O que dá uma regra de menos para mais. Como entender por que "mais" para "menos" dá "menos"
Ao ouvir um professor de matemática, a maioria dos alunos percebe o material como um axioma. Ao mesmo tempo, poucas pessoas tentam chegar ao fundo e descobrir por que “menos” para “mais” dá um sinal de “menos” e, ao multiplicar dois números negativos, sai um positivo.
Leis da Matemática
A maioria dos adultos não consegue explicar a si mesmo ou a seus filhos por que isso acontece. Eles aprenderam completamente esse material na escola, mas nem tentaram descobrir de onde vinham essas regras. Mas em vão. Muitas vezes, as crianças modernas não são tão ingênuas, elas precisam chegar ao fundo da questão e entender, digamos, por que “mais” em “menos” dá “menos”. E às vezes os moleques fazem perguntas complicadas deliberadamente para aproveitar o momento em que os adultos não podem dar uma resposta inteligível. E é realmente um desastre se um jovem professor se mete em problemas...
A propósito, deve-se notar que a regra mencionada acima é válida tanto para multiplicação quanto para divisão. O produto de um número negativo e um número positivo só dará um sinal de menos. Se um nós estamos falando cerca de dois dígitos com um sinal "-", então o resultado será um número positivo. O mesmo vale para a divisão. Se um dos números for negativo, o quociente também estará com um sinal "-".
Para explicar a exatidão desta lei da matemática, é necessário formular os axiomas do anel. Mas primeiro você precisa entender o que é. Em matemática, costuma-se chamar um anel de um conjunto no qual estão envolvidas duas operações com dois elementos. Mas é melhor entender isso com um exemplo.
Axioma do anel
Existem várias leis matemáticas.
- O primeiro deles é deslocável, segundo ele, C + V = V + C.
- O segundo é chamado associativo (V + C) + D = V + (C + D).
A multiplicação (V x C) x D \u003d V x (C x D) também os obedece.
Ninguém cancelou as regras pelas quais os colchetes são abertos (V + C) x D = V x D + C x D, também é verdade que C x (V + D) = C x V + C x D.
Além disso, foi estabelecido que um elemento especial de adição neutra pode ser introduzido no anel, usando o seguinte: C + 0 = C. Além disso, para cada C há um elemento oposto, que pode ser denotado como (-C). Nesse caso, C + (-C) \u003d 0.
Derivação de axiomas para números negativos
Ao aceitar as afirmações acima, podemos responder à pergunta: "mais" em "menos" dá que sinal? Conhecendo o axioma sobre a multiplicação de números negativos, é necessário confirmar que de fato (-C) x V = -(C x V). E também que a seguinte igualdade é verdadeira: (-(-C)) = C.
Para fazer isso, devemos primeiro provar que cada um dos elementos tem apenas um "irmão" oposto. Considere o seguinte exemplo de prova. Vamos tentar imaginar que dois números são opostos para C - V e D. Daí segue que C + V = 0 e C + D = 0, ou seja, C + V = 0 = C + D. Lembrando as leis de deslocamento e sobre as propriedades do número 0, podemos considerar a soma dos três números: C, V e D. Vamos tentar descobrir o valor de V. É lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pois o valor de C + D, como foi aceito acima, é igual a 0. Portanto, V = V + C + D.
O valor para D é derivado da mesma forma: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Com base nisso, fica claro que V = D.
Para entender por que, no entanto, o “mais” no “menos” dá um “menos”, você precisa entender o seguinte. Assim, para o elemento (-C), os opostos são C e (-(-C)), ou seja, são iguais entre si.
Então é óbvio que 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Segue-se disso que C x V é oposto a (-) C x V , o que significa (- C) x V = -(C x V).
Para um rigor matemático completo, também é necessário confirmar que 0 x V = 0 para qualquer elemento. Se você seguir a lógica, então 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Isso significa que adicionar o produto 0 x V não altera a quantidade definida de forma alguma. Afinal, este produto é igual a zero.
Conhecendo todos esses axiomas, é possível deduzir não apenas quanto "mais" por "menos" dá, mas também o que acontece quando números negativos são multiplicados.
Multiplicação e divisão de dois números com um sinal "-"
Se você não se aprofundar nas nuances matemáticas, poderá tentar mais de uma maneira simples explicar as regras para lidar com números negativos.
Suponha que C - (-V) = D, com base nisso, C = D + (-V), ou seja, C = D - V. Transferimos V e obtemos que C + V = D. Ou seja, C + V = C - (-V). Este exemplo explica por que em uma expressão onde há dois "menos" seguidos, os sinais mencionados devem ser alterados para "mais". Agora vamos lidar com a multiplicação.
(-C) x (-V) \u003d D, dois produtos idênticos podem ser adicionados e subtraídos à expressão, que não alterará seu valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C xV) \u003d D.
Lembrando as regras para trabalhar com colchetes, obtemos:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Segue-se disso que C x V \u003d (-C) x (-V).
Da mesma forma, podemos provar que o resultado da divisão de dois números negativos será positivo.
Regras matemáticas gerais
Claro, esta explicação não é adequada para crianças em idade escolar. notas mais baixas que estão apenas começando a aprender números negativos abstratos. Eles explicam melhor objetos visíveis, manipulando o termo familiar por trás do espelho. Por exemplo, brinquedos inventados, mas não existentes, estão localizados lá. Eles podem ser exibidos com um sinal "-". A multiplicação de dois objetos-espelho os transfere para outro mundo, que se equipara ao presente, ou seja, como resultado, temos números positivos. Mas a multiplicação de um número abstrato negativo por um positivo só dá o resultado familiar a todos. Afinal, “mais” multiplicado por “menos” dá “menos”. É verdade que as crianças não se esforçam muito para mergulhar em todas as nuances matemáticas.
Embora, se você encarar a verdade, para muitas pessoas, mesmo com ensino superior e muitas das regras permanecem um mistério. Todo mundo dá como certo o que seus professores lhes ensinam, não se importando em mergulhar em todas as complexidades que a matemática está repleta. "Menos" em "menos" dá "mais" - todos sabem disso sem exceção. Isso vale para inteiros e números fracionários.
1) Por que menos um vezes menos um é igual a mais um?2) Por que menos um vezes mais um é igual a menos um?
"O inimigo do meu inimigo é meu amigo."
A resposta mais fácil é: "Porque essas são as regras para trabalhar com números negativos". As regras que aprendemos na escola e aplicamos ao longo de nossas vidas. No entanto, os livros didáticos não explicam por que as regras são do jeito que são. Tentaremos primeiro entender isso a partir da história do desenvolvimento da aritmética e, em seguida, responderemos a essa pergunta do ponto de vista da matemática moderna.
Há muito tempo as pessoas só sabiam inteiros: 1, 2, 3, ... Eles eram usados para contar utensílios, loot, inimigos, etc. Mas os números em si são bastante inúteis - você precisa saber como lidar com eles. A adição é clara e compreensível e, além disso, a soma de dois números naturais também é um número natural (um matemático diria que o conjunto dos números naturais é fechado na operação de adição). A multiplicação é, de fato, a mesma adição se estivermos falando de números naturais. Na vida, muitas vezes realizamos ações relacionadas a essas duas operações (por exemplo, ao fazer compras, somamos e multiplicamos), e é estranho pensar que nossos ancestrais as encontraram com menos frequência - a adição e a multiplicação foram dominadas pela humanidade por muito tempo atrás. Muitas vezes é necessário dividir uma quantidade por outra, mas aqui o resultado nem sempre é expresso por um número natural - foi assim que os números fracionários apareceram.
A subtração, é claro, também é indispensável. Mas, na prática, tendemos a subtrair o número menor do número maior, e não há necessidade de usar números negativos. (Se eu tiver 5 doces e der 3 para minha irmã, então terei 5 - 3 = 2 doces, mas não posso dar a ela 7 doces com todo o meu desejo.) Isso pode explicar por que as pessoas não usaram números negativos por muito tempo.
Números negativos aparecem em documentos indianos do século VII dC; os chineses, aparentemente, começaram a usá-los um pouco antes. Eles eram usados para contabilizar dívidas ou em cálculos intermediários para simplificar a solução de equações - era apenas uma ferramenta para obter uma resposta positiva. O fato de os números negativos, ao contrário dos positivos, não expressarem a presença de nenhuma entidade, despertou forte desconfiança. As pessoas no sentido literal da palavra evitavam números negativos: se o problema recebesse uma resposta negativa, eles acreditavam que não havia resposta alguma. Essa desconfiança persistiu por muito tempo, e até mesmo Descartes, um dos "fundadores" da matemática moderna, os chamou de "falsos" (no século XVII!).
Considere, por exemplo, a equação 7x - 17 = 2x - 2. Pode ser resolvido assim: mova os termos com o desconhecido para o lado esquerdo e o restante para a direita, resultará 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Com essa solução, nem encontramos números negativos.
Mas pode-se acidentalmente fazer diferente: mover os termos com o desconhecido para o lado direito e obter 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Para encontrar a incógnita, você precisa dividir um número negativo por outro: x = (-15)/(-5). Mas a resposta correta é conhecida, e resta concluir que (-15)/(-5) = 3 .
O que esse exemplo simples demonstra? Primeiramente, fica clara a lógica que determinava as regras para ações em números negativos: os resultados dessas ações devem corresponder às respostas que são obtidas de forma diferente, sem números negativos. Em segundo lugar, ao permitir o uso de números negativos, nos livramos do tedioso (se a equação for mais complicada, com um grande número termos) para procurar o caminho da solução em que todas as ações são executadas apenas em números naturais. Além disso, não podemos mais pensar sempre no significado das quantidades que estão sendo convertidas - e isso já é um passo para transformar a matemática em uma ciência abstrata.
As regras para ações em números negativos não foram formadas imediatamente, mas se tornaram uma generalização de inúmeros exemplos que surgiram ao resolver problemas aplicados. Em geral, o desenvolvimento da matemática pode ser dividido condicionalmente em estágios: cada estágio seguinte difere do anterior por um novo nível de abstração no estudo de objetos. Assim, no século 19, os matemáticos perceberam que números inteiros e polinômios, por toda a sua diferença externa, têm muito em comum: ambos podem ser adicionados, subtraídos e multiplicados. Essas operações obedecem às mesmas leis - tanto no caso de números quanto no caso de polinômios. Mas a divisão de inteiros entre si, de modo que o resultado seja novamente inteiros, nem sempre é possível. O mesmo vale para polinômios.
Então foram descobertas outras coleções de objetos matemáticos nos quais tais operações podem ser realizadas: séries de potências formais, funções contínuas... coleções de objetos (esta abordagem é típica para toda a matemática moderna).
Como resultado, surgiu um novo conceito: anel. É apenas um monte de elementos mais ações que podem ser executadas neles. As regras fundamentais aqui são apenas as regras (elas são chamadas axiomas) a que as ações estão sujeitas, e não a natureza dos elementos do conjunto (aqui está, novo nível abstrações!). Desejando enfatizar que é a estrutura que surge após a introdução dos axiomas que é importante, dizem os matemáticos: o anel dos inteiros, o anel dos polinômios, etc. A partir dos axiomas, podem-se derivar outras propriedades dos anéis.
Vamos formular os axiomas do anel (que são, obviamente, semelhantes às regras para operações com números inteiros), e então provaremos que em qualquer anel, multiplicar um menos por um menos resulta em um mais.
anelé um conjunto com duas operações binárias (ou seja, dois elementos do anel estão envolvidos em cada operação), que são tradicionalmente chamados de adição e multiplicação, e os seguintes axiomas:
- adição de elementos de anel obedece comutativa ( A + B = B + A para quaisquer elementos UMA e B) e associativo ( A + (B + C) = (A + B) + C) leis; o anel contém um elemento especial 0 (um elemento neutro por adição) tal que A + 0 = A, e para qualquer elemento UMA existe um elemento oposto (indicado (-UMA)), que A + (-A) = 0 ;
- a multiplicação obedece à lei da combinação: A (B C) = (A B) C ;
- adição e multiplicação estão relacionadas pelas seguintes regras de expansão de parênteses: (A + B) C = A C + B C e A (B + C) = A B + A C .
Notamos que anéis, na construção mais geral, não requerem que a multiplicação seja permutável, nem é invertível (ou seja, nem sempre é possível dividir), nem requer a existência de uma unidade - um elemento neutro com respeito à multiplicação. Se esses axiomas forem introduzidos, outras estruturas algébricas serão obtidas, mas todos os teoremas provados para anéis serão verdadeiros nelas.
Agora provamos que para quaisquer elementos UMA e B anel arbitrário é verdadeiro, em primeiro lugar, (-A) B = -(A B), E em segundo lugar (-(-A)) = A. A partir disso, as declarações sobre as unidades seguem facilmente: (-1) 1 = -(1 1) = -1 e (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .
Para isso, precisamos estabelecer alguns fatos. Primeiro provamos que cada elemento pode ter apenas um oposto. De fato, deixe o elemento UMA existem dois opostos: B e Com. Ou seja A + B = 0 = A + C. Considere a soma A+B+C. Usando as leis associativas e comutativas e a propriedade do zero, obtemos que, por um lado, a soma é igual a B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, e por outro lado, é igual a C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Meios, B=C .
Observemos agora que UMA, e (-(-UMA)) são opostos ao mesmo elemento (-UMA), então eles devem ser iguais.
O primeiro fato é assim: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, ou seja (-A)B oposto A B, então é igual a -(AB) .
Para ser matematicamente rigoroso, vamos explicar por que 0B = 0 para qualquer elemento B. De fato, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Ou seja, a adição 0 B não altera o valor. Portanto, este produto é igual a zero.
E o fato de haver exatamente um zero no anel (afinal, os axiomas dizem que tal elemento existe, mas nada é dito sobre sua singularidade!), deixaremos para o leitor como um simples exercício.
Evgeny Epifanov, Terra (Sol III).
Duas negativas fazem uma afirmativa- esta é uma regra que aprendemos na escola e aplicamos por toda a nossa vida. Quem de nós se perguntou por quê? É claro que é mais fácil memorizar essa afirmação sem mais perguntas e não se aprofundar na essência da questão. Agora já existe informação suficiente que precisa ser “digerida”. Mas para aqueles que ainda se interessam por essa questão, tentaremos explicar esse fenômeno matemático.
Desde os tempos antigos, as pessoas usam números naturais positivos: 1, 2, 3, 4, 5, ... Gado, colheitas, inimigos, etc. foram contados com a ajuda de números. Ao somar e multiplicar dois números positivos, sempre obtiveram um número positivo, ao dividir algumas quantidades por outras, nem sempre obtiveram números naturais - foi assim que surgiram os números fracionários. E a subtração? Desde a infância, sabemos que é melhor adicionar o menor ao maior e subtrair o menor do maior, enquanto novamente não usamos números negativos. Acontece que se eu tenho 10 maçãs, eu só posso dar menos de 10 ou 10. Não tem como eu dar 13 maçãs, porque eu não tenho nenhuma. Não havia necessidade de números negativos por um longo tempo.
Somente a partir do século VII d.C. números negativos foram utilizados em alguns sistemas de contagem como valores auxiliares, o que possibilitou a obtenção de um número positivo na resposta.
Considere um exemplo, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Para encontrar a resposta, é necessário deixar os termos com incógnitas no lado esquerdo e o restante no lado direito: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Ao resolver esta equação, ainda não existem números negativos. Poderíamos transferir termos com incógnitas para o lado direito e sem incógnitas - para a esquerda: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Ao dividir um número negativo por um negativo, obtemos uma resposta positiva: x \u003d 7.
O que vemos?
Ações com números negativos devem nos levar à mesma resposta que ações com apenas números positivos. Não podemos mais pensar na inadequação prática e no significado das ações - elas nos ajudam a resolver o problema muito mais rápido, sem reduzir a equação à forma apenas com números positivos. Em nosso exemplo, não usamos cálculos complexos, mas com em grande número termos, cálculos com números negativos podem facilitar nosso trabalho.
Com o tempo, após longos experimentos e cálculos, foi possível identificar as regras que todos os números e ações sobre eles obedecem (em matemática são chamados de axiomas). Foi daí que veio um axioma que afirma que quando você multiplica dois números negativos, obtém um número positivo.
site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.
Ao ouvir um professor de matemática, a maioria dos alunos percebe o material como um axioma. Ao mesmo tempo, poucas pessoas tentam chegar ao fundo e descobrir por que "menos" para "mais" dá um sinal de "menos" e, ao multiplicar dois números negativos, sai um positivo.
Leis da Matemática
A maioria dos adultos não consegue explicar a si mesmo ou a seus filhos por que isso acontece. Eles aprenderam completamente esse material na escola, mas nem tentaram descobrir de onde vinham essas regras. Mas em vão. Muitas vezes, as crianças modernas não são tão ingênuas, elas precisam chegar ao fundo da questão e entender, digamos, por que "mais" em "menos" dá "menos". E às vezes os moleques fazem perguntas complicadas deliberadamente para aproveitar o momento em que os adultos não podem dar uma resposta inteligível. E é realmente um desastre se um jovem professor se mete em problemas...
A propósito, deve-se notar que a regra mencionada acima é válida tanto para multiplicação quanto para divisão. O produto de um número negativo por um positivo só dará um "menos". Se estamos falando de dois dígitos com um sinal "-", o resultado será um número positivo. O mesmo se aplica à divisão. Se um dos números for negativo, então o quociente também estará com o sinal "-".
Para explicar a exatidão desta lei da matemática, é necessário formular os axiomas do anel. Mas primeiro você precisa entender o que é. Em matemática, costuma-se chamar um anel de um conjunto no qual estão envolvidas duas operações com dois elementos. Mas é melhor entender isso com um exemplo.
Axioma do anel
Existem várias leis matemáticas.
- O primeiro deles é deslocável, segundo ele, C + V = V + C.
- O segundo é chamado associativo (V + C) + D = V + (C + D).
A multiplicação (V x C) x D \u003d V x (C x D) também os obedece.
Ninguém cancelou as regras pelas quais os colchetes são abertos (V + C) x D = V x D + C x D, também é verdade que C x (V + D) = C x V + C x D.
Além disso, foi estabelecido que um elemento especial de adição neutra pode ser introduzido no anel, usando o seguinte: C + 0 = C. Além disso, para cada C há um elemento oposto, que pode ser denotado como (-C). Nesse caso, C + (-C) \u003d 0.
Derivação de axiomas para números negativos
Tendo aceitado as afirmações acima, podemos responder à pergunta: ""Mais" em "menos" dá que sinal? Conhecendo o axioma sobre a multiplicação de números negativos, é necessário confirmar que de fato (-C) x V = -(C x V). E também que a seguinte igualdade é verdadeira: (-(-C)) = C.
Para fazer isso, devemos primeiro provar que cada um dos elementos tem apenas um "irmão" oposto. Considere o seguinte exemplo de prova. Vamos tentar imaginar que dois números são opostos para C - V e D. Daí segue que C + V = 0 e C + D = 0, ou seja, C + V = 0 = C + D. Lembrando as leis de deslocamento e sobre as propriedades do número 0, podemos considerar a soma dos três números: C, V e D. Vamos tentar descobrir o valor de V. É lógico que V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, pois o valor de C + D, como foi aceito acima, é igual a 0. Portanto, V = V + C + D.
O valor para D é derivado da mesma forma: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Com base nisso, fica claro que V = D.
Para entender por que, no entanto, o "mais" no "menos" dá um "menos", você precisa entender o seguinte. Assim, para o elemento (-C), os opostos são C e (-(-C)), ou seja, são iguais entre si.
Então é óbvio que 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Segue-se disso que C x V é oposto a (-) C x V , o que significa (- C) x V = -(C x V).
Para um rigor matemático completo, também é necessário confirmar que 0 x V = 0 para qualquer elemento. Se você seguir a lógica, então 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Isso significa que adicionar o produto 0 x V não altera a quantidade definida de forma alguma. Afinal, este produto é igual a zero.
Conhecendo todos esses axiomas, pode-se deduzir não apenas quanto "mais" por "menos" dá, mas também o que acontece quando números negativos são multiplicados.
Multiplicação e divisão de dois números com sinal "-"
Se você não se aprofundar nas nuances matemáticas, poderá tentar explicar as regras de ação com números negativos de uma maneira mais simples.
Suponha que C - (-V) = D, com base nisso, C = D + (-V), ou seja, C = D - V. Transferimos V e obtemos que C + V = D. Ou seja, C + V = C - (-V). Este exemplo explica por que em uma expressão onde há dois "menos" seguidos, os sinais mencionados devem ser alterados para "mais". Agora vamos lidar com a multiplicação.
(-C) x (-V) \u003d D, dois produtos idênticos podem ser adicionados e subtraídos à expressão, que não alterará seu valor: (-C) x (-V) + (C x V) - (C xV) \u003d D.
Lembrando as regras para trabalhar com colchetes, obtemos:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Segue-se disso que C x V \u003d (-C) x (-V).
Da mesma forma, podemos provar que o resultado da divisão de dois números negativos será positivo.
Regras matemáticas gerais
Claro, tal explicação não é adequada para alunos do ensino fundamental que estão apenas começando a aprender números negativos abstratos. É melhor para eles explicarem sobre objetos visíveis, manipulando o termo familiar através do espelho. Por exemplo, brinquedos inventados, mas não existentes, estão localizados lá. Eles podem ser exibidos com um sinal "-". A multiplicação de dois objetos-espelho os transfere para outro mundo, que se equipara ao presente, ou seja, como resultado, temos números positivos. Mas a multiplicação de um número abstrato negativo por um positivo só dá o resultado familiar a todos. Afinal, "mais" multiplicado por "menos" dá "menos". É verdade que as crianças não se esforçam muito para mergulhar em todas as nuances matemáticas. 
Embora, se você encarar a verdade, para muitas pessoas, mesmo com ensino superior, muitas regras permanecem um mistério. Todo mundo dá como certo o que seus professores lhes ensinam, não se importando em mergulhar em todas as complexidades que a matemática está repleta. "Menos" em "menos" dá um "mais" - todos sabem disso sem exceção. Isso vale tanto para números inteiros quanto para números fracionários.
Atenção, somente HOJE!
- Métodos de classificação em programação: Bubble Sort
