Komplexe Ausdrücke mit Brüchen. Verfahren

Beispiele mit Brüchen gehören zu den Grundelementen der Mathematik. Da sind viele verschiedene Typen Gleichungen mit Brüchen. Drunter ist detaillierte Anleitung zur Lösung solcher Beispiele.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – allgemeine Regeln

Um Beispiele mit Brüchen jeglicher Art zu lösen, sei es Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division, müssen Sie die Grundregeln kennen:

Um Bruchausdrücke mit demselben Nenner hinzuzufügen (der Nenner ist die Zahl unten im Bruch, der Zähler oben), müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner gleich lassen.
Um einen zweiten Bruchausdruck (mit demselben Nenner) von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie dessen Zähler subtrahieren und den Nenner gleich lassen.
Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner finden.
Um ein gebrochenes Produkt zu finden, müssen Sie Zähler und Nenner multiplizieren und, wenn möglich, reduzieren.
Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren Sie den ersten Bruch umgekehrt mit dem zweiten Bruch.

Wie man Beispiele mit Brüchen löst – üben

Regel 1, Beispiel 1:

Berechnen Sie 3/4 + 1/4.

Wenn zwei (oder mehr) Brüche denselben Nenner haben, addieren Sie gemäß Regel 1 einfach ihre Zähler. Wir erhalten: 3/4 + 1/4 = 4/4. Wenn ein Bruch denselben Zähler und Nenner hat, ist der Bruch gleich 1.

Antwort: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Regel 2, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4 – 1/4

Um diese Gleichung mithilfe von Regel Nummer 2 zu lösen, müssen Sie 1 von 3 subtrahieren und den Nenner gleich lassen. Wir bekommen 2/4. Da zwei 2 und 4 reduziert werden können, reduzieren wir und erhalten 1/2.

Antwort: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Regel 3, Beispiel 1

Berechnen Sie: 3/4 + 1/6

Lösung: Mithilfe der 3. Regel ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner. Der kleinste gemeinsame Nenner ist die Zahl, die durch die Nenner aller Bruchausdrücke im Beispiel teilbar ist. Daher müssen wir die Mindestzahl finden, die sowohl durch 4 als auch durch 6 teilbar ist. Diese Zahl ist 12. Wir schreiben 12 als Nenner. Teilen Sie 12 durch den Nenner des ersten Bruchs, wir erhalten 3, multiplizieren Sie mit 3, schreiben Sie 3 im Zähler *3 und +-Zeichen. Teilen Sie 12 durch den Nenner des zweiten Bruchs, wir erhalten 2, multiplizieren Sie 2 mit 1, schreiben Sie 2*1 in den Zähler. Wir erhalten also einen neuen Bruch mit einem Nenner von 12 und einem Zähler von 3*3+2*1=11. 11/12.

Antwort: 11/12

Regel 3, Beispiel 2:

Berechnen Sie 3/4 – 1/6. Dieses Beispiel ist dem vorherigen sehr ähnlich. Wir machen alle die gleichen Schritte, aber in den Zähler schreiben wir anstelle des +-Zeichens ein Minuszeichen. Wir erhalten: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Antwort: 7/12

Regel 4, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4 * 1/4

Mit der vierten Regel multiplizieren wir den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten. 3*1/4*4 = 3/16.

Antwort: 3/16

Regel 4, Beispiel 2:

Berechnen Sie 2/5 * 10/4.

Dieser Anteil kann reduziert werden. Bei einem Produkt entfallen der Zähler des ersten Bruchs und der Nenner des zweiten sowie der Zähler des zweiten Bruchs und der Nenner des ersten.

2 streicht von 4. 10 streicht von 5. Wir erhalten 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Antwort: 2/5 * 10/4 = 1

Regel 5, Beispiel 1:

Berechnen Sie: 3/4: 5/6

Mit der 5. Regel erhalten wir: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Wir reduzieren den Bruch nach dem Prinzip des vorherigen Beispiels und erhalten 9/10.

Antwort: 9/10.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – Bruchgleichungen

Bruchgleichungen sind Beispiele, bei denen der Nenner eine Unbekannte enthält. Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie bestimmte Regeln anwenden.

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Lösen Sie die Gleichung 15/3x+5 = 3

Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null dividieren können, d. h. Der Nennerwert darf nicht Null sein. Bei der Lösung solcher Beispiele muss darauf hingewiesen werden. Hierzu gibt es einen OA (zulässiger Wertebereich).

Also 3x+5 ≠ 0.
Daher: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Bei x = 5/3 hat die Gleichung einfach keine Lösung.

Nach Angabe der ODZ, auf die bestmögliche Art und Weise Durch das Lösen dieser Gleichung werden die Brüche entfernt. Dazu stellen wir zunächst alle nicht gebrochenen Werte als Bruch dar, in diesem Fall die Zahl 3. Wir erhalten: 15/(3x+5) = 3/1. Um Brüche loszuwerden, müssen Sie jeden Bruch mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner multiplizieren. In diesem Fall ist es (3x+5)*1. Reihenfolge:

Multiplizieren Sie 15/(3x+5) mit (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
Öffnen Sie die Klammern: 15*(3x+5) = 45x + 75.
Dasselbe machen wir mit der rechten Seite der Gleichung: 3*(3x+5) = 9x + 15.
Setzen Sie die linke und rechte Seite gleich: 45x + 75 = 9x +15
Verschieben Sie die X nach links, die Zahlen nach rechts: 36x = – 50
Finden Sie x: x = -50/36.
Wir reduzieren: -50/36 = -25/18

Antwort: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

So lösen Sie Beispiele mit Brüchen – gebrochene Ungleichungen

Bruchungleichungen vom Typ (3x-5)/(2-x)≥0 werden mithilfe der Zahlenachse gelöst. Schauen wir uns dieses Beispiel an.

Reihenfolge:

Wir setzen Zähler und Nenner mit Null gleich: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Wir zeichnen eine Zahlenachse und schreiben die resultierenden Werte darauf.
Zeichnen Sie einen Kreis unter den Wert. Es gibt zwei Arten von Kreisen – gefüllte und leere. Ein ausgefüllter Kreis bedeutet das gegebener Wert gehört zum Lösungsangebot. Ein leerer Kreis zeigt an, dass dieser Wert nicht im Lösungsbereich enthalten ist.
Da der Nenner nicht sein kann gleich Null, unter dem 2. wird es einen leeren Kreis geben.

Um die Vorzeichen zu bestimmen, setzen wir eine beliebige Zahl größer als zwei in die Gleichung ein, zum Beispiel 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. Der Wert ist negativ, das heißt, wir schreiben über den Bereich nach den beiden ein Minus. Ersetzen Sie dann für X einen beliebigen Wert des Intervalls von 5/3 bis 2, beispielsweise 1. Der Wert ist wiederum negativ. Wir schreiben ein Minus. Wir wiederholen dasselbe mit dem Bereich bis 5/3. Wir ersetzen jede Zahl kleiner als 5/3, zum Beispiel 1. Wieder minus.

Da wir an den Werten von x interessiert sind, bei denen der Ausdruck größer oder gleich 0 ist, und es solche Werte nicht gibt (es gibt überall Minuspunkte), hat diese Ungleichung keine Lösung, d. h. x = Ø (eine leere Menge).

Antwort: x = Ø

Brüche multiplizieren und dividieren.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Materialien im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die sehr „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr…“)

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Zur Erinnerung: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Hier ist er nicht nötig...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umkehren zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Zum Beispiel:

Wenn Sie auf Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen stoßen, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition bilden wir aus einer ganzen Zahl mit Eins im Nenner einen Bruch – und machen Sie weiter! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie kann ich diesen Bruch anständig aussehen lassen? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Zweipunktdivision:

Aber vergessen Sie nicht die Reihenfolge der Teilung! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Spüren Sie den Unterschied? 4 und 1/9!

Was bestimmt die Reihenfolge der Teilung? Entweder mit Klammern, oder (wie hier) mit der Länge horizontaler Linien. Entwickeln Sie Ihr Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividieren und multiplizieren der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch eine sehr einfache und wichtige Technik. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen sehr nützlich sein! Teilen wir eins durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und das passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur umgekehrt.

Das ist alles für Operationen mit Brüchen. Die Sache ist ganz einfach, aber es gibt mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und es wird weniger davon (Fehler) geben!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Es ist nicht gebräuchliche Worte, keine guten Wünsche! Das ist eine dringende Notwendigkeit! Führen Sie alle Berechnungen zum Einheitlichen Staatsexamen als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als bei den mentalen Berechnungen Fehler zu machen.

2. In Beispielen mit verschiedene Typen Brüche – gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie unbedingt erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Tipps. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen konnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen...

Denken Sie daran – die richtige Antwort lautet ab dem zweiten (besonders dem dritten) Mal erhaltenen Informationen zählen nicht! So ist das harte Leben.

Also, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens schon eine Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Wir lösen das Beispiel, überprüfen es und lösen das nächste. Wir haben alles entschieden - von Anfang bis Ende noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Berechnung:

Hast du dich entschieden?

Wir suchen nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie absichtlich unordentlich aufgeschrieben, sozusagen fernab der Versuchung ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolons geschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für dich! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber lösbar Probleme.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Lassen Sie uns zustimmen, dass „Aktionen mit Brüchen“ in unserer Lektion Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen bedeuten. Ein gewöhnlicher Bruch ist ein Bruch, der Attribute wie einen Zähler, eine Bruchlinie und einen Nenner aufweist. Dies unterscheidet einen gewöhnlichen Bruch von einer Dezimalzahl, die man aus einem gewöhnlichen Bruch erhält, indem man den Nenner auf ein Vielfaches von 10 reduziert. Die Dezimalzahl wird mit einem Komma geschrieben, das den ganzen Teil vom Bruch trennt. Wir werden über Operationen mit gewöhnlichen Brüchen sprechen, da diese diejenigen sind, die den Schülern, die die Grundlagen dieses Themas vergessen haben, das in der ersten Hälfte des Schulmathematikkurses behandelt wurde, die größten Schwierigkeiten bereiten. Gleichzeitig werden bei der Umformung von Ausdrücken in der höheren Mathematik hauptsächlich Operationen mit gewöhnlichen Brüchen verwendet. Allein die Bruchabkürzungen sind es wert! Dezimalbrüche bereiten keine besonderen Schwierigkeiten. Also mach weiter!

Zwei Brüche heißen gleich, wenn .

Zum Beispiel seit

Brüche und (seit) und (seit) sind ebenfalls gleich.

Offensichtlich sind beide Brüche und gleich. Das heißt, wenn man Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert, erhält man einen Bruch, der der gegebenen Zahl entspricht: .

Diese Eigenschaft wird Grundeigenschaft eines Bruchs genannt.

Die Grundeigenschaft eines Bruchs kann verwendet werden, um die Vorzeichen von Zähler und Nenner eines Bruchs zu ändern. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit -1 multipliziert werden, erhalten wir . Das bedeutet, dass sich der Wert eines Bruchs nicht ändert, wenn gleichzeitig die Vorzeichen von Zähler und Nenner geändert werden. Wenn Sie nur das Vorzeichen des Zählers oder nur des Nenners ändern, ändert sich auch das Vorzeichen des Bruchs:

Brüche reduzieren

Mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs können Sie einen bestimmten Bruch durch einen anderen Bruch ersetzen, der dem angegebenen gleich ist, jedoch einen kleineren Zähler und Nenner aufweist. Diese Substitution wird Bruchreduktion genannt.

Gegeben sei zum Beispiel ein Bruch. Die Zahlen 36 und 48 haben einen größten gemeinsamen Teiler von 12. Dann

Im Allgemeinen ist die Reduzierung eines Bruchs immer dann möglich, wenn Zähler und Nenner keine zueinander Primzahlen sind. Wenn Zähler und Nenner gegenseitig sind Primzahlen, dann heißt der Bruch irreduzibel.

Einen Bruch zu reduzieren bedeutet also, Zähler und Nenner des Bruchs durch einen gemeinsamen Faktor zu dividieren. Alle oben genannten Punkte gelten auch für gebrochene Ausdrücke, die Variablen enthalten.

Beispiel 1. Bruch reduzieren

Lösung. Um den Zähler zu faktorisieren, stellen Sie zunächst das Monom dar - 5 xy als Summe - 2 xy - 3xy, wir bekommen

Um den Nenner zu faktorisieren, verwenden wir die Quadratdifferenzformel:

Ergebend

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Seien zwei Brüche und . Sie haben unterschiedliche Nenner: 5 und 7. Mithilfe der grundlegenden Eigenschaft von Brüchen können Sie diese Brüche durch andere ersetzen, die ihnen gleich sind, und zwar so, dass die resultierenden Brüche denselben Nenner haben. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 7 multiplizieren, erhalten wir

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 5 multiplizieren, erhalten wir

Also werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduziert:

Dies ist jedoch nicht die einzige Lösung des Problems: Beispielsweise können diese Brüche auch auf einen gemeinsamen Nenner von 70 reduziert werden:

und im Allgemeinen auf jeden Nenner, der sowohl durch 5 als auch durch 7 teilbar ist.

Betrachten wir ein weiteres Beispiel: Bringen wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner. Wenn wir wie im vorherigen Beispiel argumentieren, erhalten wir

In diesem Fall ist es jedoch möglich, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren, der kleiner ist als das Produkt der Nenner dieser Brüche. Finden wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 24 und 30: LCM(24, 30) = 120.

Da 120:4 = 5 ist, müssen Sie zum Schreiben eines Bruchs mit dem Nenner 120 sowohl den Zähler als auch den Nenner mit 5 multiplizieren. Diese Zahl wird als zusätzlicher Faktor bezeichnet. Bedeutet .

Als nächstes erhalten wir 120:30=4. Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit dem zusätzlichen Faktor 4 multiplizieren, erhalten wir .

Diese Brüche werden also auf einen gemeinsamen Nenner gebracht.

Das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner dieser Brüche ist der kleinstmögliche gemeinsame Nenner.

Bei Bruchausdrücken mit Variablen ist der gemeinsame Nenner ein Polynom, das durch den Nenner jedes Bruchs dividiert wird.

Beispiel 2. Finden Sie den gemeinsamen Nenner der Brüche und.

Lösung. Der gemeinsame Nenner dieser Brüche ist ein Polynom, da es sowohl durch als auch teilbar ist. Dieses Polynom ist jedoch nicht das einzige, das ein gemeinsamer Nenner dieser Brüche sein kann. Es kann auch ein Polynom sein und Polynom und Polynom usw. Normalerweise nehmen sie einen solchen gemeinsamen Nenner, dass jeder andere gemeinsame Nenner ohne Rest durch den gewählten geteilt wird. Dieser Nenner wird als kleinster gemeinsamer Nenner bezeichnet.

In unserem Beispiel ist der kleinste gemeinsame Nenner. Bekommen:

;

Wir konnten Brüche auf ihren kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren. Dies geschah durch Multiplikation von Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit . Polynome werden als zusätzliche Faktoren für den ersten bzw. zweiten Bruch bezeichnet.

Brüche addieren und subtrahieren

Die Addition von Brüchen ist wie folgt definiert:

Zum Beispiel,

Wenn B = D, Das

Das heißt, um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, genügt es, die Zähler zu addieren und den Nenner gleich zu lassen. Zum Beispiel,

Wenn Sie Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren, reduzieren Sie die Brüche normalerweise auf den kleinsten gemeinsamen Nenner und addieren dann die Zähler. Zum Beispiel,

Schauen wir uns nun ein Beispiel für das Hinzufügen von Bruchausdrücken mit Variablen an.

Beispiel 3. Wandeln Sie den Ausdruck in einen Bruch um

Lösung. Finden wir den kleinsten gemeinsamen Nenner. Dazu faktorisieren wir zunächst die Nenner.

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einzelne Brüche addiert und multipliziert, können wir uns mit komplexeren Strukturen befassen. Was wäre beispielsweise, wenn dasselbe Problem darin besteht, Brüche zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren?

Zunächst müssen Sie alle Brüche in unechte Brüche umwandeln. Dann führen wir die erforderlichen Aktionen nacheinander aus – in der gleichen Reihenfolge wie bei gewöhnlichen Zahlen. Nämlich:

Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt. Entfernen Sie alle Ausdrücke, die Exponenten enthalten.
Dann - Division und Multiplikation;
Der letzte Schritt ist Addition und Subtraktion.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, ändert sich natürlich die Reihenfolge der Operationen – alles, was in den Klammern steht, muss zuerst gezählt werden. Und denken Sie an unechte Brüche: Sie müssen den ganzen Teil erst markieren, wenn alle anderen Aktionen bereits abgeschlossen sind.

Lassen Sie uns alle Brüche aus dem ersten Ausdruck in unechte Brüche umwandeln und dann die folgenden Schritte ausführen:

Lassen Sie uns nun den Wert des zweiten Ausdrucks ermitteln. Hier Brüche mit ganzer Teil Nein, aber es gibt Klammern, also führen wir zuerst die Addition durch und erst dann die Division. Beachten Sie, dass 14 = 7 · 2. Dann:

Betrachten Sie abschließend das dritte Beispiel. Hier gibt es Klammern und einen Grad – besser ist es, diese separat zu zählen. Wenn man bedenkt, dass 9 = 3 · 3, gilt:

Achten Sie auf das letzte Beispiel. Um einen Bruch zu potenzieren, müssen Sie den Zähler und den Nenner separat potenzieren.

Sie können anders entscheiden. Wenn wir uns an die Definition eines Grades erinnern, reduziert sich das Problem auf die übliche Multiplikation von Brüchen:

Mehrstöckige Brüche

Bisher haben wir nur „reine“ Brüche betrachtet, bei denen Zähler und Nenner gewöhnliche Zahlen sind. Dies steht im Einklang mit der Definition eines Zahlenbruchs aus der ersten Lektion.

Was aber, wenn Sie ein komplexeres Objekt in den Zähler oder Nenner einfügen? Zum Beispiel ein anderer numerischer Bruch? Gerade bei der Arbeit mit langen Ausdrücken kommen solche Konstruktionen recht häufig vor. Hier ein paar Beispiele:

Für die Arbeit mit mehrstöckigen Brüchen gibt es nur eine Regel: Sie müssen sie sofort loswerden. Das Entfernen „zusätzlicher“ Stockwerke ist ganz einfach, wenn Sie bedenken, dass der Schrägstrich die Standard-Divisionsoperation bedeutet. Daher kann jeder Bruch wie folgt umgeschrieben werden:

Wenn wir diese Tatsache nutzen und das Verfahren befolgen, können wir jeden mehrstöckigen Bruch leicht auf einen gewöhnlichen Bruch reduzieren. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Wandeln Sie mehrstöckige Brüche in gewöhnliche um:

In jedem Fall schreiben wir den Hauptbruch um und ersetzen den Trennstrich durch ein Divisionszeichen. Denken Sie auch daran, dass jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann 12 = 12/1; 3 = 3/1. Wir bekommen:

Im letzten Beispiel wurden die Brüche vor der endgültigen Multiplikation gelöscht.

Besonderheiten der Arbeit mit mehrstufigen Brüchen

Es gibt eine Feinheit bei mehrstufigen Brüchen, die immer beachtet werden muss, sonst kann es zu einer falschen Antwort kommen, selbst wenn alle Berechnungen korrekt waren. Schau mal:

Der Zähler enthält die einzelne Zahl 7 und der Nenner enthält den Bruch 12/5;
Der Zähler enthält den Bruch 7/12 und der Nenner enthält die separate Zahl 5.

Für eine Aufnahme bekamen wir also zwei völlig unterschiedliche Interpretationen. Wenn Sie mitzählen, werden die Antworten auch unterschiedlich sein:

Um sicherzustellen, dass der Datensatz immer eindeutig gelesen wird, verwenden Sie eine einfache Regel: Die Trennlinie des Hauptbruchs muss länger sein als die Linie des zusammengesetzten Bruchs. Am besten mehrmals.

Wenn Sie diese Regel befolgen, sollten die obigen Brüche wie folgt geschrieben werden:

Ja, es ist wahrscheinlich unansehnlich und nimmt zu viel Platz ein. Aber Sie werden richtig zählen. Abschließend noch ein paar Beispiele, wo tatsächlich mehrstöckige Brüche entstehen:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung der Ausdrücke:

Lassen Sie uns also mit dem ersten Beispiel arbeiten. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und dann Additions- und Divisionsoperationen durchführen:

Machen wir dasselbe mit dem zweiten Beispiel. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und die erforderlichen Operationen durchführen. Um den Leser nicht zu langweilen, werde ich einige offensichtliche Berechnungen weglassen. Wir haben:

Aufgrund der Tatsache, dass Zähler und Nenner der Grundbrüche Summen enthalten, wird die Regel zum Schreiben mehrstöckiger Brüche automatisch eingehalten. Außerdem haben wir im letzten Beispiel absichtlich 46/1 in Bruchform belassen, um eine Division durchzuführen.

Ich möchte auch anmerken, dass in beiden Beispielen der Bruchstrich tatsächlich die Klammern ersetzt: Zuerst haben wir die Summe ermittelt und erst dann den Quotienten.

Manche würden sagen, dass der Übergang zu unechte Brüche im zweiten Beispiel war eindeutig überflüssig. Vielleicht stimmt das. Damit versichern wir uns aber vor Fehlern, denn beim nächsten Mal könnte sich das Beispiel als deutlich komplizierter herausstellen. Entscheiden Sie selbst, was wichtiger ist: Geschwindigkeit oder Zuverlässigkeit.

Im Artikel werden wir zeigen wie man Brüche löst anhand einfacher, verständlicher Beispiele. Lassen Sie uns herausfinden, was ein Bruch ist, und überlegen Brüche lösen!

Konzept Brüche wird ab der 6. Klasse der Sekundarstufe in den Mathematikunterricht eingeführt.

Brüche haben die Form: ±X/Y, wobei Y der Nenner ist, der angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und X der Zähler ist, der angibt, wie viele solcher Teile genommen wurden. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem Kuchen:

Im ersten Fall wurde der Kuchen gleich geschnitten und eine Hälfte genommen, d.h. 1/2. Im zweiten Fall wurde der Kuchen in 7 Teile geschnitten, von denen 4 Teile genommen wurden, d.h. 4/7.

Wenn der Teil der Division einer Zahl durch eine andere keine ganze Zahl ist, wird er als Bruch geschrieben.

Beispielsweise ergibt der Ausdruck 4:2 = 2 eine ganze Zahl, aber 4:7 ist nicht durch eine ganze Zahl teilbar, sodass dieser Ausdruck als Bruch 4/7 geschrieben wird.

Mit anderen Worten Fraktion ist ein Ausdruck, der die Division zweier Zahlen oder Ausdrücke bezeichnet und mit einem gebrochenen Schrägstrich geschrieben wird.

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch echt; ist es umgekehrt, handelt es sich um einen unechten Bruch. Ein Bruch kann eine ganze Zahl enthalten.

Zum Beispiel 5 ganze 3/4.

Dieser Eintrag bedeutet, dass um die ganze 6 zu erhalten, ein Teil von vier fehlt.

Wenn Sie sich erinnern möchten, wie man Brüche für die 6. Klasse löst, das musst du verstehen Brüche lösen Im Grunde kommt es darauf an, ein paar einfache Dinge zu verstehen.

Ein Bruch ist im Wesentlichen ein Ausdruck eines Bruchs. Das heißt, ein numerischer Ausdruck dafür, welchen Teil ein bestimmter Wert zu einem Ganzen hat. Der Bruch 3/5 drückt beispielsweise aus, dass wir ein Ganzes in fünf Teile teilen und die Anzahl der Anteile oder Teile dieses Ganzen drei beträgt.
Der Bruch kann kleiner als 1 sein, zum Beispiel 1/2 (oder im Wesentlichen die Hälfte), dann ist er richtig. Wenn der Bruch größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2 (drei Hälften oder eineinhalb), dann ist er falsch und um die Lösung zu vereinfachen, ist es für uns besser, den ganzen Teil 3/2 = 1 ganze 1 zu wählen /2.
Brüche sind die gleichen Zahlen wie 1, 3, 10 und sogar 100, nur dass die Zahlen keine ganzen Zahlen, sondern Brüche sind. Sie können mit ihnen dieselben Operationen durchführen wie mit Zahlen. Das Zählen von Brüchen ist nicht schwieriger und weiter konkrete Beispiele wir werden es zeigen.

So lösen Sie Brüche. Beispiele.

Auf Brüche sind zahlreiche arithmetische Operationen anwendbar.

Einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren

Beispielsweise müssen Sie die Brüche 3/4 und 4/5 vergleichen.

Um das Problem zu lösen, ermitteln wir zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner, d.h. die kleinste Zahl, die durch jeden Nenner der Brüche ohne Rest teilbar ist

Kleinster gemeinsamer Nenner (4,5) = 20

Dann wird der Nenner beider Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert

Antwort: 15/20

Brüche addieren und subtrahieren

Wenn es notwendig ist, die Summe zweier Brüche zu berechnen, werden diese zunächst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt. Die Differenz zwischen Brüchen wird auf die gleiche Weise berechnet, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zähler subtrahiert werden.

Beispielsweise müssen Sie die Summe der Brüche 1/2 und 1/3 ermitteln

Lassen Sie uns nun den Unterschied zwischen den Brüchen 1/2 und 1/4 ermitteln

Brüche multiplizieren und dividieren

Hier ist das Lösen von Brüchen nicht schwer, hier ist alles ganz einfach:

Multiplikation – Zähler und Nenner von Brüchen werden miteinander multipliziert;
Division – zuerst erhalten wir den Kehrwert des zweiten Bruchs, d. h. Wir vertauschen Zähler und Nenner und multiplizieren anschließend die resultierenden Brüche.

Zum Beispiel:

Das ist alles wie man Brüche löst, Alle. Wenn Sie noch Fragen dazu haben Brüche lösen Wenn etwas unklar ist, schreiben Sie es in die Kommentare und wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

Wenn Sie Lehrer sind, können Sie die Präsentation herunterladen Grundschule(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) wird für Sie nützlich sein.