Thema " Steigungsfaktor Tangens als Tangens des Neigungswinkels“ In der Zertifizierungsprüfung gibt es mehrere Aufgaben gleichzeitig. Je nach Zustand muss der Absolvent entweder eine vollständige oder eine kurze Antwort geben. Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik sollte der Studierende unbedingt die Aufgaben wiederholen, bei denen es um die Berechnung der Steigung einer Tangente geht.

Es wird Ihnen dabei helfen Bildungsportal„Schkolkowo“. Unsere Spezialisten bereiteten theoretisches und praktisches Material so zugänglich wie möglich vor und präsentierten es. Absolventen jeder Ausbildungsstufe können nach der Kenntnis damit erfolgreich Probleme im Zusammenhang mit Ableitungen lösen, bei denen es darum geht, den Tangens des Tangentenwinkels zu ermitteln.

Grundlegende Momente

Um die richtige und rationale Lösung für solche Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen zu finden, muss man sich an die grundlegende Definition erinnern: Die Ableitung stellt die Änderungsrate einer Funktion dar; es ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels, der an einem bestimmten Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird. Ebenso wichtig ist es, die Zeichnung fertigzustellen. Damit können Sie die richtige Lösung für USE-Probleme mit der Ableitung finden, bei denen Sie den Tangens des Tangenswinkels berechnen müssen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es am besten, den Graphen auf der OXY-Ebene darzustellen.

Wenn Sie sich bereits mit dem Grundmaterial zum Thema Ableitungen vertraut gemacht haben und bereit sind, mit der Lösung von Problemen zur Berechnung des Tangens des Tangenswinkels zu beginnen, wie z Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen, Sie können dies online tun. Für jede Aufgabe, zum Beispiel Probleme zum Thema „Zusammenhang einer Ableitung mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers“, haben wir den richtigen Antwort- und Lösungsalgorithmus aufgeschrieben. Gleichzeitig können die Studierenden die Bearbeitung von Aufgaben unterschiedlicher Komplexität üben. Bei Bedarf kann die Übung im Bereich „Favoriten“ gespeichert werden, sodass Sie die Lösung später mit dem Lehrer besprechen können.

In diesem Artikel werden wir alle Arten von Problemen analysieren, die es zu finden gilt

Lass uns erinnern geometrische Bedeutung der Ableitung: Wenn an einem Punkt eine Tangente an den Graphen einer Funktion gezogen wird, dann ist der Steigungskoeffizient der Tangente (gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse) gleich der Ableitung der Funktion am Punkt.

Nehmen wir einen beliebigen Punkt auf der Tangente mit Koordinaten:

Und überlegen Sie rechtwinkliges Dreieck :

In diesem Dreieck

Von hier

Dies ist die Gleichung der Tangente, die am Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird.

Um die Tangentengleichung zu schreiben, müssen wir nur die Funktionsgleichung und den Punkt kennen, an dem die Tangente gezogen wird. Dann können wir finden und .

Es gibt drei Haupttypen von Tangentengleichungsproblemen.

1. Einen Ansprechpartner angeben

2. Gegeben ist der Tangentensteigungskoeffizient, also der Wert der Ableitung der Funktion am Punkt.

3. Gegeben sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Tangente gezogen wird, der aber nicht der Tangentenpunkt ist.

Schauen wir uns jede Art von Aufgabe an.

1 . Schreiben Sie die Tangentengleichung an den Funktionsgraphen am Punkt .

.

b) Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt. Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln

Setzen wir die gefundenen Werte in die Tangentengleichung ein:

Öffnen wir die Klammern auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bekommen:

Antwort: .

2. Finden Sie die Abszisse der Punkte, an denen die Funktionen den Graphen tangieren parallel zur x-Achse.

Wenn die Tangente parallel zur x-Achse ist, ergibt sich daraus der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse gleich Null, daher ist der Tangens des Tangentenwinkels Null. Dies bedeutet, dass der Wert der Ableitung der Funktion an den Tangentenpunkten Null ist.

a) Finden Sie die Ableitung der Funktion.

b) Setzen wir die Ableitung mit Null gleich und ermitteln die Werte, bei denen die Tangente parallel zur Achse verläuft:

Wenn wir jeden Faktor mit Null gleichsetzen, erhalten wir:

Antwort: 0;3;5

3. Schreiben Sie Gleichungen für Tangenten an den Graphen einer Funktion , parallel gerade .

Eine Tangente ist parallel zu einer Geraden. Die Steigung dieser Linie beträgt -1. Da die Tangente parallel zu dieser Linie verläuft, beträgt die Steigung der Tangente ebenfalls -1. Also Wir kennen die Steigung der Tangente, und dadurch, Ableitungswert am Tangentialpunkt.

Dies ist die zweite Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden.

Wir erhalten also die Funktion und den Wert der Ableitung am Tangentenpunkt.

a) Finden Sie die Punkte, an denen die Ableitung der Funktion gleich -1 ist.

Finden wir zunächst die Ableitungsgleichung.

Setzen wir die Ableitung mit der Zahl -1 gleich.

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung)

.

b) Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt .

Lassen Sie uns den Wert der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

(nach Bedingung).

Setzen wir diese Werte in die Tangentengleichung ein:

.

Antwort:

4 . Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve , durch einen Punkt gehen

Überprüfen wir zunächst, ob der Punkt ein Tangentenpunkt ist. Wenn ein Punkt ein Tangentenpunkt ist, dann gehört er zum Graphen der Funktion und seine Koordinaten müssen die Gleichung der Funktion erfüllen. Setzen wir die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein.

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ist kein Ansprechpartner.

Dies ist die letzte Art von Problem, um die Tangentengleichung zu finden. Erste Sache Wir müssen die Abszisse des Tangentenpunkts finden.

Finden wir den Wert.

Seien Sie der Ansprechpartner. Der Punkt gehört zur Tangente an den Funktionsgraphen. Wenn wir die Koordinaten dieses Punktes in die Tangentengleichung einsetzen, erhalten wir die richtige Gleichung:

.

Der Wert der Funktion an einem Punkt ist .

Lassen Sie uns den Wert der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst die Ableitung der Funktion ermitteln. Das .

Die Ableitung an einem Punkt ist gleich .

Ersetzen wir die Ausdrücke für und in der Tangentengleichung. Wir erhalten die Gleichung für:

Lassen Sie uns diese Gleichung lösen.

Reduzieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs um 2:

Bringen wir die rechte Seite der Gleichung auf einen gemeinsamen Nenner. Wir bekommen:

Vereinfachen wir den Zähler des Bruchs und multiplizieren wir beide Seiten mit – dieser Ausdruck ist streng Über Null.

Wir erhalten die Gleichung

Lass es uns lösen. Dazu quadrieren wir beide Teile und fahren mit dem System fort.

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

Lösen wir die erste Gleichung.

Lösen wir die quadratische Gleichung, wir erhalten

Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Bedingung title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

Schreiben wir die Gleichung der Tangente an die Kurve am Punkt. Setzen Sie dazu den Wert in die Gleichung ein - Wir haben es bereits aufgenommen.

Antwort:
.

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

P. Romanov, T. Romanova,
Magnitogorsk,
Gebiet Tscheljabinsk

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion

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An moderne Bühne Entwicklung der Bildung, eine ihrer Hauptaufgaben ist die Bildung einer kreativ denkenden Persönlichkeit. Die Kreativitätsfähigkeit der Studierenden kann nur dann entwickelt werden, wenn sie sich systematisch in die Grundlagen der Forschungstätigkeit einarbeiten. Die Grundlage dafür, dass die Studierenden ihre kreativen Kräfte, Fähigkeiten und Talente nutzen können, ist die Ausbildung umfassender Kenntnisse und Fähigkeiten. In diesem Zusammenhang ist das Problem der Bildung eines Systems grundlegender Kenntnisse und Fähigkeiten für jedes Thema des schulischen Mathematikunterrichts von nicht geringer Bedeutung. Dabei sollte die Vermittlung vollwertiger Kompetenzen nicht das didaktische Ziel einzelner Aufgaben, sondern eines durchdachten Systems davon sein. Im weitesten Sinne wird ein System als eine Menge miteinander verbundener, interagierender Elemente verstanden, die Integrität und eine stabile Struktur aufweisen.

Betrachten wir eine Technik, mit der Schüler lernen können, eine Gleichung für eine Tangente an den Graphen einer Funktion zu schreiben. Im Wesentlichen beruhen alle Probleme beim Finden der Tangentengleichung auf der Notwendigkeit, aus einer Menge (Bündel, Familie) von Geraden diejenigen auszuwählen, die eine bestimmte Anforderung erfüllen – sie sind tangential zum Graphen einer bestimmten Funktion. In diesem Fall kann die Menge der Zeilen, aus denen ausgewählt wird, auf zwei Arten angegeben werden:

a) ein Punkt, der auf der xOy-Ebene liegt (zentrales Linienbündel);
b) Winkelkoeffizient (paralleler Strahl gerader Linien).

In diesem Zusammenhang haben wir bei der Untersuchung des Themas „Tangente an den Graphen einer Funktion“ zur Isolierung der Elemente des Systems zwei Arten von Problemen identifiziert:

1) Probleme an einer Tangente, die durch den Punkt gegeben ist, durch den sie verläuft;
2) Probleme an einer Tangente, die durch ihre Steigung gegeben ist.

Das Training zur Lösung von Tangentenproblemen wurde mit dem von A.G. vorgeschlagenen Algorithmus durchgeführt. Mordkowitsch. Der grundlegende Unterschied zu den bereits bekannten besteht darin, dass die Abszisse des Tangentenpunkts mit dem Buchstaben a (anstelle von x0) bezeichnet wird und daher die Tangentengleichung die Form annimmt

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(vergleiche mit y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Dies methodische Technik, unserer Meinung nach, ermöglicht es den Schülern, schnell und einfach zu verstehen, wo in der allgemeinen Tangentengleichung die Koordinaten des aktuellen Punktes geschrieben sind und wo sich die Tangentenpunkte befinden.

Algorithmus zum Zusammenstellen der Tangentengleichung an den Graphen der Funktion y = f(x)

1. Bezeichnen Sie die Abszisse des Tangentenpunktes mit dem Buchstaben a.
2. Finden Sie f(a).
3. Finden Sie f "(x) und f "(a).
4. Setze die gefundenen Zahlen ein, f(ein), f "(ein) in die allgemeine Tangentengleichung y = f(ein) = f "(ein)(x – ein).

Dieser Algorithmus kann auf der Grundlage der unabhängigen Identifizierung von Operationen durch die Studierenden und der Reihenfolge ihrer Implementierung erstellt werden.

Die Praxis hat gezeigt, dass Sie durch die sequentielle Lösung jedes der Schlüsselprobleme mithilfe eines Algorithmus die Fähigkeit entwickeln können, die Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion schrittweise zu schreiben, und die Schritte des Algorithmus als Bezugspunkte für Aktionen dienen . Dieser Ansatz entspricht der von P.Ya. entwickelten Theorie der allmählichen Bildung geistiger Handlungen. Galperin und N.F. Talyzina.

Im ersten Aufgabentyp wurden zwei Schlüsselaufgaben identifiziert:

• die Tangente verläuft durch einen auf der Kurve liegenden Punkt (Aufgabe 1);
• die Tangente geht durch einen Punkt, der nicht auf der Kurve liegt (Aufgabe 2).

Aufgabe 1. Schreiben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Funktionsgraphen am Punkt M(3; – 2).

Lösung. Punkt M(3; – 2) ist ein Tangentenpunkt, da

1. a = 3 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – Tangensgleichung.

Aufgabe 2. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = – x 2 – 4x + 2, die durch den Punkt M(– 3; 6) verläuft.

Lösung. Punkt M(– 3; 6) ist kein Tangentenpunkt, da f(– 3) 6 (Abb. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – Tangentengleichung.

Die Tangente verläuft durch den Punkt M(– 3; 6), daher erfüllen seine Koordinaten die Tangentengleichung.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Wenn a = – 4, dann lautet die Tangentengleichung y = 4x + 18.

Wenn a = – 2, dann hat die Tangentengleichung die Form y = 6.

Beim zweiten Typ sind die Hauptaufgaben folgende:

• die Tangente verläuft parallel zu einer Geraden (Aufgabe 3);
• die Tangente verläuft in einem bestimmten Winkel zur gegebenen Geraden (Aufgabe 4).

Aufgabe 3. Schreiben Sie die Gleichungen aller Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x 2 + 3, parallel zur Geraden y = 9x + 1.

Lösung.

1. a – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Aber andererseits ist f "(a) = 9 (Parallelitätsbedingung). Das bedeutet, dass wir die Gleichung 3a 2 – 6a = 9 lösen müssen. Ihre Wurzeln sind a = – 1, a = 3 (Abb. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – Tangentengleichung;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – Tangentengleichung.

Aufgabe 4. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = 0,5x 2 – 3x + 1, die in einem Winkel von 45° zur Geraden y = 0 verläuft (Abb. 4).

Lösung. Aus der Bedingung f "(a) = tan 45° ergibt sich a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – Abszisse des Tangentenpunktes.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – Tangentengleichung.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Lösung jedes anderen Problems darin besteht, ein oder mehrere Schlüsselprobleme zu lösen. Betrachten Sie als Beispiel die folgenden zwei Probleme.

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten an die Parabel y = 2x 2 – 5x – 2, wenn sich die Tangenten im rechten Winkel schneiden und eine von ihnen die Parabel im Punkt mit Abszisse 3 berührt (Abb. 5).

Lösung. Da die Abszisse des Tangentenpunktes gegeben ist, reduziert sich der erste Teil der Lösung auf Kernproblem 1.

1. a = 3 – Abszisse des Tangentialpunktes einer der Seiten des rechten Winkels.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – Gleichung der ersten Tangente.

Lass a – Neigungswinkel der ersten Tangente. Da die Tangenten senkrecht zueinander stehen, gilt auch der Neigungswinkel der zweiten Tangente. Aus der Gleichung y = 7x – 20 der ersten Tangente ergibt sich tg a = 7. Finden wir

Das bedeutet, dass die Steigung der zweiten Tangente gleich ist.

Die weitere Lösung ergibt sich aus Kernaufgabe 3.

Sei dann B(c; f(c)) der Tangentialpunkt der zweiten Geraden

1. – Abszisse des zweiten Tangentialpunktes.
2.
3.
4.
– Gleichung der zweiten Tangente.

Notiz. Der Winkelkoeffizient der Tangente kann leichter ermittelt werden, wenn die Schüler das Verhältnis der Koeffizienten senkrechter Geraden kennen k 1 k 2 = – 1.

2. Schreiben Sie die Gleichungen aller gemeinsamen Tangenten an die Funktionsgraphen

Lösung. Die Aufgabe besteht darin, die Abszisse der Tangentenpunkte gemeinsamer Tangenten zu finden, also das Schlüsselproblem 1 in allgemeiner Form zu lösen, ein Gleichungssystem aufzustellen und es dann zu lösen (Abb. 6).

1. Sei a die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Graphen der Funktion y = x 2 + x + 1 liegt.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Sei c die Abszisse des Tangentenpunktes, der auf dem Funktionsgraphen liegt
2.
3. f "(c) = c.
4.

Da Tangenten also allgemein sind

Also sind y = x + 1 und y = – 3x – 3 gemeinsame Tangenten.

Das Hauptziel der betrachteten Aufgaben besteht darin, die Studierenden darauf vorzubereiten, die Art des Schlüsselproblems bei der Lösung komplexerer Probleme, die bestimmte Forschungskompetenzen erfordern (Analysefähigkeit, Vergleichsfähigkeit, Verallgemeinerungsfähigkeit, Hypothesenaufstellung usw.), selbstständig zu erkennen. Zu diesen Aufgaben zählen alle Aufgaben, in denen die Schlüsselaufgabe als Komponente enthalten ist. Betrachten wir als Beispiel das Problem (invers zu Problem 1), eine Funktion aus der Familie ihrer Tangenten zu finden.

3. Für welche b und c sind die Geraden y = x und y = – 2x tangential zum Graphen der Funktion y = x 2 + bx + c?

Lösung.

Sei t die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = x mit der Parabel y = x 2 + bx + c; p ist die Abszisse des Tangentialpunktes der Geraden y = – 2x mit der Parabel y = x 2 + bx + c. Dann nimmt die Tangentengleichung y = x die Form y = (2t + b)x + c – t 2 an, und die Tangentengleichung y = – 2x nimmt die Form y = (2p + b)x + c – p 2 an .

Lassen Sie uns ein Gleichungssystem aufstellen und lösen

Antwort:

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangenten, die an den Graphen der Funktion y = 2x 2 – 4x + 3 an den Schnittpunkten des Graphen mit der Geraden y = x + 3 gezogen werden.

Antwort: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Für welche Werte von a verläuft die an den Graphen der Funktion y = x 2 – ax gezogene Tangente am Punkt des Graphen mit der Abszisse x 0 = 1 durch den Punkt M(2; 3)?

Antwort: a = 0,5.

3. Für welche Werte von p berührt die Gerade y = px – 5 die Kurve y = 3x 2 – 4x – 2?

Antwort: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Finden Sie alle gemeinsamen Punkte des Graphen der Funktion y = 3x – x 3 und der Tangente, die durch den Punkt P(0; 16) an diesen Graphen gezogen wird.

Antwort: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Finden Sie den kürzesten Abstand zwischen der Parabel y = x 2 + 6x + 10 und der Geraden

Antwort:

6. Suchen Sie auf der Kurve y = x 2 – x + 1 den Punkt, an dem die Tangente an den Graphen parallel zur Geraden y – 3x + 1 = 0 verläuft.

Antwort: M(2; 3).

7. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion y = x 2 + 2x – | 4x |, der es an zwei Punkten berührt. Fertige eine Zeichnung an.

Antwort: y = 2x – 4.

8. Beweisen Sie, dass die Gerade y = 2x – 1 die Kurve y = x 4 + 3x 2 + 2x nicht schneidet. Finden Sie den Abstand zwischen den nächstgelegenen Punkten.

Antwort:

9. Auf der Parabel y = x 2 werden zwei Punkte mit Abszissen x 1 = 1, x 2 = 3 genommen. Durch diese Punkte wird eine Sekante gezogen. An welchem ​​Punkt der Parabel verläuft die Tangente parallel zur Sekante? Schreiben Sie die Sekanten- und Tangentengleichungen.

Antwort: y = 4x – 3 – Sekantengleichung; y = 4x – 4 – Tangentengleichung.

10. Finden Sie den Winkel q zwischen den Tangenten an den Graphen der Funktion y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, gezeichnet an den Punkten mit den Abszissen 0 und 1.

Antwort: q = 45°.

11. An welchen Punkten bildet die Tangente an den Funktionsgraphen einen Winkel von 135° mit der Ox-Achse?

Antwort: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Am Punkt A(1; 8) zur Kurve Es wird eine Tangente gezeichnet. Ermitteln Sie die Länge des Tangentensegments zwischen den Koordinatenachsen.

Antwort:

13. Schreiben Sie die Gleichung aller gemeinsamen Tangenten an die Graphen der Funktionen y = x 2 – x + 1 und y = 2x 2 – x + 0,5.

Antwort: y = – 3x und y = x.

14. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Tangenten an den Funktionsgraphen parallel zur x-Achse.

Antwort:

15. Bestimmen Sie, in welchen Winkeln die Parabel y = x 2 + 2x – 8 die x-Achse schneidet.

Antwort: q 1 = Arctan 6, q 2 = Arctan (– 6).

16. Funktionsgraph Finden Sie alle Punkte, deren Tangente an diesen Graphen jeweils die positiven Halbachsen der Koordinaten schneidet, und schneiden Sie gleiche Segmente von ihnen ab.

Antwort: A(– 3; 11).

17. Die Gerade y = 2x + 7 und die Parabel y = x 2 – 1 schneiden sich in den Punkten M und N. Finden Sie den Schnittpunkt K der Tangenten der Parabel in den Punkten M und N.

Antwort: K(1; – 9).

18. Für welche Werte von b tangiert die Gerade y = 9x + b den Graphen der Funktion y = x 3 – 3x + 15?

Antwort 1; 31.

19. Für welche Werte von k hat die Gerade y = kx – 10 nur einen gemeinsamen Punkt mit dem Graphen der Funktion y = 2x 2 + 3x – 2? Bestimmen Sie für die gefundenen Werte von k die Koordinaten des Punktes.

Antwort: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Für welche Werte von b verläuft die Tangente, die an den Graphen der Funktion y = bx 3 – 2x 2 – 4 im Punkt mit der Abszisse x 0 = 2 gezogen wird, durch den Punkt M(1; 8)?

Antwort: b = – 3.

21. Eine Parabel mit einem Scheitelpunkt auf der Ox-Achse berührt die Linie, die durch die Punkte A(1; 2) und B(2; 4) verläuft, am Punkt B. Finden Sie die Gleichung der Parabel.

Antwort:

22. Bei welchem ​​Wert des Koeffizienten k berührt die Parabel y = x 2 + kx + 1 die Ox-Achse?

Antwort: k = d 2.

23. Finden Sie die Winkel zwischen der Geraden y = x + 2 und der Kurve y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Ermitteln Sie den Abstand zwischen den Tangenten an den Funktionsgraphen und den Generatoren mit der positiven Richtung der Ox-Achse in einem Winkel von 45°.

Antwort:

30. Finden Sie den Ort der Scheitelpunkte aller Parabeln der Form y = x 2 + ax + b tangential zur Linie y = 4x – 1.

Antwort: Gerade y = 4x + 3.

Literatur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Algebra und Anfänge der Analysis: 3600 Aufgaben für Schüler und Studienanfänger. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar vier für junge Lehrer. Thema: Derivative Anwendungen. – M., „Mathematik“, Nr. 21/94.
3. Bildung von Wissen und Fähigkeiten basierend auf der Theorie der schrittweisen Assimilation geistiger Handlungen. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talyzina. – M., Staatliche Universität Moskau, 1968.

Erste Ebene

Gleichung einer Tangente an den Graphen einer Funktion. Der umfassende Leitfaden (2019)

Wissen Sie schon, was ein Derivat ist? Wenn nicht, lesen Sie zuerst das Thema. Sie sagen also, Sie kennen die Ableitung. Lass es uns jetzt überprüfen. Finden Sie das Inkrement der Funktion, wenn das Inkrement des Arguments gleich ist. Hast du es geschafft? Es sollte funktionieren. Finden Sie nun die Ableitung der Funktion an einem Punkt. Antwort: . Passiert? Wenn Sie mit einem dieser Beispiele Schwierigkeiten haben, empfehle ich Ihnen dringend, zum Thema zurückzukehren und es erneut zu studieren. Ich weiß, dass das Thema sehr groß ist, aber sonst macht es keinen Sinn, weiterzumachen. Betrachten Sie den Graphen einer Funktion:

Wählen wir einen bestimmten Punkt auf der Diagrammlinie aus. Sei die Abszisse, dann ist die Ordinate gleich. Dann wählen wir den Punkt aus, dessen Abszisse nahe am Punkt liegt; seine Ordinate ist:

Zeichnen wir eine gerade Linie durch diese Punkte. Es wird Sekante genannt (genau wie in der Geometrie). Bezeichnen wir den Neigungswinkel der Geraden zur Achse als. Wie in der Trigonometrie wird dieser Winkel von der positiven Richtung der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen. Welche Werte kann der Winkel annehmen? Ganz gleich, wie Sie diese gerade Linie neigen, eine Hälfte bleibt immer noch herausragen. Daher beträgt der maximal mögliche Winkel und der minimal mögliche Winkel. Bedeutet, . Der Winkel wird nicht berücksichtigt, da die Position der Geraden in diesem Fall genau mit übereinstimmt und es logischer ist, einen kleineren Winkel zu wählen. Nehmen wir einen Punkt in der Abbildung, bei dem die Gerade parallel zur Abszissenachse verläuft und a die Ordinatenachse ist:

Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass a. Dann ist das Inkrementverhältnis:

(da es rechteckig ist).

Reduzieren wir es jetzt. Dann nähert sich der Punkt dem Punkt. Wenn es unendlich klein wird, wird das Verhältnis gleich der Ableitung der Funktion an dem Punkt. Was passiert mit der Sekante? Der Punkt wird unendlich nahe am Punkt liegen, sodass sie als derselbe Punkt betrachtet werden können. Aber eine Gerade, die mit einer Kurve nur einen gemeinsamen Punkt hat, ist nichts anderes als Tangente(In diesem Fall ist diese Bedingung nur in einem kleinen Bereich erfüllt – in der Nähe des Punktes, aber das reicht aus). Sie sagen, dass in diesem Fall die Sekante dauert Grenzposition.

Nennen wir den Neigungswinkel der Sekante zur Achse. Dann stellt sich heraus, dass die Ableitung

also Die Ableitung ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an den Funktionsgraphen an einem bestimmten Punkt.

Da eine Tangente eine Gerade ist, erinnern wir uns nun an die Geradengleichung:

Wofür ist der Koeffizient verantwortlich? Für die Steigung der Geraden. So heißt es: Neigung. Was bedeutet das? Und die Tatsache, dass er gleich dem Tangens des Winkels zwischen der Geraden und der Achse ist! Folgendes passiert also:

Aber wir haben diese Regel erhalten, indem wir eine zunehmende Funktion betrachteten. Was ändert sich, wenn die Funktion abnimmt? Mal sehen:
Jetzt sind die Winkel stumpf. Und das Inkrement der Funktion ist negativ. Denken wir noch einmal darüber nach: . Andererseits, . Wir erhalten: , das heißt, alles ist wie beim letzten Mal. Richten wir den Punkt erneut auf den Punkt, und die Sekante nimmt eine Grenzposition ein, das heißt, sie wird am Punkt zu einer Tangente an den Funktionsgraphen. Formulieren wir also die letzte Regel:
Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist gleich dem Tangens des Neigungswinkels der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt oder (was dasselbe ist) der Steigung dieser Tangente:

Das ist es geometrische Bedeutung der Ableitung. Okay, das ist alles interessant, aber warum brauchen wir es? Hier Beispiel:
Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion und einer Tangente daran am Abszissenpunkt. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion an einem Punkt.
Lösung.
Wie wir kürzlich herausgefunden haben, ist der Wert der Ableitung am Tangentenpunkt gleich der Steigung der Tangente, die wiederum gleich dem Tangens des Neigungswinkels dieser Tangente zur Abszissenachse ist: . Das heißt, um den Wert der Ableitung zu ermitteln, müssen wir den Tangens des Tangentenwinkels ermitteln. In der Abbildung haben wir zwei auf der Tangente liegende Punkte markiert, deren Koordinaten uns bekannt sind. Lassen Sie uns also die Konstruktion eines rechtwinkligen Dreiecks durch diese Punkte abschließen und den Tangens des Tangentenwinkels ermitteln!

Der Neigungswinkel der Tangente an die Achse beträgt. Finden wir den Tangens dieses Winkels: . Somit ist die Ableitung der Funktion an einem Punkt gleich.
Antwort:. Probieren Sie es jetzt selbst aus:

Antworten:

Wissen geometrische Bedeutung der Ableitung, können wir ganz einfach die Regel erklären, dass die Ableitung am Punkt eines lokalen Maximums oder Minimums gleich Null ist. Tatsächlich ist die Tangente an den Graphen an diesen Punkten „horizontal“, also parallel zur x-Achse:

Wie groß ist der Winkel zwischen parallelen Linien? Natürlich null! Und der Tangens von Null ist auch Null. Die Ableitung ist also gleich Null:

Lesen Sie mehr dazu im Thema „Monotonie von Funktionen“. Extremum-Punkte.“

Konzentrieren wir uns nun auf beliebige Tangenten. Nehmen wir an, wir haben eine Funktion, zum Beispiel . Wir haben seinen Graphen gezeichnet und wollen irgendwann eine Tangente daran zeichnen. Zum Beispiel an einem Punkt. Wir nehmen ein Lineal, befestigen es an der Grafik und zeichnen:

Was wissen wir über diese Linie? Was ist das Wichtigste, was man über eine Linie auf einer Koordinatenebene wissen muss? Denn eine gerade Linie ist ein Bild lineare Funktion, wäre es sehr praktisch, seine Gleichung zu kennen. Das sind die Koeffizienten in der Gleichung

Aber wir wissen es bereits! Dies ist die Steigung der Tangente, die gleich der Ableitung der Funktion an diesem Punkt ist:

In unserem Beispiel wird es so aussehen:

Jetzt müssen wir es nur noch finden. Es ist so einfach wie das Schälen von Birnen: schließlich – der Wert von. Grafisch ist dies die Koordinate des Schnittpunktes der Geraden mit der Ordinatenachse (immerhin an allen Punkten der Achse):

Zeichnen wir es (so dass es rechteckig ist). Dann (auf den gleichen Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse). Was sind und gleich? Die Abbildung zeigt deutlich, dass a. Dann erhalten wir:

Wir kombinieren alle erhaltenen Formeln zu einer Geradengleichung:

Entscheiden Sie jetzt selbst:

1. Finden Tangentengleichung zu einer Funktion an einem Punkt.
2. Die Tangente an eine Parabel schneidet die Achse in einem Winkel. Finden Sie die Gleichung dieser Tangente.
3. Die Gerade verläuft parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.
4. Die Gerade verläuft parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösungen und Antworten:

GLEICHUNG EINES TANGENTEN AN DEN GRAPH EINER FUNKTION. KURZE BESCHREIBUNG UND GRUNDFORMELN

Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist gleich der Tangente der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt oder der Steigung dieser Tangente:

Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion an einem Punkt:

Algorithmus zum Finden der Tangentengleichung:

Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.

Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!

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Aber denken Sie selbst...

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Jobtyp: 7

Zustand

Die Gerade y=3x+2 tangiert den Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist kleiner als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=-12x^2+bx-10, durch den die Tangente an diesen Graphen verläuft.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=-24x_0+b=3. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und Tangente, also -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(Fälle)

Wenn wir dieses System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte kleiner als Null, also x_0=-1, dann b=3+24x_0=-21.

Antwort

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Gerade y=-3x+4 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Der Winkelkoeffizient der Geraden zum Graphen der Funktion y=-x^2+5x-7 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=-2x+5, was y" bedeutet (x_0)=-2x_0+5. Der Winkelkoeffizient der in der Bedingung angegebenen Geraden y=-3x+4 ist gleich -3. Parallele Geraden haben die gleichen Steigungskoeffizienten. Daher finden wir einen Wert x_0, so dass =- 2x_0 +5=-3.

Wir erhalten: x_0 = 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(-6; 2) und B(-1; 1) verläuft. Bezeichnen wir mit C(-6; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=-6 und y=1 und mit \alpha den Winkel ABC (in der Abbildung sieht man, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \pi -\alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse, die stumpf ist.

Bekanntlich ist tg(\pi -\alpha) der Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0. beachte das tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Von hier aus erhalten wir unter Verwendung der Reduktionsformeln: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Gerade y=-2x-4 tangiert den Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12. Finden Sie b, vorausgesetzt, die Abszisse des Tangentenpunkts ist größer als Null.

Lösung

Sei x_0 die Abszisse des Punktes auf dem Graphen der Funktion y=16x^2+bx+12 durch die

ist tangential zu diesem Diagramm.

Der Wert der Ableitung am Punkt x_0 ist gleich der Steigung der Tangente, d. h. y"(x_0)=32x_0+b=-2. Andererseits gehört der Tangentenpunkt gleichzeitig zu beiden Graphen des Funktion und Tangente, also 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Wir erhalten ein Gleichungssystem \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(Fälle)

Wenn wir das System lösen, erhalten wir x_0^2=1, was entweder x_0=-1 oder x_0=1 bedeutet. Gemäß der Abszissenbedingung sind die Tangentenpunkte größer als Null, also x_0=1, dann b=-2-32x_0=-34.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), definiert im Intervall (-2; 8). Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Geraden y=6 verläuft.

Lösung

Die Gerade y=6 verläuft parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse verläuft. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen, gibt es 4 Extrempunkte.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Linie y=4x-6 verläuft parallel zur Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9. Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Lösung

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion y=x^2-4x+9 an einem beliebigen Punkt x_0 ist gleich y"(x_0). Aber y"=2x-4, was y"(x_0)= bedeutet 2x_0-4. Die in der Bedingung angegebene Steigung der Tangente y =4x-7 ist gleich 4. Parallele Linien haben die gleichen Winkelkoeffizienten. Daher finden wir einen Wert von x_0, so dass 2x_0-4 = 4. Wir erhalte: x_0 = 4.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Geometrische Bedeutung von Ableitungen. Tangente an den Graphen einer Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion y=f(x) und die Tangente daran im Punkt mit der Abszisse x_0. Finden Sie den Wert der Ableitung der Funktion f(x) am Punkt x_0.

Lösung

Aus der Abbildung bestimmen wir, dass die Tangente durch die Punkte A(1; 1) und B(5; 4) verläuft. Bezeichnen wir mit C(5; 1) den Schnittpunkt der Geraden x=5 und y=1 und mit \alpha den Winkel BAC (Sie können in der Abbildung sehen, dass er spitz ist). Dann bildet die Gerade AB einen Winkel \alpha mit der positiven Richtung der Ox-Achse.