேன் =) மூலம், அளவிடுதல் உற்பத்தியின் விநியோக சொத்து அடைப்புக்குறிகளை திறக்க அனுமதிக்கிறது. எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

(3) முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களில், திசையன்களின் ஸ்கேலர் சதுரங்களை சுருக்கமாக எழுதுகிறோம்: . இரண்டாவது டெர்மில், ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் மாற்றியமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்: .

(4) இங்கே இதே போன்ற சொற்கள் உள்ளன:

(5) முதல் வார்த்தையில், மிக நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு குறிப்பிடப்படாத ஸ்கேலர் ஸ்கொயர் ஃபார்முலாவைப் பயன்படுத்துகிறோம். கடைசி காலத்தில், முறையே, அதே விஷயம் செயல்படுகிறது: . நிலையான சூத்திரத்தின்படி இரண்டாவது சொல் விரிவாக்கப்படுகிறது .

(6) இந்த நிபந்தனைகளை மாற்றவும் , மற்றும் கவனமாக இறுதி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளவும்.

பதில்:

புள்ளி உற்பத்தியின் எதிர்மறை மதிப்பு, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கலாக உள்ளது என்ற உண்மையைக் கூறுகிறது.

பணி பொதுவானது, இங்கே ஒரு சுயாதீன தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும், அது தெரிந்தால் .

இப்போது மற்றொரு பொதுவான பணி, புதிய திசையன் நீள சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே. இங்குள்ள பெயர்கள் சிறிது ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கும், எனவே தெளிவுக்காக, நான் அதை வேறு கடிதத்துடன் மீண்டும் எழுதுகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 5

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வுபின்வருமாறு இருக்கும்:

(1) திசையன் வெளிப்பாட்டை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

(2) நாம் நீள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: , ஒரு முழு எண் வெளிப்பாட்டை திசையன் "ve" ஆகக் கொண்டிருக்கும் போது.

(3) தொகையின் வர்க்கத்திற்கு பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது எவ்வாறு ஆர்வமாக இங்கே செயல்படுகிறது என்பதில் கவனம் செலுத்துங்கள்: - உண்மையில், இது வித்தியாசத்தின் சதுரம், உண்மையில், அது அப்படித்தான். விரும்புவோர் இடங்களில் திசையன்களை மறுசீரமைக்கலாம்: - இது விதிமுறைகளின் மறுசீரமைப்பு வரை ஒரே மாதிரியாக மாறியது.

(4) பின்வருபவை ஏற்கனவே இரண்டு முந்தைய சிக்கல்களிலிருந்து நன்கு தெரிந்தவை.

பதில்:

நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதால், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - "அலகுகள்".

எடுத்துக்காட்டு 6

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

இது நீங்களே செய்யக்கூடிய உதாரணம். பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்.

ஸ்கேலர் தயாரிப்பிலிருந்து பயனுள்ள விஷயங்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கசக்கி விடுகிறோம். மீண்டும் நமது சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம் . விகிதாச்சார விதியின்படி, திசையன்களின் நீளத்தை இடது பக்கத்தின் வகுப்பிற்கு மீட்டமைக்கிறோம்:

பகுதிகளை மாற்றுவோம்:

இந்த சூத்திரத்தின் பொருள் என்ன? இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றின் அளவுகோல் தயாரிப்பு அறியப்பட்டால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிட முடியும், அதன் விளைவாக, கோணத்தையே கணக்கிட முடியும்.

ஸ்கேலர் தயாரிப்பு என்பது எண்ணா? எண். திசையன் நீளம் எண்களா? எண்கள். எனவே பின்னமும் ஒரு எண்தான். மேலும் கோணத்தின் கொசைன் தெரிந்தால்: , பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும், அது தெரிந்தால்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கணக்கீடுகளின் இறுதி கட்டத்தில், ஒரு நுட்பம் பயன்படுத்தப்பட்டது - வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நீக்குதல். பகுத்தறிவின்மையை அகற்ற, நான் எண் மற்றும் வகுப்பை பெருக்கினேன்.

அப்படியென்றால் , பிறகு:

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மூலம் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. இது அரிதாக நடக்கும் என்றாலும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், சில விகாரமான கரடிகள் அடிக்கடி தோன்றும், மேலும் கோணத்தின் மதிப்பை தோராயமாக கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டறிய வேண்டும். உண்மையில், இந்த படத்தை நாம் மீண்டும் மீண்டும் பார்ப்போம்.

பதில்:

மீண்டும், பரிமாணத்தைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள் - ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரி. தனிப்பட்ட முறையில், வேண்டுமென்றே "எல்லாக் கேள்விகளையும் அகற்ற", இரண்டையும் குறிப்பிட விரும்புகிறேன் (நிச்சயமாக, நிபந்தனையின்படி, பதிலை ரேடியன்களில் அல்லது டிகிரிகளில் மட்டுமே வழங்குவது அவசியம்).

இப்போது நீங்கள் மிகவும் கடினமான பணியை நீங்களே சமாளிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 7*

திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் ஆகியவை கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

பல வழிகளில் பணி மிகவும் கடினம் அல்ல.
தீர்வு வழிமுறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம்:

1) நிபந்தனையின் படி, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டும், எனவே நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் .

2) ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் காண்கிறோம் (எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 3, 4 ஐப் பார்க்கவும்).

3) திசையன் நீளம் மற்றும் திசையன் நீளம் (எடுத்துக்காட்டுகள் எண். 5, 6 ஐப் பார்க்கவும்).

4) தீர்வின் முடிவு எடுத்துக்காட்டு எண். 7 உடன் ஒத்துப்போகிறது - எண் நமக்குத் தெரியும் , அதாவது கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

பாடத்தின் முடிவில் குறுகிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதி அதே புள்ளி தயாரிப்புக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருங்கிணைப்புகள். இது முதல் பகுதியை விட எளிதாக இருக்கும்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு,
ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டது

பதில்:

ஆயங்களைக் கையாள்வது மிகவும் இனிமையானது என்று சொல்லத் தேவையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 14

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும் மற்றும் என்றால்

இது நீங்களே செய்யக்கூடிய உதாரணம். இங்கே நீங்கள் செயல்பாட்டின் அசோசியேட்டிவிட்டியைப் பயன்படுத்தலாம். பாடத்தின் முடிவில் தீர்வு மற்றும் பதில்.

பத்தியின் முடிவில், வெக்டரின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆத்திரமூட்டும் உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 15

திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் , என்றால்

தீர்வு:மீண்டும் முந்தைய பிரிவின் முறை தன்னைத்தானே பரிந்துரைக்கிறது: ஆனால் மற்றொரு வழி உள்ளது:

வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மற்றும் அற்பமான சூத்திரத்தின்படி அதன் நீளம் :

ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இங்கே பொருந்தாது!

வெக்டரின் நீளத்தைக் கணக்கிடும்போது அது எப்படி வேலை செய்யவில்லை:
நிறுத்து. வெக்டரின் வெளிப்படையான நீளப் பண்புகளை ஏன் பயன்படுத்திக் கொள்ளக்கூடாது? திசையன் நீளம் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்? இந்த திசையன் வெக்டரை விட 5 மடங்கு நீளமானது. திசை எதிர், ஆனால் அது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம். வெளிப்படையாக, திசையன் நீளம் தயாரிப்புக்கு சமம் தொகுதிஒரு திசையன் நீளத்திற்கு எண்கள்:
- தொகுதியின் அடையாளம் எண்ணின் சாத்தியமான மைனஸை "சாப்பிடுகிறது".

இந்த வழியில்:

பதில்:

ஆயத்தொலைவுகளால் வழங்கப்படும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரம்

திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் அடிப்படையில் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தை வெளிப்படுத்த இப்போது எங்களிடம் முழுமையான தகவல் உள்ளது:

விமான திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன்மற்றும், ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
.

விண்வெளி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன்ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 16

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. கண்டுபிடி (உச்சி கோணம்).

தீர்வு:நிபந்தனையின்படி, வரைதல் தேவையில்லை, ஆனால் இன்னும்:

தேவையான கோணம் பச்சை வில் மூலம் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. கோணத்தின் பள்ளி பெயரை உடனடியாக நினைவுபடுத்துகிறோம்: - சிறப்பு கவனம் நடுத்தரகடிதம் - இது நமக்குத் தேவையான கோணத்தின் உச்சி. சுருக்கமாக, எளிமையாகவும் எழுதலாம்.

வரைபடத்திலிருந்து முக்கோணத்தின் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் வேறுவிதமாகக் கூறினால்: .

மனரீதியாக நிகழ்த்தப்பட்ட பகுப்பாய்வை எவ்வாறு செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது விரும்பத்தக்கது.

திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

மற்றும் திசையன்களின் நீளம்:

ஒரு கோணத்தின் கோசைன்:

பணியின் இந்த வரிசையை நான் டம்மிகளுக்கு பரிந்துரைக்கிறேன். மிகவும் மேம்பட்ட வாசகர்கள் கணக்கீடுகளை "ஒரு வரியில்" எழுதலாம்:

"மோசமான" கொசைன் மதிப்புக்கான உதாரணம் இங்கே. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இறுதியானது அல்ல, எனவே வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்றுவதில் அதிக அர்த்தமில்லை.

கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் வரைபடத்தைப் பார்த்தால், முடிவு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்கும். கோணத்தை சரிபார்க்க ஒரு ப்ராட்ராக்டரையும் அளவிடலாம். மானிட்டர் பூச்சு சேதப்படுத்தாதே =)

பதில்:

பதிலில், அதை மறந்துவிடாதீர்கள் முக்கோணத்தின் கோணம் பற்றி கேட்டார்(மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைப் பற்றி அல்ல), சரியான பதிலைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்: மற்றும் கோணத்தின் தோராயமான மதிப்பு: கால்குலேட்டர் மூலம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

செயல்முறையை அனுபவித்தவர்கள் கோணங்களைக் கணக்கிட்டு, நியதி சமத்துவம் உண்மையா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம்

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் விண்வெளியில் கொடுக்கப்படுகிறது. பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

இது நீங்களே செய்யக்கூடிய உதாரணம். பாடத்தின் முடிவில் முழுமையான தீர்வு மற்றும் பதில்

ஒரு சிறிய இறுதிப் பகுதி கணிப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், இதில் ஸ்கேலர் தயாரிப்பும் "ஈடுபட்டது":

ஒரு திசையன் மீது ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன். ஆய அச்சுகள் மீது திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன்.
திசையன் திசை கொசைன்கள்

திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும்:

திசையன் மீது திசையனை முன்னிறுத்துகிறோம், இதற்காக வெக்டரின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவில் இருந்து தவிர்க்கிறோம். செங்குத்தாகதிசையன் ஒன்றுக்கு (பச்சை புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்). ஒளிக் கதிர்கள் ஒரு திசையன் மீது செங்குத்தாக விழுகின்றன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் பிரிவு (சிவப்பு கோடு) திசையனின் "நிழலாக" இருக்கும். இந்த வழக்கில், ஒரு திசையன் மீது ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் என்பது பிரிவின் நீளம் ஆகும். அதாவது, PROJECTION என்பது ஒரு எண்.

இந்த NUMBER பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: , "பெரிய திசையன்" என்பது திசையனைக் குறிக்கிறது எதுதிட்டம், "சிறிய சப்ஸ்கிரிப்ட் வெக்டர்" என்பது வெக்டரைக் குறிக்கிறது அதன் மேல்திட்டமிடப்பட்டவை.

உள்ளீடு இதைப் போன்றது: “வெக்டரின் “a” திசையன் “be” மீது ப்ரொஜெக்ஷன்”.

திசையன் "be" "மிகவும் குறுகியதாக" இருந்தால் என்ன நடக்கும்? திசையன் "be" ஐக் கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். மற்றும் திசையன் "a" ஏற்கனவே கணிக்கப்படும் திசையன் திசையில் "இரு", வெறுமனே - திசையன் "இரு" கொண்டிருக்கும் ஒரு நேர் கோட்டில். முப்பதாவது ராஜ்ஜியத்தில் திசையன் "a" ஒதுக்கி வைக்கப்பட்டால் இதேதான் நடக்கும் - அது "be" என்ற திசையன் கொண்ட கோட்டில் எளிதாகத் திட்டமிடப்படும்.

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான(படத்தில் உள்ளதைப் போல), பின்னர்

திசையன்கள் என்றால் ஆர்த்தோகனல், பின்னர் (திட்டமானது ஒரு புள்ளியாகும், அதன் பரிமாணங்கள் பூஜ்ஜியமாக கருதப்படுகிறது).

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் முட்டாள்(படத்தில், திசையன் அம்புக்குறியை மனதளவில் மறுசீரமைக்கவும்), பின்னர் (அதே நீளம், ஆனால் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது).

இந்த திசையன்களை ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி வைக்கவும்:

வெளிப்படையாக, ஒரு திசையன் நகரும் போது, ​​அதன் கணிப்பு மாறாது

I. திசையன்களில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் அல்லது திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடல் தயாரிப்பு மறைந்துவிடும். உண்மையில், என்றால் அல்லது , அல்லது பின்னர் .

மாறாக, பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டால், நிபந்தனையிலிருந்து

பின் வரும் போது:

பூஜ்ய வெக்டரின் திசை காலவரையற்றதாக இருப்பதால், பூஜ்ய திசையன் எந்த திசையனுக்கும் செங்குத்தாக கருதப்படலாம். எனவே, அளவிடல் உற்பத்தியின் குறிப்பிடப்பட்ட பண்பு குறுகிய முறையில் உருவாக்கப்படலாம்: திசையன்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே அளவிடுதல் தயாரிப்பு மறைந்துவிடும்.

II. ஸ்கேலர் தயாரிப்புக்கு இடமாற்றத் தன்மை உள்ளது:

இந்த சொத்து நேரடியாக வரையறையிலிருந்து பின்வருமாறு:

ஏனெனில் ஒரே கோணத்திற்கு வெவ்வேறு பெயர்கள்.

III. விநியோக சட்டம் விதிவிலக்கான முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது. அதன் பயன்பாடு சாதாரண எண்கணிதம் அல்லது இயற்கணிதத்தைப் போலவே சிறந்தது, இது பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: தொகையைப் பெருக்க, நீங்கள் ஒவ்வொரு சொல்லையும் பெருக்கி அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும், அதாவது.

வெளிப்படையாக, இயற்கணிதத்தில் எண்கணிதம் அல்லது பல்லுறுப்புக்கோவைகளில் பல்மதிப்பு எண்களின் பெருக்கல் இந்த பெருக்கத்தின் பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டது.

இந்தச் சட்டமானது திசையன் இயற்கணிதத்தில் அதே அடிப்படை முக்கியத்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் அதன் அடிப்படையில் நாம் வெக்டார்களுக்கு பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான வழக்கமான விதியைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஏ, பி, சி ஆகிய மூன்று திசையன்களுக்கும் சமத்துவம் என்பதை நிரூபிப்போம்

ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையின்படி, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது, நாம் பெறுகிறோம்:

§ 5 இல் இருந்து கணிப்புகளின் சொத்து 2 ஐப் பயன்படுத்தும்போது, ​​​​நாம் கண்டுபிடிப்போம்:

கே.இ.டி.

IV. ஸ்கேலர் தயாரிப்பு எண் காரணியைப் பொறுத்து கலவையின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது; இந்த சொத்து பின்வரும் சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

அதாவது, வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் பெருக்கத்தை எண்ணால் பெருக்க, காரணிகளில் ஒன்றை இந்த எண்ணால் பெருக்க போதுமானது.