Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang pag-aangkin ni Einstein na ang Diyos ay hindi naglalaro ng dice sa sansinukob ay na-misinterpret

Ilan sa mga catchphrase ni Einstein ang malawak na sinipi gaya ng kanyang obserbasyon na ang Diyos ay hindi nakikipaglaro sa uniberso. Natural na kinukuha ng mga tao ang kanyang nakakatawang komento bilang ebidensya na siya ay dogmatikong sumasalungat sa quantum mechanics, na itinuturing ang randomness bilang isang katangian ng pisikal na mundo. Kapag ang nucleus ng isang radioactive na elemento ay nabubulok, ito ay kusang nangyayari; Kapag ang isang butil ng liwanag ay tumama sa isang translucent na salamin, ito ay sumasalamin dito o dumaan dito. Ang kinalabasan ay maaaring maging anuman hanggang sa sandaling nangyari ang kaganapang ito. At hindi mo na kailangang pumunta sa isang laboratoryo upang makita ang mga ganitong uri ng proseso: maraming mga site sa Internet ang nagpapakita ng mga stream ng mga random na numero na nabuo ng mga Geiger counter o quantum optics device. Ang pagiging hindi mahuhulaan kahit na sa prinsipyo, ang mga naturang numero ay mainam para sa mga problema sa cryptography, istatistika at online poker tournaments.

Einstein, gaya ng karaniwang alamat. tumanggi na tanggapin ang katotohanan na ang ilang mga kaganapan ay likas na hindi tiyak. - nangyayari lang ang mga ito, at walang magagawa para malaman kung bakit. Nananatiling halos nasa kahanga-hangang paghihiwalay, napapaligiran ng kanyang mga kapantay, kumapit siya ng dalawang kamay sa mekanikal na Uniberso ng klasikal na pisika, na mekanikal na sumusukat ng mga segundo, kung saan ang bawat sandali ay paunang tinutukoy kung ano ang mangyayari sa susunod. Ang linya ng larong dice ay naging indikasyon ng kabilang panig ng kanyang buhay: ang trahedya ng rebolusyonaryo na naging reaksyunaryo na nag-rebolusyon sa physics gamit ang kanyang teorya ng relativity, ngunit - gaya ng diplomatikong sinabi ni Niels Bohr - kapag nahaharap sa quantum theory, "napunta siya sa tanghalian."

Gayunpaman, sa paglipas ng mga taon, maraming mga mananalaysay, pilosopo at pisiko ang nagtanong sa interpretasyong ito ng kuwentong ito. Sa pamamagitan ng pagsisid sa dagat ng lahat ng aktwal na sinabi ni Einstein, natuklasan nila na ang kanyang mga paghuhusga tungkol sa unpredictability ay mas radikal at may mas malawak na hanay ng mga nuances kaysa sa karaniwang inilalarawan. "Ang pagsisikap na hukayin ang totoong kuwento ay nagiging isang bagay ng isang misyon," sabi ni Don A. Howard, isang istoryador sa Unibersidad ng Notre Dame "Nakakamangha kapag pumunta ka sa mga archive at nakakita ng mga pagkakaiba sa nakasanayang karunungan." Gaya ng ipinakita niya at ng iba pang mga mananalaysay ng agham, kinilala ni Einstein ang indeterministic na katangian ng quantum mechanics - na hindi nakakagulat, dahil siya ang nakatuklas ng indeterminism nito. Ang hindi niya nakilala ay ang indeterminism ay pangunahing sa kalikasan. Ang lahat ng ito ay nagpapahiwatig na ang problema ay lumitaw sa isang mas malalim na antas ng katotohanan, na hindi sinasalamin ng teorya. Ang kanyang pagpuna ay hindi mystical, ngunit nakatuon sa mga tiyak na problemang pang-agham na nananatiling hindi nalutas hanggang sa araw na ito.

Ang tanong kung ang uniberso ay isang clockwork machine o isang dice table ay sumisira sa mga pundasyon ng kung ano ang iniisip natin na physics: ang paghahanap ng mga simpleng panuntunan na sumasailalim sa kamangha-manghang pagkakaiba-iba ng kalikasan. Kung may nangyari nang walang anumang dahilan, tinatapos nito ang makatuwirang pagtatanong. "Ang pangunahing indeterminism ang magiging katapusan ng agham," sabi ni Andrew S. Friedman, isang cosmologist sa Massachusetts Institute of Technology. Ngunit ang mga pilosopo sa buong kasaysayan ay naniniwala na ang indeterminism ay isang kinakailangang kondisyon para sa malayang pagpapasya ng tao. Alinman sa lahat tayo ay cogs sa isang mekanismo ng mekanismo ng relos, at samakatuwid lahat ng ating ginagawa ay paunang natukoy, o tayo ang ahente ng ating sariling kapalaran, kung saan ang Uniberso ay hindi dapat maging deterministiko.

Ang dichotomy na ito ay nagkaroon ng tunay na mga kahihinatnan sa paraan ng pananagutan ng lipunan sa mga tao para sa kanilang mga aksyon. Ang aming legal na sistema ay batay sa pagpapalagay ng malayang pagpapasya; Para mapatunayang nagkasala ang akusado, dapat ay kumilos siya nang may layunin. Ang mga korte ay patuloy na naguguluhan sa tanong: paano kung ang isang tao ay inosente dahil sa pagkabaliw, pagiging impulsive ng kabataan o isang bulok na kapaligiran sa lipunan?

Gayunpaman, sa tuwing pinag-uusapan ng mga tao ang tungkol sa dichotomy, malamang na subukan nilang ilantad ito bilang isang maling kuru-kuro. Sa katunayan, maraming pilosopo ang naniniwala na walang kabuluhan na pag-usapan kung ang uniberso ay deterministiko o hindi deterministiko. Maaari itong pareho, depende sa kung gaano kalaki o kumplikado ang paksa ng pag-aaral: mga particle, atoms, molecule, cell, organisms, psyche, mga komunidad. "Ang pagkakaiba sa pagitan ng determinismo at indeterminism ay isang pagkakaiba depende sa antas ng pag-aaral ng problema," sabi ni Christian List, isang pilosopo sa London School of Economics and Political Science "Kahit na obserbahan mo ang determinismo sa isang partikular na antas, ito ay medyo pare-pareho sa indeterminism sa parehong mas mataas at mas mababang antas." Ang mga atomo sa ating utak ay maaaring kumilos sa isang ganap na deterministikong paraan, habang nagbibigay-daan sa atin ng kalayaan sa pagkilos, dahil ang mga atomo at organo ay gumagana sa iba't ibang antas.

Sa katulad na paraan, naghanap si Einstein ng isang deterministikong antas ng subquantum, habang sa parehong oras ay hindi itinatanggi na ang antas ng quantum ay probabilistiko.

Ano ang tinutulan ni Einstein?

Kung paano nakuha ni Einstein ang tatak ng kalaban ng quantum theory ay isang misteryo halos kasing laki ng quantum mechanics mismo. Ang mismong konsepto ng isang quantum - isang discrete unit ng enerhiya - ay ang bunga ng kanyang mga saloobin noong 1905, at sa loob ng isang dekada at kalahati ay halos nag-iisa siyang tumayo sa pagtatanggol nito. Iminungkahi ito ni Einstein. kung ano ang itinuturing ng mga physicist ngayon bilang mga pangunahing tampok ng quantum physics, tulad ng kakaibang kakayahan ng liwanag na kumilos bilang parehong particle at wave, at mula sa kanyang pag-iisip tungkol sa wave physics na binuo ni Erwin Schrödinger ang pinakatinatanggap na pormulasyon ng quantum teorya noong 1920s. Si Einstein ay hindi rin kalaban ng pagkakataon. Noong 1916, ipinakita niya na kapag ang mga atom ay naglalabas ng mga photon, ang oras at direksyon ng paglabas ay mga random na variable.

"Ito ay sumasalungat sa sikat na imahe ni Einstein bilang isang kalaban ng probabilistic na diskarte," argues Jan von Plato ng Unibersidad ng Helsinki. Ngunit si Einstein at ang kanyang mga kontemporaryo ay nahaharap sa isang malubhang problema. Ang quantum phenomena ay random, ngunit ang quantum theory mismo ay hindi. Ang Schrödinger equation ay 100% deterministic. Inilalarawan nito ang isang particle o sistema ng mga particle gamit ang tinatawag na wave function, na sinasamantala ang wave nature ng mga particle at ipinapaliwanag ang wave-like pattern na ginagawa ng isang koleksyon ng mga particle. Ang equation ay hinuhulaan kung ano ang mangyayari sa wave function sa anumang oras na may kumpletong katiyakan. Sa maraming paraan, ang equation na ito ay mas deterministiko kaysa sa mga batas ng paggalaw ni Newton: hindi ito humahantong sa mga kalituhan tulad ng singularity (kung saan ang mga dami ay nagiging walang hanggan at samakatuwid ay hindi mailalarawan) o kaguluhan (kung saan ang paggalaw ay nagiging unpredictable).

Ang catch ay na ang determinism ng Schrödinger equation ay ang determinism ng wave function, at ang wave function ay hindi maaaring obserbahan nang direkta, hindi katulad ng mga posisyon at bilis ng mga particle. Sa halip, tinutukoy ng wave function ang mga dami na maaaring obserbahan at ang posibilidad ng bawat isa sa mga posibleng resulta. Binuksan ng teorya ang mga tanong kung ano ang mismong pag-andar ng alon at kung dapat itong ituring na literal bilang isang tunay na alon sa ating materyal na mundo. Alinsunod dito, ang sumusunod na tanong ay nananatiling bukas: ang naobserbahang randomness ba ay isang mahalagang panloob na pag-aari ng kalikasan o ang harapan lamang nito? "Inaaangkin na ang quantum mechanics ay hindi deterministiko, ngunit ito ay masyadong madaliang konklusyon," sabi ng pilosopo na si Christian Wuthrich ng Unibersidad ng Geneva sa Switzerland.

Naisip ni Werner Heisenberg, isa sa mga pioneer ng quantum theory, ang wave function bilang isang haze na nagpapahiwatig ng potensyal na pag-iral. Kung hindi mo masabi nang malinaw at malinaw kung nasaan ang isang particle, ito ay dahil ang particle ay hindi talaga matatagpuan kahit saan sa partikular. Tanging kapag naobserbahan mo ang isang butil, ito ay magiging materyal sa isang lugar sa kalawakan. Ang pag-andar ng alon ay maaaring kumalat sa isang malaking rehiyon ng espasyo, ngunit sa sandaling ginawa ang pagmamasid, ito ay agad na bumagsak, lumiliit sa isang makitid na punto na matatagpuan sa isang partikular na lugar, at biglang lumitaw ang isang particle doon. Ngunit kahit na tingnan mo ang tinga, putok! - bigla itong huminto sa pag-uugali na deterministiko at tumalon sa huling estado, tulad ng isang bata na kumukuha ng isang upuan sa isang laro ng mga musikal na upuan. (Ang laro ay ang mga bata ay sumasayaw nang pabilog sa musika sa paligid ng mga upuan, ang bilang nito ay mas mababa ng isa kaysa sa bilang ng mga manlalaro, at subukang umupo sa isang libreng upuan sa sandaling huminto ang musika).

Walang batas na namamahala sa pagbagsak na ito. Walang equation para dito. Nangyayari lang - iyon lang! Ang pagbagsak ay naging isang mahalagang elemento ng interpretasyon ng Copenhagen: isang pananaw sa quantum mechanics na ipinangalan sa lungsod kung saan si Bohr at ang kanyang instituto, kasama ang Heisenberg, ay gumawa ng maraming gawain. (Kabalintunaan, si Bohr mismo ay hindi nakilala ang pagbagsak ng pag-andar ng alon). Itinuturing ng Copenhagen School ang naobserbahang randomness ng quantum physics bilang nominal na katangian nito, hindi pumapayag sa karagdagang paliwanag. Karamihan sa mga physicist ay sumasang-ayon dito, ang isa sa mga dahilan para dito ay ang tinatawag na anchor effect, na kilala mula sa sikolohiya, o ang anchoring effect: ito ay isang ganap na kasiya-siyang paliwanag, at ito ay unang lumitaw. Kahit na si Einstein ay hindi isang kalaban ng quantum mechanics, siya ay tiyak na isang kalaban ng Copenhagen interpretasyon nito. Nagsimula siya sa ideya na ang pagkilos ng pagsukat ay nagdulot ng pahinga sa patuloy na ebolusyon ng pisikal na sistema, at sa kontekstong ito nagsimula siyang magpahayag ng kanyang pagsalungat sa banal na paghagis ng dice. "Ito mismo ang ikinalungkot ni Einstein noong 1926, hindi ang pangkalahatang metapisiko na pag-angkin ng determinismo bilang isang ganap na kinakailangang kondisyon," sabi ni Howard "Siya ay partikular na aktibo sa mainit na debate tungkol sa kung ang pagbagsak ng function ng alon ay humahantong sa isang pagkasira ng pagpapatuloy. .” ".

Pluralidad ng realidad.At gayon pa man, ang mundo ba ay deterministiko o hindi? Ang sagot sa tanong na ito ay nakasalalay hindi lamang sa mga pangunahing batas ng paggalaw, kundi pati na rin sa antas kung saan inilalarawan natin ang sistema. Isaalang-alang ang limang mga atomo sa isang gas na gumagalaw nang deterministiko (itaas na diagram). Sinimulan nila ang kanilang paglalakbay mula sa halos parehong lokasyon at unti-unting naghihiwalay. Gayunpaman, sa antas ng macroscopic (mas mababang diagram), hindi mga indibidwal na atomo ang nakikita, ngunit isang amorphous na daloy sa gas. Pagkaraan ng ilang oras, malamang na random na maipamahagi ang gas sa ilang mga stream. Ang randomness na ito sa macro level ay isang by-product ng kamangmangan ng nagmamasid sa mga batas sa micro level ito ay isang layunin na katangian ng kalikasan na sumasalamin sa paraan ng pagsasama-sama ng mga atom. Katulad nito, iminungkahi ni Einstein na ang deterministikong panloob na istraktura ng uniberso ay humahantong sa probabilistikong kalikasan ng quantum realm.

Ang pagbagsak ay hindi maaaring maging isang tunay na proseso, sabi ni Einstein. Mangangailangan ito ng madalian na pagkilos sa malayo - isang misteryosong mekanismo kung saan, halimbawa, ang kaliwa at kanang bahagi ng function ng wave ay bumagsak sa parehong maliit na punto, kahit na walang puwersa na nagkoordina sa kanilang pag-uugali. Hindi lamang si Einstein, ngunit ang bawat physicist sa kanyang panahon ay naniniwala na ang gayong proseso ay imposibleng mangyari nang mas mabilis kaysa sa bilis ng liwanag, na malinaw na salungat sa teorya ng relativity. Sa katunayan, ang quantum mechanics ay hindi lamang nagbibigay sa iyo ng mga dice - nagbibigay ito sa iyo ng mga pares ng dice na palaging lumalabas sa parehong panig, kahit na gumulong ka ng isa sa Vegas at ang isa sa Vega. Tila halata kay Einstein na ang mga dice ay dapat na mga manloloko, na nagpapahintulot sa kanila na lihim na maimpluwensyahan ang kinalabasan ng mga throws nang maaga. Ngunit tinatanggihan ng paaralan ng Copenhagen ang anumang gayong posibilidad, sa gayon ay nagmumungkahi na ang mga domino ay talagang agad na nakakaimpluwensya sa isa't isa sa malawak na kalawakan ng espasyo. Bukod dito, nag-aalala si Einstein tungkol sa kapangyarihan na iniugnay ng mga Copenhagenians sa pagkilos ng pagsukat. Ano pa rin ang pagsukat? Ito ba ay isang bagay na tanging matatalinong nilalang, o kahit na mga propesor lamang, ang maaaring magsagawa? Hindi kailanman tinukoy ni Heisenberg at iba pang mga kinatawan ng paaralan ng Copenhagen ang konseptong ito. Ang ilan ay nagmungkahi na lumikha tayo ng katotohanan sa ating isipan sa pamamagitan ng pagmamasid dito, isang ideya na parang patula, marahil ay masyadong patula. Itinuring din ni Einstein na ang taas ng kabastusan ng mga Copenhagenians na ideklara na ang quantum mechanics ay ganap na nakumpleto, na ito ang huling teorya na hindi kailanman mapapalitan ng iba. Itinuring niya ang lahat ng mga teorya, kabilang ang kanyang sarili, bilang mga tulay sa isang bagay na mas malaki pa.

Sa totoo lang. Naniniwala si Howard na magiging masaya si Einstein na tanggapin ang indeterminism kung nasa kanya ang lahat ng mga sagot sa kanyang mga problema na nangangailangan ng paglutas-kung, halimbawa, malinaw na nasasabi ng isang tao kung ano ang isang dimensyon at kung paano maaaring manatiling naka-synchronize ang mga particle nang walang pangmatagalang pagkilos. Isang palatandaan na itinuring ni Einstein ang indeterminism bilang pangalawang problema ay ang ginawa niya ang parehong mga hinihingi sa mga deterministikong alternatibo sa paaralan ng Copenhagen at tinanggihan din ang mga ito. Ang isa pang mananalaysay ay si Arthur Fine ng Unibersidad ng Washington. naniniwala. Na pinalaki ni Howard ang pagkamaramdamin ni Einstein sa indeterminism, ngunit sumasang-ayon na ang kanyang paghatol ay nakasalalay sa isang mas matatag na pundasyon kaysa sa ilang henerasyon ng mga physicist na pinaniwalaan, batay sa mga snippet ng kanyang mga pahayag tungkol sa laro ng dice.

Random na pag-iisip

Kung maglalaro ka ng tug of war sa gilid ng Copenhagen School, naniniwala si Einstein, makikita mo na ang quantum disorder ay katulad ng lahat ng iba pang uri ng disorder sa physics: ito ay produkto ng mas malalim na pananaw. Ang sayaw ng maliliit na butil ng alikabok sa isang sinag ng liwanag ay nagpapakita ng kumplikadong paggalaw ng mga molekula, at ang paglabas ng mga photon o ang radioactive decay ng nuclei ay isang katulad na proseso, naniniwala si Einstein. Sa kanyang pananaw, ang quantum mechanics ay isang evaluative theory na nagpapahayag ng pangkalahatang pag-uugali ng mga bloke ng gusali ng kalikasan, ngunit walang sapat na resolusyon upang makuha ang mga indibidwal na detalye.

Ang isang mas malalim, mas kumpletong teorya ay magpapaliwanag ng ganap na paggalaw - nang walang anumang mahiwagang pagtalon. Mula sa puntong ito, ang wave function ay isang kolektibong paglalarawan, tulad ng pahayag na ang isang patas na die, kung ihahagis nang paulit-ulit, ay mapupunta sa humigit-kumulang sa parehong bilang ng beses sa bawat panig nito. Ang pagbagsak ng function ng wave ay hindi isang pisikal na proseso, ngunit isang pagkuha ng kaalaman. Kung magpapagulong ka ng anim na panig na die at ito ay magkakaroon, sabihin nating, apat, ang hanay ng mga opsyon mula isa hanggang anim ay lumiliit, o maaaring sabihin ng isa na bumabagsak, sa aktwal na halaga ng "apat." Ang isang mala-diyos na demonyo na maaaring sumubaybay sa mga detalye ng atomic na istraktura na nakakaimpluwensya sa kinalabasan ng isang mamatay (ibig sabihin, sukatin nang eksakto kung paano itinutulak at pinipihit ng iyong kamay ang isang die bago ito tumama sa mesa) ay hindi kailanman magsasalita tungkol sa pagbagsak.

Ang intuwisyon ni Einstein ay pinalakas ng kanyang maagang trabaho sa kolektibong epekto ng molecular motion, na pinag-aralan ng isang sangay ng physics na tinatawag na statistical mechanics, kung saan ipinakita niya na ang physics ay maaaring probabilistic kahit na ang pinagbabatayan na phenomenon ay isang deterministikong realidad. Noong 1935, sumulat si Einstein sa pilosopo na si Karl Popper: "Sa palagay ko ay hindi ka tama sa iyong pahayag na imposibleng gumawa ng mga istatistikal na konklusyon batay sa isang deterministikong teorya galaw).” Ang mga probabilidad sa pagkaunawa ni Einstein ay kasing totoo ng mga nasa interpretasyon ng Copenhagen School. Nagpapakita ng kanilang sarili sa mga pangunahing batas ng paggalaw, sinasalamin din nila ang iba pang mga katangian ng nakapaligid na mundo; Iminungkahi ni Einstein na isaalang-alang ni Popper, bilang isang halimbawa, ang isang particle na gumagalaw sa isang bilog sa isang pare-pareho ang bilis; ang posibilidad na makahanap ng isang particle sa isang partikular na seksyon ng isang pabilog na arko ay sumasalamin sa simetrya ng tilapon nito. Katulad nito, ang posibilidad ng isang die na lumapag sa isang partikular na mukha ay isa sa anim, dahil mayroon itong anim na pantay na mukha. "Mas naunawaan niya kaysa sa karamihan noong panahong ang mahalagang physics ay nakapaloob sa mga detalye ng statistical-mechanical na probabilidad," sabi ni Howard.

Ang isa pang aral mula sa statistical mechanics ay ang mga dami na ating naobserbahan ay hindi kinakailangang umiral sa mas malalim na antas. Halimbawa, ang isang gas ay may temperatura, ngunit walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa temperatura ng isang molekula ng gas. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, si Einstein ay naging kumbinsido na ang isang subquantum theory ay kinakailangan upang markahan ang isang radikal na break mula sa quantum mechanics. Noong 1936 ay sumulat siya: “Walang duda na nakuha ng quantum mechanics ang isang magandang elemento ng katotohanan.<...>Gayunpaman, hindi ako naniniwala na ang quantum mechanics ang magiging panimulang punto sa paghahanap para sa batayan na ito, tulad ng, sa kabaligtaran, ang isang tao ay hindi maaaring lumipat mula sa thermodynamics (at samakatuwid ay statistical mechanics) patungo sa mga pundasyon ng mekanika." Upang punan ang mas malalim na antas na ito, Naghanap si Einstein sa isang pinag-isang larangan ng teorya, kung saan ang mga particle ay mga derivatives ng mga istruktura na hindi talaga katulad ng mga particle Sa madaling sabi, ang popular na paniniwala na si Einstein ay tumanggi na kilalanin ang probabilistikong katangian ng quantum physics , at huwag iharap ang kaso na parang wala talaga.

Gawing pinakamahusay ang iyong antas

Bagama't nabigo ang proyekto ni Einstein na lumikha ng pinag-isang teorya, ang mga pangunahing prinsipyo ng kanyang intuitive na diskarte sa randomness ay nananatili pa rin: ang indeterminism ay maaaring magmula sa determinismo. Ang mga antas ng quantum at subquantum - o anumang iba pang mga pares ng mga antas sa hierarchy ng kalikasan - ay binubuo ng iba't ibang uri ng mga istruktura, kaya napapailalim ang mga ito sa iba't ibang uri ng mga batas. Ang batas na namamahala sa isang antas ay maaaring natural na nagpapahintulot sa isang elemento ng randomness, kahit na ang mga batas ng mas mababang antas ay ganap na kinokontrol. "Ang deterministikong microphysics ay hindi nagbubunga ng deterministikong macrophysics," sabi ng pilosopo na si Jeremy Butterfield ng University of Cambridge.

Isipin ang isang dice sa atomic level. Ang kubo ay maaaring binubuo ng isang hindi maisip na malaking bilang ng mga pagsasaayos ng atom na ganap na hindi nakikilala sa bawat isa sa mata. Kung susubaybayan mo ang alinman sa mga configuration na ito habang iniikot ang cube, hahantong ito sa isang partikular na resulta - sa isang mahigpit na deterministikong paraan. Sa ilang mga pagsasaayos, ang die ay magkakaroon ng isang tuldok sa tuktok na mukha nito, sa iba naman ay magkakaroon ito ng dalawa. atbp. Samakatuwid, ang isang macroscopic na estado (kung ang cube ay ginawang paikutin) ay maaaring humantong sa ilang posibleng macroscopic na resulta (isa sa anim na mukha ay nasa itaas). "Kung ilalarawan namin ang die sa antas ng macro, maaari naming tingnan ito bilang isang stochastic system na nagbibigay-daan para sa layunin na randomness," sabi ni List, na nag-aaral ng level conjugation kasama si Marcus Pivato, isang mathematician sa University of Cergy-Pontoise sa France.

Kahit na ang mas mataas na antas ay nagtatayo sa mas mababang isa, ito ay nagsasarili. Upang ilarawan ang mga dice kailangan mong magtrabaho sa antas kung saan umiiral ang mga dice bilang ganoon, at kapag ginawa mo iyon hindi mo maiiwasang mapabayaan ang mga atomo at ang kanilang dinamika. Kung tatawid ka sa isang antas sa isa pa, nagsasagawa ka ng pagpapalit ng kategorya: ito ay tulad ng pagtatanong sa political affiliation ng isang salmon sandwich (gamitin ang halimbawa ng pilosopo na si David Albert ng Columbia University). "Kapag mayroon tayong hindi pangkaraniwang bagay na maaaring ilarawan sa iba't ibang antas, kailangan nating maging maingat sa konsepto na hindi paghaluin ang mga antas," sabi ng List. Para sa kadahilanang ito, ang resulta ng paghagis ng isang die ay hindi basta basta lalabas. Ito ay tunay na random. Maaaring ipagmalaki ng mala-diyos na demonyo na alam niya ang eksaktong mangyayari, ngunit alam niya lamang kung ano ang mangyayari sa mga atomo. Hindi niya alam kung ano ang isang mamatay dahil ito ay mas mataas na antas ng impormasyon. Ang demonyo ay hindi kailanman nakikita ang kagubatan, tanging ang mga puno. Siya ay tulad ng pangunahing karakter ng kuwento ng Argentine na manunulat na si Jorge Luis Borges na "Funes the Memory" - isang taong naaalala ang lahat, ngunit hindi nakakaunawa ng anuman. "Ang pag-iisip ay ang kalimutan ang pagkakaiba, ang pag-generalize, ang abstract," ang isinulat ni Borges. Upang malaman ng demonyo kung saang bahagi mahuhulog ang mamatay, kailangang ipaliwanag kung ano ang hahanapin. "Maiintindihan lang ng demonyo kung ano ang nangyayari sa pinakamataas na antas kung bibigyan siya ng detalyadong paglalarawan kung paano namin tinukoy ang hangganan sa pagitan ng mga antas," sabi ng List. Totoo, pagkatapos nito, malamang na magseselos ang demonyo na tayo ay mga mortal.

Ang lohika ng mga antas ay gumagana din nang eksakto sa kabaligtaran na direksyon. Ang non-deterministic na microphysics ay maaaring humantong sa deterministic macrophysics. Ang isang baseball ay maaaring gawin mula sa mga particle na nagpapakita ng magulong pag-uugali, ngunit ang paglipad nito ay ganap na mahuhulaan; quantum chaos, average out. nawawala. Gayundin, ang mga gas ay binubuo ng mga molekula na sumasailalim sa sobrang masalimuot—at talagang hindi tiyak na mga paggalaw, ngunit ang kanilang temperatura at iba pang mga katangian ay sumusunod sa mga batas na kasing simple ng dalawang beses na dalawa. Higit pang mga speculatively, ang ilang mga physicist, tulad ng Robert Laughlin ng Stanford University, ay nagmumungkahi na ang mas mababang antas ay talagang walang pagkakaiba. Ang mga bloke ng gusali ay maaaring maging anuman, at ang kanilang kolektibong pag-uugali ay magiging pareho pa rin. Pagkatapos ng lahat, ang mga sistemang kasing-iba ng mga molekula ng tubig, mga bituin sa isang kalawakan, at mga sasakyan sa isang freeway ay sumusunod sa parehong mga batas ng daloy ng likido.

Sa wakas libre na

Kapag nag-iisip ka sa mga tuntunin ng mga antas, ang pag-aalala na ang indeterminism ay malamang na nagmamarka ng pagtatapos ng agham. Walang mataas na pader sa paligid natin na nagpoprotekta sa ating masunurin sa batas na fragment ng Uniberso mula sa anarchic at hindi maintindihan na iba pa nito. Sa katunayan, ang mundo ay isang layer cake ng determinismo at indeterminism. Ang klima ng Earth, halimbawa, ay pinamamahalaan ng mga deterministikong batas ng paggalaw ni Newton, ngunit ang pagtataya ng panahon ay probabilistiko, at sa parehong oras, ang mga seasonal at pangmatagalang mga uso sa klima ay muling mahuhulaan. Ang biology ay sumusunod din mula sa deterministikong pisika, ngunit ang mga organismo at ecosystem ay nangangailangan ng iba pang mga pamamaraan ng paglalarawan, tulad ng Darwinian evolution. "Hindi lubos na ipinapaliwanag ng Determinismo ang lahat," ang sabi ng pilosopo ng Tufts University na si Daniel Dennett "Bakit lumitaw ang mga giraffe?

Ang mga tao ay interspersed sa loob ng layer cake na ito. Mayroon tayong malakas na pakiramdam ng malayang pagpapasya. Madalas tayong gumagawa ng hindi mahuhulaan at karamihan ay mahahalagang desisyon; Sa loob ng libu-libong taon, ang mga tinatawag na libertarian, mga tagasuporta ng pilosopikal na doktrina ng malayang pagpapasya (hindi dapat ipagkamali sa kilusang pampulitika!), ay nagtalo na ang kalayaan ng tao ay nangangailangan ng kalayaan ng isang butil. Dapat sirain ng isang bagay ang tiyak na kurso ng mga kaganapan, tulad ng quantum randomness o ang "mga paglihis" na pinaniniwalaan ng ilang sinaunang pilosopo na maaaring maranasan ng mga atomo sa kanilang paggalaw (ang konsepto ng isang random, hindi mahuhulaan na paglihis ng isang atom mula sa orihinal na trajectory ay ipinakilala sa sinaunang pilosopiya ni Lucretius upang ipagtanggol ang atomistikong doktrina ng Epicurus) .

Ang pangunahing problema sa linyang ito ng pangangatwiran ay ang pagpapalaya nito sa mga particle ngunit iniiwan tayo bilang mga alipin. Hindi mahalaga kung ang iyong desisyon ay paunang natukoy sa panahon ng Big Bang o sa pamamagitan ng isang maliit na butil, hindi mo pa rin ito desisyon. Upang maging malaya, kailangan namin ng indeterminism hindi sa antas ng butil, ngunit sa antas ng tao. At ito ay posible dahil ang antas ng tao at ang antas ng butil ay independyente sa isa't isa. Kahit na ang lahat ng iyong ginagawa ay maaaring masubaybayan pabalik sa pinakaunang mga hakbang, ikaw ang master ng iyong mga aksyon, dahil ikaw o ang iyong mga aksyon ay hindi umiiral sa antas ng bagay, ngunit lamang sa makrong antas ng kamalayan. "Ang macro-indeterminism na ito, batay sa micro-determinism, marahil ay ginagarantiyahan ang libreng kalooban," naniniwala si Butterfield. Ang macroindeterminism ay hindi ang dahilan ng iyong mga desisyon. Ito ang iyong desisyon.

Ang ilang mga tao ay malamang na tututol at sasabihin sa iyo na ikaw ay isang papet pa rin, at ang mga batas ng kalikasan ay kumikilos bilang puppeteer, at ang iyong kalayaan ay walang iba kundi isang ilusyon. Ngunit ang mismong salitang "ilusyon" ay nagdudulot sa isip ng mga mirage sa disyerto at ang mga kababaihan ay lagari sa kalahati: ang lahat ng ito ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang macroindeterminism ay hindi ganoon. Ito ay tunay na totoo, hindi lamang pangunahing. Maihahalintulad ito sa buhay. Ang mga indibidwal na atomo ay ganap na walang buhay na bagay, ngunit ang kanilang malaking masa ay maaaring mabuhay at huminga. "Lahat ng bagay na may kinalaman sa mga ahente, kanilang mga estado ng intensyon, kanilang mga desisyon at mga pagpipilian - wala sa mga entidad na ito ang may kinalaman sa mga konseptong kasangkapan ng pangunahing pisika, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang mga kababalaghang ito ay hindi totoo," ang tala ng List . nangangahulugan lamang na ang lahat ng ito ay mga phenomena ng mas mataas na antas."

Ito ay isang pagkakamali sa kategorya, kung hindi man ganap na kamangmangan, upang ilarawan ang mga desisyon ng tao bilang mga mekanika ng paggalaw ng mga atomo sa iyong ulo. Sa halip, kinakailangang gamitin ang lahat ng mga konsepto ng sikolohiya: pagnanais, pagkakataon, mga intensyon. Bakit tubig ang ininom ko at hindi alak? Dahil ginusto ko iyon. Ipinapaliwanag ng aking mga hangarin ang aking mga aksyon. Kadalasan, kapag tinatanong natin ang tanong na "Bakit?", hinahanap natin ang motibasyon ng indibidwal, hindi ang kanyang pisikal na background. Nagbibigay-daan ang mga sikolohikal na paliwanag para sa uri ng indeterminism na binabanggit ni List. Halimbawa, ang mga teorista ng laro ay nagmomodelo ng paggawa ng desisyon ng tao sa pamamagitan ng paglalatag ng hanay ng mga opsyon at pagpapaliwanag kung alin ang pipiliin mo kung kumilos ka nang makatwiran. Ang iyong kalayaang pumili ng isang partikular na opsyon ang nagtutulak sa iyong mga pagpipilian, kahit na hindi ka kailanman mag-settle sa opsyong iyon.

Siyempre, ang mga argumento ng List ay hindi ganap na nagpapaliwanag ng malayang pagpapasya. Ang hierarchy ng mga antas ay nagbubukas ng espasyo para sa libreng kalooban, na naghihiwalay sa sikolohiya mula sa pisika at nagbibigay sa amin ng pagkakataong gumawa ng mga hindi inaasahang bagay. Ngunit dapat nating samantalahin ang pagkakataong ito. Kung, halimbawa, ginawa namin ang lahat ng aming mga desisyon sa pamamagitan ng paghagis ng barya, ito ay maituturing pa rin na macroindeterminism, ngunit hindi ito magiging kwalipikado bilang malayang kalooban sa anumang makabuluhang kahulugan. Sa kabilang banda, ang paggawa ng desisyon ng ilang tao ay maaaring nakakapagod na hindi masasabing malaya silang kumilos.

Ang diskarte na ito sa problema ng determinismo ay nagbibigay ng kahulugan sa interpretasyon ng quantum theory, na iminungkahi ilang taon pagkatapos ng kamatayan ni Einstein noong 1955. Tinawag itong many-worlds interpretation, o ang Everett interpretation. Ang mga tagapagtaguyod nito ay nangangatwiran na ang quantum mechanics ay naglalarawan ng isang koleksyon ng mga parallel na uniberso—isang multiverse—na sa pangkalahatan ay kumikilos nang deterministiko, ngunit lumilitaw na walang katiyakan sa atin dahil ang nakikita lang natin ay isang uniberso. Halimbawa, ang isang atom ay maaaring maglabas ng photon sa kanan o sa kaliwa; Hinahayaan ng quantum theory na bukas ang kinalabasan ng kaganapang ito. Ayon sa interpretasyon ng maraming mundo, ang gayong larawan ay sinusunod dahil ang eksaktong parehong sitwasyon ay lumitaw sa hindi mabilang na magkatulad na mga uniberso: sa ilan sa kanila ang photon ay lumilipad nang deterministiko sa kaliwa, at sa iba pa - sa kanan. Nang hindi masasabi nang eksakto kung saang uniberso tayo naroroon, hindi natin mahuhulaan kung ano ang mangyayari, kaya ang sitwasyong ito ay tila hindi maipaliwanag mula sa loob. "Walang tunay na randomness sa kalawakan, ngunit ang mga kaganapan ay maaaring lumitaw nang random sa mga mata ng nagmamasid," paliwanag ng kosmologist na si Max Tegmark ng Massachusetts Institute of Technology, isang kilalang tagapagtaguyod ng pananaw na ito "Ang random na sumasalamin sa iyong kawalan ng kakayahan upang matukoy kung saan ikaw ay."

Ito ay tulad ng pagsasabi na ang isang dice o isang utak ay maaaring mabuo mula sa alinman sa isang walang katapusang bilang ng mga atomic configuration. Ang pagsasaayos na ito mismo ay maaaring deterministiko, ngunit dahil hindi natin malalaman kung alin ang tumutugma sa ating dice o sa ating utak, napipilitan tayong ipagpalagay na ang kinalabasan ay hindi tiyak. Kaya, ang mga parallel na uniberso ay hindi isang kakaibang ideya na lumulutang sa isang may sakit na imahinasyon. Ang ating katawan at utak ay maliliit na multiverses; ito ay ang pagkakaiba-iba ng mga posibilidad na nagbibigay sa atin ng kalayaan.

Paraan ng komposisyon ng musika na may maluwag na audio text; bilang isang malayang paraan ng pagbubuo ng musika ay nabuo noong ika-20 siglo. A. ay nangangahulugan ng kumpleto o bahagyang pagtanggi ng kompositor sa mahigpit na kontrol sa musikal na teksto, o kahit na ang pag-aalis ng mismong kategorya ng kompositor-may-akda sa tradisyonal na kahulugan. Ang inobasyon ni A. ay nakasalalay sa ugnayan ng mga matatag na naitatag na mga bahagi ng isang musikal na teksto na may sadyang ipinakilala na randomness, arbitrary na mobility ng musical matter. Ang konsepto ng A. ay maaaring tumukoy sa parehong pangkalahatang pagsasaayos ng mga bahagi ng isang sanaysay (form) at ang istraktura ng tela nito. Ayon kay E. Denisov, ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng katatagan at kadaliang kumilos ng tela at anyo ay nagbibigay ng 4 na pangunahing uri ng kumbinasyon, tatlo sa mga ito - ika-2, ika-3 at ika-4 - ay aleatoric: 1. Matatag na tela - matatag na anyo (karaniwang tradisyonal na komposisyon, opus perfectum et absolutum; tulad ng, halimbawa, ang ika-6 na symphony ni Tchaikovsky); 2. Matatag na tela - mobile na hugis; ayon kay V. Lutoslavsky, “A. mga anyo" (P. Boulez, 3rd sonata para sa piano, 1957); 3. Mobile na tela - matatag na hugis; o, ayon kay Lutoslawski, “A. mga texture" (Lyutoslawski, String Quartet, 1964, Main Movement); 4. Mobile na tela - mobile form; o "A. Kulungan"(sa panahon ng kolektibong improvisasyon ng ilang mga performer). Ito ang mga nodal point ng A. method, kung saan maraming iba't ibang partikular na uri at kaso ng mga istruktura, iba't ibang antas ng paglulubog sa A.; Bilang karagdagan, ang mga metabols ("modulations") ay natural din - isang paglipat mula sa isang uri o uri patungo sa isa pa, pati na rin sa o mula sa isang matatag na teksto.

A. ay naging laganap mula noong 1950s, na lumilitaw (kasama ang sonorica), sa partikular, isang reaksyon sa matinding pagkaalipin ng istruktura ng musika sa multi-parameter serialism (tingnan ang: Dodecapony). Samantala, ang prinsipyo ng kalayaan ng istraktura sa isang paraan o iba pa ay may mga sinaunang ugat. Sa esensya, ang katutubong musika ay isang sound stream, at hindi isang kakaibang structured opus. Kaya naman ang kawalang-tatag, "non-opus" na katangian ng katutubong musika, pagkakaiba-iba, pagkakaiba-iba at improvisasyon dito. Katangian ng tradisyunal na musika ng India, ang mga mamamayan ng Malayong Silangan, at Africa ang pagiging hindi matukoy at improvisasyon ng anyo. Samakatuwid, ang mga kinatawan ng A. aktibo at sinasadyang umaasa sa mga mahahalagang prinsipyo ng musikang oriental at katutubong. Elemento ng A. umiral din sa European classical music. Halimbawa, sa mga klasikong Viennese, na inalis ang prinsipyo ng pangkalahatang bass at ginawang ganap na matatag ang musikal na teksto (symphony at quartets ni I. Haydn), ang isang matalim na kaibahan ay ang "cadence" sa anyo ng isang instrumental concerto - a virtuoso solo, ang bahagi nito ay hindi binubuo ng kompositor, ngunit ipinaubaya sa pagpapasya ng tagapalabas (elemento A. anyo). May mga kilalang nakakatawang "aleatoric" na paraan ng pagbubuo ng mga simpleng piraso (minuet) sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga piraso ng musika sa paglalaro ng dice (Würfelspiel) noong panahon nina Haydn at Mozart (treatise ni I.F. Kirnberger "Sa anumang oras isang handa na kompositor ng polonaises at minuto.” Berlin, 1757).

Noong ika-20 siglo ang prinsipyo ng "indibidwal na proyekto" sa anyo ay nagsimulang magmungkahi ng pagtanggap ng mga tekstong bersyon ng akda (i.e. A.). Noong 1907 Ang Amerikanong kompositor na si Charles Ives ang bumuo ng piano quintet na “Hallwe"en (= “All Hallows’ Eve”), ang teksto kung saan, kapag ginanap sa isang konsiyerto, ay kailangang tumugtog nang magkaiba ng apat na beses na magkakasunod. D. Kulungan binubuo noong 1951 "Music of Changes" para sa piano, ang teksto na kanyang kinatha sa pamamagitan ng "pagmamanipula ng mga aksidente" (mga salita ng kompositor), gamit ang Chinese na "Book of Changes" para dito. Klasiko

Ang klasikal na halimbawa ni A. ay ang "Piano Piece XI" ni K. Stockhausen, 1957. Sa isang sheet ng papel approx. 0.5 sq.m 19 na mga fragment ng musika ay matatagpuan sa random na pagkakasunud-sunod. Ang pianist ay nagsisimula sa alinman sa mga ito at tinutugtog ang mga ito sa anumang pagkakasunud-sunod, kasunod ng isang pagkakataong sulyap; sa dulo ng nakaraang talata ay nakasulat kung anong tempo at kung anong volume ang tutugtugin sa susunod. Kapag naisip ng pianista na na-play na niya ang lahat ng mga fragment sa ganitong paraan, dapat itong i-play muli sa pangalawang pagkakataon sa parehong random na pagkakasunud-sunod, ngunit may mas maliwanag na sonority. Pagkatapos ng ikalawang round ay natapos na ang play. Para sa higit na epekto, inirerekumenda na ulitin ang aleatoric na gawain sa isang konsiyerto - ang tagapakinig ay bibigyan ng isa pang komposisyon mula sa parehong materyal. Ang Paraan A. ay malawakang ginagamit ng mga makabagong kompositor (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke at iba pa.).

Ang paunang kinakailangan para sa A. noong ika-20 siglo. lumitaw ang mga bagong batas pagkakaisa at ang mga nagresultang tendensiyang maghanap ng mga bagong anyo na naaayon sa bagong estado ng musikal na materyal at katangian ng avant-garde. Ang aleatoric texture ay ganap na hindi maiisip bago ang emancipation disonance, pag-unlad ng atonal na musika (tingnan ang: Dodecapony). Ang isang tagasuporta ng "limitado at kontrolado" na si A. Lutoslavsky ay nakikita ang walang alinlangan na halaga dito: "A. nagbukas ng bago at hindi inaasahang pananaw para sa akin. Una sa lahat, mayroong isang malaking kayamanan ng ritmo, hindi matamo sa tulong ng iba pang mga diskarte. Si Denisov, na nagbibigay-katwiran sa "pagpapasok ng mga random na elemento sa musika," ay nag-aangkin na ito ay "nagbibigay sa amin ng higit na kalayaan sa pagpapatakbo sa musikal na bagay at nagpapahintulot sa amin na makakuha ng mga bagong sound effect<...>, ngunit ang mga ideya sa kadaliang kumilos ay makakapagbigay lamang ng magagandang resulta kung<... >, kung ang mapangwasak na mga hilig na nakatago sa mobility ay hindi sumisira sa constructiveness na kailangan para sa pagkakaroon ng anumang anyo ng sining.

Ang ilang iba pang mga paraan at anyo ng musika ay magkakapatong sa A. Una sa lahat ito: 1. improvisasyon - pagganap ng isang gawa na binubuo sa panahon ng laro; 2. graphic na musika, na ginagawa ng tagapalabas ayon sa mga biswal na larawan ng guhit na inilagay sa kanyang harapan (halimbawa, I. Brown, Folio", 1952), na isinasalin ang mga ito sa mga tunog na imahe, o ayon sa musical aleatoric graphics na nilikha ng kompositor mula sa mga piraso ng musikal na teksto sa isang sheet ng papel (S. Bussotti, "Passion for the Garden", 1966); 3. nangyayari- improvised (sa ganitong kahulugan aleatoric) aksyon (Promosyon) kasama ang pakikilahok ng musika na may isang di-makatwirang (quasi-) na balangkas (halimbawa, ang nangyari sa A. Volkonsky "Replica" ng ensemble na "Madrigal" noong 1970/71 season); 4. bukas na mga anyo ng musika - iyon ay, yaong ang teksto ay hindi matatag na naayos, ngunit palaging nakuha sa proseso ng pagganap. Ang mga ito ay mga uri ng komposisyon na hindi pangunahing sarado at nagbibigay-daan para sa walang katapusang pagpapatuloy (halimbawa, sa bawat bagong pagganap), Ingles. Kasalukuyang ginagawa. Para kay P. Boulez, isa sa mga insentibo na naging bukas sa kanya ay ang gawa ni J. Joyce(“Ulysses”) at S. Mallarmé (“Le Livre”). Ang isang halimbawa ng isang bukas na komposisyon ay ang "Available Forms II" ni Earl Brown para sa 98 instrumento at dalawang konduktor (1962). Itinuro mismo ni Brown ang koneksyon ng kanyang bukas na anyo sa "mga mobile" sa visual arts (tingnan ang: Kinetic art), sa partikular ni A. Calder (“Calder Piece” para sa 4 na drummer at Calder mobile, 1965). Sa wakas, ang pagkilos na "Gesamtkunst" ay nababalot ng mga alituntuning aleatoriko (tingnan ang: Gesamtkunstwerk). 5. Multimedia, ang pagtitiyak nito ay ang pag-synchronize mga pag-install ilang mga sining (halimbawa: konsiyerto + eksibisyon ng pagpipinta at eskultura + gabi ng tula sa anumang kumbinasyon ng sining, atbp.). Kaya, ang kakanyahan ng sining ay ang pagkakasundo ng tradisyonal na itinatag na kaayusan ng sining at ang nakakapreskong enzyme ng hindi mahuhulaan, pagkakataon - isang katangian ng ugali ng artistikong kultura ng ika-20 siglo. sa pangkalahatan at hindi klasikal na aesthetics.

Lit.: Denisov E.V. Mga matatag at mobile na elemento ng anyo ng musika at ang kanilang pakikipag-ugnayan // Mga teoretikal na problema ng mga anyo at genre ng musika. M., 1971; Kohoutek C. Teknik ng komposisyon sa musika noong ika-20 siglo. M., 1976; Lutoslawski V. Mga artikulo, maging-

maputi ang buhok, alaala. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Krakow, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakow, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Isinulat ng taga-disenyo na si Tyler Sigman, sa Gamasutra. Minamahal kong tinatawag itong artikulong "buhok sa butas ng ilong ng orc", ngunit ito ay isang magandang trabaho sa paglalatag ng mga pangunahing kaalaman ng mga probabilidad sa mga laro.

Ang paksa ngayong linggo

Hanggang ngayon, halos lahat ng napag-usapan natin ay deterministiko, at noong nakaraang linggo ay pinagmasdan nating mabuti ang transitive mechanics at sinira ito hangga't kaya kong ipaliwanag. Ngunit hanggang ngayon ay hindi namin binibigyang pansin ang isang malaking aspeto ng maraming mga laro, lalo na ang mga hindi tiyak na aspeto, sa madaling salita - randomness. Ang pag-unawa sa likas na katangian ng randomness ay napakahalaga para sa mga designer ng laro dahil gumagawa kami ng mga system na nakakaapekto sa karanasan ng player sa isang partikular na laro, kaya kailangan naming malaman kung paano gumagana ang mga system na iyon. Kung mayroong randomness sa system, kailangan mong maunawaan kalikasan ito randomness at kung paano baguhin ito upang makuha ang mga resulta na kailangan namin.

Dais

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay: rolling dice. Kapag iniisip ng karamihan sa mga tao ang dice, iniisip nila ang isang anim na panig na die na kilala bilang isang d6. Ngunit karamihan sa mga manlalaro ay nakakita ng maraming iba pang dice: apat na panig (d4), octagonal (d8), labindalawang panig (d12), dalawampu't panig (d20) ... at kung ikaw totoo geek, maaaring mayroon kang 30-sided o 100-sided dice sa isang lugar. Kung hindi ka pamilyar sa terminolohiya na ito, ang "d" ay nangangahulugang die, at ang bilang pagkatapos nito ay kung gaano karaming panig ang mayroon ito. Kung dati Ang "d" ay isang numero, ibig sabihin dami dice kapag naghahagis. Halimbawa, sa laro ng Monopoly gumulong ka ng 2d6.

Kaya, sa kasong ito, ang pariralang "dice" ay isang simbolo. Mayroong isang malaking bilang ng iba pang mga random na generator ng numero na hindi hugis tulad ng isang plastic na bukol ngunit gumaganap ng parehong function ng pagbuo ng isang random na numero mula 1 hanggang n. Ang isang ordinaryong barya ay maaari ding isipin bilang isang dihedral dice d2. Nakita ko ang dalawang disenyo ng pitong panig na dice: ang isa sa mga ito ay parang dice, at ang isa naman ay parang pitong panig na kahoy na lapis. Ang tetrahedral dreidel (kilala rin bilang titotum) ay katulad ng tetrahedral bone. Ang spinning arrow playing field sa larong "Chutes & Ladders", kung saan ang resulta ay maaaring mula 1 hanggang 6, ay tumutugma sa isang anim na panig na die. Ang isang random na generator ng numero sa isang computer ay maaaring lumikha ng anumang numero mula 1 hanggang 19 kung tinukoy ng taga-disenyo ang naturang utos, kahit na ang computer ay walang 19-panig na dice (sa pangkalahatan, magsasalita ako nang higit pa tungkol sa posibilidad ng mga numero na lumilitaw sa isang computer sa susunod linggo). Bagama't iba ang hitsura ng mga item na ito, ang mga ito ay talagang pareho: mayroon kang pantay na pagkakataon na makakuha ng isa sa ilang mga resulta.

Ang mga dice ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian na kailangan nating malaman. Una, ang posibilidad ng pag-roll sa alinmang mukha ay pareho (Ipagpalagay ko na ikaw ay gumulong ng isang regular na mamatay, hindi isa na may hindi regular na geometric na hugis). Kaya kung gusto mong malaman average na halaga throw (kilala rin sa mga interesado sa paksa ng probabilidad bilang "mathematical expected value"), idagdag ang mga halaga ng lahat ng panig at hatiin ang kabuuan na ito sa dami mga mukha. Ang average na roll para sa isang karaniwang six-sided die ay 1+2+3+4+5+6 = 21, na hinati sa bilang ng mga gilid (6) at ang average ay 21/6 = 3.5. Ito ay isang espesyal na kaso dahil ipinapalagay namin na ang lahat ng mga resulta ay pantay na posibilidad.

Paano kung mayroon kang espesyal na dice? Halimbawa, nakakita ako ng larong may anim na panig na die na may mga espesyal na sticker sa mga gilid: 1, 1, 1, 2, 2, 3, kaya kumikilos ito na parang kakaibang three-sided die na mas malamang na gumulong ng 1 kaysa sa 2, at 2 kaysa sa 3. Ano ang average na roll para sa die na ito? Kaya, ang 1+1+1+2+2+3 = 10, na hinati sa 6, ay katumbas ng 5/3 o humigit-kumulang 1.66. Kaya't kung mayroon kang espesyal na dice at ang mga manlalaro ay gumulong ng tatlong dice at pagkatapos ay idagdag ang mga resulta, alam mo na ang kabuuang ballpark ng kanilang roll ay magiging mga 5, at maaari mong balansehin ang laro batay sa pagpapalagay na iyon.

Dice at Kalayaan

Tulad ng nasabi ko na, nagpapatuloy tayo mula sa pag-aakalang ang bawat panig ay pantay na malamang na bumagsak. Hindi ito nakadepende sa kung gaano karaming mga dice ang iyong ilululong. Bawat hagis ng dice hindi alintana, nangangahulugan ito na ang mga nakaraang roll ay hindi makakaapekto sa mga resulta ng mga kasunod. Sa sapat na pagsubok ay tiyak pansinin isang "serye" ng mga numero, tulad ng pag-roll sa karamihan ng mas mataas o mas mababang mga numero, o iba pang mga tampok, at pag-uusapan natin iyon sa ibang pagkakataon, ngunit hindi iyon nangangahulugan na ang mga dice ay "mainit" o "malamig." Kung gumulong ka ng karaniwang anim na panig na die at makuha ang numerong 6 nang dalawang beses sa isang hilera, ang posibilidad na ang susunod na roll ay magreresulta sa 6 ay 1/6 din. Ang posibilidad ay hindi tumaas dahil ang kubo ay "pinainit". Ang posibilidad ay hindi nababawasan dahil ang numero 6 ay nakataas nang dalawang beses sa isang hilera, na nangangahulugan na ngayon ay isa pang panig ang lalabas. (Siyempre, kung dalawampung beses kang gumulong ng isang die at nakakuha ng 6 sa bawat pagkakataon, ang pagkakataon na ang dalawampu't unang beses na gumulong ka ng 6 ay medyo mataas... dahil malamang na nangangahulugan iyon na mali ang iyong dice!) Ngunit kung ikaw ay may tamang dice, ang bawat panig ay may parehong posibilidad na mahulog, anuman ang mga resulta ng iba pang mga rolyo. Maaari mo ring isipin na binabago namin ang die sa bawat pagkakataon, kaya kung ang numero 6 ay i-roll nang dalawang beses sa isang hilera, alisin ang mainit na die mula sa laro at palitan ito ng bagong anim na panig na die. Humihingi ako ng paumanhin kung alam na ng sinuman sa inyo ang tungkol dito, ngunit kailangan kong i-clear ito bago magpatuloy.

Paano gawing random ang dice roll

Pag-usapan natin kung paano makakuha ng iba't ibang resulta sa iba't ibang dice. Mag-roll ka man ng isang die nang isang beses o ilang beses lang, mas magiging random ang laro kung mas maraming side ang die. Kung mas maraming beses kang gumulong ng isang die, o mas maraming dice ang iyong roll, mas gumagalaw ang mga resulta patungo sa average. Halimbawa, kung gumulong ka ng 1d6+4 (ibig sabihin, isang karaniwang six-sided die nang isang beses at magdagdag ng 4 sa resulta), ang average ay magiging isang numero sa pagitan ng 5 at 10. Kung gumulong ka ng 5d2, ang average ay magiging isang numero din sa pagitan 5 at 10. Ngunit kapag naghagis ng anim na panig na dice, ang posibilidad na makuha ang mga numerong 5, 8 o 10 ay pareho. Ang resulta ng rolling 5d2 ay higit sa lahat ay ang mga numero 7 at 8, mas madalas ang iba pang mga halaga. Ang parehong serye, kahit na ang parehong average na halaga (7.5 sa parehong mga kaso), ngunit ang likas na katangian ng randomness ay naiiba.

Sandali lang. Diba sinabi ko lang na hindi umiinit o lumalamig ang dice? Ngayon sinasabi ko na kung gumulong ka ng maraming dice, ang mga resulta ng mga roll ay malamang na maging mas malapit sa average? Bakit?

Hayaan mo akong magpaliwanag. Kung huminto ka isa dice, pareho ang posibilidad ng pagbagsak ng bawat panig. Nangangahulugan ito na kung gumulong ka ng maraming dice, sa paglipas ng panahon ang bawat panig ay lilitaw nang humigit-kumulang sa parehong bilang ng beses. Ang mas maraming dice na iyong i-roll, mas ang kabuuang resulta ay lalapit sa average. Ito ay hindi dahil ang numero na iginuhit ay "puwersa" ng isa pang numero na mabubunot na hindi pa nabubunot. At dahil ang isang maliit na sunod-sunod na pag-roll ng isang 6 (o isang 20, o anumang numero) ay hindi magiging mahalaga kung papaluin mo ang dice ng isa pang sampung libong beses at karamihan ay makabuo ng average... maaari ka na ngayong magkaroon ng ilang mga numero na may mataas na halaga, ngunit maaaring sa paglaon ng ilang mababang halaga na mga numero at sa paglipas ng panahon ay lalapit sila sa average na halaga. Hindi dahil ang mga nakaraang roll ay nakakaapekto sa mga dice (seryoso, ang mga dice ay gawa sa plastik, wala siyang utak na mag-isip, "Naku, ang tagal ko nang gumulong ng 2"), ngunit dahil iyon ang kadalasang nangyayari kapag gumulong ka ng maraming dice. Ang isang maliit na serye ng mga umuulit na numero ay halos hindi nakikita sa isang malaking bilang ng mga resulta.

Kaya, ang paggawa ng mga kalkulasyon para sa isang random na roll ng isang die ay medyo tapat, hindi bababa sa hanggang sa pagkalkula ng average na halaga ng roll ay nababahala. Mayroon ding mga paraan upang kalkulahin ang "gaano ka-random" ang isang bagay, isang paraan upang sabihin na ang mga resulta ng rolling 1d6+4 ay magiging "mas random" kaysa sa 5d2, para sa 5d2 ang pamamahagi ng mga roll ay magiging mas pantay, kadalasan para dito ay kinakalkula mo ang karaniwang paglihis, at mas malaki ang halaga, mas magiging random ang mga resulta, ngunit nangangailangan ito ng higit pang mga kalkulasyon kaysa sa gusto kong ibigay ngayon (ipapaliwanag ko ang paksang ito sa ibang pagkakataon). Ang tanging bagay na hinihiling kong malaman mo ay bilang isang pangkalahatang tuntunin, ang mas kaunting mga dice na pinagsama, mas malaki ang randomness. Isa pang karagdagan sa paksang ito: mas maraming panig ang mayroon ang isang die, mas malaki ang randomness, dahil mas marami kang pagpipilian.

Paano Kalkulahin ang Probability Gamit ang Pagbibilang

Maaaring nagtataka ka: paano natin makalkula ang eksaktong posibilidad na makakuha ng isang tiyak na resulta? Ito ay talagang mahalaga para sa maraming mga laro, dahil kung magpapatalo ka, malamang na mayroong isang uri ng pinakamainam na resulta sa simula. Ang sagot ay kailangan nating magbilang ng dalawang halaga. Una, bilangin ang maximum na bilang ng mga resulta kapag naghahagis ng die (anuman ang resulta). Pagkatapos ay bilangin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta. Ang paghahati ng pangalawang halaga sa una ay magbibigay sa iyo ng nais na posibilidad. Upang makuha ang porsyento, i-multiply ang resulta sa 100.

Mga halimbawa:

Narito ang isang napakasimpleng halimbawa. Gusto mong igulong at igulong ng numero 4 o mas mataas ang six-sided die nang isang beses. Ang maximum na bilang ng mga resulta ay 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Sa mga ito, 3 resulta (4, 5, 6) ang paborable. Nangangahulugan ito na upang kalkulahin ang posibilidad, hinati namin ang 3 sa 6 at makakuha ng 0.5 o 50%.

Narito ang isang halimbawa na medyo mas kumplikado. Gusto mo ng even na numero kapag nag-roll 2d6. Ang maximum na bilang ng mga resulta ay 36 (6 para sa bawat mamatay, at dahil ang isang mamatay ay hindi makakaapekto sa isa pa, i-multiply natin ang 6 na resulta sa 6 at makakakuha tayo ng 36). Ang hirap sa ganitong uri ng tanong ay madaling magbilang ng dalawang beses. Halimbawa, mayroon talagang dalawang opsyon para sa isang 3 sa isang roll ng 2d6: 1+2 at 2+1. Magkamukha ang mga ito, ngunit ang pagkakaiba ay kung anong numero ang ipinapakita sa unang die at kung anong numero ang ipinapakita sa pangalawa. Maaari mo ring isipin na ang mga dice ay iba't ibang kulay, kaya halimbawa sa kasong ito ang isang dice ay pula at ang isa ay asul. Pagkatapos ay bilangin ang bilang ng mga opsyon para sa pag-roll ng even na numero: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2). +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Ito ay lumalabas na mayroong 18 mga pagpipilian para sa isang kanais-nais na kinalabasan sa 36, ​​tulad ng sa nakaraang kaso, ang posibilidad ay magiging katumbas ng 0.5 o 50%. Marahil ay hindi inaasahan, ngunit medyo tumpak.

Simulation ng Monte Carlo

Paano kung mayroon kang masyadong maraming dice para sa pagkalkulang ito? Halimbawa, gusto mong malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng kabuuang 15 o higit pa kapag gumulong ng 8d6. Mayroong maraming iba't ibang mga indibidwal na resulta para sa walong dice at ang pagbibilang ng mga ito sa pamamagitan ng kamay ay magtatagal ng napakatagal. Kahit na makahanap kami ng ilang magandang solusyon sa pagpapangkat ng iba't ibang serye ng mga dice roll, aabutin pa rin ng napakatagal na oras upang mabilang. Sa kasong ito, ang pinakamadaling paraan upang makalkula ang posibilidad ay hindi magbilang nang manu-mano, ngunit gumamit ng computer. Mayroong dalawang mga paraan upang makalkula ang posibilidad sa isang computer.

Ang unang paraan ay maaaring magbigay sa iyo ng tumpak na sagot, ngunit ito ay nagsasangkot ng kaunting programming o scripting. Sa pangkalahatan, titingnan ng computer ang bawat posibilidad, susuriin at bibilangin ang kabuuang bilang ng mga pag-ulit at ang bilang ng mga pag-ulit na tumutugma sa nais na resulta, at pagkatapos ay ibibigay ang mga sagot. Maaaring ganito ang hitsura ng iyong code:

int wincount=0, totalcount=0;

para sa (int i=1; i<=6; i++) {

para sa (int j=1; j<=6; j++) {

para sa (int k=1; k<=6; k++) {

... // magpasok ng higit pang mga loop dito

kung (i+j+k+... >= 15) (

float probability = wincount/totalcount;

Kung wala kang masyadong alam tungkol sa programming at gusto mo lang ng humigit-kumulang kaysa sa eksaktong sagot, maaari mong gayahin ang sitwasyong ito sa Excel, kung saan gumulong ka ng 8d6 ng ilang libong beses at makuha ang sagot. Upang gumulong ng 1d6 sa Excel, gamitin ang sumusunod na formula:

FLOOR(RAND()*6)+1

May pangalan para sa sitwasyon na hindi mo alam ang sagot at subukan lang ng maraming beses - Monte Carlo simulation, at ito ay isang mahusay na solusyon upang bumalik kapag sinusubukan mong kalkulahin ang posibilidad at ito ay masyadong kumplikado. Ang magandang bagay ay na sa kasong ito ay hindi natin kailangang maunawaan kung paano gumagana ang matematika, at alam natin na ang sagot ay magiging "medyo maganda" dahil, tulad ng alam na natin, mas maraming roll, mas malapit ang resulta sa karaniwan.

Paano pagsamahin ang mga independiyenteng pagsubok

Kung magtatanong ka tungkol sa maraming paulit-ulit ngunit independiyenteng mga pagsubok, ang kinalabasan ng isang roll ay hindi makakaapekto sa mga resulta ng iba pang mga roll. May isa pang mas simpleng paliwanag para sa sitwasyong ito.

Paano makilala sa pagitan ng isang bagay na umaasa at independiyente? Karaniwan, kung maaari mong ihiwalay ang bawat paghagis ng isang mamatay (o serye ng mga paghagis) bilang isang hiwalay na kaganapan, kung gayon ito ay independyente. Halimbawa, kung gusto namin ng kabuuang 15 kapag gumulong sa 8d6, ang kasong ito ay hindi maaaring hatiin sa maraming independiyenteng dice roll. Dahil binibilang mo ang kabuuan ng mga halaga ng lahat ng dice para sa resulta, ang resulta na lalabas sa isang die ay makakaapekto sa mga resulta na dapat lumabas sa iba pang mga dice, dahil sa pamamagitan lamang ng pagdaragdag ng lahat ng mga halaga ikaw ay makuha ang kinakailangang resulta.

Narito ang isang halimbawa ng mga independiyenteng roll: Naglalaro ka ng dice game, at gumugulong ka ng six-sided dice nang maraming beses. Upang manatili sa laro, dapat kang gumulong ng numero 2 o mas mataas sa iyong unang roll. Para sa pangalawang roll - 3 o mas mataas. Ang pangatlo ay nangangailangan ng 4 o mas mataas, ang ikaapat ay nangangailangan ng 5 o mas mataas, ang ikalima ay nangangailangan ng 6. Kung ang lahat ng limang roll ay matagumpay, ikaw ay mananalo. Sa kasong ito, ang lahat ng mga throws ay independyente. Oo, kung ang isang paghagis ay hindi matagumpay, ito ay makakaapekto sa kinalabasan ng buong laro, ngunit ang isang itapon ay hindi makakaapekto sa isa pang paghagis. Halimbawa, kung ang iyong pangalawang roll ng dice ay napakatagumpay, hindi ito makakaapekto sa posibilidad na ang mga susunod na roll ay magiging pantay na matagumpay. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang posibilidad ng bawat roll ng dice nang hiwalay.

Kung mayroon kang hiwalay, independiyenteng mga probabilidad at gusto mong malaman kung ano ang posibilidad na iyon Lahat magaganap ang mga kaganapan, tinutukoy mo ang bawat indibidwal na posibilidad at i-multiply ang mga ito. Isa pang paraan: kung gagamit ka ng conjunction na "at" upang ilarawan ang ilang kundisyon (halimbawa, ano ang posibilidad ng ilang random na kaganapan na nagaganap At ilang iba pang independiyenteng random na kaganapan?), kalkulahin ang mga indibidwal na probabilidad at i-multiply ang mga ito.

Hindi mahalaga kung ano ang iniisip mo hindi kailanman Huwag magdagdag ng mga independiyenteng probabilidad. Ito ay isang karaniwang pagkakamali. Upang maunawaan kung bakit ito mali, isipin ang isang sitwasyon kung saan ikaw ay naghahagis ng 50/50 na barya at gusto mong malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang dalawang beses sa isang hilera. Ang bawat panig ay may 50% na pagkakataong mapunta, kaya kung isasama mo ang dalawang probabilidad na iyon, magkakaroon ka ng 100% na pagkakataong makakuha ng mga ulo, ngunit alam namin na hindi iyon totoo dahil ito ay maaaring maging buntot nang dalawang beses sa isang hilera. Kung sa halip ay i-multiply mo ang dalawang probabilities, makakakuha ka ng 50%*50% = 25%, na siyang tamang sagot para sa pagkalkula ng posibilidad na makakuha ng mga ulo nang dalawang beses sa isang hilera.

Halimbawa

Bumalik tayo sa larong may anim na panig na dice, kung saan kailangan mo munang gumulong ng numerong mas mataas sa 2, pagkatapos ay mas mataas sa 3, atbp. hanggang 6. Ano ang mga pagkakataon na sa isang naibigay na serye ng 5 tosses lahat ng resulta ay magiging paborable?

Gaya ng nakasaad sa itaas, ito ay mga independiyenteng pagsubok at kaya kinakalkula namin ang posibilidad para sa bawat indibidwal na roll at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito. Ang posibilidad na ang kalalabasan ng unang roll ay magiging paborable ay 5/6. Pangalawa - 4/6. Pangatlo - 3/6. Ang ikaapat - 2/6, ang ikalima - 1/6. I-multiply ang lahat ng mga resultang ito at makakakuha ka ng humigit-kumulang 1.5%... Kaya, ang panalo sa larong ito ay medyo bihira, kaya kung idagdag mo ang elementong ito sa iyong laro, kakailanganin mo ng medyo malaking jackpot.

Negasyon

Narito ang isa pang kapaki-pakinabang na tip: kung minsan ay mahirap kalkulahin ang posibilidad ng isang kaganapan na maganap, ngunit mas madaling matukoy kung ano ang mga pagkakataon na ang isang kaganapan ay magaganap. hindi darating.

Halimbawa, sabihin nating mayroon kaming isa pang laro at gumulong ka ng 6d6, at kung kahit isang beses Kung gumulong ka ng 6, panalo ka. Ano ang posibilidad na manalo?

Sa kasong ito, kailangan mong isaalang-alang ang maraming mga pagpipilian. Marahil isang numero ang lilitaw, 6, i.e. ang isa sa mga dice ay magpapakita ng numero 6, at ang iba ay magkakaroon ng mga numero mula 1 hanggang 5, at mayroong 6 na posibilidad kung aling mga dice ang magpapakita ng numero 6. Pagkatapos ay maaari mong makuha ang numero 6 sa dalawang dice, o sa tatlo, o higit pa, at sa bawat oras na kailangan nating gumawa ng hiwalay na pagkalkula, kaya madaling malito.

Ngunit may isa pang paraan upang malutas ang problemang ito, tingnan natin ito mula sa kabilang panig. Ikaw matatalo ka Kung hindi sa alinman ang dice ay hindi magpapagulong ng numero 6. Sa kasong ito, mayroon kaming anim na independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay 5/6 (ang dice ay maaaring gumulong ng anumang iba pang numero maliban sa 6). I-multiply ang mga ito at makakakuha ka ng humigit-kumulang 33%. Kaya, ang posibilidad na matalo ay 1 sa 3.

Samakatuwid, ang posibilidad na manalo ay 67% (o 2 hanggang 3).

Mula sa halimbawang ito ay malinaw na kung kalkulahin mo ang posibilidad na ang isang kaganapan ay hindi mangyayari, kailangan mong ibawas ang resulta mula sa 100%. Kung ang posibilidad na manalo ay 67%, kung gayon ang posibilidad mawala — 100% minus 67%, o 33%. At vice versa. Kung mahirap kalkulahin ang isang probabilidad, ngunit madaling kalkulahin ang kabaligtaran, kalkulahin ang kabaligtaran at pagkatapos ay ibawas mula sa 100%.

Pinagsasama namin ang mga kondisyon para sa isang independiyenteng pagsubok

Sinabi ko sa itaas na hindi ka dapat magdagdag ng mga probabilidad sa mga independiyenteng pagsubok. Mayroon bang anumang mga kaso kung kailan Pwede ibuod ang mga probabilidad? - Oo, sa isang espesyal na sitwasyon.

Kung gusto mong kalkulahin ang posibilidad ng maramihang hindi nauugnay na paborableng resulta sa isang pagsubok, dagdagan ang mga probabilidad ng bawat paborableng resulta. Halimbawa, ang posibilidad ng pag-roll ng mga numero 4, 5 o 6 sa 1d6 ay halaga ang posibilidad na makuha ang numero 4, ang posibilidad na makuha ang numero 5 at ang posibilidad na makuha ang numero 6. Maaari mo ring isipin ang sitwasyong ito tulad ng sumusunod: kung gagamitin mo ang pang-ugnay na "o" sa isang tanong tungkol sa posibilidad (halimbawa, ano ang posibilidad na o magkaibang kinalabasan ng isang random na kaganapan?), kalkulahin ang mga indibidwal na probabilidad at ibuod ang mga ito.

Pakitandaan na kapag nagsumamo ka lahat ng posibleng resulta laro, ang kabuuan ng lahat ng probabilities ay dapat na katumbas ng 100%. Kung ang kabuuan ay hindi katumbas ng 100%, ang iyong pagkalkula ay ginawa nang hindi tama. Ito ay isang magandang paraan upang i-double-check ang iyong mga kalkulasyon. Halimbawa, sinuri mo ang posibilidad na makuha ang lahat ng kumbinasyon sa poker, kung isasama mo ang lahat ng resultang nakuha, dapat kang makakuha ng eksaktong 100% (o hindi bababa sa isang halaga na malapit sa 100%, kung gumagamit ka ng calculator, maaaring mayroon ka isang maliit na error sa pag-ikot , ngunit kung manu-mano mong idaragdag ang eksaktong mga numero, dapat magdagdag ang lahat). Kung ang kabuuan ay hindi nagtatagpo, nangangahulugan ito na malamang na hindi mo isinasaalang-alang ang ilang mga kumbinasyon, o hindi mo nakalkula ang mga probabilidad ng ilang mga kumbinasyon at pagkatapos ay kailangan mong i-double-check ang iyong mga kalkulasyon.

Hindi pantay na probabilidad

Hanggang ngayon, ipinapalagay namin na ang bawat panig ng die ay pinagsama sa parehong dalas, dahil iyan ay kung paano gumagana ang die. Ngunit kung minsan ay nahaharap ka sa isang sitwasyon kung saan ang iba't ibang mga resulta ay posible at sila magkaiba drop ng mga pagkakataon. Halimbawa, sa isa sa mga pagpapalawak ng card game na "Nuclear War" mayroong isang playing field na may isang arrow kung saan nakasalalay ang resulta ng isang rocket launch: karaniwang, ito ay nakikitungo sa normal na pinsala, mas malakas o mas mahina, ngunit kung minsan ang pinsala ay nadoble o triple, o isang rocket ang sumabog sa launch pad at nasaktan ka, o may nangyaring ibang kaganapan. Hindi tulad ng arrow board sa "Chutes & Ladders" o "A Game of Life," ang game board sa "Nuclear War" ay may hindi pantay na resulta. Ang ilang mga seksyon ng larangan ng paglalaro ay mas malaki at ang arrow ay humihinto sa mga ito nang mas madalas, habang ang ibang mga seksyon ay napakaliit at ang arrow ay tumitigil sa kanila.

Kaya, sa unang tingin, mukhang ganito ang buto: 1, 1, 1, 2, 2, 3; napag-usapan na natin ito, ito ay isang bagay na parang may timbang na 1d3, kaya kailangan nating hatiin ang lahat ng mga seksyong ito sa pantay na bahagi, hanapin ang pinakamaliit na yunit ng pagsukat na ang lahat ay maramihang at pagkatapos ay kumakatawan sa sitwasyon bilang d522 (o iba pa ), kung saan kakatawan ng maraming dice face ang parehong sitwasyon, ngunit may mas maraming resulta. At ito ay isang paraan upang malutas ang problema, at ito ay teknikal na magagawa, ngunit mayroong isang mas madaling paraan.

Bumalik tayo sa ating karaniwang six-sided dice. Sinabi namin na upang makalkula ang average na halaga ng isang roll para sa isang normal na die, kailangan mong isama ang mga halaga sa lahat ng mga mukha at hatiin ang mga ito sa bilang ng mga mukha, ngunit paano eksakto may kalkulasyon ba na nagaganap? May isa pang paraan para ipahayag ito. Para sa isang anim na panig na die, ang posibilidad ng bawat panig na magulo ay eksaktong 1/6. Ngayon dumami tayo Exodo sa bawat mukha probabilidad ng kinalabasan na ito (sa kasong ito 1/6 para sa bawat panig), pagkatapos ay ibubuod namin ang mga resultang halaga. Kaya, pagsusuma (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ) , nakukuha namin ang parehong resulta (3.5) tulad ng sa pagkalkula sa itaas. Sa katunayan, binibilang namin ito sa paraang ito sa bawat oras: pinaparami namin ang bawat resulta sa posibilidad ng resultang iyon.

Maaari ba nating gawin ang parehong pagkalkula para sa arrow sa playing field sa larong "Nuclear War"? Syempre kaya natin. At kung susumahin natin ang lahat ng mga resultang natagpuan, makukuha natin ang average na halaga. Ang kailangan lang nating gawin ay kalkulahin ang posibilidad ng bawat resulta para sa arrow sa game board at i-multiply sa resulta.

Isa pang halimbawa

Ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng average sa pamamagitan ng pag-multiply ng bawat resulta sa indibidwal na probabilidad nito ay angkop din kung ang mga resulta ay pare-pareho ang posibilidad ngunit may iba't ibang mga pakinabang, halimbawa kung gumulong ka ng isang die at manalo ng higit pa sa ilang panig kaysa sa iba. Halimbawa, gawin natin ang isang laro tulad ng sa isang casino: maglagay ka ng taya at gumulong 2d6. Kung natamaan mo ang tatlong numerong mababa ang halaga (2, 3, 4) o apat na numerong may mataas na halaga (9, 10, 11, 12), mananalo ka ng halagang katumbas ng iyong taya. Espesyal ang mga numerong may pinakamababa at pinakamataas na halaga: kung gugulong ka ng 2 o 12, panalo ka doble ang dami kaysa sa iyong bid. Kung ang anumang iba pang numero ay pinagsama (5, 6, 7, 8), matatalo ka sa iyong taya. Ito ay isang medyo simpleng laro. Ngunit ano ang posibilidad na manalo?

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbilang kung ilang beses ka maaaring manalo:

• Ang maximum na bilang ng mga resulta kapag gumulong 2d6 ay 36. Ano ang bilang ng mga kanais-nais na resulta?
• Mayroong 1 opsyon para sa pag-roll ng dalawa at 1 para sa pag-roll ng labindalawa.
• Mayroong 2 mga pagpipilian para sa rolling tatlo at labing-isa.
• Mayroong 3 mga opsyon para sa rolling ng apat at 3 mga opsyon para sa rolling ng sampu.
• Mayroong 4 na pagpipilian para sa pag-roll ng siyam.
• Sa pamamagitan ng pagbubuod ng lahat ng mga opsyon, makukuha natin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta 16 sa 36.

Kaya, sa ilalim ng normal na mga kondisyon, mananalo ka ng 16 beses sa 36 na posible... ang posibilidad na manalo ay bahagyang mas mababa sa 50%.

Ngunit sa dalawang kaso sa 16 na ito ay doble ang iyong panalo, i.e. Parang dalawang beses nanalo! Kung laruin mo ang larong ito ng 36 na beses, tumaya ng $1 sa bawat pagkakataon, at bawat isa sa lahat ng posibleng resulta ay lalabas nang isang beses, mananalo ka ng kabuuang $18 (talagang mananalo ka ng 16 na beses, ngunit dalawa sa mga oras na iyon ay mabibilang na dalawang panalo). Kung maglaro ka ng 36 beses at manalo ng $18, hindi ba ibig sabihin nito ay pantay na pagkakataon?

Huwag kang mag-madali. Kung bibilangin mo ang bilang ng beses na maaari kang matalo, makakakuha ka ng 20, hindi 18. Kung maglaro ka ng 36 na beses, tumaya ng $1 sa bawat pagkakataon, mananalo ka ng kabuuang $18 kung natamaan mo ang lahat ng mga panalong pinili... ngunit mawawala sa iyo ang kabuuang halagang $20 kung lahat ng 20 hindi kanais-nais na resulta ay nangyari! Bilang resulta, mahuhuli ka ng kaunti: matatalo ka ng average na $2 net para sa bawat 36 na laro (maaari mo ring sabihin na natalo ka ng average na 1/18 ng isang dolyar bawat araw). Ngayon ay nakita mo kung gaano kadaling magkamali sa kasong ito at hindi tama ang pagkalkula ng posibilidad!

Muling pagsasaayos

Sa ngayon ay ipinapalagay namin na ang pagkakasunud-sunod ng mga numero kapag naghahagis ng dice ay hindi mahalaga. Ang rolling 2+4 ay kapareho ng rolling 4+2. Sa karamihan ng mga kaso, manu-mano naming binibilang ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, ngunit kung minsan ang pamamaraang ito ay hindi praktikal at mas mahusay na gumamit ng isang mathematical formula.

Ang isang halimbawa ng sitwasyong ito ay mula sa dice game na "Farkle". Para sa bawat bagong round, gumulong ka ng 6d6. Kung ikaw ay mapalad at makuha ang lahat ng posibleng resulta 1-2-3-4-5-6 (“straight”), makakatanggap ka ng malaking bonus. Ano ang posibilidad na mangyari ito? Sa kasong ito, maraming mga opsyon para makuha ang kumbinasyong ito!

Ang solusyon ay ang mga sumusunod: ang isa sa mga dice (at isa lamang) ay dapat magkaroon ng numero 1! Ilang mga paraan ang maaaring igulong ang numero 1 sa isang mamatay? Anim, dahil mayroong 6 na dice at sinuman sa kanila ay maaaring mapunta ang numero 1. Alinsunod dito, kumuha ng isang dice at ilagay ito sa isang tabi. Ngayon, ang isa sa mga natitirang dice ay dapat gumulong sa numero 2. Mayroong limang mga pagpipilian para dito. Kumuha ng isa pang die at itabi ito. Pagkatapos apat sa natitirang dice ay maaaring mapunta sa isang 3, tatlo sa mga natitirang dice ay maaaring mapunta sa isang 4, dalawa ay maaaring mapunta sa isang 5, at ikaw ay magtatapos sa isang mamatay na dapat mapunta sa isang 6 (sa huling kaso Mayroon lamang isang mamatay at walang pagpipilian). Upang kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta para sa pagpindot sa isang tuwid, pinaparami namin ang lahat ng iba't ibang mga independiyenteng opsyon: 6x5x4x3x2x1 = 720 - mukhang may ilang paraan kung paano lalabas ang kumbinasyong ito.

Upang kalkulahin ang posibilidad na makakuha ng tuwid, kailangan nating hatiin ang 720 sa bilang ng lahat ng posibleng resulta para sa rolling 6d6. Ano ang bilang ng lahat ng posibleng resulta? Ang bawat dice ay maaaring magkaroon ng 6 na panig, kaya pinarami namin ang 6x6x6x6x6x6 = 46656 (mas mataas ang bilang!). Hatiin ang 720/46656 at makakuha ng probabilidad na humigit-kumulang 1.5%. Kung ikaw ay nagdidisenyo ng larong ito, ito ay magiging kapaki-pakinabang na malaman upang makagawa ka ng isang sistema ng pagmamarka nang naaayon. Ngayon naiintindihan na namin kung bakit sa Farkle makakakuha ka ng napakalaking bonus kung diretso ka, dahil bihira ang sitwasyong ito!

Ang resulta ay kawili-wili din para sa isa pang dahilan. Ang halimbawa ay nagpapakita kung gaano bihira, sa katunayan, ang isang resulta na tumutugma sa posibilidad ay nangyayari sa isang maikling panahon. Siyempre, kung tayo ay naghahagis ng ilang libong dice, ang iba't ibang panig ng dice ay madalas na lalabas. Ngunit kapag kami ay gumulong ng anim na dice, halos hindi kailanman Ito ay hindi mangyayari na ang bawat isa sa mga mukha ay nahuhulog! Batay dito, naging malinaw na katangahan ang umasa na may lalabas na ibang mukha na hindi pa bumabagsak “dahil matagal na tayong hindi nag-roll ng number 6, ibig sabihin ay babagsak na ito.”

Makinig, sira ang iyong random number generator...

Dinadala tayo nito sa isang karaniwang maling kuru-kuro tungkol sa posibilidad: ang pagpapalagay na ang lahat ng mga kinalabasan ay nangyayari sa parehong dalas. sa loob ng maikling panahon, na hindi naman talaga. Kung maghahagis tayo ng dice ng ilang beses, hindi magiging pareho ang dalas ng pagbagsak ng bawat panig.

Kung nakapagtrabaho ka na sa isang online na laro gamit ang anumang uri ng random na generator ng numero, malamang na nakatagpo ka ng isang sitwasyon kung saan ang isang manlalaro ay sumulat sa teknikal na suporta upang sabihin na ang iyong random na generator ng numero ay sira at hindi nagpapakita ng mga random na numero. at napunta siya sa ganitong konklusyon dahil nakapatay lang siya ng 4 na halimaw na sunud-sunod at nakatanggap ng 4 na eksaktong parehong reward, at ang mga reward na ito ay dapat na lalabas lang ng 10% ng oras, kaya ito Halos hindi kailanman hindi dapat mangyari, na nangangahulugang ito malinaw naman na sira ang iyong random number generator.

Gumagawa ka ng mathematical na pagkalkula. Ang 1/10*1/10*1/10*1/10 ay katumbas ng 1 sa 10,000, ibig sabihin ay bihira lang ito. At iyon mismo ang sinusubukang sabihin sa iyo ng manlalaro. May problema ba sa kasong ito?

Ang lahat ay nakasalalay sa mga pangyayari. Ilang manlalaro ang kasalukuyang nasa iyong server? Sabihin nating mayroon kang medyo sikat na laro at 100,000 tao ang naglalaro nito araw-araw. Ilang manlalaro ang makakapatay ng apat na halimaw nang sunud-sunod? Posible ang anumang bagay, ilang beses sa isang araw, ngunit ipagpalagay natin na kalahati sa kanila ay nangangalakal lamang ng iba't ibang mga item sa mga auction o nakikipag-chat sa mga server ng RP, o gumagawa ng iba pang mga aktibidad sa laro, kaya kalahati lamang sa kanila ang talagang nangangaso ng mga halimaw. Ano ang posibilidad na isang tao lalabas ba ang parehong gantimpala? Sa sitwasyong ito, maaari mong asahan na ang parehong gantimpala ay maaaring lumitaw nang ilang beses bawat araw, hindi bababa sa!

Oo nga pala, kaya lang parang every few weeks man lang isang tao nanalo sa lotto, kahit na isang tao hindi kailanman Hindi ikaw o ang iyong mga kaibigan. Kung sapat na mga tao ang naglalaro bawat linggo, malamang na magkakaroon ng hindi bababa sa isa swerte... pero kung Ikaw Kung maglalaro ka ng lottery, mas mababa ang posibilidad na manalo ka kaysa sa posibilidad na maimbitahan kang magtrabaho sa Infinity Ward.

Mga kard at pagkagumon

Napag-usapan namin ang mga independiyenteng kaganapan, tulad ng pag-roll ng die, at ngayon ay alam namin ang maraming makapangyarihang tool para sa pagsusuri ng randomness sa maraming laro. Ang pagkalkula ng probabilidad ay medyo mas kumplikado pagdating sa pagguhit ng mga card mula sa isang deck, dahil ang bawat card na aming iginuhit ay nakakaapekto sa mga natitirang card sa deck. Kung mayroon kang karaniwang 52-card deck at kumuha ka, halimbawa, 10 puso at gusto mong malaman ang posibilidad na ang susunod na card ay pareho ang suit, ang posibilidad ay nagbago dahil naalis mo na ang isang card ng suit. ng mga puso mula sa deck. Ang bawat card na aalisin mo ay nagbabago sa posibilidad ng susunod na card sa deck. Dahil sa kasong ito ang nakaraang kaganapan ay nakakaimpluwensya sa susunod, tinatawag namin ang posibilidad na ito umaasa.

Pakitandaan na kapag sinabi kong "mga card" ang ibig kong sabihin anuman mekanika ng laro kung saan mayroong isang hanay ng mga bagay at tinanggal mo ang isa sa mga bagay nang hindi pinapalitan ito, ang isang "kubyerta ng mga baraha" sa kasong ito ay kahalintulad sa isang bag ng mga chips kung saan inaalis mo ang isang chip at huwag itong palitan, o isang urn kung saan ka gumuhit ng mga may kulay na marbles (talagang hindi pa ako nakakita ng laro na may urn na may mga kulay na marbles na nakuha mula dito, ngunit tila mas gusto ng mga guro ang halimbawang ito sa ilang kadahilanan).

Mga Katangian ng Dependency

Gusto kong linawin na pagdating sa mga card, ipinapalagay kong gumuhit ka ng mga card, tingnan ang mga ito, at alisin ang mga ito sa deck. Ang bawat isa sa mga pagkilos na ito ay isang mahalagang pag-aari.

Kung mayroon akong isang deck ng, halimbawa, anim na card na may mga numero 1 hanggang 6, at binabalasa ko ang mga ito at kumuha ng isang card at pagkatapos ay i-shuffle muli ang lahat ng anim na baraha, ito ay magiging katulad ng paghagis ng anim na panig na mamatay; ang isang resulta ay hindi makakaapekto sa mga kasunod. Tanging kung gumuhit ako ng mga card at hindi papalitan ang mga ito ay ang resulta ng pagguhit ko ng isang card na may numero 1 ay madaragdagan ang posibilidad na sa susunod na gumuhit ako ng isang card na may numero 6 (ang posibilidad ay tataas hanggang sa huli kong makuha ang card na iyon o hanggang sa i-shuffle ko ang mga card).

Ang katotohanan na tayo tingnan mo sa mga card ay mahalaga din. Kung aalisin ko ang isang card mula sa deck at hindi ito titingnan, wala akong karagdagang impormasyon at hindi talaga nagbabago ang posibilidad. Ito ay maaaring tunog counterintuitive. Paano mababago ng simpleng pag-flip ng card ang mga logro? Ngunit ito ay posible dahil maaari mong kalkulahin ang posibilidad para sa mga hindi kilalang item batay lamang sa kung ano ang iyong alam mo. Halimbawa, kung mag-shuffle ka ng karaniwang deck ng mga card at magbunyag ng 51 card at wala sa mga ito ang reyna ng mga club, malalaman mo nang may 100% katiyakan na ang natitirang card ay reyna ng mga club. Kung binabalasa mo ang isang karaniwang deck ng mga baraha at gumuhit ng 51 baraha, sa kabila sa kanila, kung gayon ang posibilidad na ang natitirang card ay isang reyna ng mga club ay magiging 1/52 pa rin. Habang binubuksan mo ang bawat card, makakakuha ka ng higit pang impormasyon.

Ang pagkalkula ng probabilidad para sa mga umaasang kaganapan ay sumusunod sa parehong mga prinsipyo tulad ng para sa mga independiyenteng kaganapan, maliban na ito ay medyo mas kumplikado dahil ang mga probabilidad ay nagbabago habang nagpapakita ka ng mga card. Kaya kailangan mong i-multiply ang maraming iba't ibang mga halaga sa halip na i-multiply ang parehong halaga. Ang talagang ibig sabihin nito ay kailangan nating pagsamahin ang lahat ng mga kalkulasyon na ginawa natin sa isang kumbinasyon.

Halimbawa

I-shuffle mo ang isang karaniwang 52-card deck at gumuhit ng dalawang card. Ano ang posibilidad na gumuhit ka ng isang pares? Mayroong ilang mga paraan upang kalkulahin ang posibilidad na ito, ngunit marahil ang pinakasimpleng ay ang mga sumusunod: ano ang posibilidad na kung kukuha ka ng isang card, hindi ka makakapaglabas ng isang pares? Ang posibilidad na ito ay zero, kaya hindi mahalaga kung aling unang card ang iyong iguguhit, basta't ito ay tumutugma sa pangalawa. Kahit aling card ang una nating ibunot, may pagkakataon pa rin tayong gumuhit ng isang pares, kaya ang posibilidad na maaari tayong gumuhit ng isang pares pagkatapos iguhit ang unang card ay 100%.

Ano ang posibilidad na ang pangalawang card ay tumugma sa una? May 51 na card na natitira sa deck at 3 sa mga ito ay tumutugma sa unang card (talagang magkakaroon ng 4 sa 52, ngunit naalis mo na ang isa sa mga katugmang card noong iginuhit mo ang unang card!), kaya ang posibilidad ay 1/ 17. (Kaya sa susunod na sasabihin ng lalaking nakaupo sa tapat ng mesa na naglalaro ng Texas Hold'em, "Cool, another pair? Feeling ko masuwerte ako ngayon," malalaman mong may magandang pagkakataon na na-bluff siya.)

Paano kung magdagdag tayo ng dalawang joker at mayroon na tayong 54 na card sa deck at gusto nating malaman kung ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang pares? Ang unang card ay maaaring isang joker at pagkatapos ay ang deck ay maglalaman lamang isa card, hindi tatlo, na magtutugma. Paano mahahanap ang posibilidad sa kasong ito? Hahatiin natin ang mga probabilidad at pararamihin ang bawat posibilidad.

Ang aming unang card ay maaaring isang joker o iba pang card. Ang posibilidad ng pagguhit ng isang joker ay 2/54, ang posibilidad ng pagguhit ng ibang card ay 52/54.

Kung ang unang card ay isang joker (2/54), ang posibilidad na ang pangalawang card ay tumugma sa una ay 1/53. Pagpaparami ng mga halaga (maaari nating i-multiply ang mga ito dahil ito ay magkahiwalay na mga kaganapan at gusto natin pareho naganap ang mga kaganapan) at nakakakuha tayo ng 1/1431 - mas mababa sa isang ikasampu ng isang porsyento.

Kung gumuhit ka muna ng ibang card (52/54), ang posibilidad na matugma ang pangalawang card ay 3/53. Pinaparami namin ang mga halaga at nakakakuha ng 78/1431 (higit sa 5.5%).

Ano ang gagawin natin sa dalawang resultang ito? Hindi sila nagsalubong at gusto naming malaman ang posibilidad lahat ng mga ito, kaya namin ang mga halaga! Nakakuha kami ng huling resulta ng 79/1431 (mga 5.5%) pa rin.

Kung gusto naming makasigurado sa katumpakan ng sagot, maaari naming kalkulahin ang posibilidad ng lahat ng iba pang posibleng resulta: pagguhit ng joker at hindi tumutugma sa pangalawang card, o pagguhit ng ibang card at hindi tumutugma sa pangalawang card, at pagdaragdag sa kanila. lahat ng may posibilidad na manalo, makakakuha tayo ng eksaktong 100%. Hindi ko ibibigay ang matematika dito, ngunit maaari mong subukan ang matematika upang i-double check.

Monty Hall Paradox

Dinadala tayo nito sa isang medyo sikat na kabalintunaan na kadalasang nakalilito sa maraming tao - ang Monty Hall Paradox. Ang kabalintunaan ay ipinangalan sa host ng palabas sa TV na "Let's Make a Deal" na si Monty Hall. Kung hindi mo pa napanood ang palabas na ito, ito ay kabaligtaran ng palabas sa TV na “The Price Is Right.” Sa “The Price Is Right,” ang host (ang host noon ay si Bob Barker, ngayon ay... Drew Carey? Anyway...) ay iyong kaibigan. Siya gusto para manalo ka ng pera o mga cool na premyo. Sinusubukan nitong bigyan ka ng bawat pagkakataon na manalo, basta't mahulaan mo kung magkano talaga ang halaga ng mga bagay na binili ng mga sponsor.

Iba ang ugali ni Monty Hall. Para siyang masamang kambal ni Bob Barker. Ang layunin niya ay gawin kang parang tanga sa pambansang telebisyon. Kung ikaw ay nasa palabas, siya ang iyong kalaban, nakipaglaro ka sa kanya, at ang mga posibilidad ay pabor sa kanya. Marahil ako ay masyadong malupit, ngunit kapag ang pagkakataon na mapili bilang isang kalahok ay tila direktang proporsyonal sa kung magsuot ka ng isang katawa-tawa na suit, napupunta ako sa mga ganitong uri ng mga konklusyon.

Ngunit ang isa sa pinakasikat na meme ng palabas ay ito: May tatlong pinto sa harap mo, at tinawag silang Door Number 1, Door Number 2, at Door Number 3. Maaari kang pumili ng isang pinto... nang libre! Sa likod ng isa sa mga pintuan na ito ay isang napakagandang premyo, halimbawa, isang bagong kotse. Walang mga premyo sa likod ng iba pang mga pinto na ito ay walang halaga. Ang kanilang layunin ay upang ipahiya ka at kaya hindi na walang anumang bagay sa likod nila, mayroong isang bagay sa likod nila na mukhang tanga, tulad ng isang kambing sa likod nila o isang malaking tubo ng toothpaste o isang bagay ... isang bagay, ano nga ba nangyari Hindi bagong pampasaherong sasakyan.

Pinipili mo ang isa sa mga pinto at bubuksan na sana ito ni Monty para ipaalam sa iyo kung nanalo ka o hindi... pero teka, bago natin malaman, tingnan natin ang isa sa mga ang pinto mo hindi pinili. Dahil alam ni Monty kung aling pinto ang premyo sa likod, at mayroon lamang isang premyo at dalawa mga pintuan na hindi mo pinili, anuman ang mangyari, maaari niyang buksan palagi ang isang pinto na walang premyo sa likod nito. “Pintuan number 3 ba ang pinipili mo? Pagkatapos, buksan natin ang Door No. 1 para ipakita na walang premyo sa likod nito." At ngayon, dahil sa pagkabukas-palad, nag-aalok siya sa iyo ng pagkakataong ipagpalit ang iyong napiling Door number 3 para sa kung ano ang nasa likod ng Door number 2. Sa puntong ito na ang tanong ng probabilidad ay lumitaw: ang kakayahang pumili ng isa pang pinto ay nagpapataas ng iyong posibilidad na panalo, o bawasan ito, o nananatiling pareho? Paano sa tingin mo?

Tamang sagot: ang kakayahang pumili ng isa pang pinto nadadagdagan posibilidad na manalo mula 1/3 hanggang 2/3. Ito ay hindi makatwiran. Kung hindi mo pa naranasan ang kabalintunaan na ito, malamang na iniisip mo: teka, binago ba natin ang posibilidad sa pamamagitan ng pagbubukas ng isang pinto? Ngunit tulad ng nakita na natin sa halimbawa sa mga card sa itaas, ito eksakto ano ang mangyayari kapag nakakuha tayo ng karagdagang impormasyon. Malinaw na ang posibilidad na manalo sa una mong pagpili ay 1/3, at naniniwala ako na lahat ay sasang-ayon dito. Kapag lumabas ang isang pinto, hindi nito binabago ang posibilidad na manalo para sa unang pagpipilian, ang posibilidad ay 1/3 pa rin, ngunit nangangahulugan ito na ang posibilidad na iba pa 2/3 tama na ang pinto.

Tingnan natin ang halimbawang ito mula sa ibang pananaw. Pumili ka ng pinto. Ang posibilidad na manalo ay 1/3. Iminumungkahi kong magbago ka dalawa iba pang mga pinto, na kung ano ang talagang iminumungkahi ni Monty Hall na gawin. Siyempre, binuksan niya ang isa sa mga pintuan para ipakita na walang premyo sa likod nito, ngunit siya Laging kayang gawin ito, kaya wala talaga itong binabago. Siyempre gugustuhin mong pumili ng ibang pinto!

Kung hindi ka masyadong malinaw sa isyung ito at kailangan mo ng mas nakakumbinsi na paliwanag, mag-click sa link na ito upang madala sa isang mahusay na maliit na Flash application na magbibigay-daan sa iyong tuklasin ang kabalintunaan na ito nang mas detalyado. Maaari kang maglaro simula sa halos 10 pinto at pagkatapos ay unti-unting umakyat sa isang laro na may tatlong pinto; Mayroon ding simulator kung saan maaari kang pumili ng anumang bilang ng mga pinto mula 3 hanggang 50 at maglaro o magpatakbo ng ilang libong simulation at tingnan kung ilang beses ka mananalo kung maglaro ka.

Isang puna mula sa mas mataas na guro sa matematika at espesyalista sa balanse ng laro na si Maxim Soldatov, na, siyempre, wala si Schreiber, ngunit kung wala ito ay medyo mahirap maunawaan ang mahiwagang pagbabagong ito:

Pumili ka ng pinto, isa sa tatlo, ang posibilidad na "manalo" ay 1/3. Ngayon ay mayroon ka nang 2 diskarte: magbago pagkatapos magbukas ng maling pinto, pagpili o hindi. Kung hindi mo babaguhin ang iyong pinili, kung gayon ang posibilidad ay mananatiling 1/3, dahil ang pagpili ay nangyayari lamang sa unang yugto, at kailangan mong hulaan kaagad, ngunit kung magbabago ka, maaari kang manalo kung una kang pumili ng mali pinto (pagkatapos ay magbubukas sila ng isa pang mali, mananatiling tapat, magbago ang isip mo at kunin siya)
Ang posibilidad ng pagpili ng maling pinto sa simula ay 2/3, kaya lumalabas na sa pamamagitan ng pagbabago ng iyong desisyon ay ginagawa mo ang posibilidad na manalo ng 2 beses na mas malaki.

At muli tungkol sa kabalintunaan ng Monty Hall

Tungkol naman sa mismong palabas, alam ito ni Monty Hall dahil kahit hindi magaling sa math ang kanyang mga katunggali, Siya naiintindihan ito ng mabuti. Narito ang ginawa niya upang mabago ng kaunti ang laro. Kung pinili mo ang isang pinto sa likod kung saan mayroong isang premyo, ang posibilidad na kung saan ay 1/3, ito Laging nag-alok sa iyo ng pagkakataong pumili ng isa pang pinto. Kung tutuusin, pumili ka ng pampasaherong sasakyan at pagkatapos ay ipagpapalit mo ito sa isang kambing at magmumukha kang tanga, na kung ano ang kailangan niya dahil siya ay uri ng isang masamang tao. Ngunit kung pipiliin mo ang pinto sa likod kung saan walang magiging premyo, lamang sa kalahati Sa ganitong mga kaso, ipo-prompt ka niya na pumili ng isa pang pinto, at sa ibang mga kaso, ipapakita lang niya sa iyo ang iyong bagong kambing at aalis ka sa eksena. Suriin natin ang bagong larong ito kung saan magagawa ni Monty Hall pumili nag-aalok sa iyo ng pagkakataong pumili ng isa pang pinto o hindi.

Sabihin nating sinusunod niya ang algorithm na ito: kung pipiliin mo ang isang pinto na may premyo, palagi siyang nag-aalok sa iyo ng pagkakataong pumili ng isa pang pinto, kung hindi man ay may 50/50 na pagkakataon na mag-aalok siya sa iyo na pumili ng isa pang pinto o bigyan ka ng kambing. Ano ang iyong posibilidad na manalo?

Sa isa sa tatlong mga pagpipilian, agad mong pipiliin ang pinto sa likod kung saan matatagpuan ang premyo, at iniimbitahan ka ng nagtatanghal na pumili ng isa pang pinto.

Sa natitirang dalawang pagpipilian sa tatlo (una kang pumili ng isang pinto na walang premyo), sa kalahati ng mga kaso ang nagtatanghal ay mag-aalok sa iyo na pumili ng isa pang pinto, at sa iba pang kalahati ng mga kaso - hindi. Ang kalahati ng 2/3 ay 1/3, i.e. sa isang kaso sa tatlo ay makakakuha ka ng kambing, sa isang kaso sa tatlo ay maling pinto ang pipiliin mo at hihilingin sa iyo ng host na pumili ng isa pa at sa isang kaso sa tatlo ay pipiliin mo ang kanang pinto at hihilingin niya sa iyo na pumili ng isa pang pinto.

Kung nag-aalok ang nagtatanghal na pumili ng isa pang pinto, alam na namin na ang isang kaso sa tatlo kapag binigyan niya kami ng kambing at umalis kami ay hindi nangyari. Ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon dahil ito ay nangangahulugan na ang aming mga pagkakataon na manalo ay nagbago. Sa dalawang kaso sa tatlo, kapag mayroon tayong pagkakataong pumili, sa isang pagkakataon ay nangangahulugan ito na nahulaan natin nang tama, at sa isa naman ay mali ang ating nahulaan, kaya kung bibigyan tayo ng pagkakataong pumili, nangangahulugan ito na ang ang posibilidad na manalo tayo ay 50/50, at wala mathematical benepisyo, manatili sa iyong pinili o pumili ng ibang pinto.

Tulad ng poker, isa na itong sikolohikal na laro, hindi matematika. Binigyan ka ni Monty ng isang pagpipilian dahil sa tingin niya ikaw ay isang sipsip na hindi alam na ang pagpili sa kabilang pinto ay ang "tamang" desisyon, at na matigas ang ulo mong panghahawakan sa iyong pinili dahil sa sikolohikal na sitwasyon ay kapag pinili mo ang kotse, at pagkatapos ay nawala ito, mas mahirap? O sa tingin ba niya ay matalino ka at pumili ng isa pang pinto, at iniaalok niya sa iyo ang pagkakataong ito dahil alam niyang tama ang hula mo sa simula pa lang at ikaw ay mabibigo at maiipit? O baka hindi siya mabait sa kanyang sarili at pinipilit kang gumawa ng isang bagay para sa iyong personal na interes dahil matagal na siyang hindi namimigay ng kotse at sinasabi sa kanya ng kanyang mga producer na naiinip na ang mga manonood at mas mabuting mamigay siya ng isang big prize soon para hindi bumagsak ang ratings?

Sa ganitong paraan, nagagawa ni Monty na mag-alok ng mga pagpipilian (minsan) at pinapanatili pa rin ang pangkalahatang posibilidad na manalo sa 1/3. Tandaan na ang posibilidad na matalo ka ay 1/3. Ang posibilidad na mahulaan mo kaagad ang tama ay 1/3, at 50% ng mga oras na iyon ay mananalo ka (1/3 x 1/2 = 1/6). Ang pagkakataong mali ang iyong hula sa una ngunit pagkatapos ay magkaroon ng pagkakataong pumili ng isa pang pinto ay 1/3, at 50% ng mga pagkakataong iyon ay mananalo ka (1/6 din). Magdagdag ng dalawang independiyenteng posibilidad na manalo at makakakuha ka ng probabilidad na 1/3, kaya't manatili ka man sa iyong pinili o pumili ng isa pang pinto, ang iyong pangkalahatang posibilidad na manalo sa buong laro ay 1/3... ang posibilidad ay hindi nagiging mas malaki. kaysa sa isang sitwasyon kung saan mahulaan mo ang pinto at ipapakita sa iyo ng nagtatanghal kung ano ang nasa likod ng pintong ito, nang walang pagkakataong pumili ng isa pang pinto! Kaya't ang punto ng pag-aalok ng opsyon na pumili ng ibang pinto ay hindi upang baguhin ang posibilidad, ngunit upang gawing mas masaya ang proseso ng paggawa ng desisyon na panoorin sa telebisyon.

Sa pamamagitan ng paraan, ito ay isa sa mga dahilan kung bakit ang poker ay maaaring maging lubhang kawili-wili: sa karamihan ng mga format, sa pagitan ng mga round kapag ang mga taya ay ginawa (halimbawa, ang flop, turn at ilog sa Texas Hold'em), ang mga card ay unti-unting nabubunyag, at kung sa simula ng laro mayroon kang isang posibilidad na manalo, pagkatapos pagkatapos ng bawat pag-ikot ng pagtaya, kapag mas maraming card ang naipakita, ang posibilidad na ito ay nagbabago.

Kabalintunaan ng lalaki at babae

Dinadala tayo nito sa isa pang sikat na kabalintunaan na karaniwang palaisipan sa lahat - ang boy-girl na kabalintunaan. Ang tanging bagay na isinusulat ko ngayon na hindi direktang nauugnay sa mga laro (bagama't sa palagay ko ay nangangahulugan lamang iyon na dapat kitang hikayatin na lumikha ng mga nauugnay na mekanika ng laro). Ito ay higit pa sa isang palaisipan, ngunit isang kawili-wiling isa, at upang malutas ito, kailangan mong maunawaan ang kondisyong posibilidad, na pinag-usapan natin sa itaas.

Problema: Mayroon akong kaibigan na may dalawang anak, kahit isa babae ang bata. Ano ang posibilidad na ang pangalawang anak Pareho babae? Ipagpalagay natin na sa alinmang pamilya ay mayroong 50/50 na pagkakataon na magkaroon ng isang babae o isang lalaki, at ito ay totoo para sa bawat bata (sa katunayan, ang ilang mga lalaki ay may mas maraming tamud na may isang X chromosome o isang Y chromosome, kaya ang posibilidad ay nagbabago. kaunti kung alam mo na ang isang bata ay isang babae, ang posibilidad na magkaroon ng isang babae ay bahagyang mas mataas, bilang karagdagan mayroong iba pang mga kondisyon, halimbawa, hermaphroditism, ngunit upang malutas ang problemang ito, hindi namin ito isasaalang-alang at ipagpalagay na ang kapanganakan ng isang bata ay isang malayang kaganapan at ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki o babae ay pareho).

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa 1/2 na pagkakataon, intuitively inaasahan nating ang sagot ay malamang na 1/2 o 1/4, o ilang iba pang round number na isang multiple ng dalawa. Ngunit ang sagot ay: 1/3 . Teka, bakit?

Ang hirap dito ay nababawasan ng impormasyong mayroon kami sa bilang ng mga posibilidad. Ipagpalagay na ang mga magulang ay mga tagahanga ng Sesame Street at, hindi alintana kung ang bata ay ipinanganak na lalaki o babae, pinangalanan ang kanilang mga anak na A at B. Sa ilalim ng normal na mga kondisyon, mayroong apat na magkaparehong posibilidad: A at B ay dalawang lalaki, A at Si B ay dalawang babae, si A ay isang lalaki at si B ay isang babae, si A ay isang babae at si B ay isang lalaki. Since alam naman natin yun kahit isa ang bata ay babae, maaari nating alisin ang posibilidad na si A at B ay dalawang lalaki, kaya natitira sa amin ang tatlo (parehong malamang) na mga posibilidad. Kung ang lahat ng mga posibilidad ay pantay na posibilidad at mayroong tatlo sa kanila, alam natin na ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay 1/3. Sa isa lamang sa tatlong pagpipiliang ito ay parehong mga batang babae, kaya ang sagot ay 1/3.

At muli tungkol sa kabalintunaan ng isang batang lalaki at isang babae

Ang solusyon sa problema ay nagiging mas hindi makatwiran. Isipin na sasabihin ko sa iyo na ang aking kaibigan ay may dalawang anak at isang anak - batang babae na ipinanganak noong Martes. Ipagpalagay natin na sa ilalim ng normal na mga kondisyon ang posibilidad na maipanganak ang isang bata sa isa sa pitong araw ng linggo ay pareho. Ano ang posibilidad na ang pangalawang anak ay babae rin? Maaari mong isipin na ang sagot ay 1/3 pa rin; Ano ang kahalagahan ng Martes? Ngunit kahit na sa kasong ito, nabigo tayo ng intuwisyon. Sagot: 13/27 , na hindi lamang hindi alam, ito ay lubhang kakaiba. Anong problema sa kasong ito?

Sa katunayan, binago ng Martes ang posibilidad dahil hindi natin alam Alin ipinanganak si baby noong Martes o di kaya dalawang bata ipinanganak noong Martes. Sa kasong ito, ginagamit namin ang parehong lohika tulad ng nasa itaas, binibilang namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon kapag kahit isang bata ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ipagpalagay natin na ang mga pangalan ng mga bata ay A at B, ang mga kumbinasyon ay ganito ang hitsura:

• Si A ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si B ay isang lalaki (sa sitwasyong ito ay may 7 posibilidad, isa para sa bawat araw ng linggo kung kailan maaaring ipanganak ang isang lalaki).
• Si B ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si A ay isang lalaki (7 din ang mga posibilidad).
• Si A ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si B ay isang batang babae na ipinanganak noong isa pa araw ng linggo (6 na posibilidad).
• Si B ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si A ay isang batang babae na hindi ipinanganak noong Martes (6 na posibilidad din).
• Ang A at B ay dalawang batang babae na ipinanganak noong Martes (1 posibilidad, kailangan mong bigyang pansin ito upang hindi mabilang nang dalawang beses).

Nagdaragdag kami at nakakakuha ng 27 magkakaibang magkaparehong posibleng kumbinasyon ng mga kapanganakan ng mga bata at mga araw na may kahit isang posibilidad na maipanganak ang isang batang babae sa Martes. Sa mga ito, mayroong 13 posibilidad kapag ipinanganak ang dalawang batang babae. Ito rin ay tila ganap na hindi makatwiran, at tila ang gawaing ito ay nilikha para lamang magdulot ng pananakit ng ulo. Kung naguguluhan ka pa rin sa halimbawang ito, may magandang paliwanag ang game theorist na si Jesper Juhl sa isyung ito sa kanyang website.

Kung kasalukuyan kang nagtatrabaho sa isang laro...

Kung mayroong randomness sa laro na iyong idinisenyo, ito ay isang magandang oras upang pag-aralan ito. Pumili ng ilang elemento na gusto mong suriin. Tanungin muna ang iyong sarili kung ano ang posibilidad para sa isang naibigay na elemento ayon sa iyong mga inaasahan, kung ano sa tingin mo ang dapat na nasa konteksto ng laro. Halimbawa, kung gumagawa ka ng RPG at iniisip mo kung ano ang posibilidad na matalo ng isang manlalaro ang isang halimaw sa labanan, tanungin ang iyong sarili kung anong porsyento ng panalo ang tama para sa iyo. Kadalasan kapag naglalaro ng mga console RPG, ang mga manlalaro ay labis na nagagalit kapag sila ay natatalo, kaya mas mabuti kung hindi sila madalas matalo... marahil 10% ng oras o mas kaunti? Kung ikaw ay isang RPG designer, malamang na mas alam mo kaysa sa akin, ngunit kailangan mong magkaroon ng isang pangunahing ideya kung ano ang maaaring mangyari.

Pagkatapos ay tanungin ang iyong sarili kung ito ay isang bagay umaasa(tulad ng mga card) o malaya(parang dice). Pag-aralan ang lahat ng posibleng resulta at ang kanilang mga probabilidad. Siguraduhin na ang kabuuan ng lahat ng probabilities ay 100%. At sa wakas, siyempre, ihambing ang iyong mga resulta sa mga resulta ng iyong mga inaasahan. Nangyayari ba ang dice rolling o card drawing sa paraang nilayon mo o nakikita mo ba na kailangan mong ayusin ang mga value. At, siyempre, kung ikaw mahahanap mo kung ano ang kailangang ayusin, maaari mong gamitin ang parehong mga kalkulasyon upang matukoy kung magkano ang isang bagay na kailangang ayusin!

Takdang aralin

Ang iyong "araling-bahay" sa linggong ito ay tutulong sa iyo na patalasin ang iyong mga kakayahan sa posibilidad. Narito ang dalawang dice games at isang card game na susuriin mo gamit ang probability, pati na rin ang kakaibang game mechanic na minsan kong binuo na susubok sa Monte Carlo method.

Laro #1 - Dragon Bones

Ito ay isang larong dice na minsan naisip namin ng aking mga kasamahan (salamat kina Jeb Havens at Jesse King!), at partikular na pumupukaw sa isip ng mga tao sa mga probabilidad nito. Ito ay isang simpleng laro ng casino na tinatawag na "Dragon Dice" at isa itong kumpetisyon sa dice sa pagsusugal sa pagitan ng manlalaro at ng bahay. Binigyan ka ng normal na 1d6 die. Ang layunin ng laro ay i-roll ang isang numero na mas mataas kaysa sa bahay. Si Tom ay binibigyan ng isang hindi karaniwang 1d6 - katulad ng sa iyo, ngunit sa halip na isang 1 sa isang gilid ay mayroong isang imahe ng isang Dragon (kaya, ang casino ay may isang Dragon die - 2-3-4-5-6). Kung makuha ng bahay ang Dragon, awtomatiko itong mananalo at matatalo ka. Kung pareho kayong nakakuha ng parehong numero, ito ay isang tie at muli kang gumulong ng dice. Ang isa na gumulong ng pinakamataas na bilang ang panalo.

Siyempre, ang lahat ay hindi gumagana nang buo sa pabor ng manlalaro, dahil ang casino ay may kalamangan sa anyo ng Dragon's Edge. Pero totoo nga ba ito? Kailangan mong kalkulahin ito. Ngunit bago iyon, suriin ang iyong intuwisyon. Sabihin natin na ang panalo ay 2 sa 1. Kaya kung manalo ka, panatilihin mo ang iyong taya at doble ang iyong taya. Halimbawa, kung tumaya ka ng $1 at manalo, pananatilihin mo ang dolyar na iyon at makakakuha ka ng 2 pa sa itaas para sa kabuuang $3. Kung matalo ka, talo ka lang. Maglalaro ka ba? Kaya, intuitively mo bang nararamdaman na ang posibilidad ay mas malaki kaysa sa 2 hanggang 1, o sa tingin mo ba ay mas mababa pa ito? Sa madaling salita, sa average sa 3 laro, inaasahan mo bang manalo ng higit sa isang beses, o mas kaunti, o isang beses?

Kapag naayos mo na ang iyong intuwisyon, gumamit ng matematika. Mayroon lamang 36 na posibleng posisyon para sa parehong dice, kaya mabibilang mo silang lahat nang walang anumang problema. Kung hindi ka sigurado tungkol sa 2-for-1 na alok na iyon, isaalang-alang ito: Sabihin nating naglaro ka ng laro ng 36 na beses (pagpusta ng $1 bawat oras). Para sa bawat panalo makakakuha ka ng 2 dolyar, para sa bawat pagkatalo matatalo ka ng 1, at ang isang tabla ay hindi nagbabago ng anuman. Kalkulahin ang lahat ng iyong malamang na mga panalo at pagkatalo at magpasya kung ikaw ay matatalo o makakakuha ng isang tiyak na halaga ng mga dolyar. Pagkatapos ay tanungin ang iyong sarili kung gaano katama ang iyong intuwisyon. At pagkatapos ay mapagtanto kung ano ako ay isang kontrabida.

At, oo, kung naisip mo na ang tanong na ito - sadyang ginugulo kita sa pamamagitan ng maling pagkatawan sa aktwal na mekanika ng mga laro ng dice, ngunit sigurado akong malalampasan mo ang balakid na ito sa kaunting pag-iisip lamang. Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Ipo-post ko ang lahat ng sagot dito sa susunod na linggo.

Game No. 2 - Ihagis para sa suwerte

Ito ay isang laro ng dice sa pagsusugal na tinatawag na "Roll for Luck" (din ay "Birdcage" dahil minsan ang mga dice ay hindi inihahagis, ngunit inilalagay sa isang malaking wire cage, na nagpapaalala sa hawla mula sa "Bingo"). Ito ay isang simpleng laro na karaniwang bumabagsak dito: Taya, sabihin nating, $1 sa isang numero mula 1 hanggang 6. Pagkatapos ay i-roll mo ang 3d6. Para sa bawat mamatay na makakarating sa iyong numero, makakakuha ka ng $1 (at panatilihin ang iyong orihinal na taya). Kung ang iyong numero ay hindi lumabas sa anumang dice, makukuha ng casino ang iyong dolyar at wala kang makukuha. Kaya kung tumaya ka sa isang 1 at nakakuha ka ng 1 sa mga gilid ng tatlong beses, makakakuha ka ng $3.

Intuitively, tila ang larong ito ay may pantay na pagkakataon. Ang bawat mamatay ay isang indibidwal na 1 sa 6 na pagkakataong manalo, kaya kapag pinagsama mo ang lahat ng tatlo, ang iyong pagkakataong manalo ay 3 sa 6. Gayunpaman, siyempre, tandaan na nagdaragdag ka ng tatlong magkakahiwalay na dice, at pinapayagan ka lamang na magdagdag kanila kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa magkahiwalay na mga kumbinasyon ng panalong ng parehong mamatay. Isang bagay na kakailanganin mong paramihin.

Sa sandaling kalkulahin mo ang lahat ng posibleng resulta (marahil mas madaling gawin sa Excel kaysa sa pamamagitan ng kamay, dahil mayroong 216 sa kanila), ang laro ay mukhang kakaiba-kahit sa unang tingin. Ngunit sa totoo lang, mas malaki pa rin ang tsansa ng casino na manalo—magkano pa? Sa partikular, gaano karaming pera sa karaniwan ang inaasahan mong matatalo sa bawat round ng laro? Ang kailangan mo lang gawin ay dagdagan ang mga panalo at pagkatalo ng lahat ng 216 na resulta at pagkatapos ay hatiin sa 216, na dapat ay medyo simple... Ngunit tulad ng nakikita mo, may ilang mga bitag na maaari mong mahulog, at iyon ang dahilan kung bakit ako Sinasabi ko sa iyo: Kung sa tingin mo ang larong ito ay may pantay na pagkakataong manalo, nagkakamali ka.

Laro #3 - 5 Card Stud Poker

Kung nag-init ka na sa mga nakaraang laro, tingnan natin kung ano ang alam namin tungkol sa conditional probability gamit ang card game na ito bilang halimbawa. Sa partikular, isipin natin ang isang larong poker na may 52-card deck. Isipin din natin ang 5 card stud, kung saan ang bawat manlalaro ay tumatanggap lamang ng 5 card. Hindi mo maaaring itapon ang isang card, hindi ka maaaring gumuhit ng bago, walang nakabahaging deck - makakakuha ka lamang ng 5 card.

Ang royal flush ay 10-J-Q-K-A sa isang banda, may apat sa kabuuan, kaya may apat na posibleng paraan para makakuha ng royal flush. Kalkulahin ang posibilidad na makakuha ka ng isang ganoong kumbinasyon.

Dapat kong bigyan ng babala ang isang bagay: tandaan na maaari mong iguhit ang limang card na ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Iyon ay, maaari kang gumuhit muna ng isang alas o isang sampu, hindi mahalaga. Kaya kapag kinakalkula ito, tandaan na mayroon talagang higit sa apat na paraan upang makakuha ng royal flush, sa pag-aakalang ang mga card ay naibigay sa pagkakasunud-sunod!

Laro No. 4 - IMF Lottery

Ang ika-apat na problema ay hindi malulutas nang napakadali gamit ang mga pamamaraan na napag-usapan natin ngayon, ngunit madali mong gayahin ang sitwasyon gamit ang programming o Excel. Sa halimbawa ng problemang ito maaari mong gawin ang pamamaraan ng Monte Carlo.

Nabanggit ko kanina ang larong "Chron X", na minsan kong pinaghirapan, at mayroong isang napaka-interesante na card doon - ang IMF lottery. Narito kung paano ito gumana: ginamit mo ito sa isang laro. Pagkatapos ng round, ang mga card ay muling ipinamahagi at may 10% na pagkakataon na ang card ay mawawala sa laro at ang isang random na manlalaro ay makakatanggap ng 5 unit ng bawat uri ng mapagkukunan na ang token ay nasa card na iyon. Ang card ay pinasok sa laro nang walang isang chip, ngunit sa bawat oras na ito ay nanatili sa paglalaro sa simula ng susunod na round, ito ay nakatanggap ng isang chip. Kaya may 10% na pagkakataon na kung ilalaro mo ito, matatapos ang round, aalis ang card sa laro, at walang makakakuha ng kahit ano. Kung hindi ito mangyayari (90% na pagkakataon), mayroong 10% na pagkakataon (talagang 9%, dahil ito ay 10% ng 90%) na sa susunod na round ay aalis siya sa laro at may makakatanggap ng 5 yunit ng mapagkukunan. Kung ang card ay umalis sa laro pagkatapos ng isang round (10% ng 81% na magagamit, kaya ang posibilidad ay 8.1%), may makakatanggap ng 10 unit, isa pang round - 15, isa pa - 20, at iba pa. Tanong: Ano ang pangkalahatang inaasahang halaga ng bilang ng mga mapagkukunang makukuha mo mula sa card na ito kapag tuluyan na itong umalis sa laro?

Karaniwan ay susubukan naming lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng paghahanap ng posibilidad ng bawat resulta at pagpaparami sa bilang ng lahat ng resulta. Kaya mayroong 10% na pagkakataon na makakakuha ka ng 0 (0.1*0 = 0). 9% na makakatanggap ka ng 5 unit ng resources (9%*5 = 0.45 resources). 8.1% ng makukuha mo ay 10 (8.1%*10 = 0.81 resources sa kabuuan, inaasahang halaga). At iba pa. At pagkatapos ay ibubuod natin ang lahat.

At ngayon ang problema ay halata sa iyo: palaging may pagkakataon na ang card Hindi aalis sa laro para manatili siya sa laro magpakailanman, para sa isang walang katapusang bilang ng mga round, kaya posible na kalkulahin bawat posibilidad ay wala. Ang mga pamamaraan na natutunan natin ngayon ay hindi nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang walang katapusang recursion, kaya kailangan nating lumikha nito nang artipisyal.

Kung ikaw ay sapat na mahusay sa programming, sumulat ng isang programa na gayahin ang mapa na ito. Dapat ay mayroon kang time loop na nagdadala ng variable sa panimulang posisyon na zero, nagpapakita ng random na numero at may 10% na pagkakataong lumabas ang variable sa loop. Kung hindi, nagdaragdag ito ng 5 sa variable at umuulit ang loop. Kapag sa wakas ay lumabas na ito sa loop, dagdagan ang kabuuang bilang ng pagsubok na tumatakbo ng 1 at ang kabuuang bilang ng mga mapagkukunan (kung magkano ang depende sa kung saan nagtatapos ang variable). Pagkatapos ay i-reset ang variable at magsimulang muli. Patakbuhin ang programa ng ilang libong beses. Panghuli, hatiin ang kabuuang bilang ng mga mapagkukunan sa kabuuang bilang ng mga pagtakbo - ito ang iyong inaasahang halaga ng Monte Carlo. Patakbuhin ang programa nang maraming beses upang matiyak na ang mga numerong makukuha mo ay halos pareho; kung malaki pa rin ang scatter, dagdagan ang bilang ng mga pag-uulit sa panlabas na loop hanggang sa magsimula kang makakuha ng mga tugma. Makatitiyak ka na kahit anong mga numero ang mapupuntahan mo ay tinatayang tama.

Kung hindi ka pamilyar sa programming (at kahit na ikaw ay), narito ang isang maliit na ehersisyo upang painitin ang iyong mga kasanayan sa Excel. Kung ikaw ay isang taga-disenyo ng laro, ang mga kasanayan sa Excel ay hindi kailanman isang masamang bagay.

Ngayon ay makikita mo ang IF at RAND function na lubhang kapaki-pakinabang. Ang RAND ay hindi nangangailangan ng mga halaga, naglalabas lamang ito ng random na decimal na numero sa pagitan ng 0 at 1. Karaniwang pinagsama namin ito sa FLOOR at mga plus at minus upang gayahin ang pag-roll ng dice, na kung ano ang nabanggit ko kanina. Gayunpaman, sa kasong ito, nag-iiwan lang kami ng 10% na pagkakataon na umalis ang card sa laro, para tingnan lang namin kung mas mababa sa 0.1 ang halaga ng RAND at huwag nang mag-alala tungkol dito.

IF ay may tatlong kahulugan. Sa pagkakasunud-sunod: isang kundisyon na alinman sa totoo o mali, pagkatapos ay isang halaga na ibinalik kung ang kundisyon ay totoo, at isang halaga na ibinalik kung ang kundisyon ay mali. Kaya ang sumusunod na function ay babalik ng 5% ng oras, at 0 ang iba pang 90% ng oras:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Mayroong maraming mga paraan upang itakda ang command na ito, ngunit gagamitin ko ang formula na ito para sa cell na kumakatawan sa unang round, sabihin nating ito ay cell A1:

KUNG(RAND()<0.1,0,-1)

Gumagamit ako dito ng negatibong variable para nangangahulugang "ang card na ito ay hindi umalis sa laro at hindi pa sumusuko ng anumang mapagkukunan." Kaya't kung ang unang round ay tapos na at ang card ay umalis sa laro, ang A1 ay 0; kung hindi ito ay -1.

Para sa susunod na cell na kumakatawan sa ikalawang round:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Kaya kung natapos ang unang round at agad na umalis ang card sa laro, ang A1 ay 0 (ang bilang ng mga mapagkukunan) at kokopyahin lang ng cell na ito ang halagang iyon. Kung hindi, ang A1 ay -1 (ang card ay hindi pa umaalis sa laro), at ang cell na ito ay patuloy na gumagalaw nang random: 10% ng oras na ito ay magbabalik ng 5 yunit ng mga mapagkukunan, sa natitirang oras ang halaga nito ay katumbas pa rin ng -1. Kung ilalapat namin ang formula na ito sa mga karagdagang cell, makakakuha kami ng mga karagdagang round, at alinmang cell ang mapupuntahan mo ay magbibigay sa iyo ng huling resulta (o -1 kung hindi na umalis ang card sa laro pagkatapos ng lahat ng mga round na nilaro mo).

Kunin ang row ng mga cell na iyon, na kumakatawan sa tanging round na may card na iyon, at kopyahin at i-paste ang ilang daang (o libong) row. Baka hindi natin magawa walang katapusan pagsubok para sa Excel (mayroong isang limitadong bilang ng mga cell sa isang talahanayan), ngunit hindi bababa sa maaari naming saklawin ang karamihan ng mga kaso. Pagkatapos ay pumili ng isang cell kung saan mo ilalagay ang average ng mga resulta ng lahat ng round (Excel mabait na nagbibigay ng AVERAGE() function para dito).

Sa Windows, maaari mong pindutin ang F9 man lang para muling kalkulahin ang lahat ng random na numero. Gaya ng dati, gawin ito ng ilang beses at tingnan kung pareho ang mga value na makukuha mo. Kung masyadong malaki ang spread, doblehin ang bilang ng mga run at subukang muli.

Mga problemang hindi nalutas

Kung nagkataon lang na may degree ka sa Probability at ang mga problema sa itaas ay tila napakadali, narito ang dalawang problema na napakamot sa ulo ko sa loob ng maraming taon, ngunit sayang, hindi ako sapat sa matematika upang malutas ang mga ito. Kung may alam kang solusyon, mangyaring i-post ito dito sa mga komento, ikalulugod kong basahin ito.

Hindi Nalutas na Problema #1: LotteryIMF

Ang unang hindi nalutas na problema ay ang nakaraang takdang-aralin. Madali kong mailalapat ang pamamaraan ng Monte Carlo (gamit ang C++ o Excel) at maging kumpiyansa sa sagot sa tanong na "ilang mapagkukunan ang matatanggap ng manlalaro", ngunit hindi ko alam kung paano eksaktong magbigay ng eksaktong mapapatunayang sagot sa matematika (ito ay isang walang katapusang serye). If you know the answer, post it here... after testing it with Monte Carlo, syempre.

Hindi nalutas na problema #2: Mga pagkakasunud-sunod ng mga figure

Ang problemang ito (at muli itong lumampas sa mga gawaing nalutas sa blog na ito) ay ibinigay sa akin ng isang kaibigang gamer higit sa 10 taon na ang nakakaraan. Napansin niya ang isang kawili-wiling bagay habang naglalaro ng blackjack sa Vegas: nang kumuha siya ng mga card mula sa isang 8-deck na sapatos, nakita niya sampu figure sa isang hilera (isang piraso, o face card - 10, Joker, King o Queen, kaya mayroong 16 sa kabuuan sa isang karaniwang 52-card deck, kaya mayroong 128 sa isang 416-card na sapatos). Ano ang posibilidad na sa sapatos na ito kahit na isang pagkakasunod-sunod ng sampu o higit pang mga figures? Ipagpalagay natin na sila ay na-shuffle nang patas, sa random na pagkakasunud-sunod. (O, kung gusto mo, ano ang posibilidad na iyon hindi matatagpuan kahit saan isang pagkakasunud-sunod ng sampu o higit pang mga numero?)

Maaari nating gawing simple ang gawain. Narito ang isang sequence ng 416 na bahagi. Ang bawat bahagi ay isang 0 o isang 1. Mayroong 128 mga isa at 288 na mga sero na random na nakakalat sa buong pagkakasunud-sunod. Gaano karaming mga paraan ang mayroon upang random na intersperse ang 128 na may 288 na mga zero, at gaano karaming beses sa mga paraang ito magkakaroon ng hindi bababa sa isang grupo ng sampu o higit pa?

Sa tuwing sinimulan kong lutasin ang problemang ito, tila madali at halata sa akin, ngunit sa sandaling pag-aralan ko ang mga detalye, bigla itong nahulog at tila imposible sa akin. Kaya't huwag magmadaling sabihin ang sagot: umupo, mag-isip nang mabuti, pag-aralan ang mga kondisyon ng problema, subukang isaksak ang mga tunay na numero, dahil lahat ng mga taong nakausap ko tungkol sa problemang ito (kabilang ang ilang nagtapos na mga mag-aaral na nagtatrabaho sa larangang ito. ) reacted about the same : "It's completely obvious... oh, no, wait, it's not obvious at all." Ito ang mismong kaso kung saan wala akong paraan para sa pagkalkula ng lahat ng mga opsyon. Tiyak na maaari kong pilitin ang problema sa pamamagitan ng isang algorithm ng computer, ngunit mas magiging interesado akong malaman ang mathematical na paraan upang malutas ang problemang ito.

Pagsasalin - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Ano ang tatlong batas ng randomness at kung bakit ang unpredictability ay nagbibigay sa atin ng pagkakataong gumawa ng pinaka maaasahang mga hula.

Ang ating isip ay lumalaban sa ideya ng pagkakataon nang buong lakas. Sa paglipas ng aming ebolusyon bilang isang species, nabuo namin ang kakayahang maghanap ng mga sanhi-at-epekto na relasyon sa lahat ng bagay. Matagal bago ang pagdating ng agham, alam na natin na ang isang pulang-pula na paglubog ng araw ay naglalarawan ng isang mapanganib na bagyo, at ang isang nilalagnat na pamumula sa mukha ng isang sanggol ay nangangahulugan na ang kanyang ina ay magkakaroon ng isang mahirap na gabi. Awtomatikong sinusubukan ng ating isip na buuin ang data na natatanggap natin sa paraang makakatulong ito sa atin na gumawa ng mga konklusyon mula sa ating mga obserbasyon at gamitin ang mga konklusyong ito upang maunawaan at mahulaan ang mga kaganapan.

Ang ideya ng pagiging random ay napakahirap tanggapin dahil sumasalungat ito sa pangunahing likas na ugali na nagpipilit sa atin na maghanap ng mga makatwirang pattern sa mundo sa paligid natin. At ang mga aksidente ay nagpapakita sa amin na ang gayong mga pattern ay hindi umiiral. Nangangahulugan ito na ang randomness ay pangunahing nililimitahan ang ating intuwisyon, dahil ito ay nagpapatunay na may mga proseso na ang kurso ay hindi natin ganap na mahulaan. Ang konseptong ito ay hindi madaling tanggapin, kahit na ito ay isang mahalagang bahagi ng mekanismo ng Uniberso. Nang hindi nauunawaan kung ano ang randomness, makikita natin ang ating sarili sa isang dead end sa isang perpektong predictable na mundo na sadyang hindi umiiral sa labas ng ating imahinasyon.

Sasabihin ko lamang na kapag napag-aralan na natin ang tatlong aphorism - ang tatlong batas ng pagkakataon - maaari nating palayain ang ating sarili mula sa ating primitive na pagnanais para sa predictability at tanggapin ang Uniberso kung ano ito, at hindi tulad ng gusto natin.

Umiiral ang randomness

Gumagamit kami ng anumang mga mekanismo ng pag-iisip upang maiwasan ang pagharap sa pagkakataon. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa karma, ang cosmic equalizer na ito na nag-uugnay sa tila hindi nauugnay na mga bagay. Naniniwala kami sa mabuti at masamang mga tanda, sa katotohanang "mahal ng Diyos ang trinity", sinasabi namin na naiimpluwensyahan kami ng lokasyon ng mga bituin, mga yugto ng buwan at paggalaw ng mga planeta. Kung kami ay nasuri na may kanser, awtomatiko naming sinisikap na sisihin ito sa isang bagay (o isang tao).

Ngunit maraming pangyayari ang hindi lubos na mahulaan o maipaliwanag. Nangyayari ang mga sakuna nang hindi mahuhulaan, at kapwa ang mabubuti at masasamang tao ay nagdurusa, kasama na yaong mga ipinanganak “sa ilalim ng isang masuwerteng bituin” o “sa ilalim ng isang paborableng tanda.” Minsan nagagawa nating hulaan ang isang bagay, ngunit ang pagkakataon ay madaling pabulaanan kahit na ang pinaka maaasahang mga hula. Huwag magtaka kung ang iyong napakataba na kapitbahay na biker na naninigarilyo ay mas matagal kaysa sa iyo.

Bukod dito, ang mga random na kaganapan ay maaaring magpanggap na hindi random. Kahit na ang pinaka-matalino na siyentipiko ay maaaring nahihirapan sa pagkilala sa pagitan ng isang tunay na epekto at isang random na pagbabagu-bago. Maaaring gawin ng pagkakataon ang mga placebo bilang mga magic na pagpapagaling at hindi nakakapinsalang mga compound sa mga nakamamatay na lason; at maaari pang lumikha ng mga subatomic na particle mula sa wala.

Ang ilang mga kaganapan ay hindi mahuhulaan

Kung pupunta ka sa anumang casino sa Las Vegas at panoorin ang karamihan ng mga manlalaro sa mga gaming table, malamang na makakita ka ng isang tao na nag-iisip na siya ay masuwerte ngayon. Ilang beses na siyang nanalo, at tiniyak ng kanyang utak na siya ay patuloy na mananalo, kaya patuloy na tumataya ang mananaya. Makakakita ka rin ng isang taong natalo. Ang utak ng natalo, tulad ng utak ng nagwagi, ay nagpapayo rin sa kanya na ipagpatuloy ang laro: dahil maraming beses kang natalo nang sunud-sunod, nangangahulugan ito na ngayon ay malamang na magsisimula kang suwertehin. Katangahan ang umalis ngayon at palalampasin ang pagkakataong ito.

Ngunit anuman ang sabihin sa atin ng ating utak, walang mahiwagang puwersa na makapagbibigay sa atin ng isang "masuwerteng guhit", o isang unibersal na hustisya na titiyakin na ang natalo sa wakas ay magsisimulang manalo. Ang uniberso ay walang pakialam kung manalo ka o matalo; Para sa kanya, lahat ng dice roll ay pareho.

Gaano man kalaki ang iyong pagsisikap na panoorin muli ang dice roll, at gaano man kalapit ang pagtingin mo sa mga manlalaro na sa tingin nila ay sinuwerte, wala kang makukuhang impormasyon tungkol sa susunod na roll. Ang resulta ng bawat paghagis ay ganap na independiyente sa kasaysayan ng mga nakaraang paghagis. Samakatuwid, ang anumang pag-asa na ang isa ay makakakuha ng isang kalamangan sa pamamagitan ng panonood ng laro ay tiyak na mapapahamak sa kabiguan. Ang ganitong mga kaganapan - independyente sa anumang bagay at ganap na random - sumasalungat sa anumang pagtatangka upang makahanap ng mga pattern, dahil ang mga pattern na ito ay hindi umiiral.

Ang pagiging random ay nagdudulot ng hadlang sa katalinuhan ng tao dahil ipinapakita nito na ang lahat ng ating lohika, lahat ng ating agham at pangangatwiran ay hindi ganap na mahulaan ang pag-uugali ng uniberso. Kahit anong paraan ang gamitin mo, kahit anong teorya ang imbentuhin mo, kahit anong lohika ang ilapat mo para mahulaan ang resulta ng isang dice roll, lima sa anim na beses ang matatalo mo. Laging.

Ang isang kumplikadong mga random na kaganapan ay mahuhulaan, kahit na ang mga indibidwal na kaganapan ay hindi

Ang pagiging random ay nakakatakot, nililimitahan nito ang pagiging maaasahan ng kahit na ang pinaka-sopistikadong mga teorya at itinatago ang ilang mga elemento ng kalikasan mula sa atin, gaano man tayo patuloy na sinusubukang tumagos sa kanilang kakanyahan. Gayunpaman, hindi ito maaaring argued na ang random ay isang kasingkahulugan para sa unknowable. Ito ay hindi totoo sa lahat.

Sinusunod ng randomness ang sarili nitong mga panuntunan, at ginagawa ng mga panuntunang ito na maunawaan at mahulaan ang random na proseso.

Ang Law of Large Numbers ay nagsasaad na bagama't ang mga solong random na kaganapan ay ganap na hindi mahuhulaan, ang isang sapat na malaking sample ng mga kaganapang ito ay maaaring lubos na mahuhulaan - at kung mas malaki ang sample, mas tumpak ang hula. Ang isa pang makapangyarihang kasangkapan sa matematika, ang mga central limit theorems, ay nagpapakita rin na ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mga random na variable ay magkakaroon ng distribusyon na malapit sa normal. Gamit ang mga tool na ito, medyo tumpak nating mahulaan ang mga kaganapan sa mahabang panahon, gaano man ito kagulo, kakaiba at random sa maikling panahon.

Ang mga alituntunin ng pagkakataon ay napakalakas na ang mga ito ang naging batayan ng pinaka-hindi nababago at hindi nababagong mga batas ng pisika. Bagama't ang mga atomo sa isang lalagyan ng gas ay random na gumagalaw, ang kanilang pangkalahatang pag-uugali ay inilalarawan ng isang simpleng hanay ng mga equation. Kahit na ang mga batas ng thermodynamics ay ipinapalagay na ang isang malaking bilang ng mga random na kaganapan ay predictable; ang mga batas na ito ay tiyak na hindi natitinag dahil ang pagkakataon ay lubos na ganap.

Ito ay kabalintunaan na ito ay ang unpredictability ng random na mga kaganapan na nagbibigay sa amin ng pagkakataon na gawin ang aming mga pinaka-maaasahang hula.

Ang bentahe ng isang online dice generator sa regular na dice ay kitang-kita - hinding-hindi ito mawawala! Ang virtual na kubo ay makakayanan ang mga pag-andar nito nang mas mahusay kaysa sa tunay - ang pagmamanipula ng mga resulta ay ganap na hindi kasama at maaari ka lamang umasa sa pagkakataon ng Kanyang Kamahalan. Ang dice online ay, bukod sa iba pang mga bagay, magandang libangan sa iyong bakanteng oras. Ang pagbuo ng isang resulta ay tumatagal ng tatlong segundo, na nagpapasigla sa kaguluhan at interes ng mga manlalaro. Upang gayahin ang mga dice roll, kailangan mo lamang pindutin ang "1" na pindutan sa keyboard, na nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala, halimbawa, mula sa isang kapana-panabik na laro ng board.

Bilang ng mga cube:

Mangyaring tulungan ang serbisyo sa isang pag-click: Sabihin sa iyong mga kaibigan ang tungkol sa generator!

Kapag nakarinig tayo ng pariralang gaya ng “Dice”, agad tayong napupunta sa asosasyon ng mga casino kung saan hindi nila magagawa kung wala sila. Upang magsimula, tandaan lamang natin ang kaunti tungkol sa kung ano ang item na ito.

Ang mga dice ay mga cube, sa bawat panig kung saan ang mga numero mula 1 hanggang 6 ay kinakatawan ng mga tuldok Kapag inihagis namin ang mga ito, palagi kaming umaasa na ang numero na aming naisip at ninanais ay lalabas. Ngunit may mga kaso kapag ang kubo, na bumabagsak sa gilid nito, ay hindi nagpapakita ng numero. Nangangahulugan ito na ang huminto sa ganitong paraan ay maaaring pumili ng sinuman.

Nangyayari din na ang kubo ay maaaring gumulong sa ilalim ng kama o aparador, at kapag ito ay inalis mula doon, ang numero ay nagbabago nang naaayon. Sa kasong ito, muling ini-roll ang die upang malinaw na makita ng lahat ang numero.

Online na dice roll sa 1 click

Sa isang larong kinasasangkutan ng mga regular na dice, napakadaling manloko. Upang makuha ang nais na numero, kailangan mong ilagay ang bahaging ito ng kubo sa itaas at i-twist ito upang ito ay mananatiling pareho (tanging ang gilid na bahagi lamang ang umiikot). Ito ay hindi isang kumpletong garantiya, ngunit ang panalong porsyento ay magiging pitumpu't limang porsyento.

Kung gumamit ka ng dalawang dice, kung gayon ang mga pagkakataon ay nabawasan sa tatlumpung, ngunit ito ay isang malaking porsyento pa rin. Dahil sa pagdaraya, maraming mga kampanya ng manlalaro ang hindi gustong gumamit ng dice.

Ang aming napakagandang serbisyo ay gumagana nang eksakto upang maiwasan ang mga ganitong sitwasyon. Imposibleng manloko sa amin, dahil ang online dice roll ay hindi mape-peke. Ang isang numero mula 1 hanggang 6 ay lilitaw sa pahina sa isang ganap na random at hindi nakokontrol na paraan.

Maginhawang dice generator

Ang isang napakalaking bentahe ay ang online dice generator ay hindi maaaring mawala (lalo na dahil ito ay maaaring i-bookmark), at ang isang ordinaryong maliit na dice ay madaling mawala sa isang lugar. Gayundin ang isang malaking kalamangan ay ang katotohanan na ang pagmamanipula ng mga resulta ay ganap na hindi kasama. Ang generator ay may isang function na nagbibigay-daan sa iyo upang pumili mula sa isa hanggang tatlong dice upang gumulong sa parehong oras.

Ang online dice generator ay isang napaka-kagiliw-giliw na libangan, isa sa mga paraan upang bumuo ng intuwisyon. Gamitin ang aming serbisyo at makakuha ng madalian at maaasahang mga resulta.