Mit diesem Video beginne ich eine Reihe von Lektionen zu Gleichungssystemen. Heute werden wir über das Lösen von Systemen sprechen lineare Gleichungen Additionsverfahren- ist einer der meisten einfache Wege sondern auch einer der effektivsten.

Das Additionsverfahren besteht aus drei einfach Schritte:

1. Sehen Sie sich das System an und wählen Sie eine Variable aus, die in jeder Gleichung die gleichen (oder entgegengesetzten) Koeffizienten hat;
2. Führen Sie eine algebraische Subtraktion (für entgegengesetzte Zahlen - Addition) von Gleichungen durch und bringen Sie dann ähnliche Terme;
3. Lösen Sie die nach dem zweiten Schritt erhaltene neue Gleichung.

Wenn alles richtig gemacht ist, erhalten wir am Ausgang eine einzige Gleichung mit einer Variablen- Es wird nicht schwer zu lösen sein. Dann bleibt nur noch, die gefundene Wurzel im ursprünglichen System zu ersetzen und die endgültige Antwort zu erhalten.

In der Praxis ist es jedoch nicht so einfach. Dafür gibt es mehrere Gründe:

• Das Lösen von Gleichungen durch Addition impliziert, dass alle Zeilen Variablen mit denselben/entgegengesetzten Koeffizienten enthalten müssen. Was ist, wenn diese Anforderung nicht erfüllt wird?
• Nicht immer erhalten wir nach dem Addieren / Subtrahieren von Gleichungen auf diese Weise eine schöne Konstruktion, die leicht zu lösen ist. Ist es möglich, die Berechnungen irgendwie zu vereinfachen und die Berechnungen zu beschleunigen?

Um eine Antwort auf diese Fragen zu bekommen und gleichzeitig mit ein paar zusätzlichen Feinheiten umzugehen, über die viele Studierende „überfallen“, schaue dir mein Video-Tutorial an:

Mit dieser Lektion beginnen wir eine Reihe von Vorlesungen über Gleichungssysteme. Und wir beginnen mit den einfachsten, nämlich denen, die zwei Gleichungen und zwei Variablen enthalten. Jeder von ihnen wird linear sein.

Systems ist ein Material für die 7. Klasse, aber diese Lektion wird auch für Schüler der Oberstufe nützlich sein, die ihr Wissen zu diesem Thema auffrischen möchten.

Im Allgemeinen gibt es zwei Methoden, um solche Systeme zu lösen:

1. Additionsverfahren;
2. Eine Methode, eine Variable durch eine andere auszudrücken.

Heute werden wir uns mit der ersten Methode befassen - wir werden die Methode der Subtraktion und Addition verwenden. Aber dazu müssen Sie die folgende Tatsache verstehen: Sobald Sie zwei oder mehr Gleichungen haben, können Sie zwei davon nehmen und sie addieren. Sie werden Term für Term hinzugefügt, d.h. "Xs" werden zu "Xs" hinzugefügt und ähnliche werden gegeben, "Spiele" zu "Spiele" - ähnliche werden wieder gegeben, und was rechts vom Gleichheitszeichen steht, wird auch miteinander addiert, und ähnliche werden auch dort gegeben.

Das Ergebnis solcher Machenschaften wird eine neue Gleichung sein, die, wenn sie Wurzeln hat, sicherlich zu den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung gehören wird. Unsere Aufgabe ist es also, die Subtraktion oder Addition so durchzuführen, dass entweder $x$ oder $y$ verschwindet.

Wie Sie dies erreichen und welches Tool Sie dafür verwenden - wir werden jetzt darüber sprechen.

Einfache Probleme mit der Additionsmethode lösen

Wir lernen also die Additionsmethode am Beispiel zweier einfacher Ausdrücke anzuwenden.

Aufgabe 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass $y$ in der ersten Gleichung einen Koeffizienten von $-4$ und in der zweiten Gleichung $+4$ hat. Sie sind einander entgegengesetzt, daher ist es logisch anzunehmen, dass sich die „Spiele“ in der resultierenden Menge gegenseitig vernichten, wenn wir sie addieren. Wir addieren und erhalten:

Wir lösen die einfachste Konstruktion:

Toll, wir haben das X gefunden. Was jetzt mit ihm machen? Wir können es in jede der Gleichungen einsetzen. Setzen wir es in die erste:

\[-4y=12\links| :\links(-4 \rechts) \rechts.\]

Antwort: $\left(2;-3\right)$.

Aufgabe Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Hier ist die Situation ganz ähnlich, nur bei den Xs. Fassen wir sie zusammen:

Wir haben die einfachste lineare Gleichung, lösen wir sie:

Jetzt suchen wir $x$:

Antwort: $\left(-3;3\right)$.

Wichtige Punkte

Wir haben also gerade zwei einfache lineare Gleichungssysteme mit der Additionsmethode gelöst. Nochmal die Eckdaten:

1. Wenn es für eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten gibt, müssen alle Variablen in der Gleichung addiert werden. In diesem Fall wird einer von ihnen zerstört.
2. Wir setzen die gefundene Variable in eine der Gleichungen des Systems ein, um die zweite zu finden.
3. Die endgültige Aufzeichnung der Antwort kann auf verschiedene Weise dargestellt werden. Zum Beispiel so - $x=...,y=...$, oder in Form von Punktkoordinaten - $\left(...;... \right)$. Die zweite Option ist vorzuziehen. Das Wichtigste, woran Sie denken sollten, ist, dass die erste Koordinate $x$ und die zweite $y$ ist.
4. Die Regel, die Antwort in Form von Punktkoordinaten zu schreiben, ist nicht immer anwendbar. Es kann beispielsweise nicht verwendet werden, wenn die Rolle der Variablen nicht $x$ und $y$ ist, sondern beispielsweise $a$ und $b$.

In den folgenden Problemen betrachten wir die Subtraktionstechnik, wenn die Koeffizienten nicht entgegengesetzt sind.

Einfache Probleme mit der Subtraktionsmethode lösen

Aufgabe 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie, dass es hier keine entgegengesetzten Koeffizienten gibt, sondern identische. Daher subtrahieren wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung:

Jetzt setzen wir den Wert von $x$ in eine der Gleichungen des Systems ein. Gehen wir zuerst:

Antwort: $\left(2;5\right)$.

Aufgabe Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen wieder denselben Koeffizienten $5$ für $x$ in der ersten und zweiten Gleichung. Daher ist es logisch anzunehmen, dass Sie die zweite von der ersten Gleichung subtrahieren müssen:

Wir haben eine Variable berechnet. Lassen Sie uns nun den zweiten finden, indem wir zum Beispiel den Wert von $y$ in das zweite Konstrukt einsetzen:

Antwort: $\left(-3;-2 \right)$.

Nuancen der Lösung

Was sehen wir also? Im Wesentlichen unterscheidet sich das Schema nicht von der Lösung früherer Systeme. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir Gleichungen nicht addieren, sondern subtrahieren. Wir führen eine algebraische Subtraktion durch.

Mit anderen Worten, sobald Sie ein System sehen, das aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten besteht, müssen Sie sich zuerst die Koeffizienten ansehen. Wenn sie irgendwo gleich sind, werden die Gleichungen subtrahiert, und wenn sie entgegengesetzt sind, wird die Additionsmethode angewendet. Dies geschieht immer so, dass einer von ihnen verschwindet und in der endgültigen Gleichung, die nach der Subtraktion übrig bleibt, nur eine Variable übrig bleibt.

Das ist natürlich noch nicht alles. Nun betrachten wir Systeme, in denen die Gleichungen im Allgemeinen inkonsistent sind. Diese. es gibt keine solchen Variablen in ihnen, die entweder gleich oder entgegengesetzt wären. In diesem Fall wird zur Lösung solcher Systeme eine zusätzliche Technik verwendet, nämlich die Multiplikation jeder der Gleichungen mit einem speziellen Koeffizienten. Wie man es findet und wie man solche Systeme im Allgemeinen löst, werden wir jetzt darüber sprechen.

Lösen von Problemen durch Multiplizieren mit einem Koeffizienten

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Wir sehen, dass weder für $x$ noch für $y$ die Koeffizienten nicht nur entgegengesetzt sind, sondern im Allgemeinen in keiner Weise mit einer anderen Gleichung korrelieren. Diese Koeffizienten verschwinden in keiner Weise, auch wenn wir die Gleichungen addieren oder subtrahieren. Daher ist es notwendig, die Multiplikation anzuwenden. Versuchen wir, die Variable $y$ loszuwerden. Dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der zweiten Gleichung und die zweite Gleichung mit dem Koeffizienten von $y$ aus der ersten Gleichung, ohne das Vorzeichen zu ändern. Wir multiplizieren und erhalten ein neues System:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir es uns an: für $y$ entgegengesetzte Koeffizienten. In einer solchen Situation ist es notwendig, das Additionsverfahren anzuwenden. Fügen wir hinzu:

Jetzt müssen wir $y$ finden. Ersetzen Sie dazu $x$ im ersten Ausdruck:

\[-9y=18\links| :\links(-9 \rechts) \rechts.\]

Antwort: $\left(4;-2\right)$.

Beispiel #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Auch hier sind die Koeffizienten für keine der Variablen konsistent. Lassen Sie uns mit den Koeffizienten bei $y$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Unser neues System entspricht dem vorherigen, aber die Koeffizienten von $y$ sind einander entgegengesetzt, und daher ist es einfach, hier die Additionsmethode anzuwenden:

Finden Sie nun $y$, indem Sie $x$ in die erste Gleichung einsetzen:

Antwort: $\left(-2;1\right)$.

Nuancen der Lösung

Die wichtigste Regel dabei ist: Immer nur mit positiven Zahlen multiplizieren – das erspart Ihnen dumme und anstößige Fehler beim Vorzeichenwechsel. Im Allgemeinen ist das Lösungsschema recht einfach:

1. Wir betrachten das System und analysieren jede Gleichung.
2. Wenn wir sehen, dass weder für $y$ noch für $x$ die Koeffizienten konsistent sind, d.h. sie sind weder gleich noch entgegengesetzt, dann gehen wir wie folgt vor: Wählen Sie die Variable aus, die Sie loswerden möchten, und sehen Sie sich dann die Koeffizienten in diesen Gleichungen an. Wenn wir die erste Gleichung mit dem Koeffizienten der zweiten und die zweite entsprechend mit dem Koeffizienten der ersten multiplizieren, erhalten wir am Ende ein System, das dem vorherigen vollständig entspricht, und die Koeffizienten bei $ y$ wird konsistent sein. Alle unsere Aktionen oder Transformationen zielen nur darauf ab, eine Variable in eine Gleichung zu bekommen.
3. Wir finden eine Variable.
4. Wir setzen die gefundene Variable in eine der beiden Gleichungen des Systems ein und finden die zweite.
5. Wir schreiben die Antwort in Form von Punktkoordinaten, wenn wir die Variablen $x$ und $y$ haben.

Aber selbst ein so einfacher Algorithmus hat seine eigenen Feinheiten, zum Beispiel können die Koeffizienten von $x$ oder $y$ Brüche und andere "hässliche" Zahlen sein. Diese Fälle betrachten wir nun separat, denn in ihnen kann man etwas anders agieren als nach dem Standardalgorithmus.

Probleme mit Bruchzahlen lösen

Beispiel 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Beachten Sie zunächst, dass die zweite Gleichung Brüche enthält. Beachten Sie jedoch, dass Sie 4 $ durch 0,8 $ teilen können. Wir bekommen $5$. Lassen Sie uns die zweite Gleichung mit $5$ multiplizieren:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Wir subtrahieren die Gleichungen voneinander:

$n$ haben wir gefunden, jetzt berechnen wir $m$:

Antwort: $n=-4;m=5$

Beispiel #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ Rechts.\]

Hier gibt es wie im vorigen System gebrochene Koeffizienten, aber für keine der Variablen passen die Koeffizienten nicht ganzzahlig ineinander. Daher verwenden wir den Standardalgorithmus. Werde $p$ los:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Lassen Sie uns die Subtraktionsmethode verwenden:

Finden wir $p$, indem wir $k$ in das zweite Konstrukt einsetzen:

Antwort: $p=-4;k=-2$.

Nuancen der Lösung

Das ist alles Optimierung. In der ersten Gleichung haben wir überhaupt nichts multipliziert, und die zweite Gleichung wurde mit $5$ multipliziert. Als Ergebnis haben wir eine konsistente und sogar die gleiche Gleichung für die erste Variable erhalten. Beim zweiten System haben wir nach dem Standardalgorithmus gehandelt.

Aber wie finden Sie die Zahlen, mit denen Sie die Gleichungen multiplizieren müssen? Denn wenn wir mit Bruchzahlen multiplizieren, erhalten wir neue Brüche. Daher müssen die Brüche mit einer Zahl multipliziert werden, die eine neue Ganzzahl ergeben würde, und danach sollten die Variablen nach dem Standardalgorithmus mit Koeffizienten multipliziert werden.

Abschließend möchte ich Ihre Aufmerksamkeit auf das Format des Antwortprotokolls lenken. Wie ich bereits sagte, da wir hier nicht $x$ und $y$ haben, sondern andere Werte, verwenden wir eine nicht standardmäßige Schreibweise der Form:

Komplexe Gleichungssysteme lösen

Lassen Sie uns zum Abschluss des heutigen Video-Tutorials einige wirklich komplexe Systeme betrachten. Ihre Komplexität wird darin bestehen, dass sie sowohl links als auch rechts Variablen enthalten. Um sie zu lösen, müssen wir daher eine Vorverarbeitung anwenden.

System Nr. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Jede Gleichung trägt eine gewisse Komplexität. Gehen wir also bei jedem Ausdruck wie bei einer normalen linearen Konstruktion vor.

Insgesamt erhalten wir das endgültige System, das dem ursprünglichen entspricht:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Schauen wir uns die Koeffizienten von $y$ an: $3$ passt zweimal in $6$, also multiplizieren wir die erste Gleichung mit $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Die Koeffizienten von $y$ sind jetzt gleich, also subtrahieren wir den zweiten von der ersten Gleichung: $$

Jetzt suchen wir $y$:

Antwort: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

System Nr. 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Lassen Sie uns den ersten Ausdruck umwandeln:

Kommen wir zum Zweiten:

\[-3\links(b-2a \rechts)-12=2\links(a-5 \rechts)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Insgesamt wird unser anfängliches System die folgende Form annehmen:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Wenn wir uns die Koeffizienten von $a$ ansehen, sehen wir, dass die erste Gleichung mit $2$ multipliziert werden muss:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Wir subtrahieren die zweite von der ersten Konstruktion:

Jetzt $a$ finden:

Antwort: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Das ist alles. Ich hoffe, dass dieses Video-Tutorial Ihnen hilft, dieses schwierige Thema zu verstehen, nämlich das Lösen von Systemen einfacher linearer Gleichungen. Es wird noch viele weitere Lektionen zu diesem Thema geben: Wir werden mehr analysieren komplexe Beispiele, wo es mehr Variablen geben wird und die Gleichungen selbst bereits nichtlinear sind. Bis bald!

In dieser Lektion werden wir die Methode zum Lösen von Gleichungssystemen weiter untersuchen, nämlich: die Methode algebraische Addition. Betrachten Sie zunächst die Anwendung dieser Methode am Beispiel linearer Gleichungen und ihrer Essenz. Erinnern wir uns auch daran, wie man Koeffizienten in Gleichungen ausgleicht. Und wir werden eine Reihe von Problemen bei der Anwendung dieser Methode lösen.

Thema: Gleichungssysteme

Lektion: Algebraische Additionsmethode

1. Methode der algebraischen Addition am Beispiel linearer Systeme

In Betracht ziehen Algebraische Additionsmethode am Beispiel linearer Systeme.

Beispiel 1. Lösen Sie das System

Wenn wir diese beiden Gleichungen addieren, heben sich die y-Werte gegenseitig auf, und die Gleichung für x bleibt bestehen.

Wenn wir die zweite Gleichung von der ersten Gleichung subtrahieren, heben sich x gegenseitig auf und wir erhalten eine Gleichung für y. Dies ist die Bedeutung der Methode der algebraischen Addition.

Wir haben das System gelöst und uns an die Methode der algebraischen Addition erinnert. Um das Wesentliche zu wiederholen: Wir können Gleichungen addieren und subtrahieren, aber wir müssen sicherstellen, dass wir eine Gleichung mit nur einer Unbekannten erhalten.

2. Algebraisches Additionsverfahren mit vorläufiger Anpassung der Koeffizienten

Beispiel 2. Lösen Sie das System

Der Term ist in beiden Gleichungen vorhanden, daher ist die algebraische Additionsmethode bequem. Subtrahiere die zweite von der ersten Gleichung.

Antwort: (2; -1).

So kann man nach der Analyse des Gleichungssystems sehen, dass es für die Methode der algebraischen Addition geeignet ist, und es anwenden.

Betrachten Sie ein anderes lineares System.

3. Lösung nichtlinearer Systeme

Beispiel 3. Lösen Sie das System

Wir wollen y loswerden, aber die beiden Gleichungen haben unterschiedliche Koeffizienten für y. Wir gleichen sie aus, dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit 3, die zweite mit 4.

Beispiel 4. Lösen Sie das System

Gleiche die Koeffizienten bei x aus

Sie können es auch anders machen - gleichen Sie die Koeffizienten bei y aus.

Wir haben das System gelöst, indem wir die algebraische Additionsmethode zweimal angewendet haben.

Die Methode der algebraischen Addition ist auch beim Lösen nichtlinearer Systeme anwendbar.

Beispiel 5. Lösen Sie das System

Fügen wir diese Gleichungen hinzu und wir werden y los.

Das gleiche System kann durch zweimalige Anwendung der algebraischen Additionsmethode gelöst werden. Addiere und subtrahiere von einer Gleichung eine andere.

Beispiel 6. Lösen Sie das System

Antworten:

Beispiel 7. Lösen Sie das System

Mit der Methode der algebraischen Addition werden wir den Term xy los. Multipliziere die erste Gleichung mit .

Die erste Gleichung bleibt unverändert, statt der zweiten schreiben wir die algebraische Summe.

Antworten:

Beispiel 8. Lösen Sie das System

Multipliziere die zweite Gleichung mit 2, um ein perfektes Quadrat zu finden.

Unsere Aufgabe reduzierte sich auf die Lösung von vier einfachen Systemen.

4. Fazit

Wir haben die Methode der algebraischen Addition am Beispiel der Lösung linearer und nichtlinearer Systeme betrachtet. Auf der Nächste Lektion Betrachten wir die Methode zur Einführung neuer Variablen.

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. Klasse: Proc. Für die Allgemeinbildung Institutionen - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: mit Abb.

2. Mordkovich A. G. et al. Algebra Klasse 9: Aufgabenheft für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere - 4. Aufl. — M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: mit Abb.

3. Yu N. Makarychev, Algebra. Klasse 9: Lehrbuch. für allgemeinbildende Schülerinnen und Schüler. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. - 7. Aufl., Rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin und Yu. V. Sidorov, Algebra. Klasse 9 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. Klasse 9 Um 14 Uhr Teil 1. Lehrbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 12. Aufl., gelöscht. — M.: 2010. — 224 S.: mit Abb.

6. Algebra. Klasse 9 Bei 2 Stunden Teil 2. Aufgabenbuch für Studenten von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. - 12. Aufl., Rev. — M.: 2010.-223 S.: mit Abb.

1. College-Sektion. ru in Mathematik.

2. Internetprojekt „Aufgaben“.

3. Bildungsportal"ICH WERDE DIE VERWENDUNG AUFLÖSEN".

1. Mordkovich A. G. et al. Algebra 9. Klasse: Aufgabenbuch für Schüler von Bildungseinrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina et al. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 125 - 127.

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Algebraische Additionsmethode

Sie können ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten lösen verschiedene Wege- grafische Methode oder Variablensubstitutionsmethode.

In dieser Lektion lernen wir eine andere Methode kennen, um Systeme zu lösen, die Ihnen sicherlich gefallen wird - dies ist die algebraische Additionsmethode.

Und woher kam die Idee – etwas in die Systeme zu stecken? Beim Lösen von Systemen Hauptproblem ist das Vorhandensein von zwei Variablen, weil wir Gleichungen mit zwei Variablen nicht lösen können. Es ist also notwendig, einen von ihnen auf legale Weise auszuschließen. Und solche legitimen Wege sind mathematische Regeln und Eigenschaften.

Eine dieser Eigenschaften klingt so: Die Summe der Gegenzahlen ist Null. Dies bedeutet, dass, wenn es für eine der Variablen entgegengesetzte Koeffizienten gibt, ihre Summe gleich Null ist und wir diese Variable aus der Gleichung ausschließen können. Es ist klar, dass wir nicht das Recht haben, nur die Terme mit der benötigten Variablen hinzuzufügen. Es ist notwendig, die Gleichungen als Ganzes zu addieren, d.h. Fügen Sie ähnliche Begriffe separat auf der linken Seite und dann auf der rechten Seite hinzu. Als Ergebnis erhalten wir eine neue Gleichung, die nur eine Variable enthält. Schauen wir uns konkrete Beispiele an.

Wir sehen, dass es in der ersten Gleichung eine Variable y gibt und in der zweiten die entgegengesetzte Zahl y ist. Diese Gleichung kann also mit der Additionsmethode gelöst werden.

Eine der Gleichungen bleibt so wie sie ist. Jeder, der dir am besten gefällt.

Aber die zweite Gleichung erhält man, indem man diese beiden Gleichungen Term für Term addiert. Diese. Addiere 3x zu 2x, addiere y zu -y, addiere 8 zu 7.

Wir erhalten ein Gleichungssystem

Die zweite Gleichung dieses Systems ist eine einfache Gleichung mit einer Variablen. Daraus finden wir x \u003d 3. Wenn wir den gefundenen Wert in der ersten Gleichung ersetzen, finden wir y \u003d -1.

Antwort: (3; - 1).

Designbeispiel:

Lösen Sie das Gleichungssystem durch algebraische Addition

In diesem System gibt es keine Variablen mit entgegengesetzten Koeffizienten. Aber wir wissen, dass beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multipliziert werden können. Lassen Sie uns die erste Gleichung des Systems mit 2 multiplizieren.

Dann nimmt die erste Gleichung die Form an:

Nun sehen wir, dass es bei der Variablen x entgegengesetzte Koeffizienten gibt. Also machen wir dasselbe wie im ersten Beispiel: Wir lassen eine der Gleichungen unverändert. Zum Beispiel 2y + 2x \u003d 10. Und wir erhalten die zweite durch Addieren.

Jetzt haben wir ein Gleichungssystem:

Wir finden leicht aus der zweiten Gleichung y = 1 und dann aus der ersten Gleichung x = 4.

Designbeispiel:

Fassen wir zusammen:

Wir haben gelernt, Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten mit der Methode der algebraischen Addition zu lösen. Daher kennen wir jetzt drei Hauptmethoden zur Lösung solcher Systeme: die grafische Methode, die Methode der Variablenänderung und die Additionsmethode. Nahezu jedes System kann mit diesen Methoden gelöst werden. In komplexeren Fällen wird eine Kombination dieser Techniken verwendet.

Liste der verwendeten Literatur:

1. Mordkovich A.G., Algebra Klasse 7 in 2 Teilen, Teil 1, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / A.G. Mordkowitsch. - 10. Auflage, überarbeitet - Moskau, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra Klasse 7 in 2 Teilen, Teil 2, Aufgabenheft für Bildungseinrichtungen / [A.G. Mordkovich und andere]; bearbeitet von A.G. Mordkovich - 10. Auflage, überarbeitet - Moskau, Mnemosyne, 2007.
3. SIE. Tulchinskaya, Algebra Klasse 7. Blitzumfrage: ein Leitfaden für Studenten von Bildungseinrichtungen, 4. Auflage, überarbeitet und ergänzt, Moskau, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra Klasse 7. Thematisch Überprüfungsarbeit in neue Form für Studenten von Bildungseinrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich, Moskau, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra Klasse 7. Unabhängige Arbeit für Studenten von Bildungseinrichtungen, herausgegeben von A.G. Mordkovich - 6. Auflage, stereotyp, Moskau, "Mnemosyne", 2010.

Mit Hilfe dieser mathematisches Programm Sie können ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen mit der Substitutionsmethode und der Additionsmethode lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern liefert auch eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen zu den Lösungsschritten auf zwei Arten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

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Regeln für die Eingabe von Gleichungen

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.

Bei der Eingabe von Gleichungen Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall werden die Gleichungen zunächst vereinfacht. Die Gleichungen nach Vereinfachungen müssen linear sein, d.h. der Form ax+by+c=0 mit der Genauigkeit der Reihenfolge der Elemente.
Zum Beispiel: 6x+1 = 5(x+y)+2

In Gleichungen können Sie nicht nur ganze Zahlen verwenden, sondern auch Bruchzahlen in Form von Dezimal- und gewöhnlichen Brüchen.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Die ganzen und gebrochenen Teile in Dezimalbrüchen können entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Zum Beispiel: 2,1n + 3,5m = 55

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
ganzer Teil durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &

Beispiele.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3.5p - 2&1/8q)

Lösen Sie ein Gleichungssystem

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Ein bisschen Theorie.

Lineare Gleichungssysteme lösen. Substitutionsmethode

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Substitutionsmethode:
1) eine Variable aus irgendeiner Gleichung des Systems durch eine andere ausdrücken;
2) ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck in einer anderen Gleichung des Systems anstelle dieser Variablen;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Lassen Sie uns von der ersten Gleichung y bis x ausdrücken: y = 7-3x. Setzen wir den Ausdruck 7-3x anstelle von y in die zweite Gleichung ein, erhalten wir das System:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es ist leicht zu zeigen, dass das erste und das zweite System die gleichen Lösungen haben. Im zweiten System enthält die zweite Gleichung nur eine Variable. Lösen wir diese Gleichung:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Setzen wir die Zahl 1 anstelle von x in die Gleichung y=7-3x ein, finden wir den entsprechenden Wert von y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Paar (1;4) - Lösung des Systems

Gleichungssysteme in zwei Variablen, die die gleichen Lösungen haben, werden aufgerufen gleichwertig. Systeme, die keine Lösungen haben, werden ebenfalls als äquivalent betrachtet.

Lineare Gleichungssysteme durch Addition lösen

Betrachten Sie einen anderen Weg, um Systeme linearer Gleichungen zu lösen - die Additionsmethode. Bei der Lösung von Systemen auf diese Weise sowie bei der Lösung nach der Substitutionsmethode gehen wir von einem gegebenen System zu einem anderen äquivalenten System über, in dem eine der Gleichungen nur eine Variable enthält.

Die Abfolge der Aktionen beim Lösen eines linearen Gleichungssystems nach der Additionsmethode:
1) Multiplizieren Sie die Gleichungen des Systems Term für Term, indem Sie die Faktoren so wählen, dass die Koeffizienten für eine der Variablen entgegengesetzte Zahlen werden;
2) Addiere Term für Term den linken und rechten Teil der Gleichungen des Systems;
3) löse die resultierende Gleichung mit einer Variablen;
4) Finden Sie den entsprechenden Wert der zweiten Variablen.

Beispiel. Lösen wir das Gleichungssystem:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

In den Gleichungen dieses Systems sind die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen. Wenn wir den linken und den rechten Teil der Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 3x=33. Ersetzen wir eine der Gleichungen des Systems, zum Beispiel die erste, durch die Gleichung 3x=33. Holen wir uns das System
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Aus der Gleichung 3x=33 finden wir x=11. Setzen wir diesen x-Wert in die Gleichung \(x-3y=38 \) ein, erhalten wir eine Gleichung mit der Variablen y: \(11-3y=38 \). Lösen wir diese Gleichung:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Somit haben wir die Lösung des Gleichungssystems gefunden, indem wir hinzugefügt haben: \(x=11; y=-9 \) oder \((11; -9) \)

Unter Ausnutzung der Tatsache, dass in den Gleichungen des Systems die Koeffizienten von y entgegengesetzte Zahlen sind, reduzierten wir seine Lösung auf die Lösung eines äquivalenten Systems (durch Summieren beider Teile jeder der Gleichungen des ursprünglichen Symmeme), in dem eins der Gleichungen enthält nur eine Variable.

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Bei der Additionsmethode werden die Gleichungen des Systems Term für Term addiert, wobei 1 oder beide (mehrere) Gleichungen mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden können. Als Ergebnis kommen sie zu einem äquivalenten SLE, bei dem eine der Gleichungen nur eine Variable hat.

Um das System zu lösen Termweise Addition (Subtraktion) folgen Sie den nächsten Schritten:

1. Wir wählen eine Variable aus, für die dieselben Koeffizienten erstellt werden.

2. Jetzt müssen Sie die Gleichungen addieren oder subtrahieren und erhalten eine Gleichung mit einer Variablen.

Systemlösung sind die Schnittpunkte der Graphen der Funktion.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel 1

Gegebenes System:

Nachdem Sie dieses System analysiert haben, können Sie sehen, dass die Koeffizienten der Variablen im Absolutwert gleich und im Vorzeichen unterschiedlich sind (-1 und 1). In diesem Fall können die Gleichungen einfach Term für Term hinzugefügt werden:

Die rot eingekreisten Handlungen werden im Kopf ausgeführt.

Das Ergebnis der termweisen Addition war das Verschwinden der Variablen j. Es ist in diesem und Dies ist in der Tat die Bedeutung der Methode - die erste der Variablen loszuwerden.

-4 - j + 5 = 0 → j = 1,

Als System sieht die Lösung so aus:

Antworten: x = -4 , j = 1.

Beispiel 2

Gegebenes System:

In diesem Beispiel können Sie die "Schul"-Methode verwenden, aber sie hat ein ziemlich großes Minus - wenn Sie eine beliebige Variable aus einer beliebigen Gleichung ausdrücken, erhalten Sie eine Lösung in gewöhnlichen Brüchen. Und das Lösen von Brüchen nimmt genügend Zeit in Anspruch und die Wahrscheinlichkeit, Fehler zu machen, steigt.

Daher ist es besser, die Term-für-Term-Addition (Subtraktion) von Gleichungen zu verwenden. Analysieren wir die Koeffizienten der entsprechenden Variablen:

Finden Sie eine Zahl, durch die geteilt werden kann 3 und weiter 4 , wobei es notwendig ist, dass diese Zahl so klein wie möglich ist. Das kleinstes gemeinsames Vielfaches. Wenn es Ihnen schwer fällt, die richtige Zahl zu finden, können Sie die Koeffizienten multiplizieren:.

Der nächste Schritt:

Multipliziere die 1. Gleichung mit ,

Multipliziere die 3. Gleichung mit ,