பிளஸ் விதிக்கு மைனஸ் கொடுக்கிறது. "பிளஸ்" முதல் "மைனஸ்" வரை ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது எப்படி
ஒரு கணித ஆசிரியரைக் கேட்கும்போது, பெரும்பாலான மாணவர்கள் பொருளை ஒரு கோட்பாடாக உணர்கிறார்கள். அதே நேரத்தில், சிலர் கீழே இறங்கி, "மைனஸ்" முதல் "பிளஸ்" வரை ஏன் "மைனஸ்" அடையாளத்தைக் கொடுக்கிறார்கள் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மேலும் இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, நேர்மறை ஒன்று வெளிவருகிறது.
கணித விதிகள்
இது ஏன் நடக்கிறது என்பதை பெரும்பாலான பெரியவர்கள் தங்களுக்கு அல்லது தங்கள் குழந்தைகளுக்கு விளக்க முடியாது. அவர்கள் பள்ளியில் இந்த பாடத்தை முழுமையாகக் கற்றுக்கொண்டனர், ஆனால் அத்தகைய விதிகள் எங்கிருந்து வந்தன என்பதை அவர்கள் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவில்லை. ஆனால் வீண். பெரும்பாலும், நவீன குழந்தைகள் மிகவும் ஏமாந்து போவதில்லை, அவர்கள் விஷயத்தின் அடிப்பகுதிக்குச் சென்று, "மைனஸ்" இல் "பிளஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சில சமயங்களில் பெரியவர்கள் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய பதிலைக் கொடுக்க முடியாத தருணத்தை அனுபவிப்பதற்காக டாம்பாய்கள் வேண்டுமென்றே தந்திரமான கேள்விகளைக் கேட்கிறார்கள். ஒரு இளம் ஆசிரியர் சிக்கலில் சிக்கினால் அது உண்மையில் ஒரு பேரழிவு ...
மூலம், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள விதி பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை எண்ணின் பலன் மைனஸை மட்டுமே தரும். என்றால் நாங்கள் பேசுகிறோம்"-" அடையாளத்துடன் இரண்டு இலக்கங்கள் இருந்தால், அதன் விளைவாக நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். பிரிவுக்கும் அப்படித்தான். எண்களில் ஒன்று எதிர்மறையாக இருந்தால், அந்த எண் "-" அடையாளத்துடன் இருக்கும்.
இந்த கணித விதியின் சரியான தன்மையை விளக்க, வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். ஆனால் முதலில் அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கணிதத்தில், இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட இரண்டு செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு வளையத்தை ஒரு தொகுப்பு என்று அழைப்பது வழக்கம். ஆனால் இதை ஒரு உதாரணத்துடன் புரிந்துகொள்வது நல்லது.
மோதிரக் கோட்பாடு
பல கணித விதிகள் உள்ளன.
- அவற்றில் முதலாவது இடமாற்றம் செய்யக்கூடியது, அவரைப் பொறுத்தவரை, C + V = V + C.
- இரண்டாவது அசோசியேட்டிவ் (V + C) + D = V + (C + D) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பெருக்கல் (V x C) x D \u003d V x (C x D) அவர்களுக்கும் கீழ்ப்படிகிறது.
அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படும் விதிகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D என்பதும் உண்மைதான்.
கூடுதலாக, ஒரு சிறப்பு, கூட்டல்-நடுநிலை உறுப்பை வளையத்தில் அறிமுகப்படுத்தலாம், இதைப் பயன்படுத்தி பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: C + 0 = C. கூடுதலாக, ஒவ்வொரு C க்கும் ஒரு எதிர் உறுப்பு உள்ளது, இது முடியும் (-C) எனக் குறிக்கப்படும். இந்த வழக்கில், C + (-C) \u003d 0.
எதிர்மறை எண்களுக்கான கோட்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்
மேலே உள்ள அறிக்கைகளை ஏற்றுக்கொள்வதன் மூலம், கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்கலாம்: "கழித்தல்" இல் "பிளஸ்" என்ன அடையாளத்தை அளிக்கிறது? எதிர்மறை எண்களின் பெருக்கல் பற்றிய கோட்பாட்டை அறிந்தால், உண்மையில் (-C) x V = -(C x V) என்பதை உறுதிப்படுத்துவது அவசியம். மேலும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும்: (-(-C)) = C.
இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு எதிர் "சகோதரன்" மட்டுமே உள்ளது என்பதை முதலில் நிரூபிக்க வேண்டும். பின்வரும் ஆதார உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். C - V மற்றும் D க்கு இரண்டு எண்கள் எதிரெதிர் என்று கற்பனை செய்ய முயற்சிப்போம். இதிலிருந்து C + V = 0 மற்றும் C + D = 0, அதாவது C + V = 0 = C + D. இடப்பெயர்ச்சி சட்டங்களை நினைவில் கொள்கிறது மற்றும் எண் 0 இன் பண்புகளைப் பற்றி, நாம் மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: C, V மற்றும் D. V இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். V = V + 0 = V + (C + என்பது தர்க்கரீதியானது. D) = V + C + D, ஏனெனில் மேலே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட C + D இன் மதிப்பு 0 க்கு சமம். எனவே, V = V + C + D.
D க்கான மதிப்பு அதே வழியில் பெறப்படுகிறது: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. இதன் அடிப்படையில், V = D என்பது தெளிவாகிறது.
"மைனஸ்" இல் உள்ள "பிளஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வருவனவற்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, உறுப்பு (-C) க்கு, எதிர் C மற்றும் (-(-C)), அதாவது அவை ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இதிலிருந்து C x V என்பது (-) C x V க்கு எதிர் , அதாவது (- C) x V = -(C x V).
முழுமையான கணிதக் கடினத்தன்மைக்கு, எந்த உறுப்புக்கும் 0 x V = 0 என்பதை உறுதிப்படுத்துவதும் அவசியம். நீங்கள் தர்க்கத்தைப் பின்பற்றினால், 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. அதாவது 0 x V தயாரிப்பைச் சேர்ப்பது எந்த வகையிலும் செட் தொகையை மாற்றாது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
இந்த கோட்பாடுகள் அனைத்தையும் அறிந்தால், "பிளஸ்" மூலம் "மைனஸ்" எவ்வளவு கொடுக்கிறது என்பது மட்டுமல்லாமல், எதிர்மறை எண்களை பெருக்கினால் என்ன நடக்கும் என்பதையும் கணக்கிட முடியும்.
"-" அடையாளத்துடன் இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
நீங்கள் கணித நுணுக்கங்களை ஆராயவில்லை என்றால், நீங்கள் இன்னும் முயற்சி செய்யலாம் ஒரு எளிய வழியில்எதிர்மறை எண்களைக் கையாள்வதற்கான விதிகளை விளக்குங்கள்.
C - (-V) = D, இதன் அடிப்படையில், C = D + (-V), அதாவது C = D - V. நாம் V ஐ மாற்றினால், C + V = D என்று பெறுகிறோம். அதாவது, C + வி = சி - (-வி). ஒரு வரிசையில் இரண்டு "மைனஸ்" இருக்கும் ஒரு எக்ஸ்ப்ரெஷனில், குறிப்பிடப்பட்ட குறிகளை "பிளஸ்" என்று ஏன் மாற்ற வேண்டும் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்குகிறது. இப்போது பெருக்கத்தை கையாள்வோம்.
(-C) x (-V) \u003d D, வெளிப்பாட்டில் இரண்டு ஒத்த தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், இது அதன் மதிப்பை மாற்றாது: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d டி.
அடைப்புக்குறிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் வைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
இதிலிருந்து C x V \u003d (-C) x (-V).
இதேபோல், இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பிரிப்பதன் விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்கலாம்.
பொதுவான கணித விதிகள்
நிச்சயமாக, இந்த விளக்கம் பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஏற்றது அல்ல. குறைந்த தரங்கள்சுருக்கமான எதிர்மறை எண்களைக் கற்றுக்கொள்ளத் தொடங்குபவர்கள். சிறப்பாக விளக்குகிறார்கள் காணக்கூடிய பொருள்கள், லுக்கிங் கிளாஸின் பின்னால் தெரிந்த சொல்லைக் கையாளுதல். உதாரணமாக, கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் தற்போதுள்ள பொம்மைகள் அங்கு அமைந்துள்ளன. அவை "-" அடையாளத்துடன் காட்டப்படும். இரண்டு தோற்றமளிக்கும் கண்ணாடி பொருட்களின் பெருக்கம் அவற்றை வேறொரு உலகத்திற்கு மாற்றுகிறது, இது நிகழ்காலத்திற்கு சமமாக உள்ளது, இதன் விளைவாக, நமக்கு நேர்மறை எண்கள் உள்ளன. ஆனால் ஒரு சுருக்க எதிர்மறை எண்ணை நேர்மறை ஒன்றால் பெருக்குவது அனைவருக்கும் தெரிந்த முடிவை மட்டுமே அளிக்கிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "பிளஸ்" "மைனஸ்" ஆல் பெருக்கினால் "மைனஸ்" கிடைக்கும். உண்மை, குழந்தைகள் அனைத்து கணித நுணுக்கங்களையும் ஆராய்வதற்கு மிகவும் கடினமாக முயற்சி செய்வதில்லை.
இருப்பினும், நீங்கள் உண்மையை எதிர்கொண்டால், பலருக்கு, கூட உயர் கல்விமேலும் பல விதிகள் மர்மமாகவே இருக்கின்றன. ஒவ்வொருவரும் தங்கள் ஆசிரியர்கள் தங்களுக்குக் கற்பிப்பதை சாதாரணமாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள், கணிதம் நிரம்பிய அனைத்து சிக்கல்களையும் ஆராய்வதில் தவறில்லை. “மைனஸ்” இல் “மைனஸ்” “பிளஸ்” கொடுக்கிறது - விதிவிலக்கு இல்லாமல் இதைப் பற்றி அனைவருக்கும் தெரியும். இது முழு எண்கள் மற்றும் இரண்டுக்கும் பொருந்தும் பின்ன எண்கள்.
1) மைனஸ் ஒரு முறை மைனஸ் ஒன்று சமமாக பிளஸ் ஒன் ஆனது ஏன்?2) மைனஸ் ஒரு முறை கூட்டல் ஒன்று மைனஸ் ஒன்று ஏன்?
"என் எதிரியின் எதிரி என் நண்பன்."
எளிதான பதில்: "ஏனென்றால் எதிர்மறை எண்களுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள் இவை." பள்ளியில் நாம் கற்றுக் கொள்ளும் விதிகள் மற்றும் நம் வாழ்நாள் முழுவதும் பொருந்தும். இருப்பினும், விதிகள் ஏன் உள்ளன என்பதை பாடப்புத்தகங்கள் விளக்கவில்லை. எண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியின் வரலாற்றிலிருந்து இதை முதலில் புரிந்து கொள்ள முயற்சிப்போம், பின்னர் நவீன கணிதத்தின் பார்வையில் இருந்து இந்த கேள்விக்கு பதிலளிப்போம்.
நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு மக்களுக்கு மட்டுமே தெரியும் முழு எண்கள்: 1, 2, 3, ... பாத்திரங்கள், கொள்ளையடித்தல், எதிரிகள் போன்றவற்றை எண்ணுவதற்கு அவை பயன்படுத்தப்பட்டன. ஆனால் எண்கள் மிகவும் பயனற்றவை - அவற்றை எவ்வாறு கையாள்வது என்பதை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும். கூட்டல் தெளிவாகவும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியதாகவும் உள்ளது, தவிர, இரண்டு இயற்கை எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒரு இயற்கை எண் (ஒரு கணிதவியலாளர் இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு கூட்டல் செயல்பாட்டின் கீழ் மூடப்பட்டதாகக் கூறுவார்). இயற்கை எண்களைப் பற்றி பேசினால், பெருக்கல் என்பது உண்மையில் அதே கூட்டலாகும். வாழ்க்கையில், இந்த இரண்டு செயல்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய செயல்களை நாங்கள் அடிக்கடி செய்கிறோம் (உதாரணமாக, ஷாப்பிங் செய்யும் போது, சேர்த்து பெருக்குகிறோம்), மேலும் நம் முன்னோர்கள் குறைவாகவே சந்தித்தார்கள் என்று நினைப்பது விசித்திரமானது - கூட்டல் மற்றும் பெருக்கம் மனிதகுலத்தால் மிக நீண்ட காலமாக தேர்ச்சி பெற்றது. முன்பு. பெரும்பாலும் ஒரு அளவை இன்னொருவரால் வகுக்க வேண்டியது அவசியம், ஆனால் இங்கே முடிவு எப்போதும் இயற்கை எண்ணால் வெளிப்படுத்தப்படுவதில்லை - இப்படித்தான் பின்ன எண்கள் தோன்றின.
கழித்தல், நிச்சயமாக, இன்றியமையாதது. ஆனால் நடைமுறையில், பெரிய எண்ணிலிருந்து சிறிய எண்ணைக் கழிக்க முனைகிறோம், மேலும் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்த வேண்டிய அவசியமில்லை. (என்னிடம் 5 மிட்டாய்கள் இருந்தால், நான் என் சகோதரிக்கு 3 கொடுத்தால், என்னிடம் 5 - 3 = 2 மிட்டாய்கள் இருக்கும், ஆனால் என் ஆசையுடன் 7 மிட்டாய்களை என்னால் கொடுக்க முடியாது.) மக்கள் ஏன் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்தவில்லை என்பதை இது விளக்குகிறது. நீண்ட காலமாக.
கி.பி 7 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து இந்திய ஆவணங்களில் எதிர்மறை எண்கள் காணப்படுகின்றன; சீனர்கள், வெளிப்படையாக, சிறிது முன்னதாகவே அவற்றைப் பயன்படுத்தத் தொடங்கினர். அவை கடன்களைக் கணக்கிட அல்லது சமன்பாடுகளின் தீர்வை எளிதாக்க இடைநிலை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன - இது நேர்மறையான பதிலைப் பெறுவதற்கான ஒரு கருவி மட்டுமே. எதிர்மறை எண்கள், நேர்மறை எண்களைப் போலல்லாமல், எந்தவொரு பொருளின் இருப்பையும் வெளிப்படுத்தாது என்பது வலுவான அவநம்பிக்கையைத் தூண்டியது. வார்த்தையின் நேரடி அர்த்தத்தில் மக்கள் எதிர்மறை எண்களைத் தவிர்த்தனர்: பிரச்சனைக்கு எதிர்மறையான பதில் கிடைத்தால், பதில் இல்லை என்று அவர்கள் நம்பினர். இந்த அவநம்பிக்கை மிக நீண்ட காலமாக நீடித்தது, மேலும் நவீன கணிதத்தின் "நிறுவனர்களில்" ஒருவரான டெஸ்கார்ட்ஸ் கூட அவர்களை "தவறான" (17 ஆம் நூற்றாண்டில்!) என்று அழைத்தார்.
உதாரணமாக, சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் 7x - 17 = 2x - 2. இதை இவ்வாறு தீர்க்கலாம்: தெரியாதவற்றுடன் விதிமுறைகளை இடது பக்கமாகவும், மீதமுள்ளவை வலதுபுறமாகவும் நகர்த்தவும், அது மாறிவிடும். 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. இந்த தீர்வு மூலம், நாங்கள் எதிர்மறை எண்களை கூட சந்திக்கவில்லை.
ஆனால் ஒருவர் தற்செயலாக அதை வித்தியாசமாகச் செய்யலாம்: தெரியாதவற்றுடன் விதிமுறைகளை வலது பக்கம் நகர்த்திப் பெறுங்கள் 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. தெரியாததைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் ஒரு எதிர்மறை எண்ணை மற்றொன்றால் வகுக்க வேண்டும்: x = (-15)/(-5). ஆனால் சரியான பதில் தெரியும், அது இன்னும் முடிவுக்கு வர வேண்டும் (-15)/(-5) = 3 .
இந்த எளிய உதாரணம் எதைக் காட்டுகிறது? முதலில், எதிர்மறை எண்களில் செயல்களுக்கான விதிகளை நிர்ணயிக்கும் தர்க்கம் தெளிவாகிறது: இந்த செயல்களின் முடிவுகள் எதிர்மறை எண்கள் இல்லாமல் வேறு வழியில் பெறப்பட்ட பதில்களுடன் பொருந்த வேண்டும். இரண்டாவதாக, எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதை அனுமதிப்பதன் மூலம், நாம் கடினமானவற்றிலிருந்து விடுபடுகிறோம் (சமன்பாடு மிகவும் சிக்கலானதாக மாறினால், அதிக எண்ணிக்கையிலானவிதிமுறைகள்) இயற்கை எண்களில் மட்டுமே அனைத்து செயல்களும் செய்யப்படும் தீர்வு பாதையை தேட. மேலும், மாற்றப்படும் அளவுகளின் அர்த்தத்தைப் பற்றி நாம் இனி ஒவ்வொரு முறையும் சிந்திக்க முடியாது - மேலும் இது ஏற்கனவே கணிதத்தை ஒரு சுருக்க அறிவியலாக மாற்றுவதற்கான ஒரு படியாகும்.
எதிர்மறை எண்களின் செயல்களுக்கான விதிகள் உடனடியாக உருவாக்கப்படவில்லை, ஆனால் பயன்பாட்டு சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது எழும் பல எடுத்துக்காட்டுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக மாறியது. பொதுவாக, கணிதத்தின் வளர்ச்சியை நிபந்தனையுடன் நிலைகளாகப் பிரிக்கலாம்: ஒவ்வொரு அடுத்த கட்டமும் முந்தைய நிலையிலிருந்து பொருட்களைப் படிப்பதில் ஒரு புதிய அளவிலான சுருக்கத்தால் வேறுபடுகிறது. எனவே, 19 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதவியலாளர்கள் முழு எண்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள், அவற்றின் வெளிப்புற ஒற்றுமையின்மைக்கு, மிகவும் பொதுவானவை என்பதை உணர்ந்தனர்: இரண்டையும் கூட்டலாம், கழிக்கலாம் மற்றும் பெருக்கலாம். இந்த செயல்பாடுகள் ஒரே சட்டங்களுக்குக் கீழ்ப்படிகின்றன - எண்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் விஷயத்தில். ஆனால் முழு எண்களை ஒன்றோடொன்று வகுத்தல், இதன் விளைவாக மீண்டும் முழு எண்களாக இருக்கும், எப்போதும் சாத்தியமில்லை. பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் இதுவே பொருந்தும்.
அத்தகைய செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடிய கணிதப் பொருட்களின் பிற சேகரிப்புகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன: முறையான ஆற்றல் தொடர்கள், தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள் ... இறுதியாக, நீங்கள் செயல்பாடுகளின் பண்புகளை ஆய்வு செய்தால், முடிவுகள் இவை அனைத்திற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம் என்ற புரிதல் வந்தது. பொருள்களின் தொகுப்புகள் (இந்த அணுகுமுறை அனைத்து நவீன கணிதத்திற்கும் பொதுவானது).
இதன் விளைவாக, ஒரு புதிய கருத்து தோன்றியது: மோதிரம். இது ஒரு சில கூறுகள் மற்றும் அவற்றில் செய்யக்கூடிய செயல்கள் மட்டுமே. இங்குள்ள அடிப்படை விதிகள் வெறும் விதிகள் (அவை அழைக்கப்படுகின்றன கோட்பாடுகள்) எந்த செயல்களுக்கு உட்பட்டது, மற்றும் தொகுப்பின் கூறுகளின் தன்மை அல்ல (இங்கே அது, புதிய நிலைசுருக்கங்கள்!). கோட்பாட்டின் அறிமுகத்திற்குப் பிறகு எழும் கட்டமைப்பே முக்கியமானது என்பதை வலியுறுத்த விரும்புவதால், கணிதவியலாளர்கள் கூறுகிறார்கள்: முழு எண்களின் வளையம், பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம், முதலியன.
வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவோம் (நிச்சயமாக, இது முழு எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதிகளைப் போன்றது), பின்னர் எந்த வளையத்திலும் ஒரு கழித்தல் ஒரு மைனஸால் பெருக்கினால் ஒரு கூட்டல் கிடைக்கும் என்பதை நிரூபிப்போம்.
மோதிரம்இரண்டு பைனரி செயல்பாடுகளைக் கொண்ட தொகுப்பு என்று அழைக்கப்படுகிறது (அதாவது, ஒவ்வொரு செயல்பாட்டிலும் வளையத்தின் இரண்டு கூறுகள் உள்ளன), அவை பாரம்பரியமாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் பின்வரும் கோட்பாடுகள்:
- வளைய உறுப்புகளைச் சேர்த்தல் பரிமாற்றத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது ( A + B = B + Aஎந்த உறுப்புகளுக்கும் ஏமற்றும் பி) மற்றும் துணை ( A + (B + C) = (A + B) + C) சட்டங்கள்; வளையத்தில் ஒரு சிறப்பு உறுப்பு 0 (கூடுதலாக நடுநிலை) உள்ளது A + 0 = A, மற்றும் எந்த உறுப்புக்கும் ஏஎதிர் உறுப்பு உள்ளது (குறிப்பிடப்படுகிறது (-A)), என்ன A + (-A) = 0 ;
- பெருக்கல் கூட்டுச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படிகிறது: A (B C) = (A B) C ;
- கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் பின்வரும் அடைப்புக்குறி விரிவாக்க விதிகளால் தொடர்புடையது: (A + B) C = A C + B Cமற்றும் A (B + C) = A B + A C .
மோதிரங்கள், மிகவும் பொதுவான கட்டுமானத்தில், பெருக்கல் வரிசைமாற்றம் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, அல்லது அது தலைகீழாக (அதாவது, எப்போதும் பிரிக்க முடியாது) அல்லது ஒரு நடுநிலை உறுப்பு, ஒரு அலகு இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பெருக்கல் மரியாதை. இந்த கோட்பாடுகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டால், பிற இயற்கணித கட்டமைப்புகள் பெறப்படுகின்றன, ஆனால் மோதிரங்களுக்காக நிரூபிக்கப்பட்ட அனைத்து கோட்பாடுகளும் அவற்றில் உண்மையாக இருக்கும்.
எந்த உறுப்புகளுக்கும் என்பதை இப்போது நிரூபிக்கிறோம் ஏமற்றும் பிதன்னிச்சையான மோதிரம் உண்மை, முதலில், (-A) B = -(A B), மற்றும் இரண்டாவதாக (-(-A)) = ஏ. இதிலிருந்து, அலகுகள் பற்றிய அறிக்கைகள் எளிதாகப் பின்பற்றப்படுகின்றன: (-1) 1 = -(1 1) = -1மற்றும் (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .
இதைச் செய்ய, நாம் சில உண்மைகளை நிறுவ வேண்டும். முதலில், ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு எதிர் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதை நிரூபிக்கிறோம். உண்மையில், உறுப்பு விடுங்கள் ஏஇரண்டு எதிர்நிலைகள் உள்ளன: பிமற்றும் உடன். அது A + B = 0 = A + C. தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் A+B+C. துணை மற்றும் பரிமாற்றச் சட்டங்கள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்தின் சொத்து ஆகியவற்றைப் பயன்படுத்தி, ஒருபுறம், கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் பி: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, மற்றும் மறுபுறம், அது சமம் சி: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. பொருள் B=C .
என்பதை இப்போது கவனிக்கலாம் ஏ, மற்றும் (-(-A))ஒரே உறுப்புக்கு எதிரானவை (-A), எனவே அவர்கள் சமமாக இருக்க வேண்டும்.
முதல் உண்மை பின்வருமாறு: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, அது (-A) பிஎதிர் ஏ பி, எனவே அது சமம் -(A B) .
கணித ரீதியாக கடுமையாக இருக்க, ஏன் என்பதை விளக்குவோம் 0 B = 0எந்த உறுப்புக்கும் பி. உண்மையில், 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. அதாவது கூட்டல் 0 பிதொகையை மாற்றாது. எனவே இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
வளையத்தில் சரியாக ஒரு பூஜ்ஜியம் உள்ளது (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, அத்தகைய உறுப்பு இருப்பதாக கோட்பாடுகள் கூறுகின்றன, ஆனால் அதன் தனித்துவத்தைப் பற்றி எதுவும் கூறப்படவில்லை!), ஒரு எளிய பயிற்சியாக வாசகருக்கு விட்டுவிடுவோம்.
Evgeny Epifanov, பூமி (சோல் III).
இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன- இது நாங்கள் பள்ளியில் கற்றுக்கொண்ட ஒரு விதி மற்றும் நம் வாழ்நாள் முழுவதும் பயன்படுத்துகிறோம். ஏன் என்று நம்மில் யார் யோசித்தார்கள்? நிச்சயமாக, இந்த அறிக்கையை மேலும் கேள்விகள் இல்லாமல் மனப்பாடம் செய்வது எளிதானது மற்றும் சிக்கலின் சாரத்தை ஆழமாக ஆராய வேண்டாம். இப்போது "ஜீரணிக்க" வேண்டிய போதுமான தகவல்கள் ஏற்கனவே உள்ளன. ஆனால் இந்த கேள்வியில் இன்னும் ஆர்வமுள்ளவர்களுக்கு, இந்த கணித நிகழ்வை விளக்க முயற்சிப்போம்.
பண்டைய காலங்களிலிருந்து, மக்கள் நேர்மறை இயற்கை எண்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர்: 1, 2, 3, 4, 5, ... கால்நடைகள், பயிர்கள், எதிரிகள், முதலியன எண்களின் உதவியுடன் கணக்கிடப்பட்டன. இரண்டு நேர்மறை எண்களைச் சேர்த்துப் பெருக்கும்போது, அவை எப்போதும் நேர்மறை எண்ணைப் பெற்றன, சில அளவுகளை மற்றவர்களால் வகுக்கும் போது, அவை எப்போதும் இயற்கை எண்களைப் பெறுவதில்லை - இப்படித்தான் பின்ன எண்கள் தோன்றின. கழித்தல் பற்றி என்ன? சிறுவயதிலிருந்தே, சிறியதை பெரியதாகச் சேர்ப்பதும், பெரியதிலிருந்து சிறியதைக் கழிப்பதும் நல்லது என்பதை நாங்கள் அறிவோம், அதே நேரத்தில் எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதில்லை. என்னிடம் 10 ஆப்பிள்கள் இருந்தால், ஒருவருக்கு 10 அல்லது 10க்கு குறைவாக மட்டுமே கொடுக்க முடியும்.13 ஆப்பிள்களை என்னால் கொடுக்க முடியாது, ஏனென்றால் என்னிடம் எதுவும் இல்லை. நெகடிவ் எண்கள் நீண்ட நாட்களாக தேவைப்படவில்லை.
ஏழாம் நூற்றாண்டிலிருந்து கி.பி.எதிர்மறை எண்கள் சில எண்ணும் அமைப்புகளில் துணை மதிப்புகளாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன, இது பதிலில் நேர்மறை எண்ணைப் பெறுவதை சாத்தியமாக்கியது.
ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள், 6x - 30 \u003d 3x - 9. பதிலைக் கண்டுபிடிக்க, இடதுபுறத்தில் தெரியாதவற்றுடன் விதிமுறைகளை விட்டுவிடுவது அவசியம், மீதமுள்ளவை வலதுபுறம்: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, எதிர்மறை எண்கள் கூட இல்லை. தெரியாதவற்றுடன் சொற்களை வலது பக்கமாகவும், தெரியாதவை இல்லாமல் - இடதுபுறமாகவும் மாற்றலாம்: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). எதிர்மறை எண்ணை எதிர்மறை ஒன்றால் வகுத்தால், நமக்கு நேர்மறை பதில் கிடைக்கும்: x = 7.
நாம் என்ன பார்க்கிறோம்?
எதிர்மறை எண்களைக் கொண்ட செயல்கள் நேர்மறை எண்களைக் கொண்ட செயல்களின் அதே பதிலுக்கு நம்மை அழைத்துச் செல்ல வேண்டும். செயல்களின் நடைமுறை பொருத்தமற்ற தன்மை மற்றும் அர்த்தமுள்ள தன்மையைப் பற்றி நாம் இனி சிந்திக்க முடியாது - நேர்மறை எண்களுடன் மட்டுமே சமன்பாட்டை வடிவத்தில் குறைக்காமல், சிக்கலை மிக வேகமாக தீர்க்க அவை உதவுகின்றன. எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், நாங்கள் சிக்கலான கணக்கீடுகளைப் பயன்படுத்தவில்லை, ஆனால் உடன் பெரிய எண்ணிக்கையில்விதிமுறைகள், எதிர்மறை எண்களைக் கொண்ட கணக்கீடுகள் நமது வேலையை எளிதாக்கும்.
காலப்போக்கில், நீண்ட சோதனைகள் மற்றும் கணக்கீடுகளுக்குப் பிறகு, அனைத்து எண்களும் செயல்களும் கடைபிடிக்கும் விதிகளை அடையாளம் காண முடிந்தது (கணிதத்தில் அவை கோட்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன). அது எங்கிருந்து வந்தது இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பெருக்கும்போது, நேர்மறை எண்ணைப் பெறுவீர்கள் என்று கூறும் கோட்பாடு.
தளத்தில், உள்ளடக்கத்தின் முழு அல்லது பகுதி நகலுடன், மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.
ஒரு கணித ஆசிரியரைக் கேட்கும்போது, பெரும்பாலான மாணவர்கள் பொருளை ஒரு கோட்பாடாக உணர்கிறார்கள். அதே நேரத்தில், சிலர் கீழே சென்று "மைனஸ்" முதல் "பிளஸ்" வரை "மைனஸ்" அடையாளத்தை ஏன் கொடுக்கிறார்கள் என்பதைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்கிறார்கள், மேலும் இரண்டு எதிர்மறை எண்களை பெருக்கும்போது, ஒரு நேர்மறை வெளிவருகிறது.
கணித விதிகள்
இது ஏன் நடக்கிறது என்பதை பெரும்பாலான பெரியவர்கள் தங்களுக்கு அல்லது தங்கள் குழந்தைகளுக்கு விளக்க முடியாது. அவர்கள் பள்ளியில் இந்த பாடத்தை முழுமையாகக் கற்றுக்கொண்டனர், ஆனால் அத்தகைய விதிகள் எங்கிருந்து வந்தன என்பதை அவர்கள் கண்டுபிடிக்க முயற்சிக்கவில்லை. ஆனால் வீண். பெரும்பாலும், நவீன குழந்தைகள் மிகவும் ஏமாந்து போவதில்லை, அவர்கள் விஷயத்தின் அடிப்பகுதிக்குச் சென்று, "மைனஸ்" இல் "பிளஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். சில சமயங்களில் பெரியவர்கள் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய பதிலைக் கொடுக்க முடியாத தருணத்தை அனுபவிப்பதற்காக டாம்பாய்கள் வேண்டுமென்றே தந்திரமான கேள்விகளைக் கேட்கிறார்கள். ஒரு இளம் ஆசிரியர் சிக்கலில் சிக்கினால் அது உண்மையில் ஒரு பேரழிவு ...
மூலம், மேலே குறிப்பிட்டுள்ள விதி பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய இரண்டிற்கும் செல்லுபடியாகும் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். எதிர்மறை மற்றும் நேர்மறை எண்ணின் பலன் "மைனஸ்" மட்டுமே கொடுக்கும். "-" குறியுடன் இரண்டு இலக்கங்களைப் பற்றி பேசினால், அதன் முடிவு நேர்மறை எண்ணாக இருக்கும். இது வகுத்தலுக்கும் பொருந்தும். எண்கள் எதிர்மறையாக இருக்கும், பின்னர் "-" குறியுடன் கூடும் இருக்கும்.
இந்த கணித விதியின் சரியான தன்மையை விளக்க, வளையத்தின் கோட்பாடுகளை உருவாக்குவது அவசியம். ஆனால் முதலில் அது என்ன என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். கணிதத்தில், இரண்டு கூறுகளைக் கொண்ட இரண்டு செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கிய ஒரு வளையத்தை ஒரு தொகுப்பு என்று அழைப்பது வழக்கம். ஆனால் இதை ஒரு உதாரணத்துடன் புரிந்துகொள்வது நல்லது.
மோதிரக் கோட்பாடு
பல கணித விதிகள் உள்ளன.
- அவற்றில் முதலாவது இடமாற்றம் செய்யக்கூடியது, அவரைப் பொறுத்தவரை, C + V = V + C.
- இரண்டாவது அசோசியேட்டிவ் (V + C) + D = V + (C + D) என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பெருக்கல் (V x C) x D \u003d V x (C x D) அவர்களுக்கும் கீழ்ப்படிகிறது.
அடைப்புக்குறிகள் திறக்கப்படும் விதிகளை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை (V + C) x D = V x D + C x D, C x (V + D) = C x V + C x D என்பதும் உண்மைதான்.
கூடுதலாக, ஒரு சிறப்பு, கூட்டல்-நடுநிலை உறுப்பை வளையத்தில் அறிமுகப்படுத்தலாம், இதைப் பயன்படுத்தி பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும்: C + 0 = C. கூடுதலாக, ஒவ்வொரு C க்கும் ஒரு எதிர் உறுப்பு உள்ளது, இது முடியும் (-C) எனக் குறிக்கப்படும். இந்த வழக்கில், C + (-C) \u003d 0.
எதிர்மறை எண்களுக்கான கோட்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்
மேலே உள்ள அறிக்கைகளை ஏற்றுக்கொண்ட பிறகு, நாம் கேள்விக்கு பதிலளிக்கலாம்: "கழித்தல்" இல் "பிளஸ்" என்ன அடையாளத்தை அளிக்கிறது? எதிர்மறை எண்களின் பெருக்கல் பற்றிய கோட்பாட்டை அறிந்தால், உண்மையில் (-C) x V = -(C x V) என்பதை உறுதிப்படுத்துவது அவசியம். மேலும் பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாகும்: (-(-C)) = C.
இதைச் செய்ய, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரே ஒரு எதிர் "சகோதரன்" மட்டுமே உள்ளது என்பதை முதலில் நிரூபிக்க வேண்டும். பின்வரும் ஆதார உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள். C - V மற்றும் D க்கு இரண்டு எண்கள் எதிரெதிர் என்று கற்பனை செய்து பார்க்க முயற்சிப்போம். இதிலிருந்து C + V = 0 மற்றும் C + D = 0, அதாவது C + V = 0 = C + D. இடப்பெயர்ச்சி சட்டங்களை நினைவில் கொள்கிறது மற்றும் எண் 0 இன் பண்புகளைப் பற்றி, நாம் மூன்று எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கருத்தில் கொள்ளலாம்: C, V மற்றும் D. V இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம். V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, ஏனெனில் மேலே ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட C + D இன் மதிப்பு 0 க்கு சமம். எனவே, V = V + C + D.
D க்கான மதிப்பு அதே வழியில் பெறப்படுகிறது: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. இதன் அடிப்படையில், V = D என்பது தெளிவாகிறது.
"மைனஸ்" இல் உள்ள "பிளஸ்" ஏன் "மைனஸ்" கொடுக்கிறது என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வருவனவற்றை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். எனவே, உறுப்பு (-C) க்கு, எதிர் C மற்றும் (-(-C)), அதாவது அவை ஒன்றுக்கொன்று சமம்.
0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V என்பது தெளிவாகத் தெரிகிறது. இதிலிருந்து C x V என்பது (-) C x V க்கு எதிர் , அதாவது (- C) x V = -(C x V).
முழுமையான கணிதக் கடினத்தன்மைக்கு, எந்த உறுப்புக்கும் 0 x V = 0 என்பதை உறுதிப்படுத்துவதும் அவசியம். நீங்கள் தர்க்கத்தைப் பின்பற்றினால், 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. அதாவது 0 x V தயாரிப்பைச் சேர்ப்பது எந்த வகையிலும் செட் தொகையை மாற்றாது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இந்த தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
இந்த கோட்பாடுகள் அனைத்தையும் அறிந்தால், "பிளஸ்" மூலம் "மைனஸ்" எவ்வளவு கொடுக்கிறது என்பது மட்டுமல்லாமல், எதிர்மறை எண்களை பெருக்கினால் என்ன நடக்கும் என்பதையும் கணக்கிட முடியும்.
"-" அடையாளத்துடன் இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல்
நீங்கள் கணித நுணுக்கங்களை ஆராயவில்லை என்றால், எதிர்மறை எண்களுடன் செயல் விதிகளை எளிமையான முறையில் விளக்க முயற்சி செய்யலாம்.
C - (-V) = D, இதன் அடிப்படையில், C = D + (-V), அதாவது C = D - V. நாம் V ஐ மாற்றினால், C + V = D என்று பெறுகிறோம். அதாவது, C + வி = சி - (-வி). ஒரு வரிசையில் இரண்டு "மைனஸ்கள்" இருக்கும் ஒரு வெளிப்பாட்டில், குறிப்பிடப்பட்ட குறிகளை "பிளஸ்" என்று ஏன் மாற்ற வேண்டும் என்பதை இந்த எடுத்துக்காட்டு விளக்குகிறது. இப்போது பெருக்கத்தை கையாள்வோம்.
(-C) x (-V) \u003d D, வெளிப்பாட்டில் இரண்டு ஒத்த தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கலாம் மற்றும் கழிக்கலாம், இது அதன் மதிப்பை மாற்றாது: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d டி.
அடைப்புக்குறிகளுடன் பணிபுரியும் விதிகளை நினைவில் வைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
இதிலிருந்து C x V \u003d (-C) x (-V).
இதேபோல், இரண்டு எதிர்மறை எண்களைப் பிரிப்பதன் விளைவு நேர்மறையாக இருக்கும் என்பதை நிரூபிக்கலாம்.
பொதுவான கணித விதிகள்
நிச்சயமாக, சுருக்க எதிர்மறை எண்களைக் கற்றுக்கொள்ளத் தொடங்கும் தொடக்கப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு அத்தகைய விளக்கம் பொருத்தமானது அல்ல. அவர்கள் கண்ணுக்குத் தெரியும் பொருள்களைப் பற்றி விளக்குவது நல்லது, பார்க்கும் கண்ணாடி மூலம் பழக்கமான சொல்லைக் கையாளுங்கள். உதாரணமாக, கண்டுபிடிக்கப்பட்டது, ஆனால் தற்போதுள்ள பொம்மைகள் அங்கு அமைந்துள்ளன. அவை "-" அடையாளத்துடன் காட்டப்படும். இரண்டு தோற்றமளிக்கும் கண்ணாடி பொருட்களின் பெருக்கம் அவற்றை வேறொரு உலகத்திற்கு மாற்றுகிறது, இது நிகழ்காலத்திற்கு சமமாக உள்ளது, இதன் விளைவாக, நமக்கு நேர்மறை எண்கள் உள்ளன. ஆனால் ஒரு சுருக்க எதிர்மறை எண்ணை நேர்மறை ஒன்றால் பெருக்குவது அனைவருக்கும் தெரிந்த முடிவை மட்டுமே அளிக்கிறது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, "பிளஸ்" "மைனஸ்" ஆல் பெருக்கினால் "மைனஸ்" கிடைக்கும். உண்மை, குழந்தைகள் அனைத்து கணித நுணுக்கங்களையும் ஆராய்வதற்கு மிகவும் கடினமாக முயற்சி செய்வதில்லை. 
இருப்பினும், நீங்கள் உண்மையை எதிர்கொண்டால், பலருக்கு, உயர் கல்வியுடன் கூட, பல விதிகள் மர்மமாகவே இருக்கும். ஒவ்வொருவரும் தங்கள் ஆசிரியர்கள் தங்களுக்குக் கற்பிப்பதை சாதாரணமாக எடுத்துக்கொள்கிறார்கள், கணிதம் நிரம்பிய அனைத்து சிக்கல்களையும் ஆராய்வதில் தவறில்லை. "மைனஸ்" இல் "மைனஸ்" ஒரு "பிளஸ்" கொடுக்கிறது - விதிவிலக்கு இல்லாமல் இதைப் பற்றி அனைவருக்கும் தெரியும். இது முழு எண்கள் மற்றும் பின்ன எண்கள் இரண்டிற்கும் பொருந்தும்.
கவனம், இன்று மட்டும்!
- நிரலாக்கத்தில் வரிசைப்படுத்தும் முறைகள்: குமிழி வரிசைப்படுத்துதல்
