Video-Tutorial „Ein Dreieck mit drei Elementen bauen. Ein Dreieck aus drei Elementen konstruieren

D C Zeichnet ein Dreieck entlang zweier Seiten und einen Winkel dazwischen. hk h 1. Konstruiere Strahl a. 2. Legen Sie das Segment AB gleich P 1 Q beiseite. Konstruieren Sie einen Winkel gleich dem gegebenen. 4. Lassen wir das Segment AC gleich P 2 Q 2 beiseite. B A Δ ABC ist das gewünschte. Gegeben: Segmente P 1 Q 1 und P 2 Q 2, Q1Q1 P1P1 P2P2 Q2Q2 a k Dock: Nach Konstruktion AB = P 1 Q 1, AC = P 2 Q 2, A = hk. Bauen. Konstruktion.

Für beliebige gegebene Strecken AB = P 1 Q 1, AC = P 2 Q 2 und ein gegebenes unentwickeltes hk kann das gewünschte Dreieck konstruiert werden. Da die Gerade a und der Punkt A darauf beliebig gewählt werden können, gibt es unendlich viele Dreiecke, die die Bedingungen des Problems erfüllen. Alle diese Dreiecke sind einander gleich (entsprechend dem ersten Gleichheitszeichen der Dreiecke), daher ist es üblich zu sagen, dass gegebene Aufgabe hat nur eine Lösung.

D C Erstellt ein Dreieck entlang einer Seite und zwei angrenzenden Ecken. h 1 k 1, h 2 k 2 h2h2 1. Konstruiere einen Strahl a. 2. Legen Sie das Segment AB gleich P 1 Q beiseite Konstruieren Sie den Winkel gleich dem gegebenen h 1 k Konstruieren Sie den Winkel gleich h 2 k 2. В А Δ ABC ist der gewünschte. Δ ABC ist das gewünschte. Gegeben: Segment Р 1 Q 1 Q1Q1 P1P1 а k2k2 h1h1 k1k1 N Dokument: Nach Konstruktion AB = P 1 Q 1, В = h 1 k 1, А = h 2 k 2. Konstruiere Δ. Konstruktion.

С 1. Konstruieren wir Strahl a. 2. Legen Sie das Segment AB gleich P 1 Q beiseite. Konstruieren Sie einen Bogen mit Mittelpunkt im Punkt A und Radius P 2 Q. Konstruieren Sie einen Bogen mit Mittelpunkt im Punkt B und Radius P 3 Q 3. BA Δ ABC ist der gewünschte . Gegeben: Segmente P 1 Q 1, P 2 Q 2, P 3 Q 3. Q1Q1 P1P1 P3P3 Q2Q2 a P2P2 Q3Q3 Konstruktion eines Dreiecks auf drei Seiten. Doc: Nach Konstruktion ist AB = P 1 Q 1, AC = P 2 Q 2 CA = P 3 Q 3, dh die Seiten Δ ABC sind gleich den gegebenen Segmenten. Konstruiere Δ. Konstruktion.

Das Problem hat nicht immer eine Lösung. In jedem Dreieck ist die Summe zweier Seiten größer als die dritte Seite. Wenn also eines dieser Segmente größer oder gleich der Summe der anderen beiden ist, ist es unmöglich, ein Dreieck zu bilden, dessen Seiten gleich . sind diese Segmente.

Ihr Wesen besteht darin, ein beliebiges geometrisches Objekt nach beliebigen hinreichenden Anfangsbedingungen zu konstruieren, wobei nur ein Zirkel und ein Lineal zur Hand sind. Erwägen allgemeines Schema um solche Aufgaben auszuführen:

Analyse des Problems.

In diesem Teil wird eine Verbindung zwischen den zu bauenden Elementen und den Ausgangsbedingungen des Problems hergestellt. Nach Abschluss dieses Punktes sollten wir einen Plan zur Lösung unseres Problems haben.

Konstruktion.

Hier führen wir Konstruktionen nach dem von uns oben erstellten Plan aus.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur die Anfangsbedingungen des Problems wirklich erfüllt.

Lernen.

Hier erfahren wir, für welche Daten das Problem eine Lösung hat, für welche mehrere und für welche keine.

Als nächstes betrachten wir die Probleme der Konstruktion von Dreiecken aus drei verschiedenen Elementen. Hier werden elementare Konstruktionen wie ein Liniensegment, ein Winkel usw. nicht berücksichtigt. Zu diesem Zeitpunkt sollten Sie diese Fähigkeiten bereits besitzen.

Konstruieren eines Dreiecks auf zwei Seiten und einem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien Segmente $ AB $ und $ AC $ und ein Winkel $ α $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ mit einem Winkel von $ C $ gleich $ α $ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Nehmen Sie $ AB $ als eine der Seiten der Ecke und legen Sie den Winkel $ BAM $ davon ab, der gleich dem Winkel $ α $ ist.
Verschieben wir das Segment $ AC $ auf die Zeile $ AM $.
Verbinden wir die Punkte $ B $ und $ C $.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Lernen.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $ 180 ^ \ circ $ ist. Das heißt, wenn der Winkel α größer oder gleich $ 180 ^ \ circ $ ist, hat das Problem keine Lösung.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da die Linie $ a $ eine beliebige Linie ist, gibt es unendlich viele solcher Dreiecke. Da sie aber nach dem ersten Kriterium alle gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Zeichnen Sie ein Dreieck auf drei Seiten

Beispiel 2

Konstruiere ein Dreieck, wenn wir drei Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $ AB $ und $ AC $ und $ BC $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ bauen.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Zeichne eine Gerade $ a $ und konstruiere darauf ein Segment $ AB $.
Konstruiere $ 2 $ Kreise: den ersten mit dem Mittelpunkt $ A $ und dem Radius $ AC $ und den zweiten mit dem Mittelpunkt $ B $ und dem Radius $ BC $.
Verbinden wir einen der Schnittpunkte der Kreise (der der Punkt $ C $ sein wird) mit den Punkten $ A $ und $ B $.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

An der Konstruktion ist zu erkennen, dass alle Anfangsbedingungen vollendet.

Lernen.

Aus der Dreiecksungleichung wissen wir, dass jede Seite kleiner sein muss als die Summe der anderen beiden. Wenn diese Ungleichung für die ursprünglichen drei Segmente nicht erfüllt ist, hat das Problem keine Lösung.

Da die Kreise aus der Konstruktion zwei Schnittpunkte haben, können wir zwei solcher Dreiecke bauen. Da sie jedoch nach dem dritten Kriterium gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Erzeugt ein Dreieck aus einer Seite und zwei angrenzenden Ecken

Beispiel 3

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir eine Seite und die angrenzenden Winkel $ α $ und $ β $ haben.

Analyse.

Gegeben seien eine Strecke $ BC $ und Winkel $ α $ und $ β $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ konstruieren, wobei $ ∠B = α $ und $ ∠C = β $ ist.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Zeichnen Sie eine Gerade $ a $ und konstruieren Sie darauf ein Segment $ BC $.
Konstruiere einen Winkel $ ∠ K = α $ am Scheitel $ B $ zur Seite $ BC $.
Konstruieren wir einen Winkel $ ∠ M = β $ an der Ecke $ C $ zur Seite $ BC $.
Verbinden wir den Schnittpunkt (das ist der Punkt $ A $) der Strahlen $ ∠ K $ und $ ∠ M $ mit den Punkten $ C $ und $ B $,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dass alle Anfangsbedingungen erfüllt sind.

Lernen.

Da die Winkelsumme des Dreiecks $ 180 ^ \ circ $ ist, wird das Problem für $ α + β≥180 ^ \ circ $ keine Lösungen haben.

Ansonsten gibt es eine Lösung. Da Ecken von zwei Seiten gebaut werden können, können wir zwei solcher Dreiecke bauen. Da sie aber nach dem zweiten Kriterium gleich sind, nehmen wir an, dass die Lösung dieses Problems eindeutig ist.

Betrachten Sie abschließend das Problem, dessen Lösung zur Konstruktion eines Dreiecks entlang der Seite und zweier Winkel führt:

Auf der anderen Flussseite (Abb. 72) ist ein Meilenstein sichtbar EIN... Es ist erforderlich, ohne den Fluss zu überqueren, die Entfernung zum Meilenstein zu ermitteln V an diesem Ufer.

Lass uns das machen. Lass uns vom Punkt aus messen V in einer geraden Linie in einiger Entfernung Sonne und am ende davon V und MIT Winkel 1 und 2 messen (Abb. 73). Wenn Sie jetzt an einem geeigneten Ort die Entfernung messen DE, gleich Sonne, und bauen Ecken an seinen Enden ein und B(Abb. 74), gleich den Winkeln 1 und 2, dann erhalten wir im Schnittpunkt ihrer Seiten den dritten Scheitelpunkt F Dreieck DEF. Es ist leicht zu erkennen, dass das Dreieck DEF gleich Dreieck ABC; tatsächlich, wenn wir uns vorstellen, dass das Dreieck DEFüberlagert ABC also diese Seite DE fiel mit ihrer gleichberechtigten Seite zusammen Sonne, dann yy. ein entspricht Winkel 1, Winkel B - mit Winkel 2 und Seite DF wird nebenher gehen BA und die seite EF auf der Seite CA. Da sich zwei Geraden nur in einem Punkt schneiden können, ist der Scheitelpunkt F muss mit der Spitze übereinstimmen EIN... Also die Entfernung DF ist gleich dem erforderlichen Abstand VA.

Das Problem hat, wie wir sehen, nur eine Lösung. Im Allgemeinen kann entlang einer Seite und zwei an diese Seite angrenzenden Ecken nur ein Dreieck konstruiert werden; Es kann keine anderen Dreiecke mit der gleichen Seite und den gleichen zwei angrenzenden Winkeln an den gleichen Stellen geben. Alle Dreiecke, die eine identische Seite und zwei identische angrenzende Winkel an denselben Stellen haben, können zu voller Koinzidenz überlagert werden. Dies bedeutet, dass dies ein Zeichen ist, mit dem die vollständige Gleichheit von Dreiecken festgestellt werden kann.

Zusammen mit den zuvor aufgestellten Kriterien für die Gleichheit von Dreiecken kennen wir nun die folgenden drei:

Dreieck

p etwa p ems bis etwa n und m;

p über d in m s bis r über n und u g l u me z dun und m und;

p über t über r über n e und d w u m u g l a m.

Der Kürze halber werden diese drei Fälle der Dreiecksgleichheit wie folgt bezeichnet:

auf drei Seiten: CCC;

auf beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen: SUS;

an der Seite und zwei Ecken: USU.

Anwendungen

14. Um die Entfernung zu einem Punkt herauszufinden EIN auf der anderen Seite des Flusses von der Spitze V an diesem Ufer (Abb. 5), messen Sie in einer geraden Linie eine Linie Sonne, dann an der stelle V bilde einen Winkel gleich AVS, auf der anderen Seite Sonne, und an der stelle MIT- ebenso der Winkel gleich ASV. Punktabstand D der Schnittpunkt der Seiten beider Seiten der Ecken zum Punkt V ist gleich dem erforderlichen Abstand AB... Wieso den?

LÖSUNG Dreiecke ABC und DC auf einer Seite gleich ( Sonne) und zwei Ecken (ang. DCB= j. ASV; y. DBC= j. ABC.) Somit, AB= D, wie die parteien liegen in gleiche Dreiecke gegen gleiche Winkel.

Ihr Wesen besteht darin, ein beliebiges geometrisches Objekt nach beliebigen hinreichenden Anfangsbedingungen zu konstruieren, wobei nur ein Zirkel und ein Lineal zur Hand sind. Betrachten Sie ein allgemeines Schema für die Durchführung solcher Aufgaben:

Analyse des Problems.

Konstruktion.

Hier führen wir Konstruktionen nach dem von uns oben erstellten Plan aus.

Nachweisen.

Hier beweisen wir, dass die von uns konstruierte Figur die Anfangsbedingungen des Problems wirklich erfüllt.

Lernen.

Hier erfahren wir, für welche Daten das Problem eine Lösung hat, für welche mehrere und für welche keine.

Konstruieren eines Dreiecks auf zwei Seiten und einem Winkel zwischen ihnen

Beispiel 1

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn Sie zwei Seiten und einen Winkel zwischen diesen Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien Segmente $ AB $ und $ AC $ und ein Winkel $ α $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ mit einem Winkel von $ C $ gleich $ α $ konstruieren.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Nehmen Sie $ AB $ als eine der Seiten der Ecke und legen Sie den Winkel $ BAM $ davon ab, der gleich dem Winkel $ α $ ist.
Verschieben wir das Segment $ AC $ auf die Zeile $ AM $.
Verbinden wir die Punkte $ B $ und $ C $.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 1).

Nachweisen.

Lernen.

Da die Winkelsumme eines Dreiecks $ 180 ^ \ circ $ ist. Das heißt, wenn der Winkel α größer oder gleich $ 180 ^ \ circ $ ist, hat das Problem keine Lösung.

Zeichnen Sie ein Dreieck auf drei Seiten

Beispiel 2

Konstruiere ein Dreieck, wenn wir drei Seiten haben.

Analyse.

Gegeben seien die Segmente $ AB $ und $ AC $ und $ BC $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ bauen.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Zeichne eine Gerade $ a $ und konstruiere darauf ein Segment $ AB $.
Konstruiere $ 2 $ Kreise: den ersten mit dem Mittelpunkt $ A $ und dem Radius $ AC $ und den zweiten mit dem Mittelpunkt $ B $ und dem Radius $ BC $.
Verbinden wir einen der Schnittpunkte der Kreise (der der Punkt $ C $ sein wird) mit den Punkten $ A $ und $ B $.

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 2).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dass alle Anfangsbedingungen erfüllt sind.

Lernen.

Erzeugt ein Dreieck aus einer Seite und zwei angrenzenden Ecken

Beispiel 3

Konstruieren Sie ein Dreieck, wenn wir eine Seite und die angrenzenden Winkel $ α $ und $ β $ haben.

Analyse.

Gegeben seien eine Strecke $ BC $ und Winkel $ α $ und $ β $. Wir müssen ein Dreieck $ ABC $ konstruieren, wobei $ ∠B = α $ und $ ∠C = β $ ist.

Lassen Sie uns einen Bauplan erstellen:

Zeichnen Sie eine Gerade $ a $ und konstruieren Sie darauf ein Segment $ BC $.
Konstruiere einen Winkel $ ∠ K = α $ am Scheitel $ B $ zur Seite $ BC $.
Konstruieren wir einen Winkel $ ∠ M = β $ an der Ecke $ C $ zur Seite $ BC $.
Verbinden wir den Schnittpunkt (das ist der Punkt $ A $) der Strahlen $ ∠ K $ und $ ∠ M $ mit den Punkten $ C $ und $ B $,

Konstruktion.

Lassen Sie uns eine Zeichnung nach dem oben erstellten Plan erstellen (Abb. 3).

Nachweisen.

Aus der Konstruktion ist ersichtlich, dass alle Anfangsbedingungen erfüllt sind.

Lernen.

Da die Winkelsumme des Dreiecks $ 180 ^ \ circ $ ist, wird das Problem für $ α + β≥180 ^ \ circ $ keine Lösungen haben.

Drei in Punkt 188 bewiesene Sätze über die Gleichheit von Dreiecken zeigen, dass ein Dreieck vollständig bestimmt ist, wenn drei Seiten, zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen, eine Seite und zwei benachbarte Winkel (oder zwei beliebige Winkel im Allgemeinen) gegeben sind.

Die Existenz eines Dreiecks, bestimmt durch die Angabe bestimmter spezifischer Werte der Seiten oder Winkel, zeigt sich bei der Lösung des Problems der Konstruktion eines Dreiecks mit diesen Elementen: Die Eindeutigkeit der Lösung des Konstruktionsproblems beweist erneut die Zeichen der Gleichheit aus Abschnitt 188. Entsprechend den drei Gleichheitszeichen ergeben sich drei Hauptprobleme: Konstruktion von Dreiecken.

Aufgabe 1. Drei Segmente a, b, c sind gegeben. Konstruiere ein Dreieck mit diesen Liniensegmenten als Seiten.

Lösung. Sei c das größte der drei Segmente: Damit das Problem eine Lösung hat, muss die Bedingung erfüllt sein, wir nehmen an, dass diese Bedingung erfüllt ist. Auf einer beliebigen Geraden (Abb. 226) verschieben wir ein Segment an einer beliebigen Stelle. Nehmen wir seine Enden als zwei Eckpunkte des gewünschten Dreiecks. Der dritte Eckpunkt muss im Abstand b von Punkt A (oder von Punkt B) und im Abstand a von B (oder A) liegen. Um den fehlenden Scheitelpunkt zu konstruieren, zeichnen Sie einen Kreis mit Radius b mit Mittelpunkt A und einen Kreis mit Radius a mit Mittelpunkt B.

Diese beiden Kreise werden sich schneiden, da gemäß der Bedingung der Abstand zwischen ihren Mittelpunkten kleiner als die Summe der Radien und größer als ihre Differenz ist, da c das größte Segment unter den Daten ist. Es werden zwei Schnittpunkte C und C erhalten, dh zwei mögliche Positionen des Scheitelpunkts C; die entsprechenden beiden Dreiecke sind jedoch gleich, da sie bezüglich AB symmetrisch angeordnet sind. In Abb. 226 zeigt auch, wie man durch Vertauschen der Radien der Kreise zwei weitere Positionen des dritten Scheitelpunkts erhält.

Aufgabe 2. Konstruieren Sie ein Dreieck entlang zweier Seiten und einen Winkel dazwischen.

Aufgabe 3. Konstruieren Sie entlang der Seite und den angrenzenden Ecken ein Dreieck, dessen Summe kleiner ist.

Bei der Analyse der Gleichheitszeichen von Dreiecken machen zwei Umstände auf sich aufmerksam:

1) Es gibt keine Zeichen, bei denen die Gleichheit von Dreiecken nur durch die Gleichheit von drei Winkeln gewährleistet wäre. Dies liegt daran, dass zwei Dreiecke mit gleichen Winkeln noch nicht unbedingt gleich sind (ähnliche Dreiecke, siehe Kapitel XVI für weitere Details).

2) Das Gleichheitszeichen von Dreiecken auf zwei Seiten erfordert die Gleichheit nicht beliebiger Winkel, sondern sicherlich zwischen gleichen Seiten. Um den Grund dafür herauszufinden, stellen wir uns folgendes Problem.

Aufgabe 4. Konstruieren Sie ein Dreieck entlang zweier Seiten und einem Winkel gegenüber einer von ihnen.

Lösung. Gegeben seien zB die Seiten a und b und ein Winkel a, der a gegenüberliegt (Abb. 227). Um ein Dreieck zu konstruieren, verschieben wir das Segment b auf eine beliebige Gerade AC und zeichnen von einem ihrer Eckpunkte, zum Beispiel A, den Strahl AM unter einem Winkel a zum Segment AC. Auf diesem Strahl muss die unbekannte dritte Seite des Dreiecks liegen; sein Ende ist der fehlende Eckpunkt des Dreiecks. Es ist jedoch bekannt, dass dieser dritte Eckpunkt im Abstand a von C liegt und daher auf einem Kreis mit Mittelpunkt C des Radius a liegt. Zeichnen wir einen solchen Kreis. Die Schnittpunkte mit dem AM-Strahl ergeben die möglichen Positionen des dritten Scheitelpunkts. Da der Kreis und der Strahl möglicherweise keine gemeinsamen Punkte haben, einen oder zwei gemeinsame Punkte haben, hat das Problem möglicherweise keine Lösungen, hat eine oder zwei Lösungen.

In Abb. 227 zeigt den Fall, dass der Winkel a spitz ist und vier Optionen für die Seite, für die das Problem jeweils keine Lösungen hat, eine Lösung, zwei Lösungen und wieder eine Lösung hat. Beide Lösungen werden gezeigt für Vollständige Analyse dieses Problems wird in § 223 im Zusammenhang mit Problemen zur Lösung von Dreiecken gegeben.

Sie können verschiedene andere Aufgaben zum Konstruieren von Dreiecken basierend auf bestimmten Daten festlegen. Um in allen Fällen ein Dreieck konstruieren zu können, müssen entweder drei seiner linearen Elemente (d. h. drei Segmente: Seiten, Mittellinien, Höhen usw.) oder zwei Segmente und ein Winkel oder ein Segment und zwei Ecken verwendet werden.

Aufgabe 5. Sie erhalten zwei Seiten a, c eines Dreiecks und einen Median. Konstruiere ein Dreieck.

Lösung. Lassen Sie uns das Problem mit einer Analyse lösen. Dies ist der Name der Phase der Lösung, wenn wir bedingt annehmen, dass das Problem bereits gelöst ist, und wir solche Merkmale herausfinden, die uns tatsächlich helfen, es zu lösen. Nehmen wir also an, das Dreieck ABC (Abb. 228, a) ist das gewünschte. Dann drin

Beachten Sie, dass das BM-Segment nach der Definition des Medians die Hälfte c beträgt, d. h. als bekannt angesehen werden kann. Aber jetzt sind alle drei Seiten im Navy-Dreieck bekannt! Dies ist der Schlüssel zur Lösung des Problems, der Rest ist einfach. Wir bauen (Abb. 228, b) das BMC-Dreieck auf drei Seiten und setzen dann die BM-Seite um eine Distanz gleich fort, wodurch wir den dritten Eckpunkt A des Dreiecks erhalten. Die Richtigkeit der fertiggestellten Konstruktion ist klar.

Voraussetzung für die Lösbarkeit des Problems ist, dass entlang der Seite a, des Medians und der Hälfte der anderen Seite ein "partielles" Dreieck konstruiert werden kann.