Na nagbibigay ng minus sa plus na panuntunan. Paano maintindihan kung bakit ang "plus" hanggang "minus" ay nagbibigay ng "minus"
Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang tao ang sumusubok na pumunta sa ibaba at alamin kung bakit ang "minus" hanggang "plus" ay nagbibigay ng isang "minus" na senyales, at kapag nagpaparami ng dalawang negatibong numero, isang positibo ang lalabas.
Mga Batas ng Matematika
Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Lubusan nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang nila sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain, kailangan nilang makarating sa ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin nating, bakit ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga matatanda ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nasangkot sa problema ...
Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng minus. Kung ang nag-uusap kami humigit-kumulang dalawang digit na may "-" sign, pagkatapos ay magiging positibong numero ang resulta. Ganun din sa division. Kung negatibo ang isa sa mga numero, magkakaroon din ng "-" sign ang quotient.
Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, kaugalian na tawagan ang isang singsing na isang set kung saan ang dalawang operasyon na may dalawang elemento ay kasangkot. Ngunit ito ay mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.
Ring axiom
Mayroong ilang mga batas sa matematika.
- Ang una sa kanila ay displaceable, ayon sa kanya, C + V = V + C.
- Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).
Ang multiplikasyon (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.
Walang nagkansela ng mga panuntunan kung saan binubuksan ang mga bracket (V + C) x D = V x D + C x D, totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.
Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipasok sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.
Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero
Sa pamamagitan ng pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, masasagot natin ang tanong: "Plus" sa "minus" ay nagbibigay ng anong senyales? Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.
Upang gawin ito, kailangan muna nating patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay may isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na ang dalawang numero ay magkasalungat para sa C - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng displacement at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Kaya, V = V + C + D.
Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.
Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), ang kabaligtaran ay C at (-(-C)), iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.
Pagkatapos ay halata na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sumusunod dito na ang C x V ay kabaligtaran ng (-) C x V , na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).
Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produkto 0 x V ay hindi nagbabago sa itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.
Sa pag-alam sa lahat ng mga axiom na ito, posibleng mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" ng "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag pinarami ang mga negatibong numero.
Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may tanda na "-".
Kung hindi mo malalaman ang mga nuances sa matematika, maaari mong subukan ang higit pa sa simpleng paraan ipaliwanag ang mga tuntunin sa pagharap sa mga negatibong numero.
Ipagpalagay na ang C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Iyon ay, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.
(-C) x (-V) \u003d D, dalawang magkaparehong produkto ang maaaring idagdag at ibawas sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Ito ay sumusunod mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).
Katulad nito, maaari nating patunayan na ang resulta ng paghahati ng dalawang negatibong numero ay magiging positibo.
Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika
Siyempre, ang paliwanag na ito ay hindi angkop para sa mga mag-aaral. mababang grado na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mabuting magpaliwanag sila nakikitang mga bagay, pagmamanipula sa pamilyar na termino sa likod ng salamin. Halimbawa, imbento, ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na may salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na katumbas sa kasalukuyan, iyon ay, bilang isang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resultang pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi nagsisikap nang husto upang bungkalin ang lahat ng mga nuances sa matematika.
Bagaman, kung harapin mo ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na sa mataas na edukasyon at marami sa mga tuntunin ay nananatiling isang misteryo. Ang bawat tao'y tumatagal para sa ipinagkaloob kung ano ang itinuturo ng mga guro sa kanila, hindi sa kawalan upang bungkalin ang lahat ng mga kumplikado na ang matematika ay puno ng. Ang "Minus" sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat ang tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at mga fractional na numero.
1) Bakit ang minus one times minus one ay katumbas ng plus one?2) Bakit ang minus one times plus one ay katumbas ng minus one?
"Ang kaaway ng aking kaaway ay ang aking kaibigan."
Ang pinakamadaling sagot ay: "Dahil ito ang mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga negatibong numero." Ang mga tuntuning natutunan natin sa paaralan at ipinapatupad sa buong buhay natin. Gayunpaman, hindi ipinapaliwanag ng mga aklat-aralin kung bakit ganoon ang mga tuntunin. Susubukan muna nating maunawaan ito mula sa kasaysayan ng pag-unlad ng aritmetika, at pagkatapos ay sasagutin natin ang tanong na ito mula sa punto ng view ng modernong matematika.
Matagal na panahon lang ang nakakaalam mga integer: 1, 2, 3, ... Ginamit ang mga ito sa pagbilang ng mga kagamitan, pagnakawan, mga kaaway, atbp. Ngunit ang mga numero mismo ay medyo walang silbi - kailangan mong malaman kung paano pangasiwaan ang mga ito. Ang pagdaragdag ay malinaw at nauunawaan, at bukod pa, ang kabuuan ng dalawang natural na numero ay natural na bilang din (sasabihin ng isang mathematician na ang hanay ng mga natural na numero ay sarado sa ilalim ng operasyon ng karagdagan). Ang multiplikasyon ay, sa katunayan, ang parehong karagdagan kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga natural na numero. Sa buhay, madalas tayong nagsasagawa ng mga aksyon na may kaugnayan sa dalawang operasyong ito (halimbawa, kapag namimili, nagdaragdag at nagpaparami tayo), at kakaibang isipin na mas madalas silang nakatagpo ng ating mga ninuno - ang pagdaragdag at pagpaparami ay pinagkadalubhasaan ng sangkatauhan sa napakatagal na panahon. kanina. Kadalasan ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang dami sa isa pa, ngunit dito ang resulta ay hindi palaging ipinahayag ng isang natural na numero - ito ay kung paano lumitaw ang mga fractional na numero.
Ang pagbabawas, siyempre, ay kailangan din. Ngunit sa pagsasagawa, malamang na ibawas natin ang mas maliit na numero mula sa mas malaking bilang, at hindi na kailangang gumamit ng mga negatibong numero. (Kung mayroon akong 5 kendi at bibigyan ko ng 3 ang aking kapatid na babae, magkakaroon ako ng 5 - 3 = 2 kendi, ngunit hindi ko siya mabibigyan ng 7 kendi nang buong pagnanais.) Maipaliwanag nito kung bakit hindi gumamit ng mga negatibong numero ang mga tao sa mahabang panahon.
Lumilitaw ang mga negatibong numero sa mga dokumento ng India mula sa ika-7 siglo AD; ang mga Intsik, tila, ay nagsimulang gumamit ng mga ito nang mas maaga. Ginamit ang mga ito sa account para sa mga utang o sa mga intermediate na kalkulasyon upang pasimplehin ang solusyon ng mga equation - ito ay isang tool lamang upang makakuha ng positibong sagot. Ang katotohanan na ang mga negatibong numero, hindi tulad ng mga positibo, ay hindi nagpapahayag ng pagkakaroon ng anumang nilalang, ay pumukaw ng matinding kawalan ng tiwala. Ang mga tao sa literal na kahulugan ng salita ay umiwas sa mga negatibong numero: kung ang problema ay nakakuha ng negatibong sagot, naniniwala sila na walang sagot. Ang kawalan ng tiwala na ito ay nagpatuloy sa napakahabang panahon, at maging si Descartes, isa sa mga "tagapagtatag" ng modernong matematika, ay tinawag silang "false" (noong ika-17 siglo!).
Isaalang-alang, halimbawa, ang equation 7x - 17 = 2x - 2. Maaari itong malutas tulad nito: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan, ito ay lalabas 7x - 2x = 17 - 2 , 5x = 15 , x=3. Sa solusyon na ito, hindi man lang kami nakatagpo ng mga negatibong numero.
Ngunit maaaring hindi sinasadyang gawin ito ng isang tao sa ibang paraan: ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi at kunin 2 - 17 = 2x - 7x , (-15) = (-5)x. Upang mahanap ang hindi alam, kailangan mong hatiin ang isang negatibong numero sa isa pa: x = (-15)/(-5). Ngunit ang tamang sagot ay alam, at ito ay nananatiling concluded na (-15)/(-5) = 3 .
Ano ang ipinapakita ng simpleng halimbawang ito? Una, nagiging malinaw ang lohika na tumutukoy sa mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero: ang mga resulta ng mga pagkilos na ito ay dapat tumugma sa mga sagot na nakuha sa ibang paraan, nang walang mga negatibong numero. Pangalawa, sa pamamagitan ng pagpapahintulot sa paggamit ng mga negatibong numero, inaalis natin ang nakakapagod (kung ang equation ay lumalabas na mas kumplikado, na may isang malaking bilang terms) upang hanapin ang landas ng solusyon kung saan ang lahat ng aksyon ay ginagawa lamang sa mga natural na numero. Higit pa rito, hindi na natin maiisip ang bawat oras tungkol sa kabuluhan ng mga dami na kino-convert - at isa na itong hakbang tungo sa gawing abstract science ang matematika.
Ang mga patakaran para sa mga aksyon sa mga negatibong numero ay hindi nabuo kaagad, ngunit naging isang pangkalahatan ng maraming mga halimbawa na lumitaw sa paglutas ng mga inilapat na problema. Sa pangkalahatan, ang pag-unlad ng matematika ay maaaring kondisyon na nahahati sa mga yugto: ang bawat susunod na yugto ay naiiba mula sa nauna sa pamamagitan ng isang bagong antas ng abstraction sa pag-aaral ng mga bagay. Kaya, noong ika-19 na siglo, napagtanto ng mga mathematician na ang mga integer at polynomial, para sa lahat ng kanilang panlabas na pagkakaiba-iba, ay may maraming pagkakatulad: pareho ay maaaring idagdag, ibawas, at i-multiply. Ang mga operasyong ito ay sumusunod sa parehong mga batas - kapwa sa kaso ng mga numero at sa kaso ng mga polynomial. Ngunit ang paghahati ng mga integer sa bawat isa, upang ang resulta ay muling integer, ay hindi laging posible. Ang parehong ay totoo para sa polynomials.
Pagkatapos ay natuklasan ang iba pang mga koleksyon ng mga bagay sa matematika kung saan maaaring maisagawa ang mga naturang operasyon: pormal na serye ng kapangyarihan, tuluy-tuloy na mga pag-andar ... Sa wakas, dumating ang pag-unawa na kung pag-aaralan mo ang mga katangian ng mga operasyon mismo, kung gayon ang mga resulta ay maaaring mailapat sa lahat ng ito. mga koleksyon ng mga bagay (ang pamamaraang ito ay tipikal para sa lahat ng modernong matematika).
Bilang resulta, lumitaw ang isang bagong konsepto: singsing. Ito ay isang grupo lamang ng mga elemento at mga aksyon na maaaring gawin sa kanila. Ang mga pangunahing tuntunin dito ay mga panuntunan lamang (tinatawag silang axioms) kung saan ang mga aksyon ay napapailalim, at hindi ang likas na katangian ng mga elemento ng set (narito ito, bagong antas abstraction!). Nais na bigyang-diin na ito ay ang istraktura na lumitaw pagkatapos ng pagpapakilala ng mga axiom na mahalaga, ang mga mathematician ay nagsasabi: ang singsing ng mga integer, ang singsing ng polynomial, atbp. Simula sa mga axiom, ang isa ay maaaring makakuha ng iba pang mga katangian ng mga singsing.
Bubuo kami ng mga axiom ng singsing (na, siyempre, ay katulad ng mga patakaran para sa mga operasyon na may mga integer), at pagkatapos ay patunayan namin na sa anumang singsing, ang pagpaparami ng isang minus sa isang minus ay nagreresulta sa isang plus.
singsing ay tinatawag na set na may dalawang binary operations (iyon ay, dalawang elemento ng singsing ang kasangkot sa bawat operasyon), na tradisyonal na tinatawag na karagdagan at pagpaparami, at ang mga sumusunod na axioms:
- ang pagdaragdag ng mga elemento ng singsing ay sumusunod sa commutative ( A + B = B + A para sa anumang elemento A at B) at nag-uugnay ( A + (B + C) = (A + B) + C) batas; ang singsing ay naglalaman ng isang espesyal na elemento 0 (isang neutral na elemento sa pamamagitan ng karagdagan) tulad na A + 0 = A, at para sa anumang elemento A mayroong isang kabaligtaran na elemento (tinutukoy (-A)), Ano A + (-A) = 0 ;
- Ang pagpaparami ay sumusunod sa batas ng kumbinasyon: A (B C) = (A B) C ;
- Ang pagdaragdag at pagpaparami ay nauugnay sa mga sumusunod na panuntunan sa pagpapalawak ng panaklong: (A + B) C = A C + B C at A (B + C) = A B + A C .
Pansinin namin na ang mga singsing, sa pinaka-pangkalahatang konstruksyon, ay hindi nangangailangan ng pagpaparami upang maging permutable, at hindi rin ito mababaligtad (iyon ay, hindi laging posible na hatiin), at hindi rin nangangailangan ng pagkakaroon ng isang yunit, isang neutral na elemento na may paggalang sa pagpaparami. Kung ang mga axiom na ito ay ipinakilala, kung gayon ang iba pang mga istrukturang algebraic ay nakuha, ngunit ang lahat ng mga theorems na pinatunayan para sa mga singsing ay magiging totoo sa kanila.
Pinatunayan namin ngayon iyon para sa anumang elemento A at B totoo ang arbitrary ring, una, (-A) B = -(A B), at pangalawa (-(-A)) = A. Mula dito, madaling sundin ang mga pahayag tungkol sa mga yunit: (-1) 1 = -(1 1) = -1 at (-1) (-1) = -((-1) 1) = -(-1) = 1 .
Upang gawin ito, kailangan nating magtatag ng ilang mga katotohanan. Una naming pinatunayan na ang bawat elemento ay maaaring magkaroon lamang ng isang kabaligtaran. Sa katunayan, hayaan ang elemento A may dalawang magkasalungat: B at MULA SA. Yan ay A + B = 0 = A + C. Isaalang-alang ang kabuuan A+B+C. Gamit ang associative at commutative na mga batas at ang ari-arian ng zero, nakuha natin na, sa isang banda, ang kabuuan ay katumbas ng B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, at sa kabilang banda, ito ay katumbas ng C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Ibig sabihin, B=C .
Pansinin natin ngayon A, at (-(-A)) ay kabaligtaran ng parehong elemento (-A), kaya dapat sila ay pantay.
Ang unang katotohanan ay ganito: 0 = 0 B = (A + (-A)) B = A B + (-A) B, yan ay (-A) B kabaligtaran A B, kaya ito ay katumbas ng -(A B) .
Upang maging mahigpit sa matematika, ipaliwanag natin kung bakit 0 B = 0 para sa anumang elemento B. talaga, 0 B = (0 + 0) B = 0 B + 0 B. Iyon ay, ang karagdagan 0 B hindi nagbabago ang halaga. Kaya ang produktong ito ay katumbas ng zero.
At ang katotohanan na mayroong eksaktong isang zero sa singsing (pagkatapos ng lahat, ang mga axiom ay nagsasabi na ang gayong elemento ay umiiral, ngunit walang sinabi tungkol sa pagiging natatangi nito!), Iiwan namin sa mambabasa bilang isang simpleng ehersisyo.
Evgeny Epifanov, Earth (Sol III).
Dalawang negatibo ang nagpapatunay- ito ay isang alituntunin na natutunan natin sa paaralan at ginagamit sa buong buhay natin. Sino sa atin ang nagtaka kung bakit? Siyempre, mas madaling kabisaduhin ang pahayag na ito nang walang karagdagang mga katanungan at hindi malalim na suriin ang kakanyahan ng isyu. Ngayon ay mayroon nang sapat na impormasyon na kailangang "digested". Ngunit para sa mga interesado pa rin sa tanong na ito, susubukan naming ipaliwanag ang mathematical phenomenon na ito.
Mula noong sinaunang panahon, ang mga tao ay gumagamit ng mga positibong natural na numero: 1, 2, 3, 4, 5, ... Ang mga baka, pananim, kaaway, atbp. ay binilang sa tulong ng mga numero. Kapag nagdaragdag at nagpaparami ng dalawang positibong numero, palagi silang nakakuha ng positibong numero, kapag hinahati ang ilang dami sa iba, hindi sila palaging nakakakuha ng mga natural na numero - ganito ang paglitaw ng mga fractional na numero. Paano ang pagbabawas? Mula pagkabata, alam natin na mas mabuting idagdag ang mas maliit sa mas malaki at ibawas ang mas maliit sa mas malaki, habang muli ay hindi tayo gumagamit ng mga negatibong numero. Lumalabas na kung mayroon akong 10 mansanas, maaari lamang akong magbigay ng mas mababa sa 10 o 10 sa isang tao. Walang paraan na maaari akong magbigay ng 13 mansanas, dahil wala ako. Hindi na kailangan ng mga negatibong numero sa mahabang panahon.
Mula lamang sa ika-7 siglo AD. Ang mga negatibong numero ay ginamit sa ilang mga sistema ng pagbibilang bilang mga auxiliary na halaga, na naging posible upang makakuha ng positibong numero sa sagot.
Isaalang-alang ang isang halimbawa, 6x - 30 \u003d 3x - 9. Upang mahanap ang sagot, kinakailangang iwanan ang mga termino na may mga hindi alam sa kaliwang bahagi, at ang natitira sa kanan: 6x - 3x \u003d 30 - 9, 3x \u003d 21, x \u003d 7. Kapag nilulutas ang equation na ito, kahit na walang mga negatibong numero. Maaari naming ilipat ang mga termino na may hindi alam sa kanang bahagi, at walang hindi alam - sa kaliwa: 9 - 30 \u003d 3x - 6x, (-21) \u003d (-3x). Kapag hinahati ang isang negatibong numero sa isang negatibo, nakakakuha kami ng isang positibong sagot: x \u003d 7.
Ano ang nakikita natin?
Ang mga aksyon na may mga negatibong numero ay dapat humantong sa amin sa parehong sagot tulad ng mga aksyon na may mga positibong numero lamang. Hindi na natin maiisip ang tungkol sa praktikal na hindi kaangkupan at kahalagahan ng mga aksyon - tinutulungan nila tayong malutas ang problema nang mas mabilis, nang hindi binabawasan ang equation sa anyo lamang na may mga positibong numero. Sa aming halimbawa, hindi kami gumamit ng mga kumplikadong kalkulasyon, ngunit may sa malaking bilang mga tuntunin, ang mga kalkulasyon na may mga negatibong numero ay maaaring gawing mas madali ang ating trabaho.
Sa paglipas ng panahon, pagkatapos ng mahabang mga eksperimento at kalkulasyon, posible na matukoy ang mga patakaran na sinusunod ng lahat ng mga numero at aksyon sa kanila (sa matematika ay tinatawag silang mga axiom). Doon nanggaling isang axiom na nagsasaad na kapag pinarami mo ang dalawang negatibong numero, makakakuha ka ng positibong numero.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
Kapag nakikinig sa isang guro sa matematika, ang karamihan sa mga mag-aaral ay nakikita ang materyal bilang isang axiom. Kasabay nito, ilang tao ang sumusubok na pumunta sa ibaba at alamin kung bakit ang "minus" hanggang "plus" ay nagbibigay ng "minus" na senyales, at kapag ang dalawang negatibong numero ay pinarami, isang positibo ang lalabas.
Mga Batas ng Matematika
Karamihan sa mga nasa hustong gulang ay hindi maipaliwanag sa kanilang sarili o sa kanilang mga anak kung bakit ito nangyayari. Lubusan nilang natutunan ang materyal na ito sa paaralan, ngunit hindi man lang nila sinubukang alamin kung saan nagmula ang gayong mga alituntunin. Ngunit walang kabuluhan. Kadalasan, ang mga modernong bata ay hindi masyadong mapaniwalain, kailangan nilang makarating sa ilalim ng bagay at maunawaan, sabihin nating, bakit ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus". At kung minsan ang mga tomboy ay sadyang nagtatanong ng mga nakakalito na tanong upang tamasahin ang sandali na ang mga matatanda ay hindi makapagbigay ng isang maliwanag na sagot. At talagang isang sakuna kung ang isang batang guro ay nasangkot sa problema ...
Sa pamamagitan ng paraan, dapat tandaan na ang panuntunang nabanggit sa itaas ay wasto para sa parehong multiplikasyon at paghahati. Ang produkto ng negatibo at positibong numero ay magbibigay lamang ng "minus". Kung ang pag-uusapan natin ay tungkol sa dalawang digit na may tanda na "-", ang resulta ay magiging positibong numero. Ang parehong naaangkop sa paghahati. Kung isa sa mga Ang mga numero ay negatibo, pagkatapos ay ang quotient ay magkakaroon din ng sign na "- ".
Upang ipaliwanag ang kawastuhan ng batas na ito ng matematika, kinakailangan na bumalangkas ng mga axiom ng singsing. Ngunit kailangan mo munang maunawaan kung ano ito. Sa matematika, kaugalian na tawagan ang isang singsing na isang set kung saan ang dalawang operasyon na may dalawang elemento ay kasangkot. Ngunit ito ay mas mahusay na maunawaan ito sa isang halimbawa.
Ring axiom
Mayroong ilang mga batas sa matematika.
- Ang una sa kanila ay displaceable, ayon sa kanya, C + V = V + C.
- Ang pangalawa ay tinatawag na associative (V + C) + D = V + (C + D).
Ang multiplikasyon (V x C) x D \u003d V x (C x D) ay sumusunod din sa kanila.
Walang nagkansela ng mga panuntunan kung saan binubuksan ang mga bracket (V + C) x D = V x D + C x D, totoo rin na C x (V + D) = C x V + C x D.
Bilang karagdagan, ito ay itinatag na ang isang espesyal, karagdagan-neutral na elemento ay maaaring ipasok sa singsing, gamit kung saan ang mga sumusunod ay magiging totoo: C + 0 = C. Bilang karagdagan, para sa bawat C mayroong isang kabaligtaran na elemento, na maaaring matukoy bilang (-C). Sa kasong ito, C + (-C) \u003d 0.
Pinagmulan ng mga axiom para sa mga negatibong numero
Ang pagkakaroon ng pagtanggap sa mga pahayag sa itaas, maaari naming sagutin ang tanong: "" Plus" sa "minus" ay nagbibigay ng kung ano ang sign? Ang pag-alam sa axiom tungkol sa pagpaparami ng mga negatibong numero, kinakailangan upang kumpirmahin na sa katunayan (-C) x V = -(C x V). At totoo rin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: (-(-C)) = C.
Upang gawin ito, kailangan muna nating patunayan na ang bawat isa sa mga elemento ay may isang kabaligtaran na "kapatid". Isaalang-alang ang sumusunod na halimbawa ng patunay. Subukan nating isipin na ang dalawang numero ay magkasalungat para sa C - V at D. Mula dito sumusunod na ang C + V = 0 at C + D = 0, iyon ay, C + V = 0 = C + D. Pag-alala sa mga batas ng displacement at tungkol sa mga katangian ng numero 0, maaari nating isaalang-alang ang kabuuan ng lahat ng tatlong numero: C, V at D. Subukan nating alamin ang halaga ng V. Lohikal na V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, dahil ang halaga ng C + D, tulad ng tinanggap sa itaas, ay katumbas ng 0. Kaya, V = V + C + D.
Ang halaga para sa D ay hinango sa parehong paraan: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Batay dito, nagiging malinaw na ang V = D.
Upang maunawaan kung bakit, gayunpaman, ang "plus" sa "minus" ay nagbibigay ng "minus", kailangan mong maunawaan ang mga sumusunod. Kaya, para sa elemento (-C), ang kabaligtaran ay C at (-(-C)), iyon ay, sila ay katumbas ng bawat isa.
Pagkatapos ay halata na 0 x V \u003d (C + (-C)) x V \u003d C x V + (-C) x V. Sumusunod dito na ang C x V ay kabaligtaran ng (-) C x V , na nangangahulugang (- C) x V = -(C x V).
Para sa kumpletong mathematical rigor, kinakailangan ding kumpirmahin na 0 x V = 0 para sa anumang elemento. Kung susundin mo ang lohika, pagkatapos ay 0 x V \u003d (0 + 0) x V \u003d 0 x V + 0 x V. Nangangahulugan ito na ang pagdaragdag ng produkto 0 x V ay hindi nagbabago sa itinakdang halaga sa anumang paraan. Pagkatapos ng lahat, ang produktong ito ay katumbas ng zero.
Ang pag-alam sa lahat ng mga axiom na ito, ang isang tao ay maaaring mahihinuha hindi lamang kung gaano kalaki ang ibinibigay ng "plus" ng "minus", kundi pati na rin kung ano ang mangyayari kapag ang mga negatibong numero ay pinarami.
Pagpaparami at paghahati ng dalawang numero na may tandang "-".
Kung hindi mo malalaman ang mga nuances sa matematika, maaari mong subukang ipaliwanag ang mga patakaran ng pagkilos na may mga negatibong numero sa mas simpleng paraan.
Ipagpalagay na ang C - (-V) = D, batay dito, C = D + (-V), iyon ay, C = D - V. Inilipat namin ang V at nakuha namin iyon C + V = D. Iyon ay, C + V = C - (-V). Ipinapaliwanag ng halimbawang ito kung bakit sa isang expression kung saan mayroong dalawang "minus" sa isang hilera, ang nabanggit na mga palatandaan ay dapat na baguhin sa "plus". Ngayon ay haharapin natin ang multiplikasyon.
(-C) x (-V) \u003d D, dalawang magkaparehong produkto ang maaaring idagdag at ibawas sa expression, na hindi magbabago sa halaga nito: (-C) x (-V) + (C x V) - (C x V) \u003d D.
Ang pag-alala sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga bracket, makakakuha tayo ng:
1) (-C) x (-V) + (C x V) + (-C) x V = D;
2) (-C) x ((-V) + V) + C x V = D;
3) (-C) x 0 + C x V = D;
Ito ay sumusunod mula dito na C x V \u003d (-C) x (-V).
Katulad nito, maaari nating patunayan na ang resulta ng paghahati ng dalawang negatibong numero ay magiging positibo.
Pangkalahatang mga tuntunin sa matematika
Siyempre, ang ganitong paliwanag ay hindi angkop para sa mga mag-aaral sa elementarya na nagsisimula pa lamang matuto ng mga abstract na negatibong numero. Mas mainam para sa kanila na magpaliwanag sa mga nakikitang bagay, manipulahin ang pamilyar na termino sa pamamagitan ng salamin. Halimbawa, imbento, ngunit hindi umiiral na mga laruan ay matatagpuan doon. Maaaring ipakita ang mga ito na may "-" sign. Ang pagpaparami ng dalawang bagay na may salamin ay naglilipat sa kanila sa ibang mundo, na tinutumbas sa kasalukuyan, iyon ay, bilang resulta, mayroon tayong mga positibong numero. Ngunit ang pagpaparami ng abstract na negatibong numero sa isang positibo ay nagbibigay lamang ng resultang pamilyar sa lahat. Pagkatapos ng lahat, ang "plus" na pinarami ng "minus" ay nagbibigay ng "minus". Totoo, ang mga bata ay hindi nagsisikap nang husto upang bungkalin ang lahat ng mga nuances sa matematika. 
Bagaman, kung haharapin mo ang katotohanan, para sa maraming tao, kahit na may mas mataas na edukasyon, maraming mga patakaran ang nananatiling isang misteryo. Ang bawat tao'y tumatagal para sa ipinagkaloob kung ano ang itinuturo ng mga guro sa kanila, hindi sa kawalan upang bungkalin ang lahat ng mga kumplikado na puno ng matematika. Ang "Minus" sa "minus" ay nagbibigay ng "plus" - alam ng lahat ang tungkol dito nang walang pagbubukod. Ito ay totoo para sa parehong mga integer at fractional na numero.
Pansin, NGAYON lang!
- Mga Paraan ng Pag-uuri sa Programming: Bubble Sort
