Ajuda na Tele2, tarifas, dúvidas

Instrução

Se os comprimentos de ambas as bases (b e c) e os lados dos isósceles, que são idênticos por definição (a), são conhecidos, então um triângulo retângulo pode ser usado para calcular o valor de um de seus ângulos agudos (γ). . Para fazer isso, abaixe a altura de qualquer canto adjacente à base curta. Um triângulo retângulo será formado pela altura (), lado (hipotenusa) e um segmento da base longa entre a altura e o lado próximo (segunda perna). O comprimento deste segmento pode ser encontrado subtraindo o comprimento da base menor do comprimento da base maior e dividindo o resultado pela metade: (c-b) / 2.

Tendo obtido os valores dos comprimentos de dois lados adjacentes de um triângulo retângulo, prossiga para o cálculo do ângulo entre eles. A razão entre o comprimento da hipotenusa (a) e o comprimento do cateto ((c-b)/2) dá o valor do cosseno desse ângulo (cos(γ)), ​​e a função arcosseno ajudará a convertê-lo para o ângulo em graus: γ=arccos(2*a/(c-b)). Então você obtém o valor de um dos agudos e, como é isósceles, o segundo ângulo agudo terá o mesmo valor. A soma de todos os ângulos deve ser 360°, o que significa que a soma dos dois ângulos será igual à diferença entre este e o dobro do ângulo agudo. Como os dois ângulos obtusos também serão iguais, para encontrar o valor de cada um deles (α), essa diferença deve ser dividida ao meio: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2 *a/(c-b)). Agora você tem o cálculo de todos os ângulos de um trapézio isósceles dados os comprimentos de seus lados.

Se os comprimentos dos lados da figura forem desconhecidos, mas sua altura (h) for fornecida, você precisará agir da mesma maneira. Neste caso, em triângulo retângulo, composto pela lateral e um segmento curto da base longa, você conhecerá os comprimentos das duas pernas. Sua razão determina a tangente do ângulo que você precisa, e essa função trigonométrica também tem seu antípoda, que converte o valor da tangente no valor do ângulo - o arco tangente. Transforme as fórmulas de ângulo agudo e obtuso obtidas na etapa anterior de acordo: γ=arctg(2*h/(c-b)) e α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

Para resolver este problema usando métodos de álgebra vetorial, você precisa conhecer os seguintes conceitos: a soma vetorial geométrica e o produto escalar de vetores, e também deve se lembrar da propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

Você vai precisar

• - papel;
• - uma caneta;
• - régua.

Instrução

Um vetor é um segmento direcionado, ou seja, um valor que é considerado completamente dado se seu comprimento e direção (ângulo) para um determinado eixo forem dados. A posição do vetor não é mais restrita. Dois vetores que têm comprimentos e a mesma direção são considerados iguais. Portanto, ao usar coordenadas, os vetores são representados por vetores de raio dos pontos de sua extremidade (começando na origem).

Por definição: o vetor resultante da soma geométrica dos vetores é um vetor que se origina do início do primeiro e tem o fim do segundo, desde que o final do primeiro esteja alinhado com o início do segundo. Isso pode ser continuado, construindo uma cadeia de vetores localizados de forma semelhante.
Desenhe o ABCD dado com os vetores a, b, c e d na fig. 1. Obviamente, com este arranjo, o vetor resultante é d=a+ b+c.

Produto escalar neste caso, é mais conveniente usar os vetores a e d. Produto escalar, denotado por (a, d)= |a||d|cosφ1. Aqui φ1 é o ângulo entre os vetores a e d.
Produto escalar de vetores, coordenadas dadas, é definido da seguinte forma:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, então
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).

Propriedades de um trapézio retangular

• No trapézio retangular e dois cantos devem estar certos
• Ambos os ângulos retos trapézio retangular necessariamente pertence a vértices adjacentes
• Ambos os ângulos retos em um trapézio retangular são necessariamente adjacentes ao mesmo lado lateral
• Diagonais de um trapézio retangular formar um triângulo retângulo de um lado
• Comprimento lateral trapézio perpendicular às bases é igual à sua altura
• Em um trapézio retangular as bases são paralelas, um lado é perpendicular às bases e o segundo lado é inclinado às bases
• Em um trapézio retangular dois ângulos são retos e os outros dois são agudos e obtusos

Uma tarefa

Ângulos de um trapézio isósceles. Olá! Este artigo se concentrará na solução de problemas com um trapézio. Este grupo de tarefas faz parte do exame, as tarefas são simples. Vamos calcular os ângulos do trapézio, base e altura. A solução de uma série de problemas se resume a resolver, como se costuma dizer: onde estamos sem o teorema de Pitágoras?

Vamos trabalhar com um trapézio isósceles. Tem lados e ângulos iguais nas bases. Há um artigo no blog sobre o trapézio.

Notamos uma pequena e importante nuance, que não descreveremos em detalhes no processo de resolução das tarefas em si. Veja, se temos duas bases, então a base maior é dividida em três segmentos pelas alturas reduzidas a ela - um é igual à base menor (estes são lados opostos do retângulo), os outros dois são iguais entre si ( estes são os catetos de triângulos retângulos iguais):

Um exemplo simples: dadas duas bases de um trapézio isósceles 25 e 65. A base maior é dividida em segmentos da seguinte forma:

*E mais! Não incluído nas tarefas designações de letras. Isso é feito intencionalmente para não sobrecarregar a solução com frescuras algébricas. Concordo que isso é matematicamente analfabeto, mas o objetivo é transmitir a essência. E você sempre pode fazer as designações de vértices e outros elementos e escrever uma solução matematicamente correta.

Considere as tarefas:

27439. As bases de um trapézio isósceles são 51 e 65. Os lados são 25. Encontre o seno do ângulo agudo do trapézio.

Para encontrar o ângulo, você precisa traçar as alturas. No esboço, denotamos os dados na condição de tamanho. A base inferior é 65, é dividida por alturas nos segmentos 7, 51 e 7:

Em um triângulo retângulo, conhecemos a hipotenusa e o cateto, podemos encontrar o segundo cateto (a altura do trapézio) e então calcular o seno do ângulo.

De acordo com o teorema de Pitágoras, a perna especificada é igual a:

Nesse caminho:

Resposta: 0,96

27440. As bases de um trapézio isósceles são 43 e 73. O cosseno de um ângulo agudo de um trapézio é 5/7. Encontre o lado.

Vamos construir as alturas e marcar os dados na condição de magnitude, a base inferior é dividida nos segmentos 15, 43 e 15:

27441. A base maior de um trapézio isósceles é 34. O lado lateral é 14. O seno de um ângulo agudo é (2√10)/7. Encontre uma base menor.

Vamos construir alturas. Para encontrar uma base menor, precisamos encontrar a que o segmento que é a perna de um triângulo retângulo (indicado em azul) é igual a:

Podemos calcular a altura do trapézio e, em seguida, encontrar a perna:

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos a perna:

Então a base menor é:

27442. As bases de um trapézio isósceles são 7 e 51. A tangente de um ângulo agudo é 5/11. Encontre a altura do trapézio.

Vamos plotar as alturas e marcar os dados na condição de magnitude. A base inferior é dividida em segmentos:

O que fazer? Expressamos a tangente do ângulo que conhecemos na base de um triângulo retângulo:

27443. A base menor de um trapézio isósceles é 23. A altura do trapézio é 39. A tangente de um ângulo agudo é 13/8. Encontre uma base maior.

Construímos alturas e calculamos a que a perna é igual:

Então a base maior será:

27444. As bases de um trapézio isósceles são 17 e 87. A altura do trapézio é 14. Encontre a tangente de um ângulo agudo.

Construímos alturas e marcamos valores conhecidos no esboço. A base inferior é dividida nos segmentos 35, 17, 35:

Por definição de tangente:

77152. As bases de um trapézio isósceles são 6 e 12. O seno do ângulo agudo do trapézio é 0,8. Encontre o lado.

Vamos construir um esboço, construir alturas e observar os valores conhecidos, a base maior é dividida nos segmentos 3, 6 e 3:

Expressamos a hipotenusa, denotada como x, através do cosseno:

Do principal identidade trigonométrica encontre cosα

Nesse caminho:

27818. O que é igual a ângulo maior trapézio isósceles, se for conhecido que a diferença de ângulos opostos é 50 0? Dê sua resposta em graus.

Do curso de geometria, sabemos que se tivermos duas retas paralelas e uma secante, que a soma dos ângulos internos unilaterais é 180 0 . No nosso caso, isso

A condição diz que a diferença de ângulos opostos é 50 0 , ou seja,

Para uma pergunta simples "Como encontrar a altura de um trapézio?" existem várias respostas, tudo porque diferentes entradas podem ser dadas. Portanto, as fórmulas serão diferentes.

Essas fórmulas podem ser memorizadas, mas não são difíceis de derivar. Só é necessário aplicar teoremas previamente estudados.

Notação usada em fórmulas

Em todas as notações matemáticas abaixo, essas leituras das letras estão corretas.

Nos dados originais: todos os lados

Para encontrar a altura de um trapézio no caso geral, você precisa usar a seguinte fórmula:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Número 1.

Não é o mais curto, mas também é bastante raro em tarefas. Normalmente, você pode usar outros dados.

A fórmula que diz como encontrar a altura de um trapézio isósceles na mesma situação é muito mais curta:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Número 2.

O problema está dado: os lados e cantos na base inferior

Assume-se que o ângulo α é adjacente ao lado com a designação "c", respectivamente, o ângulo β ao lado d. Então a fórmula de como encontrar a altura de um trapézio, em termos gerais, será:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Número 3.

Se a figura for isósceles, você poderá usar esta opção:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Número 4.

Conhecido por: diagonais e ângulos entre eles

Normalmente, quantidades conhecidas são adicionadas a esses dados. Por exemplo, as bases ou a linha do meio. Se os motivos forem fornecidos, para responder à pergunta de como encontrar a altura de um trapézio, a seguinte fórmula é útil:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ou n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Número 5.

É para visão geral figuras. Se isósceles for fornecido, o registro será transformado da seguinte maneira:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​+ c) ou n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a ​​+ c). Número 6.

Quando em uma tarefa em questão sobre a linha média de um trapézio, então as fórmulas para encontrar sua altura se tornam:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m ou n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Número 5a.

n = (d 1 2 * sen γ) / 2m ou n = (d 1 2 * sen δ) / 2m. Número 6a.

Entre as quantidades conhecidas: área com bases ou linha média

Estas são talvez as fórmulas mais curtas e simples de como encontrar a altura de um trapézio. Para uma figura arbitrária, será assim:

n \u003d 2S / (a ​​+ c). Número 7.

É o mesmo, mas com uma linha intermediária bem conhecida:

n = S/m. Número 7a.

Curiosamente, mas para um trapézio isósceles, as fórmulas serão as mesmas.

Tarefas

Nº 1. Determinar os ângulos na base inferior do trapézio.

Doença.É dado um trapézio isósceles, cujo lado mede 5 cm. Suas bases são 6 e 12 cm. É necessário encontrar o seno de um ângulo agudo.

Solução. Por conveniência, uma notação deve ser introduzida. Seja o vértice inferior esquerdo A, todo o resto no sentido horário: B, C, D. Assim, a base inferior será designada por AD, a superior BC.

É necessário traçar as alturas a partir dos vértices B e C. Os pontos que indicam as extremidades das alturas serão designados H 1 e H 2, respectivamente. Como na figura BCH 1 H 2 todos os ângulos são retos, é um retângulo. Isso significa que o segmento H 1 H 2 tem 6 cm.

Agora precisamos considerar dois triângulos. Eles são iguais porque são retangulares com a mesma hipotenusa e catetos verticais. Segue-se disso que suas pernas menores também são iguais. Portanto, eles podem ser definidos como um quociente da diferença. Este último é obtido subtraindo a base superior da base inferior. Será dividido por 2. Ou seja, 12 - 6 deve ser dividido por 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Agora, a partir do teorema de Pitágoras, você precisa encontrar a altura do trapézio. É necessário encontrar o seno de um ângulo. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Usando o conhecimento de como o seno de um ângulo agudo está localizado em um triângulo com um ângulo reto, podemos escrever a seguinte expressão: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0,8.

Responda. O seno desejado é 0,8.

Nº 2. Para encontrar a altura de um trapézio a partir de uma tangente conhecida.

Doença. Para um trapézio isósceles, você precisa calcular a altura. Sabe-se que suas bases medem 15 e 28 cm A tangente de um ângulo agudo é dada: 11/13.

Solução. A designação dos vértices é a mesma do problema anterior. Novamente, você precisa desenhar duas alturas de cantos superiores. Por analogia com a solução do primeiro problema, você precisa encontrar AH 1 = H 2 D, que são definidos como a diferença entre 28 e 15, dividido por dois. Após os cálculos, verifica-se: 6,5 cm.

Como a tangente é a razão de duas pernas, podemos escrever a seguinte igualdade: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Além disso, essa proporção é igual a 11/13 (por condição). Como AH 1 é conhecido, a altura pode ser calculada: HH 1 \u003d (11 * 6,5) / 13. Cálculos simples dão um resultado de 5,5 cm.

Responda. A altura desejada é de 5,5 cm.

Número 3. Para calcular a altura a partir de diagonais conhecidas.

Doença. Sabe-se sobre um trapézio que suas diagonais são 13 e 3 cm. Você precisa descobrir sua altura se a soma das bases for 14 cm.

Solução. Deixe a designação da figura ser a mesma de antes. Suponha que AC seja a diagonal menor. Do vértice C, você precisa desenhar a altura desejada e designá-la CH.

Agora precisamos fazer uma compilação adicional. A partir do ângulo C, você precisa traçar uma linha reta paralela à diagonal maior e encontrar o ponto de sua interseção com a continuação do lado AD. Será D1. Descobriu-se um novo trapézio, dentro do qual é desenhado um triângulo ASD 1. É o que é necessário para resolver ainda mais o problema.

A altura desejada também será a mesma no triângulo. Portanto, você pode usar as fórmulas estudadas em outro tópico. A altura de um triângulo é definida como o produto do número 2 pela área, dividido pelo lado para o qual é desenhado. E o lado acaba sendo igual à soma das bases do trapézio original. Isso vem da regra pela qual a construção adicional é executada.

No triângulo considerado, todos os lados são conhecidos. Por conveniência, introduzimos a notação x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Agora você pode calcular a área usando o teorema de Heron. O semiperímetro será igual a p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Então a fórmula para a área depois de substituir os valores ficará assim: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Responda. A altura é 6√10 / 7 cm.

Nº 4. Para encontrar a altura nas laterais.

Doença. Dado um trapézio, com três lados medindo 10 cm e o quarto medindo 24 cm, você precisa descobrir sua altura.

Solução. Como a figura é isósceles, é necessária a fórmula número 2. Você só precisa substituir todos os valores e contar. Isso parecerá assim:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Responda. h = √51 cm.