Tulong sa Tele2, mga taripa, mga tanong

Ang function na y=x^2 ay tinatawag na quadratic function. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Pangkalahatang view Ang parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.

Quadratic function

Fig 1. Pangkalahatang view ng parabola

Tulad ng makikita mula sa graph, ito ay simetriko tungkol sa Oy axis. Ang Oy axis ay tinatawag na axis of symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya sa graph parallel sa axis ng Ox sa itaas ng axis na ito. Pagkatapos ay mag-intersect ito sa parabola sa dalawang punto. Magiging pareho ang distansya mula sa mga puntong ito hanggang sa Oy axis.

Hinahati ng axis ng symmetry ang graph ng isang parabola sa dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng isang parabola na nasa axis ng symmetry ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng symmetry ay dumadaan sa vertex ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito ay (0;0).

Mga pangunahing katangian ng isang quadratic function

1. Sa x =0, y=0, at y>0 sa x0

2. Naabot ng quadratic function ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito. Ymin sa x=0; Dapat ding tandaan na ang function ay walang maximum na halaga.

3. Bumababa ang function sa pagitan (-∞;0] at tumataas sa pagitan ; hindi pagkakapantay-pantay a<x<b – pagitan at tinutukoy ng () ; hindi pagkakapantay-pantay at - kalahating pagitan at ay tinutukoy ng at ayon sa pagkakabanggit. Madalas mo ring kailangang harapin ang mga walang katapusang pagitan at kalahating pagitan: , , , at . Maginhawang tawagan silang lahat sa pagitan .

Pagitan, i.e. hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay (kung saan ), ay tinatawag na -kapitbahayan ng punto a.

Ang konsepto ng pag-andar. Mga pangunahing katangian ng isang function

Kung ang bawat elemento x set X isang elemento ang tumugma y set Y, tapos sinasabi nila yan sa set X binigay function y=f(x). Kasabay nito x tinawag malayang baryabol o argumento, A y – dependent variable o function, A f nagsasaad ng batas ng pagsusulatan. marami X tinawag domain ng kahulugan function, at isang set Y – hanay ng mga halaga mga function.

Mayroong ilang mga paraan upang tukuyin ang mga function.

1) Analytical method - ang function ay ibinibigay ng isang formula ng form y=f(x).

2) Tabular na paraan - ang function ay tinukoy ng isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function y=f(x).

3) Grapikong pamamaraan - naglalarawan ng isang graph ng isang function, i.e. hanay ng mga puntos ( x; y) coordinate plane, ang abscissas na kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng function y=f(x).

4) Verbal na pamamaraan - ang isang function ay inilalarawan sa pamamagitan ng tuntunin ng komposisyon nito. Halimbawa, kinukuha ng Dirichlet function ang value 1 kung x ay isang rational na numero at 0 kung x– hindi makatwiran na numero.

Ang mga sumusunod na pangunahing katangian ng mga pag-andar ay nakikilala.

1 Kahit at kakaiba Function y=f(x) ay tinatawag kahit, kung para sa anumang mga halaga x mula sa domain ng kahulugan nito ay nasiyahan f(–x)=f(x), At kakaiba, Kung f(–x)=–f(x). Kung wala sa mga nakalistang pagkakapantay-pantay ang nasiyahan, kung gayon y=f(x) ay tinatawag pangkalahatang pag-andar. Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis Oy, at ang graph ng kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

2 Monotony Function y=f(x) ay tinatawag dumarami (bumababa) sa pagitan X, Kung mas mataas na halaga ang isang argumento mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaki (mas maliit) na halaga ng function. Hayaan x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1. Pagkatapos ay tumataas ang function sa pagitan X, Kung f(x 2)>f(x 1), at bumababa kung f(x 2)<f(x 1).

Kasabay ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ang hindi bumababa at hindi tumataas na mga function ay isinasaalang-alang. Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung sa x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x May 1 hindi pagkakapantay-pantay f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, pati na rin ang mga hindi tumataas at hindi bumababa na mga function ay tinatawag na monotonic.

3 Limitado Function y=f(x) ay tinatawag na hangganan sa pagitan X, kung mayroong ganoong positibong numero M>0, ano | f(x)|≤M para sa sinuman xÎ X. Kung hindi, ang function ay sinasabing walang hangganan X.

4 Dalas Function y=f(x) ay tinatawag na periodic na may period T≠0, kung para sa alinman x mula sa domain ng function f(x+T)=f(x). Sa kung ano ang sumusunod, sa pamamagitan ng panahon ang ibig sabihin namin ay ang pinakamaliit positibong panahon mga function.

Tinatawag ang function tahasan, kung ito ay ibinigay ng isang pormula ng form y=f(x). Kung ang function ay ibinigay ng equation F(x, y)=0, hindi pinahihintulutan na may kaugnayan sa dependent variable y, pagkatapos ito ay tinatawag na implicit.

Hayaan y=f(x) ay isang function ng independent variable na tinukoy sa set X may saklaw Y. Pagtugmain natin ang bawat isa yÎ Y iisang kahulugan xÎ X, kung saan f(x)=y.Pagkatapos ang resultang function x=φ (y), tinukoy sa set Y may saklaw X, tinawag reverse at itinalaga y=f –1 (x). Ang mga graph ng magkabaligtaran na mga function ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate quarter.

Hayaan ang function y=f(u) ay isang function ng isang variable u, tinukoy sa set U may saklaw Y, at ang variable u sa turn ay isang function u=φ (x), tinukoy sa set X may saklaw U. Tapos binigay sa set X function y=f(φ (x)) ay tinatawag kumplikadong pag-andar(komposisyon ng mga function, superposition ng mga function, function ng isang function).

Mga tungkulin sa elementarya

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay kinabibilangan ng:

• function ng kapangyarihan y=x n; y=x–n At y=x 1/ n;
• exponential function y=isang x;
• logarithmic function y=log isang x;
• trigonometriko function y= kasalanan x, y=cos x, y=tg x At y=ctg x;
• kabaligtaran na mga function ng trigonometriko y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x At y=arcctg x.

Mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya, maaaring makuha ang mga bagong pag-andar gamit ang mga algebraic na operasyon at superposisyon ng mga pag-andar.

Tinatawag na mga function na binuo mula sa mga pangunahing elementary function gamit ang isang may hangganang bilang ng algebraic operations at may hangganang bilang ng superposition operations. elementarya.

Algebraic ay isang function kung saan ang isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon ay ginaganap sa argumento. Kasama sa mga algebraic function ang:

· isang buong rational function (polynomial o polynomial)

· fractional-rational function (ratio ng dalawang polynomial)

· hindi makatwiran na pag-andar (kung kasama sa mga operasyon sa argumento ang pagkuha ng ugat).

Anumang non-algebraic function ay tinatawag transendental. Kabilang sa mga transendental na function ang exponential, logarithmic, trigonometric, at inverse trigonometric function.

Mga function na zero
Ang zero ng isang function ay ang halaga X, kung saan ang function ay nagiging 0, iyon ay, f(x)=0.

Ang mga zero ay ang mga punto ng intersection ng function graph na may axis Oh.

Pagkakaparehas ng function
Tinatawag ang isang function kahit na para sa anuman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x) hold

Ang pantay na function ay simetriko tungkol sa axis Oh

Kakaibang parity function
Ang isang function ay tinatawag na kakaiba kung para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay na hawak ng f(-x) = -f(x).

Ang isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.
Ang isang function na hindi kahit na o kakaiba ay tinatawag na isang pangkalahatang function.

Pagtaas ng function
Ang isang function na f(x) ay sinasabing tumataas kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, i.e.

Pababang function
Ang isang function na f(x) ay tinatawag na bumababa kung ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function, i.e.

Ang mga agwat kung saan ang function ay bumababa lamang o tumataas lamang ang tinatawag mga pagitan ng monotony. Ang function na f(x) ay may 3 pagitan ng monotonicity:

Maghanap ng mga pagitan ng monotonicity gamit ang serbisyo Mga pagitan ng pagtaas at pagbaba ng function

Lokal na maximum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na pinakamataas na punto kung para sa alinman X mula sa paligid ng isang punto x 0 ang hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong: f(x 0) > f(x)

Lokal na minimum
Dot x 0 ay tinatawag na lokal na minimum na punto kung para sa alinman X mula sa paligid ng isang punto x 0 hindi pagkakapantay-pantay: f(x 0)< f(x).

Ang mga lokal na maximum na puntos at lokal na pinakamababang puntos ay tinatawag na mga lokal na extremum point.

mga lokal na extremum point.

Dalas ng pag-andar
Ang function na f(x) ay tinatawag na periodic, na may period T, kung para sa alinman X ang equality f(x+T) = f(x) holds.

Mga agwat ng sign constancy
Ang mga pagitan kung saan ang function ay positibo lamang o negatibo lamang ay tinatawag na mga pagitan ng pare-parehong tanda.

Pagpapatuloy ng pag-andar
Ang isang function na f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung ang limitasyon ng function bilang x → x 0 ay katumbas ng halaga ng function sa puntong ito, i.e. .

Mga break point
Ang mga punto kung saan nilalabag ang kondisyon ng pagpapatuloy ay tinatawag na mga function break point.

x 0- break point.

Pangkalahatang scheme para sa pag-plot ng mga function

1. Hanapin ang domain ng kahulugan ng function na D(y).

2. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph ng mga function na may mga coordinate axes.

3. Suriin ang function para sa even o odd.

4. Suriin ang function para sa periodicity.

5. Maghanap ng mga monotonicity interval at extremum point ng function.

6. Hanapin ang convexity interval at inflection point ng function.

7. Hanapin ang mga asymptotes ng function.

8. Batay sa mga resulta ng pag-aaral, bumuo ng isang graph.

Halimbawa: I-explore ang function at i-plot ito: y = x 3 – 3x

1) Ang function ay tinukoy sa buong numerical axis, ibig sabihin, ang domain ng kahulugan nito ay D(y) = (-∞; +∞).

2) Hanapin ang mga punto ng intersection sa mga coordinate axes:

na may OX axis: lutasin ang equation x 3 – 3x = 0

na may OY axis: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

3) Alamin kung ang function ay even o odd:

y(-x) = (-x) 3 – 3(-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x)

Ito ay sumusunod na ang pag-andar ay kakaiba.

4) Ang function ay hindi pana-panahon.

5) Hanapin natin ang monotonicity interval at extremum point ng function: y’ = 3x 2 - 3.

Mga kritikal na puntos: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1.

y(-1) = (-1) 3 – 3(-1) = 2

y(1) = 1 3 – 3*1 = -2

6) Hanapin ang mga convexity interval at inflection point ng function: y’’ = 6x

Mga kritikal na puntos: 6x = 0, x = 0.

y(0) = 0 3 – 3*0 = 0

7) Ang function ay tuloy-tuloy, wala itong asymptotes.

8) Batay sa mga resulta ng pag-aaral, gagawa tayo ng graph ng function.

Ang seksyon ay naglalaman ng reference na materyal sa mga pangunahing elementarya na pag-andar at ang kanilang mga katangian. Ang isang pag-uuri ng mga elementary function ay ibinigay. Nasa ibaba ang mga link sa mga subsection na tumatalakay sa mga katangian ng mga partikular na function - mga graph, formula, derivatives, antiderivatives (integrals), series expansions, expressions through complex variables.

Mga pahina ng sanggunian para sa mga pangunahing pag-andar

Pag-uuri ng mga pangunahing pag-andar

Algebraic function ay isang function na nakakatugon sa equation:
,
kung saan ay isang polynomial sa dependent variable y at ang independent variable x.
,
Maaari itong isulat bilang:

nasaan ang mga polynomial.

Ang mga algebraic function ay nahahati sa polynomials (buong rational functions), rational functions at irrational functions. Buong rational function , na tinatawag ding o polinomyal polinomyal
.

, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganang bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas) at pagpaparami. Pagkatapos buksan ang mga bracket, ang polynomial ay nabawasan sa canonical form: Fractional rational function , o kaya lang makatwirang pag-andar
,
, ay nakuha mula sa variable na x at isang may hangganang bilang ng mga numero gamit ang arithmetic operations ng karagdagan (pagbabawas), multiplikasyon at paghahati. Ang rational function ay maaaring bawasan sa anyo

saan at mga polynomial. Hindi makatwiran na pag-andar
.
ay isang algebraic function na hindi makatwiran. Bilang isang tuntunin, ang isang hindi makatwiran na pag-andar ay nauunawaan bilang mga ugat at ang kanilang mga komposisyon na may mga makatuwirang pag-andar. Ang isang ugat ng degree n ay tinukoy bilang ang solusyon sa equation
.

Ito ay itinalaga bilang mga sumusunod: Mga transendental na pag-andar

ay tinatawag na non-algebraic function. Ang mga ito ay exponential, trigonometric, hyperbolic at ang kanilang mga inverse function.

Pangkalahatang-ideya ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya Lahat mga pag-andar ng elementarya
ay maaaring katawanin bilang isang may hangganang bilang ng mga pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati na isinagawa sa isang pagpapahayag ng anyo:
z t .

Ang mga inverse function ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng logarithms. Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay nakalista sa ibaba.
Power function:
y(x) = x p ,
kung saan ang p ay ang exponent. Depende ito sa base ng degree x.
.
Ang kabaligtaran ng power function ay ang power function din: Para sa isang integer na hindi negatibong halaga ng exponent p, ito ay isang polynomial. Para sa isang integer na halaga p - isang rational function. Sa makatwirang kahulugan

- hindi makatwiran na pag-andar.

Mga transendental na pag-andar
Exponential function:
y(x) = a x ,
kung saan ang a ay ang batayan ng antas. Depende ito sa exponent x.
Ang kabaligtaran na pag-andar ay ang logarithm upang ibase ang isang: x =.

mag-log a y
Exponent, e sa x power:
y(x) = e x ,
.
Ito ay isang exponential function na ang derivative ay katumbas ng function mismo:
≈ 2,718281828459045... .
Ang base ng exponent ay ang numerong e:
Ang kabaligtaran na pag-andar ay ang logarithm upang ibase ang isang: Inverse function - natural logarithm - logarithm sa base e:.

ln y ≡ log e y
Trigonometric function:
Sine: ;
Cosine: ;
Tangent: ;
Narito ang i ay ang haka-haka na yunit, i 2 = -1.

Inverse trigonometriko function:
Arcsine: x = arcsin y, ;
Arc cosine: x = arccos y, ;
Arctangent: x = arctan y, ;
Arc padaplis: x = arcctg y, .

1) Function domain at function range.

Ang domain ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong valid na halaga ng argumento x(variable x), kung saan ang function y = f(x) determinado. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y, na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay halaga ng argumento, kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function.

Ang mga agwat ng patuloy na pag-sign ng isang function ay mga hanay ng mga halaga ng argumento kung saan ang mga halaga ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Ang pagtaas ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Ang pagpapababa ng function (sa isang tiyak na agwat) ay isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argumento mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x).

Ang graph ng kahit na function ay simetriko tungkol sa ordinate. X Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan at para sa alinman mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay ay totoo f(-x) = - f(x

)..

Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong isang positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x. Kung walang ganoong numero, walang limitasyon ang function.

7) Periodicity ng function

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng kahulugan ng function ay ang mga sumusunod ay mayroong: f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Basic elementary functions, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, ang a at b ay mga tunay na numero.

Numero A tinawag dalisdis tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linya na ito sa positibong direksyon ng abscissa axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng tunay na numero: D(y)=R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga kapag o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang isang linear na function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang mga coefficient a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.