Instruções

Método 2. Suponha que o paralelepípedo retangular seja um cubo. Um cubo é um paralelepípedo retangular, cada face é representada por um quadrado. Portanto, todos os seus lados são iguais. Então, para calcular o comprimento de sua diagonal, ela será expressa da seguinte forma:

Fontes:

• fórmula da diagonal do retângulo

Um paralelepípedo é um caso especial de prisma em que todas as seis faces são paralelogramos ou retângulos. Um paralelepípedo com faces retangulares também é denominado retangular. A caixa tem quatro diagonais que se cruzam. Se você tiver três arestas a, b, c, poderá encontrar todas as diagonais de um paralelepípedo retangular executando construções adicionais.

Instruções

Encontre a diagonal do paralelepípedo m. Para fazer isso, encontre a hipotenusa desconhecida em a, n, m: m² = n² + a². Substituto valores conhecidos e, em seguida, calcule a raiz quadrada. O resultado obtido será a primeira diagonal do m paralelepípedo.

Da mesma forma, desenhe todas as outras três diagonais do paralelepípedo em sequência. Além disso, para cada um deles, execute a construção adicional das diagonais das faces adjacentes. Considerando os triângulos retângulos formados e aplicando o teorema de Pitágoras, encontre os valores das diagonais restantes.

Vídeos relacionados

Fontes:

• encontrando um paralelepípedo

A hipotenusa é o lado oposto ângulo certo... As pernas são os lados do triângulo adjacentes ao ângulo reto. No que diz respeito aos triângulos ABC e ACD: AB e BC, AD e DC–, AC é a hipotenusa comum para ambos os triângulos (o desejado diagonal) Portanto, AC = quadrado AB + quadrado BC ou AC b = quadrado AD + quadrado DC. Conecte os comprimentos das laterais retângulo na fórmula acima e calcule o comprimento da hipotenusa (diagonal retângulo).

Por exemplo, os lados retângulo ABCD são iguais aos seguintes valores: AB = 5 cm e BC = 7 cm. O quadrado da diagonal AC do dado retângulo de acordo com o teorema de Pitágoras: AC ao quadrado = AB quadrado + quadrado BC = 52 + 72 = 25 + 49 = 74 cm quadrados. Use a calculadora para encontrar a raiz quadrada de 74. Você deve ter 8,6 cm (arredondado). Lembre-se de que uma das propriedades retângulo, suas diagonais são iguais. Daí o comprimento da segunda diagonal BD retângulo ABCD é igual ao comprimento da diagonal AC. Para o exemplo acima, este valor

Nesta lição, todos poderão estudar o tema "Paralelepípedo retangular". No início da lição, vamos repetir o que são paralelepípedos retos e arbitrários, relembrar as propriedades de suas faces opostas e diagonais de um paralelepípedo. Em seguida, consideraremos o que é um paralelepípedo retangular e discutiremos suas principais propriedades.

Tópico: Perpendicularidade de linhas e planos

Lição: Retangular Paralelepípedo

Uma superfície composta por dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 e quatro paralelogramos ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 é chamada paralelepípedo(Figura 1).

Arroz. 1 paralelepípedo

Ou seja: temos dois paralelogramos iguais ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 (base), eles se encontram em planos paralelos de forma que as arestas laterais AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 são paralelas. Assim, uma superfície composta de paralelogramos é chamada paralelepípedo.

Assim, a superfície de um paralelepípedo é a soma de todos os paralelogramos que o compõem.

1. As faces opostas da caixa são paralelas e iguais.

(as formas são iguais, ou seja, podem ser combinadas por sobreposição)

Por exemplo:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (paralelogramos iguais por definição),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (uma vez que AA 1 B 1 B e DD 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (visto que AA 1 D 1 D e BB 1 C 1 C são faces opostas do paralelepípedo).

2. As diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e são divididas pela metade neste ponto.

As diagonais do paralelepípedo AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B se cruzam em um ponto O, e cada diagonal é dividida por este ponto pela metade (Fig. 2).

Arroz. 2 As diagonais do paralelepípedo se cruzam e são divididas pela metade pelo ponto de intersecção.

3. Existem três quádruplos de bordas iguais e paralelas de um paralelepípedo: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definição. Um paralelepípedo é denominado reto se suas bordas laterais são perpendiculares às bases.

Deixe a borda lateral AA 1 ser perpendicular à base (Fig. 3). Isso significa que a linha reta AA 1 é perpendicular às linhas retas AD e AB, que se encontram no plano da base. Isso significa que os retângulos ficam nas faces laterais. E nas bases existem paralelogramos arbitrários. Denote, ∠BAD = φ, o ângulo φ pode ser qualquer.

Arroz. 3 paralelepípedos retos

Assim, um paralelepípedo reto é um paralelepípedo no qual as bordas laterais são perpendiculares às bases do paralelepípedo.

Definição. O paralelepípedo é denominado retangular, se suas costelas laterais são perpendiculares à base. As bases são retângulos.

Paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - retangular (Fig. 4), se:

1. AA 1 ⊥ ABCD (borda lateral perpendicular ao plano da base, ou seja, paralelepípedo reto).

2. ∠BAD = 90 °, ou seja, existe um retângulo na base.

Arroz. 4 paralelepípedo retangular

Um paralelepípedo retangular possui todas as propriedades de um paralelepípedo arbitrário. Mas existem propriedades adicionais que são derivadas da definição de um paralelepípedo retangular.

Assim, paralelepípedo retangularé um paralelepípedo com bordas laterais perpendiculares à base. A base do paralelepípedo retangular é um retângulo.

1. Em um paralelepípedo retangular, todas as seis faces são retângulos.

ABCD e A 1 B 1 C 1 D 1 - retângulos por definição.

2. As costelas laterais são perpendiculares à base... Isso significa que todas as faces laterais de um paralelepípedo retangular são retângulos.

3. Todos os cantos diédricos de um paralelepípedo retangular são retos.

Considere, por exemplo, o ângulo diedro de um paralelepípedo retangular com aresta AB, ou seja, o ângulo diedro entre os planos ABB 1 e ABC.

AB - uma aresta, o ponto A 1 está em um plano - no plano ABB 1 e o ponto D em outro - no plano A 1 B 1 C 1 D 1. Então, o ângulo diedro considerado também pode ser denotado como segue: ∠A 1 ABD.

Pegue o ponto A na aresta AB. AA 1 - perpendicular à aresta AB no plano ABB-1, AD perpendicular à aresta AB no plano ABC. Portanto, ∠А 1 АD é o ângulo linear do ângulo diedro dado. ∠А 1 АD = 90 °, o que significa que o ângulo diedro na aresta AB é 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

É provado de maneira semelhante que quaisquer ângulos diedros de um paralelepípedo retangular são retos.

O quadrado da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões.

Observação. Os comprimentos das três arestas saindo de um vértice do retângulo são as dimensões do paralelepípedo retangular. Às vezes, eles são chamados de comprimento, largura, altura.

Dado: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelepípedo retangular (Fig. 5).

Prove:.

Arroz. 5 paralelepípedo retangular

Prova:

A linha reta SS 1 é perpendicular ao plano ABC e, portanto, à linha reta AC. Isso significa que o triângulo CC 1 A é retangular. Pelo teorema de Pitágoras:

Considere um triângulo retângulo ABC. Pelo teorema de Pitágoras:

Mas BC e AD são lados opostos do retângulo. Portanto, BC = AD. Então:

Porque , uma , então. Visto que CC 1 = AA 1, então o que era necessário provar.

As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais.

Vamos designar as medidas do ABC paralelepípedo como a, b, c (ver Fig. 6), então AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma cuja base é um retângulo. Para PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma de suas diagonais é calculada pela fórmula:

• a, em direção à base do PP;

  com sua altura.

Outra definição pode ser dada considerando um sistema de coordenadas retangulares cartesiano:

A diagonal PP é o vetor do raio de qualquer ponto no espaço, coordenadas dadas x, y e z em coordenadas cartesianas. Este vetor de raio para o ponto é desenhado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão a projeção do vetor do raio (diagonais PP) em eixos de coordenadas... As projeções coincidem com os vértices deste paralelepípedo.



Um paralelepípedo retangular é uma espécie de poliedro, constituído por 6 faces, na base das quais está um retângulo. Uma diagonal é um segmento de linha que conecta os vértices opostos de um paralelogramo.

A fórmula para encontrar o comprimento da diagonal - o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados das três dimensões do paralelogramo.



Encontrei um bom quadro esquemático na Internet com uma listagem completa de tudo o que está no paralelepípedo. Existe uma fórmula para encontrar a diagonal, que é denotada por d.

Há uma imagem de um rosto, um vértice e outras coisas importantes para um paralelepípedo.



Se o comprimento, a altura e a largura (a, b, c) de um paralelepípedo retangular forem conhecidos, a fórmula para calcular a diagonal será semelhante a esta:



Normalmente, os professores não oferecem aos seus alunos nu fórmula, mas eles se esforçam para que possam derivá-la por conta própria, fazendo perguntas importantes:

• o que precisamos saber quais dados temos?
• Quais são as propriedades de um paralelepípedo retangular?
• O Teorema de Pitágoras se aplica aqui? Como?
• Existem dados suficientes para aplicar o teorema de Pitágoras, ou alguns outros cálculos são necessários?

Normalmente, depois de responder às questões colocadas, os alunos facilmente derivam esta fórmula de forma independente.

As diagonais de um paralelepípedo retangular são iguais. Bem como as diagonais de suas faces opostas. O comprimento da diagonal pode ser calculado conhecendo o comprimento das arestas do paralelogramo saindo de um vértice. Esse comprimento é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados dos comprimentos de suas arestas.



Um paralelepípedo retangular é um dos chamados poliedros, que consiste em 6 faces, cada uma das quais é um retângulo. E a diagonal é o segmento de linha que conecta os vértices opostos do paralelogramo. Se o comprimento, a largura e a altura de um paralelepípedo retangular forem tomados como a, b, c, respectivamente, a fórmula para sua diagonal (D) será semelhante a esta: D ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2



Diagonal de um paralelepípedo retangularé um segmento de linha conectando seus vértices opostos. Então nós temos paralelepípedo retangular com diagonal d e lados a, b, c. Uma das propriedades de um paralelepípedo diz que um quadrado comprimento diagonal d é igual à soma dos quadrados de suas três dimensões a, b, c. Daí a conclusão de que comprimento diagonal pode ser facilmente calculado usando a seguinte fórmula:



Além disso:

Como faço para encontrar a altura de uma caixa?

• Quadrado diagonal, de um paralelepípedo quadrado (ver propriedades de um paralelepípedo quadrado) é igual à soma dos quadrados de seus três lados diferentes (largura, altura, espessura) e, portanto, a diagonal do paralelepípedo quadrado é igual à raiz desta soma .

  Lembro-me do currículo escolar em geometria, pode-se dizer o seguinte: a diagonal de um paralelepípedo é igual à raiz quadrada obtida da soma dos seus três lados (são denotados pelas minúsculas a, b, c).

  O comprimento da diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus lados.

  Pelo que eu sei, desde currículo escolar, classe 9 se não me engano, e se não me falha a memória, então a diagonal de um paralelepípedo retangular é igual à raiz quadrada da soma dos quadrados de seus três lados.

  o quadrado da diagonal é igual à soma dos quadrados da largura, altura e comprimento, com base nesta fórmula, obtemos a resposta, a diagonal é igual à raiz quadrada da soma das suas três dimensões diferentes, denotam por letras nсz abc

Um paralelepípedo é uma forma geométrica, todas as 6 faces das quais são paralelogramos.

Dependendo do tipo desses paralelogramos, os seguintes tipos de paralelepípedo são diferenciados:

• em linha reta;
• inclinado;
• retangular.

Um paralelepípedo retangular é um prisma quadrangular, cujas arestas formam um ângulo de 90 ° com o plano de base.

Um paralelepípedo retangular é um prisma quadrangular, cujas faces são retângulos. Um cubo é uma espécie de prisma quadrangular em que todas as faces e arestas são iguais.

As características da figura predeterminam suas propriedades. Isso inclui as 4 declarações a seguir:

É fácil lembrar todas as propriedades acima, elas são fáceis de entender e são deduzidas logicamente com base no tipo e nas características do corpo geométrico. No entanto, instruções simples podem ser incrivelmente úteis ao resolver tarefas típicas de USE e economizarão o tempo necessário para fazer o teste.

Fórmulas paralelepipédicas

Para encontrar respostas para a tarefa em questão, não basta conhecer apenas as propriedades da figura. Você também pode precisar de algumas fórmulas para encontrar a área e o volume de um corpo geométrico.

A área das bases é encontrada da mesma forma que o indicador correspondente de um paralelogramo ou retângulo. Você mesmo pode escolher a base do paralelogramo. Via de regra, na hora de resolver problemas, é mais fácil trabalhar com um prisma, na base do qual existe um retângulo.

A fórmula para encontrar a superfície lateral de um paralelepípedo também pode ser necessária em tarefas de teste.

Exemplos de resolução de tarefas típicas do exame

Exercício 1.

Dado: paralelepípedo retangular com dimensões de 3, 4 e 12 cm.
Necessário encontre o comprimento de uma das principais diagonais da figura.
Solução: Qualquer solução para um problema geométrico deve começar com a construção de um desenho correto e claro, que indicará "dado" e o valor desejado. A figura abaixo mostra um exemplo da correta execução das condições de trabalho.

Tendo examinado o desenho feito e lembrado de todas as propriedades do corpo geométrico, chegamos ao único o caminho certo soluções. Aplicando a propriedade 4 do paralelepípedo, obtemos a seguinte expressão:

Após cálculos simples, obtemos a expressão b2 = 169, portanto, b = 13. Encontrada a resposta à tarefa, não é necessário gastar mais de 5 minutos na sua pesquisa e desenho.

Em geometria, distinguem-se os seguintes tipos de paralelepípedo: paralelepípedo retangular (os retângulos são as faces do paralelepípedo); paralelepípedo reto (suas faces laterais atuam como retângulos); paralelepípedo oblíquo (suas faces laterais atuam como perpendiculares); um cubo é um paralelepípedo com exatamente as mesmas dimensões e as faces de um cubo são quadrados. Os paralelepípedos podem ser oblíquos ou retos.

Os principais elementos de um paralelepípedo são que as duas faces do forma geométrica que não têm uma borda comum são opostas, e aquelas que não têm uma borda comum são adjacentes. Os vértices de uma caixa que não pertencem à mesma face são opostos entre si. A caixa tem uma dimensão - são três arestas que têm um vértice comum.

A linha que conecta os vértices opostos é chamada de diagonal. As quatro diagonais do paralelepípedo, cruzando-se em um ponto, são divididas simultaneamente ao meio.

Para determinar a diagonal de um paralelepípedo, você precisa determinar os lados e as bordas, que são conhecidos pela definição do problema. Com três arestas conhecidas UMA , V , COM desenhe uma diagonal no paralelepípedo. De acordo com a propriedade de um paralelepípedo, que diz que todos os seus cantos são retos, a diagonal é determinada. Construa uma diagonal de uma das faces do paralelepípedo. As diagonais devem ser traçadas de forma que a diagonal da face, a diagonal exigida do paralelepípedo e a borda conhecida, criem um triângulo. Depois que o triângulo é formado, encontre o comprimento da diagonal fornecida. A diagonal no outro triângulo resultante atua como uma hipotenusa, então ela pode ser encontrada pelo teorema de Pitágoras, que deve ser tomado como uma raiz quadrada. Assim, descobrimos o significado da segunda diagonal. Para encontrar a primeira diagonal de um paralelepípedo na forma triângulo retângulo, também é necessário encontrar a hipotenusa desconhecida (por trás do teorema de Pitágoras). Usando o mesmo exemplo, encontre sequencialmente as outras três diagonais existentes no paralelepípedo, concluindo a construção adicional das diagonais que formam os triângulos retos e resolvem pelo teorema de Pitágoras.

Um paralelepípedo retangular (PP) nada mais é do que um prisma cuja base é um retângulo. Para PP, todas as diagonais são iguais, o que significa que qualquer uma de suas diagonais é calculada pela fórmula:

a, b - lados da base do PP;

c - sua altura.

Outra definição pode ser dada considerando um sistema de coordenadas retangulares cartesiano:

A diagonal PP é o vetor do raio de qualquer ponto no espaço, dado pelas coordenadas x, y e z no sistema de coordenadas cartesianas. Este vetor de raio para o ponto é desenhado a partir da origem. E as coordenadas do ponto serão a projeção do vetor do raio (diagonais PP) nos eixos das coordenadas. As projeções coincidem com os vértices deste paralelepípedo.

Paralelepípedo e seus tipos

Se você traduzir literalmente o nome do grego antigo, verá que se trata de uma figura que consiste em planos paralelos. Existem definições equivalentes de paralelepípedo:

• um prisma com base em paralelogramo;
• um poliedro, cada face do qual é um paralelogramo.

Seus tipos se destacam dependendo da figura que se encontra na sua base e do direcionamento das costelas laterais. Em geral, eles falam sobre paralelepípedo oblíquo, cuja base e todas as faces são paralelogramos. Se as faces laterais da vista anterior se tornarem retângulos, será necessário já chamá-la direto... E em retangular e a base também tem ângulos de 90º.

Além disso, eles tentam representar o último em geometria de modo que seja perceptível que todas as arestas são paralelas. Aqui, aliás, está a principal diferença entre matemáticos e artistas. É importante para este último transferir o corpo de acordo com a lei da perspectiva. E, neste caso, o paralelismo das costelas é completamente invisível.

Sobre a notação introduzida

Nas fórmulas abaixo, as designações indicadas na tabela são válidas.

Fórmulas paralelepipédicas oblíquas

Primeiro e segundo para áreas:

O terceiro é para calcular o volume do paralelepípedo:

Como a base é um paralelogramo, você precisará usar as expressões apropriadas para calcular sua área.

Fórmulas para um paralelepípedo retangular

Semelhante ao primeiro parágrafo - duas fórmulas para áreas:

E mais um para o volume:

Primeira tarefa

Doença. Você recebe um paralelepípedo retangular cujo volume deseja encontrar. A diagonal é conhecida - 18 cm - e o fato de formar ângulos de 30 e 45 graus com o plano da aresta lateral e da aresta lateral, respectivamente.

Solução. Para responder à questão do problema, você precisa saber todos os lados dos três triângulos retângulos. Eles fornecerão os valores necessários das bordas ao longo das quais o volume precisa ser calculado.

Primeiro você precisa descobrir onde está o ângulo de 30º. Para fazer isso, você precisa desenhar uma diagonal da face lateral do mesmo vértice de onde foi desenhada a diagonal principal do paralelogramo. O ângulo entre eles será o que você precisa.

O primeiro triângulo a fornecer um dos valores do lado base é o próximo. Ele contém o lado necessário e duas diagonais desenhadas. É retangular. Agora você precisa usar a proporção da perna oposta (lado da base) e a hipotenusa (diagonal). É igual a um seno de 30º. Ou seja, o lado desconhecido da base será a diagonal multiplicada pelo seno de 30º ou ½. Que seja denotado pela letra "a".

O segundo será um triângulo contendo a diagonal conhecida e a aresta com a qual forma 45º. Também é retangular e você pode usar novamente a proporção entre a perna e a hipotenusa. Em outras palavras, a borda lateral está voltada para a diagonal. É igual ao cosseno 45º. Ou seja, "c" é calculado como o produto da diagonal e do cosseno de 45º.

s = 18 * 1 / √2 = 9 √2 (cm).

No mesmo triângulo, você precisa encontrar outra perna. Isso é necessário para então contar a terceira incógnita - "em". Que seja denotado pela letra "x". É fácil calcular pelo teorema de Pitágoras:

x = √ (18 2 - (9√2) 2) = 9√2 (cm).

Agora precisamos considerar outro triângulo retângulo. Já contém festas famosas"C", "x" e o que precisa ser contado, "b":

¢ = √ ((9 × 2) 2 - 9 2 = 9 (cm).

Todas as três quantidades são conhecidas. Você pode usar a fórmula para o volume e calculá-lo:

V = 9 * 9 * 9√2 = 729√2 (cm 3).

Responder: o volume do paralelepípedo é de 729 ± 2 cm 3.

Segunda tarefa

Doença. É necessário encontrar o volume de um paralelepípedo. Ele conhece os lados do paralelogramo, que fica na base, 3 e 6 cm, bem como seu ângulo agudo - 45º. A costela lateral tem inclinação para a base de 30º e é igual a 4 cm.

Solução. Para responder à questão do problema, você precisa pegar a fórmula que foi escrita para o volume de um paralelepípedo inclinado. Mas ambas as quantidades são desconhecidas nele.

A área da base, ou seja, o paralelogramo, será determinada pela fórmula na qual é necessário multiplicar os lados conhecidos e o seno do ângulo agudo entre eles.

S о = 3 * 6 sen 45º = 18 * (√2) / 2 = 9 √2 (cm 2).

A segunda incógnita é a altura. Ele pode ser desenhado a partir de qualquer um dos quatro vértices acima da base. Pode ser encontrada em um triângulo retângulo, em que a altura é a perna e a costela lateral é a hipotenusa. Neste caso, o ângulo de 30º fica oposto à altura desconhecida. Portanto, você pode usar a proporção entre a perna e a hipotenusa.

n = 4 * sen 30º = 4 * 1/2 = 2.

Agora todos os valores são conhecidos e o volume pode ser calculado:

V = 9 √2 * 2 = 18 √2 (cm 3).

Responder: o volume é 18 ± 2 cm 3.

A terceira tarefa

Doença. Encontre o volume de um paralelepípedo se ele for reto. Os lados de sua base formam um paralelogramo e são iguais a 2 e 3 cm, o ângulo agudo entre eles é de 60º. A diagonal menor do paralelepípedo é igual à diagonal maior da base.

Solução. Para saber o volume de um paralelepípedo, usaremos a fórmula com área de base e altura. Ambas as quantidades são desconhecidas, mas fáceis de calcular. O primeiro é a altura.

Como a diagonal menor do paralelepípedo tem o mesmo tamanho da base maior, eles podem ser denotados por uma única letra d. Ângulo maior o paralelogramo é igual a 120º, pois com o agudo forma 180º. Deixe a segunda diagonal da base ser denotada pela letra "x". Agora, para duas diagonais da base, podemos escrever teoremas do cosseno:

d 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 60º.

Não faz sentido encontrar valores sem quadrados, pois então eles serão elevados à segunda potência novamente. Após a substituição de dados, verifica-se:

d 2 = 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x 2 = a 2 + b 2 - 2av cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Já a altura, que é a borda lateral do paralelepípedo, acabará sendo uma perna de um triângulo. A hipotenusa será a diagonal conhecida do corpo e a segunda perna será "x". Você pode escrever o Teorema de Pitágoras:

h 2 = d 2 - x 2 = 19 - 7 = 12.

Portanto: n = √12 = 2√3 (cm).

Agora, a segunda incógnita é a área de base. Ele pode ser calculado usando a fórmula mencionada no segundo problema.

S о = 2 * 3 sen 60º = 6 * √3 / 2 = 3√3 (cm 2).

Combinando tudo em uma fórmula de volume, obtemos:

V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).

Resposta: V = 18 cm 3.

A quarta tarefa

Doença. É necessário saber o volume de um paralelepípedo que atenda às seguintes condições: base - um quadrado com 5 cm de lado; as faces laterais são losangos; um dos vértices acima da base é equidistante de todos os vértices localizados na base.

Solução. Primeiro você precisa lidar com a condição. Não há perguntas com o primeiro ponto sobre o quadrado. A segunda, sobre losangos, deixa claro que o paralelepípedo é inclinado. Além disso, todas as suas bordas têm 5 cm, já que as laterais do losango são iguais. E a partir da terceira, torna-se claro que as três diagonais traçadas a partir dela são iguais. São duas que ficam nas faces laterais, e a última fica dentro do paralelepípedo. E essas diagonais são iguais à aresta, ou seja, também têm 5 cm de comprimento.

Para determinar o volume, você precisará da fórmula escrita para um paralelepípedo oblíquo. Novamente, não há quantidades conhecidas nele. No entanto, a área da base é fácil de calcular porque é um quadrado.

S cerca de = 5 2 = 25 (cm 2).

A situação com a altura é um pouco mais complicada. Será assim em três figuras: um paralelepípedo, uma pirâmide quadrangular e um triângulo isósceles. A última circunstância deve ser aproveitada.

Por ter altura, é uma perna em um triângulo retângulo. A hipotenusa será a aresta conhecida, e a segunda perna é igual à metade da diagonal do quadrado (a altura é igual à mediana). E a diagonal da base é fácil de encontrar:

d = √ (2 * 5 2) = 5√2 (cm).

n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 √2 (cm).

V = 25 * 2,5 √2 = 62,5 √2 (cm 3).

Responder: 62,5 ± 2 (cm 3).