Ang domain ng kahulugan at ang hanay ng mga halaga ng isang function. Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero R.Ito ay nangangahulugan na ang function argument ay maaari lamang kumuha ng mga tunay na halaga kung saan ang function ay tinukoy, i.e. tumatanggap din ito ng mga tunay na halaga. Isang grupo ng X lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x, kung saan ang function y= f(x) tinukoy, tinatawag domain ng function. Isang grupo ng Y lahat ng tunay na halaga y, na tinatanggap ng function, ay tinatawag saklaw ng pag-andar. Ngayon ay maaari kang magbigay ng higit pa tumpak na kahulugan Mga Tampok: tuntunin(batas) ng pagsusulatan sa pagitan ng mga set X at Y, ayon sa kung saan para sa bawat elemento mula sa setAng X ay makakahanap ng isa at isang elemento lamang mula sa set Y, na tinatawag na function.

Mula sa kahulugang ito ay sumusunod na ang isang function ay itinuturing na tinukoy kung:

Tinukoy ang domain ng function X ;

Tinukoy ang hanay ng pag-andar Y ;

Ang tuntunin (batas) ng pagsusulatan ay kilala, at tulad na para sa bawat isa

Isang function value lang ang makikita para sa isang argument value.

Ang pangangailangang ito ng pagiging natatangi ng function ay sapilitan.

Monotonic function. Kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumento x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f(x 2) > f(x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f(x) ay tinatawag na dumarami; kung para sa alinman x 1 at x 2 ng kondisyon x 2 > x 1 ang sumusunod f(x 2) < f(x 1), pagkatapos ay ang pag-andar f(x) ay tinatawag na bumababa. Ang isang function na tumataas lamang o bumababa lamang ay tinatawag monotonous.

Limitado at walang limitasyong mga pag-andar. Tinatawag ang function limitado, kung mayroong ganoong positibong numero M ano | f(x) | M para sa lahat ng halaga x. Kung walang ganoong numero, kung gayon ang function ay walang limitasyon.

MGA HALIMBAWA.

Ang function na ipinapakita sa Fig. 3 ay limitado, ngunit hindi monotoniko. Ang function sa Fig. 4 ay kabaligtaran lamang, monotonic, ngunit walang limitasyon. (Ipaliwanag mo ito!).

Tuloy-tuloy at hindi tuloy-tuloy na pag-andar. Function y = f (x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa puntox = a, Kung:

1) ang function ay tinukoy kapag x = a, ibig sabihin. f (a) umiiral;

2) umiiral may hangganan limitahan lim f (x) ;

x→a

(tingnan ang Mga Limitasyon ng Function)

3) f (a) = lim f (x) .

x→a

Kung hindi bababa sa isa sa mga kundisyong ito ay hindi natutugunan, kung gayon ang function ay tinatawag pampasabog sa punto x = a.

Kung tuluy-tuloy ang function habang lahat mga punto ng domain ng kahulugan nito, pagkatapos ito ay tinatawag na tuluy-tuloy na pag-andar.

Kahit at kakaibang mga function. Kung para sa anuman x f(- x) = f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kahit; kung ito ay nangyari: f(- x) = - f (x), pagkatapos ay tinawag ang function kakaiba. Graph ng pantay na function simetriko tungkol sa Y axis(Larawan 5), isang graph ng isang kakaibang function Simpanukat na may kinalaman sa pinagmulan(Larawan 6).

Pana-panahong pag-andar. Function f (x) - pana-panahon, kung may ganoong bagay hindi zero numero T para saan anuman x mula sa domain ng kahulugan ng function ang mga sumusunod ay hawak: f (x + T) = f (x). Ito hindi bababa sa ang numero ay tinatawag panahon ng pag-andar. Ang lahat ng trigonometriko function ay panaka-nakang.

Halimbawa 1. Patunayan mo ang kasalanan x ay may panahon na 2.

Solusyon: Alam natin na kasalanan ( x+ 2n) = kasalanan x, Saan n= 0, ± 1, ± 2, …

Samakatuwid, ang karagdagan 2 n hindi sa argumentong sine

Nagbabago ang kahulugan nito. May ibang number pa ba nito

Parehong ari-arian?

Magpanggap na tayo P- tulad ng isang numero, i.e. pagkakapantay-pantay:

kasalanan ( x+ P) = kasalanan x,

Wasto para sa anumang halaga x. Ngunit pagkatapos ay mayroon

Lugar at oras x= / 2, ibig sabihin.

Kasalanan(/2 + P) = kasalanan / 2 = 1.

Ngunit ayon sa formula ng pagbabawas sin ( / 2 + P) = cos P. Pagkatapos

Mula sa huling dalawang pagkakapantay-pantay ito ay sumusunod na cos P= 1, ngunit kami

Alam natin na ito ay totoo lamang kapag P = 2n. Mula sa pinakamaliit

Isang hindi zero na numero mula sa 2 n ay 2, pagkatapos ang numerong ito

At may period sin x. Maaari itong mapatunayan sa katulad na paraan na 2 mula sa n ay , kaya ito ang period sin 2 x.

Mga function na zero. Ang halaga ng argumento kung saan ang function ay katumbas ng 0 ay tinatawag zero (ugat) function. Ang isang function ay maaaring magkaroon ng maramihang mga zero Halimbawa, ang function y = x (x + 1) (x-3) ay may tatlong zero: x= 0, x= -1, x= 3. Geometrically null function - ito ang abscissa ng punto ng intersection ng function graph na may axis X .

Ipinapakita ng Figure 7 ang isang graph ng isang function na may mga zero: x= a, x = b At x= c.

Asymptote. Kung ang graph ng isang function ay lumalapit sa isang tiyak na linya habang lumalayo ito sa pinanggalingan, ang linyang ito ay tinatawag na asymptote.

Mga limitasyon at pagpapatuloy

Mga set

Sa ilalim marami ay nauunawaan bilang isang koleksyon ng mga homogenous na bagay. Ang mga bagay na bumubuo ng isang set ay tinatawag mga elemento o tuldok ng karamihang ito. Ang mga set ay tinutukoy ng malalaking titik at ang kanilang mga elemento sa pamamagitan ng maliliit na titik. Kung a ay isang elemento ng set A, pagkatapos ay ginagamit ang entry aÎ A. Kung b ay hindi isang elemento ng set A, pagkatapos ito ay nakasulat na ganito: b Ï A. Ang isang set na hindi naglalaman ng isang elemento ay tinatawag na isang walang laman na hanay at ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: Ø.

Kung ang set B ay binubuo ng bahagi ng mga elemento ng set A o kasabay nito, pagkatapos ay ang set B tinawag subset nagtatakda at nagsasaad BÌ A.

Ang dalawang set ay tinatawag pantay, kung binubuo sila ng parehong mga elemento.

Samahan dalawang parte A At B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elementong kabilang sa kahit isa sa mga set: C=AÈ B.

Sa pagtawid dalawang parte A At B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento na kabilang sa bawat isa sa mga set na ito: C=AÇ B.

Sa pamamagitan ng pagkakaiba set A At B tinatawag na set E A, na hindi kabilang sa set B: .

Supplement set AÌ B tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng set B, hindi pag-aari A.

Tinatawag ang mga set na ang mga elemento ay tunay na numero numerical:

Kung saan NÌ ZÌ QÌ R, akoÌ R At R=akoÈ Q.

Isang grupo ng X, na ang mga elemento ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay ay tinatawag segment(segment) at ipinapahiwatig [ a; b]; hindi pagkakapantay-pantay a<x<b – pagitan at tinutukoy ng () ; hindi pagkakapantay-pantay at - kalahating pagitan at ay tinutukoy ng at ayon sa pagkakabanggit. Madalas mo ring kailangang harapin ang mga walang katapusang pagitan at kalahating pagitan: , , , at . Maginhawang tawagan silang lahat sa mga pagitan .

Pagitan, i.e. hanay ng mga puntos na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay (kung saan ), ay tinatawag na -kapitbahayan ng punto a.

Ang konsepto ng pag-andar. Mga pangunahing katangian ng isang function

Kung ang bawat elemento x set X isang elemento ang tumugma y set Y, tapos sinasabi nila yan sa set X binigay function y=f(x). Kung saan x tinawag malayang baryabol o argumento, A y – dependent variable o function, A f nagsasaad ng batas ng pagsusulatan. Isang grupo ng X tinawag domain ng kahulugan function, at isang set Y – hanay ng mga halaga mga function.

Mayroong ilang mga paraan upang tukuyin ang mga function.

1) Analytical method - ang function ay ibinibigay ng isang formula ng form y=f(x).

2) Tabular na paraan - ang function ay tinukoy ng isang talahanayan na naglalaman ng mga halaga ng argumento at ang kaukulang mga halaga ng function y=f(x).

3) Grapikong pamamaraan - naglalarawan ng isang graph ng isang function, i.e. hanay ng mga puntos ( x; y) coordinate plane, ang abscissas na kumakatawan sa mga halaga ng argumento, at ang mga ordinate ay kumakatawan sa kaukulang mga halaga ng function y=f(x).

4) Verbal method - ang isang function ay inilalarawan ng panuntunan para sa komposisyon nito. Halimbawa, kinukuha ng Dirichlet function ang value 1 kung x ay isang rational na numero at 0 kung x– hindi makatwirang numero.

Ang mga sumusunod na pangunahing katangian ng mga pag-andar ay nakikilala.

1 Kahit at kakaiba Function y=f(x) ay tinatawag na kahit, kung para sa anumang mga halaga x mula sa domain ng kahulugan nito ay nasiyahan f(–x)=f(x), At kakaiba, Kung f(–x)=–f(x). Kung wala sa mga pagkakapantay-pantay sa itaas ang nasiyahan, kung gayon y=f(x) ay tinatawag na pangkalahatang pag-andar. Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa axis Oy, at ang graph ng kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

2 Monotony Function y=f(x) ay tinatawag na dumarami (bumababa) sa pagitan X, Kung mas mataas na halaga ang isang argumento mula sa pagitan na ito ay tumutugma sa isang mas malaki (mas maliit) na halaga ng function. Hayaan x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x 1 . Pagkatapos ay tumataas ang function sa pagitan X, Kung f(x 2)>f(x 1), at bumababa kung f(x 2)<f(x 1).

Kasama ng pagtaas at pagbaba ng mga function, ang hindi bumababa at hindi tumataas na mga function ay isinasaalang-alang. Tinatawag ang function hindi bumababa (hindi tumataas), kung sa x 1 ,x 2 Î X, x 2 >x May 1 hindi pagkakapantay-pantay f(x 2)≥f(x 1) (f(x 2)≤f(x 1)).

Ang pagtaas at pagbaba ng mga function, pati na rin ang hindi tumataas at hindi bumababa na mga function ay tinatawag na monotonic.

3 Limitado Function y=f(x) ay tinatawag na hangganan sa pagitan X, kung mayroong ganoong positibong numero M>0, ano | f(x)|≤M para kahit kanino xÎ X. Kung hindi, ang function ay sinasabing walang hangganan X.

4 Dalas Function y=f(x) ay tinatawag na periodic na may period T≠0, kung para sa alinman x mula sa domain ng function f(x+T)=f(x). Sa kung ano ang sumusunod, sa pamamagitan ng panahon ang ibig sabihin namin ay ang pinakamaliit positibong panahon mga function.

Tinatawag ang function tahasan, kung ito ay ibinigay ng isang pormula ng form y=f(x). Kung ang function ay ibinigay ng equation F(x, y)=0, hindi pinahihintulutan na may kaugnayan sa dependent variable y, pagkatapos ito ay tinatawag na implicit.

Hayaan y=f(x) ay isang function ng independent variable na tinukoy sa set X may saklaw Y. Pagtugmain natin ang bawat isa yÎ Y iisang kahulugan xÎ X, Kung saan f(x)=y.Pagkatapos ang resultang function x=φ (y), tinukoy sa set Y may saklaw X, tinawag reverse at itinalaga y=f –1 (x). Ang mga graph ng magkabaligtaran na function ay simetriko na may paggalang sa bisector ng una at ikatlong coordinate quarter.

Hayaan ang function y=f(u) ay isang function ng isang variable u, tinukoy sa set U may saklaw Y, at ang variable u sa turn ay isang function u=φ (x), tinukoy sa set X may saklaw U. Tapos binigay sa set X function y=f(φ (x)) ay tinatawag na kumplikadong pag-andar(komposisyon ng mga function, superposition ng mga function, function ng isang function).

Mga tungkulin sa elementarya

Ang mga pangunahing pag-andar ng elementarya ay kinabibilangan ng:

• function ng kapangyarihan y=x n; y=x–n At y=x 1/ n;
• exponential function y=isang x;
• logarithmic function y=log isang x;
• trigonometriko function y= kasalanan x, y=cos x, y=tg x At y=ctg x;
• kabaligtaran na mga function ng trigonometriko y= arcsin x, y=arccos x, y=arctg x At y=arcctg x.

Mula sa mga pangunahing pag-andar ng elementarya, maaaring makuha ang mga bagong pag-andar gamit ang mga algebraic na operasyon at superposisyon ng mga pag-andar.

Tinatawag na mga function na binuo mula sa mga pangunahing elementary function gamit ang isang may hangganan na bilang ng algebraic operations at isang may hangganang bilang ng superposition operations. elementarya.

Algebraic ay isang function kung saan ang isang may hangganang bilang ng mga algebraic na operasyon ay ginaganap sa argumento. Kasama sa mga algebraic function ang:

· isang buong rational function (polynomial o polynomial)

· fractional-rational function (ratio ng dalawang polynomial)

· hindi makatwiran na pag-andar (kung ang mga operasyon sa argumento ay may kasamang root extraction).

Anumang non-algebraic function ay tinatawag transendental. Kasama sa mga transendental na function ang exponential, logarithmic, trigonometric, at inverse trigonometric function.

Ang metodolohikal na materyal ay para sa sanggunian lamang at tumutukoy sa sa isang malawak na bilog mga paksa Nagbibigay ang artikulo ng isang pangkalahatang-ideya ng mga graph ng mga pangunahing pag-andar sa elementarya at isinasaalang-alang ang pinakamahalagang isyu - paano gumawa ng graph ng tama at MABILIS. Sa kurso ng pag-aaral ng mas mataas na matematika nang walang kaalaman sa mga graph ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ito ay magiging mahirap, kaya napakahalagang tandaan kung ano ang hitsura ng mga graph ng isang parabola, hyperbola, sine, cosine, atbp, at tandaan ang ilan. ng mga kahulugan ng mga function. Pag-uusapan din natin ang ilang mga katangian ng mga pangunahing pag-andar.

Hindi ko inaangkin ang pagiging kumpleto at pang-agham na pagiging ganap ng mga materyales; literal na nakakaharap ang isa sa bawat hakbang, sa anumang paksa ng mas mataas na matematika. Mga tsart para sa mga dummies? Masasabi ng isa.

Dahil sa maraming kahilingan mula sa mga mambabasa naki-click na talaan ng mga nilalaman:

Bilang karagdagan, mayroong isang ultra-maikling buod sa paksa
– master ang 16 na uri ng mga chart sa pamamagitan ng pag-aaral ng ANIM na pahina!

Grabe, six, kahit ako nagulat. Ang buod na ito ay naglalaman ng pinahusay na mga graphics at magagamit para sa isang nominal na bayad ang isang demo na bersyon ay maaaring matingnan. Ito ay maginhawa upang i-print ang file upang ang mga graph ay palaging nasa kamay. Salamat sa pagsuporta sa proyekto!

At simulan natin kaagad:

Paano gumawa ng mga coordinate axes nang tama?

Sa pagsasagawa, ang mga pagsusulit ay halos palaging kinukumpleto ng mga mag-aaral sa magkahiwalay na mga notebook, na may linya sa isang parisukat. Bakit kailangan mo ng checkered markings? Pagkatapos ng lahat, ang trabaho, sa prinsipyo, ay maaaring gawin sa mga sheet ng A4. At ang hawla ay kinakailangan para lamang sa mataas na kalidad at tumpak na disenyo ng mga guhit.

Ang anumang pagguhit ng isang function graph ay nagsisimula sa mga coordinate axes.

Ang mga guhit ay maaaring two-dimensional o three-dimensional.

Isaalang-alang muna natin ang dalawang-dimensional na kaso Cartesian rectangular coordinate system:

1) Gumuhit coordinate axes. Ang axis ay tinatawag x-axis , at ang axis ay y-axis . Lagi naming sinusubukang iguhit ang mga ito maayos at hindi baluktot. Ang mga palaso ay hindi rin dapat katulad ng balbas ni Papa Carlo.

2) Pinirmahan namin ang mga palakol na may malalaking titik na "X" at "Y". Huwag kalimutang lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol: gumuhit ng zero at dalawa. Kapag gumagawa ng isang pagguhit, ang pinaka-maginhawa at madalas na ginagamit na sukat ay: 1 yunit = 2 mga cell (pagguhit sa kaliwa) - kung maaari, manatili dito. Gayunpaman, paminsan-minsan ay nangyayari na ang pagguhit ay hindi magkasya sa notebook sheet - pagkatapos ay binabawasan namin ang sukat: 1 yunit = 1 cell (pagguhit sa kanan). Ito ay bihira, ngunit nangyayari na ang sukat ng pagguhit ay kailangang bawasan (o dagdagan) pa

HINDI KAILANGAN ang “machine gun” …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Para sa coordinate plane ay hindi isang monumento kay Descartes, at ang estudyante ay hindi isang kalapati. Inilagay namin sero At dalawang yunit sa kahabaan ng mga palakol. Minsan sa halip na mga yunit, ito ay maginhawa upang "markahan" ang iba pang mga halaga, halimbawa, "dalawa" sa abscissa axis at "tatlo" sa ordinate axis - at ang sistemang ito (0, 2 at 3) ay natatanging tukuyin ang coordinate grid.

Mas mainam na tantyahin ang tinantyang sukat ng pagguhit BAGO gawin ang pagguhit. Kaya, halimbawa, kung ang gawain ay nangangailangan ng pagguhit ng isang tatsulok na may mga vertex , , , kung gayon ay ganap na malinaw na ang sikat na sukat ng 1 yunit = 2 mga cell ay hindi gagana. Bakit? Tingnan natin ang punto - dito kailangan mong sukatin ang labinlimang sentimetro pababa, at, malinaw naman, ang pagguhit ay hindi magkasya (o halos hindi magkasya) sa isang notebook sheet. Samakatuwid, agad kaming pumili ng mas maliit na sukat: 1 unit = 1 cell.

Sa pamamagitan ng paraan, mga sentimetro at mga cell ng notebook. Totoo bang may 15 centimeters ang 30 notebook cell? Para masaya, sukatin ang 15 sentimetro sa iyong kuwaderno gamit ang ruler. Sa USSR, maaaring ito ay totoo... Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na kung susukatin mo ang parehong mga sentimetro nang pahalang at patayo, ang mga resulta (sa mga cell) ay magkakaiba! Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga modernong notebook ay hindi checkered, ngunit hugis-parihaba. Ito ay maaaring mukhang walang kapararakan, ngunit ang pagguhit, halimbawa, ang isang bilog na may compass sa mga ganitong sitwasyon ay lubhang hindi maginhawa. Sa totoo lang, sa mga sandaling iyon ay nagsisimula kang mag-isip tungkol sa kawastuhan ni Kasamang Stalin, na ipinadala sa mga kampo para sa pag-hack sa paggawa, hindi sa banggitin ang industriya ng domestic na sasakyan, mga bumabagsak na eroplano o sumasabog na mga planta ng kuryente.

Ang pagsasalita ng kalidad, o isang maikling rekomendasyon sa stationery. Ngayon, karamihan sa mga notebook na ibinebenta ay, kung tutuusin, kumpletong kalokohan. Para sa kadahilanang nabasa sila, at hindi lamang mula sa mga gel pen, kundi pati na rin mula sa mga bolpen! Nagtitipid sila sa papel. Para sa pagpaparehistro mga pagsubok Inirerekomenda ko ang paggamit ng mga notebook mula sa Arkhangelsk Pulp and Paper Mill (18 sheet, grid) o "Pyaterochka", kahit na ito ay mas mahal. Maipapayo na pumili ng isang gel pen; kahit na ang pinakamurang Chinese gel refill ay mas mahusay kaysa sa isang bolpen, na maaaring mabulok o mapunit ang papel. Ang tanging "competitive" na bolpen na natatandaan ko ay ang Erich Krause. Malinaw, maganda, at tuluy-tuloy ang pagsusulat niya – may buong core man o halos walang laman.

Bukod pa rito: Ang pananaw ng isang rectangular coordinate system sa pamamagitan ng mga mata ng analytical geometry ay sakop sa artikulo Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector, ang detalyadong impormasyon tungkol sa coordinate quarters ay matatagpuan sa ikalawang talata ng aralin Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay.

3D na kaso

Halos pareho lang dito.

1) Gumuhit ng mga coordinate axes. Pamantayan: ilapat ang axis – nakadirekta pataas, axis – nakadirekta sa kanan, axis – nakadirekta pababa sa kaliwa mahigpit sa isang anggulo ng 45 degrees.

2) Lagyan ng label ang mga palakol.

3) Itakda ang sukat sa kahabaan ng mga palakol. Ang sukat sa kahabaan ng axis ay dalawang beses na mas maliit kaysa sa sukat sa kahabaan ng iba pang mga axes. Tandaan din na sa tamang pagguhit ay gumamit ako ng isang hindi karaniwang "bingaw" kasama ang axis (ang posibilidad na ito ay nabanggit na sa itaas). Mula sa aking pananaw, ito ay mas tumpak, mas mabilis at mas aesthetically kasiya-siya - hindi na kailangang hanapin ang gitna ng cell sa ilalim ng mikroskopyo at "i-sculpt" ang isang yunit na malapit sa pinagmulan ng mga coordinate.

Kapag gumagawa ng 3D na pagguhit, muli, bigyang-priyoridad ang sukat
1 unit = 2 cell (drawing sa kaliwa).

Para saan ang lahat ng mga patakarang ito? Ang mga patakaran ay ginawa upang masira. Yan ang gagawin ko ngayon. Ang katotohanan ay ang kasunod na mga guhit ng artikulo ay gagawin ko sa Excel, at ang mga coordinate axes ay magmumukhang hindi tama mula sa punto ng view ng tamang disenyo. Maaari kong iguhit ang lahat ng mga graph sa pamamagitan ng kamay, ngunit talagang nakakatakot na iguhit ang mga ito dahil nag-aatubili ang Excel na iguhit ang mga ito nang mas tumpak.

Mga graph at pangunahing katangian ng elementarya na pag-andar

Ang isang linear function ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng mga linear function ay direkta. Upang makabuo ng isang tuwid na linya, sapat na malaman ang dalawang puntos.

Halimbawa 1

Bumuo ng graph ng function. Maghanap tayo ng dalawang puntos. Ito ay kapaki-pakinabang na pumili ng zero bilang isa sa mga puntos.

Kung , kung gayon

Kumuha tayo ng isa pang punto, halimbawa, 1.

Kung , kung gayon

Kapag kinukumpleto ang mga gawain, ang mga coordinate ng mga puntos ay karaniwang ibinubuod sa isang talahanayan:

At ang mga halaga mismo ay kinakalkula nang pasalita o sa isang draft, isang calculator.

Dalawang puntos ang natagpuan, gawin natin ang pagguhit:

Kapag naghahanda ng guhit, palagi naming pinipirmahan ang mga graphic.

Magiging kapaki-pakinabang na alalahanin ang mga espesyal na kaso ng isang linear function:

Pansinin kung paano ko inilagay ang mga lagda, hindi dapat pahintulutan ng mga lagda ang mga pagkakaiba kapag pinag-aaralan ang pagguhit. Sa kasong ito, labis na hindi kanais-nais na maglagay ng lagda sa tabi ng punto ng intersection ng mga linya, o sa kanang ibaba sa pagitan ng mga graph.

1) Ang isang linear na function ng form () ay tinatawag na direktang proporsyonalidad. Halimbawa, . Ang isang direktang proporsyonal na graph ay palaging dumadaan sa pinagmulan. Kaya, ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay pinasimple - sapat na upang makahanap ng isang punto lamang.

2) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay agad na naka-plot, nang hindi nakakahanap ng anumang mga puntos. Iyon ay, ang entry ay dapat na maunawaan tulad ng sumusunod: "ang y ay palaging katumbas ng -4, para sa anumang halaga ng x."

3) Ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang tuwid na linya parallel sa axis, sa partikular, ang axis mismo ay ibinibigay ng equation. Ang graph ng function ay na-plot din kaagad. Ang entry ay dapat na maunawaan bilang mga sumusunod: "x ay palaging, para sa anumang halaga ng y, katumbas ng 1."

May magtatanong, bakit naaalala ang grade 6?! Ganyan talaga, siguro nga, pero sa paglipas ng mga taon ng pagsasanay, nakilala ko ang isang dosenang estudyante na nalilito sa gawaing paggawa ng graph tulad ng o.

Ang pagbuo ng isang tuwid na linya ay ang pinakakaraniwang aksyon kapag gumagawa ng mga guhit.

Ang tuwid na linya ay tinalakay nang detalyado sa kurso ng analytical geometry, at ang mga interesado ay maaaring sumangguni sa artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano.

Graph ng isang quadratic, cubic function, graph ng isang polynomial

Parabola. Iskedyul quadratic function () ay kumakatawan sa isang parabola. Isaalang-alang ang sikat na kaso:

Alalahanin natin ang ilang katangian ng function.

Kaya, ang solusyon sa ating equation: – sa puntong ito matatagpuan ang vertex ng parabola. Kung bakit ganito ang matutunan mula sa teoretikal na artikulo sa hinalaw at ang aralin sa extrema ng function. Pansamantala, kalkulahin natin ang katumbas na halaga ng "Y":

Kaya, ang vertex ay nasa punto

Ngayon ay nakahanap kami ng iba pang mga punto, habang walang pakundangan na gumagamit ng simetrya ng parabola. Dapat pansinin na ang pag-andar – ay hindi pantay, ngunit, gayunpaman, walang kinansela ang simetrya ng parabola.

Sa anong pagkakasunud-sunod upang mahanap ang natitirang mga punto, sa palagay ko ay magiging malinaw mula sa panghuling talahanayan:

Ang algorithm ng konstruksyon na ito ay matalinghagang matatawag na "shuttle" o ang "pabalik-balik" na prinsipyo sa Anfisa Chekhova.

Gawin natin ang pagguhit:

Mula sa mga graph na sinuri, isa pang kapaki-pakinabang na tampok ang naiisip:

Para sa isang quadratic function () ang sumusunod ay totoo:

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas.

Kung , ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa.

Ang malalim na kaalaman tungkol sa kurba ay makukuha sa aralin na Hyperbola at parabola.

Ang isang cubic parabola ay ibinibigay ng function. Narito ang isang guhit na pamilyar sa paaralan:

Ilista natin ang mga pangunahing katangian ng function

Graph ng isang function

Ito ay kumakatawan sa isa sa mga sangay ng isang parabola. Gawin natin ang pagguhit:

Mga pangunahing katangian ng function:

Sa kasong ito, ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang hyperbola sa .

Ito ay magiging isang GROSS na pagkakamali kung, kapag gumuhit ng isang guhit, walang ingat mong pinapayagan ang graph na mag-intersect sa isang asymptote.

Ang mga one-sided na limitasyon din ay nagsasabi sa amin na ang hyperbola hindi limitado mula sa itaas At hindi limitado mula sa ibaba.

Suriin natin ang function sa infinity: , ibig sabihin, kung magsisimula tayong gumalaw sa kahabaan ng axis sa kaliwa (o kanan) hanggang sa infinity, kung gayon ang "mga laro" ay magiging isang maayos na hakbang. walang katapusang malapit lumapit sa zero, at, nang naaayon, ang mga sanga ng hyperbola walang katapusang malapit lumapit sa axis.

Kaya ang axis ay pahalang na asymptote para sa graph ng isang function, kung ang "x" ay may posibilidad na plus o minus infinity.

Ang function ay kakaiba, at, samakatuwid, ang hyperbola ay simetriko tungkol sa pinagmulan. Itong katotohanan halata mula sa pagguhit, bilang karagdagan, ito ay madaling ma-verify nang analytical: .

Ang graph ng isang function ng form () ay kumakatawan sa dalawang sangay ng isang hyperbola.

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa una at pangatlong coordinate quarter(tingnan ang larawan sa itaas).

Kung , kung gayon ang hyperbola ay matatagpuan sa ikalawa at ikaapat na coordinate quarter.

Ang ipinahiwatig na pattern ng hyperbola residence ay madaling suriin mula sa punto ng view ng geometric transformations ng mga graph.

Halimbawa 3

Buuin ang tamang sangay ng hyperbola

Ginagamit namin ang point-wise na paraan ng pagtatayo, at ito ay kapaki-pakinabang upang piliin ang mga halaga upang ang mga ito ay mahahati sa kabuuan:

Gawin natin ang pagguhit:

Hindi magiging mahirap na buuin ang kaliwang sangay ng hyperbola na makakatulong dito. Sa halos pagsasalita, sa talahanayan ng pointwise construction, nagdaragdag kami ng isang minus sa bawat numero, ilagay ang kaukulang mga puntos at iguhit ang pangalawang sangay.

Ang detalyadong geometric na impormasyon tungkol sa linyang isinasaalang-alang ay matatagpuan sa artikulong Hyperbola at parabola.

Graph ng Exponential Function

Sa seksyong ito, agad kong isasaalang-alang ang exponential function, dahil sa mga problema ng mas mataas na matematika sa 95% ng mga kaso ito ang exponential na lilitaw.

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ito ay isang hindi makatwirang numero: , ito ay kinakailangan kapag gumagawa ng isang graph, na, sa katunayan, ako ay magtatayo nang walang seremonya. Marahil sapat na ang tatlong puntos:

Iwanan muna natin ang graph ng function sa ngayon, higit pa dito sa ibang pagkakataon.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang mga function graph, atbp., sa panimula ay pareho ang hitsura.

Dapat kong sabihin na ang pangalawang kaso ay nangyayari nang hindi gaanong madalas sa pagsasanay, ngunit ito ay nangyayari, kaya itinuring kong kinakailangan na isama ito sa artikulong ito.

Graph ng isang logarithmic function

Isaalang-alang ang isang function na may natural na logarithm.
Gumawa tayo ng point-by-point drawing:

Kung nakalimutan mo kung ano ang logarithm, mangyaring sumangguni sa iyong mga aklat-aralin sa paaralan.

Mga pangunahing katangian ng function:

Domain:

Saklaw ng mga halaga: .

Ang function ay hindi limitado mula sa itaas: , kahit na dahan-dahan, ngunit ang sangay ng logarithm ay umaakyat sa infinity.
Suriin natin ang pag-uugali ng function na malapit sa zero sa kanan: . Kaya ang axis ay patayong asymptote para sa graph ng isang function bilang "x" ay may posibilidad na zero mula sa kanan.

Kinakailangang malaman at tandaan ang karaniwang halaga ng logarithm: .

Sa prinsipyo, ang graph ng logarithm sa base ay mukhang pareho: , , (decimal logarithm sa base 10), atbp. Bukod dito, mas malaki ang base, mas magiging flat ang graph.

Hindi namin isasaalang-alang ang kaso, hindi ko matandaan kung kailan huling beses Gumawa ako ng isang graph batay dito. At ang logarithm ay tila isang napakabihirang panauhin sa mga problema ng mas mataas na matematika.

Sa dulo ng talatang ito sasabihin ko ang isa pang katotohanan: Exponential function at logarithmic function– ito ay dalawang magkabaligtaran na pag-andar. Kung titingnan mong mabuti ang graph ng logarithm, makikita mo na ito ang parehong exponent, medyo naiiba lang ang lokasyon nito.

Mga graph ng trigonometriko function

Saan nagsisimula ang trigonometric torment sa paaralan? Tama. Mula sa sine

I-plot natin ang function

Ang linyang ito ay tinatawag sinusoid.

Ipaalala ko sa iyo na ang "pi" ay isang hindi makatwirang numero: , at sa trigonometrya ay nakakasilaw ang iyong mga mata.

Mga pangunahing katangian ng function:

Ang function na ito ay pana-panahon may period . Ano ang ibig sabihin nito? Tingnan natin ang segment. Sa kaliwa at kanan nito, ang eksaktong parehong piraso ng graph ay paulit-ulit na walang katapusang.

Domain: , ibig sabihin, para sa anumang halaga ng “x” ay mayroong halaga ng sine.

Saklaw ng mga halaga: . Ang function ay limitado: , ibig sabihin, lahat ng "manlalaro" ay mahigpit na nakaupo sa segment .
Hindi ito nangyayari: o, mas tiyak, nangyayari ito, ngunit ang mga equation na ito ay walang solusyon.

Upang maunawaan ang paksang ito, isaalang-alang natin ang isang function na inilalarawan sa isang graph // Ipakita natin kung paano nagbibigay-daan sa iyo ang isang graph ng isang function na matukoy ang mga katangian nito.

Tingnan natin ang mga katangian ng isang function gamit ang isang halimbawa

Ang domain ng kahulugan ng function ay span [ 3.5; 5.5].

Ang hanay ng mga halaga ng function ay span [ 1; 3].

1. Sa x = -3, x = - 1, x = 1.5, x = 4.5, ang halaga ng function ay zero.

Ang halaga ng argument kung saan ang halaga ng function ay zero ay tinatawag na function na zero.

//mga. para sa function na ito ang mga numero ay -3;-1;1.5; 4.5 ay mga zero.

2. Sa pagitan [ 4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang graph ng function na f ay matatagpuan sa itaas ng abscissa axis, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) sa ibaba ng axis abscissa, ito ay ipinaliwanag bilang mga sumusunod: sa mga pagitan [4.5; 3) at (1; 1.5) at (4.5; 5.5] ang function ay tumatagal mga positibong halaga, at sa mga pagitan (-3; -1) at (1.5; 4.5) ay negatibo.

Ang bawat isa sa mga ipinahiwatig na agwat (kung saan ang pag-andar ay kumukuha ng mga halaga ng parehong tanda) ay tinatawag na agwat ng pare-parehong pag-sign ng pag-andar f.//i.e. halimbawa, kung kukunin natin ang agwat (0; 3), kung gayon ito ay hindi isang agwat ng pare-parehong tanda ng pagpapaandar na ito.

Sa matematika, kapag naghahanap ng mga pagitan ng palaging pag-sign ng isang function, kaugalian na ipahiwatig ang mga pagitan ng maximum na haba. //Yung. ang pagitan (2; 3) ay pagitan ng constancy ng sign function f, ngunit ang sagot ay dapat isama ang pagitan [4.5; 3) na naglalaman ng pagitan (2; 3).

3. Kung lilipat ka sa kahabaan ng x-axis mula 4.5 hanggang 2, mapapansin mong bumababa ang function graph, ibig sabihin, bumababa ang mga value ng function. //Sa matematika ay kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 4.5; 2] bumababa ang function.

Habang tumataas ang x mula 2 hanggang 0, tumataas ang graph ng function, i.e. tumataas ang mga halaga ng function. //Sa matematika ay kaugalian na sabihin na sa pagitan [ 2; 0] tumataas ang function.

Ang isang function na f ay tinatawag kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa pagitan na ito na ang x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f (x2) > f (x1) ay humahawak. // o tinatawag ang function pagtaas sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argument mula sa pagitan na ito, ang isang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.//i.e. mas maraming x, mas maraming y.

Tinatawag ang function na f bumababa sa ilang pagitan, kung para sa alinmang dalawang halaga ng argumentong x1 at x2 mula sa agwat na ito tulad ng x2 > x1, ang hindi pagkakapantay-pantay na f(x2) ay bumababa sa ilang pagitan, kung para sa anumang mga halaga ng argumento mula sa pagitan na ito ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function. //mga. mas maraming x, mas kaunti ang y.

Kung ang isang function ay tumaas sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag dumarami.

Kung ang isang function ay bumababa sa buong domain ng kahulugan, kung gayon ito ay tinatawag bumababa.

Halimbawa 1. graph ng pagtaas at pagbaba ng mga function ayon sa pagkakabanggit.

Halimbawa 2.

Tukuyin ang kababalaghan. kung linear function f (x) = 3x + 5 tumataas o bumababa?

Patunay. Gamitin natin ang mga kahulugan. Hayaang ang x1 at x2 ay mga arbitrary na halaga ng argumento, at x1< x2., например х1=1, х2=7

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.