(S) Trapez, beginnen Sie mit der Berechnung der Höhe (h), indem Sie die halbe Summe der Längen der parallelen Seiten ermitteln: (a+b)/2. Teilen Sie dann die Fläche durch den resultierenden Wert – das Ergebnis ist der gewünschte Wert: h = S/((a+b)/2) = 2*S/(a+b).

Wenn Sie die Länge der Mittellinie (m) und die Fläche (S) kennen, können Sie die Formel aus dem vorherigen Schritt vereinfachen. Per Definition ist die Mittellinie eines Trapezes gleich der Hälfte der Summe seiner Grundflächen. Um die Höhe (h) der Figur zu berechnen, teilen Sie einfach die Fläche durch die Länge der Mittellinie: h = S/m.

Man kann die Höhe (h) eines solchen Dinges bestimmen, wenn man nur die Länge einer der Seiten (c) und den Winkel (α) angibt, den diese mit der langen Basis bildet. In diesem Fall sollte man die Form dieser Seite, die Höhe und den kurzen Abschnitt des Sockels berücksichtigen, der durch die darauf abgesenkte Höhe abgeschnitten wird. Dieses Dreieck ist rechtwinklig, die bekannte Seite ist die Hypotenuse und die Höhe ist das Bein. Das Verhältnis der Längen und der Hypotenuse ist gleich dem Winkel gegenüber dem Bein. Um die Höhe des Trapezes zu berechnen, multiplizieren Sie also die bekannte Länge der Seite mit dem Sinus des bekannten Winkels: h = с*sin(α).

Dasselbe Dreieck ist eine Überlegung wert, wenn die Länge der Seite (c) und die Größe des Winkels (β) zwischen ihm und der anderen (kurzen) Basis gegeben sind. In diesem Fall ist der Winkel zwischen der Seite (Hypotenuse) und der Höhe (Bein) 90° kleiner als der Winkel, der aus den Bedingungen bekannt ist: β-90°. Da das Verhältnis der Längen von Bein und Hypotenuse gleich dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist, berechnen Sie die Höhe des Trapezes, indem Sie den Kosinus des um 90° reduzierten Winkels mit der Länge der Seite multiplizieren: h = с* cos(β-90°).

Wenn ein Kreis mit bekanntem Radius (r) eingeschrieben ist, ist die Berechnung der Höhe (h) sehr einfach und erfordert keine weiteren Parameter. Ein solcher Kreis darf per Definition nur einen Punkt an jeder seiner Basen haben, und diese Punkte liegen auf derselben Linie mit dem Mittelpunkt. Das bedeutet, dass der Abstand zwischen ihnen gleich dem Durchmesser (zweimal dem Radius) ist, der senkrecht zu den Basen gezeichnet wird, also mit der Höhe des Trapezes übereinstimmt: h=2*r.

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel sind und die anderen beiden nicht. Die Höhe eines Trapezes ist eine Strecke, die senkrecht zwischen zwei parallelen Linien gezogen wird. Abhängig von den Quelldaten kann die Berechnung auf unterschiedliche Weise erfolgen.

Du wirst brauchen

• Kenntnis der Seiten, Basen, Mittellinie eines Trapezes und optional auch seiner Fläche und/oder seines Umfangs.

Anweisungen

Nehmen wir an, es gibt ein Trapez mit den gleichen Daten wie in Abbildung 1. Zeichnen wir zwei Höhen, wir erhalten , das durch die Schenkel rechtwinkliger Dreiecke zwei kleinere Seiten hat. Bezeichnen wir die kleinere Rolle als x. Er ist in

Die Praxis des Einheitlichen Staatsexamens und des Staatsexamens im letzten Jahr zeigt, dass Geometrieprobleme vielen Schülern Schwierigkeiten bereiten. Sie können sie problemlos bewältigen, wenn Sie sich alle notwendigen Formeln merken und das Lösen von Problemen üben.

In diesem Artikel sehen Sie Formeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes sowie Beispiele für Probleme mit Lösungen. Sie können in KIMs bei Zertifizierungsprüfungen oder bei Olympiaden auf dieselben stoßen. Behandeln Sie sie daher sorgfältig.

Was müssen Sie über das Trapez wissen?

Erinnern wir uns zunächst einmal daran Trapez wird ein Viereck genannt, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten, auch Grundflächen genannt, parallel sind und die anderen beiden nicht.

Bei einem Trapez kann die Höhe (senkrecht zur Basis) auch abgesenkt werden. Die Mittellinie wird gezeichnet – das ist eine gerade Linie, die parallel zu den Basen verläuft und der Hälfte ihrer Summe entspricht. Sowie Diagonalen, die sich schneiden können und spitze und stumpfe Winkel bilden. Oder in manchen Fällen im rechten Winkel. Wenn das Trapez außerdem gleichschenklig ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden. Und beschreibe einen Kreis darum.

Trapezflächenformeln

Schauen wir uns zunächst die Standardformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes an. Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Fläche von gleichschenkligen und krummlinigen Trapezen.

Stellen Sie sich also vor, Sie hätten ein Trapez mit den Grundflächen a und b, bei dem die Höhe h auf die größere Grundfläche abgesenkt ist. Die Flächenberechnung einer Figur ist in diesem Fall so einfach wie das Schälen von Birnen. Sie müssen lediglich die Summe der Längen der Basen durch zwei teilen und das Ergebnis mit der Höhe multiplizieren: S = 1/2(a + b)*h.

Nehmen wir einen anderen Fall: Angenommen, in einem Trapez gibt es zusätzlich zur Höhe eine Mittellinie m. Wir kennen die Formel zum Ermitteln der Länge der Mittellinie: m = 1/2(a + b). Daher können wir die Formel für die Fläche eines Trapezes zu Recht auf die folgende Form vereinfachen: S = m*h. Mit anderen Worten: Um die Fläche eines Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Mittellinie mit der Höhe multiplizieren.

Betrachten wir eine andere Option: Das Trapez enthält Diagonalen d 1 und d 2, die sich nicht im rechten Winkel α schneiden. Um die Fläche eines solchen Trapezes zu berechnen, müssen Sie das Produkt der Diagonalen durch zwei teilen und das Ergebnis mit dem Sinus des Winkels zwischen ihnen multiplizieren: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Betrachten Sie nun die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes, wenn außer den Längen aller seiner Seiten nichts darüber bekannt ist: a, b, c und d. Dies ist eine umständliche und komplexe Formel, aber es wird für Sie nützlich sein, sie sich für alle Fälle zu merken: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Die obigen Beispiele gelten übrigens auch für den Fall, dass Sie die Formel für die Fläche eines rechteckigen Trapezes benötigen. Dabei handelt es sich um ein Trapez, dessen Seite im rechten Winkel an die Basen angrenzt.

Gleichschenkliges Trapez

Ein Trapez, dessen Seiten gleich sind, nennt man gleichschenklig. Wir werden mehrere Optionen für die Flächenformel betrachten gleichschenkliges Trapez.

Erste Option: für den Fall, dass ein Kreis mit dem Radius r in ein gleichschenkliges Trapez eingeschrieben ist und die Seite und die größere Basis einen spitzen Winkel α bilden. Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, vorausgesetzt, dass die Summe der Längen seiner Grundflächen gleich der Summe der Längen der Seiten ist.

Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes wird wie folgt berechnet: Multiplizieren Sie das Quadrat des Radius des eingeschriebenen Kreises mit vier und dividieren Sie alles durch sinα: S = 4r 2 /sinα. Eine andere Flächenformel ist ein Sonderfall für die Option, wenn der Winkel zwischen der großen Basis und der Seite 30 0 beträgt: S = 8r2.

Zweite Möglichkeit: Diesmal nehmen wir ein gleichschenkliges Trapez, in das zusätzlich die Diagonalen d 1 und d 2 eingezeichnet sind, sowie die Höhe h. Stehen die Diagonalen eines Trapezes senkrecht zueinander, ist die Höhe halb so groß wie die Summe der Grundflächen: h = 1/2(a + b). Mit diesem Wissen lässt sich die Ihnen bereits bekannte Formel für die Fläche eines Trapezes leicht in diese Form umwandeln: S = h 2.

Formel für die Fläche eines gebogenen Trapezes

Beginnen wir damit, herauszufinden, was ein gebogenes Trapez ist. Stellen Sie sich eine Koordinatenachse und einen Graphen einer stetigen und nicht negativen Funktion f vor, die innerhalb eines bestimmten Segments auf der x-Achse ihr Vorzeichen nicht ändert. Ein krummliniges Trapez wird durch den Graphen der Funktion y = f(x) gebildet - oben befindet sich die x-Achse unten (Segment) und an den Seiten - gerade Linien zwischen den Punkten a und b und dem Graphen von die Funktion.

Es ist unmöglich, die Fläche einer solchen nicht standardmäßigen Figur mit den oben genannten Methoden zu berechnen. Hier müssen Sie eine mathematische Analyse anwenden und das Integral verwenden. Nämlich: die Newton-Leibniz-Formel - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). In dieser Formel ist F die Stammfunktion unserer Funktion auf dem ausgewählten Segment. Und die Fläche eines krummlinigen Trapezes entspricht dem Inkrement der Stammfunktion auf einem gegebenen Segment.

Beispielprobleme

Um Ihnen das Verständnis all dieser Formeln im Kopf zu erleichtern, finden Sie hier einige Beispiele für Aufgaben zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes. Am besten versuchen Sie zunächst, die Probleme selbst zu lösen und vergleichen erst dann die Antwort, die Sie erhalten, mit der fertigen Lösung.

Aufgabe 1: Gegeben sei ein Trapez. Seine größere Basis ist 11 cm, die kleinere 4 cm. Das Trapez hat Diagonalen, eine 12 cm lang, die zweite 9 cm.

Lösung: Konstruieren Sie ein trapezförmiges AMRS. Zeichnen Sie eine Gerade РХ durch den Scheitelpunkt P, sodass sie parallel zur Diagonale MC verläuft und die Gerade AC im Punkt X schneidet. Sie erhalten ein Dreieck APХ.

Wir betrachten zwei Figuren, die als Ergebnis dieser Manipulationen erhalten wurden: das Dreieck APX und das Parallelogramm CMRX.

Dank des Parallelogramms erfahren wir, dass PX = MC = 12 cm und CX = MR = 4 cm. Daraus können wir die Seite AX des Dreiecks ARX berechnen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Wir können auch beweisen, dass das Dreieck APX rechtwinklig ist (wenden Sie dazu den Satz des Pythagoras an – AX 2 = AP 2 + PX 2). Und berechnen Sie seine Fläche: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Als nächstes müssen Sie beweisen, dass die Dreiecke AMP und PCX flächengleich sind. Grundlage wird die Gleichheit der Parteien MR und CX sein (oben bereits nachgewiesen). Und auch die Höhen, die Sie auf diesen Seiten absenken – sie entsprechen der Höhe des AMRS-Trapezes.

All dies lässt uns sagen, dass S AMPC = S APX = 54 cm 2 ist.

Aufgabe #2: Gegeben ist das trapezförmige KRMS. Auf seinen lateralen Seiten befinden sich die Punkte O und E, während OE und KS parallel sind. Es ist auch bekannt, dass die Flächen der Trapeze ORME und OKSE im Verhältnis 1:5 stehen. RM = a und KS = b. Sie müssen OE finden.

Lösung: Zeichnen Sie eine Linie parallel zu RK durch den Punkt M und bezeichnen Sie den Schnittpunkt mit OE als T. A ist der Schnittpunkt einer Linie, die durch den Punkt E parallel zu RK gezogen wird, mit der Basis KS.

Lassen Sie uns eine weitere Notation einführen – OE = x. Und auch die Höhe h 1 für das Dreieck TME und die Höhe h 2 für das Dreieck AEC (Sie können die Ähnlichkeit dieser Dreiecke unabhängig beweisen).

Wir gehen davon aus, dass b > a. Die Flächen der Trapeze ORME und OKSE stehen im Verhältnis 1:5, was uns das Recht gibt, die folgende Gleichung zu erstellen: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Lassen Sie uns transformieren und erhalten: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Da die Dreiecke TME und AEC ähnlich sind, gilt h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Kombinieren wir beide Einträge und erhalten: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Somit ist OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Abschluss

Geometrie ist nicht die einfachste Wissenschaft, aber mit den Prüfungsfragen kommt man durchaus zurecht. Es reicht aus, bei der Vorbereitung ein wenig Ausdauer an den Tag zu legen. Und denken Sie natürlich an alle notwendigen Formeln.

Wir haben versucht, alle Formeln zur Berechnung der Fläche eines Trapezes an einem Ort zu sammeln, damit Sie sie bei der Prüfungsvorbereitung und der Überarbeitung des Stoffes verwenden können.

Erzählen Sie Ihren Klassenkameraden und Freunden unbedingt von diesem Artikel. in sozialen Netzwerken. Mögen es noch mehr gute Noten für das Einheitliche Staatsexamen und die Staatsexamen geben!

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Auf die einfache Frage „Wie finde ich die Höhe eines Trapezes?“ Es gibt mehrere Antworten, da unterschiedliche Startwerte angegeben werden können. Daher unterscheiden sich die Formeln.

Diese Formeln kann man sich merken, aber sie sind nicht schwer abzuleiten. Sie müssen lediglich zuvor erlernte Theoreme anwenden.

In Formeln verwendete Notationen

In allen folgenden mathematischen Notationen sind diese Lesarten der Buchstaben korrekt.

In den Quelldaten: alle Seiten

Um die Höhe eines Trapezes im allgemeinen Fall zu ermitteln, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nummer 1.

Nicht die kürzeste, aber auch bei Problemen eher selten anzutreffen. Normalerweise können Sie auch andere Daten verwenden.

Die Formel, die Ihnen sagt, wie Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes in derselben Situation ermitteln können, ist viel kürzer:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Nummer 2.

Das Problem ergibt: seitliche Seiten und Winkel an der unteren Basis

Es wird angenommen, dass der Winkel α an die Seite mit der Bezeichnung „c“ angrenzt bzw. der Winkel β an die Seite d angrenzt. Dann lautet die allgemeine Formel zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes:

n = c * sin α = d * sin β. Nummer 3.

Wenn die Figur gleichschenklig ist, können Sie diese Option verwenden:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nummer 4.

Bekannt: Diagonalen und Winkel zwischen ihnen

Typischerweise werden diese Daten von anderen bekannten Größen begleitet. Zum Beispiel die Basen oder die Mittellinie. Wenn die Gründe angegeben sind, ist zur Beantwortung der Frage, wie man die Höhe eines Trapezes ermittelt, die folgende Formel hilfreich:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 5.

Es ist für Gesamtansicht Figuren. Wenn eine gleichschenklige Zahl angegeben ist, ändert sich die Notation wie folgt:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 6.

Wenn Sie sich in einer Aufgabe befinden wir reden über um die Mittellinie eines Trapezes herum, dann lauten die Formeln zur Bestimmung seiner Höhe:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.

Zu den bekannten Größen gehören: Fläche mit Basen oder Mittellinie

Dies sind vielleicht die kürzesten und einfachsten Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes. Für eine beliebige Figur sieht es so aus:

n = 2S / (a ​​+ b). Nummer 7.

Es ist das Gleiche, aber mit einer bekannten Mittellinie:

n = S/m. Nummer 7a.

Seltsamerweise sehen die Formeln für ein gleichschenkliges Trapez gleich aus.

Aufgaben

Nr. 1. Zur Bestimmung der Winkel an der unteren Basis des Trapezes.

Zustand. Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez mit einer Seitenlänge von 5 cm und einer Grundlänge von 6 und 12 cm. Sie müssen den Sinus eines spitzen Winkels ermitteln.

Lösung. Der Einfachheit halber sollten Sie eine Bezeichnung eingeben. Der untere linke Scheitelpunkt sei A, der Rest im Uhrzeigersinn: B, C, D. Somit wird die untere Basis mit AD bezeichnet, die obere mit BC.

Es ist notwendig, Höhen von den Eckpunkten B und C aus zu zeichnen. Die Punkte, die die Enden der Höhen anzeigen, werden mit H 1 bzw. H 2 bezeichnet. Da alle Winkel in der Abbildung BCH 1 H 2 rechte Winkel sind, handelt es sich um ein Rechteck. Das bedeutet, dass das Segment H 1 H 2 6 cm beträgt.

Jetzt müssen wir zwei Dreiecke betrachten. Sie sind gleich, weil sie rechteckig sind und die gleichen Hypotenusen und vertikalen Schenkel haben. Daraus folgt, dass ihre kleineren Beine gleich sind. Daher können sie als Quotient der Differenz definiert werden. Letzteres erhält man durch Subtrahieren der oberen von der unteren Basis. Es wird durch 2 geteilt. Das heißt, 12 - 6 muss durch 2 geteilt werden. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Nun müssen Sie anhand des Satzes des Pythagoras die Höhe des Trapezes ermitteln. Es ist notwendig, den Sinus eines Winkels zu ermitteln. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Mit dem Wissen, wie der Sinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck mit rechtem Winkel ermittelt wird, können wir den folgenden Ausdruck schreiben: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Antwort. Der erforderliche Sinus beträgt 0,8.

Nr. 2. Die Höhe eines Trapezes mithilfe einer bekannten Tangente ermitteln.

Zustand. Für ein gleichschenkliges Trapez müssen Sie die Höhe berechnen. Es ist bekannt, dass seine Grundflächen 15 und 28 cm betragen. Der Tangens des spitzen Winkels ist angegeben: 11/13.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist die gleiche wie im vorherigen Problem. Auch hier müssen Sie zwei Höhen zeichnen oberen Ecken. Analog zur Lösung des ersten Problems müssen Sie AN 1 = N 2 D finden, was als Differenz von 28 und 15 geteilt durch zwei definiert ist. Nach Berechnungen ergibt sich: 6,5 cm.

Da der Tangens das Verhältnis zweier Schenkel ist, können wir die folgende Gleichheit schreiben: tan α = AH 1 / VN 1 . Darüber hinaus beträgt dieses Verhältnis 11/13 (je nach Bedingung). Da AN 1 bekannt ist, kann die Höhe berechnet werden: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Einfache Berechnungen ergeben ein Ergebnis von 5,5 cm.

Antwort. Die erforderliche Höhe beträgt 5,5 cm.

Nr. 3. Zur Berechnung der Höhe anhand bekannter Diagonalen.

Zustand. Vom Trapez ist bekannt, dass seine Diagonalen 13 und 3 cm betragen. Sie müssen seine Höhe ermitteln, wenn die Summe der Grundflächen 14 cm beträgt.

Lösung. Die Bezeichnung der Figur sei dieselbe wie zuvor. Nehmen wir an, dass AC die kleinere Diagonale ist. Vom Scheitelpunkt C aus müssen Sie die gewünschte Höhe zeichnen und sie mit CH bezeichnen.

Jetzt müssen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durchführen. Von Ecke C aus müssen Sie eine gerade Linie parallel zur größeren Diagonale zeichnen und den Schnittpunkt mit der Fortsetzung der Seite AD ermitteln. Das wird D 1 sein. Das Ergebnis ist ein neues Trapez, in das ein Dreieck ASD 1 eingezeichnet ist. Dies ist erforderlich, um das Problem weiter zu lösen.

Die gewünschte Höhe wird ebenfalls im Dreieck angezeigt. Daher können Sie die in einem anderen Thema untersuchten Formeln verwenden. Die Höhe eines Dreiecks ist definiert als das Produkt aus der Zahl 2 und der Fläche dividiert durch die Seite, auf der es gezeichnet wird. Und es stellt sich heraus, dass die Seite gleich der Summe der Basen des ursprünglichen Trapezes ist. Dies ergibt sich aus der Regel, nach der die zusätzliche Konstruktion erstellt wurde.

Im betrachteten Dreieck sind alle Seiten bekannt. Der Einfachheit halber führen wir die Notation x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm ein.

Jetzt können Sie die Fläche mit dem Satz von Heron berechnen. Der Halbumfang beträgt p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Dann sieht die Formel für die Fläche nach dem Ersetzen der Werte so aus: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Antwort. Die Höhe beträgt 6√10 / 7 cm.

Nummer 4. Um die Höhe an den Seiten zu ermitteln.

Zustand. Bei einem Trapez, dessen drei Seiten 10 cm und die vierte 24 cm lang sind, müssen Sie dessen Höhe ermitteln.

Lösung. Da die Figur gleichschenklig ist, benötigen Sie die Formel Nummer 2. Sie müssen nur alle Werte darin einsetzen und zählen. Es wird so aussehen:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Antwort. n = √51 cm.

UND . Jetzt können wir beginnen, über die Frage nachzudenken, wie man die Fläche eines Trapezes findet. Diese Aufgabe stellt sich im Alltag sehr selten, aber manchmal erweist es sich als notwendig, beispielsweise die Fläche eines Raumes in Form eines Trapezes zu finden, das zunehmend beim Bau moderner Wohnungen verwendet wird, oder in Design-Renovierungsprojekte.

Trapez ist geometrische Figur, gebildet aus vier sich kreuzenden Segmenten, von denen zwei parallel zueinander sind und als Basis eines Trapezes bezeichnet werden. Die anderen beiden Segmente werden als Seiten des Trapezes bezeichnet. Darüber hinaus werden wir später noch eine weitere Definition benötigen. Dies ist die Mittellinie des Trapezes, ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten und die Höhe des Trapezes verbindet, die dem Abstand zwischen den Basen entspricht.
Wie bei Dreiecken gibt es auch bei Trapezen besondere Typen: ein gleichschenkliges (gleichseitiges) Trapez, bei dem die Seitenlängen gleich sind, und ein rechteckiges Trapez, bei dem eine der Seiten einen rechten Winkel mit den Grundflächen bildet.

Trapeze haben einige interessante Eigenschaften:

1. Die Mittellinie des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe der Grundflächen und verläuft parallel zu diesen.
   
2. Gleichschenklige Trapeze haben gleiche Seiten und die gleichen Winkel, die sie mit den Grundflächen bilden.
   
3. Die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes und der Schnittpunkt seiner Diagonalen liegen auf derselben Geraden.
   
4. Wenn die Summe der Seiten eines Trapezes gleich der Summe der Grundflächen ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden
   
5. Wenn die Summe der Winkel, die die Seiten eines Trapezes an einer seiner Basen bilden, 90 beträgt, dann ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
   
6. Ein gleichschenkliges Trapez kann durch einen Kreis beschrieben werden. Umgekehrt. Passt ein Trapez in einen Kreis, dann ist es gleichschenklig.
   
7. Das Segment, das durch die Mittelpunkte der Basen eines gleichschenkligen Trapezes verläuft, steht senkrecht zu seinen Basen und stellt die Symmetrieachse dar.
   

So finden Sie die Fläche eines Trapezes.

Die Fläche des Trapezes entspricht der Hälfte der Summe seiner Grundflächen multipliziert mit seiner Höhe. In Formelform wird dies als Ausdruck geschrieben:

Dabei ist S die Fläche des Trapezes, a, b die Länge jeder Basis des Trapezes und h die Höhe des Trapezes.

Sie können jedes Trapez auch in einfachere Figuren zerlegen: ein Rechteck und ein oder zwei Dreiecke. Wenn es für Sie einfacher ist, ermitteln Sie die Fläche des Trapezes als Summe der Flächen seiner konstituierenden Figuren.

Es gibt eine weitere einfache Formel zur Berechnung seiner Fläche. Demnach ist die Fläche eines Trapezes gleich dem Produkt seiner Mittellinie mit der Höhe des Trapezes und wird in der Form geschrieben: S = m*h, wobei S die Fläche und m die Länge des Trapezes ist Mittellinie, h ist die Höhe des Trapezes. Diese Formel eignet sich eher für mathematische Probleme als für alltägliche Probleme, da Sie unter realen Bedingungen ohne vorherige Berechnungen die Länge der Mittellinie nicht kennen. Und Sie kennen nur die Längen der Basen und Seiten.

In diesem Fall lässt sich die Fläche des Trapezes mit der Formel ermitteln:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

Dabei ist S die Fläche, a, b die Basen und c, d die Seiten des Trapezes.

Es gibt mehrere andere Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Aber sie sind ungefähr genauso unbequem wie letzte Formel, was bedeutet, dass es keinen Sinn macht, sich damit aufzuhalten. Daher empfehlen wir Ihnen, die erste Formel aus dem Artikel zu verwenden und wünschen Ihnen stets genaue Ergebnisse.

Ein Trapez ist ein Reliefviereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Wenn alle gegenüberliegenden Seiten eines Vierecks paarweise parallel sind, dann handelt es sich um ein Parallelogramm.

Du wirst brauchen

• – alle Seiten des Trapezes (AB, BC, CD, DA).

Anweisungen

1. Nicht parallel Seiten Trapeze werden laterale Seiten und parallele Seiten Basen genannt. Die Linie zwischen den Basen senkrecht zu ihnen ist die Höhe Trapeze. Wenn seitlich Seiten Trapeze gleich sind, dann heißt es gleichschenklig. Schauen wir uns zunächst die Lösung an Trapeze, was nicht gleichschenklig ist.

2. Zeichnen Sie das Liniensegment BE vom Punkt B zur unteren Basis AD parallel zur Seite Trapeze CD. Weil BE und CD parallel sind und zwischen parallelen Basen gezeichnet werden Trapeze BC und DA, dann ist BCDE ein Parallelogramm und seine Gegensätze Seiten BE und CD sind gleich. BE=CD.

3. Schauen Sie sich das Dreieck ABE an. Berechnen Sie die Seiten-AE. AE=AD-ED. Gründe Trapeze BC und AD sind bekannt und in einem Parallelogramm sind BCDE entgegengesetzt Seiten ED und BC sind gleich. ED=BC, also AE=AD-BC.

4. Ermitteln Sie nun die Fläche des Dreiecks ABE mithilfe der Heron-Formel, indem Sie den Halbumfang berechnen. S=root(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). In dieser Formel ist p der Halbumfang des Dreiecks ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Um die Fläche zu berechnen, kennen Sie alle notwendigen Daten: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Drücken Sie mit dieser Formel die Höhe des Dreiecks aus, die auch die Höhe ist Trapeze. BH=2*S/AE. Berechnen Sie es.

7. Wenn das Trapez gleichschenklig ist, kann die Lösung anders ausgeführt werden. Schauen Sie sich das Dreieck ABH an. Es ist rechteckig, weil eine der Ecken, BHA, richtig ist.

8. Zeichnen Sie die Höhe CF vom Scheitelpunkt C aus.

9. Studieren Sie die HBCF-Zahl. HBCF-Rechteck, weil es zwei davon gibt Seiten sind Höhen und die anderen beiden sind Basen Trapeze, das heißt, die Winkel sind rechts und umgekehrt Seiten parallel. Das bedeutet BC=HF.

10. Ansehen rechtwinklige Dreiecke ABH und FCD. Die Winkel in der Höhe BHA und CFD sind rechtwinklig und die Winkel in seitlicher Richtung Seiten x BAH und CDF sind gleich, weil das Trapez ABCD gleichschenklig ist, was bedeutet, dass die Dreiecke ähnlich sind. Weil die Höhen BH und CF gleich oder seitlich sind Seiten gleichschenklig Trapeze AB und CD sind kongruent, dann sind ähnliche Dreiecke kongruent. So dass sie Seiten AH und FD sind ebenfalls gleich.

11. Entdecken Sie AH. AH+FD=AD-HF. Denn aus einem Parallelogramm HF=BC und aus Dreiecken AH=FD gilt AH=(AD-BC)*1/2.

Ein Trapez ist eine geometrische Figur, bei der es sich um ein Viereck handelt, bei dem zwei Seiten, sogenannte Basen, parallel und die anderen beiden nicht parallel sind. Sie werden Seiten genannt Trapeze. Das durch die Mittelpunkte der seitlichen Seiten gezogene Segment wird Mittellinie genannt Trapeze. Ein Trapez kann unterschiedliche oder gleiche Seitenlängen haben, man nennt es dann gleichschenklig. Wenn eine der Seiten senkrecht zur Basis steht, ist das Trapez rechteckig. Aber es ist viel praktischer zu wissen, wie man erkennt Quadrat Trapeze .

Du wirst brauchen

• Lineal mit Millimetereinteilung

Anweisungen

1. Messen Sie alle Seiten Trapeze: AB, BC, CD und DA. Notieren Sie Ihre Messungen.

2. Markieren Sie auf dem Segment AB den Mittelpunkt K. Markieren Sie auf dem Segment DA den Punkt L, der sich ebenfalls in der Mitte des Segments AD befindet. Kombinieren Sie die Punkte K und L, das resultierende Segment KL ist die Mittellinie Trapeze A B C D. Messen Sie das Segment KL.

3. Von oben Trapeze– Wirf C, senke die Senkrechte zu seiner Basis AD auf dem Segment CE. Es wird die Höhe sein Trapeze A B C D. Messen Sie das Segment CE.

4. Nennen wir also das Segment KL den Buchstaben m und das Segment CE den Buchstaben h Quadrat S Trapeze ABCD wird nach der Formel S=m*h berechnet, wobei m die Mittellinie ist Trapeze ABCD, h – Höhe Trapeze A B C D.

5. Es gibt eine andere Formel, mit der Sie berechnen können Quadrat Trapeze A B C D. Untere Basis Trapeze– Nennen wir AD den Buchstaben b und die obere Basis BC den Buchstaben a. Die Fläche wird durch die Formel S=1/2*(a+b)*h bestimmt, wobei a und b die Basen sind Trapeze, h – Höhe Trapeze .

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Tipp 3: So ermitteln Sie die Höhe eines Trapezes, wenn die Fläche bekannt ist

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei seiner vier Seiten parallel zueinander sind. Die Basis dafür bilden parallele Seiten Trapeze, die anderen beiden sind die seitlichen Seiten davon Trapeze. Entdecken Höhe Trapeze, wenn Sie die Gegend kennen, wird es sehr einfach sein.

Anweisungen

1. Wir müssen herausfinden, wie wir die Fläche des Anfangs berechnen Trapeze. Abhängig von den Ausgangsdaten gibt es hierfür mehrere Formeln: S = ((a+b)*h)/2, wobei a und b die Längen der Basen sind Trapeze, und h ist seine Höhe (Height Trapeze– senkrecht, von einer Basis abgesenkt Trapeze zu einem anderen);S = m*h, wobei m die Mittellinie ist Trapeze(Die Mittellinie ist ein Segment parallel zu den Basen Trapeze und die Mittelpunkte seiner Seiten verbinden).

2. Nun kennen wir die Formeln zur Flächenberechnung Trapeze, es ist erlaubt, daraus neue abzuleiten, um die Höhe zu ermitteln Trapeze:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Um zu verdeutlichen, wie man ähnliche Probleme löst, können Sie sich Beispiele ansehen: Beispiel 1: Gegeben ein Trapez mit einer Fläche von 68 cm?, dessen Mittellinie 8 cm beträgt, müssen Sie finden Höhe gegeben Trapeze. Um zu entscheiden diese Aufgabe, müssen Sie die zuvor abgeleitete Formel verwenden: h = 68/8 = 8,5 cm Antwort: die Höhe davon Trapeze beträgt 8,5 cmBeispiel 2: Sei y Trapeze Die Fläche beträgt 120 cm?, die Länge der Sockel ist angegeben Trapeze 8 cm bzw. 12 cm betragen, ist eine Erkennung erforderlich Höhe Das Trapeze. Dazu müssen Sie eine der abgeleiteten Formeln anwenden:h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 cmAntwort: Höhe des Gegebenen Trapeze gleich 12 cm

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Beachten Sie!
Jedes Trapez hat eine Reihe von Eigenschaften: - die Mittellinie eines Trapezes ist gleich der halben Summe seiner Basen; - das Segment, das die Diagonalen des Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz seiner Basen; - wenn es sich um eine gerade Linie handelt wird durch die Mittelpunkte der Basen gezogen, dann schneidet es den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes; - Sie können einem Trapez einen Kreis einschreiben, wenn die Summe der Basen eines gegebenen Trapezes gleich der Summe seiner ist Seiten. Verwenden Sie diese Eigenschaften, wenn Sie Probleme lösen.

Tipp 4: So ermitteln Sie die Höhe eines Dreiecks anhand der Koordinaten der Punkte

Die Höhe in einem Dreieck ist das gerade Liniensegment, das den Scheitelpunkt der Figur mit der gegenüberliegenden Seite verbindet. Dieses Segment muss unbedingt senkrecht zur Seite stehen; daher darf von jedem Scheitelpunkt nur einer gezeichnet werden Höhe. Da es in dieser Abbildung drei Eckpunkte gibt, gibt es die gleiche Anzahl an Höhen. Wenn ein Dreieck durch die Koordinaten seiner Eckpunkte gegeben ist, kann die Länge jeder der Höhen beispielsweise mithilfe der Formel zur Flächenermittlung und Berechnung der Seitenlängen berechnet werden.

Anweisungen

1. Gehen Sie bei Ihren Berechnungen davon aus, dass die Fläche Dreieck ist gleich dem halben Produkt der Länge jeder seiner Seiten und der Länge der auf diese Seite abgesenkten Höhe. Aus dieser Definition folgt, dass Sie zum Ermitteln der Höhe die Fläche der Figur und die Länge der Seite kennen müssen.

2. Beginnen Sie mit der Berechnung der Seitenlängen Dreieck. Bezeichnen Sie die Koordinaten der Eckpunkte der Figur wie folgt: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) und C(X?,Y?,Z?). Dann können Sie die Länge der Seite AB mithilfe der Formel AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) berechnen. Für die anderen beiden Seiten sehen diese Formeln wie folgt aus: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) und AC = ?(( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Sagen wir für Dreieck mit den Koordinaten A(3,5,7), B(16,14,19) und C(1,2,13) ​​beträgt die Länge der Seite AB?((3-16)? + (5-14 )? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19.85. Die nach derselben Methode berechneten Längen der Seiten BC und AC sind gleich?(15? + 12? + 6?) = ?405? 20.12 und?(2? + 3? + (-6?)) =?49 = 7.

3. Um die Fläche zu berechnen, reicht es aus, die im vorherigen Schritt ermittelten Längen der drei Seiten zu kennen Dreieck(S) nach Herons Formel: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Nehmen wir an, nachdem wir die aus den Koordinaten erhaltenen Werte in diese Formel eingesetzt haben Dreieck-Beispiel aus dem vorherigen Schritt, diese Formel ergibt den folgenden Wert: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768,55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Basierend auf der Fläche Dreieck, berechnet im vorherigen Schritt, und die Längen der Seiten, die im zweiten Schritt erhalten wurden, berechnen die Höhen für jede der Seiten. Da die Fläche gleich der Hälfte des Produkts aus Höhe und Länge der Seite ist, auf die sie gezeichnet wird, teilen Sie zur Ermittlung der Höhe die doppelte Fläche durch die Länge der erforderlichen Seite: H = 2*S/a. Für das oben verwendete Beispiel beträgt die zur Seite AB abgesenkte Höhe 2*68,815/16,09? 8,55, die Höhe zur BC-Seite beträgt 2*68,815/20,12? 6,84, und für die AC-Seite beträgt dieser Wert 2*68,815/7? 19.66.