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Ein Winkel ist eine Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei verschiedenen Halblinien besteht, die von diesem Punkt ausgehen – den Seiten des Winkels (Abb. 14). Wenn die Seiten eines Winkels komplementäre Halbgeraden sind, dann wird der Winkel gerader Winkel genannt.

Ein Winkel wird entweder durch Angabe seines Scheitelpunkts oder durch Angabe seiner Seiten oder durch Angabe von drei Punkten angegeben: einem Scheitelpunkt und zwei Punkten auf den Seiten des Winkels. Das Wort "Winkel" wird manchmal ersetzt

Der Winkel in Abbildung 14 kann auf drei Arten dargestellt werden:

Man sagt, dass ein Strahl c zwischen den Seiten eines Winkels verläuft, wenn er von seinem Scheitelpunkt kommt und ein Segment schneidet, dessen Enden an den Seiten des Winkels liegen.

In Abbildung 15 verläuft der Strahl c zwischen den Seiten des Winkels, da er das Segment schneidet

Im Fall eines geraden Winkels verläuft jeder Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht und sich von seinen Seiten unterscheidet, zwischen den Seiten des Winkels.

Winkel werden in Grad gemessen. Wenn Sie einen geraden Winkel nehmen und ihn in 180 gleiche Winkel teilen, dann wird das Gradmaß jedes dieser Winkel Grad genannt.

Die Haupteigenschaften der Winkelmessung werden in folgendem Axiom ausgedrückt:

Jeder Winkel hat ein bestimmtes Gradmaß, große Null. Der Abwicklungswinkel beträgt 180°. Grad messen Der Winkel ist gleich der Summe der Gradmaße der Winkel, in die er durch einen zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird.

Das bedeutet, wenn der Strahl c zwischen den Seiten des Winkels verläuft, dann ist der Winkel gleich der Summe der Winkel

Das Gradmaß eines Winkels wird mit einem Winkelmesser ermittelt.

Ein Winkel gleich 90° wird als rechter Winkel bezeichnet. Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet. Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpfer Winkel bezeichnet.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Ablegens von Ecken formulieren.

Von jeder Halblinie in eine gegebene Halbebene kann man einen Winkel mit einem gegebenen Gradmaß von weniger als 180° ablegen, und zwar nur einen.

Betrachten Sie die Halblinie a. Verlängern wir es für Startpunkt A. Die resultierende Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Abbildung 16 zeigt, wie man mit einem Winkelmesser von der Halblinie a zur oberen Halbebene einen Winkel mit einem vorgegebenen Gradmaß von 60° setzt.

T. 1. 2. Wenn zwei Winkel von einer gegebenen Halblinie in einer Halbebene abgesetzt werden, dann geht die Seite des kleineren Winkels, die von der gegebenen Halblinie verschieden ist, zwischen die Seiten des größeren Winkels .

Seien die Winkel von der gegebenen Halblinie a in eine Halbebene, und der Winkel sei kleiner als der Winkel . Satz 1.2 besagt, dass der Strahl zwischen den Seiten des Winkels verläuft (Abb. 17).

Die Winkelhalbierende ist ein Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht, zwischen den Seiten hindurchgeht und den Winkel in zwei Hälften teilt. In Abbildung 18 ist der Strahl die Winkelhalbierende

In der Geometrie gibt es das Konzept eines ebenen Winkels. Ein ebener Winkel ist ein Teil einer Ebene, die von zwei verschiedenen Strahlen begrenzt wird, die von demselben Punkt ausgehen. Diese Strahlen werden Seiten des Winkels genannt. Es gibt zwei flache Ecken mit gegebenen Seiten. Sie werden Extras genannt. In Abbildung 19 eine der flachen Ecken mit den Seiten a und

Anweisung

Ein Bogen ist ein Teil eines Kreises, der zwischen zwei auf diesem Kreis liegenden Punkten eingeschlossen ist. Jeder Bogen kann in Zahlenwerten ausgedrückt werden. Sie Hauptmerkmal zusammen mit der Länge ist der Wert des Gradmaßes.

Aber wenn ein Bogen auf dem Kreis ausgewählt wird, wird ein anderer gebildet. Um eindeutig zu verstehen, um welche Art von Bogen es sich handelt, markieren Sie daher einen weiteren Punkt auf dem ausgewählten Bogen, z. B. C. Dann hat er die Form ABC.

Ein Liniensegment, das durch zwei Punkte gebildet wird, die einen Bogen begrenzen, ist eine Sehne.

Das Gradmaß eines Bogens ergibt sich aus dem Wert des einbeschriebenen Winkels, der mit einem Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst auf dem gegebenen Bogen aufliegt. Ein solcher Winkel wird einbeschriebener Winkel genannt, und sein Gradmaß ist gleich der Hälfte des Bogens, auf dem er ruht.

Es gibt auch einen zentralen Winkel im Kreis. Auch er ruht auf dem gewünschten Bogen, und sein Scheitel liegt nicht mehr auf dem Kreis, sondern in der Mitte. Und sein Zahlenwert entspricht nicht mehr dem halben Gradmaß des Bogens, sondern seinem ganzen Wert.

Nachdem Sie verstanden haben, wie der Bogen durch den darauf basierenden Winkel berechnet wird, können Sie dieses Gesetz in die entgegengesetzte Richtung anwenden und die Regel ableiten, dass der einbeschriebene Winkel basierend auf dem Durchmesser richtig ist. Da der Durchmesser den Kreis in zwei gleiche Teile teilt, bedeutet dies, dass jeder der Bögen einen Wert von 180 Grad hat. Daher beträgt der einbeschriebene Winkel 90 Grad.

Basierend auf dem Verfahren zum Ermitteln des Gradwerts des Bogens gilt auch die Regel, dass die Winkel, die auf einem Bogen basieren, denselben Wert haben.

Der Wert des Gradmaßes eines Bogens wird häufig verwendet, um den Umfang eines Kreises oder den Bogen selbst zu berechnen. Verwenden Sie dazu die Formel L= π*R*α/180.

Das Wort "" hat verschiedene Deutungen. In der Geometrie ist ein Winkel ein Teil einer Ebene, die von zwei Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen - einem Scheitelpunkt. Wann wir reden etwa gerade, spitze, abgewickelte Winkel, dann sind geometrische Winkel gemeint.

Wie jede Form in der Geometrie können Winkel verglichen werden. Die Winkelgleichheit wird durch Bewegung bestimmt. Ein Winkel lässt sich leicht in zwei gleiche Teile teilen. Das Teilen in drei Teile ist etwas schwieriger, aber es geht immer noch mit Lineal und Zirkel. Übrigens schien diese Aufgabe ziemlich schwierig zu sein. Es ist geometrisch einfach zu beschreiben, dass ein Winkel größer oder kleiner als ein anderer ist.

Die Maßeinheit für Winkel ist 1/180 des erweiterten Winkels. Der Winkelwert ist eine Zahl, die angibt, wie oft der als Maßeinheit gewählte Winkel in die jeweilige Figur passt.

Jeder Winkel hat ein Gradmaß größer als Null. Der gerade Winkel beträgt 180 Grad. Das Gradmaß eines Winkels wird gleich der Summe der Gradmaße der Winkel betrachtet, in die er durch einen beliebigen Strahl auf der von seinen Seiten begrenzten Ebene geteilt wird.

Von jedem Strahl zu einer bestimmten Ebene können Sie einen Winkel mit einem bestimmten Gradmaß von nicht mehr als 180 festlegen. Außerdem gibt es nur einen solchen Winkel. Das Maß eines flachen Winkels, der Teil einer Halbebene ist, ist das Gradmaß eines Winkels mit ähnlichen Seiten. Das Maß der Ebene des die Halbebene enthaltenden Winkels ist der Wert 360° – α, wobei α das Gradmaß des komplementären flachen Winkels ist.

Das Gradmaß eines Winkels ermöglicht den Übergang von ihrer geometrischen Beschreibung zu einer numerischen. Ein rechter Winkel ist also ein Winkel gleich 90 Grad, ein stumpfer Winkel ist ein Winkel kleiner als 180 Grad, aber größer als 90 Grad, ein spitzer Winkel überschreitet 90 Grad nicht.

Neben Grad gibt es ein Bogenmaß für einen Winkel. In der Planimetrie ist die Länge L, der Radius r und der entsprechende Mittelpunktswinkel α. Darüber hinaus sind diese Parameter durch die Beziehung α = L/r verknüpft. Dies ist die Grundlage des Bogenmaßes für Winkel. Wenn L = r, dann ist der Winkel α gleich einem Bogenmaß. Das Bogenmaß eines Winkels ist also das Verhältnis der Länge eines Bogens, der von einem beliebigen Radius gezeichnet und zwischen den Seiten dieses Winkels eingeschlossen ist, zum Radius des Bogens. Eine vollständige Drehung in Grad (360 Grad) entspricht 2π im Bogenmaß. Eins ist 57,2958 Grad.

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Quellen:

• Gradmaß der Winkelformel

Die Messung von flachen Werten in Grad wurde im alten Babylon lange vor Beginn unserer Zeitrechnung erfunden. Die Einwohner dieses Bundesstaates bevorzugten die Sexagesimalrechnung, daher sieht die Teilung von Winkeln in 180 oder 360 Einheiten heute etwas seltsam aus. Allerdings angeboten in modernes System SI-Maßeinheiten, Vielfache von Pi, sind nicht weniger seltsam. Diese beiden Möglichkeiten sind nicht auf die heute gebräuchlichen Winkelbezeichnungen beschränkt, daher stellt sich oft das Problem der Umrechnung ihrer Werte in Gradmaße.

Anweisung

Wenn Sie den Wert des Winkels im Bogenmaß in ein Gradmaß umwandeln müssen, gehen Sie davon aus, dass ein Grad der Anzahl der Bogenmaße entspricht, die 1/180 der Zahl Pi entspricht. Diese mathematische Konstante hat unendlich viele Dezimalstellen, daher ist der Umrechnungsfaktor auch ein unendlicher Dezimalbruch. Das ist es absolut genauer Wert im Format Dezimalbruch nicht erhalten werden, daher muss der Umrechnungsfaktor gerundet werden. Bei einer Genauigkeit von einem Milliardstel einer Einheit beträgt der berechnete Koeffizient beispielsweise 0,017453293. Nachdem Sie auf die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen gerundet haben, dividieren Sie die ursprüngliche Anzahl von Radianten durch diesen Faktor, und Sie erhalten das Gradmaß des Winkels.

Grad Maß für einen Winkel. Das Bogenmaß eines Winkels. Konvertieren Sie Grad in Radiant und umgekehrt.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

In der vorherigen Lektion haben wir das Zählen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis gemeistert. Ich habe gelernt, positive und negative Winkel zu zählen. Verwirklicht, wie man einen Winkel größer als 360 Grad zeichnet. Es ist an der Zeit, sich mit der Messung von Winkeln zu beschäftigen. Gerade bei der Zahl „Pi“, die uns bei kniffligen Aufgaben zu verwirren trachtet, ja …

Standardaufgaben in der Trigonometrie mit der Zahl "Pi" werden recht gut gelöst. Visuelles Gedächtnis hilft. Aber jede Abweichung von der Vorlage - schlägt auf der Stelle nieder! Um nicht zu fallen - verstehe notwendig. Was wir jetzt erfolgreich tun werden. In gewisser Weise - wir verstehen alles!

So, worin zählen Winkel? Im Schulkurs der Trigonometrie werden zwei Maße verwendet: Grad Maß für einen Winkel und Bogenmaß eines Winkels. Werfen wir einen Blick auf diese Maßnahmen. Ohne dies in der Trigonometrie - nirgendwo.

Grad Maß für einen Winkel.

Wir sind irgendwie an Abschlüsse gewöhnt. Zumindest die Geometrie ging durch ... Ja, und im Leben treffen wir zum Beispiel oft auf den Ausdruck "um 180 Grad gedreht". Grad, kurz gesagt, eine einfache Sache ...

Ja? Antworte mir dann Was ist ein Abschluss? Was funktioniert auf Anhieb nicht? Etwas...

Grade wurden im alten Babylon erfunden. Es ist lange her ... vor 40 Jahrhunderten ... Und sie haben es sich einfach ausgedacht. Sie nahmen den Kreis und zerbrachen ihn in 360 gleiche Teile. 1 Grad ist 1/360 eines Kreises. Und alle. Kann in 100 Teile zerbrochen werden. Oder um 1000. Aber sie haben es in 360 zerlegt. Übrigens, warum genau um 360? Warum ist 360 besser als 100? 100 scheint irgendwie gleichmäßiger zu sein ... Versuchen Sie, diese Frage zu beantworten. Oder schwach gegen das alte Babylon?

Irgendwo gleichzeitig Antikes Ägypten von einem anderen Problem gequält. Wie oft ist der Umfang eines Kreises größer als die Länge seines Durchmessers? Und so haben sie gemessen und so ... Alles war etwas mehr als drei. Aber irgendwie stellte sich heraus, dass es zottelig und uneben war ... Aber sie, die Ägypter, sind nicht schuld. Danach litten sie weitere 35 Jahrhunderte. Bis sie endlich bewiesen, dass man aus solchen Stücken auch noch so fein den Kreis in gleich große Stücke schneiden kann glatt die Länge des Durchmessers ist unmöglich ... Im Prinzip ist es unmöglich. Nun, wie oft ist der Umfang natürlich größer als der Durchmesser. Um. 3.1415926 ... mal.

Das ist die Zahl „Pi“. Das ist zottelig, so zottelig. Nach dem Dezimalpunkt - unendlich viele Ziffern ohne Reihenfolge ... Solche Zahlen werden als irrational bezeichnet. Das bedeutet übrigens, dass aus gleichen Kreisstücken der Durchmesser wird glatt nicht falten. Niemals.

Zum praktische Anwendung Es ist üblich, sich nur zwei Nachkommastellen zu merken. Denken Sie daran:

Da wir verstanden haben, dass der Umfang eines Kreises um das „Pi“-fache größer ist als der Durchmesser, ist es sinnvoll, sich die Formel für den Kreisumfang zu merken:

Wo L ist der Umfang, und d ist sein Durchmesser.

Nützlich in der Geometrie.

Zum Allgemeinbildung Ich werde hinzufügen, dass die Zahl "Pi" nicht nur in der Geometrie sitzt ... In den verschiedensten Bereichen der Mathematik und insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie taucht diese Zahl ständig auf! Von selbst. Jenseits unserer Wünsche. So.

Aber zurück zu den Abschlüssen. Haben Sie herausgefunden, warum im alten Babylon der Kreis in 360 gleiche Teile geteilt war? Aber nicht 100 zum Beispiel? Nein? Okay. Ich gebe Ihnen eine Version. Sie können die alten Babylonier nicht fragen ... Für das Bauen oder, sagen wir, die Astronomie ist es praktisch, einen Kreis in gleiche Teile zu teilen. Finde nun heraus, durch welche Zahlen teilbar sind vollständig 100, und welche - 360? Und in welcher Version dieser Teiler vollständig- mehr? Diese Aufteilung ist für Menschen sehr praktisch. Aber...

Wie sich viel später als das alte Babylon herausstellte, mag nicht jeder Abschlüsse. Höhere Mathematik mag sie nicht ... Höhere Mathematik ist eine ernsthafte Dame, die nach den Gesetzen der Natur eingerichtet ist. Und diese Dame erklärt: "Heute hast du den Kreis in 360 Teile zerbrochen, morgen wirst du ihn in 100 Teile zerlegen, übermorgen in 245 ... Und was soll ich tun? Nein wirklich ..." Ich musste gehorchen. Die Natur kann man nicht täuschen...

Ich musste ein Maß für den Winkel einführen, das nicht von menschlichen Vorstellungen abhängt. Treffen - Radiant!

Das Bogenmaß eines Winkels.

Was ist ein Radiant? Die Definition eines Bogenmaßes basiert ohnehin auf einem Kreis. Ein Winkel von 1 Radiant ist der Winkel, der einen Bogen von einem Kreis schneidet, dessen Länge ( L) ist gleich der Länge des Radius ( R). Wir schauen uns die Bilder an.

So ein kleiner Winkel, davon gibt es fast nichts ... Wir bewegen den Mauszeiger über das Bild (oder berühren das Bild auf dem Tablett) und wir sehen ungefähr eins Bogenmaß. L=R

Fühle den Unterschied?

Ein Radiant ist viel größer als ein Grad. Wie oft?

Schauen wir uns das nächste Bild an. Darauf habe ich einen Halbkreis gezeichnet. Der aufgeweitete Winkel ist natürlich 180° groß.

Und jetzt werde ich diesen Halbkreis in Radianten schneiden! Wir schweben über das Bild und sehen, dass 3 Bogenmaß mit einem Schweif in 180° passen.

Wer errät, was dieser Pferdeschwanz ist!?

Ja! Dieser Schwanz ist 0,1415926.... Hallo Pi, wir haben dich noch nicht vergessen!

Tatsächlich gibt es 3,1415926 ... Bogenmaß in 180 Grad. Wie Sie sich vorstellen können, ist es unpraktisch, die ganze Zeit 3.1415926 zu schreiben. Deshalb schreiben sie statt dieser unendlichen Zahl immer einfach:

Und hier ist die Nummer im Internet

es ist unpraktisch zu schreiben ... Deshalb schreibe ich es im Text mit Namen - "Pi". Lassen Sie sich nicht verwirren ...

Nun ist es durchaus sinnvoll, eine Näherungsgleichung zu schreiben:

Oder exakte Gleichheit:

Bestimmen Sie, wie viele Grad in einem Radiant sind. Wie? Leicht! Wenn 3,14 Radiant 180 Grad haben, dann ist 1 Radiant 3,14 mal weniger! Das heißt, wir dividieren die erste Gleichung (die Formel ist auch eine Gleichung!) durch 3.14:

Es ist hilfreich, sich dieses Verhältnis zu merken: Ein Radiant hat ungefähr 60°. In der Trigonometrie muss man oft die Situation herausfinden, bewerten. Da hilft Wissen ungemein.

Aber die Hauptfähigkeit dieses Themas ist Umwandlung von Grad in Radiant und umgekehrt.

Wird der Winkel im Bogenmaß mit der Zahl „pi“ angegeben, ist alles ganz einfach. Wir wissen, dass „pi“ Radiant = 180° ist. Also ersetzen wir anstelle von "Pi" Radianten - 180 °. Wir erhalten den Winkel in Grad. Wir reduzieren, was reduziert ist, und die Antwort ist fertig. Zum Beispiel müssen wir herausfinden, wie viel Grad in der Ecke "Pi"/2 Bogenmaß? Hier schreiben wir:

Oder, exotischer Ausdruck:

Einfach richtig?

Die Rückübersetzung ist etwas komplizierter. Aber nicht viel. Wenn der Winkel in Grad angegeben ist, müssen wir herausfinden, was ein Grad im Bogenmaß ist, und diese Zahl mit der Anzahl der Grad multiplizieren. Was ist 1° im Bogenmaß?

Wir sehen uns die Formel an und stellen fest, dass wenn 180° = „Pi“ im Bogenmaß, 1° 180-mal kleiner ist. Oder mit anderen Worten, wir teilen die Gleichung (die Formel ist auch eine Gleichung!) durch 180. „Pi“ muss nicht als 3,14 dargestellt werden, es wird sowieso immer mit einem Buchstaben geschrieben. Wir erhalten, dass ein Grad gleich ist:

Das ist alles. Multiplizieren Sie die Gradzahl mit diesem Wert, um den Winkel im Bogenmaß zu erhalten. Zum Beispiel:

Oder ähnlich:

Wie Sie sehen können, in einem gemütlichen Gespräch mit Abschweifungen Es stellte sich heraus, dass das Bogenmaß sehr einfach ist. Ja, und die Übersetzung ist ohne Probleme ... Und "Pi" ist eine völlig erträgliche Sache ... Woher also die Verwirrung!?

Ich lüfte das Geheimnis. Tatsache ist, dass in trigonometrischen Funktionen das Gradsymbol geschrieben wird. Ist immer. Zum Beispiel sin35°. Das ist Sinus 35 Grad . Und das Radiant-Symbol ( froh) wird nicht geschrieben! Er ist impliziert. Entweder die Faulheit der Mathematiker oder etwas anderes ... Aber sie beschlossen, nicht zu schreiben. Wenn es keine Symbole innerhalb des Sinus - Kotangens gibt, dann ist der Winkel - im Bogenmaß ! Beispielsweise ist cos3 der Kosinus von drei Radiant .

Dies führt zu Missverständnissen ... Eine Person sieht "Pi" und glaubt, dass es 180 ° sind. Jederzeit und überall. Das funktioniert übrigens. Vorerst sind die Beispiele zwar Standard. Aber Pi ist eine Zahl! Die Zahl 3,14 ist kein Grad! Das ist "Pi" Bogenmaß = 180°!

Noch einmal: „Pi“ ist eine Zahl! 3.14. Irrational, aber eine Nummer. Dasselbe wie 5 oder 8. Sie können zum Beispiel ungefähr "Pi"-Schritte machen. Drei Schritte und ein bisschen mehr. Oder kaufen Sie "Pi" Kilogramm Süßigkeiten. Wenn ein gebildeter Verkäufer erwischt wird...

"Pi" ist eine Zahl! Was, ich habe dich mit diesem Satz erwischt? Schon alles verstanden? Okay. Lass uns das Prüfen. Können Sie mir sagen, welche Zahl größer ist?

Oder was ist weniger?

Das ist etwas aus der Serie nicht standardmäßige Fragen, die in einen Stupor treiben kann ...

Wenn Sie auch in Benommenheit geraten sind, denken Sie an den Spruch: "Pi" ist eine Zahl! 3.14. Im allerersten Sinus wird deutlich angezeigt, dass der Winkel - in Grad! Daher ist es unmöglich, "Pi" durch 180 ° zu ersetzen! "Pi" Grad ist etwa 3,14°. Daher können wir schreiben:

Es gibt keine Symbole im zweiten Sinus. Also da - Radiant! Hier funktioniert das Ersetzen von "Pi" durch 180 ° ganz gut. Wenn wir Radianten in Grad umrechnen, wie oben geschrieben, erhalten wir:

Es bleibt, diese beiden Sinus zu vergleichen. Was. vergessen wie? Natürlich mit Hilfe eines trigonometrischen Kreises! Wir zeichnen einen Kreis, zeichnen ungefähre Winkel von 60° und 1,05°. Wir betrachten die Sinus dieser Winkel. Kurz gesagt, alles ist wie am Ende des Themas über den trigonometrischen Kreis gemalt. Auf einem Kreis (sogar dem krummen!) ist das deutlich zu sehen sin60° deutlich mehr als sin1.05°.

Genauso machen wir es mit Cosinus. Auf dem Kreis zeichnen wir Winkel von etwa 4 Grad und 4 Bogenmaß(Denken Sie daran, was ungefähr 1 Radiant ist?). Der Kreis wird alles sagen! cos4 ist natürlich kleiner als cos4°.

Lassen Sie uns den Umgang mit Winkelmaßen üben.

Wandeln Sie diese Winkel von Grad in Bogenmaß um:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Sie sollten diese Werte im Bogenmaß erhalten (in einer anderen Reihenfolge!)

0

Übrigens habe ich die Antworten extra in zwei Zeilen markiert. Nun, lassen Sie uns herausfinden, was die Ecken in der ersten Zeile sind? Ob in Grad oder Bogenmaß?

Ja! Das sind die Achsen des Koordinatensystems! Wenn Sie den trigonometrischen Kreis betrachten, dann ist die bewegliche Seite des Winkels bei diesen Werten passt genau auf die achse. Diese Werte müssen ironischerweise bekannt sein. Und ich habe den Winkel von 0 Grad (0 Bogenmaß) nicht umsonst notiert. Und dann können einige diesen Winkel auf dem Kreis in keiner Weise finden ... Und dementsprechend verwirren sie sich in den trigonometrischen Funktionen von Null ... Eine andere Sache ist, dass die Position der sich bewegenden Seite bei Null Grad mit der Position bei zusammenfällt 360°, also Zufälle auf dem Kreis sind die ganze Zeit daneben.

In der zweiten Zeile gibt es auch Sonderwinkel... Das sind 30°, 45° und 60°. Und was ist so besonders an ihnen? Nichts Besonderes. Der einzige Unterschied zwischen diesen Ecken und allen anderen besteht darin, dass Sie diese Ecken kennen sollten. alle. Und wo befinden sie sich und was sind die trigonometrischen Funktionen dieser Winkel. Sagen wir den Wert Sünde100° du musst es nicht wissen. ABER sin45°- bitte sei nett! Das ist Pflichtwissen, ohne das es in der Trigonometrie nichts zu tun gibt ... Aber dazu mehr in der nächsten Lektion.

Bis dahin üben wir weiter. Wandeln Sie diese Winkel von Bogenmaß in Grad um:

Sie sollten Ergebnisse wie diese erhalten (in einem Durcheinander):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Passiert? Dann können wir davon ausgehen Umwandlung von Grad in Radiant und umgekehrt- nicht mehr Ihr Problem.) Aber das Übersetzen von Winkeln ist der erste Schritt zum Verständnis der Trigonometrie. An der gleichen Stelle müssen Sie noch mit Sinus-Cosinus arbeiten. Ja, und mit Tangenten auch Kotangens ...

Der zweite mächtige Schritt ist die Fähigkeit, die Position eines beliebigen Winkels auf einem trigonometrischen Kreis zu bestimmen. Sowohl in Grad als auch im Bogenmaß. Über genau diese Fähigkeit werde ich Sie in aller Trigonometrie langweilig hinweisen, ja ...) Wenn Sie alles über den trigonometrischen Kreis und das Zählen von Winkeln auf dem trigonometrischen Kreis wissen (oder glauben, alles zu wissen), können Sie es überprüfen aus. Lösen Sie diese einfachen Aufgaben:

1. In welches Viertel fallen die Ecken:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Leicht? Wir machen weiter:

2. In welches Viertel fallen die Ecken:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Auch kein Problem? Na, schau...)

3. Sie können Ecken in Vierteln platzieren:

Warst du fähig? Nun, du gibst ..)

4. Auf welche Achsen wird die Ecke fallen:

und Ecke:

Geht es auch einfach? Hm...)

5. In welches Viertel fallen die Ecken:

Und es hat funktioniert!? Naja, dann weiß ich es wirklich nicht...)

6. Bestimmen Sie, in welches Viertel die Ecken fallen:

1, 2, 3 und 20 Radiant.

Ich werde nur die letzte Frage beantworten (es ist etwas knifflig) letzter Job. Ein Winkel von 20 Radianten fällt in das erste Viertel.

Ich werde den Rest der Antworten nicht aus Gier geben.) Nur wenn Sie entschied sich nicht etwas Zweifel als Ergebnis oder für Aufgabe Nr. 4 ausgegeben mehr als 10 Sekunden Sie sind im Kreis schlecht orientiert. Dies wird Ihr Problem in der gesamten Trigonometrie sein. Es ist besser, es (ein Problem, nicht Trigonometrie!) sofort loszuwerden. Dies kann im Thema: Praktische Arbeit mit einem trigonometrischen Kreis in Abschnitt 555 erfolgen.

Es erklärt, wie man solche Aufgaben einfach und richtig löst. Nun, diese Aufgaben sind natürlich gelöst. Und die vierte Aufgabe war in 10 Sekunden gelöst. Ja, so entschieden, dass jeder kann!

Wenn Sie sich Ihrer Antworten absolut sicher sind und kein Interesse an einfachen und problemlosen Möglichkeiten haben, mit dem Bogenmaß zu arbeiten, können Sie 555 nicht besuchen. Ich bestehe nicht darauf.)

Ein gutes Verständnis ist Grund genug, weiterzumachen!)

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Wichtige Notizen!
1. Wenn Sie anstelle von Formeln Abrakadabra sehen, leeren Sie Ihren Cache. Wie es in Ihrem Browser geht, steht hier:
2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, achten Sie auf unseren Navigator für die nützlichste Ressource für

Grundbegriffe.

Wie gut können Sie sich an alle Namen erinnern, die mit dem Kreis verbunden sind? Für alle Fälle erinnern wir uns - schauen Sie sich die Bilder an - frischen Sie Ihr Wissen auf.

Zuerst - Der Mittelpunkt eines Kreises ist ein Punkt, von dem alle Punkte auf dem Kreis den gleichen Abstand haben.

Zweitens - Radius - ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis verbindet.

Es gibt viele Radien (so viele wie es Punkte auf einem Kreis gibt), aber alle Radien haben die gleiche Länge.

Manchmal kurz Radius Sie nennen es Segmentlänge"Der Mittelpunkt ist ein Punkt auf dem Kreis", und nicht das Segment selbst.

Und hier ist, was passiert wenn Sie zwei Punkte auf einem Kreis verbinden? Auch ein Schnitt?

Dieses Segment wird also aufgerufen "Akkord".

Genau wie der Radius wird der Durchmesser oft als Länge einer Strecke bezeichnet, die zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Übrigens, wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? Schau genau. Natürlich, der Radius ist der halbe Durchmesser.

Neben Akkorden gibt es auch Sekante.

Erinnerst du dich an das Einfachste?

Der Zentriwinkel ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Und jetzt der eingeschriebene Winkel

Ein einbeschriebener Winkel ist der Winkel zwischen zwei Sehnen, die sich in einem Punkt auf einem Kreis schneiden.

In diesem Fall sagen sie, dass der eingeschriebene Winkel auf einem Bogen (oder auf einer Sehne) beruht.

Sehen Sie das Bild an:

Bögen und Winkel messen.

Umfang. Bögen und Winkel werden in Grad und Bogenmaß gemessen. Zunächst zu den Abschlüssen. Es gibt keine Probleme mit Winkeln - Sie müssen lernen, wie man den Bogen in Grad misst.

Gradmaß (Bogenwert) ist der Wert (in Grad) des entsprechenden Zentriwinkels

Was bedeutet hier das Wort „entsprechend“? Schauen wir genau hin:

Sehen Sie die zwei Bögen und die zwei zentralen Winkel? Nun, es entspricht einem größeren Bogen größeren Winkel(und es ist in Ordnung, dass er größer ist), und ein kleinerer Bogen entspricht einem kleineren Winkel.

Wir waren uns also einig: Der Bogen enthält die gleiche Gradzahl wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Und jetzt über das Schreckliche - über Radianten!

Was für ein Tier ist dieses "Radiant"?

Stell dir vor: Bogenmaß ist eine Möglichkeit, einen Winkel zu messen ... in Radien!

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dann stellt sich die Frage: Wie viele Bogenmaß hat ein gerader Winkel?

Mit anderen Worten: Wie viele Radien „passen“ in einen Halbkreis? Oder anders: Wie oft ist die Länge eines Halbkreises größer als der Radius?

Diese Frage wurde von Wissenschaftlern im antiken Griechenland gestellt.

Und jetzt, danach lange Suche sie entdeckten, dass das Verhältnis des Umfangs zum Radius nicht in "menschlichen" Zahlen ausgedrückt werden will wie usw.

Und es ist nicht einmal möglich, diese Haltung durch die Wurzeln auszudrücken. Das heißt, es stellt sich heraus, dass man nicht sagen kann, dass die Hälfte des Kreises doppelt oder mal so groß ist wie der Radius! Können Sie sich vorstellen, wie toll es war, Menschen zum ersten Mal zu entdecken?! Für das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius reichten „normale“ Zahlen. Ich musste einen Buchstaben eingeben.

Also ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Jetzt können wir die Frage beantworten: Wie viele Bogenmaß hat ein gerader Winkel? Es hat ein Radiant. Eben weil die Hälfte des Kreises den doppelten Radius hat.

Alte (und nicht so) Menschen im Laufe der Jahrhunderte (!) sie versuchten, diese mysteriöse Zahl genauer zu berechnen, sie besser (zumindest ungefähr) durch "gewöhnliche" Zahlen auszudrücken. Und jetzt sind wir unglaublich faul – zwei Zeichen nach besetzt reichen uns, wir sind es gewohnt

Denken Sie darüber nach, das bedeutet zum Beispiel, dass y eines Kreises mit einem Radius von eins ungefähr gleich lang ist und es einfach unmöglich ist, diese Länge mit einer „menschlichen“ Zahl aufzuschreiben - Sie brauchen einen Buchstaben. Und dann wird dieser Umfang gleich sein. Und natürlich ist der Umfang des Radius gleich.

Kommen wir zurück zum Bogenmaß.

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein gerader Winkel ein Bogenmaß enthält.

Was wir haben:

So froh, das ist froh. Auf die gleiche Weise wird eine Platte mit den beliebtesten Winkeln erhalten.

Das Verhältnis zwischen den Werten der eingeschriebenen und zentralen Winkel.

Es gibt eine erstaunliche Tatsache:

Der Wert des einbeschriebenen Winkels ist halb so groß wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Sehen Sie, wie diese Aussage auf dem Bild aussieht. Ein "entsprechender" zentraler Winkel ist einer, bei dem die Enden mit den Enden des einbeschriebenen Winkels zusammenfallen und der Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Und gleichzeitig muss der „entsprechende“ zentrale Winkel auf dieselbe Sehne () „schauen“ wie der eingeschriebene Winkel.

Warum so? Betrachten wir zunächst einen einfachen Fall. Lassen Sie einen der Akkorde durch die Mitte gehen. Schließlich passiert das manchmal, oder?

was geschieht hier? In Betracht ziehen. Es ist gleichschenklig - immerhin und sind Radien. Also (bezeichnete sie).

Nun schauen wir uns an. Das ist die Außenecke! Wir erinnern uns, dass ein Außenwinkel gleich der Summe von zwei Innenwinkeln ist, die nicht an ihn angrenzen, und schreiben:

Also! Ein unerwarteter Effekt. Aber es gibt auch einen zentralen Winkel für das Eingeschriebene.

Für diesen Fall haben wir also bewiesen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der eingeschriebene Winkel. Aber es ist ein schmerzhafter Sonderfall: Stimmt es, dass der Akkord nicht immer direkt durch die Mitte geht? Aber nichts, jetzt hilft uns dieser Sonderfall sehr. Siehe: zweiter Fall: Mitte innen liegen lassen.

Gehen wir so vor: Zeichnen Sie einen Durchmesser. Und dann ... sehen wir zwei Bilder, die bereits im ersten Fall analysiert wurden. Daher haben wir bereits

Also (auf der Zeichnung, a)

Nun, der letzte Fall bleibt: Der Mittelpunkt steht außerhalb der Ecke.

Wir machen dasselbe: Zeichnen Sie einen Durchmesser durch einen Punkt. Alles ist gleich, aber statt der Summe - der Unterschied.

Das ist alles!

Lassen Sie uns nun zwei wesentliche und sehr wichtige Konsequenzen aus der Aussage ziehen, dass der einbeschriebene Winkel die Hälfte des zentralen Winkels ist.

Folge 1

Alle einbeschriebenen Winkel, die denselben Bogen schneiden, sind gleich.

Wir veranschaulichen:

Es gibt unzählige eingeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren (wir haben diesen Bogen), sie können völlig unterschiedlich aussehen, aber sie haben alle denselben Mittelpunktswinkel (), was bedeutet, dass alle diese eingeschriebenen Winkel untereinander gleich sind.

Folge 2

Der Winkel bezogen auf den Durchmesser ist ein rechter Winkel.

Schauen Sie: Welche Ecke ist zentral?

Na sicher, . Aber er ist gleich! Nun, das ist der Grund (sowie viele eingeschriebene Winkel basierend auf) und ist gleich.

Winkel zwischen zwei Akkorden und Sekanten

Aber was ist, wenn der Winkel, der uns interessiert, NICHT eingeschrieben und NICHT zentral ist, sondern zum Beispiel so:

oder so?

Ist es möglich, es irgendwie durch einige zentrale Winkel auszudrücken? Es stellt sich heraus, dass Sie es können. Schauen Sie, wir sind interessiert.

a) (als Außenecke für). Aber - beschriftet, basierend auf dem Bogen - . - beschriftet, basierend auf dem Bogen - .

Für die Schönheit sagen sie:

Der Winkel zwischen Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der Winkelwerte der in diesem Winkel enthaltenen Bögen.

Dies ist der Kürze halber geschrieben, aber wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie natürlich die zentralen Winkel im Auge behalten

b) Und jetzt - "draußen"! Wie sein? Ja, fast gleich! Erst jetzt (wieder die Eigenschaft der äußeren Ecke anwenden). Das ist jetzt.

Und das heißt . Lassen Sie uns Schönheit und Kürze in die Aufzeichnungen und Formulierungen bringen:

Der Winkel zwischen den Sekanten ist gleich der Hälfte der Differenz der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Nun, jetzt sind Sie mit all dem Grundwissen über die mit einem Kreis verbundenen Winkel ausgestattet. Vorwärts zum Angriff der Aufgaben!

KREIS UND EINGESCHLOSSENER WINKEL. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Was ein Kreis ist, weiß schon ein fünfjähriges Kind, oder? Mathematiker haben wie immer eine abstruse Definition zu diesem Thema, aber wir werden sie nicht geben (siehe), sondern uns daran erinnern, wie die mit einem Kreis verbundenen Punkte, Linien und Winkel genannt werden.

Wichtige Begriffe

Zuerst:

Kreismittelpunkt- ein Punkt, von dem aus die Abstände zu allen Punkten des Kreises gleich sind.

Zweitens:

Hier gibt es einen anderen anerkannten Ausdruck: "Der Akkord zieht den Bogen zusammen." Hier, hier in der Figur zieht sich zum Beispiel eine Sehne einen Bogen zusammen. Und wenn der Akkord plötzlich durch die Mitte geht, dann hat er einen besonderen Namen: "Durchmesser".

Übrigens, wie hängen Durchmesser und Radius zusammen? Schau genau. Natürlich,

Und jetzt - die Namen für die Ecken.

Natürlich, nicht wahr? Die Seiten der Ecke kommen aus der Mitte heraus, was bedeutet, dass die Ecke zentral ist.

Hier treten manchmal Schwierigkeiten auf. Passt auf - KEIN Winkel innerhalb eines Kreises ist eingeschrieben, aber nur einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst "sitzt".

Sehen wir uns den Unterschied auf den Bildern an:

Sie sagen auch anders:

Hier gibt es einen kniffligen Punkt. Was ist ein „entsprechender“ oder „eigener“ Zentriwinkel? Nur ein Winkel mit Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises und Enden an den Enden des Bogens? So sicher nicht. Sehen Sie das Bild an.

Einer von ihnen sieht jedoch nicht einmal aus wie eine Ecke - er ist größer. Aber in einem Dreieck kann es nicht mehr Winkel geben, aber in einem Kreis – schon! Also: Ein kleinerer Bogen AB entspricht einem kleineren Winkel (orange), ein größerer einem größeren. Genau wie, nicht wahr?

Beziehung zwischen eingeschriebenen und zentralen Winkeln

Denken Sie an eine sehr wichtige Aussage:

In Lehrbüchern schreiben sie die gleiche Tatsache gerne so:

Richtig, mit einem zentralen Winkel ist die Formulierung einfacher?

Lassen Sie uns dennoch eine Entsprechung zwischen den beiden Formulierungen finden und gleichzeitig lernen, wie man den „entsprechenden“ zentralen Winkel und den Bogen findet, auf dem sich der einbeschriebene Winkel auf den Figuren „lehnt“.

Sehen Sie, hier ist ein Kreis und ein eingeschriebener Winkel:

Wo ist sein "entsprechender" Mittelwinkel?

Schauen wir noch einmal:

Was ist die Regel?

Aber! In diesem Fall ist es wichtig, dass der einbeschriebene und der mittlere Winkel auf der gleichen Seite des Bogens "schauen". Zum Beispiel:

Seltsamerweise blau! Denn der Bogen ist lang, länger als der halbe Kreis! Also lass dich nie verwirren!

Welche Konsequenz lässt sich aus der „Halbheit“ des einbeschriebenen Winkels ableiten?

Und hier zum Beispiel:

Winkel basierend auf Durchmesser

Sie haben bereits bemerkt, dass Mathematiker sehr gerne über dasselbe sprechen. verschiedene Wörter? Warum ist es für sie? Sie sehen, obwohl die Sprache der Mathematik formal ist, ist sie lebendig, und daher möchten Sie sie, wie in der gewöhnlichen Sprache, jedes Mal auf eine bequemere Weise sagen. Nun, wir haben bereits gesehen, was „der Winkel ruht auf dem Bogen“ ist. Und stellen Sie sich vor, dasselbe Bild heißt "der Winkel ruht auf dem Akkord". Auf was? Ja, natürlich auf den, der diesen Bogen zieht!

Wann ist es bequemer, sich auf einen Akkord als auf einen Bogen zu verlassen?

Nun, insbesondere, wenn diese Sehne ein Durchmesser ist.

Für eine solche Situation gibt es eine verblüffend einfache, schöne und nützliche Aussage!

Schauen Sie: Hier ist ein Kreis, ein Durchmesser und ein Winkel, der darauf ruht.

KREIS UND EINGESCHLOSSENER WINKEL. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Grundlegende Konzepte.

3. Messungen von Bögen und Winkeln.

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dies ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Der Umfang des Radius ist gleich.

4. Das Verhältnis zwischen den Werten der eingeschriebenen und zentralen Winkel.

So, das Thema ist erledigt. Wenn Sie diese Zeilen lesen, dann sind Sie sehr cool.

Denn nur 5% der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie zu Ende gelesen haben, dann sind Sie bei den 5%!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema herausgefunden. Und ich wiederhole, es ist ... es ist einfach super! Sie sind bereits besser als die große Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für erfolgreich Bestehen der Prüfung, für die Aufnahme in das Institut über das Budget und vor allem für das Leben.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich werde nur eines sagen ...

Menschen, die erhalten haben eine gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Die Hauptsache ist, dass sie MEHR GLÜCKLICH sind (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben heller wird? Weiß nicht...

Aber denkt selbst...

Was braucht es, um bei der Prüfung sicher besser zu sein als andere und am Ende … glücklicher?

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