Ano ang nagbibigay ng minus sa plus na panuntunan. Paano maunawaan kung bakit ang "plus" hanggang "minus" ay nagbibigay ng "minus"
Sa pakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang mga tao ang sumusubok na makarating sa ilalim nito at alamin kung bakit ang "minus" sa pamamagitan ng "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibong resulta ang lalabas.
Mga batas ng matematika
Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi makapagpaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Mahigpit nilang pinagkadalubhasaan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga patakaran. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain; kailangan nilang maunawaan ang mga bagay-bagay at maunawaan, halimbawa, kung bakit ang "plus" at "minus" ay nagbibigay ng "minus." At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga may sapat na gulang ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang kapahamakan kung ang isang batang guro ay malagay sa gulo...
Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng "minus". Kung pinag-uusapan natin tungkol sa dalawang digit na may "-" sign, ang resulta ay isang positibong numero. Ganun din sa division. Kung negatibo ang isa sa mga numero, magkakaroon din ng "-" sign ang quotient.
Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, ang singsing ay karaniwang tinatawag na set kung saan dalawang operasyon na may dalawang elemento ang kasangkot. Ngunit mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.
Ring axiom
Mayroong ilang mga batas sa matematika.
- Ang una sa kanila ay commutative, ayon dito, C + V = V + C.
- Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).
Ang multiplikasyon (V x C) x D = V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.
Walang nagkansela ng mga panuntunan ayon sa kung aling mga panaklong ang binubuksan (V + C) x D = V x D + C x D; totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.
Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipakilala sa singsing, kapag ginamit ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) = 0.
Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero
Sa pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong na: "Anong tanda ang ibinibigay ng plus at minus?" Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.
Upang gawin ito, kailangan mo munang patunayan na ang bawat elemento ay may isang "kapatid" lamang na kabaligtaran nito. Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na para sa C dalawang numero ay magkasalungat - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng commutation at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, gaya ng ipinapalagay sa itaas, ay katumbas ng 0. Nangangahulugan ito ng V = V + C + D.
Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.
Upang maunawaan kung bakit ang "plus" hanggang "minus" ay nagbibigay pa rin ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), C at (-(-C)) ay kabaligtaran, iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.
Kung gayon ay malinaw na ang 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Ito ay sumusunod mula dito na ang C x V ay ang kabaligtaran ng (-)C x V, na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).
Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produktong 0 x V ay hindi nagbabago sa naitatag na halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.
Alam ang lahat ng mga axiom na ito, maaari mong mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" at "minus", kundi pati na rin kung ano ang nangyayari kapag nagpaparami ng mga negatibong numero.
Pag-multiply at paghahati ng dalawang numero na may “-” sign
Kung hindi ka malalim sa mga nuances ng matematika, maaari mong subukan ang higit pa sa simpleng paraan Ipaliwanag ang mga tuntunin sa pagharap sa mga negatibong numero.
Ipagpalagay natin na C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Ibig sabihin, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang mga nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon tingnan natin ang multiplikasyon.
(-C) x (-V) = D, maaari mong idagdag at ibawas ang dalawang magkaparehong produkto sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Ito ay sumusunod mula dito na ang C x V = (-C) x (-V).
Katulad nito, maaari mong patunayan na ang paghahati ng dalawang negatibong numero ay magreresulta sa isang positibong numero.
Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika
Siyempre, ang paliwanag na ito ay hindi angkop para sa mga mag-aaral mga junior class na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mabuting magpaliwanag sila nakikitang mga bagay, pagmamanipula ng pamilyar na termino sa pamamagitan ng salamin. Halimbawa, ang mga imbento ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na katumbas ng tunay, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resulta na pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, hindi talaga sinusubukan ng mga bata na maunawaan ang lahat ng mga nuances sa matematika.
Bagaman, aminin natin ito, para sa maraming tao, kahit na sa mataas na edukasyon Maraming mga patakaran ang nananatiling misteryo. Isinasaalang-alang ng lahat kung ano ang itinuturo ng mga guro sa kanila, nang hindi nahihirapang suriin ang lahat ng mga kumplikadong itinatago ng matematika. Ang "Minus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ito ng lahat nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at mga fractional na numero.
1) Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one?2) Bakit katumbas ng minus one ang minus one plus one?
"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan."
Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagpapatakbo gamit ang mga negatibong numero." Mga panuntunang natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito batay sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.
Noong unang panahon, ang mga tao lang ang nakakaalam mga integer: 1, 2, 3, ... Ginagamit ang mga ito sa pagbilang ng mga kagamitan, pagnakawan, mga kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay walang silbi - kailangan mong malaman kung paano pangasiwaan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, at bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang matematiko na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay mahalagang kapareho ng karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan kailangan mong hatiin ang ilang mga dami sa iba, ngunit narito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag bilang isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.
Siyempre, hindi mo rin magagawa nang walang pagbabawas. Ngunit sa pagsasagawa, karaniwan naming ibawas ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 kendi at bibigyan ko ang aking kapatid na babae ng 3, magkakaroon ako ng 5 - 3 = 2 kendi na natitira, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng 7 kendi kahit na gusto ko.) Maipaliwanag nito kung bakit ang mga tao ay hindi gumamit ng mga negatibong numero para sa isang matagal na panahon.
Ang mga negatibong numero ay lumitaw sa mga dokumento ng India mula noong ika-7 siglo AD; Ang mga Intsik ay tila nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - sila ay isang kasangkapan lamang para makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi tulad ng mga positibong numero, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang entity na nagdulot ng matinding kawalan ng tiwala. Literal na iniiwasan ng mga tao ang mga negatibong numero: kung ang isang problema ay may negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakatagal na panahon, at maging si Descartes, isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika, ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).
Isaalang-alang, halimbawa, ang equation 7x - 17 = 2x - 2. Maaari itong malutas sa ganitong paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x = 3. Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.
Ngunit ito ay posible na hindi sinasadyang gawin ito sa ibang paraan: ilipat ang mga tuntunin na may hindi alam sa kanang bahagi at makuha 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (-15)/(-5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling upang tapusin iyon (-15)/(-5) = 3 .
Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa pagpapatakbo sa mga negatibong numero ay nagiging malinaw: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may isang malaking bilang termino) na naghahanap ng landas ng solusyon kung saan ang lahat ng mga operasyon ay ginagawa lamang sa mga natural na numero. Bukod dito, maaaring hindi na natin iniisip sa bawat oras ang tungkol sa kabuluhan ng mga nabagong dami - at ito ay isang hakbang na tungo sa paggawa ng matematika sa isang abstract na agham.
Ang mga patakaran para sa pagpapatakbo na may mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring nahahati sa mga yugto: ang bawat susunod na yugto ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction kapag nag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, sa kabila ng lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba, ay may malaking pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa upang ang resulta ay integer muli ay hindi palaging posible. Ito ay pareho sa polynomials.
Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga hanay ng mga bagay sa matematika kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal na serye ng kapangyarihan, tuluy-tuloy na mga pag-andar... Sa wakas, dumating ang pagkaunawa na kung pag-aralan mo ang mga katangian ng mga operasyon mismo, pagkatapos ay mailalapat ang mga resulta sa lahat. ang mga hanay ng mga bagay na ito (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).
Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: singsing. Isa lang itong hanay ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing tuntunin dito ay ang mga patakaran (tinatawag silang mga axiom), kung saan ang mga aksyon ay napapailalim, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, bagong antas abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos na ipakilala ang mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: isang singsing ng mga integer, isang singsing ng polynomials, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring maghinuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.
Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, ay katulad ng mga patakaran para sa pagpapatakbo ng mga integer), at pagkatapos ay patunayan na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay gumagawa ng isang plus.
singsing ay isang set na may dalawang binary na operasyon (iyon ay, ang bawat operasyon ay nagsasangkot ng dalawang elemento ng singsing), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axiom:
- ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay napapailalim sa commutative ( A + B = B + A para sa anumang elemento A At B) at nag-uugnay ( A + (B + C) = (A + B) + C) mga batas; sa singsing mayroong isang espesyal na elemento 0 (neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan) tulad na A+0=A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinutukoy (-A)), Ano A + (-A) = 0 ;
- ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A·(B·C) = (A·B)·C ;
- Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na patakaran para sa pagbubukas ng mga panaklong: (A + B) C = A C + B C At A (B + C) = A B + A C .
Tandaan na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksiyon, ay hindi nangangailangan ng alinman sa commutability ng multiplikasyon, o ang invertibility nito (iyon ay, hindi palaging magagawa ang paghahati), o ang pagkakaroon ng isang yunit - isang neutral na elemento sa multiplikasyon. Kung ipinakilala namin ang mga axiom na ito, nakakakuha kami ng iba't ibang mga istruktura ng algebraic, ngunit sa kanila ang lahat ng mga theorems na napatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo.
Ngayon patunayan namin iyon para sa anumang mga elemento A At B ng isang arbitrary na singsing ay totoo, una, (-A) B = -(A B), at pangalawa (-(-A)) = A. Ang mga pahayag tungkol sa mga yunit ay madaling sundin mula dito: (-1) 1 = -(1 1) = -1 At (-1)·(-1) = -((-1)·1) = -(-1) = 1 .
Upang gawin ito, kakailanganin nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming patunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elemento A may dalawang magkasalungat: B At SA. Yan ay A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang natin ang halaga A+B+C. Gamit ang associative at commutative na mga batas at ang ari-arian ng zero, nakuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay pantay C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ibig sabihin, B=C .
Pansinin natin ngayon iyon A, At (-(-A)) ay kabaligtaran ng parehong elemento (-A), kaya dapat sila ay pantay.
Ang unang katotohanan ay ganito: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yan ay (-A)·B kabaligtaran A·B, na nangangahulugang ito ay pantay -(A B) .
Para maging mathematically rigorous, ipaliwanag din natin kung bakit 0·B = 0 para sa anumang elemento B. talaga, 0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. Iyon ay, ang karagdagan 0·B hindi nagbabago ang halaga. Nangangahulugan ito na ang produktong ito ay katumbas ng zero.
At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.
Evgeny Epifanov, Earth (Sol III).
Dalawang negatibo ang nagpapatunay- Ito ay isang tuntunin na natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. At sino sa atin ang interesado kung bakit? Siyempre, mas madaling matandaan ang pahayag na ito nang hindi nagtatanong ng mga hindi kinakailangang tanong at hindi malalim na suriin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "digested". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa tanong na ito, susubukan naming magbigay ng paliwanag sa mathematical phenomenon na ito.
Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng mga positibong natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5,... Ang mga numero ay ginamit upang mabilang ang mga hayop, pananim, kaaway, atbp. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero; kapag hinahati ang isang dami sa isa pa, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito ang hitsura ng mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mainam na magdagdag ng mas kaunti sa higit pa at ibawas ang mas kaunti sa higit pa, at muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari ko lamang bigyan ang isang tao ng mas mababa sa 10 o 10. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.
Mula lamang sa ika-7 siglo AD. Ang mga negatibong numero ay ginamit sa ilang mga sistema ng pagbibilang bilang mga pantulong na dami na naging posible upang makakuha ng positibong numero sa sagot.
Tingnan natin ang isang halimbawa, 6x – 30 = 3x – 9. Upang mahanap ang sagot, kailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x – 3x = 30 – 9, 3x = 21, x = 7 Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga termino na may mga hindi alam sa kanang bahagi, at walang mga hindi alam sa kaliwa: 9 – 30 = 3x – 6x, (-21) = (-3x). Kapag hinahati ang negatibong numero sa negatibong numero, nakakakuha tayo ng positibong sagot: x = 7.
Ano ang nakikita natin?
Ang pagtatrabaho sa mga negatibong numero ay dapat maghatid sa atin sa parehong sagot tulad ng paggawa sa mga positibong numero lamang. Hindi na natin kailangang isipin ang praktikal na imposibilidad at kabuluhan ng mga aksyon - tinutulungan nila tayong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa isang form na may mga positibong numero lamang. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit kailan malalaking dami Ang mga pagkalkula ng addend na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang aming trabaho.
Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng mahabang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na matukoy ang mga patakaran na namamahala sa lahat ng mga numero at operasyon sa kanila (sa matematika ay tinatawag silang mga axiom). Dito nagmula isang axiom na nagsasaad na kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, makakakuha tayo ng positibong numero.
website, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Sa pakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang mga tao ang sumusubok na makarating sa ilalim nito at alamin kung bakit ang "minus" sa pamamagitan ng "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibong resulta ang lalabas.
Mga batas ng matematika
Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi makapagpaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Mahigpit nilang pinagkadalubhasaan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga patakaran. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain; kailangan nilang maunawaan ang mga bagay-bagay at maunawaan, halimbawa, kung bakit ang "plus" at "minus" ay nagbibigay ng "minus." At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga may sapat na gulang ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang kapahamakan kung ang isang batang guro ay malagay sa gulo...
Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng "minus". Kung ang pinag-uusapan natin ay tungkol sa dalawang digit na may tanda na "-", kung gayon ang resulta ay magiging positibong numero. Ang parehong naaangkop sa paghahati. Kung isa sa mga negatibo ang mga numero, pagkatapos ay magkakaroon din ng "-" sign " ang quotient.
Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, ang singsing ay karaniwang tinatawag na set kung saan dalawang operasyon na may dalawang elemento ang kasangkot. Ngunit mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.
Ring axiom
Mayroong ilang mga batas sa matematika.
- Ang una sa kanila ay commutative, ayon dito, C + V = V + C.
- Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).
Ang multiplikasyon (V x C) x D = V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.
Walang nagkansela ng mga panuntunan ayon sa kung aling mga panaklong ang binubuksan (V + C) x D = V x D + C x D; totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.
Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipakilala sa singsing, kapag ginamit ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) = 0.
Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero
Sa pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong na: "Anong tanda ang ibinibigay ng plus at minus?" Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.
Upang gawin ito, kailangan mo munang patunayan na ang bawat elemento ay mayroon lamang isang kabaligtaran na "kapatid na lalaki". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na para sa C dalawang numero ay magkasalungat - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng commutation at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, gaya ng ipinapalagay sa itaas, ay katumbas ng 0. Nangangahulugan ito ng V = V + C + D.
Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.
Upang maunawaan kung bakit ang "plus" hanggang "minus" ay nagbibigay pa rin ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), C at (-(-C)) ay kabaligtaran, iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.
Kung gayon ay malinaw na ang 0 x V = (C + (-C)) x V = C x V + (-C) x V. Ito ay sumusunod mula dito na ang C x V ay ang kabaligtaran ng (-)C x V, na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).
Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V = (0 + 0) x V = 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produktong 0 x V ay hindi nagbabago sa naitatag na halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.
Alam ang lahat ng mga axiom na ito, maaari mong mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" at "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag pinarami mo ang mga negatibong numero.
Pag-multiply at paghahati ng dalawang numero na may "-" sign
Kung hindi ka malalim sa mga nuances ng matematika, maaari mong subukang ipaliwanag ang mga patakaran para sa pagpapatakbo gamit ang mga negatibong numero sa mas simpleng paraan.
Ipagpalagay natin na C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Ibig sabihin, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang mga nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon tingnan natin ang multiplikasyon.
(-C) x (-V) = D, maaari mong idagdag at ibawas ang dalawang magkaparehong produkto sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) = D.
Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Ito ay sumusunod mula dito na ang C x V = (-C) x (-V).
Katulad nito, maaari mong patunayan na ang paghahati ng dalawang negatibong numero ay magreresulta sa isang positibong numero.
Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika
Siyempre, hindi angkop ang paliwanag na ito para sa mga mag-aaral sa elementarya na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mainam para sa kanila na magpaliwanag sa mga nakikitang bagay, manipulahin ang termino sa likod ng salamin na pamilyar sa kanila. Halimbawa, ang mga imbento ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na katumbas ng tunay, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resulta na pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, hindi talaga sinusubukan ng mga bata na maunawaan ang lahat ng mga nuances sa matematika. 
Bagaman, upang harapin ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na may mas mataas na edukasyon, maraming mga patakaran ang nananatiling isang misteryo. Isinasaalang-alang ng lahat kung ano ang itinuturo ng mga guro sa kanila, nang hindi nahihirapang suriin ang lahat ng mga kumplikadong itinatago ng matematika. Ang "Minus" para sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ito ng lahat nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong buo at fractional na mga numero.
Pansin, NGAYONG ARAW lang!
- Mga paraan ng pag-uuri sa programming: bubble sort
