(S) um trapézio, comece a calcular a altura (h) encontrando metade da soma dos comprimentos dos lados paralelos: (a+b)/2. Em seguida, divida a área pelo valor obtido - o resultado será o valor desejado: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a ​​+ b).

Conhecendo o comprimento da linha média (m) e a área (S), podemos simplificar a fórmula do passo anterior. Por definição, a linha média de um trapézio é metade da soma de suas bases, então para calcular a altura (h) de uma forma, basta dividir a área pelo comprimento da linha média: h = S/m.

Você pode determinar a altura (h) disso mesmo que apenas o comprimento de um dos lados (c) e o ângulo (α) formado por ele e a base longa sejam dados. Neste caso, deve-se considerar, formado por este lado, a altura e um segmento curto da base, que corta a altura rebaixada sobre ela. Este triângulo será retângulo, o lado conhecido será a hipotenusa nele e a altura será a perna. A razão entre os comprimentos e a hipotenusa é igual ao ângulo oposto ao cateto, portanto, para calcular a altura do trapézio, multiplique o comprimento conhecido do lado pelo seno do ângulo conhecido: h \u003d c * sin (α ).

O mesmo triângulo deve ser considerado se for dado o comprimento do lado lateral (c) e o ângulo (β) entre ele e a outra base (curta). Neste caso, o ângulo entre o lado (hipotenusa) e a altura (perna) será 90° menor que o ângulo conhecido das condições: β-90°. Como a razão dos comprimentos da perna e da hipotenusa é igual ao cosseno do ângulo entre eles, calcule a altura do trapézio multiplicando o cosseno do ângulo reduzido em 90 ° pelo comprimento do lado: h \ u003d c * cos (β-90°).

Se um círculo de raio conhecido (r) for inscrito, o cálculo da altura (h) será muito simples e não exigirá outros parâmetros. Tal círculo, por definição, deve ter cada uma das bases apenas um ponto, e esses pontos estarão na mesma linha com o centro. Isso significa que a distância entre eles será igual ao diâmetro (o dobro do raio) traçado perpendicularmente às bases, ou seja, coincidindo com a altura do trapézio: h=2*r.

Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos e os outros dois não. A altura de um trapézio é um segmento desenhado perpendicularmente entre duas linhas paralelas. Dependendo dos dados de origem, eles podem ser calculados de diferentes maneiras.

Você vai precisar

• Conhecimento dos lados, bases, linha média de um trapézio e, opcionalmente, sua área e/ou perímetro.

Instrução

Digamos que haja um trapézio com os mesmos dados da Figura 1. Vamos desenhar 2 alturas, obtemos, que tem 2 lados menores com os catetos dos triângulos retângulos. Vamos denotar o rolo menor como x. Ele está dentro

A prática do USE e GIA do ano passado mostra que os problemas de geometria causam dificuldades para muitos alunos. Você pode lidar facilmente com eles se memorizar todas as fórmulas necessárias e praticar a resolução de problemas.

Neste artigo, você verá fórmulas para encontrar a área de um trapézio, além de exemplos de problemas com soluções. Os mesmos podem ser encontrados em KIMs em exames de certificação ou em olimpíadas. Portanto, trate-os com cuidado.

O que você precisa saber sobre o trapézio?

Para começar, vamos lembrar que trapézio chama-se quadrilátero, em que dois lados opostos, também chamados de bases, são paralelos e os outros dois não.

Em um trapézio, a altura (perpendicular à base) também pode ser omitida. A linha do meio é desenhada - esta é uma linha reta paralela às bases e igual à metade de sua soma. Assim como diagonais que podem se cruzar, formando ângulos agudos e obtusos. Ou, em alguns casos, em ângulo reto. Além disso, se o trapézio é isósceles, um círculo pode ser inscrito nele. E descreva um círculo ao redor dele.

Fórmulas da área do trapézio

Primeiro, considere as fórmulas padrão para encontrar a área de um trapézio. Formas de calcular a área de trapézios isósceles e curvilíneos serão consideradas abaixo.

Então, imagine que você tem um trapézio com bases a e b, no qual a altura h é reduzida para a base maior. Calcular a área de uma figura neste caso é fácil. Você só precisa dividir por dois a soma dos comprimentos das bases e multiplicar o que acontece pela altura: S = 1/2(a + b)*h.

Tomemos outro caso: suponha que além da altura, o trapézio tenha uma linha mediana m. Conhecemos a fórmula para encontrar o comprimento da linha média: m = 1/2(a + b). Portanto, podemos legitimamente simplificar a fórmula da área de um trapézio para a seguinte forma: S = m * h. Em outras palavras, para encontrar a área de um trapézio, você precisa multiplicar a linha média pela altura.

Vamos considerar mais uma opção: as diagonais d 1 e d 2 são desenhadas em um trapézio, que não se cruzam em um ângulo reto α. Para calcular a área de tal trapézio, você precisa reduzir pela metade o produto das diagonais e multiplicar o que obtém pelo sen do ângulo entre elas: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Agora considere a fórmula para encontrar a área de um trapézio se nada se sabe sobre ele, exceto os comprimentos de todos os seus lados: a, b, c e d. Esta é uma fórmula complicada e complicada, mas será útil para você se lembrar dela apenas no caso: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

A propósito, os exemplos acima também são verdadeiros para o caso em que você precisa da fórmula para a área de um trapézio retangular. Este é um trapézio, cujo lado se une às bases em ângulo reto.

trapézio isósceles

Um trapézio cujos lados são iguais é chamado de isósceles. Vamos considerar várias variantes da fórmula da área trapézio isósceles.

A primeira opção: para o caso em que um círculo de raio r está inscrito dentro de um trapézio isósceles, e o lado lateral e a base maior formam um ângulo agudo α. Um círculo pode ser inscrito em um trapézio desde que a soma dos comprimentos de suas bases seja igual à soma dos comprimentos dos lados.

A área de um trapézio isósceles é calculada da seguinte forma: multiplique o quadrado do raio do círculo inscrito por quatro e divida tudo por sinα: S = 4r 2 /sinα. Outra fórmula de área é um caso especial para a opção quando o ângulo entre a base grande e o lado é 30 0: S = 8r2.

A segunda opção: desta vez, pegamos um trapézio isósceles, no qual, além disso, são desenhadas as diagonais d 1 e d 2, bem como a altura h. Se as diagonais de um trapézio são mutuamente perpendiculares, a altura é metade da soma das bases: h = 1/2(a + b). Sabendo disso, é fácil converter a fórmula da área do trapézio já familiar para você nesta forma: S = h2.

A fórmula para a área de um trapézio curvilíneo

Vamos começar entendendo: o que é um trapézio curvilíneo. Imagine um eixo de coordenadas e um gráfico de uma função contínua e não negativa f que não muda de sinal dentro de um determinado segmento no eixo x. Um trapézio curvilíneo é formado pelo gráfico da função y \u003d f (x) - na parte superior, o eixo x - na parte inferior (segmento) e nas laterais - linhas retas traçadas entre os pontos a e b e o gráfico da função.

É impossível calcular a área de uma figura não padronizada usando os métodos acima. Aqui você precisa aplicar a análise matemática e usar a integral. Ou seja, a fórmula de Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Nesta fórmula, F é a primitiva da nossa função no intervalo selecionado. E a área do trapézio curvilíneo corresponde ao incremento da primitiva em um determinado segmento.

Exemplos de tarefas

Para deixar todas essas fórmulas melhores na sua cabeça, aqui estão alguns exemplos de problemas para encontrar a área de um trapézio. Seria melhor se você primeiro tentasse resolver os problemas sozinho e só depois verificasse a resposta que recebeu com a solução pronta.

Tarefa nº 1: Dado um trapézio. Sua base maior tem 11 cm, a menor tem 4 cm. O trapézio tem diagonais, uma com 12 cm de comprimento e outra com 9 cm de comprimento.

Solução: Construa um trapézio AMRS. Desenhe a linha RX através do vértice P de modo que seja paralela à diagonal MC e intercepte a linha AC no ponto X. Você obtém o triângulo APX.

Consideraremos duas figuras obtidas como resultado dessas manipulações: o triângulo APX e o paralelogramo CMPX.

Graças ao paralelogramo, aprendemos que PX = MC = 12 cm e CX = MP = 4 cm. Onde podemos calcular o lado AX do triângulo ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Também podemos provar que o triângulo ARCH é em ângulo reto (para fazer isso, aplique o teorema de Pitágoras - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). E calcule sua área: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Em seguida, você precisa provar que os triângulos AMP e PCX são iguais em área. A base será a igualdade dos lados MP e CX (já comprovado acima). E também as alturas que você abaixa nesses lados - elas são iguais à altura do trapézio AMRS.

Tudo isso permitirá que você afirme que S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Tarefa nº 2: Dado um KRMS trapézio. Os pontos O e E estão localizados em seus lados laterais, enquanto OE e KS são paralelos. Sabe-se também que as áreas do trapézio ORME e OXE estão na proporção de 1:5. PM = a e KS = b. Você precisa encontrar um OE.

Solução: Desenhe uma linha através do ponto M paralela a RK, e designe o ponto de sua interseção com OE como T. A é o ponto de intersecção de uma linha traçada através do ponto E paralela a RK com a base de KS.

Vamos introduzir mais uma notação - OE = x. Assim como a altura h 1 para o triângulo TME e a altura h 2 para o triângulo AEC (você pode provar independentemente a semelhança desses triângulos).

Vamos supor que b > a. As áreas dos trapézios ORME e OXE estão relacionadas como 1:5, o que nos dá o direito de elaborar a seguinte equação: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Vamos transformar e obter: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Como os triângulos TME e AEC são semelhantes, temos h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combine as duas entradas e obtenha: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Assim, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Conclusão

A geometria não é a mais fácil das ciências, mas você certamente será capaz de lidar com as tarefas do exame. Basta um pouco de paciência na preparação. E, claro, lembre-se de todas as fórmulas necessárias.

Tentamos reunir em um só lugar todas as fórmulas para calcular a área de um trapézio para que você possa usá-las quando se preparar para exames e repetir o material.

Certifique-se de contar a seus colegas e amigos sobre este artigo em nas redes sociais. Que haja mais boas notas para o Exame Estadual Unificado e GIA!

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Para uma pergunta simples "Como encontrar a altura de um trapézio?" existem várias respostas, tudo porque diferentes entradas podem ser dadas. Portanto, as fórmulas serão diferentes.

Essas fórmulas podem ser memorizadas, mas não são difíceis de derivar. Só é necessário aplicar teoremas previamente estudados.

Notação usada em fórmulas

Em todas as notações matemáticas abaixo, essas leituras das letras estão corretas.

Nos dados originais: todos os lados

Para encontrar a altura de um trapézio no caso geral, você precisa usar a seguinte fórmula:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Número 1.

Não é o mais curto, mas também é bastante raro em tarefas. Normalmente, você pode usar outros dados.

A fórmula que diz como encontrar a altura de um trapézio isósceles na mesma situação é muito mais curta:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Número 2.

O problema está dado: os lados e cantos na base inferior

Assume-se que o ângulo α é adjacente ao lado com a designação "c", respectivamente, o ângulo β ao lado d. Então a fórmula de como encontrar a altura de um trapézio, em termos gerais, será:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Número 3.

Se a figura for isósceles, você poderá usar esta opção:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Número 4.

Conhecido por: diagonais e ângulos entre eles

Normalmente, quantidades conhecidas são adicionadas a esses dados. Por exemplo, as bases ou a linha do meio. Se os motivos forem fornecidos, para responder à pergunta de como encontrar a altura de um trapézio, a seguinte fórmula é útil:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ou n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Número 5.

É para visão geral figuras. Se isósceles for fornecido, o registro será transformado da seguinte maneira:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ou n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Número 6.

Quando em uma tarefa em questão sobre a linha média de um trapézio, então as fórmulas para encontrar sua altura se tornam:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m ou n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Número 5a.

n = (d 1 2 * sen γ) / 2m ou n = (d 1 2 * sen δ) / 2m. Número 6a.

Entre as quantidades conhecidas: área com bases ou linha média

Estas são talvez as fórmulas mais curtas e simples de como encontrar a altura de um trapézio. Para uma figura arbitrária, será assim:

n \u003d 2S / (a ​​+ c). Número 7.

É o mesmo, mas com uma linha intermediária bem conhecida:

n = S/m. Número 7a.

Curiosamente, mas para um trapézio isósceles, as fórmulas serão as mesmas.

Tarefas

Nº 1. Determinar os ângulos na base inferior do trapézio.

Doença.É dado um trapézio isósceles, cujo lado mede 5 cm. Suas bases são 6 e 12 cm. É necessário encontrar o seno de um ângulo agudo.

Solução. Por conveniência, uma notação deve ser introduzida. Seja o vértice inferior esquerdo A, todo o resto no sentido horário: B, C, D. Assim, a base inferior será designada por AD, a superior BC.

É necessário traçar as alturas a partir dos vértices B e C. Os pontos que indicam as extremidades das alturas serão designados H 1 e H 2, respectivamente. Como na figura BCH 1 H 2 todos os ângulos são retos, é um retângulo. Isso significa que o segmento H 1 H 2 tem 6 cm.

Agora precisamos considerar dois triângulos. Eles são iguais porque são retangulares com a mesma hipotenusa e catetos verticais. Segue-se disso que suas pernas menores também são iguais. Portanto, eles podem ser definidos como um quociente da diferença. Este último é obtido subtraindo a base superior da base inferior. Será dividido por 2. Ou seja, 12 - 6 deve ser dividido por 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Agora, a partir do teorema de Pitágoras, você precisa encontrar a altura do trapézio. É necessário encontrar o seno de um ângulo. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Usando o conhecimento de como o seno de um ângulo agudo está localizado em um triângulo com um ângulo reto, podemos escrever a seguinte expressão: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.

Responda. O seno desejado é 0,8.

Nº 2. Para encontrar a altura de um trapézio a partir de uma tangente conhecida.

Doença. Para um trapézio isósceles, você precisa calcular a altura. Sabe-se que suas bases medem 15 e 28 cm A tangente de um ângulo agudo é dada: 11/13.

Solução. A designação dos vértices é a mesma do problema anterior. Novamente, você precisa desenhar duas alturas de cantos superiores. Por analogia com a solução do primeiro problema, você precisa encontrar AH 1 = H 2 D, que são definidos como a diferença entre 28 e 15, dividido por dois. Após os cálculos, verifica-se: 6,5 cm.

Como a tangente é a razão de duas pernas, podemos escrever a seguinte igualdade: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Além disso, essa proporção é igual a 11/13 (por condição). Como AH 1 é conhecido, a altura pode ser calculada: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Cálculos simples dão um resultado de 5,5 cm.

Responda. A altura desejada é de 5,5 cm.

Número 3. Para calcular a altura a partir de diagonais conhecidas.

Doença. Sabe-se sobre um trapézio que suas diagonais são 13 e 3 cm. Você precisa descobrir sua altura se a soma das bases for 14 cm.

Solução. Deixe a designação da figura ser a mesma de antes. Suponha que AC seja a diagonal menor. Do vértice C, você precisa desenhar a altura desejada e designá-la CH.

Agora precisamos fazer uma compilação adicional. Do ângulo C, você precisa traçar uma linha reta paralela à diagonal maior e encontrar o ponto de sua interseção com a continuação do lado AD. Será D1. Descobriu-se um novo trapézio, dentro do qual é desenhado um triângulo ASD 1. É o que é necessário para resolver ainda mais o problema.

A altura desejada também será a mesma no triângulo. Portanto, você pode usar as fórmulas estudadas em outro tópico. A altura de um triângulo é definida como o produto do número 2 pela área, dividido pelo lado para o qual é desenhado. E o lado acaba sendo igual à soma das bases do trapézio original. Isso vem da regra pela qual a construção adicional é executada.

No triângulo considerado, todos os lados são conhecidos. Por conveniência, introduzimos a notação x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Agora você pode calcular a área usando o teorema de Heron. O semiperímetro será igual a p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Então a fórmula para a área depois de substituir os valores ficará assim: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Responda. A altura é 6√10 / 7 cm.

Nº 4. Para encontrar a altura nas laterais.

Doença. Dado um trapézio, com três lados medindo 10 cm e o quarto medindo 24 cm, você precisa descobrir sua altura.

Solução. Como a figura é isósceles, é necessária a fórmula número 2. Você só precisa substituir todos os valores e contar. Isso parecerá assim:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Responda. h = √51 cm.

E . Agora podemos começar a considerar a questão de como encontrar a área de um trapézio. Essa tarefa na vida cotidiana ocorre muito raramente, mas às vezes é necessário, por exemplo, encontrar a área de uma sala na forma de um trapézio, que é cada vez mais usada na construção de apartamentos modernos, ou em projetos de design de renovação.

Trapézio é figura geométrica, formado por quatro segmentos que se cruzam, dois dos quais são paralelos entre si e são chamados de bases de um trapézio. Os outros dois segmentos são chamados de lados do trapézio. Além disso, precisaremos de outra definição mais adiante. Esta é a linha do meio do trapézio, que é um segmento que liga os pontos médios dos lados e a altura do trapézio, que é igual à distância entre as bases.
Como os triângulos, um trapézio tem tipos particulares na forma de um trapézio isósceles (isósceles), no qual os comprimentos dos lados são os mesmos e um trapézio retangular, no qual um dos lados forma um ângulo reto com as bases.

Os trapézios têm algumas propriedades interessantes:

1. A linha média de um trapézio é metade da soma das bases e paralela a elas.
   
2. Os trapézios isósceles têm lados e ângulos iguais que formam com as bases.
   
3. Os pontos médios das diagonais de um trapézio e o ponto de interseção de suas diagonais estão na mesma linha reta.
   
4. Se a soma dos lados de um trapézio é igual à soma das bases, então um círculo pode ser inscrito nele
   
5. Se a soma dos ângulos formados pelos lados de um trapézio em qualquer uma de suas bases for 90, então o comprimento do segmento que liga os pontos médios das bases é igual à sua meia diferença.
   
6. Um trapézio isósceles pode ser descrito por um círculo. E vice versa. Se um trapézio está inscrito em um círculo, então ele é isósceles.
   
7. O segmento que passa pelos pontos médios das bases de um trapézio isósceles será perpendicular às suas bases e representa o eixo de simetria.
   

Como encontrar a área de um trapézio.

A área de um trapézio será metade da soma de suas bases multiplicada por sua altura. Na forma de uma fórmula, isso é escrito como uma expressão:

onde S é a área do trapézio, a,b é o comprimento de cada uma das bases do trapézio, h é a altura do trapézio.

Você também pode decompor qualquer trapézio em formas mais simples: um retângulo e um ou dois triângulos e, se for mais fácil para você, encontre a área do trapézio como a soma das áreas de suas figuras constituintes.

Existe outra fórmula simples para calcular sua área. Segundo ele, a área do trapézio é igual ao produto de sua linha média pela altura do trapézio e é escrita como: S \u003d m * h, onde S é a área, m é o comprimento de a linha média, h é a altura do trapézio. Esta fórmula é mais adequada para problemas de matemática do que para problemas cotidianos, pois em condições reais você não saberá o comprimento da linha do meio sem cálculos preliminares. E você só saberá os comprimentos das bases e dos lados.

Nesse caso, a área do trapézio pode ser encontrada usando a fórmula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

onde S é a área, a,b são as bases, c,d são os lados do trapézio.

Existem várias outras maneiras de encontrar a área de um trapézio. Mas, eles são tão desconfortáveis ​​quanto última fórmula, o que significa que não faz sentido insistir neles. Portanto, recomendamos que você use a primeira fórmula do artigo e deseje sempre obter resultados precisos.

Um trapézio é um quadrilátero em relevo, no qual dois lados opostos são paralelos e os outros dois não paralelos. Se todos os lados opostos de um quadrilátero são paralelos aos pares, então é um paralelogramo.

Você vai precisar

• - todos os lados do trapézio (AB, BC, CD, DA).

Instrução

1. não paralelo lados trapézio são chamados de lados laterais e paralelos - bases. A linha entre as bases, perpendicular a elas - a altura trapézio. Se lado lados trapézio igual, é chamado de isósceles. Vejamos primeiro a solução para trapézio, que não é isósceles.

2. Desenhe a linha BE do ponto B até a base inferior AD paralela ao lado trapézio CD. Porque BE e CD são paralelos e desenhados entre bases paralelas trapézio BC e DA, então BCDE é um paralelogramo e seus opostos lados BE e CD são iguais. BE=CD.

3. Considere o triângulo ABE. Calcule o lado AE. AE=AD-ED. Fundações trapézio BC e AD são conhecidos, e no paralelogramo BCDE são opostos lados ED e BC são iguais. ED=BC, então AE=AD-BC.

4. Agora descubra a área do triângulo ABE usando a fórmula de Heron calculando o semiperímetro. S=raiz(p*(p-AB)*(p-BE)*(p-AE)). Nesta fórmula, p é o semiperímetro do triângulo ABE. p=1/2*(AB+BE+AE). Para calcular a área, você conhece todos os dados necessários: AB, BE=CD, AE=AD-BC.

6. Expresse a partir desta fórmula a altura do triângulo, que também é a altura trapézio. BH=2*S/AE. Calcule.

7. Se o trapézio for isósceles, a decisão pode ser executada de forma diferente. Considere o triângulo ABH. É retangular porque um dos cantos, BHA, é reto.

8. Desenhe a altura CF do vértice C.

9. Examine a figura HBCF. retângulo HBCF, pelo fato de serem dois lados são as alturas e os outros dois são as bases trapézio, ou seja, os ângulos são retos e opostos lados são paralelos. Isso significa que BC=HF.

10. Olhe para triângulos retângulos ABH e FCD. Os cantos nas alturas BHA e CFD são retos, e os cantos nas laterais lados x BAH e CDF são iguais porque o trapézio ABCD é isósceles, então os triângulos são semelhantes. Como as alturas de BH e CF são laterais lados isósceles trapézio AB e CD são iguais, então triângulos semelhantes também são iguais. Então seus lados AH e FD também são iguais.

11. Detectar AH. AH+FD=AD-HF. Porque de um paralelogramo HF=BC, e de triângulos AH=FD, então AH=(AD-BC)*1/2.

Um trapézio é uma figura geométrica, que é um quadrilátero, em que dois lados, que são chamados de bases, são paralelos e os outros dois não são paralelos. Eles são chamados de lados. trapézio. O segmento desenhado através dos pontos médios dos lados é chamado de linha média. trapézio. Um trapézio pode ter comprimentos diferentes dos lados ou idênticos, caso em que é chamado de isósceles. Se um dos lados for perpendicular à base, o trapézio será retangular. Mas é muito mais prático saber detectar quadrado trapézio .

Você vai precisar

• Régua com divisões milimétricas

Instrução

1. Meça todos os lados trapézio: AB, BC, CD e DA. Anote os resultados de suas medições.

2. No segmento AB, marque o ponto médio K. No segmento DA, marque o ponto L, que também está no meio do segmento AD. Combine os pontos K e L, o segmento resultante KL será a linha do meio trapézio ABCD. Meça o segmento KL.

3. Do topo trapézio- saudade C, abaixe a perpendicular à sua base AD o segmento CE. Ele será a altura trapézio ABCD. Meça o segmento CE.

4. Chamamos o segmento KL de letra m, e o segmento CE de letra h, então quadrado S trapézio Calcule ABCD usando a fórmula: S=m*h, onde m é a linha média trapézio ABCD, h - altura trapézio ABCD.

5. Existe outra fórmula que permite calcular quadrado trapézio ABCD. Base inferior trapézio Vamos chamar AD a letra b, e a base superior BC - a letra a. A área é determinada pela fórmula S=1/2*(a+b)*h, onde a e b são bases trapézio, h - altura trapézio .

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Dica 3: Como encontrar a altura de um trapézio se você conhece a área

Um trapézio é um quadrilátero em que dois de seus quatro lados são paralelos entre si. Lados paralelos são as bases desta trapézio, enquanto os outros dois são lados laterais do dado trapézio. descobrir altura trapézio, se sua área for conhecida, será muito fácil.

Instrução

1. Precisamos descobrir como é permitido calcular a área do inicial trapézio. Existem várias fórmulas para isso, dependendo dos dados iniciais: S = ((a + b) * h) / 2, onde a e b são os comprimentos das bases trapézio, e h é a sua altura (Altura trapézio- uma perpendicular caiu de uma base trapézio para outro); S \u003d m * h, onde m é a linha do meio trapézio(A linha do meio é um segmento paralelo às bases trapézio e conectando os pontos médios de seus lados).

2. Agora, conhecendo as fórmulas para calcular a área trapézio, é permitido derivar novos deles, para encontrar a altura trapézio:h = (2*S)/(a+b);h = S/m.

3. Para deixar mais claro como resolver problemas semelhantes, é permitido ver exemplos: Exemplo 1: Dado um trapézio cuja área é 68 cm ?, cuja linha média é 8 cm altura dado trapézio. Para decidir esta tarefa, você precisa usar a fórmula derivada anteriormente: h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Resposta: a altura disso trapézioé 8,5 cm Exemplo 2: Seja trapézio a área é 120 cm ?, os comprimentos das bases de um dado trapézio são 8 cm e 12 cm, respectivamente, é necessário detectar altura isto trapézio. Para fazer isso, aplique uma das fórmulas derivadas: h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Resposta: a altura do dado trapézio igual a 12 cm

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Observação!
Qualquer trapézio tem várias propriedades: - a linha do meio do trapézio é igual à metade da soma de suas bases; - o segmento que conecta as diagonais do trapézio entre si é igual à metade da diferença de suas bases; - se uma linha reta é traçada através dos pontos médios das bases, então ela cruzará o ponto de interseção das diagonais do trapézio; - é permitido inscrever um círculo em um trapézio se a soma das bases desse trapézio for igual à soma de seus lados Use essas propriedades ao resolver problemas.

Dica 4: Como encontrar a altura de um triângulo dadas as coordenadas dos pontos

A altura em um triângulo é um segmento de linha reta que liga a parte superior da figura com o lado oposto. Este segmento certamente deve ser perpendicular ao lado, portanto, de qualquer vértice é permitido desenhar apenas um altura. Pelo fato de haver três vértices nesta figura, há tantas alturas nela. Se o triângulo é dado pelas coordenadas de seus vértices, o cálculo do comprimento de qualquer uma das alturas pode ser feito, digamos, usando a fórmula para encontrar a área e calcular os comprimentos dos lados.

Instrução

1. Com base nos cálculos, a área triângulo igual à metade do produto do comprimento de cada um de seus lados pelo comprimento da altura rebaixada para este lado. A partir dessa definição, segue-se que, para encontrar a altura, você precisa conhecer a área da figura e o comprimento do lado.

2. Comece calculando os comprimentos dos lados triângulo. Designe as coordenadas dos vértices da figura da seguinte forma: A(X?,Y?,Z?), B(X?,Y?,Z?) e C(X?,Y?,Z?). Então você pode calcular o comprimento do lado AB usando a fórmula AB = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Para os outros 2 lados, essas fórmulas ficarão assim: BC = ?((X?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?) e AC = ?((( X ?-X?)? + (Y?-Y?)? + (Z?-Z?)?). Digamos para triângulo com as coordenadas A(3,5,7), B(16,14,19) e C(1,2,13) ​​o comprimento do lado AB é ?((3-16)? + (5-14) ? + (7 -19)?) = ?(-13? + (-9?) + (-12?)) = ?(169 + 81 + 144) = ?394 ? 19,85. Os comprimentos dos lados BC e AC, calculados pelo mesmo método, serão iguais a ?(15? + 12? + 6?) =? 405? 20,12 e ?(2? + 3? + (-6?)) = ?49 = 7.

3. As habilidades dos comprimentos de 3 lados obtidos na etapa anterior são suficientes para calcular a área triângulo(S) de acordo com a fórmula de Heron: S = ? * ?((AB+BC+CA) * (BC+CA-AB) * (AB+CA-BC) * (AB+BC-CA)). Digamos, depois de substituir os valores obtidos das coordenadas nesta fórmula triângulo-exemplo da etapa anterior, esta fórmula fornecerá o seguinte valor: S = ?*?((19,85+20,12+7) * (20,12+7-19,85) * (19,85+7-20 ,12) * (19,85+ 20,12-7)) = ?*?(46,97 * 7,27 * 6,73 * 32,97) ? ?*?75768.55 ? ?*275,26 = 68,815.

4. Com base na área triângulo, calculado na etapa anterior, e os comprimentos dos lados obtidos na segunda etapa, calcule as alturas de cada um dos lados. Como a área é igual à metade do produto da altura e o comprimento do lado para o qual é desenhada, para encontrar a altura, divida a área pelo comprimento do lado desejado: H \u003d 2 * S / a. Para o exemplo usado acima, a altura rebaixada para o lado AB será 2 * 68.815 / 16.09? 8,55, a altura para o lado BC terá um comprimento de 2 * 68,815 / 20,12? 6,84, e para o lado AC, esse valor será igual a 2 * 68,815 / 7? 19.66.