Ein Dreieck ist ein Polygon mit drei Seiten oder eine geschlossene unterbrochene Linie mit drei Gliedern oder eine Figur, die aus drei Segmenten besteht, die drei Punkte verbinden, die nicht auf einer geraden Linie liegen (siehe Abb. 1).

Grundelemente des Dreiecks abc

Spitzen – Punkte A, B und C;

Parteien – Segmente a = BC, b = AC und c = AB, die die Eckpunkte verbinden;

Ecken – α , β, γ gebildet durch drei Seitenpaare. Ecken werden oft wie Scheitelpunkte mit den Buchstaben A, B und C bezeichnet.

Der von den Seiten des Dreiecks gebildete und in seinem Inneren liegende Winkel wird Innenwinkel genannt, und der daran angrenzende Winkel ist der angrenzende Winkel des Dreiecks (2, S. 534).

Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittellinien eines Dreiecks

Neben den Hauptelementen im Dreieck werden auch andere Segmente betrachtet, die interessante Eigenschaften haben: Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende und Mittellinien.

Höhe

Höhen eines Dreiecks sind die Senkrechten, die von den Eckpunkten des Dreiecks zu gegenüberliegenden Seiten fallen gelassen werden.

Um die Höhe aufzubauen, gehen Sie wie folgt vor:

1) Zeichnen Sie eine gerade Linie, die eine der Seiten des Dreiecks enthält (wenn die Höhe von der Spitze eines spitzen Winkels in einem stumpfen Dreieck gezogen wird);

2) Zeichnen Sie von einem der gezeichneten Linie gegenüberliegenden Scheitelpunkt ein Segment von einem Punkt zu dieser Linie und bilden Sie damit einen Winkel von 90 Grad.

Der Schnittpunkt der Höhe mit der Seite des Dreiecks wird genannt Höhe Basis (siehe Abb. 2).

Höheneigenschaften von Dreiecken

In einem rechtwinkligen Dreieck die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe rechter Winkel, teilt es in zwei Dreiecke auf, die dem ursprünglichen Dreieck ähnlich sind.

In einem spitzen Dreieck schneiden seine beiden Höhen ähnliche Dreiecke davon ab.

Wenn das Dreieck spitzwinklig ist, dann gehören alle Basen der Höhen zu den Seiten des Dreiecks, und bei einem stumpfen Dreieck fallen zwei Höhen auf die Verlängerung der Seiten.

Drei Höhen in einem spitzwinkligen Dreieck schneiden sich in einem Punkt und dieser Punkt wird genannt Orthozentrum Dreieck.

Median

Mediane(von der lateinischen Mediana - "Mitte") - dies sind Segmente, die die Eckpunkte des Dreiecks mit den Mittelpunkten der gegenüberliegenden Seiten verbinden (siehe Abb. 3).

Gehen Sie wie folgt vor, um einen Median zu erstellen:

1) Finden Sie die Mitte der Seite;

2) Verbinden Sie den Punkt, der die Mitte der Seite des Dreiecks ist, mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt mit einem Segment.

Eigenschaften des Dreiecksmedians

Der Median teilt das Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der sie jeweils im Verhältnis 2:1 teilt, von oben gezählt. Dieser Punkt wird aufgerufen Schwerpunkt Dreieck.

Das gesamte Dreieck wird durch seine Seitenhalbierenden in sechs gleiche Dreiecke geteilt.

Bisektor

Winkelhalbierende(von lat. bis - zweimal "und seko - ich schneide) nennen Sie die Segmente von geraden Linien, die im Dreieck eingeschlossen sind und seine Ecken halbieren (siehe Abb. 4).

Um eine Winkelhalbierende zu konstruieren, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

1) konstruiere einen Strahl, der aus dem Scheitelpunkt des Winkels austritt und ihn in zwei gleiche Teile teilt (Winkelhalbierende);

2) Finden Sie den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks mit der gegenüberliegenden Seite;

3) Wählen Sie ein Segment aus, das die Spitze des Dreiecks mit dem Schnittpunkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Eigenschaften der Dreieckshalbierenden

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in einem Verhältnis, das dem Verhältnis der beiden benachbarten Seiten entspricht.

Die Winkelhalbierenden der Innenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt wird Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises genannt.

Die Winkelhalbierenden der inneren und äußeren Ecken sind senkrecht.

Wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels des Dreiecks die Fortsetzung der gegenüberliegenden Seite schneidet, dann ist ADBD=ACBC.

Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt eines der drei Exkreise dieses Dreiecks.

Die Basen der Winkelhalbierenden von zwei Innen- und einem Außenwinkel eines Dreiecks liegen auf einer Linie, wenn die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks ist.

Wenn die Winkelhalbierenden der Außenwinkel eines Dreiecks nicht parallel zu gegenüberliegenden Seiten sind, dann liegen ihre Grundseiten auf derselben Linie.

1. Der Median teilt das Dreieck in zwei Dreiecke gleicher Fläche.

2. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der sie im Verhältnis 2:1 teilt, von oben gezählt. Dieser Punkt wird aufgerufen Schwerpunkt Dreieck.

3. Das ganze Dreieck wird durch seine Seitenhalbierenden in sechs gleiche Dreiecke geteilt.

Eigenschaften der Dreieckshalbierenden

1. Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den Seiten dieses Winkels gleich weit entfernt sind.

2. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten: .

3. Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden eines Dreiecks ist der Mittelpunkt eines in dieses Dreieck einbeschriebenen Kreises.

Höheneigenschaften von Dreiecken

1. In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die Höhe, die von der Spitze des rechten Winkels gezogen wird, es in zwei Dreiecke, die dem ursprünglichen ähnlich sind.

2. In einem spitzen Dreieck schneiden zwei seiner Höhen ähnlich ab Dreiecke.

Eigenschaften der Mittelsenkrechten eines Dreiecks

1. Jeder Punkt der Mittelsenkrechten zu einem Segment ist gleich weit von den Enden dieses Segments entfernt. Die umgekehrte Aussage gilt auch: Jeder Punkt, der von den Enden der Strecke gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten dazu.

2. Der Schnittpunkt der zu den Seiten des Dreiecks gezogenen Mittelsenkrechten ist der Mittelpunkt des um dieses Dreieck umschriebenen Kreises.

Eigenschaft der Mittellinie eines Dreiecks

Die Mittellinie eines Dreiecks ist parallel zu einer seiner Seiten und gleich der Hälfte dieser Seite.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Zwei Dreiecke sind ähnlich wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist, aufgerufen Zeichen der Ähnlichkeit:

zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich zwei Winkeln eines anderen Dreiecks;

zwei Seiten eines Dreiecks sind proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks, und die von diesen Seiten gebildeten Winkel sind gleich;

Die drei Seiten des einen Dreiecks sind jeweils proportional zu den drei Seiten des anderen Dreiecks.

In ähnlichen Dreiecken sind die entsprechenden Linien (Höhen, Seitenhalbierende, Winkelhalbierende usw.) proportional.

Sinussatz

Kosinussatz

eine 2= b 2+ c 2- 2v. Chr cos

Dreiecksflächenformeln

1. Beliebiges Dreieck

a, b, c - Seiten; - Winkel zwischen den Seiten a und b; - Halbperimeter; R- Radius des umschriebenen Kreises; r- Radius des Inkreises; S- Quadrat; ha- Höhe gezogen Seite a.

S = ah ein

S = ab Sünde

S = Pr

2. Rechtwinkliges Dreieck

a, b- Beine; c- Hypotenuse; hc - Höhe zur Seite c.

S = chc S = ab

3. Gleichseitiges Dreieck

Vierecke

Parallelogrammeigenschaften

Gegenüberliegende Seiten sind gleich

Gegenüberliegende Winkel sind gleich

die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert;

die Summe der an eine Seite angrenzenden Winkel beträgt 180°;

Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate aller Seiten:

d 1 2 + d 2 2 = 2(a 2 + b 2).

Ein Viereck ist ein Parallelogramm, wenn:

1. Seine beiden gegenüberliegenden Seiten sind gleich und parallel.

2. Gegenüberliegende Seiten sind paarweise gleich.

3. Gegenüberliegende Winkel sind paarweise gleich.

4. Die Diagonalen des Schnittpunkts werden halbiert.

Trapezeigenschaften

Seine Mittellinie ist parallel zu den Basen und gleich ihrer Halbsumme;

wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann sind seine Diagonalen gleich und die Winkel an der Basis sind gleich;

wenn das Trapez gleichschenklig ist, dann kann ein Kreis um es herum umschrieben werden;

Wenn die Summe der Basen gleich der Summe der Seiten ist, kann ein Kreis darin eingeschrieben werden.

Rechteckeigenschaften

Die Diagonalen sind gleich.

Ein Parallelogramm ist ein Rechteck, wenn:

1. Eine seiner Ecken ist richtig.

2. Seine Diagonalen sind gleich.

Rhombus-Eigenschaften

alle Eigenschaften eines Parallelogramms;

Diagonalen sind senkrecht

die Diagonalen sind die Winkelhalbierenden seiner Winkel.

1. Ein Parallelogramm ist eine Raute, wenn:

2. Seine beiden benachbarten Seiten sind gleich.

3. Seine Diagonalen sind senkrecht.

4. Eine der Diagonalen ist die Winkelhalbierende.

Quadratische Eigenschaften

Alle Ecken des Quadrats sind richtig

Die Diagonalen des Quadrats sind gleich, senkrecht zueinander, der Schnittpunkt wird halbiert und die Ecken des Quadrats werden halbiert.

Ein Rechteck ist ein Quadrat, wenn es einige Merkmale einer Raute hat.

Grundlegende Formeln

1. Beliebiges konvexes Viereck
d1,d2- Diagonalen; - der Winkel zwischen ihnen; S- Quadrat.

S=d 1 d 2 Sünde

Erste Ebene

Median. visuelle Führung (2019)

1. Was ist der Median?

Es ist sehr einfach!

Nimm das Dreieck

Markieren Sie die Mitte auf einer seiner Seiten.

Und verbinden Sie sich mit der gegenüberliegenden Spitze!

Die resultierende Linie und ist der Median.

2. Eigenschaften des Medians.

Was gute Eigenschaften hat der Median?

1) Stellen wir uns vor, dass das Dreieck - rechteckig. Die gibt es, oder?

Warum??? Was ist mit dem rechten Winkel?

Schauen wir genau hin. Nur nicht auf einem Dreieck, sondern auf ... einem Rechteck. Warum fragst du?

Aber du gehst auf der Erde – siehst du, dass sie rund ist? Nein, dafür müssen Sie natürlich aus dem Weltraum auf die Erde schauen. Wir betrachten also unser rechtwinkliges Dreieck „aus dem All“.

Zeichnen wir eine Diagonale:

Erinnern Sie sich, dass die Diagonalen eines Rechtecks gleich und Teilen Schnittpunkt entzwei? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)

Die Hälfte der zweiten Diagonale gehört also uns Median. Die Diagonalen sind gleich, ihre Hälften natürlich auch. Hier bekommen wir

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um daran zu glauben, denken Sie selbst nach: Gibt es ein anderes Parallelogramm mit? gleiche Diagonalen etwas anderes als ein Rechteck? Nein, natürlich! Nun, das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck gleich der Hälfte der Seite sein kann.

Mal sehen, wie diese Eigenschaft hilft, Probleme zu lösen.

Hier, eine Aufgabe:
An den Seiten; . Von oben gehalten Median. Finde wenn.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir das nicht wüssten Median gleich einer halben Seite

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

2) Und jetzt lasst uns nicht eins haben, sondern ein Ganzes drei Mediane! Wie verhalten sie sich?

Erinnere dich sehr wichtiger Fakt:

Schwierig? Sehen Sie das Bild an:

Die Mediane und schneiden sich in einem Punkt.

Und .... (wir beweisen es in , aber vorerst Denken Sie daran!):

• - doppelt so viel wie;
• - doppelt so viel wie;
• - das doppelte.

Noch nicht müde? Genug Kraft für das nächste Beispiel? Jetzt wenden wir alles an, worüber wir gesprochen haben!

Eine Aufgabe: In einem Dreieck werden Seitenhalbierende und eingezeichnet, die sich in einem Punkt schneiden. Finde wenn

Wir finden nach dem Satz des Pythagoras:

Und jetzt wenden wir das Wissen über den Schnittpunkt von Medianen an.

Markieren wir es. schneiden, a. Wenn nicht alles klar ist - schauen Sie sich das Bild an.

Das haben wir schon gefunden.

Meint, ; .

In der Aufgabe werden wir nach einem Segment gefragt.

in unserer Notation.

Antworten: .

Gefallen? Versuchen Sie nun, das Wissen über den Median selbst anzuwenden!

MEDIAN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

1. Der Median halbiert die Seite.

Und alle? Oder teilt sie vielleicht sogar etwas in zwei Hälften? Stellen Sie sich vor, dass es so ist!

2. Satz: Der Median halbiert die Fläche.

Wieso den? Und erinnern wir uns an die meisten einfache Form Fläche eines Dreiecks.

Und wir wenden diese Formel zweimal an!

Schauen Sie, der Median ist in zwei Dreiecke unterteilt: und. Aber! Sie haben die gleiche Höhe! Erst in dieser Höhe fällt zur Seite, und bei - für die Fortsetzung der Seite. Überraschenderweise passiert es auch so: Die Dreiecke sind unterschiedlich, aber die Höhe ist gleich. Und jetzt wenden wir die Formel zweimal an.

Was würde das bedeuten? Sehen Sie das Bild an. Tatsächlich enthält dieser Satz zwei Aussagen. Hast du es bemerkt?

Erste Aussage: Mediane schneiden sich in einem Punkt.

Zweite Aussage: der Schnittpunkt des Medians wird in Relation geteilt, von oben gezählt.

Versuchen wir, das Geheimnis dieses Theorems zu lüften:

Lassen Sie uns die Punkte verbinden und. Was ist passiert?

Und jetzt ziehen wir noch eine Mittellinie: Mitte markieren - Punkt setzen, Mitte markieren - Punkt setzen.

Jetzt - die mittlere Linie. Also

1. parallel;

Sind Ihnen Zufälle aufgefallen? Sowohl als auch sind parallel. Und und.

Was folgt daraus?

1. parallel;

Natürlich nur ein Parallelogramm!

Also - Parallelogramm. Na und? Und erinnern wir uns an die Eigenschaften eines Parallelogramms. Was wissen Sie zum Beispiel über die Diagonalen eines Parallelogramms? Das ist richtig, sie teilen den Schnittpunkt in zwei Hälften.

Schauen wir uns das Bild noch einmal an.

Das heißt - der Median wird durch Punkte und in drei gleiche Teile geteilt. Und genauso.

Das bedeutet, dass beide Mediane durch einen Punkt getrennt genau in Relation stehen, also und.

Was passiert mit dem dritten Median? Gehen wir zurück zum Anfang. Oh Gott?! Nein, jetzt wird alles viel kürzer. Lassen wir den Median fallen und zeichnen die Mediane und.

Stellen Sie sich nun vor, dass wir genau die gleiche Argumentation wie für die Mediane und durchgeführt haben. Was dann?

Es stellt sich heraus, dass der Median den Median auf genau die gleiche Weise teilt: in Relation, vom Punkt aus gezählt.

Aber wie viele Punkte kann es auf einem Segment geben, die es in Relation teilen, wenn man von einem Punkt aus zählt?

Natürlich nur eine! Und wir haben es bereits gesehen - das ist der Punkt.

Was ist am Ende passiert?

Der Median ist genau durchgelaufen! Alle drei Mediane passierten es. Und alle waren in Relation geteilt, von oben gezählt.

Also haben wir den Satz gelöst (bewiesen). Die Antwort stellte sich als ein Parallelogramm heraus, das in einem Dreieck saß.

4. Die Formel für die Länge des Medians

Wie findet man die Länge des Medians, wenn die Seiten bekannt sind? Sind Sie sicher, dass Sie es brauchen? Lassen Sie uns ein schreckliches Geheimnis lüften: Diese Formel ist nicht sehr nützlich. Aber trotzdem werden wir es schreiben, aber wir werden es nicht beweisen (wenn Sie am Beweis interessiert sind, sehen Sie sich die nächste Ebene an).

Wie würde man verstehen, warum das passiert?

Schauen wir genau hin. Nur nicht auf einem Dreieck, sondern auf einem Rechteck.

Betrachten wir also ein Rechteck.

Ist dir aufgefallen, dass unser Dreieck genau die Hälfte dieses Rechtecks ​​ist?

Lassen Sie uns eine Diagonale zeichnen

Erinnern Sie sich, dass die Diagonalen eines Rechtecks ​​gleich sind und den Schnittpunkt halbieren? (Wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an)
Aber eine der Diagonalen ist unsere Hypotenuse! Der Schnittpunkt der Diagonalen ist also der Mittelpunkt der Hypotenuse. Sie wurde von uns angerufen.

Die Hälfte der zweiten Diagonale ist also unser Median. Die Diagonalen sind gleich, ihre Hälften natürlich auch. Hier bekommen wir

Außerdem passiert dies nur in einem rechtwinkligen Dreieck!

Wir werden diese Aussage nicht beweisen, aber um daran zu glauben, denken Sie selbst nach: Gibt es außer einem Rechteck ein anderes Parallelogramm mit gleichen Diagonalen? Nein, natürlich! Nun, das bedeutet, dass der Median nur in einem rechtwinkligen Dreieck gleich der Hälfte der Seite sein kann. Mal sehen, wie diese Eigenschaft hilft, Probleme zu lösen.

Hier ist die Aufgabe:

An den Seiten; . Der Median wird von oben gezogen. Finde wenn.

Hurra! Sie können den Satz des Pythagoras anwenden! Sehen Sie, wie großartig es ist? Wenn wir nicht wüssten, dass der Median die halbe Seite ist nur in einem rechtwinkligen Dreieck, konnten wir dieses Problem in keiner Weise lösen. Und jetzt können wir!

Wir wenden den Satz des Pythagoras an:

MEDIAN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Der Median halbiert die Seite.

2. Satz: Der Median halbiert die Fläche

4. Die Formel für die Länge des Medians

Umkehrsatz: wenn der Median gleich der Hälfte der Seite ist, dann ist das Dreieck rechtwinklig und dieser Median wird zur Hypotenuse gezogen.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Zum erfolgreiche Lieferung Einheitliches Staatsexamen, für die Zulassung zum Institut über den Haushalt und vor allem auf Lebenszeit.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die erhalten haben eine gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

FÜLLEN SIE IHRE HAND, LÖSEN SIE PROBLEME ZU DIESEM THEMA.

Bei der Prüfung wird dir keine Theorie abverlangt.

Du wirst brauchen Probleme rechtzeitig lösen.

Und wenn Sie sie nicht gelöst haben (VIELE!), werden Sie definitiv irgendwo einen dummen Fehler machen oder es einfach nicht rechtzeitig schaffen.

Es ist wie im Sport – Sie müssen viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

Finden Sie eine Sammlung, wo immer Sie wollen unbedingt mit Lösungen Detaillierte Analyse und entscheide, entscheide, entscheide!

Sie können unsere Aufgaben verwenden (nicht erforderlich) und wir empfehlen sie auf jeden Fall.

Um bei unseren Aufgaben mitzuhelfen, müssen Sie helfen, die Lebensdauer des YouClever-Lehrbuchs, das Sie gerade lesen, zu verlängern.

Wie? Es gibt zwei Möglichkeiten:

1. Entsperren Sie den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in diesem Artikel - 299 reiben.
2. Schalte den Zugriff auf alle versteckten Aufgaben in allen 99 Artikeln des Tutorials frei - 999 Rubel.

Ja, wir haben 99 solcher Artikel im Lehrbuch und Zugriff auf alle Aufgaben und alle versteckten Texte darin können sofort geöffnet werden.

Im zweiten Fall wir werden Dir ... geben Simulator "6000 Aufgaben mit Lösungen und Antworten, zu jedem Thema, für alle Schwierigkeitsgrade." Es ist definitiv genug, um Probleme zu jedem Thema zu lösen.

Tatsächlich ist es viel mehr als nur ein Simulator - ganzes Programm Vorbereitung. Bei Bedarf können Sie es auch KOSTENLOS nutzen.

Der Zugriff auf alle Texte und Programme wird für die gesamte Lebensdauer der Website gewährt.

Abschließend...

Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, suchen Sie sich andere. Bloß nicht bei der Theorie aufhören.

„Verstanden“ und „Ich weiß, wie ich es lösen kann“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.

Probleme finden und lösen!

Notiz. Diese Lektion skizziert Theoretische Materialien und Lösen von Geometrieaufgaben zum Thema "Mittellinie im rechtwinkligen Dreieck". Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. Mit ziemlicher Sicherheit wird der Kurs erweitert.

mittlere Eigenschaften rechtwinkliges Dreieck

Definition des Medians

• Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt und werden durch diesen Punkt im Verhältnis 2:1 in zwei Teile geteilt, von der Spitze des Winkels aus gerechnet. Der Punkt ihres Schnittpunkts wird als Schwerpunkt des Dreiecks bezeichnet (der Begriff "Schwerpunkt" wird in Problemen relativ selten verwendet, um diesen Punkt zu bezeichnen),
• Der Median teilt das Dreieck in zwei gleich große Dreiecke.
• Ein Dreieck wird durch drei Seitenhalbierende in sechs gleich große Dreiecke geteilt.
• Die längere Seite des Dreiecks entspricht dem kleineren Median.

Geometrieprobleme, die zur Lösung vorgeschlagen werden, verwenden hauptsächlich das Folgende Medianeigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks.

• Die Summe der Quadrate der Mediane, die auf die Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks fallen gelassen werden, ist gleich fünf Quadraten des Medians, die auf die Hypotenuse fallen gelassen werden (Formel 1)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich der halben Hypotenuse(Formel 2)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Radius des umschriebenen Kreises gegebenes rechtwinkliges Dreieck (Formel 2)
• Der Median fiel auf die Hypotenuse gleich der halben Quadratwurzel der Summe der Quadrate der Beine(Formel 3)
• Der auf die Hypotenuse fallende Median ist gleich dem Quotienten aus der Beinlänge dividiert durch zwei Sinus des spitzen Winkels gegenüber dem Bein (Formel 4)
• Der auf die Hypotenuse fallende Median ist gleich dem Quotienten aus der Teilung der Beinlänge durch zwei Kosinusse des spitzen Winkels neben dem Bein (Formel 4)
• Die Summe der Quadrate der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich acht Quadraten des Medians, der auf seine Hypotenuse fällt (Formel 5)

Symbole in Formeln:

ein, b- Beine eines rechtwinkligen Dreiecks

c- die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn wir das Dreieck als ABC bezeichnen, dann

Sonne = a

(also Seiten a,b,c- sind den entsprechenden Winkeln entgegengesetzt)

m a- Median zu Bein a gezogen

m b- Median zum Bein gezogen b

m c - Median eines rechtwinkligen Dreiecks mit zur Hypotenuse gezogen

α (Alpha)- Winkel CAB gegenüberliegende Seite a

Problem über den Median in einem rechtwinkligen Dreieck

Die Seitenhalbierenden eines zu den Schenkeln gezogenen rechtwinkligen Dreiecks betragen 3 cm bzw. 4 cm. Finde die Hypotenuse des Dreiecks

Lösung

Bevor wir mit der Lösung des Problems beginnen, achten wir auf das Verhältnis der Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks und des darauf abgesenkten Medians. Dazu wenden wir uns den Formeln 2, 4, 5 zu mittlere Eigenschaften in einem rechtwinkligen Dreieck. Diese Formeln geben ausdrücklich das Verhältnis der Hypotenuse und des Medians an, das auf 1 zu 2 gesenkt wird. Daher zur Vereinfachung zukünftiger Berechnungen (die die Richtigkeit der Lösung in keiner Weise beeinträchtigen, aber sie verbessern werden Praktischerweise bezeichnen wir die Längen der Schenkel AC und BC durch die Variablen x und y als 2x und 2y (nicht x und y).

Betrachten Sie einen ADC mit rechtwinkligem Dreieck. Der Winkel C ist eine gerade Linie gemäß der Problembedingung, das Bein AC ist mit dem Dreieck ABC gemeinsam und das Bein CD entspricht der Hälfte von BC gemäß den Eigenschaften des Medians. Dann nach dem Satz des Pythagoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Da AC \u003d 2x, CD \u003d y (da der Median das Bein in zwei gleiche Teile teilt), dann
4x2 + y2 = 9

Betrachten Sie gleichzeitig ein rechtwinkliges Dreieck EBC. Aufgrund der Bedingung des Problems hat es auch einen rechten Winkel C, das Bein BC ist mit dem Bein BC des ursprünglichen Dreiecks ABC gemeinsam, und das Bein EC ist aufgrund der Eigenschaft des Medians gleich der Hälfte des Beins AC des Originals Dreieck ABC.
Nach dem Satz des Pythagoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Da EC \u003d x (der Median halbiert das Bein), dann BC \u003d 2y
x2 + 4y2 = 16

Da die Dreiecke ABC, EBC und ADC durch gemeinsame Seiten verbunden sind, sind auch beide erhaltenen Gleichungen verbunden.
Lösen wir das resultierende Gleichungssystem.
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 = 16

Wenn Sie ein beliebiges Thema eines Schulkurses studieren, können Sie ein bestimmtes Minimum an Aufgaben auswählen, nachdem Sie die Methoden zu deren Lösung gemeistert haben, die die Schüler in der Lage sind, jede Aufgabe auf der Ebene der Programmanforderungen für das zu studierende Thema zu lösen. Ich schlage vor, Aufgaben zu berücksichtigen, die es Ihnen ermöglichen, die Beziehung zwischen einzelnen Themen des Schulmathematikkurses zu erkennen. Daher ist das zusammengestellte Aufgabensystem wirksames Werkzeug Wiederholung, Verallgemeinerung und Systematisierung Unterrichtsmaterial bei der Vorbereitung der Schüler auf die Prüfung.

Das Bestehen der Prüfung ist nicht überflüssig zusätzliche Informationüber einige Elemente des Dreiecks. Betrachten Sie die Eigenschaften des Medians eines Dreiecks und Probleme, bei denen diese Eigenschaften verwendet werden können. Die vorgeschlagenen Aufgaben setzen das Prinzip der Ebenendifferenzierung um. Alle Aufgaben sind bedingt in Levels eingeteilt (das Level ist hinter jeder Aufgabe in Klammern angegeben).

Erinnern Sie sich an einige Eigenschaften des Medians eines Dreiecks

Eigentum 1. Beweisen Sie, dass der Median des Dreiecks ist ABC von oben gezogen EIN, weniger als die Hälfte der Summe der Seiten AB und AC.

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eigenschaft 2. Der Median teilt das Dreieck in zwei gleiche Flächen.

Nachweisen

Zeichnen Sie vom Eckpunkt B des Dreiecks ABC den Median BD und die Höhe BE..gif" alt="(!LANG:Area" width="82" height="46">!}

Da Segment BD also ein Median ist

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eigenschaft 4. Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks teilen das Dreieck in 6 gleich große Dreiecke.

Nachweisen

Lassen Sie uns beweisen, dass die Fläche jedes der sechs Dreiecke, in die die Mediane das Dreieck ABC teilen, gleich der Fläche des Dreiecks ABC ist. Betrachten Sie dazu beispielsweise das Dreieck AOF und lassen Sie die Senkrechte AK von der Spitze A auf die Linie BF fallen.

Aufgrund Eigenschaft 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eigenschaft 6. Die Seitenhalbierende eines rechtwinkligen Dreiecks, das von der Spitze des rechten Winkels gezogen wird, ist die Hälfte der Hypotenuse.

Nachweisen

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Konsequenzen:1. Der Mittelpunkt eines um ein rechtwinkliges Dreieck umschriebenen Kreises liegt im Mittelpunkt der Hypotenuse.

2. Wenn in einem Dreieck die Länge der Seitenhalbierenden gleich der halben Länge der Seite ist, zu der sie gezeichnet wird, dann ist dieses Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck.

AUFGABEN

Bei der Lösung jedes weiteren Problems werden bewährte Eigenschaften verwendet.

№1 Themen: Verdoppelung des Medians. Schwierigkeit: 2+

Merkmale und Eigenschaften eines Parallelogramms Klassen: 8,9

Bedingung

Über die Fortsetzung des Medians BIN Dreieck ABC pro Punkt M Segment verschoben MD, gleicht BIN. Beweisen Sie, dass das Viereck ABDC- Parallelogramm.

Lösung

Lassen Sie uns eines der Zeichen eines Parallelogramms verwenden. Diagonalen eines Vierecks ABDC in einem Punkt schneiden M und halbieren, also das Viereck ABDC- Parallelogramm.