Einfache Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundformel
In dem vorgeschlagenen Buch, das aus zwei Teilen besteht, werden die grundlegenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik ausführlich behandelt, die Problemlösungen, die normalerweise im KIM an der OGE angeboten werden, werden Schritt für Schritt detailliert analysiert. Außerdem werden die einfachsten Konzepte der Kombinatorik (kombinatorische Zahlen für die Anzahl der Permutationen, Platzierungen und Kombinationen ohne Wiederholungen) anhand von Beispielen ausführlich beschrieben. Die Darstellung der wesentlichen Bestimmungen der mathematischen Statistik erfolgt ebenso detailliert, die Unterschiede zwischen dem Stichprobenmittelwert und dem Modus und dem Median werden anhand von Beispielen aufgezeigt und es wird erläutert, in welchen Fällen welches dieser Mittel verwendet werden sollte.
Der Zweck des Handbuchs ist es, die praktischen Fähigkeiten der Studenten bei der Vorbereitung auf die Prüfung zu entwickeln (in neue Form) in der 9. Klasse in Mathematik. Die Sammlung enthält Antworten auf alle Optionen für Aufgaben.
Das Handbuch richtet sich an Lehrkräfte und Methodiker, die sich testweise auf das Hauptexamen vorbereiten, es kann aber auch von Studierenden zum Selbststudium und zur Selbstkontrolle genutzt werden.
Beispiele.
Marinas Fernseher ist kaputt und zeigt nur einen zufälligen Kanal. Marina schaltet den Fernseher ein. Derzeit zeigen acht von fünfzig Sendern Komödien. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Marina auf einen Kanal kommt, auf dem es keine Comedy gibt.
40 Athleten nehmen an der Turnmeisterschaft teil: 12 aus Argentinien, 9 aus Brasilien und der Rest aus Paraguay. Die Reihenfolge, in der die Turner auftreten, wird durch das Los bestimmt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet, der zuerst antritt, aus Paraguay stammt.
Am Kugelstoßen nehmen 4 Athleten aus Argentinien, 7 Athleten aus Brasilien, 10 Athleten aus Paraguay und 4 aus Uruguay teil. Die Reihenfolge, in der die Athleten antreten, wird per Los bestimmt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Teilnehmer aus Paraguay stammt.
Die wissenschaftliche Konferenz findet an 5 Tagen statt. Insgesamt sind 75 Berichte geplant – die ersten drei Tage jeweils 11 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den vierten und fünften Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor M. für den letzten Tag der Konferenz vorgesehen ist?
INHALT
Einführung
Teil I. Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Der Begriff der Wahrscheinlichkeit
2. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
3. Anwendung der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit
3.1. Summenregel
3.2. Produktregel
3.3. Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
4. Statistische Methode
4.1. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
4.2. Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
5. Kombinatorische Zahlen verwenden
5.1. Permutationen ohne Wiederholung
5.2. Aufgaben, die die Formel für die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung verwenden
5.3. Platzierungen ohne Wiederholung
5.4. Kombinationen ohne Wiederholung
5.5. Paarwahl
5.6. Zusätzliche Aufgaben
Teil II. Elemente der Statistik, Tabellen, Datenverarbeitung
1. Statistische Merkmale
2. Probleme mit dem arithmetischen Mittel und Median
3. Die Wahl eines statistischen Merkmals zur Bewertung des Phänomens
4. Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und statistischen Merkmalen
Antworten.
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Die folgenden Tutorials und Bücher.
BORIS NIKOLAEVICH PERWUSHKIN
Mathematiklehrer der höchsten Kategorie
NOU "Petersburger Schule "Tete-a-Tete"
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie für die 9. Klasse OGE und die 11. Klasse USE in Mathematik .
Die Wahrscheinlichkeitstheorie auf der Prüfung ist sehr einfache Aufgaben mit der Nummer B10. Jeder kann mit ihnen umgehen. In der Tat, um Problem B10 zu lösen Version der Prüfung nur die grundlegendsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie werden benötigt.
Zufällig Die Veranstaltung wird aufgerufen was im Voraus nicht genau vorhergesagt werden kann. Es kann entweder passieren oder nicht.
Sie haben im Lotto gewonnen - ein zufälliges Ereignis. Du hast Freunde eingeladen, um den Sieg zu feiern, und auf dem Weg zu dir sind sie im Aufzug stecken geblieben – ebenfalls ein zufälliges Ereignis. Der Meister war zwar in der Nähe und befreite die gesamte Kompanie in zehn Minuten - und dies kann auch als glücklicher Zufall angesehen werden ...
Unser Leben ist voller zufälliger Ereignisse. Jeder von ihnen kann gesagt werden, mit einigen zu passieren Wahrscheinlichkeit. Höchstwahrscheinlich sind Sie mit diesem Konzept intuitiv vertraut. Jetzt geben wir eine mathematische Definition der Wahrscheinlichkeit.
Fangen wir ganz von vorne an ein einfaches Beispiel. Du wirfst eine Münze. Kopf oder Zahl?
Eine solche Aktion, die zu einem von mehreren Ergebnissen führen kann, nennt man in der Wahrscheinlichkeitstheorie Prüfung.
Kopf und Zahl – zwei möglich Exodus Prüfungen.
Der Adler fällt in einem von zwei möglichen Fällen heraus. Sie sagen, dass Wahrscheinlichkeit dass die Münze auf Kopf landet, ist 1/2.
Lassen Sie uns einen Würfel werfen. Der Würfel hat sechs Seiten, also gibt es sechs mögliche Ergebnisse.
Sie haben zum Beispiel vermutet, dass drei Punkte herausfallen werden. Dies ist eines von sechs möglichen Ergebnissen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird es genannt günstiges Ergebnis.
Die Wahrscheinlichkeit, ein Triple zu bekommen, beträgt 1/6 (ein positives Ergebnis von sechs möglichen).
Die Wahrscheinlichkeit für eine Vier beträgt ebenfalls 1/6
Aber die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens der Sieben ist Null. Schließlich gibt es auf dem Würfel kein Gesicht mit sieben Punkten.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse.
Offensichtlich kann die Wahrscheinlichkeit nicht größer als eins sein.
Hier ist ein weiteres Beispiel. In einer Tüte sind 25 Äpfel, 8 davon sind rot, der Rest ist grün. Die Äpfel unterscheiden sich nicht in Form oder Größe. Du steckst deine Hand in die Tüte und nimmst zufällig einen Apfel heraus. Die Wahrscheinlichkeit, einen roten Apfel zu ziehen, beträgt 8/25, die eines grünen 17/25.
Die Wahrscheinlichkeit, einen roten oder grünen Apfel zu bekommen, ist 8/25 + 17/25 = 1.
Lassen Sie uns die Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie analysieren, die in den Sammlungen zur Vorbereitung auf die Prüfung enthalten sind.
1. Bei einem Taxiunternehmen in dieser Moment kostenlos 15 Autos: 2 rote, 9 gelbe und 4 grüne. Bei einem Anruf fuhr eines der Autos ab, das zufällig dem Kunden am nächsten war. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Taxi ankommt.
Insgesamt sind es 15 Autos, das heißt, eines von fünfzehn kommt zum Kunden. Es gibt neun gelbe, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit für die Ankunft eines gelben Autos 9/15 beträgt, also 0,6.
2. (Demoversion 2012) Es gibt nur 25 Tickets in der Sammlung der Biologietickets, zwei davon enthalten eine Frage zu Pilzen. Bei der Prüfung erhält der Student ein zufällig ausgewähltes Ticket. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ticket die Frage nach Pilzen nicht enthält.
Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ticket zu ziehen, ohne nach Pilzen zu fragen, 23/25, also 0,92.
3. Das Elternkomitee kaufte 30 Puzzles als Abschlussgeschenke für Kinder Schuljahr, davon 12 mit Bildern berühmte Künstler und 18 mit Bildern von Tieren. Geschenke werden zufällig verteilt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Vovochka das Tierrätsel bekommt.
Die Aufgabe wird auf ähnliche Weise gelöst.
Antwort: 0,6.
4. 20 Athleten nehmen an der Turnmeisterschaft teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge, in der die Turner auftreten, wird durch das Los bestimmt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte Athlet, der antritt, aus China kommt.
Stellen wir uns vor, alle Athleten näherten sich gleichzeitig dem Hut und zogen Zettel mit Zahlen daraus heraus. Einige von ihnen werden die zwanzigste Nummer bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es von einem chinesischen Athleten gezogen wird, ist 5/20 (da es -5 Athleten aus China gibt). Antwort: 0,25.
5. Der Schüler wurde gebeten, eine Zahl von 1 bis 100 zu nennen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Zahl nennen wird, die ein Vielfaches von fünf ist?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100
Jeder fünfte die Zahl aus der gegebenen Menge ist durch 5 teilbar. Daher ist die Wahrscheinlichkeit 1/5.
6. Ein Würfel wird geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Punktzahl zu bekommen.
1, 3, 5 - ungerade Zahlen; 2, 4, 6 sind gerade. Die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Punktzahl ist 1/2.
Antwort: 0,5.
7. Eine Münze wird dreimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit von zwei Köpfen und einem Zahl?
Beachten Sie, dass das Problem anders formuliert werden kann: Es werden drei Münzen gleichzeitig geworfen. Es wird die Entscheidung nicht beeinflussen.
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es Ihrer Meinung nach?
Wir werfen eine Münze. Diese Aktion hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl
Zwei Coins - schon vier Ergebnisse:
Drei Münzen? Richtig, 8 Ergebnisse, da 2 2 2 = 2³ = 8.
Zwei Köpfe und ein Zahl kommen dreimal von acht.
Antwort: 3/8.
8. In einem Zufallsexperiment zwei Würfel. Berechne die Wahrscheinlichkeit, insgesamt 8 Punkte zu bekommen. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.
Werfen Sie den ersten Würfel - sechs Ergebnisse. Und für jeden von ihnen sind sechs weitere möglich - wenn wir den zweiten Würfel werfen.
Wir erhalten, dass diese Aktion – das Werfen von zwei Würfeln – insgesamt 36 mögliche Ergebnisse hat, da 6² = 36.
Und jetzt die gute Nachricht:
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
Die Wahrscheinlichkeit, acht Punkte zu bekommen, ist 5/36 ≈ 0,14.
9. Der Schütze trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel viermal hintereinander trifft.
Wenn die Trefferwahrscheinlichkeit 0,9 ist, dann ist die Fehlschlagwahrscheinlichkeit 0,1. Wir argumentieren wie bei der vorherigen Aufgabe. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer hintereinander ist 0,9 0,9 = 0,81. Und die Wahrscheinlichkeit von vier Treffern hintereinander ist
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
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Wahrscheinlichkeit: Brute-Force-Logik.
Problem B10 über Münzen aus der Diagnosearbeit am 7. Dezember erschien vielen schwierig. Hier ist ihr Zustand:
Petja hatte 2 Münzen zu 5 Rubel und 4 Münzen zu 10 Rubel in seiner Tasche. Petja steckte, ohne hinzusehen, etwa 3 Münzen in eine andere Tasche. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich Fünf-Rubel-Münzen jetzt in verschiedenen Taschen befinden.
Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gleich dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse ist. Aber wie berechnet man all diese Ergebnisse?
Sie können natürlich Fünf-Rubel-Münzen mit den Zahlen 1 und Zehn-Rubel-Münzen mit den Zahlen 2 bezeichnen - und dann ausrechnen, auf wie viele Arten Sie drei Elemente aus der Menge 1 1 2 2 2 2 auswählen können.
Es gibt jedoch eine einfachere Lösung:
Wir codieren Münzen mit Zahlen: 1, 2 (das sind fünf Rubel), 3, 4, 5, 6 (das sind zehn Rubel). Die Bedingung des Problems lässt sich nun wie folgt formulieren:
Es gibt sechs Chips mit den Nummern 1 bis 6. Auf wie viele Arten können sie gleichmäßig auf zwei Taschen verteilt werden, damit die Chips mit den Nummern 1 und 2 nicht zusammen landen?
Schreiben wir auf, was wir in der ersten Tasche haben.
Dazu machen wir alle möglichen Kombinationen aus dem Satz 1 2 3 4 5 6. Ein Satz von drei Chips wird eine dreistellige Zahl sein. Offensichtlich sind unter unseren Bedingungen 1 2 3 und 2 3 1 die gleichen Chips. Um nichts zu verpassen und sich nicht zu wiederholen, ordnen wir die entsprechenden dreistelligen Nummern aufsteigend an:
123, 124, 125, 126...
Und weiter? Wir haben gesagt, dass wir die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge anordnen. Das Folgende ist also 134, und dann:
135, 136, 145, 146, 156.
Alle! Wir sind alle möglichen Kombinationen durchgegangen, beginnend mit 1. Wir fahren fort:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Es gibt insgesamt 20 mögliche Ergebnisse.
Wir haben eine Bedingung – Chips mit den Nummern 1 und 2 sollten nicht zusammen landen. Das bedeutet zum Beispiel, dass die Kombination 356 nicht zu uns passt – es bedeutet, dass Chips 1 und 2 beide nicht in der ersten, sondern in der zweiten Tasche gelandet sind. Günstige Ergebnisse für uns sind solche, bei denen es entweder nur 1 oder nur 2 gibt. Hier sind sie:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - insgesamt 12 günstige Ergebnisse.
Dann ist die gewünschte Wahrscheinlichkeit 12/20.
Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung auftreten, können in 3 Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die eintreten müssen, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d.h. Ereignisse, die eintreten können oder nicht. Dieser Artikel erscheint in Zusammenfassung wahrscheinlichkeitstheoretische Formeln und Beispiele zur Lösung Probleme, die in der 4. Aufgabe der USE in Mathematik (Profilebene) behandelt werden.
Wozu brauchen wir die Wahrscheinlichkeitstheorie?
Historisch gesehen entstand im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung der Glücksspiel und das Aufkommen des Casinos. Es war ein echtes Phänomen, das sein Studium und seine Erforschung erforderte.
Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl von gleich wahrscheinlichen Ereignissen eintreten konnte. Es bestand die Notwendigkeit, numerische Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines Ereignisses anzugeben.
Im 20. Jahrhundert wurde deutlich, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle für das Verständnis der grundlegenden Prozesse spielt, die im Mikrokosmos ablaufen. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
Der Untersuchungsgegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn das Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu finden sind.
Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet, was darin besteht, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder Ereignis A und B gleichzeitig stattgefunden haben.
Das Produkt der Ereignisse A und B ist das Ereignis C, das darin besteht, dass sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B stattgefunden haben.
Die Ereignisse A und B heißen inkompatibel, wenn sie nicht gleichzeitig eintreten können.
Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.
Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es mit Sicherheit eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol gekennzeichnet.
Jedem Ereignis A sei eine Nummer P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, wenn die folgenden Bedingungen mit einer solchen Entsprechung erfüllt sind.
Ein wichtiger Sonderfall ist die Situation, in der es gleich wahrscheinliche elementare Ergebnisse gibt und beliebige dieser Ergebnisse die Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit durch die Formel eingeführt werden. Die so eingeführte Wahrscheinlichkeit heißt klassische Wahrscheinlichkeit. Es kann bewiesen werden, dass die Eigenschaften 1-4 in diesem Fall gelten.
Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in der Klausur in Mathematik zu finden sind, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie Demoversionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.
Wir erhalten die Antwort gemäß der Formel.
Ein Beispiel für eine Aufgabe aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit
Auf dem Tisch liegen 20 Pasteten – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina möchte einen Kuchen essen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?
Lösung.
Es gibt insgesamt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina das Reispastetchen nimmt, das heißt, wobei A die Wahl des Reispastetchens ist. Das bedeutet, dass wir insgesamt 8 günstige Ergebnisse haben (Reiskuchen wählen) Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:
Unabhängige, entgegengesetzte und willkürliche Ereignisse
In der offenen Aufgabenbank tauchten jedoch komplexere Aufgaben auf. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Fragen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.
Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit jedes von ihnen nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eingetreten ist.
Ereignis B besteht darin, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d.h. Ereignis B ist dem Ereignis A entgegengesetzt. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .
Additions- und Multiplikationssätze, Formeln
Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .
Für unabhängige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit des Produkts dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d. h. in diesem Fall .
Die letzten 2 Aussagen werden die Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten genannt.
Es ist nicht immer so einfach, die Anzahl der Ergebnisse zu zählen. In einigen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. Das Wichtigste ist, die Anzahl der Ereignisse zu zählen, die zufriedenstellend sind gewisse Bedingungen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.
Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Für den dritten Schüler gibt es 4 freie Plätze, für den vierten - 3, für den fünften - 2, der sechste nimmt den einzigen verbleibenden Platz ein. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lesen Sie "sechs Fakultät".
Die Antwort auf diese Frage liefert im allgemeinen Fall die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen, in unserem Fall .
Betrachten Sie nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können 2 Schüler auf 6 leeren Plätzen sitzen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten, den zweiten Schüler zu platzieren. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie das Produkt finden.
Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen mal k Elementen beantwortet
In unserem Fall .
Und das letzte in dieser Reihe. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 von 6 Schülern auszuwählen? Der erste Schüler kann auf 6 Arten gewählt werden, der zweite auf 5 Arten und der dritte auf 4 Arten. Aber unter diesen Optionen kommen die gleichen drei Schüler 6 Mal vor. Um die Anzahl aller Optionen zu finden, müssen Sie den Wert berechnen: . Im allgemeinen Fall wird diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Kombinationen von Elementen für Elemente beantwortet:
In unserem Fall .
Beispiele zur Lösung von Aufgaben aus der Prüfung in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.
Auf einem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mit einer Kirsche endet.
.
Antwort: 0,3.
Aufgabe 2. Aus der Sammlung, hrsg. Jaschtschenko.
In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekte. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge ausgewählte Glühbirne gut ist.
Lösung: Die Anzahl der betriebsbereiten Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Charge entnommene Glühbirne brauchbar ist:
Antwort: 0,98.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Schülerin U. bei einem Mathetest mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass U. genau 9 Aufgaben richtig löst.
Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen", trifft aber nicht auf die Bedingung "W. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen.
Allerdings ist die Bedingung „U. mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen. Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „W. genau 9 Aufgaben richtig lösen" - bis A, "U. mehr als 8 Aufgaben richtig lösen" - bis B, "U. mehr als 9 Probleme richtig lösen “durch C. Dann sieht die Lösung so aus:
Antwort: 0,06.
In der Geometrieprüfung beantwortet der Schüler eine Frage aus der Liste der Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine trigonometrische Frage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass dies eine Outer Corners-Frage ist, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen zu diesen beiden Themen gleichzeitig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt.
Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, die Frage bezieht sich entweder auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Nach dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses, wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse finden, das heißt:
Antwort: 0,35.
Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe in einem Jahr durchbrennt, beträgt 0,29. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe innerhalb eines Jahres nicht durchbrennt.
Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder nicht. Dies sind eigenständige Veranstaltungen.
Dann werden wir die Varianten solcher Ereignisse angeben. Wir akzeptieren die Notation: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und gleich als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses. Zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „Glühbirne ausgebrannt“, „Glühbirne an“, „Glühbirne an“ aufgetreten sind: wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Glühbirne an“ als Wahrscheinlichkeit von berechnet wird ein dem Ereignis „Glühbirne aus“ entgegengesetztes Ereignis, nämlich .
Beachten Sie, dass es nur 7 für uns günstige inkompatible Ereignisse gibt, deren Wahrscheinlichkeit gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse ist: .
Antwort: 0,975608.
Auf dem Bild sieht man ein weiteres Problem:
So haben Sie und ich verstanden, was die Wahrscheinlichkeitstheorie ist, Formeln und Beispiele zur Problemlösung, für die Sie sich in der Version der Prüfung treffen können.
UMK beliebig
Wahrscheinlichkeitstheorie
an der OGE und dem Einheitlichen Staatsexamen
Altai-Territorium
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
mit einem Würfel
(Würfel)
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungerade Anzahl von Punkten herausfällt, wenn ein Würfel (Würfel) geworfen wird.
Die Lösung des Problems:
Ungerade Zahl - 3 (1; 3; 5)
Antwort: P=0,5
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen eines Würfels (Würfel) weniger als 4 Punkte herausfallen.
Die Lösung des Problems:
Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)
Weniger als 4 Punkte - 3 (1; 2; 3)
Antwort: P=0,5
3 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 3 Punkte herausfallen, wenn ein Würfel (Würfel) geworfen wird.
Die Lösung des Problems:
Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)
Mehr als 3 Punkte - 3 (4; 5; 6)
Antwort: P=0,5
vier . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beim Werfen eines Würfels (Würfel) mehr als 2 Punkte herausfallen. Runden Sie Ihre Antwort auf Zehntel.
Die Lösung des Problems:
Ereignisse insgesamt - 6 (6 Zahlen von 1 bis 6 können herausfallen)
Mehr als 2 Punkte - 2 (3; 4; 5; 6)
P = 4:6 = 0,66…
Antwort: P=0,7
5. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gezogenen Zahlen ungerade ist.
Die Lösung des Problems:
Der Betrag ist ungerade, wenn: 1) er zum ersten Mal auftaucht seltsam Nummer, und in der zweiten eben. 2) zum ersten Mal - eben, und das zweite Mal seltsam .
1) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit beim ersten Wurf eine ungerade Zahl zu bekommen.
3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.
0,5 0,5 \u003d 0,25 - weil diese beiden Ereignisse müssen zusammen auftreten. 2) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.
3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.
0,5 0,5 \u003d 0,25 - weil diese beiden Ereignisse müssen zusammen auftreten.
3) 0,25 + 0,25 = 0,5
Antwort: P=0,5
6. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größte der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.
Die Lösung des Problems:
1) Der erste Wurf würfelt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 und der zweite Wurf würfelt 5 2) Der erste Wurf würfelt 5 und der zweite Wurf würfelt 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5
- 5: 6 \u003d 5/6 - die Wahrscheinlichkeit, dass 1 herausfällt; 2; 3; vier; 5
5/6 1/6 = 5/36 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
- 1:6 = 1/6 - Wahrscheinlichkeit einer 5
5: 6 = 5/6 - Wahrscheinlichkeit 1; 2; 3; vier; 5
1/6 5/6 \u003d 5/36 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
- 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…
Antworten: 0,3
7. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Zahl größer als 3 gewürfelt wird.
Die Lösung des Problems:
1) Der erste Wurf wird 1, oder 2 oder 3 würfeln und der zweite Wurf wird 4 würfeln; oder 5 oder 6 2) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf wird eine 1 oder 2 oder 3 gewürfelt 3) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf kommt eine 4 oder 5 oder 6 heraus.
2) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit von 4; 5; 6
3: 6 \u003d 0,5 - Ausfallwahrscheinlichkeit 1; 2; 3
0,5 0,5 \u003d 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
3) 3: 6 = 0,5 - Wahrscheinlichkeit von 4; 5; 6
3: 6 \u003d 0,5 - Ausfallwahrscheinlichkeit 4; 5; 6
0,5 0,5 \u003d 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
4) 0,25 + 0,25 + 0,25 = 0,75 Antwort: 0,75
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
mit Münzen
8. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 1 mal .
Die Lösung des Problems: Lassen Sie uns die Anzahl der möglichen Ergebnisse ermitteln und alle Optionen für Würfe durchgehen. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen und alle Optionen zeigen:
2: 4 \u003d 0,5 - die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe beim Wurf fallen.
2) Antwort: 0,5
9. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen dreimal .
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 werfen
3 werfen
1:8 = 0,125 ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf Kopf landet.
Antwort: 0,125
10. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 2 mal .
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 werfen
3 werfen
3: 8 \u003d 0,375 - die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe beim Wurf fallen.
Antwort: 0,375
elf . In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe niemals auftauchen.
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 werfen
3 werfen
1:8 = 0,125 - die Wahrscheinlichkeit, dass beim Wurf Kopf landet.
Antwort: 0,125
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
(verschiedene)
12. Es ist bekannt, dass in einigen Regionen die Wahrscheinlichkeit, dass das geborene Baby ein Junge ist, 0,512 beträgt. Im Jahr 2010 wurden in dieser Region durchschnittlich 477 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit, 2010 in dieser Region ein Mädchen zu bekommen, von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?
Die Lösung des Problems:
- 1 - 0,512 = 0,488 –
2) 477: 1000 = 0,477 - die Wahrscheinlichkeit, 2010 Mädchen zu bekommen
3) 0,488 - 0,477=0,011
Antworten: 0,011
13. Es ist bekannt, dass in einigen Regionen die Wahrscheinlichkeit, dass das geborene Baby ein Junge ist, 0,486 beträgt. Im Jahr 2011 wurden in dieser Region durchschnittlich 522 Mädchen auf 1.000 Babys geboren. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit, 2011 in dieser Region ein Mädchen zu bekommen, von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?
Die Lösung des Problems:
- 1 - 0,486 = 0,514 – die Wahrscheinlichkeit, Mädchen in der Region zu haben
2) 522: 1000 = 0,522 - die Wahrscheinlichkeit, 2011 Mädchen zu bekommen
3) 0,522 - 0,514 = 0,008
Antworten: 0,008
14. Stas wählt eine dreistellige Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 48 teilbar ist.
Die Lösung des Problems:
- 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen
2) 999: 48 = 20,8125 - d.h. Gesamt 20 Zahlen sind durch 48 teilbar
- Davon sind zwei Zahlen zweistellig - das ist 48 und 96, dann 20 - 2 = 18
4) 18: 900 = 0,02
Antworten: 0,02
fünfzehn . Andrew wählt eine zufällige dreistellige Zahl. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 33 teilbar ist.
Die Lösung des Problems:
- 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen
2) 999: 33 = 30,29… - d.h. Gesamt 30 Zahlen sind durch 33 teilbar
- Davon sind drei Zahlen zweistellig - das ist 33, 66, 99 dann 30 - 3 = 27
4) 27: 900 = 0,03
Antworten: 0,03
16 . In jeder vierten Dose Kaffee gibt es laut Aktionsbedingungen einen Preis. Die Preise werden nach dem Zufallsprinzip auf die Banken verteilt. Alya kauft eine Dose Kaffee in der Hoffnung, einen Preis zu gewinnen. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Alya den Preis nicht in ihrer Bank findet.
Die Lösung des Problems:
1) 1: 4 = 0,25 - die Wahrscheinlichkeit, einen Preis zu bekommen.
2) 1 - 0,25 = 0,75 - die Wahrscheinlichkeit, keinen Preis zu bekommen
Antwort: 0,75
17. Bei der Geometrieprüfung bekommt der Student eine Frage aus der Liste der Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Outer Corners-Frage handelt, beträgt 0,35. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Inkreisfrage handelt, beträgt 0,2. Es gibt keine Fragen zu diesen beiden Themen gleichzeitig. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen bekommt.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: 0,35 + 0,2 = 0,52
Antwort: 0,52
18. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Scheiben. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal getroffen und die letzten beiden verfehlt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.
Lösung:
Trefferwahrscheinlichkeit - 0,8
Verfehlungswahrscheinlichkeit - 0,2
Die Miss- und Hit-Ereignisse sind unabhängig, also
19. Es gibt zwei Zahlungsautomaten im Geschäft. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 fehlerhaft sein, unabhängig vom anderen Automaten. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Automat funktionsfähig ist.
Lösung:
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Automaten fehlerhaft sind.
Diese Ereignisse sind unabhängig, d.h. 0,12² = 0,0144
Das Ereignis, dass mindestens einer der
Automat ist das Gegenteil, also 1 - 0,0144 = 0,9856
Antwort: 0,9856
20. Ein Einkaufszentrum zwei identische Verkaufsautomaten verkaufen Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Maschine am Ende des Tages der Kaffee ausgeht, beträgt 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,16. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages in beiden Automaten noch Kaffee übrig ist.
Lösung:
Betrachten Sie die Ereignisse:
A - Kaffee endet in der ersten Maschine
B - Kaffee endet in der zweiten Maschine
A B – Kaffee endet in beiden Automaten
A + B - Kaffee wird in mindestens einer Maschine enden
Daher ist die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses (Kaffee verbleibt in beiden Maschinen) gleich
Antwort: 0,56
21. Zwei Fabriken produzieren das gleiche Glas für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 45 % dieser Gläser, die zweite 55 %. Die erste Fabrik produziert 3% der defekten Gläser und die zweite - 1%. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass das in der ersten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,45 0,03 = 0,0135
Wahrscheinlichkeit, dass das in der zweiten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,55 0,01 = 0,0055
Dies bedeutet, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist: 0,0135 + 0,0055 = 0,019
Antwort: 0,019
Quellen
Aufgaben Bank eröffnen Aufgaben in Mathematik FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/
Münze - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg
Würfel - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg
http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675
OG 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg
Beschreibung der Präsentation auf einzelnen Folien:
1 Folie
Beschreibung der Folie:
Schlüsselaufgaben in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbereitung auf die OGE Nr. 9 MBOU "Gymnasium Nr. 4 benannt nach. WIE. Puschkin“ Zusammengestellt von: Sofina N.Yu.
2 Folie
Beschreibung der Folie:
Grundlegende überprüfbare Anforderungen für mathematische Ausbildung Nr. 9 OGE in Mathematik Lösen praktische Aufgaben, die eine systematische Aufzählung von Optionen erfordert; die Wahrscheinlichkeiten des Eintretens zufälliger Ereignisse vergleichen, die Wahrscheinlichkeiten eines zufälligen Ereignisses bewerten, Modelle einer realen Situation vergleichen und untersuchen, indem sie den Apparat der Wahrscheinlichkeit und Statistik verwenden. Nr. 9 - Grundaufgabe. Die maximale Punktzahl für die Erfüllung der Aufgabe beträgt 1.
3 Folie
Beschreibung der Folie:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl n aller gleich möglichen unvereinbaren Ereignisse, die als Ergebnis eines Versuchs oder einer Beobachtung eintreten können.Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Erinnern Sie sich an die Formel zur Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses Р = n m
4 Folie
Beschreibung der Folie:
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Beispiel: Ein PTA kaufte 40 Malbücher, um sie den Kindern am Ende des Schuljahres zu geben. Davon basieren 14 auf den Märchen von A.S. Puschkin und 26 nach den Märchen von G. Kh. Andersen. Geschenke werden zufällig verteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Nastya ein Malbuch bekommt, das auf den Märchen von A.S. Puschkin. Lösung: m= 14; n= 14 +26=40 Р= 14/40= 0,35 Antwort: 0,35.
5 Folie
Beschreibung der Folie:
Beispiel: Es gab 60 Fragen für die Prüfung. Ivan hat 3 davon nicht gelernt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auf die gelernte Frage stößt. Lösung: Hier n=60. Ivan hat 3 nicht gelernt, also hat er den ganzen Rest gelernt, d.h. m=60-3=57. P=57/60=0,95. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Antwort: 0,95.
6 Folie
Beschreibung der Folie:
„Die Reihenfolge wird ausgelost“ Beispiel: 20 Athleten nehmen an der Turnmeisterschaft teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge, in der die Turner auftreten, wird durch das Los bestimmt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der fünfte Athlet aus China stammt. Lösung: In der Bedingung des Problems gibt es ein „magisches“ Wort „Los“, was bedeutet, dass wir die Sprechreihenfolge vergessen. Also m= 20-8-7=5 (aus China); n=20. P \u003d 5/20 \u003d 0,25. Antwort: 0,25.
7 Folie
Beschreibung der Folie:
Beispiel: Eine wissenschaftliche Tagung findet in 5 Tagen statt. Insgesamt geplant 75 Berichte - die erste 3 Tage für 17 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den 4. und 5. Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird ausgelost. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor Ivanov für den letzten Tag der Konferenz angesetzt wird? Lösung: Tragen wir die Daten in die Tabelle ein. Wir haben das m=12; n = 75. P = 12/75 = 0,16. Antwort: 0,16. „Reihenfolge per Los“ Tag I II III IV V Gesamtzahl der Präsentationen 17 17 17 12 12 75
8 Folie
Beschreibung der Folie:
Ereignishäufigkeit Analog zur Wahrscheinlichkeit findet man die Häufigkeit des Ereignisses, dessen Aufgaben ebenfalls in den Prototypen stehen. Was ist der Unterschied? Wahrscheinlichkeit ist ein vorhersagbarer Wert, und Häufigkeit ist eine Tatsachenfeststellung. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Tablet innerhalb eines Jahres repariert wird, beträgt 0,045. In einer bestimmten Stadt kamen von 1000 im Laufe des Jahres verkauften Tablets 51 Stück in der Garantiewerkstatt an. Wie stark unterscheidet sich die Häufigkeit des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt? Lösung: Ermitteln Sie die Häufigkeit des Ereignisses: 51/1000=0,051. Und die Wahrscheinlichkeit liegt bei 0,045 (je nach Zustand), was bedeutet, dass in dieser Stadt das Ereignis „Garantiereparatur“ häufiger eintritt als erwartet. Finden wir die Differenz ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Dabei müssen wir berücksichtigen, dass uns NICHT das Vorzeichen der Differenz wichtig ist, sondern nur ihr absoluter Wert. Antwort: 0,006.
9 Folie
Beschreibung der Folie:
Probleme mit der Aufzählung von Optionen ("Münzen", "Matches") Sei k die Anzahl der Münzwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 2k. Beispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf genau einmal kommt. Lösung: Coin Drop Optionen: OO; ODER; RR; RO. Somit ist n = 4. Günstige Ergebnisse: RR und RR. Das heißt, m = 2. P = 2/4 = 1/2 = 0,5. Antwort: 0,5.
10 Folie
Beschreibung der Folie:
Beispiel: Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um festzustellen, welche Mannschaft zuerst den Ball hat. Das Team „Mercury“ spielt abwechselnd mit den Teams „Mars“, „Jupiter“, „Uranus“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in allen Spielen das Recht, den Ball zu besitzen, von der Mannschaft "Mercury" gewonnen wird? Probleme bei der Aufzählung von Optionen ("Münzen", "Streichhölzer") Lösung: Lassen Sie uns das Besitzrecht des ersten Balls der Mannschaft "Mercury" im Spiel mit einer der anderen drei Mannschaften als "Zahl" bezeichnen. Dann ist das Besitzrecht am zweiten Ball dieser Mannschaft „Adler“. Schreiben wir also alle möglichen Ergebnisse auf, wenn man dreimal eine Münze wirft. "O" - Köpfe, "P" - Schwänze. ; d. h. n = 8; m=1. P = 1/8 = 0,125. Antwort: 0,125 n = 23 „Mars“ „Jupiter“ „Uranus“
11 Folie
Beschreibung der Folie:
Aufgaben zu "Würfeln" (Würfel) Sei k die Anzahl der Würfelwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 6k. Beispiel: Dasha würfelt zweimal. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ihre Gesamtzahl 8 gewürfelt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel. Antwort: 0,14. Lösung: Die Summe der beiden Würfel muss 8 Punkte betragen. Dies ist möglich, wenn folgende Kombinationen vorliegen: 2 und 6 6 und 2 3 und 5 5 und 3 4 und 4 m= 5 (5 geeignete Kombinationen) n=36 P= 5/36 = 0,13(8)
12 Folie
Beschreibung der Folie:
Unabhängige Ereignisse und das Gesetz der Multiplikation Die Wahrscheinlichkeit, sowohl das 1. als auch das 2. und das n-te Ereignis zu finden, ergibt sich aus der Formel: Р= Р1*Р2*…*Рn Beispiel: Ein Biathlet schießt fünfmal auf Scheiben. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal getroffen und die letzten beiden verfehlt hat. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel. Antwort: 0,02. Lösung: Das Ergebnis jedes nächsten Schusses hängt nicht von den vorherigen ab. Daher werden die Ereignisse „Treffer beim ersten Schuss“, „Treffer beim zweiten Schuss“ usw. unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Treffer beträgt 0,8. Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers ist also 1 - 0,8 = 0,2. 1 Schuss: 0,8 2 Schuss: 0,8 3 Schuss: 0,8 4 Schuss: 0,2 5 Schuss: 0,2 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
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Kombinationen von „und“-Gesetzen und „oder“-Gesetzen Beispiel: Ein Büro kauft Schreibwaren für Mitarbeiter von 3 verschiedenen Firmen. Darüber hinaus machen die Produkte der 1. Firma 40% aller Lieferungen aus, und der Rest der 2. Firma wird zu gleichen Teilen aufgeteilt. Es stellte sich heraus, dass 2% der Stifte der 2. Firma defekt sind. Der Heiratsanteil in der 1. bzw. 3. Firma beträgt 1 % bzw. 3 %. Mitarbeiter A nahm einen Kugelschreiber aus einer neuen Lieferung. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es richtig ist. Lösung: Die Produkte der 2. und 3. Firma sind (100%-40%):2=30% der Lieferungen. P(Ehe) \u003d 0,4 0,01 + 0,3 0,02 + 0,3 0,03 \u003d 0,019. P (wartungsfähige Stifte) \u003d 1 - 0,019 \u003d 0,981. Antwort: 0,981.
