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코사인 정리는 임의의 삼각형에 대한 피타고라스 정리를 일반화한 것입니다.

코사인 정리의 진술

변 a,b,c가 있고 변 a에 반대되는 각도 α를 갖는 평면 삼각형의 경우 다음 관계가 성립합니다.

코사인 정리의 유용한 공식:

위에서 볼 수 있듯이 코사인 정리를 사용하면 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도를 찾을 수 있을 뿐만 아니라 삼각형의 모든 변의 크기를 알면 모든 변의 코사인을 결정할 수 있습니다. 각도를 계산하고 삼각형 각도의 크기도 계산합니다. 변에서 삼각형의 각도를 계산하는 것은 코사인 정리의 공식을 변환한 결과입니다.

코사인 정리의 증명

임의의 삼각형 ABC를 생각해 보세요. 변 AC의 크기(특정 수 b와 같음), 변 AB의 크기(특정 수 c와 같음) 및 이들 변 사이의 각도를 알고 있다고 가정해 보겠습니다. α와 같습니다. 변 BC의 크기를 구해 봅시다(변수 a를 통해 길이를 나타냄).

증거용 코사인 정리추가 공사를 진행해보겠습니다. 정점 C에서 변 AB까지 높이 CD를 낮춥니다.
변 AB의 길이를 구해 봅시다. 그림에서 볼 수 있듯이 추가 공사의 결과로 다음과 같이 말할 수 있습니다.
AB = AD + BD

AD 세그먼트의 길이를 구해 봅시다. 삼각형 ADC가 직각이라는 사실을 바탕으로 빗변의 길이(b)와 각도(α)를 알면 삼각 함수의 특성을 사용하여 변의 비율에서 변 AD의 크기를 찾을 수 있습니다. 직각삼각형에서:

AD/AC = cosα
어디
AD = AC 코사인 α
AD = b cos α

AB와 AD의 차이로 변 BD의 길이를 찾습니다.
BD = AB - 광고
BD = c − b cos α

이제 두 개의 직각 삼각형 ADC와 BDC에 대한 피타고라스 정리를 적어 보겠습니다.
삼각형 BDC의 경우
CD 2 + BD 2 = BC 2
삼각형 ADC의 경우
CD 2 + AD 2 = AC 2

두 삼각형 모두 공통 변인 CD를 가지고 있습니다. 각 삼각형의 길이를 결정해 보겠습니다. 해당 값을 표현식의 왼쪽에 놓고 나머지는 오른쪽에 놓습니다.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - AD 2

방정식의 왼쪽 변(변 CD의 제곱)이 동일하므로 방정식의 오른쪽 변을 동일시합니다.
BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2

이전에 수행한 계산을 기반으로 우리는 이미 다음을 알고 있습니다.
AD = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. =b(조건에 따라)

그리고 BC 변의 값을 다음과 같이 표시합니다. ㅏ.
기원전=a
(우리가 찾아야 할 것은 바로 이것이다)

BC 2 - BD 2 = AC 2 - AD 2
측면의 문자 지정을 계산 결과로 바꾸겠습니다.
a 2 - (c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
알 수 없는 값(a)을 왼쪽으로 이동하고 방정식의 나머지 부분을 오른쪽으로 이동합니다.
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
괄호를 열어보자
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
우리는 얻는다
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α

코사인 정리가 증명되었습니다.

모든 학생, 특히 성인이 코사인 정리가 피타고라스 정리와 직접적인 관련이 있다는 것을 아는 것은 아닙니다. 더 정확히 말하면 후자는 전자의 특별한 경우이다. 이 점과 코사인 정리를 증명하는 두 가지 방법은 여러분이 좀 더 지식 있는 사람이 되는 데 도움이 될 것입니다. 또한 초기 표현에서 수량을 표현하는 연습을 하면 논리적 사고력도 잘 발달됩니다. 연구 중인 정리의 긴 공식은 확실히 여러분이 열심히 일하고 발전하도록 강요할 것입니다.

대화 시작하기: 표기법 소개

이 정리는 임의의 삼각형에 대해 공식화되고 입증되었습니다. 따라서 두 변, 어떤 경우에는 세 변, 각도가 주어지면 어떤 상황에서도 항상 사용할 수 있으며 반드시 두 변 사이에 있을 필요는 없습니다. 삼각형의 유형이 무엇이든 정리는 항상 유효합니다.

이제 모든 표현의 수량 지정에 대해 설명합니다. 나중에 여러 번 설명할 필요가 없도록 바로 동의하는 것이 좋습니다. 이를 위해 다음 표가 작성되었습니다.

공식화 및 수학적 표기법

따라서 코사인 정리는 다음과 같이 공식화됩니다.

모든 삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합에서 같은 변의 두 배와 그 사이에 있는 각도의 코사인을 뺀 것과 같습니다.

물론 길지만 그 본질을 이해한다면 기억하기 쉬울 것입니다. 삼각형을 그리는 것을 상상할 수도 있습니다. 시각적으로 기억하는 것이 항상 더 쉽습니다.

이 정리의 공식은 다음과 같습니다.

조금 길지만 모든 것이 논리적입니다. 조금 더 자세히 보면 글자가 반복되는 것을 볼 수 있는데, 이는 기억하기 어렵지 않다는 뜻이다.

정리의 일반적인 증명

이는 모든 삼각형에 해당되므로 추론을 위해 어떤 유형이든 선택할 수 있습니다. 모든 날카로운 각도를 가진 그림이 되도록 하세요. 각도 C가 각도 B보다 큰 임의의 예각 삼각형을 생각해 보겠습니다. 이 큰 각도의 꼭지점에서 반대쪽으로 수직을 낮춰야 합니다. 그려진 높이는 삼각형을 두 개의 직사각형으로 나눕니다. 이는 증거를 위해 필요합니다.

측면은 x, y의 두 세그먼트로 나뉩니다. 알려진 양으로 표현되어야 합니다. 빗변이 b인 삼각형으로 끝나는 부분은 다음 표기법으로 표현됩니다.

x = b * cos A.

다른 하나는 이 차이와 동일합니다.

y = c - in * cos A.

이제 높이를 알 수 없는 값으로 사용하여 두 개의 직각삼각형에 대한 피타고라스 정리를 작성해야 합니다. 이러한 수식은 다음과 같습니다.

n 2 = 2 - (* cos A) 2,

n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.

이러한 등식은 왼쪽에 동일한 표현식을 포함합니다. 이는 그들의 오른쪽도 동일하다는 것을 의미합니다. 적어두면 쉽습니다. 이제 대괄호를 열어야 합니다.

2 - 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * * cos A - 2 * (cos A) 2.

여기서 유사항의 환산과 축소를 수행하면 공식화 뒤에 쓰여진 초기 공식, 즉 코사인 정리를 얻게 된다. 증명이 완료되었습니다.

벡터를 이용한 정리 증명

이전 것보다 훨씬 짧습니다. 그리고 벡터의 속성을 안다면 삼각형의 코사인 정리는 간단하게 증명될 것입니다.

변 a, b, c가 각각 벡터 BC, AC 및 AB로 지정되면 등식은 다음과 같이 유지됩니다.

기원전 = AC - AB.

이제 몇 가지 단계를 수행해야 합니다. 첫 번째는 평등의 양쪽을 제곱하는 것입니다.

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.

그런 다음 벡터의 곱이 벡터와 스칼라 값 사이의 각도의 코사인과 동일하다는 점을 고려하여 등식을 스칼라 형식으로 다시 작성해야 합니다.

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.

남은 것은 이전 표기법으로 돌아가는 것뿐입니다. 그리고 다시 코사인 정리를 얻습니다.

a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.

다른 변과 모든 각도에 대한 공식

변을 구하려면 코사인 정리의 제곱근을 구해야 합니다. 다른 변 중 하나의 제곱에 대한 공식은 다음과 같습니다.

c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.

한 변의 제곱에 대한 표현을 쓰려면 V, 이전 평등을 바꿔야합니다 와 함께~에 V, 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 각도 B를 코사인 아래에 놓습니다.

정리의 기본 공식으로부터 각도 A의 코사인 값을 표현할 수 있습니다.

cos A = (2 + c 2 - a 2) / (2 * c).

다른 각도에 대한 공식도 유사하게 도출됩니다. 직접 작성해 보는 것이 좋습니다.

당연히 이러한 공식을 외울 필요는 없습니다. 정리와 주요 표기법에서 이러한 표현을 도출하는 능력을 이해하는 것으로 충분합니다.

정리의 원래 공식을 사용하면 각도가 알려진 두 각도 사이에 있지 않은 경우 측면을 찾는 것이 가능합니다. 예를 들어, 다음을 찾아야 합니다. V, 값이 주어지면 : 에이, 씨, 에이. 아니면 알 수 없음 와 함께, 그러나 의미가 있습니다 에이, 비, 에이.

이 상황에서는 공식의 모든 항을 왼쪽으로 이동해야 합니다. 다음과 같은 평등을 얻습니다.

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

약간 다른 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.

c 2 - (2 * in * cos A) * c + (2 - a 2에서) = 0.

이차방정식을 쉽게 볼 수 있습니다. 그 안에 알 수 없는 양이 있습니다 - 와 함께, 나머지는 모두 제공됩니다. 따라서 판별식을 사용하여 해결하면 충분합니다. 이렇게 하면 알려지지 않은 측면을 찾을 수 있습니다.

두 번째 변에 대한 공식도 비슷하게 얻습니다.

2 - (2 * c * cos A) * + (c 2 - a 2) = 0입니다.

다른 표현에서 이러한 공식은 독립적으로 쉽게 얻을 수 있습니다.

코사인을 계산하지 않고 각도의 유형을 어떻게 알 수 있습니까?

앞서 도출한 각도 코사인 공식을 자세히 살펴보면 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

• 분수의 분모는 음수가 될 수 없는 변의 곱을 포함하기 때문에 항상 양수입니다.
• 각도의 값은 분자의 부호에 따라 달라집니다.

각도 A는 다음과 같습니다.

• 분자가 0보다 큰 상황에서는 심각합니다.
• 이 표현이 부정적이면 바보입니다.
• 0과 같을 때 직접.

그런데 후자의 상황은 코사인 정리를 피타고라스 정리로 바꿉니다. 90°의 각도에서는 코사인이 0이고 마지막 항이 사라지기 때문입니다.

첫 번째 작업

상태

임의의 삼각형의 둔각은 120°입니다. 제한되는 변에 대해서는 그 중 하나가 다른 변보다 8cm 더 큰 것으로 알려져 있으며, 세 번째 변의 길이는 28cm로 알려져 있으며 삼각형의 둘레를 구하는 데 필요합니다.

해결책

먼저 측면 중 하나에 문자 "x"를 표시해야 합니다. 이 경우 다른 하나는 (x + 8)과 같습니다. 세 변 모두에 대한 식이 있으므로 코사인 정리에서 제공하는 공식을 사용할 수 있습니다.

28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120°.

코사인 표에서 120도에 해당하는 값을 찾아야 합니다. 빼기 기호가 있는 숫자 0.5가 됩니다. 이제 모든 규칙에 따라 괄호를 열고 유사한 용어를 가져와야 합니다.

784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0.5) * (x + 8);

784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;

3x 2 + 24x - 720 = 0.

이 이차 방정식은 다음과 같은 판별식을 찾아 해결됩니다.

D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

해당 값이 0보다 크므로 방정식에는 두 개의 근본 답이 있습니다.

x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

마지막 루트는 문제에 대한 답이 될 수 없습니다. 변이 양수여야 하기 때문입니다.

코사인 정리란 무엇입니까? 이것을 상상해보세요... 임의의 삼각형에 대한 피타고라스의 정리.

코사인 정리: 공식화.

코사인 정리는 다음과 같이 말합니다.삼각형의 한 변의 제곱은 삼각형의 다른 두 변의 제곱의 합에서 두 변의 곱과 두 변 사이의 각도의 코사인을 뺀 것과 같습니다.

이제 이것이 왜 그런지, 그리고 피타고라스 정리가 그것과 어떤 관련이 있는지 설명하겠습니다.

결국, 피타고라스의 정리는 무엇을 말합니까?

예를 들어 매워지면 어떻게 되나요?

내가 바보라면 어쩌지?

이제 우리는 그것을 알아낼 것입니다. 아니 오히려 먼저 공식화 한 다음 증명할 것입니다.

따라서 모든(예각, 둔각, 심지어 직사각형까지!) 삼각형에 대해 다음이 적용됩니다. 코사인 정리.

코사인 정리:

그리고 무엇입니까?

삼각형(직사각형!)으로 표현할 수 있습니다.

그리고 여기 (다시부터)입니다.

다음과 같이 바꾸자:

우리는 다음을 공개합니다:

우리는 우리가 가지고 있는 것을 사용하고... 그게 전부입니다!

2 사례: 하자.

즉, 바보입니다.

이제 차이점에 주목하세요!

이것은 현재 외부에 있는 에서 온 것입니다.

우리는 그것을 기억합니다

(이것이 왜 그런지 완전히 잊었다면 주제를 읽으십시오).

그럼 그게 다야! 차이는 끝났습니다!

즉, 다음과 같습니다.

자, 마지막 사건이 하나 남았습니다.

3 경우: 하자.

그래서, . 그러나 코사인 정리는 단순히 피타고라스 정리로 변합니다.

코사인 정리는 어떤 문제에 유용합니까?

예를 들어, 다음과 같은 경우 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 주어졌을 때, 그럼 바로 너야 제3자를 찾을 수 있나요.

아니면 당신이 세 가지 측면이 모두 제공됩니다., 그러면 바로 찾을 수 있을 거예요 코사인공식에 따른 모든 각도

그리고 만약 당신이 두 변과 그 사이의 각도가 주어지지 않음이면 이차방정식을 풀어서 세 번째 변을 구할 수도 있습니다. 사실, 이 경우 때로는 두 가지 답변을 얻을 수 있으며 어느 것을 선택할지 알아내거나 둘 ​​다 남겨 두어야 합니다.

두려워하지 말고 사용해 보세요. 코사인 정리는 피타고라스 정리만큼 사용하기 쉽습니다.

코사인의 정리. 주요 사항에 대해 간략하게

코사인 정리:삼각형의 한 변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합에서 두 변의 곱과 두 변 사이의 각도의 코사인을 뺀 값과 같습니다.

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코사인 정리피타고라스의 정리를 일반화한 유클리드 기하학의 정리이다.

코사인 정리:

변이 있는 평면 삼각형의 경우 ㅏ, 비, 씨그리고 각도 α , 그 반대쪽 ㅏ이면 다음 관계가 유효합니다.

ㅏ 2 = 비 2 + 씨 2 - 2 기원전 cosα.

삼각형의 한 변의 제곱은 나머지 두 변의 제곱의 합에서 두 변의 곱과 두 변 사이의 각도의 코사인을 뺀 것과 같습니다.

코사인 정리의 추론.

• 코사인 정리는 다음을 결정하는 데 사용됩니다. 코사인삼각형 각도:

구체적으로 말하자면:

• 언제 비 2 + 씨 2 - ㅏ 2 > 0 , 모서리 α 매울 것이다;
• 언제 비 2 + 씨 2 - ㅏ 2 = 0 , 모서리 α 직선이 될 것입니다(각도가 α 직접적입니다. 이는 코사인 정리가 피타고라스 정리에 속함을 의미합니다.
• 언제 비 2 + 씨 2 - ㅏ 2 < 0 , 모서리 α 바보가 될 것이다.

코사인 정리의 고전적인 증명.

삼각형이 생기자 알파벳. 위에서 씨옆으로 AB높이를 낮췄다 CD. 수단:

AD = b cos α,

DB = c - b cos α

직각삼각형 2개에 대한 피타고라스의 정리를 적어보겠습니다. ADC그리고 BDC:

h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)

h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)

방정식 (1)과 (2)의 우변을 동일시합니다.

b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.

밑면의 각도 중 하나가 둔각인 경우(높이가 밑면의 연속성과 맞닿음) 이는 위에서 설명한 것과 완전히 유사합니다.

당사자 결정 비그리고 씨:

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β

c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.

한 지점을 중심으로 ㅏ.
α - 라디안으로 표현되는 각도.

정의
사인(sinα)빗변과 직각 삼각형의 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수이며 반대쪽 다리 길이의 비율 |BC| 빗변의 길이 |AC|입니다.

코사인(cosα)빗변과 직각 삼각형 다리 사이의 각도 α에 따른 삼각 함수로, 인접한 다리 길이의 비율 |AB| 빗변의 길이 |AC|입니다.

허용되는 표기법

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사인 함수 그래프, y = sin x

코사인 함수 그래프, y = cos x

사인과 코사인의 속성

주기성

함수 y = 죄 x그리고 y = 왜냐하면 x기간이 있는 주기적 2π.

동등

사인 함수가 이상합니다. 코사인 함수는 짝수입니다.

정의 및 값의 영역, 극한값, 증가, 감소

사인 및 코사인 함수는 정의 영역, 즉 모든 x에 대해 연속적입니다(연속성 증명 참조). 주요 속성은 표(n - 정수)에 나와 있습니다.

	와이 = 죄 x	와이 = 왜냐하면 x
범위와 연속성	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
값의 범위	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
증가
내림차순
맥시마, ​​= 1
최소값, y ​​= - 1
0, y = 0
세로축으로 점을 가로채고, x = 0	와이 = 0	와이 = 1

기본 공식

사인과 코사인의 제곱합

합과 차이의 사인과 코사인 공식

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사인과 코사인의 곱에 대한 공식

합과 차이 공식

코사인을 통해 사인 표현하기

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사인을 통해 코사인 표현하기

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접선을 통한 표현

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때, 우리는 다음을 갖습니다:
; .

에 :
; .

사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트 표

이 표는 인수의 특정 값에 대한 사인과 코사인 값을 보여줍니다.

복잡한 변수를 통한 표현식

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오일러의 공식

쌍곡선 함수를 통한 표현

;
;

파생상품

; . 수식 도출 > > >

n차 도함수:
{ -∞ < x < +∞ }

시컨트, 코시컨트

역함수

사인과 코사인의 역함수는 각각 아크사인과 아크코사인입니다.

아크사인, 아크사인

아크코사인, 아크코스

참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.