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Anweisungen

Wenn die Längen beider Basen (b und c) und die gleichen Seitenseiten (a) per Definition bekannt sind, kann ein rechtwinkliges Dreieck verwendet werden, um den Wert eines seiner spitzen Winkel (γ) zu berechnen. Senken Sie dazu die Höhe an jeder Ecke neben der kurzen Basis ab. Ein rechtwinkliges Dreieck wird durch eine Höhe (), eine Seite (Hypotenuse) und ein Segment der langen Basis zwischen der Höhe und der nahen Seite (das zweite Bein) gebildet. Die Länge dieses Segments lässt sich ermitteln, indem man die Länge des kleineren von der Länge der größeren Basis subtrahiert und das Ergebnis halbiert: (c-b)/2.

Nachdem Sie die Längen zweier benachbarter Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ermittelt haben, fahren Sie mit der Berechnung des Winkels zwischen ihnen fort. Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse (a) zur Länge des Schenkels ((c-b)/2) ergibt den Kosinuswert dieses Winkels (cos(γ)), ​​und die Arkuskosinusfunktion hilft bei der Umrechnung in Winkel in Grad: γ=arccos(2*a/(c-b )). Auf diese Weise erhalten Sie den Wert eines der spitzen Winkel, und da es sich um gleichschenklige Winkel handelt, hat der zweite spitze Winkel denselben Wert. Die Summe aller Winkel muss 360° betragen, was bedeutet, dass die Summe zweier Winkel gleich der Differenz zwischen diesem Winkel und dem Doppelten des spitzen Winkels ist. Da beide stumpfen Winkel ebenfalls gleich sind, muss diese Differenz halbiert werden, um den Wert jedes einzelnen Winkels (α) zu ermitteln: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2* a/(c-b)) . Jetzt haben Sie die Berechnung aller Winkel eines gleichschenkligen Trapezes mit den bekannten Längen seiner Seiten.

Wenn die Längen der Seiten der Figur unbekannt sind, ihre Höhe (h) aber angegeben ist, müssen Sie nach dem gleichen Schema vorgehen. In diesem Fall in rechtwinkliges Dreieck, bestehend aus einer Seite und einem kurzen Stück einer langen Basis, kennen Sie die Länge der beiden Beine. Ihr Verhältnis bestimmt den Tangens des benötigten Winkels, und diese trigonometrische Funktion hat auch einen eigenen Antipoden, der den Tangenswert in den Winkelwert umwandelt – den Arkustangens. Transformieren Sie die im vorherigen Schritt erhaltenen Formeln für spitze und stumpfe Winkel entsprechend: γ = arctg(2*h/(c-b)) und α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Um dieses Problem mit Methoden der Vektoralgebra zu lösen, müssen Sie die folgenden Konzepte kennen: geometrische Vektorsumme und Skalarprodukt von Vektoren, und Sie sollten sich auch die Eigenschaft der Summe der Innenwinkel eines Vierecks merken.

Du wirst brauchen

• - Papier;
• - Griff;
• - Herrscher.

Anweisungen

Ein Vektor ist ein gerichtetes Segment, also eine Größe, die als vollständig spezifiziert gilt, wenn ihre Länge und Richtung (Winkel) zu einer bestimmten Achse angegeben sind. Die Position des Vektors ist durch nichts mehr begrenzt. Zwei Vektoren mit Längen und gleicher Richtung werden als gleich betrachtet. Daher werden Vektoren bei der Verwendung von Koordinaten durch die Radiusvektoren ihrer Endpunkte dargestellt (der Ursprung liegt im Koordinatenursprung).

Per Definition ist der resultierende Vektor einer geometrischen Summe von Vektoren ein Vektor, der am Anfang des ersten beginnt und das Ende des zweiten hat, vorausgesetzt, dass das Ende des ersten mit dem Anfang des zweiten kombiniert wird. Dies kann weiter fortgesetzt werden, indem eine Kette ähnlich angeordneter Vektoren aufgebaut wird.
Zeichnen Sie das gegebene ABCD mit den Vektoren a, b, c und d in Abb. 1. Offensichtlich ist bei dieser Anordnung der resultierende Vektor d=a+b+c.

Skalarprodukt In diesem Fall ist es bequemer, die Vektoren a und d zu verwenden. Skalarprodukt, bezeichnet durch (a, d)= |a||d|cosф1. Hier ist φ1 der Winkel zwischen den Vektoren a und d.
Skalarprodukt von Vektoren, durch Koordinaten gegeben, wird durch Folgendes bestimmt:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, dann
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Eigenschaften eines rechteckigen Trapezes

• U rechteckiges Trapez und zwei Winkel müssen richtig sein
• Beide rechten Winkel eines rechteckigen Trapezes gehören notwendigerweise zu benachbarten Eckpunkten
• Beide rechten Winkel in einem rechteckigen Trapez liegen sie zwangsläufig an derselben Seite an
• Diagonalen eines rechteckigen Trapezes Bilden Sie auf einer Seite ein rechtwinkliges Dreieck
• Seitenlänge eines Trapezes senkrecht zu den Grundflächen ist gleich seiner Höhe
• Bei einem rechteckigen Trapez die Basen sind parallel, eine Seite ist senkrecht zu den Basen und die zweite Seite ist zu den Basen geneigt
• Bei einem rechteckigen Trapez Zwei Winkel sind rechtwinklig und die anderen beiden sind spitz und stumpf

Aufgabe

Winkel eines gleichschenkligen Trapezes. Guten Tag! Dieser Artikel konzentriert sich auf die Lösung von Problemen mit Trapezen. Diese Aufgabengruppe ist Teil der Prüfung; die Aufgaben sind einfach. Wir berechnen die Winkel des Trapezes, der Basis und der Höhe. Bei der Lösung einer Reihe von Problemen kommt es auf die Lösung an, wie man so schön sagt: Wo wären wir ohne den Satz des Pythagoras?

Wir werden mit einem gleichschenkligen Trapez arbeiten. Es hat gleiche Seiten und Winkel an den Basen. Auf dem Blog gibt es einen Artikel über das Trapez.

Beachten wir eine kleine und wichtige Nuance, die wir bei der Lösung der Aufgaben selbst nicht im Detail beschreiben werden. Schauen Sie, wenn uns zwei Basen gegeben werden, dann ist die größere Basis mit den darauf abgesenkten Höhen in drei Segmente unterteilt – eines ist gleich der kleineren Basis (das sind die gegenüberliegenden Seiten des Rechtecks), die anderen beiden sind jeweils gleich andere (das sind die Schenkel gleicher rechtwinkliger Dreiecke):

Ein einfaches Beispiel: Gegeben sind zwei Basen eines gleichschenkligen Trapezes 25 und 65. Die größere Basis ist wie folgt in Segmente unterteilt:

*Und weiter! Nicht in Aufgaben enthalten Buchstabenbezeichnungen. Dies geschah bewusst, um die Lösung nicht mit algebraischen Verfeinerungen zu überladen. Ich stimme zu, dass dies ein mathematischer Analphabet ist, aber das Ziel besteht darin, den Punkt zu verdeutlichen. Und Sie können die Bezeichnungen für Eckpunkte und andere Elemente jederzeit selbst vornehmen und eine mathematisch korrekte Lösung aufschreiben.

Betrachten wir die Aufgaben:

27439. Die Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind 51 und 65. Die Seiten sind 25. Ermitteln Sie den Sinus des spitzen Winkels des Trapezes.

Um den Winkel zu ermitteln, müssen Sie die Höhen konstruieren. In der Skizze bezeichnen wir die Daten im Mengenzustand. Die untere Basis beträgt 65, mit Höhen ist sie in die Segmente 7, 51 und 7 unterteilt:

In einem rechtwinkligen Dreieck kennen wir die Hypotenuse und den Schenkel, können den zweiten Schenkel (die Höhe des Trapezes) ermitteln und dann den Sinus des Winkels berechnen.

Nach dem Satz des Pythagoras ist das angegebene Bein gleich:

Auf diese Weise:

Antwort: 0,96

27440. Die Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind 43 und 73. Der Kosinus eines spitzen Winkels eines Trapezes beträgt 5/7. Finden Sie die Seite.

Lassen Sie uns die Höhen konstruieren und die Daten in der Größenordnung notieren. Die untere Basis ist in die Segmente 15, 43 und 15 unterteilt:

27441. Die größere Basis eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 34. Die Seite beträgt 14. Der Sinus eines spitzen Winkels beträgt (2√10)/7. Finden Sie die kleinere Basis.

Lasst uns Höhen bauen. Um die kleinere Basis zu finden, müssen wir herausfinden, wie groß das Segment ist, das das Bein im rechtwinkligen Dreieck darstellt (blau angezeigt):

Wir können die Höhe des Trapezes berechnen und dann das Bein ermitteln:

Mit dem Satz des Pythagoras berechnen wir das Bein:

Die kleinere Basis ist also:

27442. Die Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind 7 und 51. Der Tangens eines spitzen Winkels beträgt 5/11. Finden Sie die Höhe des Trapezes.

Lassen Sie uns die Höhen konstruieren und die Daten in der Größenordnung markieren. Die untere Basis ist in Segmente unterteilt:

Was zu tun ist? Wir drücken den Tangens des uns bekannten Winkels an der Basis eines rechtwinkligen Dreiecks aus:

27443. Die kleinere Basis eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 23. Die Höhe des Trapezes beträgt 39. Der Tangens eines spitzen Winkels beträgt 13/8. Finden Sie eine größere Basis.

Wir bilden die Höhen und berechnen, wie groß das Bein ist:

Somit ist die größere Basis gleich:

27444. Die Grundflächen eines gleichschenkligen Trapezes sind 17 und 87. Die Höhe des Trapezes beträgt 14. Finden Sie den Tangens des spitzen Winkels.

Wir bauen Höhen auf und markieren bekannte Werte auf der Skizze. Die untere Basis ist in die Segmente 35, 17, 35 unterteilt:

Per Definition der Tangente:

77152. Die Basen eines gleichschenkligen Trapezes sind 6 und 12. Der Sinus eines spitzen Winkels eines Trapezes beträgt 0,8. Finden Sie die Seite.

Lassen Sie uns eine Skizze erstellen, Höhen konstruieren und bekannte Werte markieren. Die größere Basis ist in die Segmente 3, 6 und 3 unterteilt:

Drücken wir die mit x bezeichnete Hypotenuse durch den Kosinus aus:

Von der Hauptsache trigonometrische Identität Finden wir cosα

Auf diese Weise:

27818. Was ist gleich größerer Winkel gleichschenkliges Trapez, wenn bekannt ist, dass die Differenz zwischen den entgegengesetzten Winkeln 50 0 beträgt? Geben Sie Ihre Antwort in Grad an.

Aus dem Geometriekurs wissen wir, dass, wenn wir zwei parallele Geraden und eine Querlinie haben, die Summe der einseitigen Innenwinkel gleich 180 0 ist. In unserem Fall ist es so

Die Bedingung besagt, dass die Differenz zwischen entgegengesetzten Winkeln 50 0 beträgt

Auf die einfache Frage „Wie finde ich die Höhe eines Trapezes?“ Es gibt mehrere Antworten, da unterschiedliche Startwerte angegeben werden können. Daher unterscheiden sich die Formeln.

Diese Formeln kann man sich merken, aber sie sind nicht schwer abzuleiten. Sie müssen lediglich zuvor erlernte Theoreme anwenden.

In Formeln verwendete Notationen

In allen folgenden mathematischen Notationen sind diese Lesarten der Buchstaben korrekt.

In den Quelldaten: alle Seiten

Um die Höhe eines Trapezes im allgemeinen Fall zu ermitteln, müssen Sie die folgende Formel verwenden:

n = √(c 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2)/(2(a - c))) 2). Nummer 1.

Nicht die kürzeste, aber auch bei Problemen recht selten anzutreffen. Normalerweise können Sie auch andere Daten verwenden.

Die Formel, die Ihnen sagt, wie Sie die Höhe eines gleichschenkligen Trapezes in derselben Situation ermitteln können, ist viel kürzer:

n = √(c 2 - (a - c) 2 /4). Nummer 2.

Das Problem ergibt: seitliche Seiten und Winkel an der unteren Basis

Es wird angenommen, dass der Winkel α an die Seite mit der Bezeichnung „c“ angrenzt bzw. der Winkel β an die Seite d angrenzt. Dann lautet die allgemeine Formel zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes:

n = c * sin α = d * sin β. Nummer 3.

Wenn die Figur gleichschenklig ist, können Sie diese Option verwenden:

n = c * sin α= ((a - b) / 2) * tan α. Nummer 4.

Bekannt: Diagonalen und Winkel zwischen ihnen

Typischerweise werden diese Daten von anderen bekannten Größen begleitet. Zum Beispiel die Basen oder die Mittellinie. Wenn die Gründe angegeben sind, ist zur Beantwortung der Frage, wie man die Höhe eines Trapezes ermittelt, die folgende Formel hilfreich:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 5.

Es ist für Gesamtansicht Figuren. Wenn eine gleichschenklige Zahl angegeben ist, ändert sich die Notation wie folgt:

n = (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ b) oder n = (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ b). Nummer 6.

Wenn in einer Aufgabe wir reden über um die Mittellinie eines Trapezes herum, dann lauten die Formeln zur Bestimmung seiner Höhe:

n = (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nummer 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m oder n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nummer 6a.

Zu den bekannten Größen gehören: Fläche mit Basen oder Mittellinie

Dies sind vielleicht die kürzesten und einfachsten Formeln zum Ermitteln der Höhe eines Trapezes. Für eine beliebige Figur sieht es so aus:

n = 2S / (a ​​+ b). Nummer 7.

Es ist das Gleiche, aber mit einer bekannten Mittellinie:

n = S/m. Nummer 7a.

Seltsamerweise sehen die Formeln für ein gleichschenkliges Trapez gleich aus.

Aufgaben

Nr. 1. Zur Bestimmung der Winkel an der unteren Basis des Trapezes.

Zustand. Gegeben sei ein gleichschenkliges Trapez, dessen Seitenlänge 6 und 12 cm beträgt. Sie müssen den Sinus eines spitzen Winkels ermitteln.

Lösung. Der Einfachheit halber sollten Sie eine Bezeichnung eingeben. Der untere linke Scheitelpunkt sei A, der Rest im Uhrzeigersinn: B, C, D. Somit wird die untere Basis mit AD bezeichnet, die obere mit BC.

Es ist notwendig, Höhen von den Eckpunkten B und C aus zu zeichnen. Die Punkte, die die Enden der Höhen anzeigen, werden mit H 1 bzw. H 2 bezeichnet. Da alle Winkel in der Abbildung BCH 1 H 2 rechte Winkel sind, handelt es sich um ein Rechteck. Das bedeutet, dass das Segment H 1 H 2 6 cm beträgt.

Jetzt müssen wir zwei Dreiecke betrachten. Sie sind gleich, weil sie rechteckig sind und die gleichen Hypotenusen und vertikalen Schenkel haben. Daraus folgt, dass ihre kleineren Beine gleich sind. Daher können sie als Quotient der Differenz definiert werden. Letzteres erhält man durch Subtrahieren der oberen von der unteren Basis. Es wird durch 2 geteilt. Das heißt, 12 - 6 muss durch 2 geteilt werden. AN 1 = N 2 D = 3 (cm).

Nun müssen Sie anhand des Satzes des Pythagoras die Höhe des Trapezes ermitteln. Es ist notwendig, den Sinus eines Winkels zu ermitteln. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (cm).

Mit dem Wissen, wie der Sinus eines spitzen Winkels in einem Dreieck mit rechtem Winkel ermittelt wird, können wir den folgenden Ausdruck schreiben: sin α = ВН 1 / AB = 0,8.

Antwort. Der erforderliche Sinus beträgt 0,8.

Nr. 2. Die Höhe eines Trapezes mithilfe einer bekannten Tangente ermitteln.

Zustand. Für ein gleichschenkliges Trapez müssen Sie die Höhe berechnen. Es ist bekannt, dass seine Basen 15 und 28 cm betragen. Der Tangens des spitzen Winkels ist angegeben: 11/13.

Lösung. Die Bezeichnung der Eckpunkte ist die gleiche wie im vorherigen Problem. Auch hier müssen Sie zwei Höhen zeichnen oberen Ecken. Analog zur Lösung des ersten Problems müssen Sie AN 1 = N 2 D finden, was als Differenz von 28 und 15 geteilt durch zwei definiert ist. Nach Berechnungen ergibt sich: 6,5 cm.

Da der Tangens das Verhältnis zweier Schenkel ist, können wir die folgende Gleichheit schreiben: tan α = AN 1 / VN 1 . Darüber hinaus beträgt dieses Verhältnis 11/13 (je nach Bedingung). Da AN 1 bekannt ist, kann die Höhe berechnet werden: BH 1 = (11 * 6,5) / 13. Einfache Berechnungen ergeben ein Ergebnis von 5,5 cm.

Antwort. Die erforderliche Höhe beträgt 5,5 cm.

Nr. 3. Zur Berechnung der Höhe anhand bekannter Diagonalen.

Zustand. Vom Trapez ist bekannt, dass seine Diagonalen 13 und 3 cm betragen. Sie müssen seine Höhe ermitteln, wenn die Summe der Grundflächen 14 cm beträgt.

Lösung. Die Bezeichnung der Figur sei dieselbe wie zuvor. Nehmen wir an, dass AC die kleinere Diagonale ist. Vom Scheitelpunkt C aus müssen Sie die gewünschte Höhe zeichnen und sie mit CH bezeichnen.

Jetzt müssen Sie einige zusätzliche Konstruktionen durchführen. Von Ecke C aus müssen Sie eine gerade Linie parallel zur größeren Diagonale zeichnen und den Schnittpunkt mit der Fortsetzung der Seite AD ermitteln. Das wird D 1 sein. Das Ergebnis ist ein neues Trapez, in das ein Dreieck ASD 1 eingezeichnet ist. Dies ist erforderlich, um das Problem weiter zu lösen.

Die gewünschte Höhe wird ebenfalls im Dreieck angezeigt. Daher können Sie die in einem anderen Thema untersuchten Formeln verwenden. Die Höhe eines Dreiecks ist definiert als das Produkt aus der Zahl 2 und der Fläche dividiert durch die Seite, auf der es gezeichnet wird. Und es stellt sich heraus, dass die Seite gleich der Summe der Basen des ursprünglichen Trapezes ist. Dies ergibt sich aus der Regel, nach der die zusätzliche Konstruktion erstellt wurde.

Im betrachteten Dreieck sind alle Seiten bekannt. Der Einfachheit halber führen wir die Notation x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm ein.

Jetzt können Sie die Fläche mit dem Satz von Heron berechnen. Der Halbumfang beträgt p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (cm). Dann sieht die Formel für die Fläche nach dem Ersetzen der Werte so aus: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (cm 2).

Antwort. Die Höhe beträgt 6√10 / 7 cm.

Nummer 4. Um die Höhe an den Seiten zu ermitteln.

Zustand. Gegeben sei ein Trapez, von dem drei Seiten 10 cm und die vierte 24 cm lang sind. Sie müssen seine Höhe ermitteln.

Lösung. Da die Figur gleichschenklig ist, benötigen Sie die Formel Nummer 2. Sie müssen nur alle Werte darin einsetzen und zählen. Es wird so aussehen:

n = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (cm).

Antwort. n = √51 cm.