In diesem Artikel werden wir uns ausführlich mit dem Konzept des Kreuzprodukts zweier Vektoren befassen. Wir geben die notwendigen Definitionen, schreiben eine Formel zum Ermitteln der Koordinaten eines Vektorprodukts, listen seine Eigenschaften auf und begründen sie. Anschließend beschäftigen wir uns mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts zweier Vektoren und betrachten Lösungen für verschiedene typische Beispiele.

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Definition von Kreuzprodukt.

Bevor wir ein Vektorprodukt definieren, wollen wir die Orientierung eines geordneten Vektortripels im dreidimensionalen Raum verstehen.

Zeichnen wir die Vektoren von einem Punkt aus. Abhängig von der Richtung des Vektors können die drei rechts oder links sein. Schauen wir uns vom Ende des Vektors an, wie die kürzeste Abzweigung vom Vektor nach erfolgt. Erfolgt die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn, wird das Vektortripel aufgerufen Rechts, sonst - links.

Nehmen wir nun zwei nichtkollineare Vektoren und . Zeichnen wir die Vektoren und von Punkt A aus. Konstruieren wir einen Vektor senkrecht zu beiden und und . Offensichtlich können wir beim Konstruieren eines Vektors zwei Dinge tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Abhängig von der Richtung des Vektors kann das geordnete Vektortripel rechtshändig oder linkshändig sein.

Damit kommen wir der Definition eines Vektorprodukts nahe. Sie gilt für zwei Vektoren, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Definition.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren und , angegeben in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums, wird ein Vektor genannt, so dass

Das Kreuzprodukt von Vektoren wird als bezeichnet.

Koordinaten des Vektorprodukts.

Jetzt geben wir die zweite Definition eines Vektorprodukts, die es Ihnen ermöglicht, seine Koordinaten aus den Koordinaten gegebener Vektoren und zu ermitteln.

Definition.

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren Und ist ein Vektor, wobei die Koordinatenvektoren sind.

Diese Definition gibt uns das Kreuzprodukt in Koordinatenform.

Es ist zweckmäßig, das Vektorprodukt als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung darzustellen, deren erste Zeile die Vektoren, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors und die dritte Zeile die Koordinaten des Vektors in einer gegebenen Zeile enthält rechteckiges Koordinatensystem:

Wenn wir diese Determinante auf die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit aus der Definition des Vektorprodukts in Koordinaten (siehe ggf. den Artikel):

Es ist zu beachten, dass die Koordinatenform des Vektorprodukts vollständig mit der Definition im ersten Absatz dieses Artikels übereinstimmt. Darüber hinaus sind diese beiden Definitionen eines Kreuzprodukts äquivalent. Den Beweis dieser Tatsache finden Sie in dem Buch, das am Ende des Artikels aufgeführt ist.

Eigenschaften eines Vektorprodukts.

Da das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt werden kann, lässt sich das Folgende auf dieser Grundlage leicht begründen Eigenschaften des Kreuzprodukts:

Lassen Sie uns als Beispiel die antikommutative Eigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

A-Priorat Und . Wir wissen, dass sich der Wert der Determinante einer Matrix umkehrt, wenn zwei Zeilen vertauscht werden. Daher gilt: , was die antikommutative Eigenschaft eines Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen.

Es gibt hauptsächlich drei Arten von Problemen.

Bei Problemen des ersten Typs sind die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, und Sie müssen die Länge des Vektorprodukts ermitteln. In diesem Fall wird die Formel verwendet .

Beispiel.

Finden Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und, falls bekannt .

Lösung.

Aus der Definition wissen wir, dass die Länge des Vektorprodukts von Vektoren gleich dem Produkt der Längen von Vektoren und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist, daher gilt: .

Antwort:

.

Probleme der zweiten Art beziehen sich auf die Koordinaten von Vektoren, bei denen das Vektorprodukt, seine Länge oder irgendetwas anderes anhand der Koordinaten gegebener Vektoren gesucht wird Und .

Hier sind viele verschiedene Optionen möglich. Beispielsweise können nicht die Koordinaten der Vektoren und angegeben werden, sondern deren Erweiterungen in Koordinatenvektoren der Form und , oder Vektoren und können durch die Koordinaten ihrer Start- und Endpunkte angegeben werden.

Schauen wir uns typische Beispiele an.

Beispiel.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Vektoren angegeben . Finden Sie ihr Kreuzprodukt.

Lösung.

Nach der zweiten Definition wird das Vektorprodukt zweier Vektoren in Koordinaten wie folgt geschrieben:

Zum gleichen Ergebnis wären wir gekommen, wenn das Vektorprodukt in Form der Determinante geschrieben worden wäre

Antwort:

.

Beispiel.

Ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und , wobei die Einheitsvektoren des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Lösung.

Zuerst ermitteln wir die Koordinaten des Vektorprodukts in einem gegebenen rechteckigen Koordinatensystem.

Da Vektoren und Koordinaten bzw. haben (siehe ggf. die Artikelkoordinaten eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem), dann haben wir nach der zweiten Definition eines Vektorprodukts

Das heißt, das Vektorprodukt hat Koordinaten in einem gegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge eines Vektorprodukts als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten (diese Formel für die Länge eines Vektors haben wir im Abschnitt über die Ermittlung der Länge eines Vektors erhalten):

Antwort:

.

Beispiel.

In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten von drei Punkten angegeben. Finden Sie einen Vektor, der senkrecht und gleichzeitig senkrecht ist.

Lösung.

Vektoren und haben jeweils Koordinaten und (siehe den Artikel Ermitteln der Koordinaten eines Vektors anhand der Koordinaten von Punkten). Wenn wir das Vektorprodukt der Vektoren und finden, dann ist es per Definition ein Vektor senkrecht zu sowohl zu als auch zu , das heißt, es ist eine Lösung für unser Problem. Lasst uns ihn finden

Antwort:

- einer der senkrechten Vektoren.

Bei Problemen der dritten Art wird die Fähigkeit getestet, die Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren zu nutzen. Nach dem Anwenden der Eigenschaften werden die entsprechenden Formeln angewendet.

Beispiel.

Die Vektoren und stehen senkrecht zueinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts .

Lösung.

Durch die Verteilungseigenschaft eines Vektorprodukts können wir schreiben

Aufgrund der Kombinationseigenschaft entnehmen wir im letzten Ausdruck die numerischen Koeffizienten aus dem Vorzeichen der Vektorprodukte:

Die Vektorprodukte und sind seitdem gleich Null Und , Dann .

Da das Vektorprodukt antikommutativ ist, gilt .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts kamen wir also zur Gleichheit .

Gemäß der Bedingung stehen die Vektoren und senkrecht zueinander, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich . Das heißt, wir haben alle Daten, um die erforderliche Länge zu finden

Antwort:

.

Geometrische Bedeutung eines Vektorprodukts.

Per Definition beträgt die Länge des Vektorprodukts von Vektoren . Und aus einem Geometriekurs an der High School wissen wir, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts aus den Längen der beiden Seiten des Dreiecks und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Folglich ist die Länge des Vektorprodukts gleich der doppelten Fläche eines Dreiecks, dessen Seiten die Vektoren und sind, wenn sie von einem Punkt aus aufgetragen werden. Mit anderen Worten, die Länge des Vektorprodukts der Vektoren und ist gleich der Fläche eines Parallelogramms mit den Seiten und und dem Winkel zwischen ihnen gleich. Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

GEMISCHTES PRODUKT AUS DREI VEKTOREN UND SEINE EIGENSCHAFTEN

Gemischte Arbeit drei Vektoren nennt man eine Zahl gleich . Festgelegt . Hier werden die ersten beiden Vektoren vektoriell multipliziert und anschließend wird der resultierende Vektor skalar mit dem dritten Vektor multipliziert. Offensichtlich handelt es sich bei einem solchen Produkt um eine bestimmte Anzahl.

Betrachten wir die Eigenschaften eines gemischten Produkts.

1. Geometrische Bedeutung gemischte Arbeit. Das gemischte Produkt von 3 Vektoren ist bis auf ein Vorzeichen gleich dem Volumen des auf diesen Vektoren aufgebauten Parallelepipeds, wie auf Kanten, d.h. .

   So und .

   

   Nachweisen. Lassen Sie uns die Vektoren vom gemeinsamen Ursprung beiseite legen und darauf ein Parallelepiped bauen. Lassen Sie uns das bezeichnen und notieren. Per Definition des Skalarprodukts

   Nehmen wir das an und bezeichnen es mit H Finden Sie die Höhe des Parallelepipeds.

   Also wann

   Wenn, dann ja. Somit, .

   Wenn wir diese beiden Fälle kombinieren, erhalten wir oder .

   Insbesondere aus dem Beweis dieser Eigenschaft folgt, dass, wenn das Vektortripel rechtshändig ist, das gemischte Produkt ist, und wenn es linkshändig ist, dann.

2. Für alle Vektoren gilt die Gleichheit

   Der Beweis dieser Eigenschaft folgt aus Eigenschaft 1. Tatsächlich ist es leicht zu zeigen, dass und . Außerdem werden die Zeichen „+“ und „–“ gleichzeitig genommen, weil Die Winkel zwischen den Vektoren und und und sind sowohl spitz als auch stumpf.

3. Wenn zwei beliebige Faktoren neu angeordnet werden, ändert das gemischte Produkt das Vorzeichen.

   Wenn wir tatsächlich ein gemischtes Produkt betrachten, dann zum Beispiel oder

4. Ein gemischtes Produkt genau dann, wenn einer der Faktoren gleich Null ist oder die Vektoren koplanar sind.

   Nachweisen.

   Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Koplanarität von 3 Vektoren ist also, dass ihr gemischtes Produkt gleich Null ist. Darüber hinaus folgt, dass drei Vektoren eine Basis im Raum bilden, wenn .

   Wenn die Vektoren in Koordinatenform angegeben werden, kann gezeigt werden, dass ihr gemischtes Produkt durch die Formel ermittelt wird:

   .

   Somit ist das gemischte Produkt gleich der Determinante dritter Ordnung, die die Koordinaten des ersten Vektors in der ersten Zeile, die Koordinaten des zweiten Vektors in der zweiten Zeile und die Koordinaten des dritten Vektors in der dritten Zeile hat.

   Beispiele.

ANALYTISCHE GEOMETRIE IM RAUM

Die gleichung F(x, y, z)= 0 definiert im Raum Oxyz etwas Oberfläche, d.h. Ort der Punkte, deren Koordinaten x, y, z diese Gleichung erfüllen. Diese Gleichung wird Oberflächengleichung genannt und x, y, z– aktuelle Koordinaten.

Allerdings wird die Oberfläche oft nicht durch eine Gleichung angegeben, sondern als eine Menge von Punkten im Raum, die die eine oder andere Eigenschaft haben. In diesem Fall ist es notwendig, die Gleichung der Oberfläche anhand ihrer geometrischen Eigenschaften zu finden.

FLUGZEUG.

NORMALER FLUGZEUGVEKTOR.

GLEICHUNG EINES FLUGZEUGS, DAS DURCH EINEN BESTIMMTEN PUNKT FLIEGT

Betrachten wir eine beliebige Ebene σ im Raum. Seine Position wird durch die Angabe eines Vektors senkrecht zu dieser Ebene und eines festen Punktes bestimmt M0(x 0, y 0, z 0), in der σ-Ebene liegend.

Der Vektor senkrecht zur Ebene σ heißt normal Vektor dieser Ebene. Der Vektor soll Koordinaten haben.

Lassen Sie uns die Gleichung der Ebene σ herleiten, die durch diesen Punkt verläuft M0 und einen Normalenvektor haben. Nehmen Sie dazu einen beliebigen Punkt auf der Ebene σ M(x, y, z) und betrachte den Vektor.

Für jeden Punkt MО σ ist ein Vektor, daher ist ihr Skalarprodukt gleich Null. Diese Gleichheit ist die Bedingung, dass der Punkt MО σ. Sie gilt für alle Punkte dieser Ebene und wird verletzt, sobald der Punkt erreicht ist M wird außerhalb der σ-Ebene liegen.

Wenn wir die Punkte durch den Radiusvektor bezeichnen M, – Radiusvektor des Punktes M0, dann kann die Gleichung in der Form geschrieben werden

Diese Gleichung heißt Vektor Ebenengleichung. Schreiben wir es in Koordinatenform. Seit damals

Wir haben also die Gleichung der Ebene erhalten, die durch diesen Punkt verläuft. Um also eine Gleichung einer Ebene zu erstellen, müssen Sie die Koordinaten des Normalenvektors und die Koordinaten eines auf der Ebene liegenden Punktes kennen.

Beachten Sie, dass die Gleichung der Ebene eine Gleichung 1. Grades in Bezug auf die aktuellen Koordinaten ist x, y Und z.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNG DES FLUGZEUGS

Es kann gezeigt werden, dass jede Gleichung ersten Grades in Bezug auf kartesische Koordinaten gilt x, y, z stellt die Gleichung einer Ebene dar. Diese Gleichung wird geschrieben als:

Ax+By+Cz+D=0

und heißt allgemeine Gleichung Ebene und die Koordinaten A, B, C Hier sind die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene.

Betrachten wir Sonderfälle der allgemeinen Gleichung. Lassen Sie uns herausfinden, wie sich die Ebene relativ zum Koordinatensystem befindet, wenn einer oder mehrere Koeffizienten der Gleichung Null werden.

A ist die Länge des Segments, das von der Ebene auf der Achse abgeschnitten wird Ochse. Ebenso lässt sich das zeigen B Und C– Längen der Segmente, die von der betrachteten Ebene auf den Achsen abgeschnitten werden Oy Und Oz.

Es ist praktisch, die Gleichung einer Ebene in Segmenten zu verwenden, um Ebenen zu konstruieren.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren, es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt, es wird sogar weniger typische Aufgaben geben. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich gezielt mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zusammenzustellen, die in der praktischen Arbeit häufig zu finden sind

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei oder sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Warum? So entstanden diese Aktionen – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In unterschiedlicher pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren; ich werde den Buchstaben verwenden.

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es ist angebracht, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Es werden Vektoren genommen in einer streng definierten Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, und nicht „be“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Erhalten wir die zweite wichtige Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand. Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen– Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als etwas weit hergeholtes oder abstraktes betrachtet werden - zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut ist es, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt abzuwarten, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „fügt“ sich auch zu einer Geraden zusammen. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann Und . Bitte beachten Sie, dass das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor ist, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es auch gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie möglicherweise trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Wenn Sie nach der Länge gefragt wurden, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht, nach dem wir gefragt wurden Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es viele Literalisten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden hat. Dieser Punkt muss bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern stets unter Kontrolle gehalten werden.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine DIY-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht hervorgehoben, ist aber aus praktischer Sicht sehr wichtig. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollen sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung bzw verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir verschieben die Konstante aus dem Modul heraus und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren. Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und letzte Term sind aufgrund der Nice-Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor. Hier ein Beispiel, wie Sie es selbst lösen können:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich hängt alles von der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln ab.

Ein gemischtes Produkt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“ zu bezeichnen.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann ein gemischtes Produkt negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.

Bevor wir das Konzept eines Vektorprodukts angeben, wenden wir uns der Frage nach der Orientierung eines geordneten Tripels der Vektoren a →, b →, c → im dreidimensionalen Raum zu.

Lassen Sie uns zunächst die Vektoren a → , b → , c → von einem Punkt beiseite legen. Die Ausrichtung des Tripels a → , b → , c → kann je nach Richtung des Vektors c → selbst rechts oder links sein. Der Typ des Tripels a → , b → , c → wird aus der Richtung bestimmt, in der die kürzeste Drehung vom Vektor a → nach b → vom Ende des Vektors c → aus durchgeführt wird.

Wird die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn ausgeführt, so heißt das Vektortripel a → , b → , c → Rechts, wenn im Uhrzeigersinn – links.

Nehmen Sie als nächstes zwei nicht kollineare Vektoren a → und b →. Zeichnen wir dann die Vektoren A B → = a → und A C → = b → vom Punkt A aus. Konstruieren wir einen Vektor A D → = c →, der gleichzeitig senkrecht zu A B → und A C → steht. Wenn wir also den Vektor selbst A D → = c → konstruieren, können wir dies auf zwei Arten tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte Richtung geben (siehe Abbildung).

Ein geordnetes Tripel der Vektoren a → , b → , c → kann, wie wir herausgefunden haben, je nach Richtung des Vektors rechts oder links sein.

Aus dem Obigen können wir die Definition eines Vektorprodukts einführen. Diese Definition gilt für zwei Vektoren, die in einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert sind.

Definition 1

Das Vektorprodukt zweier Vektoren a → und b → Wir nennen einen solchen Vektor, der in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums definiert ist, so dass:

• wenn die Vektoren a → und b → kollinear sind, ist es Null;
• es wird sowohl zum Vektor a → ​​​​ als auch zum Vektor b → senkrecht sein, d. h. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seine Länge wird durch die Formel bestimmt: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• Das Vektortripel a → , b → , c → hat die gleiche Orientierung wie das gegebene Koordinatensystem.

Das Vektorprodukt der Vektoren a → und b → hat die folgende Notation: a → × b →.

Koordinaten des Vektorprodukts

Da jeder Vektor bestimmte Koordinaten im Koordinatensystem hat, können wir eine zweite Definition eines Vektorprodukts einführen, die es uns ermöglicht, seine Koordinaten anhand der gegebenen Koordinaten der Vektoren zu ermitteln.

Definition 2

In einem rechteckigen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Vektorprodukt zweier Vektoren a → = (a x ; a y ; a z) und b → = (b x ; b y ; b z) heißt ein Vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , wobei i → , j → , k → Koordinatenvektoren sind.

Das Vektorprodukt kann als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung dargestellt werden, wobei die erste Zeile die Vektorvektoren i → , j → , k → enthält, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors a → enthält und die dritte Zeile enthält die Koordinaten des Vektors b → in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem, das ist die Determinante der Matrix und sieht so aus: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Wenn wir diese Determinante auf die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir die Gleichheit: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Eigenschaften eines Kreuzprodukts

Es ist bekannt, dass das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt wird c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , dann auf der Basis Eigenschaften der Matrixdeterminante Folgendes wird angezeigt Eigenschaften eines Vektorprodukts:

1. Antikommutativität a → × b → = - b → × a → ;
2. Distributivität a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → oder a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. Assoziativität λ a → × b → = λ a → × b → oder a → × (λ b →) = λ a → × b →, wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist.

Für diese Eigenschaften gibt es einfache Beweise.

Als Beispiel können wir die antikommutative Eigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

Beweis der Antikommutativität

Per Definition ist a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z und b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Und wenn zwei Zeilen der Matrix vertauscht werden, sollte sich der Wert der Determinante der Matrix ins Gegenteil ändern, also a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , was beweist, dass das Vektorprodukt antikommutativ ist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen

In den meisten Fällen gibt es drei Arten von Problemen.

Bei Problemen der ersten Art werden normalerweise die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen angegeben, und Sie müssen die Länge des Vektorprodukts ermitteln. Verwenden Sie in diesem Fall die folgende Formel c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Beispiel 1

Finden Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren a → und b →, wenn Sie a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 kennen.

Lösung

Indem wir die Länge des Vektorprodukts der Vektoren a → und b → bestimmen, lösen wir dieses Problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Antwort: 15 2 2 .

Probleme der zweiten Art haben einen Zusammenhang mit den Koordinaten von Vektoren, in ihnen dem Vektorprodukt, seiner Länge usw. werden anhand der bekannten Koordinaten gegebener Vektoren gesucht a → = (a x; a y; a z) Und b → = (b x ; b y ; b z) .

Für diese Art von Problem können Sie viele Aufgabenoptionen lösen. Beispielsweise können nicht die Koordinaten der Vektoren a → und b → angegeben werden, sondern deren Entwicklungen in Koordinatenvektoren der Form b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → und c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, oder Vektoren a → und b → können durch die Koordinaten ihres Starts angegeben werden und Endpunkte.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele.

Beispiel 2

In einem rechteckigen Koordinatensystem sind zwei Vektoren gegeben: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Finden Sie ihr Kreuzprodukt.

Lösung

Nach der zweiten Definition finden wir das Vektorprodukt zweier Vektoren in gegebenen Koordinaten: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Wenn wir das Vektorprodukt durch die Determinante der Matrix schreiben, dann sieht die Lösung dieses Beispiels so aus: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Antwort: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Beispiel 3

Ermitteln Sie die Länge des Vektorprodukts der Vektoren i → - j → und i → + j → + k →, wobei i →, j →, k → die Einheitsvektoren des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Lösung

Suchen wir zunächst die Koordinaten eines gegebenen Vektorprodukts i → - j → × i → + j → + k → in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Es ist bekannt, dass die Vektoren i → - j → und i → + j → + k → die Koordinaten (1; - 1; 0) bzw. (1; 1; 1) haben. Finden wir die Länge des Vektorprodukts mithilfe der Determinante der Matrix, dann gilt i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Daher hat das Vektorprodukt i → - j → × i → + j → + k → Koordinaten (- 1 ; - 1 ; 2) im gegebenen Koordinatensystem.

Wir ermitteln die Länge des Vektorprodukts mithilfe der Formel (siehe Abschnitt zum Ermitteln der Länge eines Vektors): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Antwort: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Beispiel 4

In einem rechteckigen kartesischen Koordinatensystem sind die Koordinaten von drei Punkten A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) angegeben. Finden Sie gleichzeitig einen Vektor senkrecht zu A B → und A C →.

Lösung

Die Vektoren A B → und A C → haben die folgenden Koordinaten (- 1 ; 2 ; 2) bzw. (0 ; 4 ; 1). Nachdem wir das Vektorprodukt der Vektoren A B → und A C → gefunden haben, ist es offensichtlich, dass es per Definition ein senkrechter Vektor sowohl zu A B → als auch zu A C → ist, das heißt, es ist eine Lösung für unser Problem. Finden wir es A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Antwort: - 6 i → + j → - 4 k → . - einer der senkrechten Vektoren.

Probleme des dritten Typs konzentrieren sich auf die Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren. Nach deren Anwendung erhalten wir eine Lösung für das gegebene Problem.

Beispiel 5

Die Vektoren a → und b → stehen senkrecht aufeinander und ihre Längen betragen 3 bzw. 4. Finden Sie die Länge des Vektorprodukts 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Lösung

Durch die Verteilungseigenschaft eines Vektorprodukts können wir schreiben: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Durch die Eigenschaft der Assoziativität entnehmen wir die numerischen Koeffizienten aus dem Vorzeichen der Vektorprodukte im letzten Ausdruck: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Die Vektorprodukte a → × a → und b → × b → sind gleich 0, da a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 und b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, dann 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Aus der Antikommutativität des Vektorprodukts folgt - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts erhalten wir die Gleichung 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Gemäß der Bedingung sind die Vektoren a → und b → senkrecht, d. h. der Winkel zwischen ihnen ist gleich π 2. Jetzt müssen nur noch die gefundenen Werte in die entsprechenden Formeln eingesetzt werden: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Antwort: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Die Länge des Vektorprodukts von Vektoren ist per Definition gleich a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Denn es ist bereits (aus dem Schulkurs) bekannt, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte des Produkts der Längen seiner beiden Seiten multipliziert mit dem Sinus des Winkels zwischen diesen Seiten ist. Folglich ist die Länge des Vektorprodukts gleich der Fläche des Parallelogramms – eines doppelten Dreiecks, nämlich dem Produkt der Seiten in Form der Vektoren a → und b →, die von einem Punkt aus durch den Sinus von angelegt werden der Winkel zwischen ihnen sin ∠ a →, b →.

Dies ist die geometrische Bedeutung eines Vektorprodukts.

Physikalische Bedeutung des Vektorprodukts

In der Mechanik, einem Zweig der Physik, kann man dank des Vektorprodukts das Moment einer Kraft relativ zu einem Punkt im Raum bestimmen.

Definition 3

Unter dem Kraftmoment F →, das auf Punkt B relativ zu Punkt A ausgeübt wird, verstehen wir das folgende Vektorprodukt A B → × F →.

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7.1. Definition von Kreuzprodukt

Drei nichtkoplanare Vektoren a, b und c bilden in der angegebenen Reihenfolge ein rechtshändiges Triplett, wenn vom Ende des dritten Vektors c aus die kürzeste Drehung vom ersten Vektor a zum zweiten Vektor b beobachtet wird gegen den Uhrzeigersinn sein, und ein linkshändiges Triplett, wenn im Uhrzeigersinn (siehe Abb. . 16).

Das Vektorprodukt von Vektor a und Vektor b wird Vektor c genannt, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, d. h. c ^ a und c ^ B ;

2. Hat eine Länge, die numerisch der Fläche eines Parallelogramms entspricht, das auf den Vektoren a und aufgebaut istB wie an den Seiten (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a, b und c bilden ein rechtshändiges Tripel.

Das Kreuzprodukt wird mit a x b oder [a,b] bezeichnet. Die folgenden Beziehungen zwischen den Einheitsvektoren i ergeben sich direkt aus der Definition des Vektorprodukts: J Und k(siehe Abb. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Lassen Sie uns zum Beispiel das beweisen i xj =k.

1) k ^ i, k ^ J ;

2) |k |=1, aber | ich x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) Vektoren i, j und k bilden ein Rechtstripel (siehe Abb. 16).

7.2. Eigenschaften eines Kreuzprodukts

1. Beim Umordnen der Faktoren ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen, d.h. und xb =(b xa) (siehe Abb. 19).

Die Vektoren a xb und b xa sind kollinear, haben die gleichen Module (die Fläche des Parallelogramms bleibt unverändert), sind aber entgegengesetzt gerichtet (Tripel a, b, a xb und a, b, b x a mit entgegengesetzter Ausrichtung). Das ist axb = -(b xa).

2. Das Vektorprodukt hat eine kombinierende Eigenschaft bezüglich des Skalarfaktors, d.h. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Sei l >0. Der Vektor l (a xb) steht senkrecht auf den Vektoren a und b. Vektor ( l Axt B ist auch senkrecht zu den Vektoren a und B(Vektoren a, l liegen aber in der gleichen Ebene). Das bedeutet, dass die Vektoren l(ein xb) und ( l Axt B kollinear. Es ist offensichtlich, dass ihre Richtungen übereinstimmen. Sie haben die gleiche Länge:

Deshalb l(a xb)= l ein xb. Es wird auf ähnliche Weise bewiesen für l<0.

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren a und B sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor ist, d. h. a ||b<=>und xb =0.

Insbesondere i *i =j *j =k *k =0 .

4. Das Vektorprodukt hat die Verteilungseigenschaft:

(a+b) xc = a xc + B xs.

Wir akzeptieren ohne Nachweis.

7.3. Das Kreuzprodukt in Koordinaten ausdrücken

Wir verwenden die Kreuzprodukttabelle der Vektoren i, J und k:

wenn die Richtung des kürzesten Weges vom ersten Vektor zum zweiten mit der Richtung des Pfeils übereinstimmt, dann ist das Produkt gleich dem dritten Vektor; wenn es nicht übereinstimmt, wird der dritte Vektor mit einem Minuszeichen genommen.

Gegeben seien zwei Vektoren a =a x i +a y J+a z k und b =b x ich+b y J+b z k. Finden wir das Vektorprodukt dieser Vektoren, indem wir sie als Polynome multiplizieren (gemäß den Eigenschaften des Vektorprodukts):

Die resultierende Formel lässt sich noch kürzer schreiben:

Da die rechte Seite der Gleichheit (7.1) der Entwicklung der Determinante dritter Ordnung anhand der Elemente der ersten Zeile entspricht, ist Gleichheit (7.2) leicht zu merken.

7.4. Einige Anwendungen von Cross-Produkten

Feststellung der Kollinearität von Vektoren

Ermitteln der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Vektorprodukts von Vektoren A und B |a xb | =|a | * |b |sin g, d. h. S Paare = |a x b |. Und daher ist D S =1/2|a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

An Punkt A soll eine Kraft wirken F =AB lassen Sie es gehen UM- irgendein Punkt im Raum (siehe Abb. 20).

Das ist aus der Physik bekannt Moment der Kraft F relativ zum Punkt UM wird als Vektor bezeichnet M, die durch den Punkt geht UM Und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte verläuft O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt der Kraft pro Arm

3) bildet ein Rechtstripel mit den Vektoren OA und A B.

Daher ist M = OA x F.

Ermitteln der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit v Punkt M eines starren Körpers, der sich mit Winkelgeschwindigkeit dreht w um eine feste Achse wird durch die Euler-Formel v =w xr bestimmt, wobei r =OM ist und O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).