Um triângulo é um polígono com três lados, ou uma linha quebrada fechada com três ligações, ou uma figura formada por três segmentos conectando três pontos que não estão em uma linha reta (ver Fig. 1).

Elementos básicos do triângulo abc

Picos – pontos A, B e C;

Partidos – segmentos a = BC, b = AC ec = AB conectando os vértices;

cantos – α , β, γ formado por três pares de lados. Os cantos geralmente são rotulados da mesma maneira que os vértices, com as letras A, B e C.

O ângulo formado pelos lados de um triângulo e situado em seu interior é chamado de ângulo interno, e o ângulo adjacente a ele é o ângulo adjacente do triângulo (2, p. 534).

Alturas, medianas, bissetrizes e linhas médias de um triângulo

Além dos elementos principais do triângulo, também são considerados outros segmentos que possuem propriedades interessantes: alturas, medianas, bissetrizes e linhas médias.

Altura

Alturas de um triângulo são as perpendiculares lançadas dos vértices do triângulo para os lados opostos.

Para construir a altura, faça o seguinte:

1) desenhe uma linha reta contendo um dos lados do triângulo (se a altura for traçada a partir do vértice de um ângulo agudo em um triângulo obtuso);

2) a partir de um vértice oposto à linha traçada, desenhe um segmento de um ponto a esta linha, fazendo com ela um ângulo de 90 graus.

O ponto de intersecção da altura com o lado do triângulo é chamado base de altura (ver Fig. 2).

Propriedades da altura do triângulo

Em um triângulo retângulo, a altura desenhada a partir do vértice ângulo certo, divide-o em dois triângulos semelhantes ao triângulo original.

Em um triângulo agudo, suas duas alturas cortam triângulos semelhantes.

Se o triângulo é agudo, todas as bases das alturas pertencem aos lados do triângulo e, para um triângulo obtuso, duas alturas caem na extensão dos lados.

Três alturas em um triângulo agudo se cruzam em um ponto e esse ponto é chamado de ortocentro triângulo.

Mediana

medianas(do latim mediana - "meio") - estes são os segmentos que ligam os vértices do triângulo com os pontos médios dos lados opostos (ver Fig. 3).

Para construir uma mediana, faça o seguinte:

1) encontre o meio do lado;

2) conecte o ponto, que é o meio do lado do triângulo, com o vértice oposto com um segmento.

Propriedades da mediana do triângulo

A mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área.

As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto, que divide cada uma delas na proporção de 2:1, contando a partir do topo. Este ponto é chamado Centro de gravidade triângulo.

O triângulo inteiro é dividido por suas medianas em seis triângulos iguais.

Bissetriz

bissetrizes(de lat. bis - duas vezes "e seko - eu cortei) chame os segmentos de linhas retas dentro do triângulo que bissectam seus cantos (veja a Fig. 4).

Para construir uma bissetriz, você deve executar as seguintes etapas:

1) construir uma semirreta saindo do vértice do ângulo e dividindo-a em duas partes iguais (bissetriz do ângulo);

2) encontre o ponto de intersecção da bissetriz do ângulo do triângulo com o lado oposto;

3) selecione um segmento conectando o vértice do triângulo com o ponto de interseção no lado oposto.

Propriedades da bissetriz do triângulo

A bissetriz de um triângulo divide o lado oposto em uma razão igual à razão dos dois lados adjacentes.

As bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se interceptam em um ponto. Este ponto é chamado de centro do círculo inscrito.

As bissetrizes dos cantos interno e externo são perpendiculares.

Se a bissetriz do ângulo externo do triângulo intercepta a continuação do lado oposto, então ADBD = ACBC.

As bissetrizes de um ângulo interno e dois ângulos externos de um triângulo se cruzam em um ponto. Este ponto é o centro de um dos três círculos deste triângulo.

As bases das bissetrizes de dois ângulos internos e um externo de um triângulo estão na mesma linha se a bissetriz do ângulo externo não for paralela ao lado oposto do triângulo.

Se as bissetrizes dos ângulos externos de um triângulo não são paralelas aos lados opostos, suas bases estão na mesma linha.

1. A mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área.

2. As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto, que divide cada uma delas na proporção de 2:1, contando de cima para baixo. Este ponto é chamado Centro de gravidade triângulo.

3. O triângulo inteiro é dividido por suas medianas em seis triângulos iguais.

Propriedades da bissetriz do triângulo

1. A bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos lados desse ângulo.

2. A bissetriz do ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes: .

3. O ponto de intersecção das bissetrizes de um triângulo é o centro de um círculo inscrito neste triângulo.

Propriedades da altura do triângulo

1. Em um triângulo retângulo, a altura traçada a partir do vértice do ângulo reto o divide em dois triângulos semelhantes ao original.

2. Em um triângulo agudo, duas de suas alturas cortam triângulos.

Propriedades das mediatrizes de um triângulo

1. Cada ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades desse segmento. A afirmação inversa também é verdadeira: cada ponto equidistante das extremidades do segmento está na mediatriz a ele.

2. O ponto de intersecção das perpendiculares mediais traçadas aos lados do triângulo é o centro do círculo circunscrito a este triângulo.

Propriedade da linha média de um triângulo

A linha média de um triângulo é paralela a um de seus lados e igual à metade desse lado.

semelhança de triângulos

Dois triângulos são similares se uma das seguintes condições for atendida, chamada sinais de semelhança:

dois ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos de outro triângulo;

dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados de outro triângulo, e os ângulos formados por esses lados são iguais;

Os três lados de um triângulo são respectivamente proporcionais aos três lados do outro triângulo.

Em triângulos semelhantes, as linhas correspondentes (alturas, medianas, bissetrizes, etc.) são proporcionais.

Teorema do seno

Teorema do cosseno

um 2= b 2+ c 2- 2bc porque

Fórmulas de área de triângulo

1. Triângulo arbitrário

a, b, c - lados; - ângulo entre os lados uma e b; - semiperímetro; R- raio do círculo circunscrito; r- raio do círculo inscrito; S- quadrado; a- altura puxada para lado uma.

S = ah

S = ab sin

S = pr

2. Triângulo reto

a, b- pernas; c- hipotenusa; hc - altura para o lado c.

S = ch c S = ab

3. Triângulo Equilátero

Quadrângulos

Propriedades do paralelogramo

Lados opostos são iguais

Ângulos opostos são iguais

as diagonais do ponto de interseção são divididas ao meio;

a soma dos ângulos adjacentes a um lado é 180°;

A soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados de todos os lados:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Um quadrilátero é um paralelogramo se:

1. Seus dois lados opostos são iguais e paralelos.

2. Lados opostos são iguais em pares.

3. Ângulos opostos são iguais em pares.

4. As diagonais do ponto de interseção são divididas ao meio.

Propriedades do trapézio

Sua linha média é paralela às bases e igual à sua meia soma;

se o trapézio é isósceles, então suas diagonais são iguais e os ângulos na base são iguais;

Se o trapézio é isósceles, então um círculo pode ser circunscrito em torno dele;

Se a soma das bases for igual à soma dos lados, então um círculo pode ser inscrito nela.

Propriedades do retângulo

as diagonais são iguais.

Um paralelogramo é um retângulo se:

1. Um de seus cantos está à direita.

2. Suas diagonais são iguais.

Propriedades do Losango

todas as propriedades de um paralelogramo;

As diagonais são perpendiculares

as diagonais são as bissetrizes de seus ângulos.

1. Um paralelogramo é um losango se:

2. Seus dois lados adjacentes são iguais.

3. Suas diagonais são perpendiculares.

4. Uma das diagonais é a bissetriz do seu ângulo.

Propriedades quadradas

Todos os cantos do quadrado estão certos

As diagonais do quadrado são iguais, mutuamente perpendiculares, o ponto de interseção é dividido ao meio e os cantos do quadrado são divididos ao meio.

Um retângulo é um quadrado se tiver alguma característica de um losango.

Fórmulas básicas

1. Quadrilátero convexo arbitrário
d1,d2- diagonais; - o ângulo entre eles; S- quadrado.

S=d 1 d 2 pecado

Primeiro nível

Mediana. guia visual (2019)

1. Qual é a mediana?

É muito simples!

Pegue o triângulo

Marque o meio em um de seus lados.

E conecte-se com o pico oposto!

A linha resultante e é a mediana.

2. Propriedades da mediana.

o que boas propriedades a mediana tem?

1) Vamos imaginar que o triângulo - retangular. Existem aqueles, certo?

Por que??? O que há com o ângulo certo?

Vamos olhar com atenção. Só que não em um triângulo, mas em... um retângulo. Porque você pergunta?

Mas você anda na Terra - você vê que ela é redonda? Não, claro, para isso você precisa olhar para a Terra do espaço. Então, olhamos para o nosso triângulo retângulo "do espaço".

Vamos desenhar uma diagonal:

Você se lembra que as diagonais de um retângulo igual e compartilhar ponto de interseção ao meio? (Se não lembra, dê uma olhada no tópico)

Então metade da segunda diagonal é nossa mediana. As diagonais são iguais, suas metades, claro, também. Aqui temos

Não vamos provar esta afirmação, mas para acreditar nela, pense por si mesmo: existe algum outro paralelogramo com diagonais iguais além de um retângulo? Claro que não! Bem, isso significa que a mediana pode ser igual à metade do lado apenas em um triângulo retângulo.

Vamos ver como essa propriedade ajuda a resolver problemas.

Aqui, uma tarefa:
Para os lados; . Do topo segurado mediana. Encontre se.

Viva! Você pode aplicar o teorema de Pitágoras! Veja como é grande? Se não soubéssemos disso mediana igual a metade de um lado

Aplicamos o teorema de Pitágoras:

2) E agora vamos ter não um, mas todo três medianas! Como eles se comportam?

Lembre-se muito fato importante:

Difícil? Olha a foto:

As medianas e se cruzam em um ponto.

E .... (nós provamos em , mas por enquanto Lembrar!):

• - duas vezes mais que;
• - duas vezes mais que;
• - o dobro disso.

Ainda não está cansado? Força suficiente para o próximo exemplo? Agora vamos aplicar tudo que falamos!

Uma tarefa: Em um triângulo, as medianas e são desenhadas, que se cruzam em um ponto. Encontre se

Encontramos pelo teorema de Pitágoras:

E agora aplicamos o conhecimento sobre o ponto de intersecção das medianas.

Vamos marcar. corte, A. Se nem tudo estiver claro - olhe para a imagem.

Já encontramos isso.

Significa, ; .

No problema nos perguntam sobre um segmento.

em nossa notação.

Responda: .

Apreciado? Agora tente aplicar o conhecimento sobre a mediana você mesmo!

MEDIANA. NÍVEL MÉDIO

1. A mediana corta o lado.

E tudo? Ou talvez ela até divida algo pela metade? Imagina que sim!

2. Teorema: A mediana bissecta a área.

Por quê? E vamos lembrar mais forma simplesárea de um triângulo.

E aplicamos esta fórmula duas vezes!

Olha, a mediana dividida em dois triângulos: e. Mas! Eles têm a mesma altura! Somente nesta altura cai para o lado, e em - para a continuação do lado. Surpreendentemente, também acontece assim: os triângulos são diferentes, mas a altura é a mesma. E assim, agora aplicamos a fórmula duas vezes.

O que isso significaria? Olha a foto. De fato, há duas afirmações neste teorema. Você notou isso?

Primeira declaração: medianas se cruzam em um ponto.

Segunda declaração: o ponto de intersecção da mediana é dividido em relação, contando a partir do topo.

Vamos tentar desvendar o segredo deste teorema:

Vamos ligar os pontos e. O que aconteceu?

E agora vamos desenhar outra linha do meio: marque o meio - coloque um ponto, marque o meio - coloque um ponto.

Agora - a linha do meio. Aquilo é

1. paralelo;

Você notou alguma coincidência? Ambos e são paralelos. E e.

O que se segue disso?

1. paralelo;

Claro, apenas um paralelogramo!

Então - paralelogramo. E daí? E vamos lembrar as propriedades de um paralelogramo. Por exemplo, o que você sabe sobre as diagonais de um paralelogramo? Isso mesmo, eles dividem o ponto de interseção pela metade.

Vamos olhar para a imagem novamente.

Ou seja - a mediana é dividida por pontos e em três partes iguais. E do mesmo jeito.

Isso significa que ambas as medianas separadas por um ponto precisamente em relação, ou seja, e.

O que acontecerá com a terceira mediana? Vamos voltar ao início. Oh Deus?! Não, agora tudo será muito mais curto. Vamos largar a mediana e desenhar as medianas e.

Agora imagine que fizemos exatamente o mesmo raciocínio que para as medianas e. O que então?

Acontece que a mediana vai dividir a mediana exatamente da mesma forma: em relação, contando a partir do ponto.

Mas quantos pontos pode haver em um segmento que o divide em relação, contando a partir de um ponto?

Claro, apenas um! E já vimos isso - este é o ponto.

O que aconteceu no final?

A mediana passou exatamente! Todas as três medianas passaram por ela. E todos ficaram divididos em relação, contando de cima para baixo.

Então resolvemos (provámos) o teorema. A resposta acabou sendo um paralelogramo dentro de um triângulo.

4. A fórmula para o comprimento da mediana

Como encontrar o comprimento da mediana se os lados são conhecidos? Tem certeza que precisa? Vamos revelar um terrível segredo: esta fórmula não é muito útil. Mas ainda assim, vamos escrevê-lo, mas não vamos provar (se você estiver interessado na prova, veja o próximo nível).

Como alguém entenderia por que isso acontece?

Vamos olhar com atenção. Só que não em um triângulo, mas em um retângulo.

Então, vamos olhar para um retângulo.

Você já reparou que nosso triângulo é exatamente a metade desse retângulo?

Vamos desenhar uma diagonal

Você se lembra que as diagonais de um retângulo são iguais e bissetam o ponto de interseção? (Se não lembra, dê uma olhada no tópico)
Mas uma das diagonais é a nossa hipotenusa! Portanto, o ponto de intersecção das diagonais é o ponto médio da hipotenusa. Ela foi chamada por nós.

Então metade da segunda diagonal é a nossa mediana. As diagonais são iguais, suas metades, claro, também. Aqui temos

Além disso, isso acontece apenas em um triângulo retângulo!

Não vamos provar essa afirmação, mas para acreditar nela, pense por si mesmo: existe algum outro paralelogramo com diagonais iguais, exceto um retângulo? Claro que não! Bem, isso significa que a mediana pode ser igual à metade do lado apenas em um triângulo retângulo. Vamos ver como essa propriedade ajuda a resolver problemas.

Aqui está a tarefa:

Para os lados; . A mediana é desenhada a partir do topo. Encontre se.

Viva! Você pode aplicar o teorema de Pitágoras! Veja como é grande? Se não soubéssemos que a mediana é metade do lado apenas em um triângulo retângulo, não conseguimos resolver esse problema de forma alguma. E agora podemos!

Aplicamos o teorema de Pitágoras:

MEDIANA. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL

1. A mediana corta o lado.

2. Teorema: A mediana divide a área

4. A fórmula para o comprimento da mediana

Teorema inverso: se a mediana é igual à metade do lado, então o triângulo é retângulo e essa mediana é traçada para a hipotenusa.

Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.

Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!

Agora o mais importante.

Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.

O problema é que isso pode não ser suficiente...

Para que?

Por entrega bem sucedida Exame Estadual Unificado, para admissão ao instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.

Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...

Pessoas que receberam uma boa educação, ganham muito mais do que quem não recebeu. Isso é estatística.

Mas isso não é o principal.

O principal é que eles são MAIS FELIZES (existem esses estudos). Talvez porque muito mais oportunidades se abrem diante deles e a vida se torna mais brilhante? Não sei...

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propriedades medianas triângulo retângulo

Definição da mediana

• As medianas de um triângulo se cruzam em um ponto e são divididas por esse ponto em duas partes na proporção de 2:1, contando a partir do topo do ângulo. O ponto de sua interseção é chamado de centro de gravidade do triângulo (o termo "centróide" é usado relativamente raramente em problemas para designar esse ponto),
• A mediana divide o triângulo em dois triângulos de mesma área.
• Um triângulo é dividido por três medianas em seis triângulos de mesma área.
• O lado maior do triângulo corresponde à mediana menor.

Os problemas de geometria propostos para solução usam principalmente os seguintes Propriedades da mediana de um triângulo retângulo.

• A soma dos quadrados das medianas lançadas nos catetos de um triângulo retângulo é igual a cinco quadrados da mediana lançada na hipotenusa (Fórmula 1)
• A mediana caiu para a hipotenusa de um triângulo retângulo igual a metade da hipotenusa(Fórmula 2)
• A mediana caiu para a hipotenusa de um triângulo retângulo igual ao raio do círculo circunscrito dado triângulo retângulo (Fórmula 2)
• A mediana caiu para a hipotenusa igual a metade da raiz quadrada da soma dos quadrados dos catetos(Fórmula 3)
• A mediana baixada para a hipotenusa é igual ao quociente da divisão do comprimento do cateto por dois senos do ângulo agudo oposto ao cateto (Fórmula 4)
• A mediana reduzida à hipotenusa é igual ao quociente da divisão do comprimento do cateto por dois cossenos do ângulo agudo adjacente ao cateto (Fórmula 4)
• A soma dos quadrados dos lados de um triângulo retângulo é igual a oito quadrados da mediana reduzida à sua hipotenusa (Fórmula 5)

Símbolos em fórmulas:

a, b- catetos de um triângulo retângulo

c- a hipotenusa de um triângulo retângulo

Se denotarmos o triângulo como ABC, então

Sol = uma

(isso é lados a,b,c- são opostos aos ângulos correspondentes)

m uma- mediana desenhada para a perna a

m b- mediana desenhada para a perna b

m c - mediana de um triângulo retângulo atraído para a hipotenusa com

α (alfa)- ângulo CAB lado oposto a

Problema sobre a mediana em um triângulo retângulo

As medianas de um triângulo retângulo desenhado para os catetos são 3 cm e 4 cm, respectivamente. Encontre a hipotenusa do triângulo

Solução

Antes de começar a resolver o problema, vamos prestar atenção à razão entre o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo e a mediana que é abaixada sobre ele. Para fazer isso, nos voltamos para as fórmulas 2, 4, 5 Propriedades da mediana em um triângulo retângulo. Essas fórmulas indicam explicitamente a razão entre a hipotenusa e a mediana, que é reduzida a ela como 1 para 2. Portanto, para conveniência de cálculos futuros (que não afetarão a correção da solução de forma alguma, mas a tornarão mais conveniente), denotamos os comprimentos das pernas AC e BC através das variáveis ​​x e y como 2x e 2y (não x e y).

Considere um triângulo retângulo ADC. O ângulo C é uma linha reta de acordo com a condição do problema, a perna AC é comum ao triângulo ABC e a perna CD é igual à metade de BC de acordo com as propriedades da mediana. Então, pelo teorema de Pitágoras

AC 2 + CD 2 = AD 2

Como AC \u003d 2x, CD \u003d y (já que a mediana divide a perna em duas partes iguais), então
4x2 + y2 = 9

Ao mesmo tempo, considere um triângulo retângulo EBC. Também possui um ângulo reto C pela condição do problema, o cateto BC é comum ao cateto BC do triângulo original ABC, e o cateto EC pela propriedade da mediana é igual a metade do cateto AC do original triângulo ABC.
De acordo com o teorema de Pitágoras:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Como EC \u003d x (a mediana divide a perna), BC \u003d 2y, então
x2 + 4y2 = 16

Como os triângulos ABC, EBC e ADC são conectados por lados comuns, ambas as equações obtidas também são conectadas.
Vamos resolver o sistema de equações resultante.
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 = 16

Ao estudar qualquer tópico de um curso escolar, você pode selecionar um certo mínimo de tarefas, tendo dominado os métodos de resolução, os alunos poderão resolver qualquer tarefa no nível dos requisitos do programa para o tópico em estudo. Proponho considerar tarefas que permitirão que você veja a relação entre tópicos individuais do curso de matemática escolar. Portanto, o sistema compilado de tarefas é ferramenta eficaz repetição, generalização e sistematização material educacional na preparação dos alunos para o exame.

Passar no exame não será supérfluo informação adicional sobre alguns elementos do triângulo. Considere as propriedades da mediana de um triângulo e o problema em que essas propriedades podem ser usadas. As tarefas propostas implementam o princípio da diferenciação de níveis. Todas as tarefas são condicionalmente divididas em níveis (o nível é indicado entre parênteses após cada tarefa).

Lembre-se de algumas propriedades da mediana de um triângulo

Propriedade 1. Prove que a mediana do triângulo abc desenhado de cima UMA, menos da metade da soma dos lados AB e CA.

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="(!LANG:$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2)))$" width="90" height="60">.!}

Propriedade 2. A mediana corta o triângulo em duas áreas iguais.

Prova

Do vértice B do triângulo ABC, desenhe a mediana BD e a altura BE..gif" alt="(!LANG:Area" width="82" height="46">!}

Como o segmento BD é uma mediana, então

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Propriedade 4. As medianas de um triângulo dividem o triângulo em 6 triângulos de mesma área.

Prova

Vamos provar que a área de cada um dos seis triângulos em que as medianas dividem o triângulo ABC é igual à área do triângulo ABC. Para fazer isso, considere, por exemplo, o triângulo AOF e solte a perpendicular AK do vértice A até a linha BF .

Devido à propriedade 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="(!LANG:Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Propriedade 6. A mediana de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice do ângulo reto é metade da hipotenusa.

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="(!LANG:Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Consequências:1. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está no ponto médio da hipotenusa.

2. Se em um triângulo o comprimento da mediana é igual à metade do comprimento do lado para o qual ela é desenhada, então esse triângulo é retângulo.

TAREFAS

Ao resolver cada problema subsequente, são usadas propriedades comprovadas.

№1 Tópicos: Dobrar a mediana. Dificuldade: 2+

Características e propriedades de um paralelogramo Classes: 8,9

Doença

Na continuação da mediana SOU triângulo abc por ponto M segmento adiado MD, igual a SOU. Prove que o quadrilátero ABDC- paralelogramo.

Solução

Vamos usar um dos sinais de um paralelogramo. Diagonais de um quadrilátero ABDC cruzar em um ponto M e dividi-lo ao meio, então o quadrilátero ABDC- paralelogramo.