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IN Einkaufszentrum Zwei identische Maschinen verkaufen Kaffee. Die Maschinen werden abends nach Schließung des Zentrums gewartet. Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Am Abend geht der ersten Maschine der Kaffee aus“ bei 0,25 liegt. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Am Abend geht der zweiten Maschine der Kaffee aus“ ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Maschinen bis zum Abend keinen Kaffee mehr haben, beträgt 0,15. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am Abend noch Kaffee in beiden Maschinen vorhanden ist.

Lösung.

Betrachten Sie die Ereignisse

A = Kaffee geht in der ersten Maschine aus,

B = Kaffee geht in der zweiten Maschine aus.

A B = Kaffee geht in beiden Maschinen aus,

A + B = Kaffee geht in mindestens einer Maschine aus.

Unter der Bedingung P(A) = P(B) = 0,25; P(A·B) = 0,15.

Die Ereignisse A und B sind gemeinsame Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier gemeinsamer Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, reduziert um die Wahrscheinlichkeit ihres Produkts:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit für den umgekehrten Fall, dass der Kaffee in beiden Maschinen verbleibt, 1 − 0,35 = 0,65.

Antwort: 0,65.

Geben wir eine andere Lösung.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kaffee in der ersten Maschine verbleibt, beträgt 1 − 0,25 = 0,75. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kaffee in der zweiten Maschine verbleibt, beträgt 1 − 0,25 = 0,75. Die Wahrscheinlichkeit, dass Kaffee in der ersten oder zweiten Maschine verbleibt, beträgt 1 − 0,15 = 0,85. Da P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B), gilt: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X, woher kommt die erforderliche Wahrscheinlichkeit? X = 0,65.

Notiz.

Beachten Sie, dass die Ereignisse A und B nicht unabhängig sind. Tatsächlich wäre die Wahrscheinlichkeit, unabhängige Ereignisse zu erzeugen, gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, je nach Bedingung beträgt diese Wahrscheinlichkeit jedoch 0,15.

Elena Alexandrowna Popova 10.10.2018 09:57

Ich, außerordentlicher Professor und Kandidat der pädagogischen Wissenschaften, halte es für VOLLSTÄNDIG DUMM UND LÄCHERLICH, AUFGABEN AUF ABHÄNGIGE EREIGNISSE FÜR SCHÜLER EINZUSETZEN. Lehrer KENNEN diesen Abschnitt NICHT – ich wurde eingeladen, bei Lehrerfortbildungen Vorträge im Fernsehen zu halten. Dieser Abschnitt ist nicht im Programm enthalten und kann auch nicht vorhanden sein. Es besteht KEINE NOTWENDIGKEIT, Methoden ohne Begründung zu erfinden. AUFGABEN dieser Art können einfach entfallen. Beschränken Sie sich auf die klassische Definition von Wahrscheinlichkeiten. Ja, und dann studieren Sie es zuerst Schulbücher- Sehen Sie, was die Autoren dazu geschrieben haben. Schauen Sie sich Zubarevas 5. Klasse an. Sie kennt nicht einmal die Symbole und gibt die Wahrscheinlichkeit in Prozent an. Nachdem sie aus solchen Lehrbüchern gelernt haben, glauben Schüler immer noch, dass die Wahrscheinlichkeit ein Prozentsatz ist. Viel interessante Aufgaben zur klassischen Definition von Wahrscheinlichkeiten. Das müssen Schulkinder fragen. Der Empörung der Hochschullehrer über IHRE Dummheit bei der Einführung solcher Aufgaben sind keine Grenzen gesetzt.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie zum Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik kann sowohl in Form einfacher Probleme zur klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit als auch in Form recht komplexer Probleme zur Anwendung der entsprechenden Theoreme dargestellt werden.

In diesem Teil betrachten wir Probleme, für die es ausreicht, die Wahrscheinlichkeitsdefinition zu verwenden. Manchmal verwenden wir hier auch eine Formel, um die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses zu berechnen. Obwohl Sie hier auf diese Formel verzichten können, werden Sie sie bei der Lösung der folgenden Probleme dennoch benötigen.

Theoretischer Teil

Zufällig ist ein Ereignis, das während einer Beobachtung oder eines Tests auftreten kann oder auch nicht (im Voraus nicht vorhersehbar).

Lassen Sie es bei der Durchführung eines Tests (Werfen einer Münze oder eines Würfels, Zeichnen) geschehen Prüfungskarte usw.) sind gleichermaßen mögliche Ergebnisse möglich. Wenn man beispielsweise eine Münze wirft, beträgt die Anzahl aller Ergebnisse 2, da es außer Kopf oder Zahl keine anderen Ergebnisse geben kann. Beim Würfeln sind 6 Ergebnisse möglich, da jede Zahl von 1 bis 6 gleichermaßen auf der Oberseite des Würfels erscheinen kann. Es sei auch möglich, dass ein Ereignis A durch die Ergebnisse begünstigt werde.

Die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl der gleich möglichen Ergebnisse (dies ist die klassische Definition von Wahrscheinlichkeit). Wir schreiben

Angenommen, Ereignis A besteht darin, dass beim Würfeln eine ungerade Anzahl an Punkten erzielt wird. Es gibt insgesamt 6 mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6 auf der Oberseite des Würfels. In diesem Fall sind Ergebnisse mit 1, 3, 5 für Ereignis A günstig. .

Beachten Sie, dass die doppelte Ungleichung immer erfüllt ist, daher liegt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A im Intervall . Wenn Ihre Antwort eine Wahrscheinlichkeit größer als eins hat, bedeutet das, dass Sie irgendwo einen Fehler gemacht haben und die Lösung noch einmal überprüft werden muss.

Die Ereignisse A und B werden aufgerufen Gegenteil einander, wenn ein Ergebnis für genau einen von ihnen günstig ist.

Beim Würfeln beispielsweise ist das Ereignis „Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt“ das Gegenteil des Ereignisses „Es wird eine gerade Zahl gewürfelt“.

Das zu Ereignis A entgegengesetzte Ereignis wird bezeichnet. Aus der Definition gegensätzlicher Ereignisse folgt
, Bedeutet,
.

Probleme bei der Auswahl von Objekten aus einer Menge

Aufgabe 1. An der Weltmeisterschaft nehmen 24 Mannschaften teil. Per Los müssen sie in vier Gruppen zu je sechs Teams eingeteilt werden. In der Schachtel liegen Karten mit gemischten Gruppennummern:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4.

Mannschaftskapitäne ziehen jeweils eine Karte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die russische Mannschaft in der dritten Gruppe sein wird?

Die Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht der Anzahl der Karten – es gibt 24 davon. Es gibt 6 günstige Ergebnisse (da Nummer 3 auf sechs Karten steht). Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich .

Antwort: 0,25.

Aufgabe 2. In einer Urne befinden sich 14 rote, 9 gelbe und 7 grüne Kugeln. Aus der Urne wird zufällig eine Kugel gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Ball gelb ist?

Die Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht der Anzahl der Bälle: 14 + 9 + 7 = 30. Die Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse beträgt 9. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich .

Aufgabe 3. Auf der Telefontastatur gibt es 10 Zahlen von 0 bis 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gedrückte Zahl gerade und größer als 5 ist?

Das Ergebnis hier ist das Drücken einer bestimmten Taste, es gibt also insgesamt 10 gleich mögliche Ergebnisse. Das angegebene Ereignis wird durch Ergebnisse begünstigt, die das Drücken der Taste 6 oder 8 bedeuten. Es gibt zwei solcher Ergebnisse. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,2.

Problem 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte natürliche Zahl von 4 bis 23 durch drei teilbar ist?

Auf dem Segment von 4 bis 23 gibt es 23 – 4 + 1 = 20 natürliche Zahlen, was bedeutet, dass es insgesamt 20 mögliche Ergebnisse gibt. In diesem Segment sind die folgenden Zahlen Vielfache von drei: 6, 9, 12, 15, 18, 21. Es gibt insgesamt 6 solcher Zahlen, sodass das betreffende Ereignis durch 6 Ergebnisse begünstigt wird. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich .

Antwort: 0,3.

Aufgabe 5. Von den 20 in der Prüfung angebotenen Tickets kann der Student nur 17 beantworten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Student das zufällig ausgewählte Ticket nicht beantworten kann?

1. Methode.

Da ein Student 17 Tickets beantworten kann, kann er nicht 3 Tickets beantworten. Die Wahrscheinlichkeit, eines dieser Tickets zu bekommen, ist per Definition gleich.

2. Methode.

Bezeichnen wir mit A das Ereignis „Der Student kann das Ticket beantworten“. Dann . Die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses beträgt =1 – 0,85 = 0,15.

Antwort: 0,15.

Problem 6. In der Meisterschaft rhythmische Gymnastik Es nehmen 20 Athleten teil: 6 aus Russland, 5 aus Deutschland, der Rest aus Frankreich. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der siebte Athlet aus Frankreich stammt.

Insgesamt gibt es 20 Athleten, jeder hat die gleiche Chance, als Siebter anzutreten. Daher gibt es 20 gleichwahrscheinliche Ergebnisse. Es gibt 20 – 6 – 5 = 9 Athleten aus Frankreich, also gibt es 9 positive Ergebnisse für die angegebene Veranstaltung. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,45.

Aufgabe 7. Die wissenschaftliche Konferenz dauert 5 Tage. Insgesamt sind 50 Berichte geplant – die ersten drei Tage umfassen jeweils 12 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den vierten und fünften Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vortrag von Professor N. am letzten Tag der Konferenz stattfinden wird?

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wie viele Berichte für den letzten Tag geplant sind. Für die ersten drei Tage sind Vorträge geplant. Es sind noch 50 – 36 = 14 Berichte übrig, die gleichmäßig auf die verbleibenden zwei Tage verteilt werden, sodass am letzten Tag Berichte geplant sind.

Als Ergebnis betrachten wir die fortlaufende Nummer des Berichts von Professor N. Es gibt 50 solcher gleichwertigen Ergebnisse. Es gibt 7 Ergebnisse, die das angegebene Ereignis begünstigen (die letzten 7 Zahlen in der Liste der Berichte). Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,14.

Aufgabe 8. An Bord des Flugzeugs gibt es 10 Sitzplätze neben den Notausgängen und 15 Sitzplätze hinter den Trennwänden zwischen den Kabinen. Andere Sitzplätze sind für die Passagiere unbequem groß. Passagier K. ist groß. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei der Registrierung bei zufällige Auswahl Passagier K erhält einen bequemen Sitzplatz, wenn das Flugzeug nur 200 Sitzplätze hat.

Das Ergebnis dieser Aufgabe ist die Standortwahl. Insgesamt gibt es 200 gleich mögliche Ergebnisse. Das Ereignis „Der gewählte Ort liegt günstig“ wird durch 15 + 10 = 25 Ergebnisse begünstigt. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,125.

Problem 9. Von 1000 im Werk montierten Kaffeemühlen waren sieben defekt. Ein Experte testet eine zufällig ausgewählte Kaffeemühle aus diesen 1000. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die getestete Kaffeemühle defekt sein wird.

Bei der zufälligen Auswahl einer Kaffeemühle sind 1000 Ergebnisse möglich; Ereignis A „Die ausgewählte Kaffeemühle ist defekt“ hat 7 positive Ergebnisse. Per Definition der Wahrscheinlichkeit.

Antwort: 0,007.

Aufgabe 10. Das Werk produziert Kühlschränke. Im Durchschnitt kommen auf 100 hochwertige Kühlschränke 15 Kühlschränke mit versteckten Mängeln. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der gekaufte Kühlschrank von hoher Qualität ist. Runden Sie das Ergebnis auf das nächste Hundertstel.

Diese Aufgabe ähnelt der vorherigen. Doch die Formulierung „auf 100 hochwertige Kühlschränke kommen 15 mit Mängeln“ zeigt uns das 15 defekte Teile sind nicht in den 100 Qualitätsstücken enthalten. Daher beträgt die Gesamtzahl der Ergebnisse 100 + 15 = 115 (entspricht der Gesamtzahl der Kühlschränke), es gibt 100 günstige Ergebnisse. Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich. Um den ungefähren Wert eines Bruchs zu berechnen, ist es praktisch, die Winkeldivision zu verwenden. Wir erhalten 0,869... also 0,87.

Antwort: 0,87.

Aufgabe 11. Vor Beginn der ersten Runde der Tennismeisterschaft werden die Teilnehmer per Los nach dem Zufallsprinzip in Spielpaare eingeteilt. Insgesamt nehmen 16 Tennisspieler an der Meisterschaft teil, darunter 7 Teilnehmer aus Russland, darunter Maxim Zaitsev. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Maxim Zaitsev in der ersten Runde mit einem beliebigen Tennisspieler aus Russland spielen wird.

Wie bei der vorherigen Aufgabe müssen Sie die Bedingung sorgfältig lesen und verstehen, was ein Ergebnis und was ein günstiges Ergebnis ist (z. B. führt die gedankenlose Anwendung der Wahrscheinlichkeitsformel zu einer falschen Antwort).

Hier ist das Ergebnis der Gegner von Maxim Zaitsev. Da es insgesamt 16 Tennisspieler gibt und Maxim nicht gegen sich selbst spielen kann, gibt es 16 – 1 = 15 gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Ein günstiger Ausgang ist ein Gegner aus Russland. Es gibt 7 – 1 = 6 solcher günstigen Ergebnisse (wir schließen Maxim selbst aus der Zahl der Russen aus). Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Antwort: 0,4.

Aufgabe 12. Die Fußballabteilung wird von 33 Personen besucht, darunter zwei Brüder – Anton und Dmitry. Die Teilnehmer der Sektion werden nach dem Zufallsprinzip in drei Teams zu je 11 Personen aufgeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anton und Dmitry im selben Team sind.

Wir werden Teams bilden und die Spieler nacheinander auf die freien Plätze setzen, beginnend mit Anton und Dmitry. Platzieren wir zunächst Anton auf einem zufällig ausgewählten Platz aus den 33 freien Plätzen. Jetzt platzieren wir Dmitry auf dem freien Platz (wir werden davon ausgehen, dass die Wahl eines Platzes für ihn das Ergebnis sein wird). Insgesamt gibt es 32 freie Plätze (Anton hat bereits einen belegt), also insgesamt 32 mögliche Ausgänge. Im selben Team wie Anton sind noch 10 freie Plätze übrig, daher wird das Event „Anton und Dmitry im selben Team“ durch 10 Ergebnisse begünstigt. Die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses beträgt .

Antwort: 0,3125.

Aufgabe 13. Mechanische Uhren Mit einem Zwölf-Stunden-Zifferblatt gingen sie irgendwann kaputt und funktionierten nicht mehr. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Stundenzeiger eingefroren ist und 11 Uhr erreicht, aber nicht 2 Uhr.

Herkömmlicherweise kann das Zifferblatt in 12 Sektoren unterteilt werden, die sich zwischen den Markierungen benachbarter Zahlen befinden (zwischen 12 und 1, 1 und 2, 2 und 3, ..., 11 und 12). Als Ergebnis betrachten wir den Stopp des Uhrzeigers in einem der angegebenen Sektoren. Es gibt insgesamt 12 gleich mögliche Ergebnisse. Dieses Ereignis wird durch drei Ergebnisse begünstigt (Sektoren zwischen 11 und 12, 12 und 1, 1 und 2). Die erforderliche Wahrscheinlichkeit ist gleich .

Antwort: 0,25.

Zusammenfassen

Nach dem Studium des Materials zur Lösung einfacher Probleme in der Wahrscheinlichkeitstheorie empfehle ich, die Aufgaben zur eigenständigen Lösung zu erledigen, die wir auf veröffentlichen unserem Telegram-Kanal. Sie können auch überprüfen, ob sie korrekt ausgefüllt sind, indem Sie Ihre eingeben Antworten im bereitgestellten Formular.

Vielen Dank, dass Sie den Artikel in den sozialen Netzwerken geteilt haben.

Quelle „Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Mathematik. Wahrscheinlichkeitstheorie.“ Herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabuchowa

Auf den neuesten Stand gebracht offenes Glas Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (mathege.ru), deren Lösung nur auf einer Formel basiert, nämlich der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit.

Am einfachsten lässt sich die Formel anhand von Beispielen verstehen.
Beispiel 1. Im Korb befinden sich 9 rote und 3 blaue Bälle. Die Kugeln unterscheiden sich lediglich in der Farbe. Wir nehmen wahllos (ohne hinzusehen) einen davon heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der so ausgewählte Ball blau ist?

Ein Kommentar. Bei Wahrscheinlichkeitsproblemen passiert etwas (in diesem Fall unsere Aktion, den Ball zu ziehen), das passieren kann anderes Ergebnis- Ergebnis. Es ist zu beachten, dass das Ergebnis unterschiedlich betrachtet werden kann. „Wir haben eine Art Ball rausgeholt“ ist auch ein Ergebnis. „Wir haben den blauen Ball herausgezogen“ – das Ergebnis. „Wir haben aus allen möglichen Bällen genau diesen herausgezogen“ – diese am wenigsten verallgemeinerte Sicht auf das Ergebnis nennt man Elementarergebnis. In der Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit sind die elementaren Ergebnisse gemeint.

Lösung. Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, den blauen Ball zu wählen.
Ereignis A: „Der ausgewählte Ball war blau“
Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse: 9+3=12 (die Anzahl aller Kugeln, die wir ziehen konnten)
Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse: 3 (die Anzahl solcher Ergebnisse, bei denen Ereignis A eintrat – d. h. die Anzahl der blauen Kugeln)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Antwort: 0,25

Berechnen wir für dasselbe Problem die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu wählen.
Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bleibt gleich, 12. Anzahl der günstigen Ergebnisse: 9. Angestrebte Wahrscheinlichkeit: 9/12=3/4=0,75

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.
Manchmal wird in der Alltagssprache (aber nicht in der Wahrscheinlichkeitstheorie!) die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Prozent geschätzt. Der Übergang zwischen Mathematik- und Konversationsergebnissen erfolgt durch Multiplikation (oder Division) mit 100 %.
Also,
Darüber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse, die nicht eintreten können, Null – unglaublich. In unserem Beispiel wäre dies beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Ball aus dem Korb zu ziehen. (Die Anzahl der günstigen Ergebnisse beträgt 0, P(A)=0/12=0, wenn mit der Formel berechnet)
Wahrscheinlichkeit 1 hat Ereignisse, die mit absoluter Sicherheit eintreten, ohne Optionen. Für unsere Aufgabe gilt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass „der ausgewählte Ball entweder rot oder blau sein wird“. (Anzahl der günstigen Ergebnisse: 12, P(A)=12/12=1)

Wir haben uns ein klassisches Beispiel angesehen, das die Definition der Wahrscheinlichkeit veranschaulicht. Alle ähnlichen Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden mit dieser Formel gelöst.
Anstelle der roten und blauen Kugeln können Äpfel und Birnen, Jungen und Mädchen, gelernte und ungelernte Tickets, Tickets mit und ohne Frage zu einem Thema (Prototypen), defekte und hochwertige Taschen oder Gartenpumpen (Prototypen) stehen ,) - das Prinzip bleibt gleich.

Sie unterscheiden sich geringfügig in der Formulierung des Problems der Wahrscheinlichkeitstheorie des Einheitlichen Staatsexamens, bei dem es darum geht, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses an einem bestimmten Tag zu berechnen. ( , ) Wie bei den vorherigen Problemen müssen Sie das elementare Ergebnis bestimmen und dann dieselbe Formel anwenden.

Beispiel 2. Die Konferenz dauert drei Tage. Am ersten und zweiten Tag gibt es 15 Redner, am dritten Tag 20. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor M. am dritten Tag fällt, wenn die Reihenfolge der Berichte durch das Los bestimmt wird?

Was ist hier das grundlegende Ergebnis? – Dem Bericht des Professors eine der möglichen fortlaufenden Nummern für die Rede zuweisen. An der Verlosung nehmen 15+15+20=50 Personen teil. Somit kann der Bericht von Professor M. eine von 50 Ausgaben erhalten. Das bedeutet, dass es nur 50 elementare Ergebnisse gibt.
Was sind die positiven Ergebnisse? - Diejenigen, bei denen sich herausstellt, dass der Professor am dritten Tag sprechen wird. Das heißt, die letzten 20 Zahlen.
Gemäß der Formel beträgt die Wahrscheinlichkeit P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Antwort: 0,4

Die Auslosung stellt hier die Herstellung einer zufälligen Korrespondenz zwischen Personen und geordneten Orten dar. In Beispiel 2 wurde die Korrespondenzherstellung unter dem Gesichtspunkt betrachtet, welcher der Plätze belegt werden könnte besondere Person. Man kann die gleiche Situation auch von der anderen Seite angehen: Welche der Personen könnte mit welcher Wahrscheinlichkeit an einen bestimmten Ort gelangen (Prototypen , , , ):

Beispiel 3. An der Auslosung nehmen 5 Deutsche, 8 Franzosen und 3 Esten teil. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste (/zweite/siebte/letzte – egal) ein Franzose sein wird?

Die Anzahl der Elementarergebnisse ist die Anzahl aller möglichen Personen, die durch das Los an einen bestimmten Ort gelangen könnten. 5+8+3=16 Personen.
Günstige Ergebnisse – Französisch. 8 Personen.
Erforderliche Wahrscheinlichkeit: 8/16=1/2=0,5
Antwort: 0,5

Der Prototyp ist etwas anders. Es gibt immer noch Probleme mit Münzen () und Würfel(), etwas kreativer. Die Lösung dieser Probleme finden Sie auf den Prototypenseiten.

Hier sind einige Beispiele für das Werfen einer Münze oder eines Würfels.

Beispiel 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Werfen einer Münze auf dem Kopf landen?
Es gibt zwei Ergebnisse: Kopf oder Zahl. (Es wird angenommen, dass die Münze nie auf der Kante landet) Ein günstiges Ergebnis ist Zahl, 1.
Wahrscheinlichkeit 1/2=0,5
Antwort: 0,5.

Beispiel 5. Was wäre, wenn wir eine Münze zweimal werfen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beide Male Kopf zu bekommen?
Die Hauptsache besteht darin, zu bestimmen, welche elementaren Ergebnisse wir beim Werfen zweier Münzen berücksichtigen. Nach dem Werfen von zwei Münzen kann eines der folgenden Ergebnisse auftreten:
1) PP – beide Male gab es Kopf
2) PO – beim ersten Mal Kopf, beim zweiten Mal Kopf
3) OP – Kopf beim ersten Mal, Zahl beim zweiten Mal
4) OO – beide Male kamen Köpfe hoch
Es gibt keine anderen Optionen. Dies bedeutet, dass es 4 elementare Ergebnisse gibt. Nur das erste, 1, ist günstig.
Wahrscheinlichkeit: 1/4=0,25
Antwort: 0,25

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe „Zahl“ ergeben?
Die Anzahl der elementaren Ergebnisse ist gleich, 4. Günstige Ergebnisse sind das zweite und dritte, 2.
Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen: 2/4=0,5

Bei solchen Problemen kann eine andere Formel nützlich sein.
Wenn während eines Münzwurfs Möglichkeiten Wir haben 2 Ergebnisse, dann sind die Ergebnisse für zwei Würfe 2 2 = 2 2 = 4 (wie in Beispiel 5), für drei Würfe 2 2 2 = 2 3 = 8, für vier: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... für N Würfe sind die möglichen Ergebnisse 2·2·...·2=2 N .

So können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, bei 5 Münzwürfen 5 Köpfe zu bekommen.
Gesamtzahl der Elementarergebnisse: 2 5 =32.
Günstige Ergebnisse: 1. (RRRRRR – Kopf alle 5 Mal)
Wahrscheinlichkeit: 1/32=0,03125

Dasselbe gilt auch für Würfel. Bei einem Wurf gibt es also 6 mögliche Ergebnisse: 6 6 = 36, bei drei 6 6 6 = 216 usw.

Beispiel 6. Wir würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird?

Gesamtergebnisse: 6, entsprechend der Anzahl der Seiten.
Günstig: 3 Ergebnisse. (2, 4, 6)
Wahrscheinlichkeit: 3/6=0,5

Beispiel 7. Wir würfeln mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 beträgt? (auf das nächste Hundertstel runden)

Für einen Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse. Das bedeutet, dass für zwei nach obiger Regel 6·6=36 gilt.
Welche Ergebnisse sind günstig, damit die Gesamtsumme 10 ergibt?
10 muss in die Summe zweier Zahlen von 1 bis 6 zerlegt werden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen: 10=6+4 und 10=5+5. Das bedeutet, dass für die Würfel folgende Optionen möglich sind:
(6 beim ersten und 4 beim zweiten)
(4 beim ersten und 6 beim zweiten)
(5 beim ersten und 5 beim zweiten)
Insgesamt 3 Optionen. Erforderliche Wahrscheinlichkeit: 3/36=1/12=0,08
Antwort: 0,08

Andere Arten von B6-Problemen werden in einem zukünftigen Artikel zur Lösung besprochen.

In einer Keramikfliesenfabrik weisen 5 % der produzierten Fliesen einen Defekt auf. Bei der Produktqualitätskontrolle werden nur 40 % der defekten Fliesen erkannt. Die restlichen Fliesen werden zum Verkauf angeboten. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine beim Kauf zufällig ausgewählte Fliese keine Mängel aufweist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

Lösung

Bei der Produktqualitätskontrolle werden 40 % fehlerhafte Fliesen identifiziert, die 5 % der produzierten Fliesen ausmachen und nicht in den Verkauf gelangen. Das bedeutet, dass 0,4 · 5 % = 2 % der produzierten Fliesen nicht in den Verkauf gelangen. Der Rest der produzierten Fliesen – 100 % – 2 % = 98 % – kommt in den Verkauf.

100 % – 95 % der produzierten Fliesen sind fehlerfrei. Die Wahrscheinlichkeit, dass die gekaufte Fliese keinen Mangel aufweist, liegt bei 95 %: 98 % = \frac(95)(98)\ca. 0,97

Antwort

Zustand

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Akku nicht geladen ist, beträgt 0,15. Ein Kunde kauft in einem Geschäft ein zufälliges Paket, das zwei dieser Batterien enthält. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Akkus in diesem Paket geladen werden.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Akku geladen ist, beträgt 1-0,15 = 0,85. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „beide Batterien sind geladen“ ermitteln. Bezeichnen wir mit A und B die Ereignisse „der erste Akku ist geladen“ und „der zweite Akku ist geladen“. Wir haben P(A) = P(B) = 0,85. Das Ereignis „beide Batterien sind geladen“ ist der Schnittpunkt der Ereignisse A \cap B, seine Wahrscheinlichkeit ist gleich P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Wahrscheinlichkeit, dass neu Waschmaschine wird innerhalb eines Jahres zur Garantiereparatur eingereicht, entsprechend 0,065. In einer bestimmten Stadt wurden im Laufe des Jahres 1.200 Waschmaschinen verkauft, von denen 72 an die Garantiewerkstatt geliefert wurden. Bestimmen Sie, wie unterschiedlich die relative Häufigkeit des Auftretens des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt ist?

Lösung

Die Häufigkeit des Ereignisses „Die Waschmaschine wird innerhalb eines Jahres im Rahmen der Garantie repariert“ ist gleich \frac(72)(1200) = 0,06. Sie unterscheidet sich von der Wahrscheinlichkeit um 0,065-0,06=0,005.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Stift defekt ist, beträgt 0,05. Ein Kunde in einem Geschäft kauft ein zufälliges Paket, das zwei Stifte enthält. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Stifte in dieser Packung gut sind.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Griff funktioniert, beträgt 1-0,05 = 0,95. Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Beide Griffe funktionieren“ ermitteln. Bezeichnen wir mit A und B die Ereignisse „der erste Griff funktioniert“ und „der zweite Griff funktioniert“. Wir haben P(A) = P(B) = 0,95. Das Ereignis „beide Griffe funktionieren“ ist der Schnittpunkt der Ereignisse A\cap B, seine Wahrscheinlichkeit ist gleich P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

Das Bild zeigt ein Labyrinth. Der Käfer kriecht am „Eingang“ in das Labyrinth. Der Käfer kann sich nicht umdrehen und in die entgegengesetzte Richtung kriechen, also wählt er an jeder Weggabelung einen der Wege, auf denen er noch nicht gewesen ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt der Käfer zum Ausgang D, wenn die Wahl getroffen wird? weiterer Weg ist zufällig.

Lösung

Platzieren wir Pfeile an Kreuzungen in den Richtungen, in die sich der Käfer bewegen kann (siehe Abbildung).

An jeder Kreuzung wählen wir eine von zwei möglichen Richtungen und gehen davon aus, dass sich der Käfer bei Erreichen der Kreuzung in die von uns gewählte Richtung bewegt.

Damit der Käfer den Ausgang D erreichen kann, muss an jeder Kreuzung die durch die durchgezogene rote Linie angezeigte Richtung gewählt werden. Insgesamt wird die Richtungswahl viermal getroffen, jedes Mal unabhängig von der vorherigen Wahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass der durchgezogene rote Pfeil jedes Mal ausgewählt wird, beträgt \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Zustand

In der Sektion gibt es 16 Athleten, darunter zwei Freundinnen – Olya und Masha. Die Athleten werden nach dem Zufallsprinzip 4 gleich großen Gruppen zugeteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Olya und Masha in derselben Gruppe landen.