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D C Konstruieren eines Dreiecks aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen. hk h 1. Konstruieren wir Strahl a. 2. Legen Sie ein Segment AB gleich P 1 Q beiseite. Konstruieren Sie einen Winkel gleich diesem. 4. Lassen Sie uns das Segment AC gleich P 2 Q 2 beiseite legen. VA Δ ABC ist das gewünschte. Gegeben: Segmente P 1 Q 1 und P 2 Q 2, Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k Dokument: Durch Konstruktion AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2, A= hk. Bauen. Konstruktion.

Für beliebige gegebene Segmente AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 und ein gegebenes unentwickeltes hk kann das erforderliche Dreieck konstruiert werden. Da die Gerade a und der Punkt A darauf beliebig gewählt werden können, gibt es unendlich viele Dreiecke, die die Bedingungen des Problems erfüllen. Alle diese Dreiecke sind einander gleich (gemäß dem ersten Gleichheitszeichen der Dreiecke), daher ist es üblich, das zu sagen diese Aufgabe hat eine einzigartige Lösung.

D C Konstruieren eines Dreiecks aus einer Seite und zwei benachbarten Winkeln. h 1 k 1, h 2 k 2 h2h2 1. Konstruieren wir Strahl a. 2. Legen Sie ein Segment AB gleich P 1 Q beiseite. Konstruieren Sie einen Winkel gleich dem gegebenen h 1 k. Konstruieren Sie einen Winkel gleich h 2 k 2. In A ist Δ ABC der gewünschte Winkel. Δ ABC ist das gewünschte. Gegeben: Segment P 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 a k2k2 h1h1 k1k1 N Doc: Durch Konstruktion AB=P 1 Q 1, B= h 1 k 1, A= h 2 k 2. Konstruieren Sie Δ. Konstruktion.

C 1. Konstruieren wir einen Strahl a. 2. Legen Sie ein Segment AB gleich P 1 Q beiseite. Konstruieren Sie einen Bogen mit einem Mittelpunkt im Punkt A und einem Radius P 2 Q. Konstruieren Sie einen Bogen mit einem Mittelpunkt im Punkt B und einem Radius P 3 Q 3. VA Δ ABC ist der gewünschte Wert eins. Gegeben: Segmente P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Konstruktion eines Dreiecks mit drei Seiten. Doc: Nach Konstruktion AB=P 1 Q 1, AC=P 2 Q 2 CA= P 3 Q 3, d.h. die Seiten Δ ABC sind gleich diesen Segmenten. Konstruieren Sie Δ. Konstruktion.

Für ein Problem gibt es nicht immer eine Lösung. In jedem Dreieck ist die Summe zweier beliebiger Seiten größer als die dritte Seite. Wenn also eines der gegebenen Segmente größer oder gleich der Summe der anderen beiden ist, ist es unmöglich, ein Dreieck zu konstruieren, dessen Seiten dies wären gleich diesen Segmenten.

Ihre Essenz besteht darin, jedes geometrische Objekt auf der Grundlage ausreichender Anfangsbedingungen zu konstruieren und dabei nur einen Zirkel und ein Lineal zur Hand zu haben. Lassen Sie uns überlegen allgemeines Schema um folgende Aufgaben auszuführen:

Aufgabenanalyse.

In diesem Teil geht es darum, eine Verbindung zwischen den zu konstruierenden Elementen und den Anfangsbedingungen des Problems herzustellen. Nachdem wir diesen Punkt abgeschlossen haben, sollten wir einen Plan zur Lösung unseres Problems haben.

Konstruktion.

Hier führen wir den Bau nach dem oben erstellten Plan durch.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur tatsächlich die Anfangsbedingungen des Problems erfüllt.

Studie.

Hier erfahren wir, unter welchen Daten das Problem eine Lösung hat, unter welchen es mehrere gibt und unter welchen keine.

Als nächstes betrachten wir Probleme bei der Konstruktion von Dreiecken aus verschiedenen drei Elementen. Elementare Konstruktionen wie Segment, Winkel usw. werden hier nicht berücksichtigt. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie bereits über diese Fähigkeiten verfügen.

Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ sowie der Winkel $α$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ mit einem Winkel $C$ konstruieren, der gleich $α$ ist.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Nehmen wir $AB$ als eine der Seiten des Winkels und legen davon den Winkel $BAM$ beiseite, der dem Winkel $α$ entspricht.
2. Auf der Geraden $AM$ zeichnen wir die Strecke $AC$ ein.
3. Verbinden wir die Punkte $B$ und $C$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Studie.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt. Das bedeutet, dass das Problem keine Lösungen hat, wenn der Winkel α größer oder gleich $180^\circ$ ist.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da die Gerade $a$ eine beliebige Gerade ist, wird es unendlich viele solcher Dreiecke geben. Da sie aber nach dem ersten Vorzeichen alle gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Ein Dreieck aus drei Seiten konstruieren

Beispiel 2

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir drei Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ und $BC$. Wir müssen das Dreieck $ABC$ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $AB$.
2. Konstruieren wir $2$-Kreise: den ersten mit Mittelpunkt $A$ und Radius $AC$ und den zweiten mit Mittelpunkt $B$ und Radius $BC$.
3. Verbinden wir einen der Schnittpunkte der Kreise (der Punkt $C$ sein wird) mit den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist klar, dass alles Anfangsbedingungen vollendet.

Studie.

Aus der Dreiecksungleichung wissen wir, dass jede Seite kleiner sein muss als die Summe der beiden anderen. Wenn eine solche Ungleichung für die ursprünglichen drei Segmente nicht erfüllt ist, gibt es folglich keine Lösung für das Problem.

Da die Kreise aus der Konstruktion zwei Schnittpunkte haben, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem dritten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Konstruieren eines Dreiecks aus einer Seite und zwei benachbarten Winkeln

Beispiel 3

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn uns eine Seite und die angrenzenden Winkel $α$ und $β$ gegeben sind.

Analyse.

Gegeben seien ein Segment $BC$ und die Winkel $α$ und $β$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ konstruieren, wobei $∠B=α$ und $∠C=β$.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $BC$.
2. Konstruieren wir einen Winkel $∠ K=α$ am Scheitelpunkt $B$ zur Seite $BC$.
3. Konstruieren wir einen Winkel $∠ M=β$ am Scheitelpunkt $C$ zur Seite $BC$.
4. Verbinden wir den Schnittpunkt (dies wird Punkt $A$ sein) der Strahlen $∠ K$ und $∠ M$ mit den Punkten $C$ und $B$,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion geht hervor, dass alle Ausgangsbedingungen erfüllt sind.

Studie.

Da die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich $180^\circ$ ist, hat das Problem keine Lösungen, wenn $α+β≥180^\circ$.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da wir Winkel von beiden Seiten konstruieren können, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem zweiten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Betrachten Sie abschließend ein Problem, dessen Lösung zur Konstruktion eines Dreiecks aus einer Seite und zwei Winkeln führt:

Auf der anderen Flussseite (Abb. 72) ist ein Meilenstein sichtbar A. Es ist erforderlich, ohne den Fluss zu überqueren, vom Meilenstein aus die Entfernung zum Fluss herauszufinden IN an diesem Ufer.

Lass uns das machen. Lassen Sie uns vom Punkt aus messen IN jede beliebige Entfernung in einer geraden Linie Sonne und am Ende davon IN Und MIT Lassen Sie uns die Winkel 1 und 2 messen (Abb. 73). Wenn wir nun die Entfernung auf einer geeigneten Fläche messen DE, gleich Sonne und an den Enden Winkel bilden A Und B(Abb. 74), gleich den Winkeln 1 und 2, dann erhalten wir am Schnittpunkt ihrer Seiten den dritten Scheitelpunkt F Dreieck DEF. Es ist leicht zu überprüfen, ob es sich um ein Dreieck handelt DEF gleich einem Dreieck ABC; in der Tat, wenn wir uns das Dreieck vorstellen DEFüberlagert ABC also diese Seite DE fiel mit seiner gleichen Seite zusammen Sonne, dann ug. A wird mit Winkel 1, Winkel, zusammenfallen B - mit Winkel 2 und Seite DF werde zur Seite gehen VA, und die Seite E.F. auf der Seite SA. Da sich zwei Geraden nur in einem Punkt schneiden können, dann im Scheitelpunkt F sollte mit der Oberseite übereinstimmen A. Also die Entfernung DF gleich dem erforderlichen Abstand VA.

Wie wir sehen, gibt es für das Problem nur eine Lösung. Im Allgemeinen kann aus einer Seite und zwei an diese Seite angrenzenden Winkeln nur ein Dreieck konstruiert werden; Es können keine anderen Dreiecke mit der gleichen Seite und den gleichen zwei Winkeln an den gleichen Stellen daneben liegen. Alle Dreiecke, die eine gleiche Seite und zwei daran angrenzende gleiche Winkel an den gleichen Stellen haben, können durch Überlagerung vollständig zur Deckung gebracht werden. Dies bedeutet, dass dies ein Zeichen ist, anhand dessen man die vollständige Gleichheit von Dreiecken feststellen kann.

Zusammen mit den bisher etablierten Gleichheitszeichen von Dreiecken kennen wir nun die folgenden drei:

Dreiecke:

auf drei Seiten;

an den beiden Seiten und an der Ecke dazwischen;

auf der Seite und zwei Seiten.

Der Kürze halber werden wir diese drei Fälle der Dreiecksgleichheit weiter wie folgt bezeichnen:

auf drei Seiten: SSS;

auf zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen: SUS;

entlang der Seite und zwei Ecken: USU.

Anwendungen

14. Um die Entfernung zu einem Punkt herauszufinden A auf der anderen Seite des Flusses vom Punkt aus IN Messen Sie an diesem Ufer (Abb. 5) eine gerade Linie Sonne, dann am Punkt IN Konstruieren Sie einen Winkel gleich ABC, auf der anderen Seite Sonne, und zwar auf den Punkt MIT- ebenso ein Winkel gleich DIA Punktabstand D Schnittpunkt der Seiten beider Seiten der Winkel zum Punkt IN gleich dem erforderlichen Abstand AB. Warum?

Lösung: Dreiecke ABC Und BDC auf einer Seite gleich ( Sonne) und zwei Winkel (ang. DCB= ug. DIA; ug. DBC= ug. ABC.) Somit, AB= ÂD, wie die Seiten, die darin liegen gleiche Dreiecke gegen gleiche Winkel.

Ihre Essenz besteht darin, jedes geometrische Objekt auf der Grundlage ausreichender Anfangsbedingungen zu konstruieren und dabei nur einen Zirkel und ein Lineal zur Hand zu haben. Betrachten wir ein allgemeines Schema zur Ausführung solcher Aufgaben:

Aufgabenanalyse.

In diesem Teil geht es darum, eine Verbindung zwischen den zu konstruierenden Elementen und den Anfangsbedingungen des Problems herzustellen. Nachdem wir diesen Punkt abgeschlossen haben, sollten wir einen Plan zur Lösung unseres Problems haben.

Konstruktion.

Hier führen wir den Bau nach dem oben erstellten Plan durch.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur tatsächlich die Anfangsbedingungen des Problems erfüllt.

Studie.

Hier erfahren wir, unter welchen Daten das Problem eine Lösung hat, unter welchen es mehrere gibt und unter welchen keine.

Als nächstes betrachten wir Probleme bei der Konstruktion von Dreiecken aus verschiedenen drei Elementen. Elementare Konstruktionen wie Segment, Winkel usw. werden hier nicht berücksichtigt. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie bereits über diese Fähigkeiten verfügen.

Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ sowie der Winkel $α$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ mit einem Winkel $C$ konstruieren, der gleich $α$ ist.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Nehmen wir $AB$ als eine der Seiten des Winkels und legen davon den Winkel $BAM$ beiseite, der dem Winkel $α$ entspricht.
2. Auf der Geraden $AM$ zeichnen wir die Strecke $AC$ ein.
3. Verbinden wir die Punkte $B$ und $C$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Studie.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $180^\circ$ beträgt. Das bedeutet, dass das Problem keine Lösungen hat, wenn der Winkel α größer oder gleich $180^\circ$ ist.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da die Gerade $a$ eine beliebige Gerade ist, wird es unendlich viele solcher Dreiecke geben. Da sie aber nach dem ersten Vorzeichen alle gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Ein Dreieck aus drei Seiten konstruieren

Beispiel 2

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir drei Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $AB$ und $AC$ und $BC$. Wir müssen das Dreieck $ABC$ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $AB$.
2. Konstruieren wir $2$-Kreise: den ersten mit Mittelpunkt $A$ und Radius $AC$ und den zweiten mit Mittelpunkt $B$ und Radius $BC$.
3. Verbinden wir einen der Schnittpunkte der Kreise (der Punkt $C$ sein wird) mit den Punkten $A$ und $B$.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion geht hervor, dass alle Ausgangsbedingungen erfüllt sind.

Studie.

Aus der Dreiecksungleichung wissen wir, dass jede Seite kleiner sein muss als die Summe der beiden anderen. Wenn eine solche Ungleichung für die ursprünglichen drei Segmente nicht erfüllt ist, gibt es folglich keine Lösung für das Problem.

Da die Kreise aus der Konstruktion zwei Schnittpunkte haben, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem dritten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Konstruieren eines Dreiecks aus einer Seite und zwei benachbarten Winkeln

Beispiel 3

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn uns eine Seite und die angrenzenden Winkel $α$ und $β$ gegeben sind.

Analyse.

Gegeben seien ein Segment $BC$ und die Winkel $α$ und $β$. Wir müssen ein Dreieck $ABC$ konstruieren, wobei $∠B=α$ und $∠C=β$.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

1. Zeichnen wir eine gerade Linie $a$ und konstruieren darauf eine Strecke $BC$.
2. Konstruieren wir einen Winkel $∠ K=α$ am Scheitelpunkt $B$ zur Seite $BC$.
3. Konstruieren wir einen Winkel $∠ M=β$ am Scheitelpunkt $C$ zur Seite $BC$.
4. Verbinden wir den Schnittpunkt (dies wird Punkt $A$ sein) der Strahlen $∠ K$ und $∠ M$ mit den Punkten $C$ und $B$,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung gemäß dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion geht hervor, dass alle Ausgangsbedingungen erfüllt sind.

Studie.

Da die Summe der Winkel eines Dreiecks gleich $180^\circ$ ist, hat das Problem keine Lösungen, wenn $α+β≥180^\circ$.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da wir Winkel von beiden Seiten konstruieren können, können wir zwei solcher Dreiecke konstruieren. Da sie jedoch nach dem zweiten Kriterium gleich sind, gehen wir davon aus, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Die drei Sätze über die Gleichheit von Dreiecken, die in Absatz 188 bewiesen wurden, zeigen, dass ein Dreieck vollständig definiert ist, wenn seine drei Seiten, zwei Seiten und der zwischen ihnen eingeschlossene Winkel, eine Seite und zwei an sie angrenzende Winkel (oder sogar zwei Winkel jeglicher Art) sind gegeben.

Die Existenz eines Dreiecks, bestimmt durch die Angabe bestimmter spezifischer Werte der Seiten oder Winkel, zeigt sich bei der Lösung des Problems der Konstruktion eines Dreiecks aus diesen Elementen: Die Einzigartigkeit der Lösung des Konstruktionsproblems beweist einmal mehr die Zeichen der Gleichheit aus Absatz 188. Entsprechend den drei Gleichheitszeichen ergeben sich beim Aufbau von Dreiecken drei Hauptprobleme.

Problem 1. Gegeben sind drei Segmente a, b, c. Konstruieren Sie ein Dreieck mit diesen Segmenten als Seiten.

Lösung. Sei c das größte der drei Segmente: Damit das Problem gelöst werden kann, muss die Bedingung erfüllt sein. Wir gehen davon aus, dass diese Bedingung erfüllt ist. Auf einer beliebigen Geraden (Abb. 226) zeichnen wir das Segment an einer beliebigen Stelle ein. Nehmen wir seine Enden als die beiden Eckpunkte des gewünschten Dreiecks. Der dritte Scheitelpunkt muss in einem Abstand b von Punkt A (oder von Punkt B) und in einem Abstand a von B (oder A) liegen. Um den fehlenden Scheitelpunkt zu konstruieren, zeichnen Sie einen Kreis mit Radius b und Mittelpunkt A und einen Kreis mit Radius a und Mittelpunkt B.

Diese beiden Kreise schneiden sich, da gemäß der Bedingung der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten kleiner als die Summe der Radien und größer als ihre Differenz ist, da c das größte Segment unter den Daten ist. Wir erhalten zwei Schnittpunkte C und C, also zwei mögliche Positionen des Scheitelpunkts C; Die entsprechenden beiden Dreiecke sind jedoch gleich, da sie relativ zu AB symmetrisch liegen. In Abb. 226 zeigt auch, wie man durch Vertauschen der Kreisradien zwei weitere Positionen des dritten Scheitelpunkts erhält.

Aufgabe 2. Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen.

Aufgabe 3. Konstruieren Sie ein Dreieck aus einer Seite und benachbarten Winkeln, deren Summe kleiner als ist.

Bei der Analyse der Gleichheitszeichen von Dreiecken fallen zwei Umstände auf:

1) Es gibt keine Zeichen, bei denen die Gleichheit der Dreiecke nur durch die Gleichheit der drei Winkel gewährleistet wäre. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln nicht unbedingt gleich sind (ähnliche Dreiecke, siehe Kapitel XVI für weitere Einzelheiten).

2) Das Zeichen der Gleichheit von Dreiecken auf zwei Seiten erfordert die Gleichheit nicht beliebiger Winkel, sondern sicherlich der zwischen gleichen Seiten geschlossenen Winkel. Um den Grund dafür herauszufinden, stellen wir das folgende Problem.

Aufgabe 4. Konstruieren Sie ein Dreieck aus zwei Seiten und einem gegenüberliegenden Winkel.

Lösung. Gegeben seien beispielsweise die Seiten a und b sowie ein gegenüber a liegender Winkel a (Abb. 227). Um ein Dreieck zu konstruieren, zeichnen wir Segment b auf einer beliebigen geraden Linie AC und zeichnen von einem ihrer Eckpunkte, zum Beispiel A, einen Strahl AM in einem Winkel a zum Segment AC. Die unbekannte dritte Seite des Dreiecks muss auf diesem Strahl liegen; sein Ende ist der fehlende Scheitelpunkt des Dreiecks. Es ist jedoch bekannt, dass dieser dritte Scheitelpunkt im Abstand a von C liegt und sich daher auf einem Kreis mit Mittelpunkt C und Radius a befindet. Zeichnen wir einen solchen Kreis. Die Schnittpunkte seines Schnittpunkts mit dem Strahl AM geben die möglichen Positionen des dritten Scheitelpunkts an. Da ein Kreis und ein Strahl möglicherweise keine gemeinsamen Punkte oder nur einen oder zwei gemeinsame Punkte haben, kann es sein, dass das Problem keine oder nur eine oder zwei Lösungen hat.

In Abb. 227 stellt den Fall dar, dass der Winkel a spitz ist und es vier Optionen für die Seite gibt, für die das Problem dementsprechend keine Lösungen hat, eine Lösung, zwei Lösungen und wiederum eine Lösung hat. Beide Lösungen gezeigt für Vollständige Analyse Dieses Problem wird in Absatz 223 im Zusammenhang mit Problemen beim Lösen von Dreiecken behandelt.

Sie können verschiedene andere Aufgaben stellen, um Dreiecke anhand bestimmter Daten zu konstruieren. Um ein Dreieck konstruieren zu können, müssen in allen Fällen entweder drei seiner linearen Elemente angegeben werden (d. h. drei Segmente: Seiten, Mittelwerte, Höhen usw.), oder zwei Segmente und ein Winkel oder ein Segment und zwei Ecken .

Aufgabe 5. Gegeben sind zwei Seiten a, c eines Dreiecks und der Median. Konstruiere ein Dreieck.

Lösung. Beginnen wir mit der Lösung des Problems mit der Analyse. Dies ist der Name der Lösungsphase, in der wir bedingt davon ausgehen, dass das Problem bereits gelöst wurde, und seine Merkmale herausfinden, die uns tatsächlich bei der Lösung helfen. Nehmen wir also an, dass das Dreieck ABC (Abb. 228, a) das gewünschte ist. Dann drin

Beachten Sie, dass das Segment VM per Definition des Medians die Hälfte von c beträgt, d. h. es kann als bekannt angesehen werden. Aber jetzt sind alle drei Seiten des IUP-Dreiecks bekannt! Hier liegt der Schlüssel zur Lösung des Problems, der Rest ist einfach. Wir konstruieren (Abb. 228, b) ein Dreieck BMC entlang dreier Seiten und verlängern dann die Seite VM um einen Abstand gleich , wodurch wir den dritten Scheitelpunkt A des Dreiecks erhalten. Die Richtigkeit der durchgeführten Konstruktion ist klar.

Voraussetzung für die Lösbarkeit des Problems ist, dass es möglich ist, aus der Seite a, dem Median und der Hälfte der anderen Seite ein „partielles“ Dreieck zu konstruieren.