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Ein Winkel ist eine Figur, die aus einem Punkt – dem Scheitelpunkt des Winkels – und zwei verschiedenen von diesem Punkt ausgehenden Halblinien – den Seiten des Winkels – besteht (Abb. 14). Wenn die Seiten eines Winkels komplementäre Halblinien sind, wird der Winkel als entwickelter Winkel bezeichnet.

Ein Winkel wird entweder durch Angabe seines Scheitelpunkts oder durch Angabe seiner Seiten oder durch Angabe von drei Punkten bezeichnet: dem Scheitelpunkt und zwei Punkten auf den Seiten des Winkels. Das Wort „Winkel“ wird manchmal ersetzt

Das Winkelsymbol in Abbildung 14 kann auf drei Arten bezeichnet werden:

Ein Strahl c verläuft zwischen den Seiten eines Winkels, wenn er von seinem Scheitelpunkt ausgeht und ein Segment schneidet, dessen Enden auf den Seiten des Winkels liegen.

In Abbildung 15 verläuft Strahl c zwischen den Seiten des Winkels, während er das Segment schneidet

Bei einem geraden Winkel verläuft jeder Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht und sich von seinen Seiten unterscheidet, zwischen den Seiten des Winkels.

Winkel werden in Grad gemessen. Wenn Sie einen geraden Winkel nehmen und ihn in 180 gleiche Winkel teilen, wird das Gradmaß jedes dieser Winkel als Grad bezeichnet.

Die grundlegenden Eigenschaften der Winkelmessung werden in folgendem Axiom ausgedrückt:

Jeder Winkel hat ein bestimmtes Gradmaß, größer als Null. Der Drehwinkel beträgt 180°. Gradmaß Der Winkel ist gleich der Summe der Gradmaße der Winkel, in die er durch jeden zwischen seinen Seiten verlaufenden Strahl geteilt wird.

Das heißt, wenn ein Strahl c zwischen den Seiten eines Winkels verläuft, dann ist der Winkel gleich der Summe der Winkel

Das Gradmaß eines Winkels wird mit einem Winkelmesser ermittelt.

Ein Winkel von 90° wird rechter Winkel genannt. Ein Winkel kleiner als 90° wird als spitzer Winkel bezeichnet. Ein Winkel größer als 90° und kleiner als 180° wird als stumpf bezeichnet.

Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Beiseitelegens von Ecken formulieren.

Von jeder Halblinie aus kann man in eine gegebene Halbebene einen Winkel mit einem gegebenen Gradmaß von weniger als 180° eintragen, und zwar nur einen.

Betrachten Sie die Halbgerade a. Wir werden es verlängern Startpunkt A. Die resultierende Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Abbildung 16 zeigt, wie man mit einem Winkelmesser einen Winkel mit einem gegebenen Gradmaß von 60° von einer Halblinie zur oberen Halbebene zeichnet.

T. 1. 2. Wenn zwei Winkel einer gegebenen Halblinie in eine Halbebene gebracht werden, dann verläuft die Seite des kleineren Winkels, die sich von der gegebenen Halblinie unterscheidet, zwischen den Seiten des größeren Winkels.

Seien die Winkel, die von einer gegebenen Halblinie a in eine Halbebene gelegt werden, und der Winkel sei kleiner als der Winkel . Satz 1.2 besagt, dass der Strahl zwischen den Seiten des Winkels verläuft (Abb. 17).

Die Winkelhalbierende ist der Strahl, der von seinem Scheitelpunkt ausgeht, zwischen den Seiten verläuft und den Winkel in zwei Hälften teilt. In Abbildung 18 ist der Strahl die Winkelhalbierende

In der Geometrie gibt es den Begriff eines ebenen Winkels. Ein ebener Winkel ist ein Teil einer Ebene, die durch zwei verschiedene Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen. Diese Strahlen werden Winkelseiten genannt. Es gibt zwei ebene Winkel mit vorgegebenen Seiten. Sie werden zusätzlich genannt. In Abbildung 19 ist einer der ebenen Winkel mit den Seiten a und schraffiert.

Anweisungen

Ein Bogen ist ein Teil eines Kreises, der zwischen zwei auf diesem Kreis liegenden Punkten eingeschlossen ist. Jeder Bogen kann durch numerische Werte ausgedrückt werden. Ihr Hauptmerkmal Zusammen mit der Länge gibt es den Wert des Gradmaßes.

Aber wenn ein Bogen auf einem Kreis isoliert wird, entsteht ein anderer. Um eindeutig zu verstehen, um welchen Bogen es sich handelt, markieren Sie daher einen anderen Punkt auf dem ausgewählten Bogen, zum Beispiel C. Dann nimmt er die Form ABC an.

Das Segment, das durch zwei den Bogen begrenzende Punkte gebildet wird, ist eine Sehne.

Das Gradmaß eines Bogens kann durch den Wert des eingeschriebenen Winkels ermittelt werden, der, wenn er einen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst hat, auf dem gegebenen Bogen ruht. Ein solcher Winkel wird als eingeschriebener Winkel bezeichnet und sein Gradmaß entspricht der Hälfte des Bogens, auf dem er ruht.

Es gibt auch einen Mittelpunktswinkel in einem Kreis. Außerdem ruht es auf dem gewünschten Bogen und seine Spitze liegt nicht mehr auf dem Kreis, sondern in der Mitte. Und sein Zahlenwert entspricht nicht mehr dem halben Gradmaß des Bogens, sondern seinem ganzen Wert.

Nachdem Sie verstanden haben, wie ein Bogen durch den auf ihm ruhenden Winkel berechnet wird, können Sie dieses Gesetz in die entgegengesetzte Richtung anwenden und die Regel ableiten, dass der eingeschriebene Winkel, der auf dem Durchmesser aufliegt, richtig ist. Da der Durchmesser den Kreis in zwei gleiche Teile teilt, bedeutet dies, dass jeder der Bögen einen Wert von 180 Grad hat. Daher beträgt der eingeschriebene Winkel 90 Grad.

Basierend auf der Methode zur Suche nach dem Gradwert eines Bogens gilt außerdem die Regel, dass Winkel, die auf einem Bogen basieren, den gleichen Wert haben.

Das Gradmaß eines Bogens wird häufig zur Berechnung der Länge eines Kreises oder des Bogens selbst verwendet. Verwenden Sie dazu die Formel L= π*R*α/180.

Das Wort „“ hat unterschiedliche Interpretationen. In der Geometrie ist ein Winkel ein Teil einer Ebene, die von zwei Strahlen begrenzt wird, die von einem Punkt ausgehen – dem Scheitelpunkt. Wann wir reden über etwa rechte, spitze, abgewinkelte Winkel, dann sind geometrische Winkel gemeint.

Wie alle Figuren in der Geometrie können Winkel verglichen werden. Die Winkelgleichheit wird durch Bewegung bestimmt. Es ist einfach, den Winkel in zwei gleiche Teile zu teilen. Die Aufteilung in drei Teile ist etwas schwieriger, aber mit Lineal und Zirkel geht das trotzdem. Diese Aufgabe schien übrigens ziemlich schwierig zu sein. Die Beschreibung, dass ein Winkel größer oder kleiner als ein anderer ist, ist geometrisch einfach.

Die Maßeinheit für Winkel ist 1/180 eines entwickelten Winkels. Die Größe des Winkels ist eine Zahl, die angibt, wie gut der als Maßeinheit gewählte Winkel in die jeweilige Figur passt.

Jeder Winkel hat ein Gradmaß größer als Null. Ein gerader Winkel beträgt 180 Grad. Das Gradmaß eines Winkels wird als gleich der Summe der Gradmaße der Winkel betrachtet, in die er durch einen beliebigen Strahl auf der von seinen Seiten begrenzten Ebene geteilt wird.

Ein Winkel mit einem bestimmten Gradmaß, der 180 nicht überschreitet, kann von jedem Strahl in eine gegebene Ebene aufgetragen werden. Darüber hinaus wird es nur einen solchen Winkel geben. Das Maß eines ebenen Winkels, der Teil einer Halbebene ist, ist das Gradmaß eines Winkels mit ähnlichen Seiten. Das Maß der Ebene eines Winkels, der eine Halbebene enthält, ist der Wert 360 – α, wobei α das Gradmaß des Komplementärebenenwinkels ist.

Das Gradmaß eines Winkels ermöglicht den Übergang von einer geometrischen zu einer numerischen Beschreibung. Ein rechter Winkel ist also ein Winkel von 90 Grad, ein stumpfer Winkel ist ein Winkel kleiner als 180 Grad, aber größer als 90 Grad, ein spitzer Winkel überschreitet 90 Grad nicht.

Neben Grad gibt es auch das Bogenmaß für den Winkel. In der Planimetrie ist die Länge L, der Radius r und der entsprechende Mittelpunktswinkel α. Darüber hinaus hängen diese Parameter durch die Beziehung α = L/r zusammen. Dies ist die Grundlage des Winkelmaßes im Bogenmaß. Wenn L=r, dann ist der Winkel α gleich einem Bogenmaß. Das Bogenmaß eines Winkels ist also das Verhältnis der Länge eines Bogens, der mit einem beliebigen Radius gezeichnet und zwischen den Seiten dieses Winkels eingeschlossen wird, zum Radius des Bogens. Eine vollständige Drehung in Grad (360 Grad) entspricht 2π im Bogenmaß. Eins ist 57,2958 Grad.

Video zum Thema

Quellen:

• Gradmaßformel für Winkel

Die Messung flacher Größen in Grad wurde im alten Babylon lange vor Beginn unserer Zeitrechnung erfunden. Die Einwohner dieses Staates bevorzugten das Sexagesimal-Notationssystem, daher wirkt die Unterteilung der Winkel in 180 oder 360 Einheiten heute etwas seltsam. Allerdings sind die vorgeschlagenen in modernes System Ebenso seltsam sind SI-Maßeinheiten, die ein Vielfaches von Pi sind. Diese beiden Möglichkeiten sind nicht auf die heute gebräuchlichen Winkelbezeichnungen beschränkt, daher stellt sich häufig die Aufgabe, ihre Werte in Gradmaße umzurechnen.

Anweisungen

Wenn Sie die Größe eines Winkels im Bogenmaß in ein Gradmaß umrechnen müssen, gehen Sie davon aus, dass ein Grad einer Bogenmaßzahl entspricht, die 1/180 der Zahl Pi entspricht. Diese mathematische Konstante hat unendlich viele Dezimalstellen, daher ist der Umrechnungsfaktor auch ein unendlicher Dezimalbruch. Das ist es, was absolut ist genauer Wert im Format Dezimal Dies ist nicht möglich, daher muss der Umrechnungsfaktor gerundet werden. Mit einer Genauigkeit von einem Milliardstel einer Einheit beträgt der berechnete Koeffizient beispielsweise 0,017453293. Nachdem Sie auf die erforderliche Stellenzahl gerundet haben, dividieren Sie die ursprüngliche Zahl im Bogenmaß durch diesen Faktor und Sie erhalten das Gradmaß des Winkels.

Gradmaß des Winkels. Winkelmaß im Bogenmaß. Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

In der vorherigen Lektion haben wir gelernt, wie man Winkel auf einem trigonometrischen Kreis misst. Ich habe gelernt, wie man positive und negative Winkel zählt. Wir haben gelernt, wie man einen Winkel von mehr als 360 Grad zeichnet. Es ist Zeit herauszufinden, wie man Winkel misst. Besonders bei der Zahl „Pi“, die uns bei kniffligen Aufgaben zu verwirren sucht, ja...

Standardprobleme der Trigonometrie mit der Zahl „Pi“ werden gut gelöst. Visuelles Gedächtnis hilft. Aber jede Abweichung von der Vorlage ist eine Katastrophe! Um Stürze zu vermeiden - verstehen notwendig. Das werden wir jetzt mit Erfolg tun. Ich meine, wir werden alles verstehen!

Also, worin Zählen Winkel? Im Schultrigonometriekurs werden zwei Maße verwendet: Gradmaß des Winkels Und Winkelmaß im Bogenmaß. Schauen wir uns diese Maßnahmen an. Ohne dies führt die Trigonometrie nichts.

Gradmaß des Winkels.

Irgendwie haben wir uns an Abschlüsse gewöhnt. Zumindest haben wir die Geometrie bestanden... Und im Leben stößt man zum Beispiel oft auf den Satz „um 180 Grad gedreht“. Kurz gesagt, ein Abschluss ist eine einfache Sache ...

Ja? Dann antworte mir Was ist ein Abschluss? Was, es klappt nicht auf Anhieb? Das ist es...

Abschlüsse wurden im alten Babylon erfunden. Es ist lange her... vor 40 Jahrhunderten... Und sie hatten eine einfache Idee. Sie nahmen den Kreis und teilten ihn in 360 gleiche Teile. 1 Grad ist 1/360 eines Kreises. Und alle. Sie hätten es in 100 Teile zerbrechen können. Oder 1000. Aber sie haben es in 360 geteilt. Übrigens, warum genau 360? Wie ist 360 besser als 100? 100 scheint irgendwie glatter zu sein ... Versuchen Sie, diese Frage zu beantworten. Oder schwach gegen das alte Babylon?

Irgendwo zur gleichen Zeit, in Antikes Ägypten wurden von einer anderen Frage gequält. Wie oft ist die Länge eines Kreises größer als die Länge seines Durchmessers? Und sie haben es so und so gemessen... Es stellte sich heraus, dass alles etwas mehr als drei war. Aber irgendwie ist es struppig und uneben geworden... Aber sie, die Ägypter, tragen keine Schuld. Danach litten sie weitere 35 Jahrhunderte. Bis sie schließlich bewiesen, dass man aus solchen Stücken etwas machen kann, egal wie fein man einen Kreis in gleich große Stücke schneidet glatt Die Länge des Durchmessers ist unmöglich... Im Prinzip ist es unmöglich. Nun, es wurde natürlich festgestellt, wie oft der Umfang größer als der Durchmesser ist. Etwa. 3.1415926... mal.

Das ist die Zahl „Pi“. So zottelig, so zottelig. Nach dem Komma gibt es unendlich viele Zahlen ohne Ordnung... Solche Zahlen nennt man irrational. Das bedeutet übrigens, dass sich aus gleichen Kreisstücken der Durchmesser ergibt glatt nicht falten. Niemals.

Für praktische Anwendung Es ist üblich, sich nur zwei Nachkommastellen zu merken. Erinnern:

Da wir wissen, dass der Umfang eines Kreises um das „Pi“-fache größer ist als sein Durchmesser, ist es sinnvoll, sich die Formel für den Umfang eines Kreises zu merken:

Wo L- Umfang und D- sein Durchmesser.

Nützlich in der Geometrie.

Für Allgemeinbildung Ich möchte hinzufügen, dass die Zahl „Pi“ nicht nur in der Geometrie vorkommt ... In verschiedenen Zweigen der Mathematik und insbesondere in der Wahrscheinlichkeitstheorie kommt diese Zahl ständig vor! Von selbst. Über unsere Wünsche hinaus. So.

Aber kehren wir zu den Graden zurück. Haben Sie herausgefunden, warum der Kreis im alten Babylon in 360 gleiche Teile geteilt war? Und nicht zum Beispiel um 100? Nein? Okay. Ich gebe Ihnen eine Version. Das kann man nicht die alten Babylonier fragen ... Für die Konstruktion oder beispielsweise die Astronomie ist es praktisch, den Kreis in gleiche Teile zu teilen. Finden Sie nun heraus, durch welche Zahlen es teilbar ist vollständig 100 und welche - 360? Und in welcher Version dieser Teiler vollständig- mehr? Diese Aufteilung ist für die Menschen sehr praktisch. Aber...

Wie sich viel später als im alten Babylon herausstellte, mögen nicht alle Abschlüsse. Höhere Mathematiker mögen sie nicht... Höhere Mathematiker sind eine ernsthafte Frau, die nach den Naturgesetzen organisiert ist. Und diese Dame erklärt: „Heute haben Sie den Kreis in 360 Teile zerlegt, morgen werden Sie ihn in 100 zerlegen, übermorgen in 245 ... Und was soll ich tun? Nein, wirklich ...“ Ich musste zuhören. Man kann die Natur nicht täuschen...

Wir mussten ein Winkelmaß einführen, das nicht auf menschlichen Erfindungen beruhte. Treffen - Bogenmaß!

Winkelmaß im Bogenmaß.

Was ist ein Bogenmaß? Die Definition eines Bogenmaßes basiert immer noch auf einem Kreis. Ein Winkel von 1 Bogenmaß ist ein Winkel, der einen Bogen aus einem Kreis schneidet, dessen Länge ( L) ist gleich der Länge des Radius ( R). Schauen wir uns die Bilder an.

So ein kleiner Winkel, den gibt es fast nicht... Wir bewegen den Cursor über das Bild (oder berühren das Bild auf dem Tablet) und sehen ungefähr einen Bogenmaß. L = R

Spüren Sie den Unterschied?

Ein Bogenmaß ist viel mehr als ein Grad. Wie oft?

Schauen wir uns das nächste Bild an. Darauf habe ich einen Halbkreis gezeichnet. Der aufgeklappte Winkel beträgt selbstverständlich 180°.

Jetzt schneide ich diesen Halbkreis in Bogenmaß! Wir bewegen den Mauszeiger über das Bild und sehen, dass 180° zu dreieinhalb Bogenmaßen passt.

Wer kann erraten, was dieser Schwanz bedeutet!?

Ja! Dieser Schwanz ist 0,1415926.... Hallo, Nummer „Pi“, wir haben dich noch nicht vergessen!

Tatsächlich enthalten 180° Grad 3,1415926... Bogenmaß. Wie Sie selbst wissen, ist es unbequem, ständig 3.1415926 zu schreiben. Deshalb schreiben sie statt dieser unendlichen Zahl immer einfach:

Aber im Internet die Nummer

Es ist unbequem zu schreiben... Deshalb schreibe ich seinen Namen in den Text – „Pi“. Lass dich nicht verwirren, okay?...

Jetzt können wir eine ungefähre Gleichheit völlig sinnvoll aufschreiben:

Oder genaue Gleichheit:

Lassen Sie uns bestimmen, wie viele Grad ein Bogenmaß hat. Wie? Leicht! Wenn 180° Grad in 3,14 Bogenmaß sind, dann sind es 3,14 Mal weniger in 1 Bogenmaß! Das heißt, wir dividieren die erste Gleichung (die Formel ist auch eine Gleichung!) durch 3,14:

Es ist nützlich, sich dieses Verhältnis zu merken. Ein Bogenmaß entspricht etwa 60°. In der Trigonometrie muss man oft die Situation einschätzen und beurteilen. Hier hilft dieses Wissen sehr.

Aber die Hauptkompetenz dieses Themas ist Umrechnung von Grad in Bogenmaß und umgekehrt.

Wenn der Winkel im Bogenmaß mit der Zahl „Pi“ angegeben wird, ist alles ganz einfach. Wir wissen, dass „Pi“ Bogenmaß = 180° ist. Also ersetzen wir „Pi“ durch das Bogenmaß – 180°. Wir erhalten den Winkel in Grad. Wir reduzieren, was reduziert wird, und die Antwort ist fertig. Wir müssen zum Beispiel herausfinden, wie viele Grad im Winkel „Pi“/2 Bogenmaß? Also schreiben wir:

Oder ein exotischerer Ausdruck:

Einfach richtig?

Die umgekehrte Übersetzung ist etwas komplizierter. Aber nicht viel. Wenn der Winkel in Grad angegeben wird, müssen wir herausfinden, was ein Grad im Bogenmaß ist, und diese Zahl mit der Gradzahl multiplizieren. Was entspricht 1° im Bogenmaß?

Wir schauen uns die Formel an und stellen fest, dass 1° 180-mal kleiner ist, wenn 180° = „Pi“ im Bogenmaß. Oder anders ausgedrückt: Wir dividieren die Gleichung (eine Formel ist auch eine Gleichung!) durch 180. „Pi“ muss man nicht als 3,14 darstellen, es wird sowieso immer mit einem Buchstaben geschrieben. Wir finden, dass ein Grad gleich ist:

Das ist alles. Wir multiplizieren die Gradzahl mit diesem Wert und erhalten den Winkel im Bogenmaß. Zum Beispiel:

Oder ähnlich:

Wie Sie sehen, in einem gemütlichen Gespräch mit lyrische Exkurse Es stellte sich heraus, dass das Bogenmaß sehr einfach ist. Und die Übersetzung ist kein Problem... Und „Pi“ ist eine völlig erträgliche Sache... Woher kommt also die Verwirrung!?

Ich werde das Geheimnis lüften. Tatsache ist, dass in trigonometrischen Funktionen das Gradsymbol geschrieben wird. Stets. Zum Beispiel sin35°. Das ist Sinus 35 Grad . Und das Bogenmaß-Symbol ( froh) - nicht geschrieben! Es ist impliziert. Entweder wurden die Mathematiker von der Faulheit überwältigt, oder etwas anderes ... Aber sie beschlossen, nicht zu schreiben. Wenn im Sinus-Kotangens keine Symbole vorhanden sind, beträgt der Winkel im Bogenmaß ! Beispielsweise ist cos3 der Kosinus von drei Bogenmaß .

Das führt zu Verwirrung... Eine Person sieht „Pi“ und glaubt, dass es 180° ist. Jederzeit und überall. Das funktioniert übrigens. Die Beispiele sind vorerst Standard. Aber „Pi“ ist eine Zahl! Die Zahl ist 3,14, aber nicht Grad! Das ist „Pi“ Bogenmaß = 180°!

Noch einmal: „Pi“ ist eine Zahl! 3.14. Irrational, aber eine Nummer. Dasselbe wie 5 oder 8. Sie können zum Beispiel etwa „Pi“-Schritte machen. Drei Schritte und noch ein bisschen mehr. Oder kaufen Sie „Pi“-Kilogramm Süßigkeiten. Wenn ein gebildeter Verkäufer auf... stößt...

„Pi“ ist eine Zahl! Was, habe ich dich mit diesem Satz geärgert? Hast du schon längst alles verstanden? Okay. Lass uns das Prüfen. Sag mir, welche Zahl ist größer?

Oder was ist weniger?

Das ist so etwas wie eine Serie nicht standardmäßige Fragen, was Sie in eine Benommenheit treiben kann...

Wenn auch Sie in eine Benommenheit geraten sind, erinnern Sie sich an den Zauberspruch: „Pi“ ist eine Zahl! 3.14. Im allerersten Sinus wird klar angegeben, dass der Winkel beträgt in Grad! Daher ist es unmöglich, „Pi“ um 180° zu ersetzen! „Pi“ Grad beträgt etwa 3,14°. Deshalb können wir schreiben:

Im zweiten Sinus gibt es keine Notationen. Also, da - Bogenmaß! Hier funktioniert es gut, „Pi“ um 180° zu ersetzen. Wenn wir Bogenmaß in Grad umrechnen, wie oben beschrieben, erhalten wir:

Es bleibt noch, diese beiden Sinus zu vergleichen. Was. vergessen wie? Natürlich mit einem trigonometrischen Kreis! Zeichnen Sie einen Kreis und ungefähre Winkel von 60° und 1,05°. Mal sehen, welche Sinus diese Winkel haben. Kurz gesagt, alles wird wie am Ende des Themas über den trigonometrischen Kreis beschrieben. Auf einem Kreis (auch dem schiefen!) ist das deutlich zu erkennen sin60° deutlich mehr als sin1,05°.

Mit den Kosinuswerten machen wir genau das Gleiche. Zeichnen Sie auf dem Kreis Winkel von etwa 4 ein Grad und 4 Bogenmaß(Haben Sie vergessen, was 1 Bogenmaß ungefähr entspricht?). Der Kreis wird alles sagen! Natürlich ist cos4 kleiner als cos4°.

Lassen Sie uns die Verwendung von Winkelmaßen üben.

Wandeln Sie diese Winkel von Grad in Bogenmaß um:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Sie sollten diese Werte im Bogenmaß erhalten (in einer anderen Reihenfolge!)

0

Übrigens habe ich die Antworten in zwei Zeilen ausdrücklich hervorgehoben. Nun, lasst uns herausfinden, was die Ecken in der ersten Zeile sind? Zumindest in Grad, zumindest im Bogenmaß?

Ja! Das sind die Achsen des Koordinatensystems! Wenn Sie den trigonometrischen Kreis betrachten, dann ist die bewegliche Seite des Winkels mit diesen Werten passt genau auf die Achsen. Diese Werte müssen bekannt sein. Und ich habe den Winkel von 0 Grad (0 Bogenmaß) aus gutem Grund notiert. Und dann können manche Leute diesen Winkel auf einem Kreis einfach nicht finden... Und dementsprechend verwirren sie sich in den trigonometrischen Funktionen von Null... Eine andere Sache ist, dass die Position der beweglichen Seite bei Null Grad mit der Position übereinstimmt bei 360°, daher gibt es immer Zufälle auf dem Kreis in der Nähe.

In der zweiten Zeile gibt es auch Sonderwinkel... Diese sind 30°, 45° und 60°. Und was ist das Besondere an ihnen? Nichts Besonderes. Der einzige Unterschied zwischen diesen Winkeln und allen anderen besteht darin, dass Sie über diese Winkel Bescheid wissen sollten Alle. Und wo sie sich befinden und welche trigonometrischen Funktionen diese Winkel haben. Sagen wir den Wert sin100° Du musst es nicht wissen. A sin45°- bitte sei so nett! Das ist Pflichtwissen, ohne das es in der Trigonometrie nichts zu tun gibt... Aber dazu mehr in der nächsten Lektion.

In der Zwischenzeit trainieren wir weiter. Wandeln Sie diese Winkel vom Bogenmaß in Grad um:

Sie sollten Ergebnisse wie dieses (in Unordnung) erhalten:

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Passiert? Dann können wir davon ausgehen Konvertieren von Grad in Bogenmaß und zurück- nicht länger Ihr Problem.) Aber die Übersetzung von Winkeln ist der erste Schritt zum Verständnis der Trigonometrie. Dort müssen Sie auch mit Sinus und Cosinus arbeiten. Und auch mit Tangenten und Kotangenten ...

Der zweite mächtige Schritt ist die Fähigkeit, die Position eines beliebigen Winkels auf einem trigonometrischen Kreis zu bestimmen. Sowohl in Grad als auch im Bogenmaß. Ich werde Ihnen in der gesamten Trigonometrie langweilige Hinweise zu genau dieser Fähigkeit geben, ja ...) Wenn Sie alles über den trigonometrischen Kreis und die Messung von Winkeln am trigonometrischen Kreis wissen (oder glauben, alles zu wissen), können Sie es sich ansehen. Lösen Sie diese einfachen Aufgaben:

1. In welches Viertel fallen die Winkel:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Leicht? Lass uns weitermachen:

2. In welches Viertel fallen die Ecken:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Auch kein Problem? Nun, schauen Sie...)

3. Sie können die Ecken vierteln:

Könnten Sie? Nun, du gibst...)

4. Auf welche Achsen wird die Ecke fallen:

und Ecke:

Ist es auch einfach? Hm...)

5. In welches Viertel fallen die Ecken:

Und es hat funktioniert!? Na ja, dann weiß ich es wirklich nicht...)

6. Bestimmen Sie, in welches Viertel die Ecken fallen:

1, 2, 3 und 20 Bogenmaß.

Ich werde nur auf die letzte Frage eine Antwort geben (es ist etwas schwierig) letzte Aufgabe. Ein Winkel von 20 Bogenmaß fällt in das erste Viertel.

Ich werde den Rest der Antworten nicht geben, nicht aus Gier.) Einfach, wenn Sie habe mich noch nicht entschieden etwas du bezweifelst es als Ergebnis oder für Aufgabe Nr. 4 ausgegeben mehr als 10 Sekunden, Sie sind im Kreis schlecht orientiert. Das wird Ihr Problem in der gesamten Trigonometrie sein. Es ist besser, es (das Problem, nicht die Trigonometrie!) sofort loszuwerden. Dies kann im Thema: Praktische Arbeit mit dem trigonometrischen Kreis im Abschnitt 555 erfolgen.

Es zeigt Ihnen, wie Sie solche Aufgaben einfach und richtig lösen. Nun, diese Aufgaben sind natürlich gelöst. Und die vierte Aufgabe wurde in 10 Sekunden gelöst. Ja, es wurde beschlossen, dass es jeder tun kann!

Wenn Sie von Ihren Antworten absolut überzeugt sind und kein Interesse an einer einfachen und problemlosen Arbeit mit Bogenmaßen haben, müssen Sie 555 nicht besuchen. Ich bestehe nicht darauf.)

Ein gutes Verständnis ist Grund genug, weiterzumachen!)

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Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Wichtige Notizen!
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2. Bevor Sie mit dem Lesen des Artikels beginnen, werfen Sie einen Blick auf unseren Navigator, um die nützlichsten Ressourcen zu finden

Grundbegriffe.

Wie gut erinnern Sie sich an alle Namen, die mit dem Kreis verbunden sind? Für alle Fälle erinnern wir Sie daran – schauen Sie sich die Bilder an – frischen Sie Ihr Wissen auf.

Zuerst - Der Mittelpunkt eines Kreises ist ein Punkt, von dem aus die Abstände zu allen Punkten auf dem Kreis gleich sind.

Zweitens - Radius - ein Liniensegment, das den Mittelpunkt und einen Punkt auf dem Kreis verbindet.

Es gibt viele Radien (so viele wie es Punkte auf dem Kreis gibt), aber Alle Radien haben die gleiche Länge.

Manchmal kurz Radius sie nennen es genau Länge des Segments„Der Mittelpunkt ist ein Punkt auf dem Kreis“ und nicht das Segment selbst.

Und hier ist, was passiert wenn man zwei Punkte auf einem Kreis verbindet? Auch ein Segment?

Dieses Segment heißt also "Akkord".

Genau wie beim Radius ist der Durchmesser oft die Länge eines Segments, das zwei Punkte auf einem Kreis verbindet und durch den Mittelpunkt verläuft. Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich, der Radius ist gleich dem halben Durchmesser.

Neben Akkorden gibt es auch Sekanten.

Erinnern Sie sich an die einfachste Sache?

Der Zentralwinkel ist der Winkel zwischen zwei Radien.

Und jetzt - der eingeschriebene Winkel

Eingeschriebener Winkel – der Winkel zwischen zwei Sehnen, die sich in einem Punkt auf einem Kreis schneiden.

In diesem Fall sagt man, dass der eingeschriebene Winkel auf einem Bogen (oder einer Sehne) ruht.

Sehen Sie das Bild an:

Messungen von Bögen und Winkeln.

Umfang. Bögen und Winkel werden in Grad und Bogenmaß gemessen. Zunächst zu den Abschlüssen. Bei Winkeln gibt es keine Probleme – Sie müssen lernen, wie man den Bogen in Grad misst.

Das Gradmaß (Bogengröße) ist der Wert (in Grad) des entsprechenden Mittelpunktswinkels

Was bedeutet hier das Wort „angemessen“? Schauen wir genau hin:

Sehen Sie zwei Bögen und zwei Mittelwinkel? Nun, es entspricht einem größeren Bogen größerer Winkel(und es ist in Ordnung, dass er größer ist), und ein kleinerer Bogen entspricht einem kleineren Winkel.

Wir waren uns also einig: Der Bogen enthält die gleiche Gradzahl wie der entsprechende Mittelpunktswinkel.

Und nun zum Schrecklichen – zum Bogenmaß!

Was für ein Biest ist dieses „Radiant“?

Stell dir vor: Das Bogenmaß ist eine Möglichkeit, Winkel zu messen ... in Radien!

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dann stellt sich die Frage: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel?

Mit anderen Worten: Wie viele Radien „passen“ in einen Halbkreis? Oder anders: Wie oft ist die Länge eines Halbkreises größer als der Radius?

Diese Frage stellten Wissenschaftler bereits im antiken Griechenland.

Und so, danach lange Suche Sie entdeckten, dass das Verhältnis von Umfang zu Radius nicht in „menschlichen“ Zahlen wie usw. ausgedrückt werden möchte.

Und es ist nicht einmal möglich, diese Einstellung durch Wurzeln auszudrücken. Das heißt, es stellt sich heraus, dass es unmöglich ist zu sagen, dass ein Halbkreis um ein Vielfaches größer ist als der Radius! Können Sie sich vorstellen, wie erstaunlich es für die Leute war, dies zum ersten Mal zu entdecken?! Für das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zum Radius reichten „normale“ Zahlen nicht aus. Ich musste einen Buchstaben eingeben.

Das ist also eine Zahl, die das Verhältnis der Länge des Halbkreises zum Radius ausdrückt.

Jetzt können wir die Frage beantworten: Wie viele Bogenmaße hat ein gerader Winkel? Es enthält Bogenmaß. Eben weil der halbe Kreis mal größer ist als der Radius.

Alte (und nicht so alte) Menschen im Laufe der Jahrhunderte (!) versuchte, diese mysteriöse Zahl genauer zu berechnen, sie (zumindest annähernd) besser durch „gewöhnliche“ Zahlen auszudrücken. Und jetzt sind wir unglaublich faul – zwei Zeichen nach einem anstrengenden Tag reichen uns, das sind wir gewohnt

Denken Sie darüber nach, das bedeutet zum Beispiel, dass die Länge eines Kreises mit einem Radius von eins ungefähr gleich ist, aber diese genaue Länge ist einfach nicht mit einer „menschlichen“ Zahl aufzuschreiben – Sie brauchen einen Buchstaben. Und dann wird dieser Umfang gleich sein. Und natürlich ist der Umfang des Radius gleich.

Kommen wir zurück zum Bogenmaß.

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein gerader Winkel das Bogenmaß enthält.

Was wir haben:

Das heißt, ich bin froh, das heißt, ich bin froh. Auf die gleiche Weise erhält man eine Platte mit den gängigsten Winkeln.

Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.

Es gibt eine erstaunliche Tatsache:

Der eingeschriebene Winkel ist halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.

Schauen Sie, wie diese Aussage auf dem Bild aussieht. Ein „korrespondierender“ Zentralwinkel ist ein Winkel, dessen Enden mit den Enden des eingeschriebenen Winkels zusammenfallen und dessen Scheitelpunkt in der Mitte liegt. Und gleichzeitig muss der „entsprechende“ Zentralwinkel auf die gleiche Sehne () „blicken“ wie der eingeschriebene Winkel.

Warum ist das so? Schauen wir uns zunächst einen einfachen Fall an. Lassen Sie einen der Akkorde durch die Mitte verlaufen. Das passiert manchmal so, oder?

was geschieht hier? Lassen Sie uns überlegen. Es handelt sich schließlich um gleichschenklige Radien. Also (beschriftete sie).

Schauen wir uns nun an. Dies ist die äußere Ecke für! Wir erinnern uns, dass ein Außenwinkel gleich der Summe zweier Innenwinkel ist, die nicht an ihn angrenzen, und schreiben:

Also! Unerwarteter Effekt. Es gibt aber auch einen zentralen Winkel für das Eingeschriebene.

Das bedeutet, dass sie für diesen Fall bewiesen haben, dass der Zentralwinkel doppelt so groß ist wie der eingeschriebene Winkel. Aber es ist ein schmerzhafter Sonderfall: Stimmt es nicht, dass der Akkord nicht immer direkt durch die Mitte geht? Aber es ist in Ordnung, jetzt wird uns dieser spezielle Fall sehr helfen. Schauen Sie: Zweiter Fall: Lassen Sie die Mitte im Inneren liegen.

Machen wir Folgendes: Zeichnen Sie den Durchmesser. Und dann... sehen wir zwei Bilder, die bereits im ersten Fall analysiert wurden. Deshalb haben wir das bereits

Das bedeutet (in der Zeichnung a)

Damit bleibt der letzte Fall: Die Mitte liegt außerhalb der Ecke.

Wir machen dasselbe: Zeichnen Sie den Durchmesser durch den Punkt. Alles ist gleich, aber statt einer Summe gibt es einen Unterschied.

Das ist alles!

Lassen Sie uns nun zwei wesentliche und sehr wichtige Konsequenzen aus der Aussage ziehen, dass der eingeschriebene Winkel die Hälfte des Zentralwinkels ist.

Folgerung 1

Alle eingeschriebenen Winkel, die auf einem Bogen basieren, sind einander gleich.

Wir veranschaulichen:

Es gibt unzählige eingeschriebene Winkel, die auf demselben Bogen basieren (wir haben diesen Bogen), sie mögen völlig unterschiedlich aussehen, aber sie haben alle den gleichen zentralen Winkel (), was bedeutet, dass alle diese eingeschriebenen Winkel untereinander gleich sind.

Folgerung 2

Der durch den Durchmesser eingeschlossene Winkel ist ein rechter Winkel.

Schauen Sie: Welcher Winkel ist zentral?

Sicherlich, . Aber er ist gleich! Nun, daher (sowie viele weitere eingeschriebene Winkel, die darauf ruhen) und ist gleich.

Winkel zwischen zwei Akkorden und Sekanten

Was aber, wenn der Winkel, der uns interessiert, NICHT eingeschrieben und NICHT zentral ist, sondern beispielsweise so aussieht:

oder so?

Ist es möglich, es irgendwie durch einige zentrale Winkel auszudrücken? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Schauen Sie: Wir sind interessiert.

a) (als Außenecke für). Aber – beschriftet, ruht auf dem Bogen –. - beschriftet, ruht auf dem Bogen - .

Für Schönheit sagen sie:

Der Winkel zwischen den Sehnen ist gleich der Hälfte der Summe der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Sie schreiben dies der Kürze halber, aber wenn Sie diese Formel verwenden, müssen Sie natürlich die Mittelpunktswinkel berücksichtigen

b) Und jetzt – „draußen“! Wie sein? Ja, fast das Gleiche! Erst jetzt (wieder wenden wir die Eigenschaft des Außenwinkels an). Das ist jetzt.

Und das bedeutet... Lassen Sie uns den Notizen und Formulierungen Schönheit und Kürze verleihen:

Der Winkel zwischen den Sekanten ist gleich der Hälfte der Differenz der Winkelwerte der in diesem Winkel eingeschlossenen Bögen.

Nun verfügen Sie über alle Grundkenntnisse über Winkel im Zusammenhang mit einem Kreis. Machen Sie weiter, nehmen Sie die Herausforderungen an!

KREIS UND INNENWINKEL. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Sogar ein fünfjähriges Kind weiß, was ein Kreis ist, oder? Mathematiker haben wie immer eine abstruse Definition zu diesem Thema, aber wir werden sie nicht geben (siehe), sondern uns daran erinnern, wie die mit einem Kreis verbundenen Punkte, Linien und Winkel heißen.

Wichtige Begriffe

Zuerst:

Mittelpunkt des Kreises- ein Punkt, von dem alle Punkte auf dem Kreis den gleichen Abstand haben.

Zweitens:

Es gibt einen anderen akzeptierten Ausdruck: „Der Akkord verengt den Bogen.“ Hier in der Abbildung liegt beispielsweise die Sehne unterhalb des Bogens. Und wenn ein Akkord plötzlich durch die Mitte geht, dann hat er einen besonderen Namen: „Durchmesser“.

Wie hängen Durchmesser und Radius übrigens zusammen? Schauen Sie genau hin. Natürlich,

Und jetzt - die Namen für die Ecken.

Natürlich, nicht wahr? Die Seiten des Winkels gehen von der Mitte aus – was bedeutet, dass der Winkel zentral ist.

Hier treten manchmal Schwierigkeiten auf. Passt auf - Es ist KEIN Winkel innerhalb eines Kreises eingeschrieben, aber nur einer, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis selbst „sitzt“.

Schauen wir uns den Unterschied auf den Bildern an:

Anders ausgedrückt:

Hier gibt es einen heiklen Punkt. Was ist der „entsprechende“ oder „eigene“ Mittelpunktswinkel? Nur ein Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Kreises und den Enden an den Enden des Bogens? Auf diese Weise sicher nicht. Schauen Sie sich die Zeichnung an.

Einer davon sieht jedoch nicht einmal wie eine Ecke aus – er ist größer. Aber ein Dreieck kann nicht mehr Winkel haben, ein Kreis aber schon! Also: Der kleinere Bogen AB entspricht einem kleineren Winkel (orange) und der größere Bogen entspricht einem größeren. Einfach so, nicht wahr?

Die Beziehung zwischen den Größen der eingeschriebenen und zentralen Winkel

Denken Sie an diese sehr wichtige Aussage:

In Lehrbüchern schreiben sie die gleiche Tatsache gerne so:

Stimmt es nicht, dass die Formulierung mit einem zentralen Winkel einfacher ist?

Aber lassen Sie uns dennoch eine Entsprechung zwischen den beiden Formulierungen finden und gleichzeitig lernen, in den Zeichnungen den „entsprechenden“ Zentralwinkel und den Bogen zu finden, auf dem der eingeschriebene Winkel „ruht“.

Schauen Sie: Hier ist ein Kreis und ein eingeschriebener Winkel:

Wo ist der „entsprechende“ Mittelpunktswinkel?

Schauen wir noch einmal:

Was ist die Regel?

Aber! In diesem Fall ist es wichtig, dass die beschrifteten und zentralen Winkel von einer Seite auf den Bogen „blicken“. Zum Beispiel:

Seltsamerweise blau! Weil der Bogen lang ist, länger als der halbe Kreis! Lassen Sie sich also niemals verwirren!

Welche Konsequenz lässt sich aus der „Halbheit“ des eingeschriebenen Winkels ableiten?

Aber zum Beispiel:

Winkel durch Durchmesser begrenzt

Sie haben bereits bemerkt, dass Mathematiker gerne über die gleichen Dinge sprechen. mit anderen Worten? Warum brauchen sie das? Sie sehen, die Sprache der Mathematik ist zwar formal, aber lebendig, und daher möchte man sie wie in der gewöhnlichen Sprache jedes Mal auf eine bequemere Weise sagen. Nun, wir haben bereits gesehen, was „ein Winkel ruht auf einem Bogen“ bedeutet. Und stellen Sie sich vor, das gleiche Bild heißt „Ein Winkel ruht auf einer Sehne“. Auf was? Ja, natürlich, zu dem, der diesen Bogen spannt!

Wann ist es bequemer, sich auf einen Akkord als auf einen Bogen zu verlassen?

Nun, insbesondere, wenn dieser Akkord einen Durchmesser hat.

Für eine solche Situation gibt es eine überraschend einfache, schöne und nützliche Aussage!

Schauen Sie: Hier ist der Kreis, der Durchmesser und der Winkel, der darauf ruht.

KREIS UND INNENWINKEL. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

1. Grundkonzepte.

3. Messungen von Bögen und Winkeln.

Ein Bogenmaß ist ein Mittelpunktswinkel, dessen Bogenlänge gleich dem Radius des Kreises ist.

Dies ist eine Zahl, die das Verhältnis der Länge eines Halbkreises zu seinem Radius ausdrückt.

Der Umfang des Radius ist gleich.

4. Die Beziehung zwischen den Werten des eingeschriebenen und zentralen Winkels.

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

Jetzt das Wichtigste.

Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.

Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...

Wofür?

Für Erfolg Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens, für die Zulassung zum College mit kleinem Budget und vor allem lebenslang.

Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...

Menschen, die empfangen haben eine gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.

Aber das ist nicht die Hauptsache.

Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil sich ihnen viel mehr Möglichkeiten eröffnen und das Leben schöner wird? Weiß nicht...

Aber denken Sie selbst...

Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?

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Während der Prüfung werden Sie nicht nach Theorie gefragt.

Du wirst brauchen Probleme gegen die Zeit lösen.

Und wenn Sie sie nicht (VIEL!) gelöst haben, machen Sie mit Sicherheit irgendwo einen dummen Fehler oder haben einfach keine Zeit.

Es ist wie im Sport – man muss es viele Male wiederholen, um sicher zu gewinnen.

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