Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang pahayag ni Einstein na ang Diyos ay hindi naglalaro ng dice sa uniberso ay na-misinterpret

Ilan sa mga catchphrase ni Einstein ang malawak na sinipi gaya ng kanyang pahayag na ang Diyos ay hindi nakikipaglaro sa sansinukob. Natural na kinukuha ng mga tao ang nakakatawang komento niya bilang katibayan na siya ay dogmatikong sumasalungat sa quantum mechanics, na isinasaalang-alang ang randomness bilang isang tampok ng pisikal na mundo. Kapag ang nucleus ng isang radioactive na elemento ay nabubulok, ito ay kusang nangyayari, walang panuntunan na magsasabi sa iyo nang eksakto kung kailan o bakit ito mangyayari. Kapag ang isang butil ng liwanag ay bumagsak sa isang translucent na salamin, ito ay makikita mula dito o dumaan. Ang kinalabasan ay maaaring anuman hanggang sa sandaling nangyari ang kaganapang ito. At hindi mo na kailangang pumunta sa lab para makita ang ganitong uri ng proseso: maraming mga site sa Internet ang nagpapakita ng mga stream ng mga random na numero na nabuo ng mga Geiger counter o quantum optics device. Ang pagiging hindi mahuhulaan kahit sa prinsipyo, ang mga naturang numero ay mainam para sa cryptography, istatistika at online poker tournaments.

Einstein, gaya ng karaniwang alamat. tumanggi na tanggapin ang katotohanan na ang ilang mga kaganapan ay hindi tiyak dahil sa kanilang kalikasan. - nangyayari lang sila at walang magagawa para malaman kung bakit. Nananatiling halos nasa kahanga-hangang paghihiwalay, napapaligiran ng mga katumbas, kumapit siya ng magkabilang kamay sa mekanikal na Uniberso ng klasikal na pisika, sa mekanikal na pagsukat ng mga segundo, kung saan ang bawat sandali ay paunang natukoy kung ano ang mangyayari sa susunod. Ang linya ng dice ay naging indikasyon ng kabilang panig ng kanyang buhay: ang trahedya ng isang rebolusyonaryo na naging reaksyunaryo na nag-rebolusyon sa physics gamit ang kanyang teorya ng relativity, ngunit - gaya ng diplomatikong sinabi ni Niels Bohr - nahaharap sa quantum theory, "naiwan sa hapunan."

Gayunpaman, sa paglipas ng mga taon, maraming mga istoryador, pilosopo at pisiko ang nagtanong sa interpretasyong ito ng kuwento. Sa paglubog sa dagat ng lahat ng aktwal na sinabi ni Einstein, nalaman nila na ang kanyang mga paghatol tungkol sa hindi mahuhulaan ay mas radikal at mas nuanced kaysa sa karaniwang inilalarawan. "Ang pagsisikap na hukayin ang totoong kuwento ay nagiging isang bagay ng isang misyonero," sabi ni Don Howard (Don A. Howard), isang mananalaysay sa Unibersidad ng Notre Dame. Gaya ng ipinakita niya at ng iba pang mga mananalaysay ng agham, kinilala ni Einstein ang hindi tiyak na katangian ng quantum mechanics - na hindi nakakagulat, dahil siya ang nakatuklas ng indeterminism nito. Ang hindi niya kailanman kinilala ay ang indeterminism ay pundamental sa kalikasan. Ang lahat ng ito ay nagpapahiwatig na ang problema ay lumitaw sa isang mas malalim na antas ng katotohanan, na hindi sinasalamin ng teorya. Ang kanyang pagpuna ay hindi mystical, ngunit nakatuon sa mga tiyak na problemang pang-agham na nananatiling hindi nalutas hanggang sa araw na ito.

Ang tanong kung ang uniberso ay isang clockwork o isang dice table ay nagpapahina sa mga pundasyon ng kung ano ang iniisip natin na physics: ang paghahanap ng mga simpleng panuntunan na sumasailalim sa kamangha-manghang pagkakaiba-iba ng kalikasan. Kung may nangyari nang walang dahilan, tinatapos nito ang makatuwirang pagtatanong. "Ang pangunahing indeterminism ay nangangahulugan ng pagtatapos ng agham," sabi ni Andrew S. Friedman, isang cosmologist sa Massachusetts Institute of Technology. Ngunit ang mga pilosopo sa buong kasaysayan ay naniniwala na ang indeterminism ay isang kinakailangang kondisyon para sa malayang pagpapasya ng tao. Alinman sa lahat tayo ay mga gear ng isang mekanismo ng relos, at samakatuwid ang lahat ng ating ginagawa ay paunang natukoy, o tayo ang ahente ng ating sariling kapalaran, kung saan ang Uniberso ay hindi pa rin dapat maging deterministiko.

Ang dichotomy na ito ay nagkaroon ng tunay na mga kahihinatnan sa paraan ng pananagutan ng lipunan sa mga tao para sa kanilang mga aksyon. Ang aming legal na sistema ay nakabatay sa pagpapalagay ng malayang pagpapasya; para mapatunayang nagkasala ang nasasakdal, dapat ay kumilos siya nang may layunin. Palaging palaisipan ng mga korte ang tanong: paano kung ang isang tao ay inosente dahil sa pagkabaliw, pagiging impulsive ng kabataan, o isang bulok na kapaligiran sa lipunan?

Gayunpaman, sa tuwing pinag-uusapan ng mga tao ang isang dichotomy, malamang na subukan nilang ilantad ito bilang isang maling kuru-kuro. Sa katunayan, maraming mga pilosopo ang naniniwala na walang kabuluhan ang pag-usapan kung ang uniberso ay deterministiko o hindi deterministiko. Maaari itong pareho, depende sa kung gaano kalaki o kumplikado ang paksa ng pag-aaral: mga particle, atoms, molecule, cell, organisms, psyche, mga komunidad. "Ang pagkakaiba sa pagitan ng determinism at indeterminism ay isang pagkakaiba depende sa antas ng pag-aaral ng problema," sabi ni Christian List, isang pilosopo sa London School of Economics and Political Science, "Kahit na napansin mo ang determinismo sa ilang partikular na antas, ito ay medyo pare-pareho sa indeterminism sa parehong mas mataas at mas mababang antas." Ang mga atomo sa ating utak ay maaaring kumilos sa isang ganap na deterministikong paraan, habang iniiwan pa rin tayong malaya na kumilos habang ang mga atomo at organo ay gumagana sa iba't ibang antas.

Katulad nito, si Einstein ay naghahanap ng isang deterministikong antas ng subquantum, habang sa parehong oras ay hindi itinatanggi na ang antas ng kabuuan ay probabilistiko.

Ano ang tinutulan ni Einstein?

Kung paano nakuha ni Einstein ang label ng anti-quantum theory ay isang misteryo halos kasing laki ng quantum mechanics mismo. Ang mismong konsepto ng isang quantum - isang discrete unit ng enerhiya - ay ang bunga ng kanyang mga pagmumuni-muni noong 1905, at sa loob ng isang dekada at kalahati ay halos nag-iisang ipinagtanggol niya ito. Iminungkahi ni Einstein iyon. kung ano ang itinuturing ng mga physicist ngayon bilang mga pangunahing tampok ng quantum physics, tulad ng kakaibang kakayahan ng liwanag na kumilos bilang isang particle at bilang isang alon, at mula sa kanyang mga pagmumuni-muni sa wave physics na binuo ni Erwin Schrödinger ang pinakatinatanggap na pormulasyon ng quantum teorya noong 1920s. Si Einstein ay hindi rin kalaban ng pagkakataon. Noong 1916, ipinakita niya na kapag ang mga atom ay naglalabas ng mga photon, ang oras at direksyon ng paglabas ay mga random na variable.

"Ito ay sumasalungat sa tanyag na paglalarawan kay Einstein bilang kabaligtaran sa probabilistikong diskarte," argues Jan von Plato ng Unibersidad ng Helsinki. Ngunit si Einstein at ang kanyang mga kontemporaryo ay nahaharap sa isang malubhang problema. Ang quantum phenomena ay random, ngunit ang quantum theory mismo ay hindi. Ang Schrödinger equation ay 100% deterministic. Inilalarawan nito ang isang particle o isang sistema ng mga particle gamit ang tinatawag na wave function, na gumagamit ng wave nature ng mga particle at ipinapaliwanag ang wave-like pattern na nabuo ng isang koleksyon ng mga particle. Ang equation ay hinuhulaan kung ano ang mangyayari sa wave function sa anumang oras, na may kumpletong katiyakan. Sa maraming paraan, ang equation na ito ay mas deterministiko kaysa sa mga batas ng paggalaw ni Newton: hindi ito humahantong sa mga kalituhan tulad ng singularity (kung saan ang mga dami ay nagiging walang hanggan at samakatuwid ay hindi mailalarawan) o kaguluhan (kung saan ang paggalaw ay nagiging unpredictable).

Ang catch ay na ang determinism ng Schrödinger equation ay ang determinism ng wave function, at ang wave function ay hindi maaaring obserbahan nang direkta, hindi katulad ng lokasyon at bilis ng mga particle. Sa halip, tinutukoy ng wave function ang mga magnitude na maaaring maobserbahan at ang posibilidad ng bawat isa sa mga posibleng resulta. Binuksan ng teorya ang mga tanong kung ano ang mismong pag-andar ng alon at kung dapat ba itong literal na kunin bilang isang tunay na alon sa ating materyal na mundo. Alinsunod dito, ang sumusunod na tanong ay nananatiling bukas: ang naobserbahang randomness ba ay isang likas na likas na pag-aari ng kalikasan o ang harapan lamang nito? "Inaaangkin na ang quantum mechanics ay hindi deterministiko, ngunit ito ay masyadong madaliang konklusyon," sabi ng pilosopo na si Christian Wuthrich ng Unibersidad ng Geneva sa Switzerland.

Si Werner Heisenberg, isa sa mga pioneer na naglatag ng pundasyon para sa quantum theory, ay nag-isip ng wave function bilang isang manipis na ulap ng potensyal na pag-iral. Kung hindi posible na malinaw at malinaw na ipahiwatig kung nasaan ang butil, ito ay dahil ang butil ay hindi talaga matatagpuan saanman sa isang partikular na lugar. Tanging kapag naobserbahan mo ang isang butil, ito ay magiging materyal sa isang lugar sa kalawakan. Ang pag-andar ng alon ay maaaring ma-smeared sa isang malawak na rehiyon ng kalawakan, ngunit sa sandaling ang isang pagmamasid ay ginawa, ito ay agad na bumagsak, lumiliit sa isang makitid na punto na matatagpuan sa isang partikular na lugar, at biglang lumitaw ang isang particle doon. Pero kahit tingnan mo ang tinga, putok! - bigla itong huminto sa pag-uugaling deterministiko at tumalon sa huling estado, tulad ng isang bata na kumukuha ng upuan sa isang laro ng "mga upuan sa musika". (Ang laro ay binubuo ng katotohanan na ang mga bata ay naglalakad sa isang pabilog na sayaw sa musika sa paligid ng mga upuan, ang bilang nito ay mas mababa ng isa kaysa sa bilang ng mga manlalaro, at subukang umupo sa isang bakanteng upuan sa sandaling huminto ang musika).

Walang batas na mamamahala sa pagbagsak na ito. Walang equation para dito. Nangyayari lang - iyon lang! Ang pagbagsak ay naging isang mahalagang elemento ng interpretasyon ng Copenhagen: isang pananaw sa quantum mechanics na ipinangalan sa lungsod kung saan ginawa ni Bohr at ng kanyang institute, kasama si Heisenberg, ang karamihan sa mga gawaing matagumpay. (Kabalintunaan, si Bohr mismo ay hindi kailanman nakilala ang pagbagsak ng pag-andar ng alon.) Itinuturing ng paaralan ng Copenhagen ang naobserbahang randomness ng quantum physics bilang nominal na katangian nito, hindi pumapayag sa karagdagang paliwanag. Karamihan sa mga physicist ay sumasang-ayon dito, ang isa sa mga dahilan para dito ay ang tinatawag na anchor effect na kilala mula sa sikolohiya, o ang anchoring effect: ito ay isang ganap na kasiya-siyang paliwanag, at ito ay unang lumitaw. Kahit na si Einstein ay hindi isang kalaban ng quantum mechanics, siya ay tiyak na isang kalaban ng Copenhagen interpretasyon nito. Nagsimula siya sa ideya na ang pagkilos ng pagsukat ay nagdudulot ng pahinga sa tuluy-tuloy na ebolusyon ng pisikal na sistema, at sa kontekstong ito nagsimula siyang magpahayag ng kanyang pagtutol sa banal na dice-casting. "Ito ay tiyak na sa puntong ito na si Einstein ay nananaghoy noong 1926, at hindi sa lahat ng sumasaklaw sa metapisiko na pag-angkin ng determinismo bilang isang ganap na kinakailangang kondisyon," sabi ni Howard. ".

Pluralidad ng realidad.At gayon pa man, ang mundo ba ay deterministiko o hindi? Ang sagot sa tanong na ito ay nakasalalay hindi lamang sa mga pangunahing batas ng paggalaw, kundi pati na rin sa antas kung saan inilalarawan natin ang sistema. Isaalang-alang ang limang mga atomo sa isang gas na gumagalaw nang deterministiko (itaas na diagram). Nagsisimula sila sa halos parehong lokasyon at unti-unting naghihiwalay. Gayunpaman, sa antas ng macroscopic (mas mababang diagram), hindi mga indibidwal na atomo ang nakikita, ngunit isang amorphous na daloy sa gas. Pagkaraan ng ilang oras, malamang na random na maipamahagi ang gas sa ilang mga stream. Ang randomness na ito sa macro level ay isang by-product ng kamangmangan ng observer sa mga batas ng micro level, ito ay isang layunin na pag-aari ng kalikasan na sumasalamin sa paraan ng pagsasama-sama ng mga atom. Sa katulad na paraan, ipinalagay ni Einstein na ang deterministikong panloob na istraktura ng uniberso ay humahantong sa probabilistikong kalikasan ng quantum realm.

Ang pagbagsak ay malamang na hindi isang tunay na proseso, sinabi ni Einstein. Mangangailangan ito ng madalian na pagkilos sa malayo, isang misteryosong mekanismo kung saan, halimbawa, ang kaliwa at kanang bahagi ng function ng wave ay bumagsak sa parehong maliit na punto, kahit na walang puwersa ang nag-uugnay sa kanilang pag-uugali. Hindi lamang si Einstein, ngunit ang bawat physicist sa kanyang panahon ay naniniwala na ang gayong proseso ay imposible, kailangan itong mangyari nang mas mabilis kaysa sa bilis ng liwanag, na malinaw na salungat sa teorya ng relativity. Sa katunayan, ang quantum mechanics ay hindi lamang nagbibigay sa iyo ng mga dice, ito ay nagbibigay sa iyo ng mga pares ng dice na palaging may parehong mukha, kahit na gumulong ka ng isa sa Vegas at ang isa sa Vega. Para kay Einstein, tila halata na ang mga dice ay dapat na mai-load, na nagpapahintulot sa iyo na maimpluwensyahan ang kinalabasan ng mga rolyo sa isang nakatagong paraan nang maaga. Ngunit tinatanggihan ng paaralan ng Copenhagen ang anumang posibilidad, na nagmumungkahi na ang mga buko ay talagang agad na nakakaimpluwensya sa isa't isa sa malawak na kalawakan. Bilang karagdagan, nag-aalala si Einstein tungkol sa kapangyarihan na iniugnay ng mga Copenhagener sa pagkilos ng pagsukat. Ano pa rin ang isang pagsukat? Marahil ito ay isang bagay na tanging mga nabubuhay na nilalang ang maaaring gawin, o kahit na mga nanunungkulan na propesor? Hindi kailanman tinukoy ni Heisenberg at ng iba pang mga kinatawan ng paaralan ng Copenhagen ang konseptong ito. Iminungkahi ng ilan na likhain natin ang nakapaligid na katotohanan sa ating isipan sa pagkilos ng pagmamasid dito, isang ideya na parang patula, marahil ay masyadong patula. Naisip din ni Einstein na ito ay ang taas ng Copenhagen kayabangan upang sabihin na ang quantum mechanics ay kumpleto, na ito ay ang pinakahuling teorya na hindi kailanman mapapalitan ng iba. Itinuring niya ang lahat ng mga teorya, kabilang ang kanyang sarili, bilang mga tulay sa isang bagay na mas malaki pa.

Sa totoo lang. Naniniwala si Howard na magiging masaya si Einstein na tanggapin ang indeterminism kung masasagot niya ang lahat ng kanyang mga problema na kailangang lutasin-kung, halimbawa, malinaw na sasabihin ng isang tao kung ano ang pagsukat at kung paano maaaring manatiling naka-synchronize ang mga particle nang walang pangmatagalang pagkilos. Isang indikasyon na itinuring ni Einstein ang indeterminism bilang pangalawang problema ay na ginawa niya ang parehong mga kahilingan sa mga alternatibong deterministiko sa paaralan ng Copenhagen at tinanggihan din ang mga ito. Ang isa pang mananalaysay, si Arthur Fine ng Unibersidad ng Washington. naniniwala. Na pinalaki ni Howard ang pagkamaramdamin ni Einstein sa indeterminism, ngunit sumasang-ayon na ang kanyang mga paghatol ay batay sa isang mas matibay na pundasyon kaysa sa ilang henerasyon ng mga physicist na nakasanayan nang paniwalaan, batay sa mga scrap ng kanyang mga pahayag tungkol sa laro ng dice.

random na pag-iisip

Kung kukunin mo ang tug of war sa panig ng paaralan ng Copenhagen, naniniwala si Einstein, makikita mo na ang quantum disorder ay katulad ng lahat ng iba pang uri ng disorder sa physics: ito ay produkto ng mas malalim na pananaw. Ang sayaw ng maliliit na particle ng alikabok sa isang sinag ng liwanag ay nagpapakita ng kumplikadong paggalaw ng mga molekula, at ang paglabas ng mga photon o ang radioactive decay ng nuclei ay isang katulad na proseso, naniniwala si Einstein. Sa kanyang opinyon, ang quantum mechanics ay isang evaluative theory na nagpapahayag ng pangkalahatang pag-uugali ng mga bloke ng gusali ng kalikasan, ngunit walang sapat na resolusyon upang makuha ang mga indibidwal na detalye.

Ang isang mas malalim, mas kumpletong teorya ay ganap na magpapaliwanag sa paggalaw - nang walang anumang mahiwagang pagtalon. Mula sa puntong ito, ang wave function ay isang kolektibong paglalarawan, bilang isang pahayag na ang isang regular na dice, kung ihahagis ng maraming beses, ay mahuhulog nang halos parehong bilang ng beses sa bawat panig nito. Ang pagbagsak ng function ng wave ay hindi isang pisikal na proseso, ngunit isang pagkuha ng kaalaman. Kung magpapagulong ka ng anim na panig na die at ito ay lalabas, sabihin nating, apat, ang hanay ng mga opsyon mula isa hanggang anim ay lumiliit, o maaari mong sabihin, bumabagsak sa aktwal na halaga ng "apat". Ang isang mala-diyos na demonyo na maaaring sumubaybay sa mga detalye ng atomic na istraktura na nakakaapekto sa kinalabasan ng isang mamatay (ibig sabihin, sukatin nang eksakto kung paano itinutulak at iikot ng iyong kamay ang die bago ito tumama sa mesa) ay hindi kailanman magsasalita tungkol sa pagbagsak.

Ang intuwisyon ni Einstein ay pinalakas ng kanyang maagang trabaho sa kolektibong epekto ng molecular motion, na pinag-aralan sa larangan ng physics na tinatawag na statistical mechanics, kung saan ipinakita niya na ang physics ay maaaring probabilistic kahit na ang mga phenomena ay nakabatay sa deterministikong realidad. Noong 1935, sumulat si Einstein sa pilosopo na si Karl Popper: "Sa palagay ko ay hindi ka tama sa iyong pahayag na imposibleng gumawa ng mga istatistikal na konklusyon batay sa deterministikong teorya. Kunin, halimbawa, ang klasikal na istatistikal na mekanika (ang teorya ng mga gas o ang teorya ng Brownian motion)." Ang mga probabilidad sa pag-unawa ni Einstein ay kasing totoo ng sa interpretasyon ng paaralan ng Copenhagen. Ipinakita sa mga pangunahing batas ng paggalaw, sinasalamin nila ang iba pang mga katangian ng nakapaligid na mundo, hindi lamang sila mga artifact ng kamangmangan ng tao. Iminungkahi ni Einstein kay Popper, bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang isang particle na gumagalaw sa isang bilog sa isang pare-pareho ang bilis; ang posibilidad na makahanap ng isang particle sa isang partikular na segment ng isang pabilog na arko ay sumasalamin sa simetrya ng tilapon nito. Gayundin, ang posibilidad na mapunta ang isang die sa isang partikular na mukha ay one-sixth dahil mayroon itong anim na pantay na mukha. "Mas naunawaan niya kaysa sa karamihan sa oras na ang mahalagang pisika ay nakalagay sa mga detalye ng statistical-mechanical na posibilidad," sabi ni Howard.

Ang isa pang aral ng statistical mechanics ay ang mga dami na ating naobserbahan ay hindi kinakailangang umiral sa mas malalim na antas. Halimbawa, ang isang gas ay may temperatura, ngunit walang saysay na pag-usapan ang tungkol sa temperatura ng isang molekula ng gas. Sa pamamagitan ng pagkakatulad, si Einstein ay naniwala na ang isang subquantum theory ay kinakailangan upang magpahiwatig ng isang radikal na break mula sa quantum mechanics. Noong 1936 ay sumulat siya: "Walang duda na nakuha ng quantum mechanics ang magandang elemento ng katotohanan.<...>Gayunpaman, hindi ako naniniwala na ang quantum mechanics ang magiging panimulang punto sa paghahanap para sa pundasyong ito, o, sa kabaligtaran, ang isa ay hindi maaaring pumunta mula sa thermodynamics (ayon sa pagkakabanggit, statistical mechanics) hanggang sa mga pundasyon ng mechanics. "Upang punan ang mas malalim na antas na ito, Einstein pinangunahan ang paghahanap sa direksyon ng pinag-isang teorya na isang larangan kung saan ang mga particle ay mga derivatives ng mga istruktura na hindi talaga katulad ng mga particle. ipaliwanag ang randomness, at hindi para ipakitang wala talaga ito.

Gawing pinakamahusay ang iyong antas

Bagama't nabigo ang pinag-isang proyekto ng teorya ni Einstein, ang mga pangunahing prinsipyo ng kanyang intuitive na diskarte sa randomness ay totoo pa rin: ang indeterminism ay maaaring magmula sa determinismo. Ang mga antas ng quantum at subquantum - o anumang iba pang pares ng mga antas sa hierarchy ng kalikasan - ay binubuo ng iba't ibang uri ng mga istruktura, kaya sinusunod nila ang iba't ibang uri ng mga batas. Ang batas na namamahala sa isang antas ay maaaring natural na nagbibigay-daan para sa isang elemento ng pagkakataon, kahit na ang mga batas ng mas mababang antas ay ganap na kinokontrol. "Ang deterministic microphysics ay hindi nagbibigay ng deterministic macrophysics," sabi ng pilosopo na si Jeremy Butterfield ng University of Cambridge.

Isipin ang isang dice sa atomic level. Ang isang kubo ay maaaring binubuo ng isang hindi maisip na malaking bilang ng mga atomic na pagsasaayos na ganap na hindi nakikilala sa bawat isa sa mata. Kung susundin mo ang alinman sa mga pagsasaayos na ito habang umiikot ang die, hahantong ito sa isang partikular na resulta - mahigpit na deterministiko. Sa ilang configuration, hihinto ang die na may isang tuldok sa itaas na mukha, sa iba naman ay titigil ito ng dalawa. atbp. Samakatuwid, ang isang macroscopic state (kung gagawin mo ang cube spin) ay maaaring humantong sa ilang posibleng macroscopic na resulta (isa sa anim na mukha ang nasa itaas). "Kung ilalarawan namin ang isang mamatay sa antas ng macro, maaari naming isipin ito bilang isang stochastic system na nagbibigay-daan para sa layunin na randomness," sabi ni Liszt, na nag-aaral ng level conjugation kasama si Marcus Pivato, isang mathematician sa University of Cergy-Pontoise sa France.

Kahit na ang mas mataas na antas ay bumubuo sa mas mababang antas, ito ay nagsasarili. Upang ilarawan ang mga dice, ang isang tao ay kailangang magtrabaho sa antas kung saan umiiral ang mga dice, at kapag ginawa mo iyon, hindi mo maiwasang mapabayaan ang mga atomo at ang kanilang dinamika. Kung i-cross-breed mo ang isang level sa isa pa, nagsasagawa ka ng isang trick sa pagpapalit ng kategorya: ito ay tulad ng pagtatanong tungkol sa political affiliation ng isang salmon sandwich (upang gamitin ang halimbawa ng pilosopo ng Columbia University na si David Albert). "Kapag mayroon tayong hindi pangkaraniwang bagay na maaaring ilarawan sa iba't ibang antas, kailangan nating maging maingat sa konsepto na huwag paghaluin ang mga antas," sabi ng List. Para sa kadahilanang ito, ang kinalabasan ng isang die roll ay hindi basta-basta mukhang random. Ito ay tunay na random. Ang isang mala-diyos na demonyo ay maaaring magyabang na alam niya kung ano mismo ang mangyayari, ngunit alam niya lamang kung ano ang mangyayari sa mga atomo. Ni hindi niya pinaghihinalaan kung ano ang isang dice, dahil ito ay impormasyon ng mas mataas na antas. Ang demonyo ay hindi kailanman nakikita ang kagubatan, tanging ang mga puno. Siya ay tulad ng bida ng kuwento ng Argentine na manunulat na si Jorge Luis Borges "Funes the memoryful" - isang tao na naaalala ang lahat, ngunit hindi nakakaunawa ng anuman. "Ang pag-iisip ay ang kalimutan ang pagkakaiba, ang pangkalahatan, ang abstract," ang isinulat ni Borges. Upang malaman ng demonyo kung saang bahagi mahuhulog ang dice, kailangang ipaliwanag kung ano ang hahanapin. "Ang tanging paraan na makapasok ang isang demonyo sa kung ano ang nangyayari sa pinakamataas na antas ay kung bibigyan ito ng detalyadong paglalarawan kung paano namin tinukoy ang hangganan sa pagitan ng mga antas," sabi ng List. Sa katunayan, pagkatapos nito, malamang na magseselos ang demonyo na tayo ay mga mortal.

Ang lohika ng mga antas ay gumagana din nang eksakto sa kabaligtaran na direksyon. Ang non-deterministic na microphysics ay maaaring humantong sa deterministic macrophysics. Ang isang baseball ay maaaring gawin mula sa mga particle na nagpapakita ng magulong pag-uugali, ngunit ang paglipad nito ay ganap na mahuhulaan; quantum randomness, average. nawawala. Katulad nito, ang mga gas ay binubuo ng mga molekula na gumagalaw sa sobrang kumplikado - at sa katunayan ay hindi deterministiko - mga galaw, ngunit ang kanilang temperatura at iba pang mga katangian ay sumusunod sa mga batas na kasing simple ng dalawa at dalawa. Mas speculatively, ang ilang mga physicist, tulad ng Stanford University's Robert Laughlin, iminumungkahi na ang ilalim na antas ay hindi mahalaga sa lahat. Ang mga bloke ng gusali ay maaaring maging anuman at ang kanilang kolektibong pag-uugali ay magiging pareho. Pagkatapos ng lahat, ang mga sistemang kasing-iba ng mga molekula ng tubig, mga bituin sa isang kalawakan, at mga sasakyan sa isang freeway ay sumusunod sa parehong mga batas ng daloy ng likido.

Sa wakas libre na

Kapag nag-iisip ka sa mga tuntunin ng mga antas, ang pag-aalala na maaaring markahan ng indeterminism ang katapusan ng agham. Walang mataas na pader sa paligid natin, na nagpoprotekta sa ating masunurin sa batas na fragment ng Uniberso mula sa anarchy-prone at hindi maintindihan na iba pa nito. Sa katunayan, ang mundo ay isang layer cake ng determinismo at indeterminism. Ang klima ng daigdig, halimbawa, ay pinamamahalaan ng mga deterministikong batas ng paggalaw ni Newton, ngunit ang pagtataya ng panahon ay probabilistiko, habang ang pana-panahon at pangmatagalang klimatiko na mga uso ay muling mahuhulaan. Ang biology ay sumusunod din mula sa deterministikong pisika, ngunit ang mga organismo at ecosystem ay nangangailangan ng iba pang mga pamamaraan ng paglalarawan, tulad ng Darwinian evolution. "Hindi lubos na ipinapaliwanag ng Determinismo ang lahat," ang sabi ng pilosopo ng Tufts University na si Daniel Dennett. "Bakit lumitaw ang mga giraffe? Dahil sino ang nagpasiya: gayon nga?"

Ang mga tao ay interspersed sa loob ng layer cake. Mayroon tayong malakas na pakiramdam ng malayang pagpapasya. Madalas tayong gumagawa ng hindi mahuhulaan at karamihan ay mahahalagang desisyon, nauunawaan natin na maaari tayong gumawa ng iba (at madalas na ikinalulungkot na hindi natin ginawa). Para sa millennia, ang mga tinatawag na libertarian, mga tagapagtaguyod ng pilosopikal na doktrina ng malayang pagpapasya (hindi dapat ipagkamali sa kilusang pampulitika!), ay nagtalo na ang kalayaan ng isang tao ay nangangailangan ng kalayaan ng isang butil. Dapat sirain ng isang bagay ang tiyak na kurso ng mga kaganapan, tulad ng quantum randomness o "mga paglihis", na, tulad ng pinaniniwalaan ng ilang mga sinaunang pilosopo, ang mga atomo ay maaaring maranasan sa panahon ng kanilang paggalaw (ang konsepto ng isang random na unpredictable deviation ng isang atom mula sa orihinal na trajectory ay ipinakilala sa sinaunang pilosopiya ni Lucretius upang ipagtanggol ang atomistikong doktrina ng Epicurus) .

Ang pangunahing problema sa linyang ito ng pangangatwiran ay ang pagpapalaya nito sa mga particle ngunit iniiwan tayo bilang mga alipin. Hindi mahalaga kung ang iyong desisyon ay paunang natukoy sa panahon ng Big Bang o sa pamamagitan ng isang maliit na butil, hindi mo pa rin ito desisyon. Upang maging malaya, kailangan natin ng indeterminism, hindi sa antas ng butil, ngunit sa antas ng tao. At ito ay posible dahil ang antas ng tao at ang antas ng butil ay independyente sa isa't isa. Kahit na ang lahat ng iyong ginagawa ay maaaring masubaybayan pabalik sa pinakaunang mga hakbang, ikaw ang master ng iyong mga aksyon, dahil ikaw o ang iyong mga aksyon ay hindi umiiral sa antas ng bagay, ngunit lamang sa makrong antas ng kamalayan. "Ang macroindeterminism na ito batay sa microdeterminism ay marahil kung ano ang garantiya ng malayang kalooban," sabi ni Butterfield. Ang macroindeterminism ay hindi ang dahilan ng iyong mga desisyon. Ito ang iyong desisyon.

Ang ilan ay malamang na tututol at sasabihin sa iyo na ikaw ay isang papet pa rin, at ang mga batas ng kalikasan ay kumikilos bilang isang puppeteer, at ang iyong kalayaan ay walang iba kundi isang ilusyon. Ngunit ang mismong salitang "ilusyon" ay nagdudulot sa isipan ng mga mirage sa disyerto at mga babaeng nakita sa kalahati: ang lahat ng ito ay hindi umiiral sa katotohanan. Ang macroindeterminism ay hindi pareho. Ito ay medyo totoo, hindi lamang pangunahing. Maihahalintulad ito sa buhay. Ang mga indibidwal na atomo ay ganap na walang buhay na bagay, ngunit ang kanilang malaking masa ay maaaring mabuhay at huminga. "Lahat ng bagay na may kinalaman sa mga ahente, kanilang mga estado ng intensyon, kanilang mga desisyon at mga pagpipilian - wala sa mga entity na ito ang may kinalaman sa conceptual toolkit ng pangunahing pisika, ngunit hindi ito nangangahulugan na ang mga phenomena na ito ay hindi totoo," ang tala ng List . nangangahulugan lamang na lahat sila ay mga phenomena ng mas mataas na antas."

Ito ay isang pagkakamali sa kategorya, kung hindi man ganap na kamangmangan, upang ilarawan ang mga desisyon ng tao sa mga tuntunin ng mga mekanika ng paggalaw ng mga atomo sa iyong ulo. Sa halip, kinakailangang gamitin ang lahat ng mga konsepto ng sikolohiya: pagnanais, posibilidad, intensyon. Bakit tubig ang ininom ko at hindi alak? Dahil gusto ko. Ipinapaliwanag ng aking mga hangarin ang aking mga aksyon. Sa karamihan ng mga kaso, kapag tinatanong natin ang tanong na "Bakit?", hinahanap natin ang motibasyon ng indibidwal, at hindi ang kanyang pisikal na background. Ang mga sikolohikal na paliwanag ay nagbibigay-daan para sa uri ng indeterminism na binabanggit ng List. Halimbawa, ang mga teorista ng laro ay nagmomodelo ng paggawa ng desisyon ng tao sa pamamagitan ng paglalatag ng isang hanay ng mga opsyon at pagpapaliwanag kung alin ang pipiliin mo kung ikaw ay kumikilos nang makatwiran. Ang iyong kalayaang pumili ng isang partikular na opsyon ay namamahala sa iyong pinili, kahit na hindi mo kailanman pipiliin ang opsyong iyon.

Upang makatiyak, ang mga argumento ng List ay hindi ganap na nagpapaliwanag ng malayang pagpapasya. Ang hierarchy ng mga antas ay nagbubukas ng espasyo para sa malayang kalooban, na naghihiwalay sa sikolohiya sa physics at nagbibigay sa amin ng kakayahang gumawa ng mga hindi inaasahang bagay. Ngunit dapat nating samantalahin ang pagkakataong ito. Kung, halimbawa, ginawa namin ang lahat ng mga desisyon sa pamamagitan ng paghagis ng barya, ito ay ituturing pa rin na macroindeterminism, ngunit hindi ito magiging kwalipikado bilang malayang kalooban sa anumang makabuluhang kahulugan. Sa kabilang banda, ang paggawa ng desisyon ng ilang tao ay maaaring nakakapagod na hindi masasabing malaya silang kumilos.

Ang ganitong paraan sa problema ng determinismo ay nagbibigay ng kahulugan sa interpretasyon ng quantum theory, na iminungkahi ilang taon pagkatapos ng kamatayan ni Einstein noong 1955. Tinawag itong many-worlds interpretation, o ang Everett interpretation. Ang mga tagapagtaguyod nito ay nangangatwiran na ang quantum mechanics ay naglalarawan ng isang koleksyon ng mga parallel na uniberso - isang multiverse na karaniwang kumikilos nang deterministiko, ngunit tila hindi deterministiko sa atin, dahil ang nakikita lang natin ay isang uniberso. Halimbawa, ang isang atom ay maaaring maglabas ng photon sa kanan o sa kaliwa; Hinahayaan ng quantum theory na bukas ang kinalabasan ng kaganapang ito. Ayon sa interpretasyon ng maraming-mundo, ang gayong larawan ay naobserbahan dahil ang eksaktong parehong sitwasyon ay nangyayari sa hindi mabilang na parallel na uniberso: sa ilan sa mga ito, ang photon ay lumilipad nang deterministiko sa kaliwa, at sa iba pa, sa kanan. Kung hindi natin masasabi kung alin sa mga uniberso ang ating kinaroroonan, hindi natin mahuhulaan kung ano ang mangyayari, kaya ang sitwasyong ito ay mukhang hindi maipaliwanag mula sa loob. "Walang tunay na randomness sa kalawakan, ngunit ang mga kaganapan ay maaaring lumitaw nang random sa mata ng nagmamasid," paliwanag ng cosmologist na si Max Tegmark ng Massachusetts Institute of Technology, isang kilalang tagapagtaguyod ng pananaw na ito. "Ang randomness ay sumasalamin sa iyong kawalan ng kakayahan upang matukoy kung saan ikaw ay."

Ito ay tulad ng pagsasabi na ang isang dice o isang utak ay maaaring itayo mula sa alinman sa napakaraming mga pagsasaayos ng mga atomo. Ang pagsasaayos na ito mismo ay maaaring deterministiko, ngunit dahil hindi natin malalaman kung alin ang tumutugma sa ating dice o sa ating utak, napipilitan tayong ipalagay na ang kinalabasan ay hindi deterministiko. Kaya, ang mga parallel na uniberso ay hindi isang kakaibang ideya na lumilipad sa isang may sakit na imahinasyon. Ang ating katawan at utak ay maliliit na multiverse, ito ay ang pagkakaiba-iba ng mga posibilidad na nagbibigay sa atin ng kalayaan.

Paraan ng komposisyon ng musika na may maluwag na tunog na teksto; bilang isang malayang paraan ng pagbubuo ng musika ay nabuo noong ika-20 siglo. Ang ibig sabihin ng A. ay ang kumpleto o bahagyang pagtalikod sa mahigpit na kontrol ng kompositor sa musikal na teksto, o maging ang pag-aalis sa mismong kategorya ng kompositor-may-akda sa tradisyonal na kahulugan. Ang inobasyon ni A. ay nakasalalay sa ugnayan ng matatag na itinatag na mga bahagi ng isang musikal na teksto na may sinasadyang ipinakilala na randomness, arbitrary na kadaliang kumilos ng musikal na bagay. Ang konsepto ng A. ay maaaring sumangguni sa pangkalahatang layout ng mga bahagi ng komposisyon (sa anyo), at sa istraktura ng tela nito. Ni E. Denisov, ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng katatagan at kadaliang kumilos ng tela at anyo ay nagbibigay ng 4 na pangunahing uri ng kumbinasyon, tatlo sa mga ito - ika-2, ika-3 at ika-4 - ay aleatoric: 1. Matatag na tela - matatag na anyo (karaniwang tradisyonal na komposisyon, opus perfectum et absolutum; bilang, halimbawa, 6 symphony ni Tchaikovsky); 2. Matatag na tela - mobile form; ayon kay V. Lutoslavs, “A. mga anyo” (P. Boulez, 3rd sonata para sa piano, 1957); 3. Mobile tela - hugis matatag; o, ayon kay Lutoslavsky, “A. mga texture” (Lutoslavsky, String Quartet, 1964, Main Movement); 4. Mobile na tela - mobile form; o "A. kulungan"(na may kolektibong improvisasyon ng ilang mga performer). Ito ang mga nodal point ng pamamaraan ng A., sa paligid kung saan mayroong maraming iba't ibang mga tiyak na uri at mga kaso ng mga istraktura, iba't ibang antas ng paglulubog sa A.; bilang karagdagan, ang mga metabolas ("modulations") ay natural din - ang paglipat mula sa isang uri o uri patungo sa isa pa, gayundin sa isang matatag na teksto o mula dito.

A. ay naging laganap mula noong 1950s, na lumilitaw (kasama ang sonorics), sa partikular, bilang isang reaksyon sa matinding pagkaalipin ng istruktura ng musika sa multi-parameter serialism (tingnan ang: dodecapony). Samantala, ang prinsipyo ng kalayaan ng istraktura sa isang paraan o iba pa ay may mga sinaunang ugat. Sa esensya, ang sound stream, at hindi isang natatanging structured opus, ay katutubong musika. Kaya't ang kawalang-tatag, "non-opus" ng katutubong musika, pagkakaiba-iba, pagkakaiba-iba at improvisasyon dito. Ang hindi mahuhulaan, improvisasyon ng anyo ay katangian ng tradisyonal na musika ng India, ang mga tao sa Malayong Silangan, at Africa. Samakatuwid, ang mga kinatawan ng A. aktibo at sinasadyang umaasa sa mga mahahalagang prinsipyo ng musikang oriental at katutubong. Ang mga elemento ng arrow ay umiral din sa European classical music. Halimbawa, sa mga klasikong Viennese, na inalis ang prinsipyo ng pangkalahatang bass at ginawang ganap na matatag ang musikal na teksto (symphony at quartets ni I. Haydn), isang matalim na kaibahan ang "cadenza" sa anyo ng isang instrumental concerto - isang virtuoso solo, ang bahagi kung saan ang kompositor ay hindi gumawa, ngunit ibinigay sa pagpapasya ng tagapalabas (elemento A. form). Ang mga komiks na "aleatoric" na paraan ng pagbubuo ng mga simpleng dula (minuets) sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga piraso ng musika sa paglalaro ng dice (Würfelspiel) ay kilala sa panahon ni Haydn at Mozart (treatise ni I.F. Kirnberger "Sa anumang oras isang handa na kompositor ng polonaises at minuets ". Berlin, 1757).

Noong XX siglo. ang prinsipyo ng "indibidwal na proyekto" sa anyo ay nagsimulang magmungkahi ng pagiging matanggap ng mga tekstong bersyon ng akda (i.e. A.). Noong 1907 ang Amerikanong kompositor na si C. Ives ang bumuo ng piano quintet na "Hallwe" en (= "All Saints' Eve"), ang teksto kung saan, kapag ginanap sa isang konsiyerto, ay dapat tumugtog nang magkaiba ng apat na beses na magkakasunod. D. kulungan binubuo noong 1951 "Music of Changes" para sa piano, ang teksto na kanyang pinagsama-sama sa pamamagitan ng "pagmamanipula ng mga aksidente" (mga salita ng kompositor), gamit ang Chinese "Book of Changes" para dito. klase-

cal halimbawa A. - "Piano piece XI" ni K. stockhausen, 1957. Sa isang sheet ng papel ca. 0.5 sq.m sa isang random na pagkakasunud-sunod ay 19 musical fragment. Ang pianist ay nagsisimula sa alinman sa mga ito at tinutugtog ang mga ito sa random na pagkakasunud-sunod, kasunod ng isang kaswal na sulyap; sa dulo ng nakaraang talata ay nakasulat kung anong tempo at kung anong volume ang tutugtugin sa susunod. Kapag tila sa pianista na na-play na niya ang lahat ng mga fragment sa ganitong paraan, dapat itong i-play muli sa pangalawang pagkakataon sa parehong random na pagkakasunud-sunod, ngunit sa isang mas maliwanag na sonority. Pagkatapos ng ikalawang round, natapos ang laro. Para sa higit na epekto, inirerekumenda na ulitin ang aleatoric na gawain sa isang konsiyerto - ang tagapakinig ay makakakita ng isa pang komposisyon mula sa parehong materyal. Ang Paraan A. ay malawakang ginagamit ng mga makabagong kompositor (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke at iba pa.).

Isang paunang kinakailangan para sa A. noong ika-20 siglo. dumating ang mga bagong batas pagkakaisa at ang mga hilig na nagmumula sa kanila na maghanap ng mga bagong anyo na tumutugma sa bagong estado ng musikal na materyal at katangian ng taliba. Ang aleatoric texture ay ganap na hindi maiisip bago ang emancipation disonance pag-unlad ng atonal na musika (tingnan ang: dodecapony). Ang isang tagasuporta ng "limitado at kontrolado" na si A. Lutoslavsky ay nakikita dito ang isang hindi mapag-aalinlanganang halaga: "A. nagbukas ng bago at hindi inaasahang mga tanawin para sa akin. Una sa lahat - isang malaking kayamanan ng ritmo, hindi matamo sa tulong ng iba pang mga diskarte. Si Denisov, na nagbibigay-katwiran sa "pagpapasok ng mga random na elemento sa musika", ay nagsasabing ito ay "nagbibigay sa amin ng malaking kalayaan sa pagpapatakbo sa musikal na bagay at nagpapahintulot sa amin na makakuha ng mga bagong sound effect<...>, ngunit ang mga ideya ng kadaliang kumilos ay makakapagbigay lamang ng magagandang resulta kung<... >kung ang mga mapanirang tendensya na nakatago sa mobility ay hindi sumisira sa constructiveness na kinakailangan para sa pagkakaroon ng anumang anyo ng sining.

Ang ilang iba pang mga paraan at anyo ng musika ay nagsalubong sa A. Una sa lahat, ito ay: 1. improvisasyon - pagganap ng isang gawa na binubuo sa panahon ng laro; 2. graphic na musika, na ginagawa ng tagapalabas ayon sa mga biswal na larawan ng guhit na inilagay sa kanyang harapan (halimbawa, I. Brown, Folio, 1952), isinasalin ang mga ito sa mga sound image, o ayon sa musical aleatoric graphics na nilikha ng kompositor mula sa mga piraso ng musikal na teksto sa isang sheet ng papel (S. Bussotti, "Passion for the Garden", 1966); 3. nangyayari- improvised (sa ganitong kahulugan, aleatoric) aksyon (Stock) na may partisipasyon ng musika na may di-makatwirang (quasi-) plot (halimbawa, ang nangyayaring "Replica" ni A. Volkonsky ng Madrigal ensemble noong 1970/71 season); 4. bukas na mga anyo ng musika - iyon ay, ang mga na ang teksto ay hindi matatag na naayos, ngunit nakuha sa bawat oras sa proseso ng pagganap. Ang mga ito ay mga uri ng komposisyon na hindi pangunahing sarado at nagbibigay-daan para sa isang walang katapusang pagpapatuloy (halimbawa, sa bawat bagong pagganap), English. Kasalukuyang ginagawa. Para kay P. Boulez, isa sa mga stimuli na naging bukas sa kanya ay ang gawa ni J. Joyce(“Ulysses”) at S. Mallarmé (“Le Livre”). Ang isang halimbawa ng isang bukas na komposisyon ay ang "Available Forms II" ni Earl Brown para sa 98 instrumento at dalawang konduktor (1962). Itinuro mismo ni Brown ang koneksyon ng kanyang bukas na anyo sa "mga mobile" sa visual arts (tingnan ang: kinetic art) sa partikular, A. Calder ("Calder Piece" para sa 4 na drummer at Calder's mobile, 1965). Sa wakas, ang pagkilos na "Gesamtkunst" ay nababalot ng mga alituntuning aleatoriko (tingnan ang: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedia na ang pagtitiyak ay synchronization mga pag-install ilang mga sining (halimbawa: isang konsyerto + isang eksibisyon ng pagpipinta at eskultura + isang gabi ng tula sa anumang kumbinasyon ng mga anyo ng sining, atbp.). Kaya, ang kakanyahan ng A. ay upang magkasundo ang tradisyunal na itinatag na kaayusan ng sining at ang nakakapreskong pagbuburo ng unpredictability, randomness - isang ugali na katangian ng artistikong kultura ng XX siglo. sa pangkalahatan at hindi klasikal na aesthetics.

Lit.: Denisov E.V. Matatag at mobile na mga elemento ng musical form at ang kanilang interaksyon// Theoretical na mga problema ng musical forms at genres. M., 1971; Kohoutek C. Ang pamamaraan ng komposisyon sa musika ng XX siglo. M., 1976; Lutoslavsky V. Mga artikulo, maging-

maputi ang buhok, alaala. M., 1995; Boulez P. Alea// Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate// Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Krakow, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakow, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Isinulat ng taga-disenyo na si Tyler Sigman, sa "Gamasutra". Minamahal kong tinutukoy ito bilang ang artikulong "buhok sa butas ng ilong ng isang orc", ngunit sinasaklaw nito ang mga pangunahing kaalaman ng mga probabilidad sa mga laro nang maayos.

Ang tema ng linggong ito

Hanggang ngayon, halos lahat ng napag-usapan natin ay deterministiko, at noong nakaraang linggo ay pinagmasdan nating mabuti ang transitive mechanics at sinira ito sa mas maraming detalye hangga't maaari kong ipaliwanag ito. Ngunit hanggang ngayon ay hindi pa namin binibigyang pansin ang isang malaking aspeto ng maraming mga laro, lalo na ang mga non-deterministic na aspeto, sa madaling salita - randomness. Ang pag-unawa sa likas na katangian ng randomness ay napakahalaga para sa mga designer ng laro dahil gumagawa kami ng mga system na nakakaapekto sa karanasan ng player sa isang partikular na laro, kaya kailangan naming malaman kung paano gumagana ang mga system na ito. Kung mayroong randomness sa system, kailangan mong maunawaan kalikasan ito randomness at kung paano baguhin ito upang makuha ang mga resulta na gusto namin.

Dais

Magsimula tayo sa isang simpleng bagay: rolling dice. Kapag iniisip ng karamihan sa mga tao ang dice, iniisip nila ang isang anim na panig na die na kilala bilang isang d6. Ngunit karamihan sa mga manlalaro ay nakakita ng maraming iba pang dice: four-sided (d4), eight-sided (d8), twelve-sided (d12), twenty-sided (d20) ... at kung ikaw totoo geek, maaaring mayroon kang ilang 30-sided o 100-sided dice sa isang lugar. Kung hindi ka pamilyar sa terminolohiyang ito, ang "d" ay nangangahulugang isang die, at ang bilang pagkatapos nito ay kung ilang mukha mayroon ito. Kung ang dati Ang "d" ay nangangahulugang isang numero, ito ay kumakatawan sa halaga dice kapag inihagis. Halimbawa, sa Monopoly, gumulong ka ng 2d6.

Kaya, sa kasong ito, ang pariralang "dice" ay isang maginoo na pagtatalaga. Mayroong isang malaking bilang ng iba pang mga random na generator ng numero na walang hugis ng isang plastic block, ngunit gumaganap ng parehong function ng pagbuo ng isang random na numero mula 1 hanggang n. Ang isang ordinaryong barya ay maaari ding isipin na isang dihedral d2 die. May nakita akong dalawang disenyo ng pitong panig na die: ang isa sa mga ito ay parang dice, at ang pangalawa ay parang pitong panig na kahoy na lapis. Ang isang tetrahedral dreidel (kilala rin bilang isang titotum) ay isang analogue ng isang tetrahedral bone. Ang spinning arrow playing field sa larong "Chutes & Ladders", kung saan ang resulta ay maaaring mula 1 hanggang 6, ay tumutugma sa isang anim na panig na die. Ang generator ng random na numero sa computer ay maaaring lumikha ng anumang numero mula 1 hanggang 19 kung ang taga-disenyo ay nagbibigay ng ganoong utos, kahit na ang computer ay walang 19-panig na dice (sa pangkalahatan, mas marami akong magsasalita tungkol sa posibilidad ng mga numero na bumagsak sa kompyuter sa susunod linggo). Bagama't iba ang hitsura ng lahat ng mga item na ito, ang mga ito ay talagang katumbas: mayroon kang pantay na pagkakataon na makakuha ng isa sa ilang mga resulta.

Ang mga dice ay may ilang mga kagiliw-giliw na katangian na kailangan nating malaman. Una, ang posibilidad ng alinman sa mga mukha na lalabas ay pareho (I'm assuming you're rolling the right dice, not the wrong geometry). Kaya kung gusto mong malaman ibig sabihin roll (kilala rin sa mga probabilist bilang "pang-matematika na inaasahan"), isama ang mga halaga ng lahat ng mga gilid at hatiin ang kabuuan na ito sa halaga mga mukha. Ang average na halaga ng isang roll para sa isang karaniwang six-sided die ay 1+2+3+4+5+6 = 21, na hinati sa bilang ng mga mukha (6) at nakuha namin ang average na halaga ng 21/6 = 3.5. Ito ay isang espesyal na kaso dahil ipinapalagay namin na ang lahat ng mga resulta ay pantay na posibilidad.

Paano kung mayroon kang espesyal na dice? Halimbawa, nakakita ako ng larong may anim na panig na die na may mga espesyal na sticker sa mga mukha: 1, 1, 1, 2, 2, 3, kaya kumikilos ito na parang kakaibang three-sided die, na mas malamang na gumulong ang numero 1 kaysa 2, at 2 kaysa 3. Ano ang average na halaga ng roll para sa mamatay na ito? Kaya ang 1+1+1+2+2+3 = 10 na hinati ng 6 ay katumbas ng 5/3 o mga 1.66. Kaya't kung mayroon kang partikular na dice at ang mga manlalaro ay gumulong ng tatlong dice at pagkatapos ay idagdag ang mga resulta, alam mo na ang tinatayang kabuuan ng kanilang mga rolyo ay magiging mga 5, at maaari mong balansehin ang laro batay sa pagpapalagay na iyon.

Dice at kalayaan

Tulad ng nasabi ko na, nagpapatuloy tayo mula sa pag-aakalang ang pag-dropout ng bawat mukha ay pantay na posibilidad. Hindi ito nakasalalay sa kung gaano karaming mga dice ang iyong ibinabato. Bawat roll ng dice hindi alintana, na nangangahulugan na ang mga nakaraang roll ay hindi nakakaapekto sa mga resulta ng mga kasunod na roll. Sa sapat na bilang ng mga pagsubok, tiyak na gagawin mo pansinin"serye" ng mga numero, tulad ng pag-roll sa karamihan ng mas mataas o mas mababang mga halaga, o iba pang mga tampok, at pag-uusapan natin iyon sa ibang pagkakataon, ngunit hindi iyon nangangahulugan na ang mga dice ay "mainit" o "malamig." Kung gumulong ka ng isang karaniwang anim na panig na die at ang numero 6 ay lalabas nang dalawang beses sa isang hilera, ang posibilidad na ang susunod na roll ay magreresulta sa isang 6 ay 1/6 din. Ang posibilidad ay hindi nadagdagan ng katotohanan na ang kubo ay "pinainit". Ang posibilidad ay hindi bumababa, dahil ang numero 6 ay nahulog na nang dalawang beses sa isang hilera, na nangangahulugan na ngayon ay isa pang mukha ang mahuhulog. (Siyempre, kung dalawampung beses kang gumulong ng isang die at ang numero 6 ay lalabas sa bawat pagkakataon, ang pagkakataon na ang numero 6 ay lalabas sa ikadalawampu't isang beses ay medyo mataas ... dahil ito ay maaaring mangahulugan na ikaw ay nagkamali ng mamatay. !) Ngunit kung mayroon kang tamang mamatay, ang posibilidad na mahulog ang bawat isa sa mga mukha ay pareho, anuman ang mga resulta ng iba pang mga rolyo. Maaari mo ring isipin na sa bawat oras na papalitan namin ang mga dice, kaya kung ang numero 6 ay gumulong nang dalawang beses sa isang hilera, alisin ang "mainit" na dice mula sa laro at palitan ito ng isang bagong anim na panig na mamatay. Humihingi ako ng paumanhin kung alam na ng sinuman sa inyo ang tungkol dito, ngunit kailangan kong linawin ito bago magpatuloy.

Paano gumawa ng dice roll nang higit pa o hindi gaanong random

Pag-usapan natin kung paano makakuha ng iba't ibang resulta sa iba't ibang dice. Kung igulong mo ang die nang isang beses o maraming beses, mas magiging random ang laro kung mas maraming gilid ang die. Kung mas maraming beses kang gumulong ng dice, o mas maraming dice ang iyong roll, mas lumalapit ang mga resulta sa average. Halimbawa, kung gumulong ka ng 1d6+4 (ibig sabihin, isang karaniwang six-sided die nang isang beses at magdagdag ng 4 sa resulta), ang average ay magiging isang numero sa pagitan ng 5 at 10. Kung gumulong ka ng 5d2, ang average ay magiging isang numero din sa pagitan 5 at 10. Ngunit kapag naghagis ng anim na panig na dice, ang posibilidad na makuha ang mga numerong 5, 8 o 10 ay pareho. Ang resulta ng isang 5d2 roll ay halos ang mga numero 7 at 8, mas madalas ang iba pang mga numero. Ang parehong serye, kahit na ang parehong average (7.5 sa parehong mga kaso), ngunit ang likas na katangian ng randomness ay naiiba.

Sandali lang. Diba sinabi ko lang na hindi umiinit o lumalamig ang dice? At ngayon sinasabi ko na kung gumulong ka ng maraming dice, ang mga resulta ng mga roll ay mas malapit sa average? Bakit?

Hayaan mo akong magpaliwanag. Kung ikaw ay nagtatapon isa dice, pareho ang posibilidad na mahulog ang bawat isa sa mga mukha. Nangangahulugan ito na kung gumulong ka ng maraming dice, sa paglipas ng panahon, lalabas ang bawat mukha nang halos magkaparehong bilang ng beses. Ang mas maraming dice na iyong i-roll, mas ang kabuuang resulta ay lalapit sa average. Hindi dahil ang rolled number ay "nagdudulot" ng isa pang numero na gumulong na hindi pa lumalabas. Dahil ang isang maliit na streak ng 6s (o 20s o kung ano pa man) ay hindi magiging isang malaking bagay kung igulong mo pa ang dice ng sampung libong beses at karamihan ay lalabas sa gitna...marahil ngayon ay magkakaroon ka ng ilang numero na may mataas na halaga, ngunit maaaring mamaya ilang mga numero na may mababang halaga at sa paglipas ng panahon ay lalapit sila sa average na halaga. Hindi dahil ang mga nakaraang roll ay nakakaapekto sa mga dice (seryoso, ang mga dice ay gawa sa plastik, wala siyang utak para mag-isip na "naku, matagal na bago lumabas ang isang 2"), pero dahil iyon ang kadalasang nangyayari sa maraming dice roll. Ang isang maliit na serye ng mga umuulit na numero ay halos hindi nakikita sa isang malaking bilang ng mga resulta.

Kaya, medyo madaling kalkulahin para sa isang random na roll ng isang die, kahit na hanggang sa pagkalkula ng average na halaga ng roll. Mayroon ding mga paraan upang kalkulahin ang "gaano ka random" ang isang bagay, isang paraan para sabihin na ang mga resulta ng isang 1d6+4 na roll ay magiging "mas random" kaysa sa isang 5d2, para sa isang 5d2 ang pamamahagi ng mga resulta ng roll ay magiging mas pare-pareho, karaniwan mong kinakalkula ang karaniwang paglihis para dito, at kung mas maraming halaga, mas magiging random ang mga resulta, ngunit nangangailangan ito ng higit pang mga kalkulasyon kaysa sa nais kong ibigay ngayon (ipapaliwanag ko ang paksang ito sa ibang pagkakataon). Ang tanging bagay na hinihiling kong malaman mo ay bilang isang pangkalahatang tuntunin, ang mas kaunting dice na pinagsama, mas random. At isa pang karagdagan sa paksang ito: mas maraming panig ang mayroon ang die, mas randomness, dahil mas marami kang pagpipilian.

Paano Kalkulahin ang Probability Gamit ang Pagbibilang

Maaari kang magkaroon ng isang katanungan: paano namin makalkula ang eksaktong posibilidad ng isang partikular na resulta na darating? Ito ay talagang mahalaga para sa maraming mga laro, dahil kung ikaw ay gumulong ng isang mamatay, malamang na mayroong ilang pinakamainam na resulta sa simula. Ang sagot ay: kailangan nating kalkulahin ang dalawang halaga. Una, kalkulahin ang maximum na bilang ng mga resulta kapag naghahagis ng die (anuman ang magiging resulta). Pagkatapos ay bilangin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta. Sa pamamagitan ng paghahati ng pangalawang halaga sa una, makukuha mo ang nais na posibilidad. Upang makakuha ng porsyento, i-multiply ang resulta sa 100.

Mga halimbawa:

Narito ang isang napakasimpleng halimbawa. Gusto mong gumulong ng 4 o mas mataas at gumulong ng anim na panig na die nang isang beses. Ang maximum na bilang ng mga resulta ay 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Sa mga ito, 3 resulta (4, 5, 6) ang paborable. Kaya, upang kalkulahin ang posibilidad, hinati namin ang 3 sa 6 at makakuha ng 0.5 o 50%.

Narito ang isang halimbawa na medyo mas kumplikado. Gusto mo ng even number sa isang 2d6 roll. Ang maximum na bilang ng mga resulta ay 36 (6 para sa bawat dice, at dahil ang isang dice ay hindi makakaapekto sa isa pa, i-multiply namin ang 6 na resulta sa 6 at makakuha ng 36). Ang hirap sa ganitong uri ng tanong ay madaling magbilang ng dalawang beses. Halimbawa, mayroon talagang dalawang posibleng resulta ng isang 3 sa isang 2d6 roll: 1+2 at 2+1. Magkamukha ang mga ito, ngunit ang pagkakaiba ay kung anong numero ang ipinapakita sa unang dice at kung ano ang nasa pangalawa. Maaari mo ring isipin na ang mga dice ay may iba't ibang kulay, kaya halimbawa sa kasong ito ang isang dice ay pula at ang isa ay asul. Pagkatapos ay bilangin ang bilang ng mga opsyon para sa pagkuha ng even na numero: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2). +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+) 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Lumalabas na mayroong 18 mga opsyon para sa isang kanais-nais na kinalabasan sa 36, ​​tulad ng sa nakaraang kaso, ang posibilidad ay magiging 0.5 o 50%. Marahil ay hindi inaasahan, ngunit medyo tumpak.

Monte Carlo simulation

Paano kung mayroon kang masyadong maraming dice para sa pagkalkulang ito? Halimbawa, gusto mong malaman kung ano ang posibilidad ng pag-roll ng kabuuang 15 o higit pa sa isang roll ng 8d6. Mayroong MARAMING iba't ibang mga indibidwal na mga marka para sa walong dice at ito ay tumagal ng napakatagal na oras upang makalkula ang mga ito sa pamamagitan ng kamay. Kahit na makahanap kami ng magandang solusyon sa pagpapangkat ng iba't ibang serye ng mga dice roll, aabutin pa rin ng napakatagal na oras upang mabilang. Sa kasong ito, ang pinakamadaling paraan upang makalkula ang probabilidad ay hindi manu-manong kalkulahin, ngunit gumamit ng computer. Mayroong dalawang mga paraan upang makalkula ang posibilidad sa isang computer.

Maaaring makuha ng unang paraan ang eksaktong sagot, ngunit nagsasangkot ito ng kaunting programming o scripting. Sa esensya, dadaan ang computer sa bawat posibilidad, susuriin at bibilangin ang kabuuang bilang ng mga pag-ulit at ang bilang ng mga pag-ulit na tumutugma sa nais na resulta, at pagkatapos ay magbibigay ng mga sagot. Maaaring ganito ang hitsura ng iyong code:

int wincount=0, totalcount=0;

para sa (int i=1; i<=6; i++) {

para sa (int j=1; j<=6; j++) {

para sa (int k=1; k<=6; k++) {

… // magpasok ng higit pang mga loop dito

kung (i+j+k+... >= 15) (

float probability = wincount/totalcount;

Kung hindi ka programmer at gusto mo lang ng hindi tumpak ngunit tinatayang sagot, maaari mong gayahin ang sitwasyong ito sa Excel, kung saan gumulong ka ng 8d6 ng ilang libong beses at makuha ang sagot. Upang gumulong ng 1d6 sa Excel, gamitin ang sumusunod na formula:

FLOOR(RAND()*6)+1

May pangalan para sa sitwasyon na hindi mo alam ang sagot at subukan lang ng maraming beses - Monte Carlo simulation, at ito ay isang mahusay na solusyon upang bumalik kapag sinusubukan mong kalkulahin ang isang probabilidad at ito ay masyadong kumplikado. Ang magandang bagay ay na sa kasong ito, hindi namin kailangang maunawaan kung paano gumagana ang matematika, at alam namin na ang sagot ay magiging "medyo maganda" dahil, tulad ng alam na natin, mas maraming roll, mas lumalapit ang resulta sa average na halaga.

Paano pagsamahin ang mga independiyenteng pagsubok

Kung magtatanong ka tungkol sa maraming paulit-ulit ngunit independiyenteng mga pagsubok, ang resulta ng isang roll ay hindi makakaapekto sa kinalabasan ng iba pang mga roll. May isa pang mas simpleng paliwanag para sa sitwasyong ito.

Paano makilala sa pagitan ng isang bagay na umaasa at independiyente? Sa prinsipyo, kung maaari mong ihiwalay ang bawat roll ng isang die (o serye ng mga roll) bilang isang hiwalay na kaganapan, kung gayon ito ay independyente. Halimbawa, kung gusto nating gumulong ng kabuuang 15 sa pamamagitan ng pag-roll ng 8d6, hindi mahahati ang kasong ito sa ilang independiyenteng mga rolyo ng dice. Dahil kinakalkula mo ang kabuuan ng mga halaga ng lahat ng mga dice para sa resulta, ang resulta na pinagsama sa isang dice ay nakakaapekto sa mga resulta na dapat na pinagsama sa iba pang mga dice, dahil sa pamamagitan lamang ng pagbubuod ng lahat ng mga halaga ay makukuha mo. ang nais na resulta.

Narito ang isang halimbawa ng mga independiyenteng roll: naglalaro ka ng dice, at gumulong ka ng six-sided dice nang ilang beses. Upang manatili sa laro, dapat kang gumulong ng 2 o mas mataas sa iyong unang roll. Para sa pangalawang roll, 3 o mas mataas. Ang pangatlo ay nangangailangan ng 4 o higit pa, ang ikaapat ay nangangailangan ng 5 o higit pa, ang panglima ay nangangailangan ng 6. Kung ang lahat ng limang roll ay matagumpay, ikaw ay mananalo. Sa kasong ito, ang lahat ng mga throws ay independyente. Oo, kung ang isang roll ay nabigo, ito ay makakaapekto sa kinalabasan ng buong laro, ngunit ang isang roll ay hindi makakaapekto sa isa pang roll. Halimbawa, kung ang iyong pangalawang roll ng dice ay napakatagumpay, hindi ito makakaapekto sa posibilidad na ang mga susunod na roll ay magiging pantay na matagumpay. Samakatuwid, maaari nating isaalang-alang ang posibilidad ng bawat roll ng dice nang hiwalay.

Kung mayroon kang hiwalay, independiyenteng mga probabilidad at gusto mong malaman kung ano ang posibilidad na iyon lahat darating ang mga kaganapan, tinutukoy mo ang bawat indibidwal na posibilidad at i-multiply ang mga ito. Isa pang paraan: kung gagamit ka ng conjunction na "at" para ilarawan ang ilang kundisyon (halimbawa, ano ang posibilidad ng ilang random na kaganapan na nagaganap at ilang iba pang independiyenteng random na kaganapan?), kalkulahin ang mga indibidwal na probabilidad at i-multiply ang mga ito.

Hindi mahalaga kung ano ang iniisip mo hindi kailanman huwag isama ang mga independiyenteng probabilidad. Ito ay isang karaniwang pagkakamali. Upang maunawaan kung bakit ito mali, isipin ang isang sitwasyon kung saan nag-flip ka ng barya 50/50 at gusto mong malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo nang dalawang beses sa isang hilera. Ang bawat panig ay may 50% na tsansa na umakyat, kaya kung idinagdag mo ang dalawang probabilidad, makakakuha ka ng 100% na pagkakataon na magkaroon ng mga ulo, ngunit alam naming hindi iyon totoo dahil dalawang magkasunod na buntot ang maaaring lumabas. Kung sa halip ay i-multiply mo ang dalawang probabilities na ito, makakakuha ka ng 50% * 50% = 25%, na siyang tamang sagot para sa pagkalkula ng posibilidad na makakuha ng mga ulo nang dalawang beses sa isang hilera.

Halimbawa

Bumalik tayo sa larong may anim na panig, kung saan kailangan mo munang gumulong ng isang numerong mas mataas sa 2, pagkatapos ay mas mataas sa 3, at iba pa. hanggang 6. Ano ang mga pagkakataon na sa isang naibigay na serye ng 5 throws, lahat ng resulta ay magiging paborable?

Tulad ng nabanggit sa itaas, ito ay mga independiyenteng pagsubok, kaya kinakalkula namin ang posibilidad para sa bawat indibidwal na roll at pagkatapos ay i-multiply ang mga ito. Ang posibilidad na ang kalalabasan ng unang paghagis ay magiging paborable ay 5/6. Ang pangalawa - 4/6. Pangatlo - 3/6. Ang ikaapat - 2/6, ang ikalima - 1/6. Ang pagpaparami ng lahat ng mga resultang ito, makakakuha tayo ng humigit-kumulang 1.5%… Kaya, ang panalo sa larong ito ay medyo bihira, kaya kung idaragdag mo ang elementong ito sa iyong laro, kakailanganin mo ng medyo malaking jackpot.

Negasyon

Narito ang isa pang kapaki-pakinabang na pahiwatig: kung minsan ay mahirap kalkulahin ang posibilidad na mangyari ang isang kaganapan, ngunit mas madaling matukoy kung ano ang mga pagkakataong magaganap ang isang kaganapan. hindi makakarating.

Halimbawa, ipagpalagay na mayroon kaming isa pang laro at gumulong ka ng 6d6, at kung kahit isang beses rolls 6, panalo ka. Ano ang posibilidad na manalo?

Sa kasong ito, maraming mga pagpipilian upang isaalang-alang. Marahil ay mahuhulog ang isang numero 6, i.e. ang isa sa mga dice ay magpapagulong ng 6 at ang iba ay magpapagulong ng 1 hanggang 5, at mayroong 6 na opsyon kung alin sa mga dice ang magpapagulong ng 6. Pagkatapos ay maaari kang gumulong ng 6 sa dalawang dice, o tatlo, o higit pa, at sa bawat oras na kailangan nating gumawa ng isang hiwalay na pagkalkula, kaya madaling malito.

Ngunit may isa pang paraan upang malutas ang problemang ito, tingnan natin ito mula sa kabilang panig. Ikaw mawala kung wala ang numero 6 ay hindi mahuhulog sa dice. Sa kasong ito, mayroon kaming anim na independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay 5/6 (anumang numero maliban sa 6 ay maaaring mahulog sa dice). I-multiply ang mga ito at makakakuha ka ng humigit-kumulang 33%. Kaya, ang posibilidad na matalo ay 1 hanggang 3.

Samakatuwid, ang posibilidad na manalo ay 67% (o 2 hanggang 3).

Mula sa halimbawang ito ay malinaw na kung kinakalkula mo ang posibilidad na hindi mangyayari ang isang kaganapan, ibawas ang resulta mula sa 100%. Kung ang posibilidad na manalo ay 67%, kung gayon ang posibilidad mawala — 100% minus 67%, o 33%. At vice versa. Kung mahirap kalkulahin ang isang probabilidad, ngunit madaling kalkulahin ang kabaligtaran, kalkulahin ang kabaligtaran, at pagkatapos ay ibawas mula sa 100%.

Mga kundisyon sa pagkonekta para sa isang independiyenteng pagsubok

Sinabi ko nang kaunti nang mas maaga na hindi mo dapat isama ang mga probabilidad sa mga independiyenteng pagsubok. Mayroon bang mga kaso kung saan pwede isama ang mga probabilidad? Oo, sa isang partikular na sitwasyon.

Kung gusto mong kalkulahin ang posibilidad ng maramihan, hindi nauugnay, kanais-nais na mga resulta sa parehong pagsubok, isama ang mga probabilidad ng bawat kanais-nais na resulta. Halimbawa, ang posibilidad ng pag-roll ng 4, 5, o 6 sa 1d6 ay kabuuan ang posibilidad ng pag-roll ng isang 4, ang posibilidad ng pag-roll ng isang 5, at ang posibilidad ng pag-roll ng isang 6. Maaari mo ring isipin ang sitwasyong ito tulad ng sumusunod: kung gagamitin mo ang pang-ugnay na "o" sa isang tanong tungkol sa posibilidad (halimbawa, ano ay ang posibilidad ng o magkaibang kinalabasan ng isang random na kaganapan?), kalkulahin ang mga indibidwal na probabilidad at ibuod ang mga ito.

Tandaan na kapag nagsumamo ka lahat ng posibleng resulta laro, ang kabuuan ng lahat ng probabilities ay dapat na katumbas ng 100%. Kung ang kabuuan ay hindi katumbas ng 100%, ang iyong pagkalkula ay ginawa nang hindi tama. Ito ay isang magandang paraan upang i-double check ang iyong mga kalkulasyon. Halimbawa, sinuri mo ang posibilidad na makuha ang lahat ng kumbinasyon sa poker, kung isasama mo ang lahat ng mga resulta, dapat kang makakuha ng eksaktong 100% (o hindi bababa sa isang halaga na malapit sa 100%, kung gumagamit ka ng calculator, maaari kang magkaroon ng maliit na error sa pag-ikot , ngunit kung isasama mo ang eksaktong mga numero sa pamamagitan ng kamay, lahat ay dapat magdagdag). Kung ang kabuuan ay hindi nagtatagpo, malamang na hindi mo isinasaalang-alang ang ilang mga kumbinasyon, o hindi mo nakalkula ang mga probabilidad ng ilang mga kumbinasyon, at pagkatapos ay kailangan mong i-double-check ang iyong mga kalkulasyon.

Hindi pantay na probabilidad

Hanggang ngayon, ipinapalagay namin na ang bawat mukha ng die ay nahuhulog sa parehong dalas, dahil ito ay kung paano gumagana ang die. Ngunit kung minsan ay nahaharap ka sa isang sitwasyon kung saan ang iba't ibang mga resulta ay posible at sila iba-iba drop ng mga pagkakataon. Halimbawa, sa isa sa mga pagpapalawak ng laro ng card na "Nuclear War" mayroong isang playing field na may isang arrow, na tumutukoy sa resulta ng isang missile launch: ito ay karaniwang nakikitungo sa normal na pinsala, higit o mas kaunting pinsala, ngunit kung minsan ang pinsala ay nadoble o natriple, o ang rocket ay sumabog sa launch pad at napinsala ka, o may nangyaring ibang kaganapan. Hindi tulad ng arrow board sa "Chutes & Ladders" o "A Game of Life", ang mga resulta ng board sa "Nuclear War" ay hindi pantay. Ang ilang mga seksyon ng larangan ng paglalaro ay mas malaki at ang arrow ay humihinto sa mga ito nang mas madalas, habang ang ibang mga seksyon ay napakaliit at ang arrow ay tumitigil sa kanila.

Kaya, sa unang tingin, mukhang ganito ang buto: 1, 1, 1, 2, 2, 3; napag-usapan na natin ito, ito ay tulad ng isang may timbang na 1d3, samakatuwid, kailangan nating hatiin ang lahat ng mga seksyong ito sa pantay na mga bahagi, hanapin ang pinakamaliit na yunit ng sukat, na isang maramihang nito, at pagkatapos ay kumakatawan sa sitwasyon bilang d522 (o ilang iba pa ), kung saan ang hanay ng mga mukha ng dice ay magpapakita ng parehong sitwasyon, ngunit may mas malaking bilang ng mga resulta. At ito ay isang paraan upang malutas ang problema, at ito ay teknikal na magagawa, ngunit mayroong isang mas madaling paraan.

Bumalik tayo sa ating karaniwang six-sided dice. Sinabi namin na upang makalkula ang average na halaga ng isang throw para sa isang normal na dice, kailangan mong isama ang mga halaga sa lahat ng mga mukha at hatiin ang mga ito sa bilang ng mga mukha, ngunit paano eksakto tuloy ba ang kalkulasyon? Maaari mong ipahayag ito nang iba. Para sa isang anim na panig na dice, ang posibilidad ng bawat mukha na lalabas ay eksaktong 1/6. Ngayon dumami tayo Exodo sa bawat gilid probabilidad ang kinalabasan na ito (sa kasong ito, 1/6 para sa bawat mukha), pagkatapos ay buuin ang mga resultang halaga. Kaya summing (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6 ), nakukuha namin ang parehong resulta (3.5) tulad ng sa pagkalkula sa itaas. Sa katunayan, kinakalkula namin ito sa bawat oras: pinaparami namin ang bawat resulta sa posibilidad ng resultang iyon.

Maaari ba nating gawin ang parehong pagkalkula para sa arrow sa playing field sa larong "Nuclear War"? Syempre kaya natin. At kung susumahin natin ang lahat ng nahanap na resulta, makukuha natin ang average na halaga. Ang kailangan lang nating gawin ay kalkulahin ang posibilidad ng bawat resulta para sa arrow sa playing field at i-multiply sa resulta.

Isa pang halimbawa

Ang pamamaraang ito ng pagkalkula ng average, sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat kinalabasan sa indibidwal na probabilidad nito, ay angkop din kung ang mga resulta ay pantay na malamang ngunit may iba't ibang mga pakinabang, tulad ng kung gumulong ka ng isang die at manalo ng higit pa sa ilang panig kaysa sa iba. Halimbawa, kunin natin ang isang laro na nangyayari sa isang casino: tumaya ka at gumulong 2d6. Kung tatlong mababang halaga na numero (2, 3, 4) o apat na mataas na halaga na numero (9, 10, 11, 12) ang lumabas, mananalo ka ng halagang katumbas ng iyong taya. Espesyal ang mga numerong may pinakamababa at pinakamataas na halaga: kung 2 o 12 roll, panalo ka doble ang dami kaysa sa iyong bid. Kung may iba pang numero na lumabas (5, 6, 7, 8), matatalo ka sa iyong taya. Ito ay isang medyo simpleng laro. Ngunit ano ang posibilidad na manalo?

Magsimula tayo sa pamamagitan ng pagbilang kung ilang beses ka maaaring manalo:

• Ang maximum na bilang ng mga resulta sa isang 2d6 roll ay 36. Ano ang bilang ng mga paborableng resulta?
• May 1 option na dalawa ang mahuhulog at 1 option na dose ang mahuhulog.
• Mayroong 2 mga pagpipilian para sa rolling tatlo at labing-isa.
• Mayroong 3 mga opsyon para sa rolling four at 3 mga opsyon para sa rolling sampu.
• Mayroong 4 na pagpipilian para sa siyam na lalabas.
• Sa kabuuan ng lahat ng mga opsyon, makukuha natin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta 16 sa 36.

Kaya, sa ilalim ng normal na mga kondisyon, mananalo ka ng 16 na beses sa 36 na posible... ang posibilidad na manalo ay bahagyang mas mababa sa 50%.

Ngunit sa dalawang kaso sa 16 na iyon, doble ang iyong panalo, i.e. parang dalawang beses nanalo! Kung laruin mo ang larong ito ng 36 beses, tumaya ng $1 sa bawat pagkakataon, at bawat isa sa lahat ng posibleng resulta ay lalabas nang isang beses, mananalo ka ng kabuuang $18 (talagang mananalo ka ng 16 na beses, ngunit dalawa sa mga oras na iyon ay mabibilang bilang dalawang panalo). Kung maglaro ka ng 36 beses at manalo ng $18, hindi ba ibig sabihin na ito ay isang patas na pagkakataon?

Huwag kang mag-madali. Kung bibilangin mo ang bilang ng beses na maaari kang matalo, makakakuha ka ng 20, hindi 18. Kung maglaro ka ng 36 na beses, tumaya ng $1 sa bawat pagkakataon, mananalo ka ng kabuuang $18 kasama ang lahat ng logro... ngunit matatalo ka ang kabuuang halaga na $20 para sa lahat ng 20 masamang resulta! Bilang resulta, medyo mahuhuli ka: matatalo ka ng average na $2 neto para sa bawat 36 na larong nilaro (maaari mo ring sabihin na matatalo ka ng average na $1/18 sa isang araw). Ngayon ay nakita mo kung gaano kadaling magkamali sa kasong ito at hindi tama ang pagkalkula ng posibilidad!

Permutasyon

Sa ngayon, ipinapalagay namin na ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga numero ay itinapon ay hindi mahalaga sa pag-roll ng dice. Ang 2+4 roll ay kapareho ng 4+2 roll. Sa karamihan ng mga kaso, manu-mano naming binibilang ang bilang ng mga kanais-nais na resulta, ngunit kung minsan ang pamamaraang ito ay hindi praktikal at mas mahusay na gumamit ng isang mathematical formula.

Ang isang halimbawa ng sitwasyong ito ay mula sa dice game na "Farkle". Para sa bawat bagong round, gumulong ka ng 6d6. Kung ikaw ay mapalad at lahat ng posibleng resulta ng 1-2-3-4-5-6 (Straight) ay lalabas, makakakuha ka ng malaking bonus. Ano ang posibilidad na mangyari ito? Sa kasong ito, maraming mga pagpipilian para sa pagkawala ng kumbinasyong ito!

Ang solusyon ay ang mga sumusunod: ang isa sa mga dice (at isa lamang) ay dapat gumulong sa numero 1! Ilang paraan upang makuha ang numero 1 sa isang dice? Anim, dahil mayroong 6 na dice, at sinuman sa kanila ay maaaring mapunta ang numero 1. Alinsunod dito, kumuha ng isang dice at itabi ito. Ngayon, ang numero 2 ay dapat mahulog sa isa sa mga natitirang dice. Mayroong limang mga pagpipilian para dito. Kumuha ng isa pang dice at itabi ito. Pagkatapos nito, ang apat sa natitirang dice ay maaaring gumulong ng 3, tatlo sa natitirang dice ay maaaring gumulong ng 4, dalawa sa natitirang dice ay maaaring gumulong ng 5, at magkakaroon ka ng isang die na dapat gumulong ng 6 (sa huli. kaso, isa lang ang dice at walang choice). Upang kalkulahin ang bilang ng mga kanais-nais na resulta para sa isang tuwid na kumbinasyon na lalabas, pinaparami namin ang lahat ng iba't ibang mga independiyenteng opsyon: 6x5x4x3x2x1 = 720 - mukhang napakaraming opsyon para sa kumbinasyong ito na lumabas.

Upang kalkulahin ang posibilidad na makakuha ng isang tuwid na kumbinasyon, kailangan nating hatiin ang 720 sa bilang ng lahat ng posibleng resulta para sa rolling 6d6. Ano ang bilang ng lahat ng posibleng resulta? Ang bawat die ay maaaring mapunta sa 6 na mukha, kaya pinarami namin ang 6x6x6x6x6x6 = 46656 (mas mataas na numero!). Hinahati namin ang 720/46656 at nakakuha kami ng probabilidad na katumbas ng humigit-kumulang 1.5%. Kung ikaw ay nagdidisenyo ng larong ito, magiging kapaki-pakinabang para sa iyo na malaman ito upang makagawa ka ng naaangkop na sistema ng pagmamarka. Ngayon naiintindihan na namin kung bakit sa larong "Farkle" nakakakuha ka ng napakalaking bonus kung makakakuha ka ng kumbinasyon ng "straight", dahil bihira ang sitwasyong ito!

Ang resulta ay kawili-wili din para sa isa pang dahilan. Ang halimbawa ay nagpapakita kung gaano bihira ang isang resulta na tumutugma sa posibilidad ay talagang nahuhulog sa isang maikling panahon. Syempre, kung nag-roll tayo ng ilang libong dice, ang iba't ibang panig ng dice ay madalas na lalabas. Ngunit kapag kami ay gumulong anim na dice lamang, halos hindi kailanman hindi mangyayari na ang bawat isa sa mga mukha ay nahuhulog! Proceeding from this, it becomes clear that it is foolish to expect that another face will fall out now, which is hindi pa nalalagas “kasi matagal na tayong hindi nag-drop ng number 6, ibig sabihin, laglag na ngayon. ”

Tingnan mo, sira ang iyong random number generator...

Dinadala tayo nito sa isang karaniwang maling kuru-kuro tungkol sa posibilidad: ang pagpapalagay na ang lahat ng mga kinalabasan ay may parehong dalas. sa loob ng maikling panahon, na hindi naman talaga. Kung igulong natin ang dice ng ilang beses, ang dalas ng bawat isa sa mga mukha ay hindi magiging pareho.

Kung nakapagtrabaho ka na sa isang online game na may ilang uri ng random number generator dati, malamang na nakatagpo ka ng sitwasyon kung saan sumulat ang isang manlalaro sa teknikal na suporta para sabihin na ang iyong random number generator ay sira at hindi nagpapakita ng mga random na numero, at siya dumating sa ganitong konklusyon dahil nakapatay lang siya ng 4 na halimaw na sunud-sunod at nakatanggap ng 4 na eksaktong parehong reward, at ang mga reward na ito ay dapat lang bumaba ng 10% ng oras, kaya ito Halos hindi kailanman hindi dapat mangyari, ibig sabihin malinaw naman na sira ang iyong random number generator.

Gumagawa ka ng math. Ang 1/10*1/10*1/10*1/10 ay katumbas ng 1 sa 10,000, na nangangahulugang ito ay medyo bihira. At iyon ang sinusubukang sabihin sa iyo ng manlalaro. May problema ba sa kasong ito?

Ang lahat ay nakasalalay sa mga pangyayari. Ilang manlalaro ang nasa iyong server ngayon? Ipagpalagay na mayroon kang isang medyo sikat na laro at 100,000 mga tao ang naglalaro nito araw-araw. Ilang manlalaro ang papatay ng apat na halimaw na magkakasunod? Posible ang anumang bagay, ilang beses sa isang araw, ngunit ipagpalagay natin na kalahati sa kanila ay nangangalakal lamang ng iba't ibang mga item sa mga auction o nakikipag-chat sa mga server ng RP, o gumagawa ng iba pang aktibidad sa laro, kaya kalahati lang sa kanila ang talagang nangangaso ng mga halimaw. Ano ang posibilidad na isang tao mawawala ba ang parehong gantimpala? Sa sitwasyong ito, maaari mong asahan na ang parehong gantimpala ay maaaring bumaba nang ilang beses sa isang araw, hindi bababa sa!

Oo nga pala, kaya lang parang every few weeks man lang isang tao nanalo sa lotto, kahit na ang isang tao hindi kailanman ikaw o ang iyong mga kaibigan ay hindi dumating. Kung sapat na mga tao ang naglalaro bawat linggo, malamang na mayroon man lang isa swerte... pero kung ikaw naglalaro ka ng lottery, mas malamang na manalo ka ng trabaho sa Infinity Ward.

Mga mapa at pagkagumon

Napag-usapan namin ang mga independyenteng kaganapan, tulad ng paghahagis ng die, at ngayon alam namin ang maraming makapangyarihang tool para sa pagsusuri ng randomness sa maraming laro. Ang pagkalkula ng posibilidad ay medyo mas kumplikado pagdating sa pagguhit ng mga card mula sa deck, dahil ang bawat card na iginuhit namin ay nakakaapekto sa mga natitirang card sa deck. Kung mayroon kang isang karaniwang deck ng 52 card at gumuhit ka ng 10 ng mga puso, halimbawa, at gusto mong malaman ang posibilidad na ang susunod na card ay magiging parehong suit, ang posibilidad ay nagbago dahil tinanggal mo na ang isang card ng puso mula sa kubyerta. Ang bawat card na aalisin mo ay nagbabago sa posibilidad ng susunod na card sa deck. Dahil sa kasong ito ang nakaraang kaganapan ay nakakaapekto sa susunod, tinatawag namin ang posibilidad na ito umaasa.

Pakitandaan na kapag sinabi kong "mga card" ang ibig kong sabihin anuman mekanika ng laro kung saan mayroong isang hanay ng mga bagay at tinanggal mo ang isa sa mga bagay nang hindi pinapalitan ito, ang isang "kubyerta ng mga baraha" sa kasong ito ay kahalintulad sa isang bag ng mga chips kung saan inaalis mo ang isang chip at huwag itong palitan, o isang urn kung saan mo inaalis ang mga may kulay na marbles (sa totoo lang, hindi pa ako nakakita ng laro na may kinuhang urn na may mga kulay na marbles, ngunit tila mas gusto ng mga guro ang halimbawang ito sa ilang kadahilanan).

Mga Katangian ng Dependency

Gusto kong linawin na pagdating sa mga card, ipinapalagay kong gumuhit ka ng mga card, tingnan ang mga ito, at alisin ang mga ito sa deck. Ang bawat isa sa mga pagkilos na ito ay isang mahalagang pag-aari.

Kung mayroon akong isang deck ng, sabihin nating, anim na card na may bilang na 1 hanggang 6, at binabalasa ko ang mga ito at iginuhit ang isang card at pagkatapos ay i-shuffle muli ang lahat ng anim na baraha, iyon ay magiging katulad ng pag-roll ng isang anim na panig na mamatay; ang isang resulta ay hindi makakaapekto sa susunod. Tanging kung gumuhit ako ng mga card at hindi papalitan ang mga ito ay ang resulta ng pagguhit ng isang card na may numero 1 ay magdaragdag ng posibilidad na sa susunod na gumuhit ako ng isang card na may numero 6 (ang posibilidad ay tataas hanggang sa huli kong iguhit ang card na ito o hanggang I-shuffle ko ang mga card).

Ang katotohanan na tayo tumingin kami sa mga card ay mahalaga din. Kung kukuha ako ng card mula sa deck at hindi ito titingnan, wala akong karagdagang impormasyon at hindi talaga nagbabago ang posibilidad. Ito ay maaaring mukhang hindi makatwiran. Paano mababago ng simpleng pag-flip ng card ang mga logro? Ngunit ito ay posible, dahil maaari mong kalkulahin ang posibilidad para sa hindi kilalang mga item lamang mula sa katotohanan na ikaw alam mo. Halimbawa, kung mag-shuffle ka ng karaniwang deck ng mga card, magbunyag ng 51 card at wala sa mga ito ang reyna ng mga club, malalaman mo nang may 100% katiyakan na ang natitirang card ay reyna ng mga club. Kung binabalasa mo ang isang karaniwang deck ng mga baraha at gumuhit ng 51 baraha, sa kabila sa kanila, kung gayon ang posibilidad na ang natitirang card ay ang reyna ng mga club ay magiging 1/52 pa rin. Habang binubuksan mo ang bawat card, makakakuha ka ng higit pang impormasyon.

Ang pagkalkula ng posibilidad para sa mga umaasa na kaganapan ay sumusunod sa parehong mga prinsipyo tulad ng para sa mga independiyenteng kaganapan, maliban na ito ay medyo mas kumplikado, dahil ang mga probabilidad ay nagbabago kapag inihayag mo ang mga card. Kaya, kailangan mong i-multiply ang maraming iba't ibang mga halaga, sa halip na i-multiply ang parehong halaga. Sa katunayan, nangangahulugan ito na kailangan nating pagsamahin ang lahat ng mga kalkulasyon na ginawa natin sa isang kumbinasyon.

Halimbawa

I-shuffle mo ang isang karaniwang deck ng 52 card at gumuhit ng dalawang card. Ano ang posibilidad na kumuha ka ng isang pares? Mayroong ilang mga paraan upang kalkulahin ang posibilidad na ito, ngunit marahil ang pinakasimpleng ay ang mga sumusunod: ano ang posibilidad na kung gumuhit ka ng isang card, hindi mo magagawang gumuhit ng isang pares? Ang posibilidad na ito ay zero, kaya hindi mahalaga kung aling unang card ang iyong iguguhit, hangga't ito ay tumutugma sa pangalawa. Kahit aling card ang una nating ibunot, may pagkakataon pa rin tayong gumuhit ng isang pares, kaya ang posibilidad na maaari tayong gumuhit ng isang pares pagkatapos iguhit ang unang card ay 100%.

Ano ang posibilidad na ang pangalawang card ay tumugma sa una? May 51 na card na natitira sa deck at 3 sa mga ito ang tumutugma sa unang card (sa totoo lang, ito ay magiging 4 sa 52, ngunit naalis mo na ang isa sa mga katugmang card noong iginuhit mo ang unang card!), kaya ang posibilidad ay 1 /17. (Kaya sa susunod na sasabihin ng lalaki sa kabilang table na naglalaro ng Texas Hold'em, "Cool, another pair? I'm lucky today," malalaman mo na malaki ang posibilidad na na-bluff siya.)

Paano kung magdagdag tayo ng dalawang joker at mayroon na tayong 54 na baraha sa deck at gusto nating malaman kung ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang pares? Ang unang card ay maaaring ang Joker, at pagkatapos ay ang deck ay maglalaman lamang isa card, hindi tatlo, na magtutugma. Paano mahahanap ang posibilidad sa kasong ito? Hinahati namin ang mga probabilidad at i-multiply ang bawat posibilidad.

Ang aming unang card ay maaaring isang joker o iba pang card. Ang posibilidad ng pagguhit ng isang joker ay 2/54, ang posibilidad ng pagguhit ng ibang card ay 52/54.

Kung ang unang card ay isang joker (2/54), ang posibilidad na ang pangalawang card ay tumugma sa una ay 1/53. Pagpaparami ng mga halaga (maaari nating i-multiply ang mga ito dahil magkahiwalay sila ng mga kaganapan at gusto natin pareho nangyari ang mga kaganapan) at nakakakuha tayo ng 1/1431 - mas mababa sa isang ikasampu ng isang porsyento.

Kung gumuhit ka muna ng ibang card (52/54), ang posibilidad na matugma ang pangalawang card ay 3/53. Pina-multiply namin ang mga value at nakakakuha kami ng 78/1431 (higit sa 5.5%).

Ano ang gagawin natin sa dalawang resultang ito? Hindi sila nagsalubong at gusto naming malaman ang posibilidad lahat sa kanila, kaya buod namin ang mga halaga! Nakukuha namin ang huling resulta 79/1431 (mga 5.5%) pa rin.

Kung gusto naming makatiyak sa katumpakan ng sagot, maaari naming kalkulahin ang posibilidad ng lahat ng iba pang posibleng resulta: pagguhit ng joker at hindi tumutugma sa pangalawang card, o pagguhit ng ibang card at hindi tumutugma sa pangalawang card, at pagbubuod ng lahat ng ito. na may posibilidad na manalo, makakatanggap kami ng eksaktong 100%. Hindi ko ibibigay ang matematika dito, ngunit maaari mong subukan ang matematika upang i-double check.

Ang Monty Hall Paradox

Dinadala tayo nito sa isang medyo sikat na kabalintunaan na kadalasang nakalilito sa marami, ang kabalintunaan ng Monty Hall. Ang kabalintunaan ay pinangalanan sa Monty Hall, ang host ng palabas sa TV na Let's Make a Deal. Kung hindi mo pa nakikita ang palabas na ito, ito ay kabaligtaran ng palabas sa TV na "The Price Is Right". Sa “The Price Is Right,” ang host (dating Bob Barker, ngayon ay…Drew Carey? Anyway…) ay iyong kaibigan. Siya gusto para manalo ka ng pera o mga cool na premyo. Sinusubukan nitong bigyan ka ng bawat pagkakataong manalo, hangga't maaari mong hulaan kung magkano talaga ang halaga ng mga naka-sponsor na item.

Iba ang ugali ni Monty Hall. Para siyang masamang kambal ni Bob Barker. Ang layunin niya ay gawin kang parang tanga sa pambansang telebisyon. Kung ikaw ay nasa palabas, siya ang iyong kalaban, nakipaglaro ka sa kanya at ang mga posibilidad ay pabor sa kanya. Siguro ako ay malupit, ngunit kapag ang pagkakataon na mapili bilang isang kalaban ay tila direktang proporsyonal sa kung ikaw ay may suot na katawa-tawa na kasuutan, ako ay dumating sa katulad na mga konklusyon.

Ngunit ang isa sa mga pinakasikat na meme ng palabas ay ito: may tatlong pinto sa harap mo, at tinawag silang Door Number 1, Door Number 2, at Door Number 3. Maaari kang pumili ng alinmang pinto... nang libre! Sa likod ng isa sa mga pintuan na ito, mayroong isang napakagandang premyo, halimbawa, isang bagong kotse. Walang mga premyo sa likod ng iba pang mga pinto, ang dalawang pintong ito ay walang halaga. Ang layunin nila ay ipahiya ka at kaya hindi na parang wala man lang sa likod nila, may isang bagay sa likod nila na mukhang tanga, parang kambing sa likod nila o isang malaking tubo ng toothpaste, o isang bagay ... isang bagay, ano nga ba hindi bagong sasakyan.

Pinili mo ang isa sa mga pinto at bubuksan na sana ito ni Monty para ipaalam sa iyo kung nanalo ka o hindi... pero teka, bago natin malaman tingnan natin ang isa sa mga ang pinto mo hindi pinili. Dahil alam ni Monty kung aling pinto ang premyo sa likod, at mayroon lamang isang premyo at dalawa pinto na hindi mo pinili, kahit na ano, maaari niyang palaging buksan ang isang pinto na walang premyo sa likod nito. “Pipili mo ba ang Door number 3? Pagkatapos ay buksan natin ang Door 1 upang ipakita na walang premyo sa likod nito." At ngayon, dahil sa kabutihang-loob, inaalok ka niya ng pagkakataong ipagpalit ang napili mong Pintuan #3 para sa nasa likod ng Pintuan #2. Dito pumapasok ang tanong ng probabilidad: ang kakayahang pumili ng ibang pinto ay nagpapataas o nagpapababa sa iyong pagkakataong manalo, o nananatili ba itong pareho? Ano sa tingin mo?

Tamang sagot: ang kakayahang pumili ng isa pang pinto nadadagdagan posibilidad na manalo mula 1/3 hanggang 2/3. Ito ay hindi makatwiran. Kung hindi mo pa naranasan ang kabalintunaan na ito, malamang na iniisip mo: maghintay, pagbubukas ng isang pinto, binago namin ang posibilidad? Ngunit tulad ng nakita natin sa halimbawa ng mapa sa itaas, ito ay eksakto ano ang mangyayari kapag nakakuha tayo ng karagdagang impormasyon. Malinaw na ang posibilidad na manalo sa unang pagkakataon na pumili ka ay 1/3, at sa palagay ko lahat ay sasang-ayon diyan. Kapag nagbukas ang isang pinto, hindi nito binabago ang posibilidad na manalo para sa unang pagpipilian, ang posibilidad ay 1/3 pa rin, ngunit nangangahulugan ito na ang posibilidad na isa pa ang tamang pinto ay 2/3 na ngayon.

Tingnan natin ang halimbawang ito mula sa kabilang panig. Pumili ka ng pinto. Ang posibilidad na manalo ay 1/3. I suggest na magpalit ka dalawa iba pang mga pinto, na siyang talagang iminumungkahi ni Monty Hall na gawin. Siyempre, binuksan niya ang isa sa mga pintuan para ipakita na walang premyo sa likod nito, ngunit siya palagi magagawa ito, kaya hindi talaga ito nagbabago. Siyempre, gugustuhin mong pumili ng ibang pinto!

Kung hindi mo lubos na nauunawaan ang isyung ito at kailangan mo ng mas nakakumbinsi na paliwanag, mag-click sa link na ito para pumunta sa isang magandang maliit na Flash application na magbibigay-daan sa iyong tuklasin ang kabalintunaan na ito nang mas detalyado. Maaari kang magsimula sa mga 10 pinto at pagkatapos ay unti-unting umakyat sa isang laro na may tatlong pinto; mayroon ding simulator kung saan maaari kang pumili ng anumang bilang ng mga pinto mula 3 hanggang 50 at maglaro o magpatakbo ng ilang libong simulation at tingnan kung ilang beses ka mananalo kung maglaro ka.

Isang tala mula sa isang guro ng mas mataas na matematika at isang dalubhasa sa balanse ng laro na si Maxim Soldatov, na, siyempre, wala si Schreiber, ngunit kung wala ito ay mahirap maunawaan ang mahiwagang pagbabagong ito:

Pumili ng pinto, isa sa tatlo, ang posibilidad na "manalo" 1/3. Ngayon ay mayroon kang 2 diskarte: baguhin ang pagpipilian pagkatapos buksan ang maling pinto o hindi. Kung hindi mo babaguhin ang iyong pinili, kung gayon ang posibilidad ay mananatiling 1/3, dahil ang pagpipilian ay nasa unang yugto lamang, at dapat mong hulaan kaagad, ngunit kung magbabago ka, maaari kang manalo kung pinili mo muna ang maling pinto ( pagkatapos ay magbubukas sila ng isa pang mali, mananatiling totoo, baguhin mo ang desisyon kunin mo lang)
Ang posibilidad ng pagpili ng maling pinto sa simula ay 2/3, kaya lumalabas na sa pamamagitan ng pagbabago ng iyong desisyon ay ginagawa mo ang posibilidad na manalo ng 2 beses na higit pa

Muling pagbisita sa Monty Hall Paradox

Sa mismong palabas, alam ito ni Monty Hall, dahil kahit hindi magaling sa math ang mga kalaban niya, siya naiintindihan siya ng mabuti. Narito ang ginawa niya para medyo mabago ang laro. Kung pinili mo ang pinto sa likod kung saan ang premyo ay, ang posibilidad na kung saan ay 1/3, ito palagi nag-alok sa iyo ng opsyon na pumili ng isa pang pinto. Dahil pinili mo ang isang kotse at pagkatapos ay pinalitan mo ito ng isang kambing at ikaw ay mukhang medyo tanga, na kung ano mismo ang kailangan niya, dahil siya ay uri ng isang masamang tao. Ngunit kung pipiliin mo ang pinto sa likod kung saan walang magiging premyo, lamang kalahati sa mga ganitong pagkakataon ay uutusan ka niyang pumili ng isa pang pinto, at sa ibang pagkakataon ay ipapakita lamang niya sa iyo ang iyong bagong kambing at aalis ka sa entablado. Suriin natin ang bagong larong ito kung saan magagawa ni Monty Hall pumili nag-aalok sa iyo ng pagkakataong pumili ng ibang pinto o hindi.

Ipagpalagay na sinusunod niya ang algorithm na ito: kung pipili ka ng isang pinto na may premyo, palagi siyang nag-aalok sa iyo ng pagkakataon na pumili ng isa pang pinto, kung hindi man ang posibilidad na mag-alok siya sa iyo ng ibang pinto o bigyan ka ng kambing ay 50/50. Ano ang posibilidad na manalo ka?

Sa isa sa tatlong opsyon, pipiliin mo kaagad ang pinto kung saan matatagpuan ang premyo, at iniimbitahan ka ng host na pumili ng isa pang pinto.

Sa natitirang dalawang opsyon sa tatlo (una kang pumili ng pinto na walang premyo), kalahati ng oras na hihilingin sa iyo ng host na pumili ng ibang pinto, at ang kalahati ng oras ay hindi. Ang kalahati ng 2/3 ay 1/3, i.e. sa isang kaso sa tatlo ay makakakuha ka ng kambing, sa isang kaso sa tatlo ay maling pinto ang pipiliin mo at hihilingin sa iyo ng host na pumili ng isa pa at sa isang kaso sa tatlo ay pipiliin mo ang kanang pinto at sasabihan ka niya na pumili ng isa pang pinto.

Kung iminumungkahi ng host na pumili ng ibang pinto, alam na natin na hindi nangyari ang isa sa tatlong kaso kapag binigyan niya tayo ng kambing at umalis. Ito ay kapaki-pakinabang na impormasyon dahil nangangahulugan ito na ang aming mga pagkakataong manalo ay nagbago. Dalawa sa tatlong beses na mayroon tayong pagpipilian, sa isang kaso ay nangangahulugan ito na nahulaan natin nang tama, at sa kabilang kaso, nangangahulugan ito na mali ang ating nahulaan, kaya kung tayo ay inalok ng isang pagpipilian, nangangahulugan ito na ang posibilidad na tayo ay manalo ay 50 / 50, at wala mathematical benepisyo, manatili sa iyong pinili o pumili ng ibang pinto.

Tulad ng poker, isa na itong sikolohikal na laro, hindi matematika. Inalok ka ni Monty ng isang pagpipilian dahil sa tingin niya ikaw ay isang dumbass na hindi alam na ang pagpili ng ibang pinto ay ang "tama" na desisyon at na manatili ka sa iyong pinili dahil sa sikolohikal na sitwasyon ay kapag pumili ka ng kotse, at pagkatapos nawala ito, mas mahirap? O sa tingin ba niya ay matalino ka at pumili ng isa pang pinto, at iniaalok niya sa iyo ang pagkakataong iyon dahil alam niyang nahulaan mo nang tama sa unang pagkakataon at ikaw ay mabibigkas at ma-trap? O baka hindi siya mabait sa sarili niya at itinutulak kang gumawa ng isang bagay para sa iyong personal na interes dahil matagal na siyang hindi nag-donate ng sasakyan at sinasabi sa kanya ng kanyang mga producer na naiinip na ang mga manonood at mas mabuting bigyan siya ng malaking premyo sa lalong madaling panahon. para hindi bumagsak ang ratings?

Kaya, nagawa ni Monty na mag-alok ng isang pagpipilian (minsan) at ang kabuuang posibilidad na manalo ay nananatiling 1/3. Tandaan na ang posibilidad na matalo ka kaagad ay 1/3. Mayroong 1/3 na pagkakataon na mahulaan mo kaagad, at 50% ng mga oras na iyon ay mananalo ka (1/3 x 1/2 = 1/6). Ang posibilidad na mali ang hula mo sa una, ngunit pagkatapos ay magkaroon ng pagkakataon na pumili ng isa pang pinto ay 1/3, at sa 50% ng mga kasong ito ay mananalo ka (1/6 din). Magdagdag ng dalawang independiyenteng posibilidad na manalo at makakakuha ka ng probabilidad na 1/3, kaya't manatili ka man sa iyong pinili o pumili ng isa pang pinto, ang kabuuang posibilidad na manalo ka sa buong laro ay 1/3... ang posibilidad ay hindi lalago kaysa sa isang sitwasyon kung saan nahulaan mo ang pinto at ipinakita sa iyo ng host kung ano ang nasa likod ng pintong ito, nang walang kakayahang pumili ng isa pang pinto! Kaya't ang punto ng pag-aalok ng opsyon na pumili ng ibang pinto ay hindi upang baguhin ang posibilidad, ngunit upang gawing mas masaya ang proseso ng pagpapasya na panoorin sa TV.

Siyanga pala, ito ang isa sa mga dahilan kung bakit napakainteresante ang poker: sa karamihan ng mga format sa pagitan ng mga round, kapag ang mga taya ay ginawa (halimbawa, ang flop, turn at ilog sa Texas Hold'em), ang mga card ay unti-unting nabubunyag. , at kung sa simula ng laro ay may posibilidad kang manalo, pagkatapos ng bawat round ng pagtaya, kapag mas maraming card ang bukas, nagbabago ang posibilidad na ito.

Kabalintunaan ng lalaki at babae

Dinadala tayo nito sa isa pang kilalang kabalintunaan na may posibilidad na palaisipan sa lahat, ang boy-girl na kabalintunaan. Ang tanging bagay na isinusulat ko ngayon na hindi direktang nauugnay sa mga laro (bagama't sa palagay ko ay nangangahulugan lamang iyon na dapat kitang itulak na lumikha ng mga nauugnay na mekanika ng laro). Ito ay higit pa sa isang palaisipan, ngunit isang kawili-wiling isa, at upang malutas ito, kailangan mong maunawaan ang kondisyong posibilidad na napag-usapan natin sa itaas.

Gawain: Mayroon akong kaibigan na may dalawang anak, kahit isa babae ang bata. Ano ang posibilidad na ang pangalawang anak masyadong babae? Ipagpalagay natin na sa alinmang pamilya ang tsansa na magkaroon ng isang babae o isang lalaki ay 50/50 at ito ay totoo para sa bawat bata (sa katunayan, ang ilang mga lalaki ay may mas maraming tamud sa tamud na may isang X chromosome o isang Y chromosome, kaya ang posibilidad bahagyang nagbabago kung alam mo na ang isang bata ay isang babae, ang posibilidad na magkaroon ng isang babae ay bahagyang mas mataas, bilang karagdagan mayroong iba pang mga kondisyon, halimbawa, hermaphroditism, ngunit para sa paglutas ng problemang ito, hindi namin ito isasaalang-alang at ipagpalagay na ang kapanganakan ng isang bata ay isang malayang kaganapan at ang posibilidad na magkaroon ng isang lalaki o babae ay pareho).

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa 1/2 na pagkakataon, intuitively nating inaasahan na ang sagot ay malamang na 1/2 o 1/4, o iba pang round number na multiple ng 2. Ngunit ang sagot ay: 1/3 . Teka bakit?

Ang kahirapan sa kasong ito ay ang impormasyon na mayroon kami ay binabawasan ang bilang ng mga posibilidad. Ipagpalagay na ang mga magulang ay mga tagahanga ng Sesame Street at, hindi alintana kung ang bata ay ipinanganak na lalaki o babae, pinangalanan ang kanilang mga anak na A at B. Sa normal na mga pangyayari, mayroong apat na magkaparehong posibilidad: A at B ay dalawang lalaki, A at B ay dalawang babae, si A ay isang lalaki at si B ay isang babae, si A ay isang babae, at si B ay isang lalaki. Since alam naman natin yun kahit isa ang bata ay isang babae, maaari nating alisin ang posibilidad na si A at B ay dalawang lalaki, na nag-iiwan sa amin ng tatlo (parehong malamang) na mga posibilidad. Kung ang lahat ng mga posibilidad ay pantay na posibilidad at mayroong tatlo sa kanila, alam natin na ang posibilidad ng bawat isa sa kanila ay 1/3. Sa isa lamang sa tatlong pagpipiliang ito ay parehong mga bata ang dalawang babae, kaya ang sagot ay 1/3.

At muli tungkol sa kabalintunaan ng isang batang lalaki at isang babae

Ang solusyon sa problema ay nagiging mas hindi makatwiran. Isipin na sasabihin ko sa iyo na ang aking kaibigan ay may dalawang anak at isang anak - batang babae na ipinanganak noong martes. Ipagpalagay na sa ilalim ng normal na mga kondisyon ang posibilidad na magkaroon ng anak sa isa sa pitong araw ng linggo ay pareho. Ano ang posibilidad na ang pangalawang anak ay babae rin? Maaari mong isipin na ang sagot ay magiging 1/3 pa rin; Ano ang kahalagahan ng Martes? Ngunit sa kasong ito, nabigo tayo ng intuwisyon. Sagot: 13/27 na hindi lamang hindi intuitive, ito ay lubhang kakaiba. Anong problema sa kasong ito?

Sa katunayan, binago ng Martes ang posibilidad dahil hindi natin alam alin ipinanganak ang sanggol noong Martes o posibleng dalawang bata ay ipinanganak noong Martes. Sa kasong ito, ginagamit namin ang parehong lohika tulad ng nasa itaas, binibilang namin ang lahat ng posibleng kumbinasyon kapag kahit isang bata ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes. Tulad ng sa nakaraang halimbawa, ipagpalagay na ang mga bata ay pinangalanang A at B, ang mga kumbinasyon ay ang mga sumusunod:

• Si A ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si B ay isang lalaki (sa sitwasyong ito ay may 7 posibilidad, isa para sa bawat araw ng linggo kung kailan maaaring ipanganak ang isang lalaki).
• Si B ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si A ay isang lalaki (7 din ang posibilidad).
• Si A ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si B ay isang batang babae na ipinanganak noong isa pa araw ng linggo (6 na posibilidad).
• Si B ay isang batang babae na ipinanganak noong Martes, si A ay isang batang babae na hindi ipinanganak noong Martes (6 na posibilidad din).
• Ang A at B ay dalawang batang babae na ipinanganak noong Martes (1 posibilidad, kailangan mong bigyang pansin ito upang hindi mabilang nang dalawang beses).

Nagbubuod kami at nakakuha ng 27 magkakaibang magkaparehong posibleng kumbinasyon ng kapanganakan ng mga bata at mga araw na may kahit isang posibilidad na maipanganak ang isang batang babae sa Martes. Sa mga ito, 13 ang posibilidad ay kapag ipinanganak ang dalawang batang babae. Ito rin ay mukhang ganap na hindi makatwiran, at tila ang gawaing ito ay nilikha lamang upang maging sanhi ng sakit ng ulo. Kung naguguluhan ka pa rin sa halimbawang ito, may magandang paliwanag ang game theorist na si Jesper Juhl sa bagay na ito sa kanyang website.

Kung kasalukuyan kang nagtatrabaho sa isang laro...

Kung mayroong randomness sa laro na iyong idinisenyo, ito ay isang magandang pagkakataon upang pag-aralan ito. Pumili ng anumang elemento na gusto mong suriin. Tanungin muna ang iyong sarili kung ano ang posibilidad para sa elementong ito ayon sa iyong mga inaasahan, kung ano ang dapat, sa iyong opinyon, sa konteksto ng laro. Halimbawa, kung gumagawa ka ng RPG at iniisip mo kung gaano kalamang para sa isang manlalaro na matalo ang isang halimaw sa labanan, tanungin ang iyong sarili kung anong porsyento ng mga panalo ang tama para sa iyo. Kadalasan kapag naglalaro ng console RPG, ang mga manlalaro ay nadidismaya kapag natalo, kaya mas mabuti na hindi sila madalas na matalo... siguro 10% ng oras o mas kaunti? Kung ikaw ay isang RPG designer, malamang na mas alam mo kaysa sa akin, ngunit kailangan mong magkaroon ng isang pangunahing ideya kung ano ang maaaring mangyari.

Pagkatapos ay tanungin ang iyong sarili kung ito ay isang bagay umaasa(tulad ng mga card) o malaya(parang dice). Talakayin ang lahat ng posibleng resulta at ang kanilang mga probabilidad. Siguraduhin na ang kabuuan ng lahat ng probabilities ay 100%. Sa wakas, siyempre, ihambing ang iyong mga resulta sa iyong mga inaasahan. Kung ang dice ay pinagsama o ang mga card ay iginuhit sa paraang nilayon mo o nakikita mong kailangan mong ayusin ang mga halaga. At syempre kung ikaw hanapin kung ano ang kailangang ayusin, maaari mong gamitin ang parehong mga kalkulasyon upang matukoy kung magkano ang ayusin ang isang bagay!

Takdang aralin

Ang iyong "araling-bahay" sa linggong ito ay tutulong sa iyo na mahasa ang iyong mga kakayahan sa posibilidad. Narito ang dalawang dice game at isang card game na susuriin mo gamit ang probability, pati na rin ang kakaibang game mechanic na minsan kong binuo na susubukan mo ang Monte Carlo method.

Laro #1 - Dragon Bones

Ito ay isang larong dice na minsan naisip namin ng aking mga kasamahan (salamat kina Jeb Havens at Jesse King!), at sadyang pumukaw sa isipan ng mga tao sa mga probabilities nito. Ito ay isang simpleng laro ng casino na tinatawag na "Dragon Bones" at ito ay isang gambling dice competition sa pagitan ng player at ng establishment. Bibigyan ka ng regular na 1d6 die. Ang layunin ng laro ay i-roll ang isang numero na mas mataas kaysa sa bahay. Si Tom ay binibigyan ng isang hindi karaniwang 1d6 - katulad ng sa iyo, ngunit sa halip na isang isa sa isang gilid - ang imahe ng isang Dragon (kaya ang casino ay may Dragon-2-3-4-5-6 die). Kung ang institusyon ay nakakuha ng Dragon, awtomatiko itong mananalo, at matatalo ka. Kung pareho kayong nakakuha ng parehong numero, ito ay isang tie at muli kang gumulong ng dice. Ang isa na gumulong ng pinakamataas na bilang ang panalo.

Siyempre, ang lahat ay hindi nagiging pabor sa manlalaro, dahil ang casino ay may kalamangan sa anyo ng mukha ng Dragon. Pero ganun ba talaga? Kailangan mong kalkulahin ito. Ngunit bago iyon, suriin ang iyong intuwisyon. Sabihin nating ang panalo ay 2 sa 1. Kaya kung manalo ka, panatilihin mo ang iyong taya at doble ang halaga. Halimbawa, kung tumaya ka ng $1 at manalo, pananatilihin mo ang dolyar na iyon at makakuha ng $2 pa sa itaas, sa kabuuang $3. Kung matalo ka, talo ka lang. Maglalaro ka ba? Kaya, intuitively mo bang nararamdaman na ang posibilidad ay mas malaki kaysa sa 2 hanggang 1, o sa tingin mo ba ay mas mababa pa ito? Sa madaling salita, sa average sa 3 laro, inaasahan mo bang manalo ng higit sa isang beses, o mas kaunti, o isang beses?

Kapag nagawa mo na ang iyong intuwisyon, ilapat ang matematika. Mayroon lamang 36 na posibleng mga posisyon para sa parehong dice, kaya madali mong mabilang ang lahat. Kung hindi ka sigurado tungkol sa 2-to-1 na alok na ito, isaalang-alang ito: Sabihin nating naglaro ka ng laro ng 36 na beses (pagpusta ng $1 bawat oras). Para sa bawat panalo makakakuha ka ng $2, para sa bawat pagkatalo na matatalo ka ng $1, at ang isang draw ay hindi magbabago ng anuman. Bilangin ang lahat ng iyong malamang na panalo at pagkatalo at magpasya kung mawawalan ka ng ilang dolyar o pakinabang. Pagkatapos ay tanungin ang iyong sarili kung gaano katama ang iyong intuwisyon. At pagkatapos - mapagtanto kung ano ako kontrabida.

At, oo, kung naisip mo na ang tanong na ito - sadyang malito kita sa pamamagitan ng pagbaluktot sa tunay na mekanika ng mga laro ng dice, ngunit sigurado akong malalampasan mo ang balakid na ito sa pamamagitan lamang ng isang mabuting pag-iisip. Subukang lutasin ang problemang ito sa iyong sarili. Ipo-post ko ang lahat ng sagot dito sa susunod na linggo.

Game #2 - Roll of Luck

Ito ay isang laro ng dice na tinatawag na Lucky Roll (tinatawag din na Birdcage dahil minsan ang mga dice ay hindi nilululong ngunit inilalagay sa isang malaking wire cage, katulad ng Bingo cage). Ito ay isang simpleng laro na ganito: Tumaya, sabihin nating, $1 sa isang numero sa pagitan ng 1 at 6. Pagkatapos ay gumulong ka ng 3d6. Para sa bawat mamatay na tumama sa iyong numero, makakakuha ka ng $1 (at panatilihin ang iyong orihinal na taya). Kung ang iyong numero ay hindi napunta sa alinman sa mga dice, makukuha ng casino ang iyong dolyar at wala kang makukuha. Kaya kung tumaya ka sa 1 at nakakuha ka ng 1 sa mukha ng tatlong beses, makakakuha ka ng $3.

Intuitively, tila sa larong ito ang mga pagkakataon ay pantay. Ang bawat dice ay isang indibidwal na 1 sa 6 na pagkakataong manalo, kaya ang kabuuan ng tatlo ay 3 sa 6. Gayunpaman, tandaan, siyempre, na nagdaragdag ka ng tatlong magkakahiwalay na dice at pinapayagan ka lamang na magdagdag kung pinag-uusapan natin. magkahiwalay na panalong kumbinasyon ng parehong dice. Isang bagay na kakailanganin mong paramihin.

Kapag nakalkula mo na ang lahat ng posibleng resulta (marahil mas madaling gawin ito sa Excel kaysa sa pamamagitan ng kamay, mayroong 216 sa kanila), ang laro ay mukhang kakaiba pa rin sa unang tingin. Ngunit sa katotohanan, ang casino ay mas malamang na manalo - magkano pa? Sa partikular, gaano karaming pera ang inaasahan mong matatalo sa average bawat round ng laro? Ang kailangan mo lang gawin ay dagdagan ang mga panalo at pagkatalo ng lahat ng 216 na resulta at pagkatapos ay hatiin sa 216, na dapat ay medyo madali... Ngunit tulad ng nakikita mo, may ilang mga bitag na maaari mong mahulog, kaya naman sinasabi ko sa iyo. : Kung sa tingin mo ang larong ito ay may pantay na pagkakataong manalo, nagkakamali ka.

Laro #3 - 5 Card Stud

Kung nag-warm up ka na sa mga nakaraang laro, tingnan natin kung ano ang alam natin tungkol sa conditional probability gamit ang card game na ito bilang isang halimbawa. Sa partikular, isipin natin ang poker na may deck na 52 card. Isipin din natin ang 5 card stud kung saan ang bawat manlalaro ay nakakakuha lamang ng 5 card. Hindi mo maaaring itapon ang isang card, hindi ka maaaring gumuhit ng bago, walang karaniwang deck - makakakuha ka lamang ng 5 card.

Ang royal flush ay 10-J-Q-K-A sa isang kumbinasyon, sa kabuuan na apat, kaya may apat na posibleng paraan para makakuha ng royal flush. Kalkulahin ang posibilidad na makakuha ka ng isa sa mga kumbinasyong ito.

Mayroon akong isang bagay na babalaan sa iyo: tandaan na maaari mong iguhit ang limang card na ito sa anumang pagkakasunud-sunod. Iyon ay, sa una maaari kang gumuhit ng isang alas, o isang sampu, hindi mahalaga. Kaya kapag kinakalkula ito, tandaan na mayroon talagang higit sa apat na paraan upang makakuha ng royal flush, sa pag-aakalang ang mga card ay naibigay sa pagkakasunud-sunod!

Laro #4 - IMF Lottery

Ang ikaapat na gawain ay hindi magiging napakadaling lutasin gamit ang mga pamamaraan na napag-usapan natin ngayon, ngunit madali mong gayahin ang sitwasyon gamit ang programming o Excel. Sa halimbawa ng problemang ito maaari mong gawin ang pamamaraan ng Monte Carlo.

Nabanggit ko kanina ang larong "Chron X", na minsan kong pinaghirapan, at mayroong isang napaka-interesante na card - ang IMF lottery. Narito kung paano ito gumana: ginamit mo ito sa isang laro. Pagkatapos ng round, ang mga card ay muling ipinamahagi at may 10% na pagkakataon na ang card ay mawawala sa laro at ang isang random na manlalaro ay makakatanggap ng 5 sa bawat uri ng mapagkukunan na mayroong token sa card na iyon. Ang isang card ay inilagay sa laro nang walang isang token, ngunit sa bawat oras na ito ay mananatili sa paglalaro sa simula ng susunod na round, ito ay nakatanggap ng isang token. Kaya nagkaroon ng 10% na pagkakataon na mailalaro mo ito, matatapos ang round, aalis ang card sa paglalaro, at walang makakakuha ng anuman. Kung hindi (na may 90% na pagkakataon), mayroong 10% na pagkakataon (talagang 9%, dahil iyon ay 10% ng 90%) na aalis siya sa laro sa susunod na round at may makakakuha ng 5 mapagkukunan. Kung ang card ay umalis sa laro pagkatapos ng isang round (10% ng 81% na available, kaya 8.1% ang pagkakataon), may makakakuha ng 10 unit, isa pang round - 15, isa pang 20, at iba pa. Tanong: ano ang inaasahang halaga ng bilang ng mga mapagkukunan na matatanggap mo mula sa card na ito kapag tuluyan na itong umalis sa laro?

Karaniwang susubukan naming lutasin ang problemang ito sa pamamagitan ng paghahanap ng posibilidad ng bawat resulta at pagpaparami sa bilang ng lahat ng resulta. Kaya mayroong 10% na pagkakataon na makakakuha ka ng 0 (0.1*0 = 0). 9% na makakakuha ka ng 5 mapagkukunan (9%*5 = 0.45 mapagkukunan). 8.1% ng makukuha mo ay 10 (8.1%*10 = 0.81 kabuuang mapagkukunan, inaasahang halaga). At iba pa. At pagkatapos ay ibubuod natin ang lahat.

At ngayon ang problema ay halata sa iyo: palaging may pagkakataon na ang card hindi umalis sa laro para manatili siya sa laro magpakailanman at magpakailanman, para sa isang walang katapusang bilang ng mga round, upang ang mga posibilidad upang makalkula anumang posibilidad ay wala. Ang mga pamamaraan na natutunan natin ngayon ay hindi nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang walang katapusang recursion, kaya kailangan nating lumikha nito nang artipisyal.

Kung ikaw ay sapat na mahusay sa programming, magsulat ng isang programa na gayahin ang card na ito. Dapat ay mayroon kang time loop na nagdadala ng variable sa paunang posisyon ng zero, nagpapakita ng random na numero, at may 10% na pagkakataong lumabas ang variable sa loop. Kung hindi, nagdaragdag ito ng 5 sa variable at umuulit ang loop. Kapag sa wakas ay lumabas na ito sa loop, dagdagan ang kabuuang bilang ng mga pagsubok na tumatakbo ng 1 at ang kabuuang bilang ng mga mapagkukunan (kung magkano ang depende sa kung saan huminto ang variable). Pagkatapos ay i-reset ang variable at magsimulang muli. Patakbuhin ang programa ng ilang libong beses. Panghuli, hatiin ang kabuuang mapagkukunan sa kabuuang bilang ng mga pagtakbo, at ito ang iyong inaasahang halaga ng Monte Carlo. Patakbuhin ang programa nang ilang beses upang matiyak na ang mga numerong makukuha mo ay halos pareho; kung malaki pa rin ang spread, dagdagan ang bilang ng mga pag-uulit sa panlabas na loop hanggang sa magsimula kang makakuha ng mga tugma. Makatitiyak ka na kahit anong mga numero ang mapupuntahan mo ay tinatayang tama.

Kung bago ka sa programming (o kahit na ikaw ay), narito ang isang maliit na ehersisyo upang painitin ang iyong mga kasanayan sa Excel. Kung ikaw ay isang taga-disenyo ng laro, ang mga kasanayan sa Excel ay hindi kailanman kalabisan.

Ngayon ang mga function ng IF at RAND ay magiging lubhang kapaki-pakinabang sa iyo. Ang RAND ay hindi nangangailangan ng mga halaga, ito ay gumagawa lamang ng random na decimal na numero sa pagitan ng 0 at 1. Karaniwan naming pinagsama ito sa FLOOR at mga plus at minus upang gayahin ang isang roll ng die, na binanggit ko kanina. Gayunpaman, sa kasong ito, nag-iiwan lang kami ng 10% na pagkakataon na aalis ang card sa laro, kaya maaari lang naming tingnan kung ang halaga ng RAND ay mas mababa sa 0.1 at huwag nang mag-alala tungkol dito.

IF ay may tatlong kahulugan. Sa pagkakasunud-sunod, ang kundisyon na alinman sa totoo o hindi, pagkatapos ay ang halaga na ibinalik kung ang kundisyon ay totoo, at ang halaga na ibinalik kung ang kundisyon ay mali. Kaya ang sumusunod na function ay babalik ng 5% ng oras, at 0 ang iba pang 90% ng oras:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Mayroong maraming mga paraan upang itakda ang command na ito, ngunit gagamitin ko ang formula na ito para sa cell na kumakatawan sa unang round, sabihin nating ito ay cell A1:

KUNG(RAND()<0.1,0,-1)

Narito ako ay gumagamit ng isang negatibong variable na nangangahulugang "ang card na ito ay hindi umalis sa laro at hindi pa nagbibigay ng anumang mga mapagkukunan". Kaya kung ang unang round ay tapos na at ang card ay wala sa laro, A1 ay 0; kung hindi ito ay -1.

Para sa susunod na cell na kumakatawan sa ikalawang round:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Kaya kung natapos ang unang round at agad na umalis ang card sa laro, ang A1 ay 0 (bilang ng mga mapagkukunan) at kokopyahin lang ng cell na ito ang halagang iyon. Kung hindi, ang A1 ay -1 (ang card ay hindi pa umaalis sa laro), at ang cell na ito ay patuloy na random na gumagalaw: 10% ng oras na ito ay magbabalik ng 5 unit ng mga mapagkukunan, sa natitirang oras ang halaga nito ay magiging - 1. Kung ilalapat namin ang formula na ito sa mga karagdagang cell, makakakuha kami ng mga karagdagang round, at alinmang cell ang mapunta sa iyo, makukuha mo ang huling resulta (o -1 kung hindi umalis ang card sa laro pagkatapos ng lahat ng mga round na iyong nilaro).

Kunin ang hilera ng mga cell na ito, na siyang tanging bilog na may card na ito, at kopyahin at i-paste ang ilang daang (o libu-libo) ng mga hilera. Baka hindi natin magawa walang katapusan pagsubok para sa Excel (mayroong isang limitadong bilang ng mga cell sa talahanayan), ngunit hindi bababa sa maaari naming saklawin ang karamihan ng mga kaso. Pagkatapos ay pumili ng isang cell kung saan mo ilalagay ang average ng mga resulta ng lahat ng rounds (Excel mabait na nagbibigay ng AVERAGE() function para dito).

Sa Windows, hindi bababa sa maaari mong pindutin ang F9 upang muling kalkulahin ang lahat ng mga random na numero. Gaya ng dati, gawin ito ng ilang beses at tingnan kung pareho ang mga value na makukuha mo. Kung masyadong malaki ang spread, doblehin ang bilang ng mga pagtakbo at subukang muli.

Mga problemang hindi nalutas

Kung nagkataon na mayroon kang degree sa Probability at ang mga problema sa itaas ay tila napakadali para sa iyo, narito ang dalawang problema na ilang taon na akong nagkakamot ng ulo, ngunit, sayang, hindi ako magaling sa matematika upang malutas ang mga ito. Kung bigla mong malaman ang solusyon, mangyaring i-post ito sa mga komento, babasahin ko ito nang may kasiyahan.

Hindi Nalutas na Problema #1: LotteryIMF

Ang unang hindi nalutas na problema ay ang nakaraang takdang-aralin. Madali kong magagamit ang pamamaraan ng Monte Carlo (gamit ang C++ o Excel) at siguraduhin ang sagot sa tanong na "ilang mapagkukunan ang matatanggap ng manlalaro", ngunit hindi ko alam kung paano eksaktong magbigay ng eksaktong mapapatunayang sagot sa matematika (ito ay isang walang katapusang serye). If you know the answer, post it here... after mo Monte Carlo check mo syempre.

Hindi Nalutas na Problema #2: Mga Pagkakasunud-sunod ng Hugis

Ang gawaing ito (at muli itong lumampas sa mga gawaing nalutas sa blog na ito) ay ibinato sa akin ng isang pamilyar na gamer mahigit 10 taon na ang nakakaraan. Napansin niya ang isang kawili-wiling feature habang naglalaro ng blackjack sa Vegas: nang kumuha siya ng mga card mula sa isang 8-deck na sapatos, nakita niya sampu mga figure sa isang hilera (isang figure, o figure card - 10, Joker, King o Queen, kaya mayroong 16 sa kanila sa isang karaniwang deck ng 52 card, kaya mayroong 128 sa kanila sa isang sapatos ng 416 card). Ano ang posibilidad na sa sapatos na ito kahit na isang pagkakasunod-sunod ng sampu o higit pang mga figures? Ipagpalagay natin na sila ay na-shuffle nang matapat, sa random na pagkakasunud-sunod. (O, kung gusto mo, ano ang posibilidad na iyon hindi matatagpuan kahit saan isang pagkakasunud-sunod ng sampu o higit pang mga numero?)

Maaari nating gawing simple ang gawain. Narito ang isang pagkakasunud-sunod ng 416 na bahagi. Ang bawat bahagi ay 0 o 1. Mayroong 128 isa at 288 mga zero na random na nakakalat sa buong pagkakasunud-sunod. Ilang mga paraan ang mayroon upang random na mag-interleave ng 128 1s sa 288 0s, at gaano karaming beses magkakaroon ng hindi bababa sa isang grupo ng sampu o higit pang 1 sa mga paraang ito?

Sa tuwing gagawin ko ang gawaing ito, tila madali at halata sa akin, ngunit sa sandaling pag-aralan ko ang mga detalye, bigla itong nahulog at tila imposible sa akin. Kaya't huwag magmadaling sabihin ang sagot: maupo, mag-isip nang mabuti, pag-aralan ang mga kondisyon ng problema, subukang i-plug ang mga tunay na numero, dahil lahat ng mga taong nakausap ko tungkol sa problemang ito (kabilang ang ilang nagtapos na mga mag-aaral na nagtatrabaho sa larangang ito) reacted in much the same way : "It's quite obvious... oh no, wait, not obvious at all." Ito ang mismong kaso kung saan wala akong paraan para sa pagkalkula ng lahat ng mga opsyon. Tiyak na maaari kong pilitin ang problema sa pamamagitan ng isang algorithm ng computer, ngunit magiging mas kawili-wiling malaman ang matematikal na paraan upang malutas ang problemang ito.

Pagsasalin - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Ano ang tatlong batas ng randomness at kung bakit ang unpredictability ay nagbibigay sa atin ng kakayahang gumawa ng pinaka maaasahang mga hula.

Ang ating isip ay lumalaban sa ideya ng pagiging random nang buong lakas. Sa kurso ng aming ebolusyon bilang isang biological species, nabuo namin ang kakayahang maghanap ng mga sanhi at epekto na relasyon sa lahat ng bagay. Matagal bago ang pagdating ng agham, alam na natin na ang isang pulang-pula na paglubog ng araw ay naglalarawan ng isang mapanganib na bagyo, at ang isang nilalagnat na pamumula sa mukha ng isang sanggol ay nangangahulugan na ang kanyang ina ay magkakaroon ng isang mahirap na gabi. Awtomatikong sinusubukan ng ating isip na buuin ang data na natatanggap nito sa paraang makakatulong ito sa atin na gumawa ng mga konklusyon mula sa ating mga obserbasyon at gamitin ang mga konklusyong iyon upang maunawaan at mahulaan ang mga kaganapan.

Ang ideya ng pagiging random ay napakahirap tanggapin dahil sumasalungat ito sa pangunahing likas na ugali na nagpapangyari sa atin na maghanap ng mga makatwirang pattern sa mundo sa paligid natin. At ang mga aksidente ay nagpapakita lamang sa amin na ang gayong mga pattern ay hindi umiiral. Nangangahulugan ito na ang randomness ay pangunahing nililimitahan ang ating intuwisyon, dahil ito ay nagpapatunay na may mga proseso na ang kurso ay hindi natin ganap na mahulaan. Ang konseptong ito ay hindi madaling tanggapin, kahit na ito ay isang mahalagang bahagi ng mekanismo ng uniberso. Hindi nauunawaan kung ano ang randomness, natagpuan natin ang ating sarili sa patay na dulo ng isang perpektong predictable na mundo na sadyang hindi umiiral sa labas ng ating imahinasyon.

Sasabihin ko lamang na kapag natutunan natin ang tatlong aphorism - ang tatlong batas ng pagkakataon - maaari nating palayain ang ating sarili mula sa ating primitive na pagnanais para sa predictability at tanggapin ang uniberso kung ano ito, at hindi tulad ng gusto natin.

Umiiral ang randomness

Gumagamit kami ng anumang mga mekanismo ng pag-iisip upang maiwasan ang pagharap sa randomness. Pinag-uusapan natin ang tungkol sa karma, tungkol sa cosmic equalizer na ito na nag-uugnay sa tila hindi nauugnay na mga bagay. Naniniwala kami sa magandang omens at bad omens, na "Ang Diyos ay nagmamahal sa isang trinity", sinasabi namin na kami ay naiimpluwensyahan ng mga posisyon ng mga bituin, ang mga yugto ng buwan at ang paggalaw ng mga planeta. Kung kami ay nasuri na may kanser, awtomatiko naming sinisikap na sisihin ang isang bagay (o isang tao) para dito.

Ngunit maraming pangyayari ang hindi lubos na mahulaan o maipaliwanag. Ang mga sakuna ay nangyayari nang hindi mahuhulaan, at kapwa ang mabubuti at masasamang tao ay nagdurusa, kabilang ang mga ipinanganak "sa ilalim ng isang masuwerteng bituin" o "sa ilalim ng isang mapalad na tanda." Minsan nagagawa nating hulaan ang isang bagay, ngunit ang pagkakataon ay madaling pabulaanan kahit na ang pinaka maaasahang mga hula. Huwag magtaka kung ang iyong kapitbahay, isang napakataba, chain-smoking, walang ingat na biker, ay nabubuhay nang mas matagal kaysa sa iyo.

Bukod dito, ang mga random na kaganapan ay maaaring magpanggap na hindi random. Kahit na ang pinaka-matalino na siyentipiko ay maaaring magkaroon ng kahirapan sa pagkilala sa pagitan ng isang aktwal na epekto at isang random na pagbabagu-bago. Ang pagiging random ay maaaring gawing isang magic na gamot ang isang placebo, o isang hindi nakakapinsalang tambalan sa isang nakamamatay na lason; at maaari pang lumikha ng mga subatomic na particle mula sa wala.

Ang ilang mga kaganapan ay hindi mahuhulaan

Kung pupunta ka sa isang casino sa Las Vegas at panoorin ang karamihan ng mga manlalaro sa mga gaming table, malamang na makakita ka ng isang tao na nag-iisip na siya ay masuwerte ngayon. Siya ay nanalo ng ilang beses sa isang hilera, at ang kanyang utak ay nagsisiguro sa kanya na siya ay patuloy na mananalo, kaya ang manlalaro ay patuloy na tumaya. Makakakita ka rin ng isang taong natalo lang. Ang utak ng natalo, tulad ng utak ng nagwagi, ay nagpapayo rin sa kanya na ipagpatuloy ang laro: dahil maraming beses ka nang natalo, nangangahulugan ito na ngayon ay malamang na magsisimula kang suwertehin. Nakakatangang umalis ngayon at palampasin ang pagkakataong ito.

Ngunit anuman ang sabihin sa atin ng ating utak, walang mahiwagang puwersa na kayang magbigay sa atin ng "streak of luck" o unibersal na hustisya na titiyakin na ang talunan ay magsisimulang manalo. Ang Uniberso ay walang pakialam kung manalo ka o matalo; sa kanya, lahat ng dice roll ay pareho.

Gaano man kalaki ang iyong pagsisikap sa panonood sa susunod na roll ng mga dice, at gaano man kalapit ang pagtingin mo sa mga manlalaro na sa tingin nila ay nagawa nilang sakyan ang kanilang swerte, wala kang matatanggap na impormasyon tungkol sa susunod na roll. Ang resulta ng bawat roll ay ganap na independiyente sa kasaysayan ng mga nakaraang roll. Samakatuwid, ang anumang pagkalkula na maaaring makakuha ng isang kalamangan sa pamamagitan ng panonood ng laro ay tiyak na mabibigo. Ang ganitong mga kaganapan - independyente sa anumang bagay at ganap na random - sumasalungat sa anumang mga pagtatangka upang makahanap ng mga pattern, dahil ang mga pattern na ito ay hindi umiiral.

Ang pagiging random ay naglalagay ng hadlang sa paraan ng katalinuhan ng tao, dahil ipinapakita nito na ang lahat ng ating lohika, lahat ng ating agham at kakayahan sa pangangatuwiran ay hindi ganap na mahulaan ang pag-uugali ng uniberso. Kahit anong paraan ang gamitin mo, kahit anong teorya ang imbentuhin mo, kahit anong logic ang ilalapat mo para mahulaan ang resulta ng isang roll ng dice, lima sa anim na beses ang matatalo mo. Ay laging.

Ang isang hanay ng mga random na kaganapan ay mahuhulaan, kahit na ang mga indibidwal na kaganapan ay hindi.

Ang pagiging random ay nakakatakot, nililimitahan nito ang pagiging maaasahan ng kahit na ang pinaka-sopistikadong mga teorya at itinatago mula sa amin ang ilang mga elemento ng kalikasan, gaano man kami patuloy na subukang tumagos sa kanilang kakanyahan. Gayunpaman, hindi ito maaaring argued na ang random ay isang kasingkahulugan para sa unknowable. Ito ay hindi totoo sa lahat.

Sinusunod ng randomness ang sarili nitong mga panuntunan, at ginagawa ng mga panuntunang ito na maunawaan at mahulaan ang random na proseso.

Ang batas ng malalaking numero ay nagsasaad na bagama't ang mga solong random na kaganapan ay ganap na hindi mahuhulaan, ang isang sapat na malaking sample ng mga kaganapang ito ay maaaring lubos na mahuhulaan - at kung mas malaki ang sample, mas tumpak ang hula. Ang isa pang makapangyarihang kasangkapan sa matematika, ang mga central limit theorems, ay nagpapakita rin na ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mga random na variable ay magkakaroon ng distribusyon na malapit sa normal. Gamit ang mga tool na ito, maaari nating hulaan ang mga kaganapan nang medyo tumpak sa mahabang panahon, gaano man ito kagulo, kakaiba, at random sa maikling panahon.

Ang mga alituntunin ng pagkakataon ay napakalakas na ang mga ito ang naging batayan ng pinaka hindi natitinag at hindi nagbabagong mga batas ng pisika. Bagama't ang mga atom sa isang lalagyan ng gas ay random na gumagalaw, ang kanilang pangkalahatang pag-uugali ay inilalarawan ng isang simpleng hanay ng mga equation. Kahit na ang mga batas ng thermodynamics ay nagmumula sa predictability ng isang malaking bilang ng mga random na kaganapan; ang mga batas na ito ay tiyak na hindi natitinag dahil ang pagkakataon ay lubos na ganap.

Kabalintunaan, ito ay ang hindi mahuhulaan ng mga random na kaganapan na nagbibigay-daan sa amin upang gawin ang aming mga pinaka maaasahang hula.

Ang bentahe ng isang online dice generator sa regular na dice ay kitang-kita - hinding-hindi ito mawawala! Ang virtual na kubo ay makakayanan ang mga pag-andar nito nang mas mahusay kaysa sa tunay - ang pagmamanipula ng mga resulta ay ganap na hindi kasama at maaari ka lamang umasa para sa Kanyang Kamahalan ang kaso. Ang online dice ay, bukod sa iba pang mga bagay, mahusay na libangan sa iyong bakanteng oras. Ang pagbuo ng resulta ay tumatagal ng tatlong segundo, na nagpapainit sa kaguluhan at interes ng mga manlalaro. Upang gayahin ang mga dice roll, kailangan mo lamang pindutin ang "1" na pindutan sa keyboard, na nagbibigay-daan sa iyo na hindi magambala, halimbawa, mula sa isang kapana-panabik na board game.

Bilang ng mga cube:

Mangyaring tulungan ang serbisyo sa isang pag-click: Sabihin sa iyong mga kaibigan ang tungkol sa generator!

Kapag narinig natin ang ganitong parirala bilang "Dice", pagkatapos ay ang asosasyon ng casino ay agad na darating, kung saan hindi nila magagawa nang wala sila. Upang magsimula, tandaan lamang natin ng kaunti kung ano ang paksang ito.

Ang mga dice ay mga dice, sa bawat panig kung saan ang mga numero mula 1 hanggang 6 ay kinakatawan ng mga tuldok. Kapag inihagis natin ang mga ito, palagi tayong umaasa na ang eksaktong numero na ating pinili at nais ay mahuhulog. Ngunit may mga pagkakataon na ang kubo, na bumabagsak sa gilid, ay hindi nagpapakita ng numero. Nangangahulugan ito na ang naghagis nito ay maaaring pumili ng anuman.

Nangyayari rin na ang kubo ay maaaring gumulong sa ilalim ng kama o aparador, at kapag ito ay inalis mula doon, ang numero ay nagbabago nang naaayon. Sa kasong ito, ang buto ay itinapon muli upang malinaw na makita ng lahat ang numero.

Dice roll online sa 1 click

Sa isang larong kinasasangkutan ng mga ordinaryong dice, napakadaling manloko. Upang makuha ang tamang numero, kailangan mong ilagay ang bahaging ito ng kubo sa itaas at i-twist ito upang manatiling pareho (tanging bahagi lamang ang umiikot). Ito ay hindi isang kumpletong garantiya, ngunit ang panalong porsyento ay magiging pitumpu't limang porsyento.

Kung gumamit ka ng dalawang dice, kung gayon ang mga pagkakataon ay nabawasan sa tatlumpung, ngunit ito ay isang malaking porsyento. Dahil sa pagdaraya, maraming mga kampanya ng manlalaro ang hindi gustong gumamit ng dice.

Pareho lang, ang aming napakagandang serbisyo ay gumagana nang eksakto upang maiwasan ang mga ganitong sitwasyon. Imposibleng manloko sa amin, dahil ang online dice roll ay hindi mape-peke. Ang isang numero mula 1 hanggang 6 ay lilitaw sa pahina sa isang ganap na random at hindi nakokontrol na paraan.

Maginhawang cube generator

Ang isang napakalaking bentahe ay ang online dice generator ay hindi maaaring mawala (lalo na dahil ito ay maaaring i-bookmark), at ang isang ordinaryong maliit na dice ay madaling mawala sa isang lugar. Gayundin ang isang malaking plus ay ang katotohanan na ang pagmamanipula ng mga resulta ay ganap na hindi kasama. Ang generator ay may isang tampok na nagbibigay-daan sa iyo upang pumili mula sa isa hanggang tatlong dice upang gumulong sa parehong oras.

Ang online dice generator ay isang napaka-kagiliw-giliw na libangan, isa sa mga paraan upang bumuo ng intuwisyon. Gamitin ang aming serbisyo at makakuha ng agaran at maaasahang mga resulta.