Funções de uma variável complexa.
Diferenciação de funções de uma variável complexa.

Este artigo abre uma série de lições nas quais examinarei tarefas típicas associada à teoria das funções de uma variável complexa. Para dominar com sucesso os exemplos, você deve ter conhecimento básico sobre números complexos. Para consolidar e repetir o material, basta visitar a página. Você também precisará de habilidades para encontrar derivadas parciais de segunda ordem. Aqui estão elas, essas derivadas parciais... mesmo agora fiquei um pouco surpreso com a frequência com que elas ocorrem...

O tema que estamos começando a analisar não é particularmente difícil, e nas funções de uma variável complexa, em princípio, tudo é claro e acessível. O principal é aderir à regra básica, que é derivada por mim empiricamente. Leia!

O conceito de uma função de uma variável complexa

Primeiro, vamos atualizar nosso conhecimento sobre a função escola de uma variável:

Função de uma variávelé uma regra segundo a qual cada valor da variável independente (do domínio de definição) corresponde a um e apenas um valor da função . Naturalmente, "x" e "y" são números reais.

No caso complexo, a dependência funcional é dada da mesma forma:

Função de valor único de uma variável complexaé a regra que todos compreensivo o valor da variável independente (do domínio) corresponde a uma e apenas uma compreensivo valor da função. Em teoria, funções multivaloradas e alguns outros tipos de funções também são consideradas, mas para simplificar, vou me concentrar em uma definição.

Qual é a função de uma variável complexa?

A principal diferença é que os números são complexos. Não estou sendo irônico. De tais perguntas muitas vezes caem em estupor, no final do artigo vou contar uma história legal. Na lição Números complexos para manequins consideramos um número complexo na forma . Desde agora a letra "Z" tornou-se variável, então o denotaremos da seguinte forma: , enquanto "x" e "y" podem assumir diferentes válido valores. Grosso modo, a função de uma variável complexa depende das variáveis ​​e , que assumem valores "usuais". A partir de este fato o seguinte ponto segue logicamente:

A função de uma variável complexa pode ser escrita como:
, onde e são duas funções de dois válido variáveis.

A função é chamada parte real funções .
A função é chamada parte imaginária funções .

Ou seja, a função de uma variável complexa depende de duas funções reais e . Para finalmente esclarecer tudo, vejamos exemplos práticos:

Exemplo 1

Solução: A variável independente "z", como você lembra, é escrita como , portanto:

(1) Substituído na função original.

(2) Para o primeiro termo, foi utilizada a fórmula de multiplicação reduzida. No prazo, os colchetes foram abertos.

(3) Cuidadosamente esquadrado, não esquecendo que

(4) Rearranjo de termos: primeiro reescrever termos , em que não há unidade imaginária(primeiro grupo), depois termos, onde existe (segundo grupo). Deve-se notar que não é necessário embaralhar os termos, e esta etapa pode ser omitida (na verdade, realizando-a oralmente).

(5) O segundo grupo é retirado dos parênteses.

Como resultado, nossa função acabou sendo representada na forma

Responda:
é a parte real da função.
é a parte imaginária da função .

Quais são essas funções? As funções mais comuns de duas variáveis, das quais se pode encontrar tais derivadas parciais. Sem piedade - vamos encontrar. Mas um pouco mais tarde.

Resumidamente, o algoritmo do problema resolvido pode ser escrito da seguinte forma: substituímos na função original, realizamos simplificações e dividimos todos os termos em dois grupos - sem unidade imaginária (parte real) e com unidade imaginária (parte imaginária).

Exemplo 2

Encontrar a parte real e imaginária de uma função

Este é um exemplo de faça você mesmo. Antes de você se jogar na batalha no plano complexo com rascunhos, deixe-me dar-lhe o máximo conselho importante neste tópico:

TOME CUIDADO! Você precisa ter cuidado, é claro, em todos os lugares, mas em números complexos você deve ter cuidado mais do que nunca! Lembre-se que, expanda cuidadosamente os colchetes, não perca nada. De acordo com minhas observações, o erro mais comum é a perda de sinal. Não se apresse!

Solução completa e resposta no final da lição.

Agora cubo. Usando a fórmula de multiplicação abreviada, derivamos:
.

As fórmulas são muito convenientes de usar na prática, pois aceleram bastante o processo de solução.

Diferenciação de funções de uma variável complexa.

Tenho duas notícias: boas e ruins. Vou começar com um bom. Para uma função de uma variável complexa, as regras de diferenciação e a tabela de derivadas são válidas funções elementares. Assim, a derivada é tomada exatamente da mesma forma que no caso de uma função de uma variável real.

A má notícia é que para muitas funções de uma variável complexa, não há nenhuma derivada, e você tem que descobrir é diferenciável uma função ou outra. E “descobrir” como seu coração se sente está associado a problemas adicionais.

Considere uma função de uma variável complexa. A fim de determinada função era diferenciável necessário e suficiente:

1) Para que haja derivadas parciais de primeira ordem. Esqueça essas notações imediatamente, pois na teoria da função de uma variável complexa, outra versão da notação é tradicionalmente usada: .

2) Para realizar o chamado Condições de Cauchy-Riemann:

Somente neste caso a derivada existirá!

Exemplo 3

Solução decomposto em três fases sucessivas:

1) Encontre as partes real e imaginária da função. Essa tarefa foi analisada em exemplos anteriores, então vou anotá-la sem comentários:

Desde então:

Nesse caminho:

é a parte imaginária da função .

Vou me deter em mais um ponto técnico: em que ordem escrever termos em partes reais e imaginárias? Sim, basicamente não importa. Por exemplo, a parte real pode ser escrita assim: , e imaginário - assim: .

2) Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Existem dois deles.

Vamos começar verificando a condição. Nós achamos derivadas parciais:

Assim, a condição é cumprida.

Sem dúvida, a boa notícia é que as derivadas parciais são quase sempre muito simples.

Verificamos o cumprimento da segunda condição:

Aconteceu o mesmo, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é satisfeita.

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto, a função é diferenciável.

3) Encontre a derivada da função. A derivada também é muito simples e é encontrada de acordo com as regras usuais:

A unidade imaginária em diferenciação é considerada uma constante.

Responda: - parte real é a parte imaginária.
As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, .

Existem mais duas maneiras de encontrar a derivada, elas são, é claro, usadas com menos frequência, mas as informações serão úteis para entender a segunda lição - Como encontrar a função de uma variável complexa?

A derivada pode ser encontrada pela fórmula:

Nesse caso:

Nesse caminho

É necessário resolver o problema inverso - na expressão resultante, você precisa isolar . Para fazer isso, é necessário em termos e tirar entre parênteses:

A ação inversa, como muitos notaram, é um pouco mais difícil de realizar; para verificação, é sempre melhor pegar a expressão e no rascunho, ou abrir verbalmente os colchetes de volta, certificando-se de que saia exatamente

Fórmula do espelho para encontrar a derivada:

Nesse caso: , é por isso:

Exemplo 4

Determine as partes real e imaginária de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Se as condições de Cauchy-Riemann forem atendidas, encontre a derivada da função.

Uma solução curta e uma amostra aproximada de acabamento no final da lição.

As condições de Cauchy-Riemann são sempre satisfeitas? Teoricamente, eles são mais frequentemente não cumpridos do que são. Mas em exemplos práticos Não me lembro de um caso em que não foram cumpridos =) Assim, se suas derivadas parciais “não convergiram”, então com uma probabilidade muito alta podemos dizer que você cometeu um erro em algum lugar.

Vamos complicar nossas funções:

Exemplo 5

Determine as partes real e imaginária de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular

Solução: O algoritmo de solução é completamente preservado, mas no final uma nova moda é adicionada: encontrar a derivada em um ponto. Para o cubo, a fórmula necessária já foi derivada:

Vamos definir as partes real e imaginária desta função:

Atenção e novamente atenção!

Desde então:


Nesse caminho:
é a parte real da função;
é a parte imaginária da função .

Verificando a segunda condição:

Aconteceu a mesma coisa, mas com sinais opostos, ou seja, a condição também é cumprida.

As condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas, portanto, a função é diferenciável:

Calcule o valor da derivada no ponto requerido:

Responda:, , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas,

Funções com cubos são comuns, então um exemplo para consolidar:

Exemplo 6

Determine as partes real e imaginária de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Calcular .

Decisão e finalização da amostra no final da aula.

Em teoria análise complexa outras funções do argumento complexo também são definidas: expoente, seno, cosseno, etc. Essas funções têm propriedades incomuns e até bizarras - e é muito interessante! Eu realmente quero dizer a você, mas aqui, aconteceu, não um livro de referência ou um livro didático, mas uma solução, então considerarei a mesma tarefa com algumas funções comuns.

Primeiro sobre o chamado Fórmulas de Euler:

Para qualquer um válido números, as seguintes fórmulas são válidas:

Você também pode copiá-lo em seu caderno como referência.

Estritamente falando, existe apenas uma fórmula, mas geralmente, por conveniência, eles também escrevem um caso especial com menos no indicador. O parâmetro não precisa ser uma única letra, pode ser expressão composta, função, é importante apenas que eles aceitem válido apenas valores. Na verdade, veremos agora:

Exemplo 7

Encontrar derivada.

Solução: A linha geral do partido permanece inabalável - é preciso destacar as partes reais e imaginárias da função. Darei uma solução detalhada e comentarei cada etapa abaixo:

Desde então:

(1) Substitua por "z".

(2) Após a substituição, é necessário separar as partes real e imaginária primeiro em expoente expositores. Para fazer isso, abra os colchetes.

(3) Agrupamos a parte imaginária do indicador, colocando a unidade imaginária fora dos colchetes.

(4) Use ação escolar com poderes.

(5) Para o multiplicador, usamos a fórmula de Euler , enquanto .

(6) Abrimos os colchetes, como resultado:

é a parte real da função;
é a parte imaginária da função .

Outras ações são padrão, vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:

Exemplo 9

Determine as partes real e imaginária de uma função . Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann. Assim seja, não encontraremos a derivada.

Solução: O algoritmo de solução é muito semelhante aos dois exemplos anteriores, mas há pontos importantes, é por isso Primeira etapa Vou comentar novamente passo a passo:

Desde então:

1) Substituímos em vez de "z".

(2) Primeiro, selecione as partes real e imaginária dentro do seio. Para isso, abra os colchetes.

(3) Usamos a fórmula , enquanto .

(4) Uso paridade do cosseno hiperbólico: E estranheza do seno hiperbólico: . Hiperbólicas, embora não sejam deste mundo, mas de muitas maneiras se assemelham a funções trigonométricas semelhantes.

Eventualmente:
é a parte real da função;
é a parte imaginária da função .

Atenção! O sinal de menos refere-se à parte imaginária, e em nenhum caso devemos perdê-la! Para uma ilustração visual, o resultado obtido acima pode ser reescrito da seguinte forma:

Vamos verificar o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann:

As condições de Cauchy-Riemann são cumpridas.

Responda:, , as condições de Cauchy-Riemann são satisfeitas.

Com cosseno, senhoras e senhores, entendemos por conta própria:

Exemplo 10

Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.

Escolhi deliberadamente exemplos mais complicados, já que todos podem lidar com algo como amendoim descascado. Ao mesmo tempo, treine sua atenção! Quebra-nozes no final da aula.

Bem, em conclusão, vou considerar mais uma exemplo interessante quando o argumento complexo está no denominador. Nos encontramos algumas vezes na prática, vamos analisar algo simples. Ah, estou ficando velho...

Exemplo 11

Determine as partes real e imaginária da função. Verifique o cumprimento das condições de Cauchy-Riemann.

Solução: Novamente, é necessário separar as partes real e imaginária da função.
Se então

Surge a pergunta, o que fazer quando "Z" está no denominador?

Tudo é simples - o padrão ajudará método de multiplicar o numerador e denominador pela expressão conjugada, já foi usado nos exemplos da lição Números complexos para manequins. Vamos relembrar a fórmula da escola. No denominador já temos , então a expressão conjugada será . Assim, você precisa multiplicar o numerador e denominador por: