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Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:

1 Folie

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Schlüsselaufgaben in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbereitung auf die OGE Nr. 9 MBOU „Gymnasium Nr. 4 benannt nach. ALS. Puschkin“ Autor-Compiler: Sofina N.Yu.

2 Folie

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Grundlegende nachweisbare Anforderungen für mathematische Ausbildung Nr. 9 OGE in Mathematik lösen praktische Probleme, was eine systematische Suche nach Optionen erfordert; Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens zufälliger Ereignisse, bewerten Sie die Wahrscheinlichkeiten eines zufälligen Ereignisses, vergleichen und erforschen Sie Modelle der realen Situation mithilfe des Wahrscheinlichkeits- und Statistikapparats. Nr. 9 – Grundaufgabe. Die maximale Punktzahl für die Erledigung der Aufgabe beträgt 1.

3 Folie

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Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl n aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Ereignisse, die als Ergebnis eines Tests oder einer Beobachtung auftreten können. Erinnern wir uns an die Formel zur Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses P = n m

4 Folie

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Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Beispiel: Das Elternkomitee kaufte 40 Malbücher für Kinder als Abschlussgeschenke Schuljahr. Davon basieren 14 auf Märchen von A.S. Puschkin und 26 basierend auf den Märchen von S. H. Andersen. Die Geschenke werden nach dem Zufallsprinzip verteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Nastya ein Malbuch nach den Märchen von A.S. erhält. Puschkin. Lösung: m= 14; n= 14 +26=40 P= 14/40= 0,35 Antwort: 0,35.

5 Folie

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Beispiel: Für die Prüfung gab es 60 Fragen. Drei davon hat Ivan nicht gelernt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auf die gelernte Frage stößt. Lösung: Hier ist n=60. Ivan hat 3 nicht gelernt, was bedeutet, dass er alle anderen gelernt hat, d. h. m= 60-3=57. P=57/60=0,95. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Antwort: 0,95.

6 Folie

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„Die Reihenfolge wird durch das Los bestimmt“ Beispiel: An der Turnmeisterschaft nehmen 20 Sportler teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der fünftplatzierte Athlet aus China stammt. Lösung: In der Problemstellung gibt es ein „Zauberwort“ „lot“, was bedeutet, dass wir die Reihenfolge der Präsentation vergessen. Somit ist m= 20-8-7=5 (aus China); n=20. P = 5/20 = 0,25. Antwort: 0,25.

7 Folie

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Beispiel: Eine wissenschaftliche Konferenz findet über 5 Tage statt. Insgesamt sind 75 geplant Berichte - zuerst 3 Tage mit 17 Berichten, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den 4. und 5. Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor Ivanov am letzten Tag der Konferenz stattfinden wird? Lösung: Tragen wir die Daten in eine Tabelle ein. Wir haben herausgefunden, dass m=12; n=75. P=12/75=0,16. Antwort: 0,16. „Die Reihenfolge wird durch das Los bestimmt“ Tag I II III IV V Gesamtzahl der Meldungen 17 17 17 12 12 75

8 Folie

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Häufigkeit eines Ereignisses Ebenso wie die Wahrscheinlichkeit wird auch die Häufigkeit eines Ereignisses ermittelt, für die es auch in den Prototypen Aufgaben gibt. Was ist der Unterschied? Wahrscheinlichkeit ist ein vorhergesagter Wert und Häufigkeit ist eine Tatsachenfeststellung. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Tablet innerhalb eines Jahres im Rahmen der Garantie repariert wird, beträgt 0,045. In einer bestimmten Stadt gingen von 1.000 im Laufe des Jahres verkauften Tablets 51 Einheiten in der Garantiewerkstatt ein. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt? Lösung: Finden wir die Häufigkeit des Ereignisses: 51/1000=0,051. Und die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,045 (je nach Zustand). Das bedeutet, dass in dieser Stadt das Ereignis „Garantiereparatur“ häufiger auftritt als erwartet. Finden wir die Differenz ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Gleichzeitig müssen wir berücksichtigen, dass für uns NICHT das Vorzeichen der Differenz wichtig ist, sondern nur ihr absoluter Wert. Antwort: 0,006.

Folie 9

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Probleme beim Aufzählen von Optionen („Münzen“, „Streichhölzer“) Sei k die Anzahl der Münzwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 2k. Beispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen. Lösung: Münzwurfoptionen: OO; ODER; RR; RO. Somit ist n=4. Günstige Ergebnisse: RR und RO. Das heißt, m= 2. P=2/4 = 1/2 = 0,5. Antwort: 0,5.

10 Folie

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Beispiel: Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um festzustellen, welche Mannschaft den ersten Ballbesitz hat. Das Team „Merkur“ spielt abwechselnd mit den Teams „Mars“, „Jupiter“ und „Uranus“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Mercury-Team in allen Spielen den Ball gewinnt? Probleme beim Aufzählen von Optionen („Münzen“, „Streichhölzer“) Lösung: Bezeichnen wir den Besitz des ersten Balls der Mannschaft „Mercury“ in einem Spiel mit einer der anderen drei Mannschaften als „Zahl“. Dann ist das Recht auf Besitz des zweiten Balls dieser Mannschaft „Eagle“. Schreiben wir also alle möglichen Ergebnisse auf, wenn wir dreimal eine Münze werfen. „O“ steht für Kopf, „P“ für Zahl. ; d. h. n=8; m=1. P=1/8=0,125. Antwort: 0,125 n = 23 „Mars“ „Jupiter“ „Uranus“ O O O O O R O R O R O R R R R O O R O R R R R

11 Folie

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Probleme mit „Würfeln“ ( Würfel) Sei k die Anzahl der Würfelwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 6k. Beispiel: Dascha würfelt zweimal. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie insgesamt 8 Punkte erhält. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. Antwort: 0,14. Lösung: Die beiden Würfel sollten zusammen 8 Punkte ergeben. Dies ist möglich, wenn folgende Kombinationen vorliegen: 2 und 6 6 und 2 3 und 5 5 und 3 4 und 4 m= 5 (5 geeignete Kombinationen) n =36 P= 5/36 = 0,13(8)

12 Folie

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Unabhängige Ereignisse und das Gesetz der Multiplikation Die Wahrscheinlichkeit, sowohl das 1., 2. als auch das n-te Ereignis zu finden, wird durch die Formel ermittelt: P = P1*P2*…*Pn Beispiel: Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Ziele die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden Male verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. Antwort: 0,02. Lösung: Das Ergebnis jedes nächsten Schusses hängt nicht von den vorherigen ab. Daher sind die Ereignisse „Treffen beim ersten Schuss“, „Treffen beim zweiten Schuss“ usw. unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit jedes Treffers beträgt 0,8. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags 1 – 0,8 = 0,2 beträgt. 1. Schuss: 0,8 2. Schuss: 0,8 3. Schuss: 0,8 4. Schuss: 0,2 5. Schuss: 0,2 Mit der Formel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse erhalten wir: P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.

Folie 13

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Kombinationen aus „und“-Gesetzen und „oder“-Gesetzen Beispiel: Ein Büro kauft Büromaterial für Mitarbeiter von drei verschiedenen Unternehmen. Darüber hinaus machen die Produkte des 1. Unternehmens 40 % aller Lieferungen aus, die restlichen 2 – gleichermaßen. Es stellte sich heraus, dass 2 % der Stifte der 2. Firma defekt waren. Die Mängelquote im 1. und 3. Unternehmen beträgt 1 % bzw. 3 %. Mitarbeiter A nahm einen Stift aus einem neuen Vorrat. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es funktioniert. Lösung: Die Produkte von 2 und 3 Unternehmen sind (100 % -40 %): 2 = 30 % der Lieferungen. P(Ehe)= 0,4·0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. P(gebrauchsfähige Griffe) = 1- 0,019 = 0,981. Antwort: 0,981.

Einfache Aufgaben

Auf dem Tisch liegen 25 Kuchen: 7 mit Marmelade, 9 mit Kartoffeln, der Rest mit Kohl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Kuchen Kohl enthält?

0,36

Das Taxi betreibt 40 Autos: 14 sind Lada, 8 Renault, 2 Mercedes und der Rest sind Skoda. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mercedes zu Ihrem Anruf kommt?

0,05

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln eine Augenzahl von mindestens drei erhalten.

Ira, Dima, Vasya, Natasha und Andrey bestehen die 60-Meter-Laufnorm. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen am schnellsten läuft?

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in einem unterirdischen Gang gekauftes Telefon gefälscht ist, beträgt 0,83. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das während der Umstellung gekaufte Telefon keine Fälschung ist?

0,17

Am Basketballturnier nehmen 20 Mannschaften teil, darunter auch die „Männer“-Mannschaft. Alle Mannschaften werden in 4 Gruppen eingeteilt: A, B, C, D. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die „Männer“-Mannschaft in Gruppe A sein wird?

0,25

Die Lotterietüte enthält Fässer mit Zahlen von 5 bis einschließlich 94. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus dem Beutel entnommenes Fass enthält zweistellige Zahl? Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,94

Vor der Prüfung wartete Igor bis zur letzten Minute und schaffte es, nur 5 von 80 Tickets zu lernen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er ein auswendig gelerntes Ticket bekommt.

0,0625

Anya schaltet das Radio ein und wählt zufällig eine Radiowelle aus. Insgesamt empfängt ihr Funkempfänger 20 Funkwellen und nur 7 davon empfangen dieser Moment Musik spielt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Anya auf die musikalische Welle trifft.

0,35

Jede zwanzigste Limonadenflasche enthält einen unter dem Verschluss versteckten Gewinncode. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter dem Verschluss der gekauften Flasche ein Gewinncode befindet.

0,05

Schwierigere Aufgaben

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte dreistellige Zahl durch 5 teilbar ist?

0,2

Die Körpergröße (in cm) von fünf Schülern wird erfasst: 166, 158, 132, 136, 170. Wie stark weicht das arithmetische Mittel dieser Zahlenmenge von ihrem Median ab?

Statistiken aus einem kleinen Land zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind ein Junge zur Welt kommt, bei 0,507 liegt. Im Jahr 2017 kamen hierzulande durchschnittlich 486 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Zahl der weiblichen Geburten im Jahr 2017 hierzulande von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

0,007

Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der beiden gezogenen Zahlen 3 oder 7 beträgt. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,22

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte dreistellige Zahl durch 2 teilbar ist?

0,5

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe genau einmal „Kopf“ ergeben.

0,5

Wird der Würfel zweimal geworfen, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die gewürfelte Zahl beide Male mindestens drei beträgt. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

0,31

Statistiken aus einem kleinen Land zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind ein Junge zur Welt kommt, bei 0,594 liegt. Im Jahr 2017 kamen hierzulande durchschnittlich 513 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Zahl der weiblichen Geburten im Jahr 2017 hierzulande von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

0,107

Die Körpergröße (in cm) von fünf Schülern wird erfasst: 184, 145, 176, 192, 174. Wie unterschiedlich ist das arithmetische Mittel dieser Zahlenmenge von ihrem Median?

1,8

Die durchschnittliche Körpergröße der Bewohner des Dorfes „Riesen“ beträgt 194 cm. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

1) Einer der Dorfbewohner muss 194 cm groß sein.

2) Nikolai Petrowitsch ist der größte Bewohner des Dorfes.

3) Es wird auf jeden Fall mindestens einen Mann aus diesem Dorf geben, der niedriger ist als Nikolai Petrowitsch.

4) Es wird auf jeden Fall mindestens einen Einwohner aus diesem Dorf geben, der niedriger ist als Nikolai Petrowitsch.

4

Schwierige Aufgaben

Der Schütze feuert viermal mit einer Waffe auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, dass es das Ziel mit einem Schuss genau trifft, beträgt 0,5. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze das Ziel die ersten beiden Male getroffen und die letzten beiden Male verfehlt hat.

0,0625

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Batterie defekt ist, liegt bei 0,05. Ein Käufer in einem Geschäft wählt ein zufälliges Paket mit zwei Batterien aus. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Batterien in Ordnung sind.

0,9025

Der Schütze schießt fünfmal hintereinander auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel beim Abfeuern zu treffen, beträgt 0,7. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Schütze die Ziele die ersten vier Mal getroffen hat, und das letzte Mal verpasst. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung passieren, können in drei Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die definitiv eintreten werden, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d. h. Ereignisse, die eintreten können oder auch nicht. Dieser Artikel wird in vorgestellt in Kürze Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in Aufgabe 4 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Profilniveau) enthalten sein werden.

Warum brauchen wir Wahrscheinlichkeitstheorie?

Historisch gesehen entstand die Notwendigkeit, diese Probleme im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung zu untersuchen Glücksspiel und die Entstehung von Casinos. Dies war ein reales Phänomen, das eigene Studien und Forschungen erforderte.

Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl gleich möglicher Ereignisse eintreten konnte. Es bestand Bedarf an numerischen Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses.

Im 20. Jahrhundert wurde klar, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle beim Verständnis der grundlegenden Prozesse im Mikrokosmos spielt. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie

Gegenstand des Studiums der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn ein Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu ermitteln sind.

Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet und besteht darin, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder die Ereignisse A und B gleichzeitig aufgetreten sind.

Das Produkt der Ereignisse A und B ist ein Ereignis C, was bedeutet, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eingetreten sind.

Die Ereignisse A und B werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.

Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es sicher eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.

Jedem Ereignis A sei eine Zahl P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, wenn die folgenden Bedingungen mit dieser Entsprechung erfüllt sind.

Ein wichtiger Sonderfall ist der Fall, dass gleichwahrscheinliche Elementarausgänge vorliegen und beliebige dieser Ausfälle Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit über die Formel eingegeben werden. Die auf diese Weise eingeführte Wahrscheinlichkeit wird klassische Wahrscheinlichkeit genannt. Es kann nachgewiesen werden, dass in diesem Fall die Eigenschaften 1-4 erfüllt sind.

Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auftreten, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie Demo-Optionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen; die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.

Die Antwort erhalten wir mit der Formel.

Ein Beispiel für eine Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung

Auf dem Tisch liegen 20 Kuchen – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina will den Kuchen essen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?

Lösung.

Es gibt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina die Reistorte nehmen wird, das heißt, wobei A die Wahl der Reistorte ist. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Auswahl an Kuchen mit Reis) nur 8 beträgt. Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:

Unabhängige, gegensätzliche und willkürliche Ereignisse

Allerdings in offenes Glas Es traten komplexere Aufgaben auf. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Themen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.

Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt.

Ereignis B bedeutet, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d. h. Ereignis B ist das Gegenteil von Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .

Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze, Formeln

Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .

Für die unabhängigen Ereignisse A und B ist die Eintrittswahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d.h. in diesem Fall .

Die letzten beiden Aussagen werden als Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bezeichnet.

Die Anzahl der Ergebnisse zu zählen ist nicht immer so einfach. In manchen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. In diesem Fall ist es am wichtigsten, die Anzahl der erfüllten Ereignisse zu zählen bestimmte Bedingungen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.

Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Für den dritten Studierenden sind noch 4 Plätze frei, für den vierten 3, für den fünften 2 und der sechste wird den einzigen verbleibenden Platz einnehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lautet „sechs Fakultäten“.

Im allgemeinen Fall ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen.

Betrachten wir nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können zwei Schüler auf sechs freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden.

Im Allgemeinen wird die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen über k Elementen gegeben

In unserem Fall .

Und der letzte Fall dieser Serie. Auf wie viele Arten kann man drei von sechs Schülern auswählen? Der erste Schüler kann auf sechs Arten ausgewählt werden, der zweite auf fünf Arten und der dritte auf vier Arten. Aber unter diesen Optionen tauchen dieselben drei Schüler sechsmal auf. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie den Wert berechnen: . Im Allgemeinen ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Elementkombinationen pro Element:

In unserem Fall .

Beispiele für die Lösung von Problemen aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit

Aufgabe 1. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

Auf dem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er am Ende eine Kirsche bekommt.

.

Antwort: 0,3.

Aufgabe 2. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.

In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert.

Lösung: Die Anzahl der funktionierenden Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert:

Antwort: 0,98.

Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler U. bei einer Mathe-Prüfung mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 9 Probleme richtig löst.

Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. wird genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Aufgaben richtig lösen“, gilt jedoch nicht für die Bedingung „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen.“

Die Bedingung „U. wird mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen.“ Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „U. wird genau 9 Probleme richtig lösen“ – durch A, „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen“ – durch B, „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen“ durch C. Diese Lösung wird so aussehen:

Antwort: 0,06.

Bei einer Geometrieprüfung beantwortet ein Student eine Frage aus einer Liste von Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Trigonometriefrage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.

Denken wir darüber nach, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, entweder bezieht sich die Frage auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Gemäß dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses. Wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ermitteln, das heißt:

Antwort: 0,35.

Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,29. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.

Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder auch nicht. Es handelt sich um eigenständige Veranstaltungen.

Dann zeigen wir die Möglichkeiten für solche Veranstaltungen auf. Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und direkt daneben berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne ist durchgebrannt“, „die Glühbirne ist an“, „die Glühbirne ist an“ aufgetreten: , wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „die Glühbirne.“ ist an“ wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet, das dem Ereignis „Die Glühbirne ist nicht an“ entgegengesetzt ist, nämlich: .

Jeder Bildungskomplex

Wahrscheinlichkeitstheorie

für die OGE und das Einheitliche Staatsexamen

Altai-Territorium

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

mit Würfeln

(Würfel)

1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln (Würfel) eine ungerade Punktzahl erhalten.

Die Lösung des Problems:

Ungerade Zahl – 3 (1; 3; 5)

Antwort: P=0,5

2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln weniger als 4 Punkte erhalten.

Die Lösung des Problems:

Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)

Weniger als 4 Punkte – 3 (1; 2; 3)

Antwort: P=0,5

3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln mehr als 3 Punkte erhalten.

Die Lösung des Problems:

Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)

Mehr als 3 Punkte – 3 (4; 5; 6)

Antwort: P=0,5

4 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln mehr als 2 Punkte erhalten. Runden Sie Ihre Antwort auf Zehntel.

Die Lösung des Problems:

Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)

Mehr als 2 Punkte – 2 (3; 4; 5; 6)

P = 4:6 = 0,66...

Antwort: P=0,7

5. Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier gezogener Zahlen ungerade ist.

Die Lösung des Problems:

Der Betrag ist ungerade, wenn: 1) er zum ersten Mal erscheint seltsam Nummer und in der zweiten sogar. 2) zum ersten Mal - sogar, und das zweite Mal seltsam .

1) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.

3:6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.

0,5 · 0,5 = 0,25 – weil Diese beiden Ereignisse müssen zusammen stattfinden. 2) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.

3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.

0,5 · 0,5 = 0,25 – weil Diese beiden Ereignisse müssen zusammen stattfinden.

3) 0,25 + 0,25 = 0,5

Antwort: P=0,5

6. Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größere der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Die Lösung des Problems:

1) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 1, oder 2, oder 3, oder 4, oder 5, und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 5. 2) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 5 und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 5 erhält eine 1, eine 2, eine 3, eine 4 oder eine 5

• 5: 6 = 5/6 – Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln; 2; 3; 4; 5

5/6 · 1/6 = 5/36 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

• 1: 6 = 1/6 – Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln

5: 6 = 5/6 – Wahrscheinlichkeit, 1 zu würfeln; 2; 3; 4; 5

1/6 · 5/6 = 5/36 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

• 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…

Antwort: 0,3

7. Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 3 mindestens einmal gewürfelt wird.

Die Lösung des Problems:

1) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 1, 2 oder 3 und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 4; oder 5 oder 6 2) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf ist das Ergebnis 1, oder 2, oder 3. 3) Beim ersten Wurf ist das Ergebnis 4; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf erhalten Sie 4, oder 5 oder 6.

2) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6

3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, 1 zu würfeln; 2; 3

0,5 · 0,5 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

3) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6

3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6

0,5 · 0,5 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten

4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Antwort: 0,75

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

mit Münzen

8. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 1 mal .

Die Lösung des Problems: Lassen Sie uns die Anzahl der möglichen Ergebnisse ermitteln und alle möglichen Würfe durchgehen. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen und alle Optionen zeigen:

2: 4 = 0,5 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.

2) Antwort: 0,5

9. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen dreimal .

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 Wurf

3 Wurf

1: 8 = 0,125 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.

Antwort: 0,125

10. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 2 mal .

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 Wurf

3 Wurf

3: 8 = 0,375 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.

Antwort: 0,375

elf . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie überhaupt keine Köpfe bekommen.

Die Lösung des Problems:

1 Wurf

2 Wurf

3 Wurf

1: 8 = 0,125 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf Kopf ergibt.

Antwort: 0,125

Aufgaben

auf Wahrscheinlichkeit

(anders)

12. Es ist bekannt, dass in einer bestimmten Region die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge geboren wird, 0,512 beträgt. Im Jahr 2010 kamen in dieser Region durchschnittlich 477 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Geburtenrate eines Mädchens im Jahr 2010 in dieser Region von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

Die Lösung des Problems:

• 1 - 0,512 = 0,488 –

2) 477: 1000 = 0,477 – Geburtswahrscheinlichkeit von Mädchen im Jahr 2010

3) 0,488 - 0,477=0,011

Antwort: 0,011

13. Es ist bekannt, dass in einer bestimmten Region die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge geboren wird, 0,486 beträgt. Im Jahr 2011 kamen in dieser Region durchschnittlich 522 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit der Geburt eines Mädchens im Jahr 2011 in dieser Region von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?

Die Lösung des Problems:

• 1 - 0,486 = 0,514 – Wahrscheinlichkeit, Mädchen in der Region zu haben

2) 522: 1000 = 0,522 – Geburtswahrscheinlichkeit von Mädchen im Jahr 2011

3) 0,522 - 0,514 = 0,008

Antwort: 0,008

14. Stas wählt eine dreistellige Zahl. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 48 teilbar ist.

Die Lösung des Problems:

• 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen

2) 999: 48 = 20,8125 - d.h. Gesamt 20 Zahlen sind durch 48 teilbar

• Davon sind zwei Zahlen zweistellig – das sind 48 und 96, dann 20 – 2 = 18

4) 18: 900 = 0,02

Antwort: 0,02

15 . Andrey wählt eine zufällige dreistellige Zahl. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 33 teilbar ist.

Die Lösung des Problems:

• 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen

2) 999: 33 = 30,29… - d.h. Gesamt 30 Zahlen sind durch 33 teilbar

• Davon sind drei zweistellige Zahlen – das sind 33, 66, 99 dann 30 – 3 = 27

4) 27: 900 = 0,03

Antwort: 0,03

16 . Gemäß den Aktionsbedingungen ist in jeder vierten Dose Kaffee ein Preis enthalten. Die Preise werden nach dem Zufallsprinzip auf die Töpfe verteilt. Alya kauft eine Dose Kaffee in der Hoffnung, einen Preis zu gewinnen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Alya den Preis nicht in ihrem Glas findet.

Die Lösung des Problems:

1) 1: 4 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, einen Preis zu gewinnen.

2) 1 – 0,25 = 0,75 – Wahrscheinlichkeit, keinen Preis zu gewinnen

Antwort: 0,75

17. Bei der Geometrieprüfung erhält der Studierende eine Frage aus dem Prüfungsfragenkatalog. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,35. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine eingeschriebene Kreisfrage handelt, beträgt 0,2. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.

Lösung:

Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: 0,35 + 0,2 = 0,52

Antwort: 0,52

18. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.

Lösung:

Trefferwahrscheinlichkeit - 0,8

Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags – 0,2

Die Miss- und Hit-Ereignisse sind unabhängig voneinander, das heißt

19. Im Laden gibt es zwei Zahlungsautomaten. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 fehlerhaft sein, unabhängig von der anderen Maschine. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Maschine funktioniert.

Lösung:

Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beide Maschinen fehlerhaft sind.

Diese Ereignisse sind unabhängig, d.h. 0,12² = 0,0144

Ein Ereignis, das darin besteht, dass mindestens einer

Maschine – das Gegenteil, das heißt 1 – 0,0144 = 0,9856

Antwort: 0,9856

20.V Einkaufszentrum Zwei identische Maschinen verkaufen Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine am Ende des Tages keinen Kaffee mehr hat, liegt bei 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,16. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages noch Kaffee in beiden Maschinen vorhanden ist.

Lösung:

Betrachten wir die Ereignisse:

A – Der Kaffee geht in der ersten Maschine aus

B – In der zweiten Maschine geht der Kaffee aus

А·В – der Kaffee geht in beiden Maschinen aus

A+B - In mindestens einer Maschine geht der Kaffee aus

Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses (Kaffee verbleibt in beiden Maschinen) gleich ist

Antwort: 0,56

21. Zwei Fabriken produzieren identische Gläser für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 45 % dieser Gläser, die zweite 55 %. Die erste Fabrik produziert 3 % fehlerhaftes Glas, die zweite 1 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.

Lösung:

Wahrscheinlichkeit, dass das in der ersten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,45 · 0,03 = 0,0135

Wahrscheinlichkeit, dass das in der zweiten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,55 · 0,01 = 0,0055

Das bedeutet, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass versehentlich im Laden gekauftes Glas defekt ist, 0,0135 + 0,0055 = 0,019 beträgt

Antwort: 0,019

Quellen

Probleme der offenen Aufgabenbank in der Mathematik FIPI, 2014-2015 http://www.fipi.ru/

Münze - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg

Würfel - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg

http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675

OGE 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg

Präsentiert bisher in der offenen Datenbank der Unified State Exam-Probleme in Mathematik (mathege.ru), deren Lösung nur auf einer Formel basiert, nämlich der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit.

Am einfachsten lässt sich die Formel anhand von Beispielen verstehen.
Beispiel 1. Im Korb befinden sich 9 rote und 3 blaue Bälle. Die Kugeln unterscheiden sich lediglich in der Farbe. Wir nehmen wahllos (ohne hinzusehen) einen davon heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der so ausgewählte Ball blau ist?

Ein Kommentar. Bei Wahrscheinlichkeitsproblemen passiert etwas (in diesem Fall unsere Aktion, den Ball zu ziehen), das passieren kann anderes Ergebnis- Ergebnis. Es ist zu beachten, dass das Ergebnis unterschiedlich betrachtet werden kann. „Wir haben eine Art Ball rausgeholt“ ist auch ein Ergebnis. „Wir haben den blauen Ball herausgezogen“ – das Ergebnis. „Wir haben aus allen möglichen Bällen genau diesen herausgezogen“ – diese am wenigsten verallgemeinerte Sicht auf das Ergebnis nennt man Elementarergebnis. In der Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit sind die elementaren Ergebnisse gemeint.

Lösung. Berechnen wir nun die Wahrscheinlichkeit, den blauen Ball zu wählen.
Ereignis A: „Der ausgewählte Ball war blau“
Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse: 9+3=12 (die Anzahl aller Kugeln, die wir ziehen konnten)
Anzahl der für Ereignis A günstigen Ergebnisse: 3 (die Anzahl solcher Ergebnisse, bei denen Ereignis A eintrat – d. h. die Anzahl der blauen Kugeln)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Antwort: 0,25

Berechnen wir für dasselbe Problem die Wahrscheinlichkeit, einen roten Ball zu wählen.
Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse bleibt gleich, 12. Anzahl der günstigen Ergebnisse: 9. Angestrebte Wahrscheinlichkeit: 9/12=3/4=0,75

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt immer zwischen 0 und 1.
Manchmal wird in der Alltagssprache (aber nicht in der Wahrscheinlichkeitstheorie!) die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen in Prozent geschätzt. Der Übergang zwischen Mathematik- und Konversationsergebnissen erfolgt durch Multiplikation (oder Division) mit 100 %.
Also,
Darüber hinaus ist die Wahrscheinlichkeit für Ereignisse, die nicht eintreten können, Null – unglaublich. In unserem Beispiel wäre dies beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Ball aus dem Korb zu ziehen. (Die Anzahl der günstigen Ergebnisse beträgt 0, P(A)=0/12=0, wenn sie mit der Formel berechnet werden)
Wahrscheinlichkeit 1 hat Ereignisse, die mit absoluter Sicherheit eintreten, ohne Optionen. Für unsere Aufgabe gilt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, dass „der ausgewählte Ball entweder rot oder blau sein wird“. (Anzahl der günstigen Ergebnisse: 12, P(A)=12/12=1)

Wir haben uns ein klassisches Beispiel angesehen, das die Definition der Wahrscheinlichkeit veranschaulicht. Alle ähnlichen Probleme des Einheitlichen Staatsexamens in der Wahrscheinlichkeitstheorie werden mit dieser Formel gelöst.
Anstelle der roten und blauen Kugeln können Äpfel und Birnen, Jungen und Mädchen, gelernte und ungelernte Tickets, Tickets mit und ohne Frage zu einem Thema (Prototypen), defekte und hochwertige Taschen oder Gartenpumpen (Prototypen) stehen ,) - das Prinzip bleibt gleich.

Sie unterscheiden sich geringfügig in der Formulierung des Theorieproblems Wahrscheinlichkeit des Einheitlichen Staatsexamens, wobei Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen müssen, dass ein Ereignis an einem bestimmten Tag eintritt. ( , ) Wie bei den vorherigen Problemen müssen Sie das elementare Ergebnis bestimmen und dann dieselbe Formel anwenden.

Beispiel 2. Die Konferenz dauert drei Tage. Am ersten und zweiten Tag gibt es jeweils 15 Redner, am dritten Tag sind es 20. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor M. am dritten Tag fällt, wenn die Reihenfolge der Berichte per Los ermittelt wird?

Was ist hier das grundlegende Ergebnis? – Dem Gutachten des Professors eine der möglichen fortlaufenden Nummern für die Rede zuweisen. An der Verlosung nehmen 15+15+20=50 Personen teil. Somit kann der Bericht von Professor M. eine von 50 Ausgaben erhalten. Das bedeutet, dass es nur 50 elementare Ergebnisse gibt.
Was sind die positiven Ergebnisse? - Diejenigen, bei denen sich herausstellt, dass der Professor am dritten Tag sprechen wird. Das heißt, die letzten 20 Zahlen.
Gemäß der Formel beträgt die Wahrscheinlichkeit P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Antwort: 0,4

Die Auslosung stellt hier die Herstellung einer zufälligen Korrespondenz zwischen Personen und geordneten Orten dar. In Beispiel 2 wurde die Korrespondenzherstellung unter dem Gesichtspunkt betrachtet, welcher der Plätze belegt werden könnte besondere Person. Man kann die gleiche Situation auch von der anderen Seite angehen: Welche der Personen könnte mit welcher Wahrscheinlichkeit an einen bestimmten Ort gelangen (Prototypen , , , ):

Beispiel 3. An der Verlosung nehmen 5 Deutsche, 8 Franzosen und 3 Esten teil. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste (/zweite/siebte/letzte – egal) ein Franzose sein wird?

Die Anzahl der Elementarergebnisse ist die Anzahl aller möglichen Personen, die durch das Los an einen bestimmten Ort gelangen könnten. 5+8+3=16 Personen.
Günstige Ergebnisse – Französisch. 8 Personen.
Erforderliche Wahrscheinlichkeit: 8/16=1/2=0,5
Antwort: 0,5

Der Prototyp ist etwas anders. Es gibt immer noch Probleme mit Münzen () und Würfeln (), die etwas kreativer sind. Die Lösung dieser Probleme finden Sie auf den Prototypenseiten.

Hier sind einige Beispiele für das Werfen einer Münze oder eines Würfels.

Beispiel 4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir beim Werfen einer Münze auf dem Kopf landen?
Es gibt zwei Ergebnisse: Kopf oder Zahl. (Es wird angenommen, dass die Münze nie auf der Kante landet) Ein günstiges Ergebnis ist Zahl, 1.
Wahrscheinlichkeit 1/2=0,5
Antwort: 0,5.

Beispiel 5. Was wäre, wenn wir eine Münze zweimal werfen? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beide Male Kopf zu bekommen?
Die Hauptsache besteht darin, zu bestimmen, welche elementaren Ergebnisse wir beim Werfen zweier Münzen berücksichtigen. Nach dem Werfen von zwei Münzen kann eines der folgenden Ergebnisse auftreten:
1) PP – beide Male gab es Kopf
2) PO – beim ersten Mal Kopf, beim zweiten Mal Kopf
3) OP – Kopf beim ersten Mal, Zahl beim zweiten Mal
4) OO – beide Male kamen Köpfe hoch
Es gibt keine anderen Optionen. Dies bedeutet, dass es 4 elementare Ergebnisse gibt. Nur das erste, 1, ist günstig.
Wahrscheinlichkeit: 1/4=0,25
Antwort: 0,25

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Münzwürfe „Zahl“ ergeben?
Die Anzahl der elementaren Ergebnisse ist gleich, 4. Günstige Ergebnisse sind das zweite und dritte, 2.
Wahrscheinlichkeit, einen Schwanz zu bekommen: 2/4=0,5

Bei solchen Problemen kann eine andere Formel nützlich sein.
Wenn während eines Münzwurfs Möglichkeiten Wir haben 2 Ergebnisse, dann sind die Ergebnisse für zwei Würfe 2 2 = 2 2 = 4 (wie in Beispiel 5), für drei Würfe 2 2 2 = 2 3 = 8, für vier: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... für N Würfe sind die möglichen Ergebnisse 2·2·...·2=2 N .

So können Sie die Wahrscheinlichkeit ermitteln, bei 5 Münzwürfen 5 Köpfe zu bekommen.
Gesamtzahl der Elementarergebnisse: 2 5 =32.
Günstige Ergebnisse: 1. (RRRRRR – Kopf alle 5 Mal)
Wahrscheinlichkeit: 1/32=0,03125

Dasselbe gilt auch für Würfel. Bei einem Wurf gibt es also 6 mögliche Ergebnisse: 6 6 = 36, bei drei 6 6 6 = 216 usw.

Beispiel 6. Wir würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird?

Gesamtergebnisse: 6, entsprechend der Anzahl der Seiten.
Günstig: 3 Ergebnisse. (2, 4, 6)
Wahrscheinlichkeit: 3/6=0,5

Beispiel 7. Wir würfeln mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 beträgt? (auf das nächste Hundertstel runden)

Für einen Würfel gibt es 6 mögliche Ergebnisse. Das bedeutet, dass für zwei nach obiger Regel 6·6=36 gilt.
Welche Ergebnisse sind günstig, damit die Gesamtsumme 10 ergibt?
10 muss in die Summe zweier Zahlen von 1 bis 6 zerlegt werden. Dies kann auf zwei Arten erfolgen: 10=6+4 und 10=5+5. Das bedeutet, dass für die Würfel folgende Optionen möglich sind:
(6 beim ersten und 4 beim zweiten)
(4 beim ersten und 6 beim zweiten)
(5 beim ersten und 5 beim zweiten)
Insgesamt 3 Optionen. Erforderliche Wahrscheinlichkeit: 3/36=1/12=0,08
Antwort: 0,08

Andere Arten von B6-Problemen werden in einem zukünftigen Artikel zur Lösung besprochen.