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Einsteins Behauptung, dass Gott nicht mit dem Universum würfelt, wurde falsch interpretiert

Nur wenige von Einsteins Schlagworten wurden so oft zitiert wie seine Beobachtung, dass Gott nicht mit dem Universum würfelt. Die Leute werten seinen witzigen Kommentar natürlich als Beweis dafür, dass er dogmatisch gegen die Quantenmechanik war, die Zufälligkeit als charakteristisches Merkmal der physischen Welt betrachtet. Wenn der Kern eines radioaktiven Elements zerfällt, geschieht dies spontan; es gibt keine Regel, die Ihnen genau sagt, wann oder warum dies geschieht. Wenn ein Lichtteilchen auf einen durchscheinenden Spiegel trifft, wird es entweder von diesem reflektiert oder durchdringt ihn. Das Ergebnis könnte bis zu dem Zeitpunkt, an dem dieses Ereignis stattfand, alles sein. Und man muss nicht in ein Labor gehen, um solche Prozesse zu sehen: Auf vielen Internetseiten werden Ströme von Zufallszahlen angezeigt, die von Geigerzählern oder quantenoptischen Geräten generiert werden. Da solche Zahlen auch im Prinzip unvorhersehbar sind, eignen sie sich ideal für Probleme in der Kryptographie, Statistik und bei Online-Pokerturnieren.

Einstein, wie die Standardlegende sagt. weigerte sich, die Tatsache zu akzeptieren, dass einige Ereignisse ihrer Natur nach indeterministisch sind. - Sie passieren einfach und man kann nichts tun, um herauszufinden, warum. Er blieb praktisch in herrlicher Isolation, umgeben von seinesgleichen, klammerte sich mit beiden Händen an das mechanische Universum der klassischen Physik und maß mechanisch Sekunden, in denen jeder Moment vorbestimmt, was im nächsten passieren wird. Die Linie des Würfelspiels wurde zum Hinweis auf die andere Seite seines Lebens: die Tragödie des zum Reaktionär gewordenen Revolutionärs, der die Physik mit seiner Relativitätstheorie revolutionierte, aber – wie Niels Bohr es diplomatisch ausdrückte – als er mit der Quantentheorie konfrontiert wurde, „ging“. ab zum Mittagessen.

Im Laufe der Jahre haben jedoch viele Historiker, Philosophen und Physiker diese Interpretation dieser Geschichte in Frage gestellt. Indem sie in das Meer von allem eintauchten, was Einstein tatsächlich sagte, entdeckten sie, dass seine Urteile über die Unvorhersehbarkeit radikaler waren und eine größere Bandbreite an Nuancen aufwiesen, als normalerweise dargestellt wird. „Der Versuch, die wahre Geschichte herauszufinden, wird zu einer Art Mission“, sagt Don A. Howard, Historiker an der Universität Notre Dame. „Es ist erstaunlich, wenn man in die Archive geht und eine Diskrepanz zur herkömmlichen Meinung sieht.“ Wie er und andere Wissenschaftshistoriker gezeigt haben, erkannte Einstein die indeterministische Natur der Quantenmechanik – was nicht überraschend ist, da er es war, der ihren Indeterminismus entdeckte. Was er nie erkannte, war, dass der Indeterminismus von grundlegender Natur ist. All dies deutete darauf hin, dass das Problem auf einer tieferen Ebene der Realität entstand, die die Theorie nicht widerspiegelte. Seine Kritik war nicht mystisch, sondern konzentrierte sich auf konkrete wissenschaftliche Probleme, die bis heute ungelöst sind.

Die Frage, ob das Universum ein Uhrwerk oder ein Würfeltisch ist, zerstört die Grundlagen dessen, was wir unter Physik verstehen: die Suche nach einfachen Regeln, die der erstaunlichen Vielfalt der Natur zugrunde liegen. Wenn etwas ohne Grund geschieht, macht es der rationalen Forschung ein Ende. „Fundamentaler Indeterminismus wäre das Ende der Wissenschaft“, sagt Andrew S. Friedman, Kosmologe am Massachusetts Institute of Technology. Dennoch haben Philosophen im Laufe der Geschichte geglaubt, dass Indeterminismus eine notwendige Voraussetzung für den freien Willen des Menschen sei. Entweder sind wir alle Rädchen in einem Uhrwerk und daher ist alles, was wir tun, vorbestimmt, oder wir bestimmen unser eigenes Schicksal. In diesem Fall darf das Universum doch nicht deterministisch sein.

Diese Dichotomie hatte sehr reale Konsequenzen für die Art und Weise, wie die Gesellschaft Menschen für ihre Handlungen zur Rechenschaft zieht. Unser Rechtssystem basiert auf der Annahme des freien Willens; Damit der Angeklagte für schuldig befunden werden kann, muss er vorsätzlich gehandelt haben. Gerichte rätseln ständig über die Frage: Was ist, wenn eine Person aufgrund von Wahnsinn, jugendlicher Impulsivität oder einem schlechten sozialen Umfeld unschuldig ist?

Wenn Menschen jedoch über Dichotomie sprechen, neigen sie dazu, sie als Missverständnis zu entlarven. Tatsächlich glauben viele Philosophen, dass es sinnlos ist, darüber zu sprechen, ob das Universum deterministisch oder nicht deterministisch ist. Es kann beides sein, je nachdem, wie groß oder komplex das Untersuchungsobjekt ist: Partikel, Atome, Moleküle, Zellen, Organismen, Psyche, Gemeinschaften. „Der Unterschied zwischen Determinismus und Indeterminismus hängt von der Ebene der Untersuchung des Problems ab“, sagt Christian List, ein Philosoph an der London School of Economics and Political Science. „Selbst wenn man Determinismus auf einer bestimmten Ebene beobachtet, ist er es.“ ganz im Einklang mit dem Indeterminismus sowohl auf höheren als auch auf niedrigeren Ebenen.“ Die Atome in unserem Gehirn können sich völlig deterministisch verhalten und geben uns gleichzeitig Handlungsfreiheit, da Atome und Organe auf unterschiedlichen Ebenen funktionieren.

In ähnlicher Weise suchte Einstein nach einem deterministischen Subquantenniveau, leugnete aber gleichzeitig nicht, dass das Quantenniveau probabilistisch ist.

Wogegen hatte Einstein Einwände?

Wie Einstein das Etikett des Gegners der Quantentheorie erhielt, ist ein Rätsel, das fast so groß ist wie die Quantenmechanik selbst. Das eigentliche Konzept eines Quantums – einer diskreten Energieeinheit – war die Frucht seiner Überlegungen im Jahr 1905, und anderthalb Jahrzehnte lang verteidigte er es fast im Alleingang. Einstein hat dies vorgeschlagen. Was Physiker heute als die Hauptmerkmale der Quantenphysik betrachten, wie etwa die seltsame Fähigkeit des Lichts, sowohl als Teilchen als auch als Welle zu wirken, und aus seinen Überlegungen zur Wellenphysik entwickelte Erwin Schrödinger die am weitesten verbreitete Quantenformulierung Theorie in den 1920er Jahren. Auch Einstein war kein Gegner des Zufalls. Im Jahr 1916 zeigte er, dass bei der Emission von Photonen durch Atome der Zeitpunkt und die Richtung der Emission Zufallsvariablen sind.

„Dies widerspricht dem weit verbreiteten Bild von Einstein als Gegner des probabilistischen Ansatzes“, argumentiert Jan von Plato von der Universität Helsinki. Doch Einstein und seine Zeitgenossen standen vor einem ernsten Problem. Quantenphänomene sind zufällig, die Quantentheorie selbst jedoch nicht. Die Schrödinger-Gleichung ist zu 100 % deterministisch. Es beschreibt ein Teilchen oder ein Teilchensystem mithilfe einer sogenannten Wellenfunktion, die sich die Wellennatur von Teilchen zunutze macht und das wellenartige Muster erklärt, das eine Ansammlung von Teilchen erzeugt. Die Gleichung sagt mit absoluter Sicherheit voraus, was zu einem bestimmten Zeitpunkt mit der Wellenfunktion passieren wird. In vielerlei Hinsicht ist diese Gleichung deterministischer als Newtons Bewegungsgesetze: Sie führt nicht zu Verwirrungen wie Singularität (wo die Mengen unendlich und daher unbeschreiblich werden) oder Chaos (wo die Bewegung unvorhersehbar wird).

Der Haken daran ist, dass der Determinismus der Schrödinger-Gleichung der Determinismus der Wellenfunktion ist und die Wellenfunktion im Gegensatz zu den Positionen und Geschwindigkeiten von Teilchen nicht direkt beobachtet werden kann. Stattdessen bestimmt die Wellenfunktion die beobachtbaren Größen und die Wahrscheinlichkeit jedes der möglichen Ergebnisse. Die Theorie lässt die Frage offen, was die Wellenfunktion selbst ist und ob sie buchstäblich als echte Welle in unserer materiellen Welt betrachtet werden sollte. Dementsprechend bleibt die Frage offen: Ist die beobachtete Zufälligkeit eine integrale innere Eigenschaft der Natur oder nur ihre Fassade? „Es wird behauptet, dass die Quantenmechanik nicht deterministisch sei, aber das ist eine zu voreilige Schlussfolgerung“, sagt der Philosoph Christian Wuthrich von der Universität Genf in der Schweiz.

Werner Heisenberg, ein weiterer Pionier der Quantentheorie, stellte sich die Wellenfunktion als einen Schleier vor, der auf eine mögliche Existenz hinweist. Wenn Sie nicht klar und eindeutig sagen können, wo sich ein Partikel befindet, liegt das daran, dass sich das Partikel nicht wirklich an einem bestimmten Ort befindet. Erst wenn man ein Teilchen beobachtet, materialisiert es sich irgendwo im Raum. Die Wellenfunktion könnte sich über einen riesigen Raumbereich ausbreiten, aber in dem Moment, in dem die Beobachtung gemacht wird, kollabiert sie sofort, schrumpft zu einem schmalen Punkt an einem einzigen bestimmten Ort und plötzlich erscheint dort ein Teilchen. Aber selbst wenn man das Teilchen betrachtet, knall! - Es verhält sich plötzlich nicht mehr deterministisch und springt in den Endzustand, wie ein Kind, das sich bei einem Spiel mit Musikstühlen einen Stuhl schnappt. (Das Spiel besteht darin, dass Kinder im Kreis zur Musik um Stühle tanzen, deren Anzahl um eins kleiner ist als die Anzahl der Spieler, und versuchen, sich auf einen freien Platz zu setzen, sobald die Musik aufhört.)

Es gibt kein Gesetz, das diesen Zusammenbruch regelt. Es gibt keine Gleichung dafür. Es passiert einfach – das ist alles! Der Kollaps wurde zu einem Schlüsselelement der Kopenhagener Interpretation: einer Sichtweise der Quantenmechanik, benannt nach der Stadt, in der Bohr und sein Institut zusammen mit Heisenberg einen Großteil der bahnbrechenden Arbeit geleistet haben. (Paradoxerweise hat Bohr selbst den Zusammenbruch der Wellenfunktion nie erkannt). Die Kopenhagener Schule betrachtet die beobachtete Zufälligkeit der Quantenphysik als ihr nominelles Merkmal, das keiner weiteren Erklärung zugänglich ist. Die meisten Physiker stimmen dem zu, einer der Gründe dafür ist der aus der Psychologie bekannte sogenannte Ankereffekt oder Ankereffekt: Das ist eine völlig zufriedenstellende Erklärung, und sie tauchte zuerst auf. Obwohl Einstein kein Gegner der Quantenmechanik war, war er sicherlich ein Gegner ihrer Kopenhagener Interpretation. Er ging von der Idee aus, dass der Akt der Messung einen Bruch in der kontinuierlichen Entwicklung des physikalischen Systems verursachte, und in diesem Zusammenhang begann er, seinen Widerstand gegen das göttliche Würfeln zum Ausdruck zu bringen. „Genau dieses Problem beklagte Einstein 1926, nicht den übergeordneten metaphysischen Anspruch des Determinismus als absolut notwendige Bedingung“, sagt Howard. „Er war besonders aktiv in der hitzigen Debatte darüber, ob der Zusammenbruch der Wellenfunktion zu einem Zusammenbruch führt.“ der Kontinuität.“

Pluralität der Realität.Und doch ist die Welt deterministisch oder nicht? Die Antwort auf diese Frage hängt nicht nur von den grundlegenden Bewegungsgesetzen ab, sondern auch von der Ebene, auf der wir das System beschreiben. Betrachten Sie fünf Atome in einem Gas, die sich deterministisch bewegen (oberes Diagramm). Sie beginnen ihre Reise fast am selben Ort und entfernen sich nach und nach. Auf makroskopischer Ebene (unteres Diagramm) sind jedoch nicht einzelne Atome sichtbar, sondern eine amorphe Strömung im Gas. Nach einiger Zeit wird sich das Gas wahrscheinlich zufällig in mehrere Ströme verteilen. Diese Zufälligkeit auf der Makroebene ist ein Nebenprodukt der Unkenntnis des Beobachters über die Gesetze auf der Mikroebene; sie ist eine objektive Eigenschaft der Natur, die die Art und Weise widerspiegelt, wie Atome zusammenkommen. In ähnlicher Weise schlug Einstein vor, dass die deterministische innere Struktur des Universums zur probabilistischen Natur des Quantenbereichs führt.

Ein Zusammenbruch könne kaum ein echter Prozess sein, argumentierte Einstein. Dies würde eine sofortige Aktion aus der Ferne erfordern – ein mysteriöser Mechanismus, durch den beispielsweise sowohl die linke als auch die rechte Seite der Wellenfunktion in denselben winzigen Punkt kollabieren, selbst wenn keine Kraft ihr Verhalten koordiniert. Nicht nur Einstein, sondern jeder Physiker seiner Zeit glaubte, dass ein solcher Prozess schneller als die Lichtgeschwindigkeit ablaufen müsste, was im offensichtlichen Widerspruch zur Relativitätstheorie steht. Tatsächlich gibt Ihnen die Quantenmechanik nicht nur Würfel, sondern auch Würfelpaare, die immer auf den gleichen Seiten erscheinen, selbst wenn Sie einen auf Vegas und den anderen auf Vega würfeln. Für Einstein schien es offensichtlich, dass es sich bei den Würfeln um Betrüger handeln musste, die es ihnen ermöglichten, das Ergebnis der Würfe im Voraus heimlich zu beeinflussen. Die Kopenhagener Schule bestreitet jedoch jede solche Möglichkeit und legt damit nahe, dass sich die Dominosteine ​​in den riesigen Weiten des Weltraums tatsächlich augenblicklich gegenseitig beeinflussen. Darüber hinaus war Einstein besorgt über die Macht, die die Kopenhagener dem Messvorgang zuschrieben. Was ist überhaupt Messung? Könnte dies etwas sein, das nur intelligente Wesen oder sogar nur ordentliche Professoren durchführen können? Heisenberg und andere Vertreter der Kopenhagener Schule haben dieses Konzept nie konkretisiert. Einige haben vorgeschlagen, dass wir die Realität um uns herum in unserem Geist erschaffen, indem wir sie beobachten, eine Idee, die poetisch klingt, vielleicht zu poetisch. Einstein betrachtete es auch als den Höhepunkt der Unverschämtheit der Kopenhagener, zu erklären, dass die Quantenmechanik vollständig abgeschlossen sei, dass es sich um die endgültige Theorie handele, die niemals durch eine andere ersetzt werden würde. Er betrachtete alle Theorien, einschließlich seiner eigenen, als Brücken zu etwas noch Größerem.

Tatsächlich. Howard argumentiert, dass Einstein den Indeterminismus gerne akzeptieren würde, wenn er alle Antworten auf seine Probleme hätte, die gelöst werden müssten – wenn zum Beispiel jemand klar formulieren könnte, was eine Dimension ist und wie Teilchen ohne weitreichende Einwirkung synchron bleiben können. Ein Zeichen dafür, dass Einstein den Indeterminismus als sekundäres Problem ansah, ist, dass er die gleichen Anforderungen an die deterministischen Alternativen wie die Kopenhagener Schule stellte und diese auch ablehnte. Ein weiterer Historiker ist Arthur Fine von der University of Washington. glaubt. Dass Howard Einsteins Anfälligkeit für Indeterminismus übertreibt, aber zustimmt, dass sein Urteil auf einer solideren Grundlage beruht, als mehrere Generationen von Physikern aufgrund von Auszügen aus seinen Bemerkungen über das Würfelspiel glauben gemacht haben.

Zufällige Gedanken

Wenn man auf der Seite der Kopenhagener Schule Tauziehen spielt, so glaubte Einstein, wird man feststellen, dass die Quantenstörung wie alle anderen Arten von Unordnung in der Physik ist: Sie ist das Produkt tieferer Einsicht. Der Tanz winziger Staubkörner in einem Lichtstrahl offenbart die komplexe Bewegung von Molekülen, und die Emission von Photonen oder der radioaktive Zerfall von Kernen sei ein ähnlicher Prozess, glaubte Einstein. Seiner Ansicht nach handelt es sich bei der Quantenmechanik um eine evaluative Theorie, die das allgemeine Verhalten der Bausteine ​​der Natur ausdrückt, jedoch nicht über eine ausreichende Auflösung verfügt, um einzelne Details zu erfassen.

Eine tiefere, vollständigere Theorie würde die Bewegung vollständig erklären – ohne mysteriöse Sprünge. Unter diesem Gesichtspunkt ist die Wellenfunktion eine Sammelbeschreibung, wie die Aussage, dass ein fairer Würfel, wenn er wiederholt geworfen wird, auf jeder seiner Seiten ungefähr gleich oft landet. Der Zusammenbruch der Wellenfunktion ist kein physikalischer Vorgang, sondern ein Wissenserwerb. Wenn Sie mit einem sechsseitigen Würfel würfeln und dieser beispielsweise eine Vier ergibt, verkleinert sich der Bereich der Optionen von eins bis sechs, oder man könnte sagen: kollabiert, bis zum tatsächlichen Wert „vier“. Ein gottähnlicher Dämon, der die Details der Atomstruktur verfolgen kann, die das Ergebnis eines Würfels beeinflussen (d. h. genau messen kann, wie Ihre Hand einen Würfel drückt und dreht, bevor er auf den Tisch trifft), wird niemals über einen Zusammenbruch sprechen.

Einsteins Intuition wurde durch seine frühen Arbeiten über den kollektiven Effekt molekularer Bewegung bestärkt, die von einem Zweig der Physik namens statistische Mechanik untersucht wurden, in dem er zeigte, dass die Physik probabilistisch sein kann, selbst wenn das zugrunde liegende Phänomen eine deterministische Realität ist. Im Jahr 1935 schrieb Einstein an den Philosophen Karl Popper: „Ich glaube nicht, dass Sie Recht haben mit Ihrer Behauptung, dass es unmöglich ist, statistische Schlussfolgerungen auf der Grundlage einer deterministischen Theorie zu ziehen. Nehmen Sie die klassische statistische Mechanik (die Theorie der Gase oder die Brownsche Theorie). Bewegung)." Wahrscheinlichkeiten waren in Einsteins Verständnis ebenso real wie in der Interpretation der Kopenhagener Schule. Sie manifestieren sich in den Grundgesetzen der Bewegung und spiegeln auch andere Eigenschaften der umgebenden Welt wider; sie sind nicht nur Artefakte menschlicher Unwissenheit. Einstein schlug Popper vor, als Beispiel ein Teilchen zu betrachten, das sich mit konstanter Geschwindigkeit im Kreis bewegt; Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in einem bestimmten Abschnitt eines Kreisbogens zu finden, spiegelt die Symmetrie seiner Flugbahn wider. Ebenso beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Würfel auf einer bestimmten Seite landet, eins zu sechs, da er sechs gleiche Seiten hat. „Er verstand besser als die meisten seiner Zeit, dass wichtige physikalische Aspekte in den Details der statistisch-mechanischen Wahrscheinlichkeit enthalten waren“, sagt Howard.

Eine weitere Lehre aus der statistischen Mechanik war, dass die von uns beobachteten Größen nicht unbedingt auf einer tieferen Ebene existieren. Beispielsweise hat ein Gas eine Temperatur, aber es macht keinen Sinn, über die Temperatur eines einzelnen Gasmoleküls zu sprechen. In Analogie dazu kam Einstein zu der Überzeugung, dass eine Subquantentheorie erforderlich sei, um einen radikalen Bruch mit der Quantenmechanik zu markieren. 1936 schrieb er: „Es besteht kein Zweifel daran, dass die Quantenmechanik ein wunderschönes Element der Wahrheit erfasst hat<...>Allerdings glaube ich nicht, dass die Quantenmechanik der Ausgangspunkt bei der Suche nach dieser Grundlage sein wird, so wie man umgekehrt auch nicht von der Thermodynamik (und damit der statistischen Mechanik) zu den Grundlagen der Mechanik übergehen kann.“ Um diese tiefere Ebene zu füllen, Einstein suchte nach einer einheitlichen Theorie, in der Teilchen Ableitungen von Strukturen sind, die den Teilchen überhaupt nicht ähnlich sind. Kurz gesagt, die weit verbreitete Annahme, dass Einstein sich weigerte, die probabilistische Natur der Quantenphysik anzuerkennen, ist falsch und den Fall nicht so darzustellen, als ob er überhaupt nicht existierte.

Machen Sie Ihr Level zum Besten

Obwohl Einsteins Projekt, eine einheitliche Theorie zu schaffen, scheiterte, bleiben die Grundprinzipien seines intuitiven Ansatzes zur Zufälligkeit bestehen: Aus Determinismus kann Indeterminismus entstehen. Die Quanten- und Subquantenebenen – oder alle anderen Ebenenpaare in der Hierarchie der Natur – bestehen aus unterschiedlichen Strukturtypen und unterliegen daher unterschiedlichen Gesetzmäßigkeiten. Das Gesetz einer Ebene kann natürlich ein Element der Zufälligkeit zulassen, selbst wenn die Gesetze der niedrigeren Ebene vollständig reguliert sind. „Deterministische Mikrophysik führt nicht zu deterministischer Makrophysik“, sagt der Philosoph Jeremy Butterfield von der University of Cambridge.

Stellen Sie sich einen Würfel auf atomarer Ebene vor. Der Würfel kann aus einer unvorstellbar großen Anzahl von Atomkonfigurationen bestehen, die für das bloße Auge völlig ununterscheidbar sind. Wenn Sie eine dieser Konfigurationen verfolgen, während Sie den Würfel drehen, führt dies zu einem bestimmten Ergebnis – und zwar auf streng deterministische Weise. In manchen Konfigurationen hat der Würfel einen Punkt auf der Oberseite, in anderen sind es zwei. usw. Daher kann ein einzelner makroskopischer Zustand (wenn der Würfel zum Drehen gebracht wird) zu mehreren möglichen makroskopischen Ergebnissen führen (eine der sechs Seiten ist nach oben gerichtet). „Wenn wir den Würfel auf Makroebene beschreiben, können wir ihn als stochastisches System betrachten, das objektive Zufälligkeit ermöglicht“, sagt List, der zusammen mit Marcus Pivato, einem Mathematiker an der Universität Cergy-Pontoise in Frankreich, die Ebenenkonjugation untersucht.

Obwohl die höhere Ebene auf der unteren aufbaut, ist sie autonom. Um Würfel zu beschreiben, muss man auf der Ebene arbeiten, auf der die Würfel als solche existieren, und wenn man das tut, kommt man nicht umhin, die Atome und ihre Dynamik zu vernachlässigen. Wenn man eine Ebene mit einer anderen überschreitet, begeht man einen Kategorieaustausch: Es ist, als würde man ein Lachssandwich nach der politischen Zugehörigkeit fragen (um das Beispiel des Philosophen David Albert von der Columbia University zu verwenden). „Wenn wir ein Phänomen haben, das auf verschiedenen Ebenen beschrieben werden kann, müssen wir konzeptionell sehr darauf achten, die Ebenen nicht zu vermischen“, sagt List. Aus diesem Grund erscheint das Ergebnis eines Würfelwurfs nicht einfach zufällig. Es ist wirklich zufällig. Der gottähnliche Dämon prahlt vielleicht damit, dass er genau weiß, was passieren wird, aber er weiß nur, was mit den Atomen passieren wird. Er weiß nicht einmal, was ein Würfel ist, weil es sich um Informationen auf höherer Ebene handelt. Der Dämon sieht nie den Wald, nur die Bäume. Er ist wie die Hauptfigur der Erzählung „Funes the Memory“ des argentinischen Schriftstellers Jorge Luis Borges – ein Mann, der sich an alles erinnert, aber nichts begreift. „Denken bedeutet, Unterschiede zu vergessen, zu verallgemeinern, zu abstrahieren“, schreibt Borges. Damit der Dämon weiß, auf welche Seite der Würfel fällt, muss ihm erklärt werden, worauf er achten muss. „Der Dämon wird nur dann verstehen können, was auf der obersten Ebene passiert, wenn ihm detailliert beschrieben wird, wie wir die Grenze zwischen den Ebenen definieren“, sagt List. Wahrlich, danach wird der Dämon wahrscheinlich neidisch werden, weil wir Sterbliche sind.

Die Logik der Ebenen funktioniert auch genau in die entgegengesetzte Richtung. Nichtdeterministische Mikrophysik kann zu deterministischer Makrophysik führen. Ein Baseball kann aus Partikeln hergestellt werden, die ein chaotisches Verhalten zeigen, sein Flug ist jedoch völlig vorhersehbar; Quantenchaos, Mittelung. verschwindet. Ebenso bestehen Gase aus Molekülen, die äußerst komplexe – und tatsächlich unbestimmte – Bewegungen durchlaufen, deren Temperatur und andere Eigenschaften jedoch Gesetzen folgen, die so einfach sind wie zwei mal zwei. Spekulativer ist, dass einige Physiker, wie etwa Robert Laughlin von der Stanford University, behaupten, dass das niedrigere Niveau absolut keinen Unterschied mache. Die Bausteine ​​könnten alles sein, und ihr kollektives Verhalten wäre immer noch dasselbe. Schließlich gehorchen so unterschiedliche Systeme wie Wassermoleküle, Sterne in einer Galaxie und Autos auf einer Autobahn den gleichen Gesetzen der Flüssigkeitsströmung.

Endlich frei

Wenn man in Ebenen denkt, verschwindet die Sorge, dass der Indeterminismus wahrscheinlich das Ende der Wissenschaft markiert. Es gibt keine hohe Mauer um uns herum, die unseren gesetzestreuen Teil des Universums vor dem anarchischen und unverständlichen Rest davon schützt. Tatsächlich ist die Welt eine Schicht aus Determinismus und Indeterminismus. Das Klima der Erde beispielsweise wird durch Newtons deterministische Bewegungsgesetze bestimmt, aber Wettervorhersagen sind probabilistisch, und gleichzeitig sind saisonale und langfristige Klimatrends wieder vorhersehbar. Auch die Biologie folgt aus der deterministischen Physik, aber Organismen und Ökosysteme erfordern andere Beschreibungsmethoden, wie etwa die darwinistische Evolution. „Determinismus erklärt nicht absolut alles“, bemerkt Daniel Dennett, Philosoph der Tufts University. „Wer hat bestimmt: So sei es?“

In dieser Schichttorte sind Menschen verstreut. Wir haben ein starkes Gefühl des freien Willens. Wir treffen oft unvorhersehbare und meist lebenswichtige Entscheidungen; wir erkennen, dass wir anders hätten handeln können (und oft bereuen wir, dass wir dies nicht getan haben). Seit Tausenden von Jahren argumentieren sogenannte Libertäre, Anhänger der philosophischen Doktrin des freien Willens (nicht zu verwechseln mit der politischen Bewegung!), dass die menschliche Freiheit die Freiheit eines Teilchens erfordert. Etwas muss den deterministischen Ablauf von Ereignissen zerstören, etwa die Quantenzufälligkeit oder die „Abweichungen“, von denen einige antike Philosophen glaubten, dass Atome bei ihrer Bewegung auftreten könnten (das Konzept einer zufälligen, unvorhersehbaren Abweichung eines Atoms von seiner ursprünglichen Flugbahn wurde in die Antike eingeführt). Philosophie von Lucretius zur Verteidigung der atomistischen Lehre von Epikur).

Das Hauptproblem dieser Argumentation besteht darin, dass sie die Teilchen befreit, uns aber als Sklaven zurücklässt. Es spielt keine Rolle, ob Ihre Entscheidung durch den Urknall oder durch ein winziges Teilchen vorgegeben wurde, es ist immer noch nicht Ihre Entscheidung. Um frei zu sein, benötigen wir Indeterminismus nicht auf der Partikelebene, sondern auf der menschlichen Ebene. Und das ist möglich, weil die menschliche Ebene und die Teilchenebene unabhängig voneinander sind. Auch wenn sich alles, was Sie tun, auf die allerersten Schritte zurückführen lässt, sind Sie der Herr Ihrer Handlungen, denn weder Sie noch Ihre Handlungen existieren auf der Ebene der Materie, sondern nur auf der Makroebene des Bewusstseins. „Dieser auf Mikrodeterminismus basierende Makro-Indeterminismus garantiert vielleicht den freien Willen“, glaubt Butterfield. Makroindeterminismus ist nicht der Grund für Ihre Entscheidungen. Das ist Ihre Entscheidung.

Einige Leute werden wahrscheinlich Einwände erheben und Ihnen sagen, dass Sie immer noch eine Marionette sind und die Naturgesetze als Puppenspieler fungieren und dass Ihre Freiheit nichts weiter als eine Illusion ist. Aber schon das Wort „Illusion“ erinnert an Fata Morgana in der Wüste und in zwei Hälften zersägte Frauen: All das existiert in der Realität nicht. Makroindeterminismus ist das überhaupt nicht. Es ist sehr real, nur nicht grundlegend. Es kann mit dem Leben verglichen werden. Einzelne Atome sind absolut unbelebte Materie, aber ihre riesige Masse kann leben und atmen. „Alles, was mit Agenten, ihren Absichtszuständen, ihren Entscheidungen und Entscheidungen zu tun hat – keine dieser Entitäten hat etwas mit den konzeptionellen Werkzeugen der Grundlagenphysik zu tun, aber das bedeutet nicht, dass diese Phänomene nicht real sind“, bemerkt List . bedeutet nur, dass sie alle Phänomene einer viel höheren Ebene sind.

Es wäre ein Kategorienfehler, wenn nicht sogar völlige Ignoranz, menschliche Entscheidungen als Mechanik der Bewegung von Atomen in Ihrem Kopf zu beschreiben. Stattdessen ist es notwendig, alle Konzepte der Psychologie zu nutzen: Wunsch, Gelegenheit, Absichten. Warum habe ich Wasser und keinen Wein getrunken? Weil ich es so wollte. Meine Wünsche erklären mein Handeln. Wenn wir die Frage „Warum?“ stellen, achten wir meistens auf die Motivation des Einzelnen und nicht auf seinen physischen Hintergrund. Psychologische Erklärungen lassen die Art von Indeterminismus zu, von der List spricht. Spieltheoretiker modellieren beispielsweise die menschliche Entscheidungsfindung, indem sie eine Reihe von Optionen darlegen und erklären, welche Option Sie wählen würden, wenn Sie rational handeln würden. Ihre Freiheit, eine bestimmte Option zu wählen, bestimmt Ihre Entscheidungen, auch wenn Sie sich nie für diese Option entscheiden.

Natürlich erklären Lists Argumente den freien Willen nicht vollständig. Die Hierarchie der Ebenen eröffnet Raum für den freien Willen, trennt die Psychologie von der Physik und gibt uns die Möglichkeit, unerwartete Dinge zu tun. Aber wir müssen diese Chance nutzen. Wenn wir zum Beispiel alle unsere Entscheidungen durch das Werfen einer Münze treffen würden, würde dies immer noch als Makroindeterminismus gelten, aber kaum als freier Wille im sinnvollen Sinne gelten. Andererseits kann die Entscheidungsfindung mancher Menschen so anstrengend sein, dass man von ihnen nicht mehr sagen kann, dass sie frei handeln.

Diese Herangehensweise an das Problem des Determinismus gibt der Interpretation der Quantentheorie, die einige Jahre nach Einsteins Tod im Jahr 1955 vorgeschlagen wurde, Bedeutung. Sie wurde Viele-Welten-Interpretation oder Everett-Interpretation genannt. Ihre Befürworter argumentieren, dass die Quantenmechanik eine Ansammlung paralleler Universen – ein Multiversum – beschreibt, das sich im Allgemeinen deterministisch verhält, für uns jedoch indeterministisch erscheint, weil wir nur ein einziges Universum sehen können. Beispielsweise kann ein Atom ein Photon nach rechts oder links aussenden; Die Quantentheorie lässt den Ausgang dieses Ereignisses offen. Nach der Viele-Welten-Interpretation wird ein solches Bild beobachtet, weil in unzähligen Paralleluniversen genau die gleiche Situation auftritt: In einigen von ihnen fliegt das Photon deterministisch nach links, in den anderen nach rechts. Ohne genau sagen zu können, in welchem ​​Universum wir uns befinden, können wir nicht vorhersagen, was passieren wird, sodass diese Situation von innen betrachtet unerklärlich erscheint. „Es gibt keine echte Zufälligkeit im Weltraum, aber Ereignisse können in den Augen des Beobachters zufällig erscheinen“, erklärt der Kosmologe Max Tegmark vom Massachusetts Institute of Technology, ein bekannter Verfechter dieser Ansicht. „Zufälligkeit spiegelt Ihre Unfähigkeit wider, zu bestimmen, wo.“ du bist."

Das ist so, als würde man sagen, dass ein Würfel oder ein Gehirn aus einer unendlichen Zahl atomarer Konfigurationen aufgebaut werden kann. Diese Konfiguration selbst mag deterministisch sein, aber da wir nicht wissen können, welche unseren Würfeln oder unserem Gehirn entspricht, müssen wir annehmen, dass das Ergebnis indeterministisch ist. Paralleluniversen sind also keine exotische Idee, die in einer kranken Fantasie herumschwirrt. Unser Körper und unser Gehirn sind winzige Multiversen; es ist die Vielfalt der Möglichkeiten, die uns Freiheit verschafft.

Methode der Musikkomposition mit losem Audiotext; als eigenständige Art, Musik zu komponieren, nahm im 20. Jahrhundert Gestalt an. A. bedeutet die vollständige oder teilweise Verweigerung einer strengen Kontrolle des Komponisten über den Notentext oder sogar die Eliminierung der eigentlichen Kategorie des Komponisten-Autors im traditionellen Sinne. Die Innovation von A. liegt in der Korrelation stabil etablierter Bestandteile eines Notentextes mit bewusst eingeführter Zufälligkeit, willkürlicher Beweglichkeit der musikalischen Materie. Der Begriff A. kann sich sowohl auf die allgemeine Anordnung von Teilen eines Aufsatzes (Form) als auch auf die Struktur seines Gefüges beziehen. Laut E. Denisow, Die Wechselwirkung zwischen der Stabilität und Beweglichkeit von Stoff und Form ergibt vier Hauptkombinationstypen, von denen drei – die 2., 3. und 4. – aleatorisch sind: 1. Stabiler Stoff – stabile Form (übliche traditionelle Komposition, opus perfectum et absolutum; wie, zum Beispiel Tschaikowskys 6. Symphonie); 2. Stabiles Gewebe – bewegliche Form; laut V. Lutoslavsky: „A. Formen“ (P. Boulez, 3. Sonate für Klavier, 1957); 3. Mobiler Stoff – stabile Form; oder, laut Lutoslawski, „A. Texturen“ (Lyutoslawski, Streichquartett, 1964, Hauptsatz); 4. Mobiler Stoff – mobile Form; oder ein. Käfig"(während der kollektiven Improvisation mehrerer Interpreten). Dies sind die Knotenpunkte der A.-Methode, um die es viele verschiedene spezifische Arten und Fälle von Strukturen gibt, unterschiedliche Grade der Eintauchung in A.; Darüber hinaus sind auch Metabole („Modulationen“) natürlich – ein Übergang von einem Typ oder Typ zu einem anderen, auch zu oder von einem stabilen Text.

A. ist seit den 1950er Jahren weit verbreitet und erscheint (zusammen mit Sonorika), insbesondere eine Reaktion auf die extreme Versklavung der musikalischen Struktur im Multiparameter-Serialismus (siehe: Dodekaphonie). Mittlerweile hat das Prinzip der Strukturfreiheit auf die eine oder andere Weise uralte Wurzeln. Volksmusik ist im Wesentlichen ein Klangstrom und kein einzigartig strukturiertes Werk. Daher die Instabilität, der „Nicht-Opus“-Charakter der Volksmusik, Variation, Variation und Improvisation darin. Unbestimmtheit und Improvisation der Form sind charakteristisch für die traditionelle Musik Indiens, der Völker des Fernen Ostens und Afrikas. Daher greifen Vertreter von A. aktiv und bewusst auf die wesentlichen Prinzipien der orientalischen und volkstümlichen Musik zurück. Elemente von A. gab es auch in der europäischen klassischen Musik. Unter den Wiener Klassikern beispielsweise, die das Prinzip des Generalbasses eliminierten und den Notentext völlig stabil machten (Symphonien und Quartette von I. Haydn), war die „Kadenz“ in Form eines Instrumentalkonzerts ein scharfer Kontrast – a Virtuoses Solo, dessen Teil nicht vom Komponisten komponiert wurde, sondern dem Ermessen des Interpreten überlassen blieb (Element A. Form). Zur Zeit Haydns und Mozarts sind humorvolle „aleatorische“ Methoden zur Komposition einfacher Stücke (Menuette) durch Kombination von Musikstücken beim Würfelspiel bekannt (Abhandlung von I.F. Kirnberger „Jederzeit ein fertiger Komponist von Polonaisen u.“ Menuette.“ Berlin, 1757).

Im 20. Jahrhundert Das Prinzip des „individuellen Projekts“ in der Form begann die Zulässigkeit von Textversionen des Werkes (d. h. A.) nahezulegen. Im Jahr 1907 Der amerikanische Komponist Charles Ives komponierte das Klavierquintett „Hallwe“en (= „Allerheiligen“), dessen Text bei einer Konzertaufführung viermal hintereinander unterschiedlich gespielt werden muss. D. Käfig komponiert im Jahr 1951 „Musik der Wandlungen“ für Klavier, deren Text er durch „Manipulation von Zufällen“ (den Worten des Komponisten) komponierte, wobei er sich dabei des chinesischen „Buchs der Wandlungen“ bediente. Klassisch

A.s klassisches Beispiel ist „Klavierstück XI“ von K. Stockhausen, 1957. Auf einem Blatt Papier ca. Auf einer Fläche von ca. 0,5 qm sind 19 Musikfragmente in zufälliger Reihenfolge angeordnet. Der Pianist beginnt mit einem von ihnen und spielt sie in beliebiger Reihenfolge, einem zufälligen Blick folgend; Am Ende der vorherigen Passage steht, in welchem ​​Tempo und in welcher Lautstärke die nächste gespielt werden soll. Wenn der Pianist denkt, dass er bereits alle Fragmente auf diese Weise gespielt hat, sollte er sie ein zweites Mal in derselben zufälligen Reihenfolge, jedoch in einer helleren Klangfülle, spielen. Nach der zweiten Runde endet das Spiel. Für eine größere Wirkung empfiehlt es sich, das aleatorische Werk in einem Konzert zu wiederholen – dem Hörer wird eine weitere Komposition aus demselben Material präsentiert. Methode A. wird von modernen Komponisten häufig verwendet (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke usw.).

Die Voraussetzung für A. im 20. Jahrhundert. neue Gesetze erschienen Harmonie und die daraus resultierenden Tendenzen, nach neuen Formen zu suchen, die dem neuen Zustand des musikalischen Materials entsprechen und für ihn charakteristisch sind Avantgarde. Aleatorische Textur war vor der Emanzipation völlig undenkbar Dissonanz, Entwicklung der atonalen Musik (siehe: Dodekaphonie). Ein Befürworter von „begrenzt und kontrolliert“ A. Lutoslavsky sieht darin zweifellos einen Wert: „A. hat mir neue und unerwartete Perspektiven eröffnet. Erstens gibt es einen riesigen Rhythmusreichtum, der mit anderen Techniken nicht erreichbar ist.“ Denisov rechtfertigt die „Einführung zufälliger Elemente in die Musik“ und behauptet, dass sie „uns größere Freiheit im Umgang mit musikalischem Material gibt und es uns ermöglicht, neue Klangeffekte zu erzielen.“<...>, aber Mobilitätsideen können nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn<... >, wenn die in der Mobilität verborgenen destruktiven Tendenzen nicht die für die Existenz jeder Kunstform notwendige Konstruktivität zerstören.“

Einige andere Methoden und Formen der Musik überschneiden sich mit A. Das vorweg: 1. Improvisation - Aufführung eines während des Spiels komponierten Werkes; 2. grafische Musik, die der Interpret nach den visuellen Bildern der vor ihm platzierten Zeichnung (z. B. I. Brown, Folio“, 1952) improvisiert und in Klangbilder übersetzt, oder nach musikalischen aleatorischen Grafiken, die der Komponist aus Stücken von erstellt hat Notentext auf einem Blatt Papier (S. Bussotti, „Passion for the Garden“, 1966); 3. Ereignis- improvisierte (in diesem Sinne aleatorische) Aktion (Förderung) unter Beteiligung von Musik mit willkürlicher (Quasi-)Handlung (zum Beispiel das Happening von A. Volkonsky „Replica“ des Ensembles „Madrigal“ in der Saison 1970/71); 4. offene Musikformen – also solche, deren Text nicht stabil fixiert ist, sondern immer im Prozess der Aufführung gewonnen wird. Hierbei handelt es sich um Kompositionsarten, die nicht grundsätzlich geschlossen sind und eine endlose Fortsetzung ermöglichen (z. B. bei jeder neuen Aufführung), Englisch. In Arbeit. Für P. Boulez war einer der Anreize, die ihn zu einer offenen Form führten, die Arbeit von J. Joyce(„Ulysses“) und S. Mallarmé („Le Livre“). Ein Beispiel für eine offene Komposition ist Earl Browns „Available Forms II“ für 98 Instrumente und zwei Dirigenten (1962). Brown selbst weist auf die Verbindung seiner offenen Form mit „Mobiles“ in der bildenden Kunst hin (siehe: Kinetische Kunst), insbesondere von A. Calder („Calder Piece“ für 4 Schlagzeuger und Calder Mobile, 1965). Schließlich ist die „Gesamtkunst“-Aktion von aleatorischen Prinzipien durchdrungen (siehe: Gesamtkunstwerk). 5. Multimedia, dessen Besonderheit die Synchronisation ist Installationen mehrere Künste (zum Beispiel: Konzert + Ausstellung von Malerei und Bildhauerei + Poesieabend in beliebiger Kombination von Künsten usw.). Das Wesen der Kunst ist also die Versöhnung der traditionell etablierten künstlerischen Ordnung mit dem erfrischenden Enzym der Unvorhersehbarkeit, dem Zufall – einer für sie charakteristischen Tendenz künstlerische Kultur des 20. Jahrhunderts. im Allgemeinen und nichtklassische Ästhetik.

Lit.: Denisov E.V. Stabile und mobile Elemente musikalischer Form und ihr Zusammenspiel // Theoretische Probleme musikalischer Formen und Gattungen. M., 1971; Kohoutek C. Kompositionstechnik in der Musik des 20. Jahrhunderts. M., 1976; Lutoslawski V. Artikel, sei-

graue Haare, Erinnerungen. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schaffer B. Nowa muzyka (1958). Krakau, 1969; Schaffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Krakau, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd.l, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Geschrieben vom Designer Tyler Sigman, auf Gamasutra. Ich nenne ihn liebevoll den „Haare in der Nase des Orks“, aber er legt ziemlich gut die Grundlagen von Wahrscheinlichkeiten in Spielen dar.

Das Thema dieser Woche

Bisher war fast alles, worüber wir gesprochen haben, deterministisch, und letzte Woche haben wir uns die transitive Mechanik genauer angesehen und sie so weit aufgeschlüsselt, wie ich erklären kann. Aber einem großen Aspekt vieler Spiele haben wir bisher keine Beachtung geschenkt, nämlich den nichtdeterministischen Aspekten, also der Zufälligkeit. Für Spieleentwickler ist es sehr wichtig, die Natur des Zufalls zu verstehen, da wir Systeme entwickeln, die das Erlebnis des Spielers in einem bestimmten Spiel beeinflussen. Deshalb müssen wir wissen, wie diese Systeme funktionieren. Wenn es Zufälle im System gibt, müssen Sie verstehen Natur diese Zufälligkeit und wie wir sie ändern können, um die Ergebnisse zu erzielen, die wir brauchen.

Würfel

Beginnen wir mit etwas Einfachem: Würfeln. Wenn die meisten Menschen an Würfel denken, denken sie an einen sechsseitigen Würfel, den sogenannten W6. Aber die meisten Spieler haben viele andere Würfel gesehen: vierseitig (d4), achteckig (d8), zwölfseitig (d12), zwanzigseitig (d20) ... und wenn ja real Geek, vielleicht hast du irgendwo Würfel mit 30 oder 100 Seiten. Falls Sie mit dieser Terminologie nicht vertraut sind: Das „d“ steht für Würfel und die Zahl danach gibt an, wie viele Seiten es hat. Wenn Vor„d“ ist eine Zahl, es bedeutet Menge Würfel beim Werfen. Im Spiel Monopoly würfeln Sie beispielsweise 2W6.

In diesem Fall ist der Ausdruck „Würfel“ also ein Symbol. Es gibt eine Vielzahl anderer Zufallszahlengeneratoren, die nicht die Form eines Plastikklumpens haben, aber die gleiche Funktion erfüllen und eine Zufallszahl von 1 bis n generieren. Eine gewöhnliche Münze kann man sich auch als Diederwürfel d2 vorstellen. Ich habe zwei Designs von siebenseitigen Würfeln gesehen: Einer davon sah aus wie ein Würfel, der andere eher wie ein siebenseitiger Holzstift. Der tetraedrische Dreidel (auch Titotum genannt) ähnelt dem tetraedrischen Knochen. Das sich drehende Pfeilspielfeld im Spiel „Chutes & Ladders“, bei dem das Ergebnis zwischen 1 und 6 liegen kann, entspricht einem sechsseitigen Würfel. Ein Zufallszahlengenerator in einem Computer kann jede Zahl von 1 bis 19 erzeugen, wenn der Designer einen solchen Befehl vorgibt, obwohl der Computer keinen 19-seitigen Würfel hat (im Allgemeinen werde ich mehr über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass Zahlen auf einem erscheinen). Computer rein nächste Woche). Obwohl diese Elemente alle unterschiedlich aussehen, sind sie in Wirklichkeit gleich: Sie haben die gleiche Chance, eines von mehreren Ergebnissen zu erzielen.

Würfel haben einige interessante Eigenschaften, die wir kennen müssen. Erstens ist die Wahrscheinlichkeit, auf beiden Seiten zu würfeln, gleich (ich gehe davon aus, dass Sie mit einem normalen Würfel würfeln und nicht mit einer unregelmäßigen geometrischen Form). Wenn Sie es also wissen wollen mittlere Bedeutung werfen (unter Wauch „mathematischer Erwartungswert“ genannt), addieren die Werte aller Seiten und dividieren diese Summe durch Menge Gesichter. Der durchschnittliche Wurf für einen standardmäßigen sechsseitigen Würfel beträgt 1+2+3+4+5+6 = 21, dividiert durch die Anzahl der Seiten (6), und der Durchschnitt beträgt 21/6 = 3,5. Dies ist ein Sonderfall, da wir davon ausgehen, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Was ist, wenn Sie spezielle Würfel haben? Ich habe zum Beispiel ein Spiel mit einem sechsseitigen Würfel mit speziellen Aufklebern auf den Seiten gesehen: 1, 1, 1, 2, 2, 3, also verhält es sich wie ein seltsamer dreiseitiger Würfel, der eher eine 1 würfelt als eine 2 und 2 als 3. Was ist der durchschnittliche Wurf für diesen Würfel? Also, 1+1+1+2+2+3 = 10, dividiert durch 6, ergibt 5/3 oder ungefähr 1,66. Wenn Sie also diesen speziellen Würfel haben und die Spieler drei Würfel würfeln und dann die Ergebnisse addieren, wissen Sie, dass die Gesamtsumme ihrer Würfel etwa 5 beträgt, und Sie können das Spiel auf der Grundlage dieser Annahme ausbalancieren.

Würfel und Unabhängigkeit

Wie ich bereits sagte, gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass beide Seiten ausscheiden, gleich groß ist. Dies hängt nicht davon ab, wie viele Würfel Sie würfeln. Bei jedem Würfelwurf egal Dies bedeutet, dass vorherige Würfe keinen Einfluss auf die Ergebnisse nachfolgender Würfe haben. Mit genügend Tests werden Sie es auf jeden Fall schaffen beachten eine „Reihe“ von Zahlen, wie z. B. das Würfeln meist höherer oder niedrigerer Zahlen oder andere Merkmale, über die wir später sprechen werden, aber das bedeutet nicht, dass die Würfel „heiß“ oder „kalt“ sind. Wenn Sie einen normalen sechsseitigen Würfel werfen und zweimal hintereinander die Zahl 6 erhalten, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Wurf eine 6 ergibt, ebenfalls 1/6. Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich nicht, da der Würfel „erhitzt“ wird. Die Wahrscheinlichkeit verringert sich nicht, da die Zahl 6 bereits zweimal hintereinander aufgetaucht ist, was bedeutet, dass nun eine andere Seite auftauchen wird. (Natürlich, wenn Sie zwanzig Mal würfeln und jedes Mal eine 6 erhalten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim einundzwanzigsten Mal eine 6 würfeln, ziemlich hoch ... denn das bedeutet wahrscheinlich, dass Sie die falschen Würfel haben!) Aber wenn Sie Wenn Sie die richtigen Würfel haben, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Seiten ausscheiden, gleich, unabhängig von den Ergebnissen anderer Würfe. Sie können sich auch vorstellen, dass wir den Würfel jedes Mal wechseln. Wenn also die Zahl 6 zweimal hintereinander gewürfelt wird, nehmen Sie den heißen Würfel aus dem Spiel und ersetzen ihn durch einen neuen sechsseitigen Würfel. Es tut mir leid, falls jemand von Ihnen davon bereits wusste, aber ich musste dies klären, bevor ich fortfahren konnte.

Wie man die Würfel mehr oder weniger zufällig würfeln lässt

Lassen Sie uns darüber sprechen, wie Sie mit verschiedenen Würfeln unterschiedliche Ergebnisse erzielen. Unabhängig davon, ob Sie einen Würfel nur einmal oder mehrmals würfeln, wirkt das Spiel zufälliger, je mehr Seiten der Würfel hat. Je öfter Sie würfeln oder je mehr Würfel Sie würfeln, desto mehr nähern sich die Ergebnisse dem Durchschnitt an. Wenn Sie beispielsweise 1W6+4 würfeln (d. h. einmal mit einem normalen sechsseitigen Würfel würfeln und 4 zum Ergebnis addieren), ist der Durchschnitt eine Zahl zwischen 5 und 10. Wenn Sie 5W2 würfeln, ist der Durchschnitt ebenfalls eine Zahl zwischen 5 und 10. Aber wenn man einen sechsseitigen Würfel wirft, ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 5, 8 oder 10 zu erhalten, gleich. Das Ergebnis beim Würfeln von 5W2 sind hauptsächlich die Zahlen 7 und 8, seltener andere Werte. Dieselbe Reihe, sogar derselbe Durchschnittswert (in beiden Fällen 7,5), aber die Art der Zufälligkeit ist unterschiedlich.

Warten Sie eine Minute. Habe ich nicht gerade gesagt, dass sich Würfel weder aufheizen noch abkühlen? Nun sage ich, dass die Ergebnisse der Würfel eher durchschnittlich sind, wenn man viele Würfel wirft? Warum?

Lassen Sie mich erklären. Wenn Sie aufhören eins Bei Würfeln ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Seiten ausfallen, gleich. Das heißt, wenn Sie viele Würfel werfen, erscheinen im Laufe der Zeit jede Seite ungefähr gleich oft. Je mehr Würfel Sie würfeln, desto mehr nähert sich das Gesamtergebnis dem Durchschnitt an. Dies liegt nicht daran, dass die gezogene Zahl „zwingt“, eine andere Zahl zu ziehen, die noch nicht gezogen wurde. Und weil ein kleiner Würfelwurf einer 6 (oder einer 20 oder einer anderen Zahl) letzten Endes keine Rolle spielt, wenn Sie weitere zehntausend Mal würfeln und meistens den Durchschnitt ermitteln, haben Sie jetzt vielleicht ein paar Zahlen dabei hoher Wert, aber vielleicht später ein paar Zahlen mit niedrigem Wert und mit der Zeit nähern sie sich dem Durchschnittswert an. Nicht, weil frühere Würfe Auswirkungen auf die Würfel haben (im Ernst, Würfel bestehen aus Plastik, sie hat nicht den Verstand zu denken: „Oh, es ist schon eine Weile her, seit ich eine 2 gewürfelt habe“), sondern weil das normalerweise passiert, wenn man viele Würfel wirft. Eine kleine Reihe sich wiederholender Zahlen wird in einer großen Anzahl von Ergebnissen nahezu unsichtbar sein.

Daher sind die Berechnungen für einen zufälligen Würfelwurf ziemlich einfach, zumindest was die Berechnung des Durchschnittswerts des Würfels betrifft. Es gibt auch Möglichkeiten zu berechnen, „wie zufällig“ etwas ist. Man kann also sagen, dass die Ergebnisse beim Würfeln von 1W6+4 „zufälliger“ sind als bei 5W2, bei 5W2 ist die Verteilung der Würfe gleichmäßiger, normalerweise berechnen Sie dafür die Standardabweichung, und je größer der Wert, desto zufälliger werden die Ergebnisse sein, aber das erfordert mehr Berechnungen, als ich heute geben möchte (ich werde dieses Thema später erklären). Das Einzige, was ich Sie wissen lassen möchte, ist, dass im Allgemeinen die Zufälligkeit umso größer ist, je weniger Würfel geworfen werden. Noch eine Ergänzung zu diesem Thema: Je mehr Seiten ein Würfel hat, desto größer ist die Zufälligkeit, da man mehr Möglichkeiten hat.

So berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit mithilfe von Zählen

Sie fragen sich vielleicht: Wie können wir die genaue Wahrscheinlichkeit berechnen, ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten? Dies ist für viele Spiele tatsächlich sehr wichtig, denn wenn man würfelt, ist es zunächst wahrscheinlich, dass ein optimales Ergebnis erzielt wird. Die Antwort ist, dass wir zwei Werte zählen müssen. Zählen Sie zunächst die maximale Anzahl an Ergebnissen beim Würfeln (unabhängig vom Ergebnis). Zählen Sie dann die Anzahl der positiven Ergebnisse. Wenn Sie den zweiten Wert durch den ersten dividieren, erhalten Sie die gewünschte Wahrscheinlichkeit. Um den Prozentsatz zu erhalten, multiplizieren Sie das Ergebnis mit 100.

Beispiele:

Hier ist ein sehr einfaches Beispiel. Sie möchten, dass die Zahl 4 oder höher würfelt, und zwar einmal mit dem sechsseitigen Würfel. Die maximale Anzahl an Ergebnissen beträgt 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Davon sind 3 Ergebnisse (4, 5, 6) günstig. Das bedeutet, dass wir zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit 3 ​​durch 6 dividieren und 0,5 oder 50 % erhalten.

Hier ist ein etwas komplizierteres Beispiel. Sie möchten eine gerade Zahl, wenn Sie 2W6 würfeln. Die maximale Anzahl an Ergebnissen beträgt 36 (6 für jeden Würfel, und da ein Würfel keinen Einfluss auf den anderen hat, multiplizieren wir 6 Ergebnisse mit 6 und erhalten 36). Die Schwierigkeit bei dieser Art von Fragen besteht darin, dass leicht doppelt gezählt werden kann. Zum Beispiel gibt es tatsächlich zwei Möglichkeiten für eine 3 bei einem Wurf von 2W6: 1+2 und 2+1. Sie sehen gleich aus, aber der Unterschied besteht darin, welche Zahl auf dem ersten Würfel angezeigt wird und welche Zahl auf dem zweiten. Sie können sich auch vorstellen, dass die Würfel unterschiedliche Farben haben. In diesem Fall ist beispielsweise ein Würfel rot und der andere blau. Zählen Sie dann die Anzahl der Möglichkeiten, eine gerade Zahl zu würfeln: 2 (1+1), 4 (1+3), 4 (2+2), 4 (3+1), 6 (1+5), 6 (2). +4), 6 (3+3), 6 (4+2), 6 (5+1), 8 (2+6), 8 (3+5), 8 (4+4), 8 (5+ 3), 8 (6+2), 10 (4+6), 10 (5+5), 10 (6+4), 12 (6+6). Es stellt sich heraus, dass es 18 von 36 Optionen für ein günstiges Ergebnis gibt, da im vorherigen Fall die Wahrscheinlichkeit 0,5 oder 50 % beträgt. Vielleicht unerwartet, aber ziemlich genau.

Monte-Carlo-Simulation

Was ist, wenn Sie für diese Berechnung zu viele Würfel haben? Sie möchten beispielsweise wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, beim Würfeln von 8W6 eine Gesamtzahl von 15 oder mehr zu erreichen. Bei acht Würfeln gibt es eine Menge unterschiedlicher Einzelergebnisse und das Auszählen per Hand würde sehr lange dauern. Selbst wenn wir eine gute Lösung finden, verschiedene Würfelserien zu gruppieren, wird das Zählen immer noch sehr lange dauern. In diesem Fall lässt sich die Wahrscheinlichkeit am einfachsten berechnen, indem man nicht manuell zählt, sondern einen Computer verwendet. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit auf einem Computer zu berechnen.

Die erste Methode kann Ihnen eine genaue Antwort liefern, erfordert jedoch ein wenig Programmier- oder Skripterstellung. Im Wesentlichen prüft der Computer jede Möglichkeit, bewertet und zählt die Gesamtzahl der Iterationen und die Anzahl der Iterationen, die mit dem gewünschten Ergebnis übereinstimmen, und liefert dann die Antworten. Ihr Code könnte etwa so aussehen:

int wincount=0, totalcount=0;

für (int i=1; i<=6; i++) {

für (int j=1; j<=6; j++) {

für (int k=1; k<=6; k++) {

... // hier weitere Schleifen einfügen

wenn (i+j+k+… >= 15) (

Float-Wahrscheinlichkeit = Wincount/Totalcount;

Wenn Sie nicht viel über Programmierung wissen und nur eine ungefähre Antwort statt einer genauen Antwort wünschen, können Sie diese Situation in Excel simulieren, indem Sie ein paar tausend Mal 8W6 würfeln und die Antwort erhalten. Um 1W6 in Excel zu würfeln, verwenden Sie die folgende Formel:

FLOOR(RAND()*6)+1

Es gibt einen Namen für die Situation, in der Sie die Antwort nicht kennen und es einfach mehrmals versuchen: Monte-Carlo-Simulation, und dies ist eine großartige Lösung, auf die Sie zurückgreifen können, wenn Sie versuchen, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, und diese zu kompliziert ist. Das Tolle ist, dass wir in diesem Fall nicht verstehen müssen, wie die Mathematik funktioniert, und wir wissen, dass die Antwort „ziemlich gut“ sein wird, denn wie wir bereits wissen, kommt das Ergebnis umso näher an das Ergebnis heran, je mehr Würfe es gibt Durchschnitt.

So kombinieren Sie unabhängige Studien

Wenn Sie nach mehreren wiederholten, aber unabhängigen Versuchen fragen, hat das Ergebnis eines Wurfs keinen Einfluss auf die Ergebnisse anderer Würfe. Es gibt eine andere, einfachere Erklärung für diese Situation.

Wie kann man zwischen etwas Abhängigem und Unabhängigem unterscheiden? Wenn Sie jeden Wurf eines Würfels (oder jede Wurfreihe) als separates Ereignis isolieren können, ist er grundsätzlich unabhängig. Wenn wir zum Beispiel beim Würfeln von 8W6 eine Gesamtzahl von 15 wollen, kann dieser Fall nicht in mehrere unabhängige Würfelwürfe aufgeteilt werden. Da man für das Ergebnis die Summe der Werte aller Würfel zählt, wirkt sich das Ergebnis, das auf einem Würfel kommt, auf die Ergebnisse aus, die auf den anderen Würfeln kommen sollen, denn nur durch die Addition aller Werte kommt man das gewünschte Ergebnis erhalten.

Hier ist ein Beispiel für unabhängige Würfelwürfe: Sie spielen ein Würfelspiel und würfeln mehrmals sechsseitig. Um im Spiel zu bleiben, müssen Sie bei Ihrem ersten Wurf eine Zahl 2 oder höher würfeln. Für den zweiten Wurf – 3 oder höher. Der dritte erfordert eine 4 oder höher, der vierte erfordert eine 5 oder höher und der fünfte erfordert eine 6. Wenn alle fünf Würfe erfolgreich sind, gewinnen Sie. In diesem Fall sind alle Würfe unabhängig. Ja, wenn ein Wurf fehlschlägt, hat dies Auswirkungen auf den Ausgang des gesamten Spiels, aber ein Wurf hat keinen Einfluss auf einen anderen Wurf. Wenn beispielsweise Ihr zweiter Würfelwurf sehr erfolgreich ist, hat dies keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass die nächsten Würfelwürfe ebenso erfolgreich sein werden. Daher können wir die Wahrscheinlichkeit jedes Würfelwurfs separat betrachten.

Wenn Sie separate, unabhängige Wahrscheinlichkeiten haben und wissen möchten, wie hoch diese Wahrscheinlichkeit ist Alle Ereignisse eintreten werden, bestimmen Sie jede einzelne Wahrscheinlichkeit und multiplizieren sie. Eine andere Möglichkeit: Wenn Sie die Konjunktion „und“ verwenden, um mehrere Bedingungen zu beschreiben (z. B. wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Ereignis eintritt). Und ein anderes unabhängiges Zufallsereignis?), berechnen Sie die einzelnen Wahrscheinlichkeiten und multiplizieren Sie sie.

Es spielt keine Rolle, was Sie denken niemals Addieren Sie keine unabhängigen Wahrscheinlichkeiten. Dies ist ein häufiger Fehler. Um zu verstehen, warum das falsch ist, stellen Sie sich eine Situation vor, in der Sie eine 50/50-Münze werfen und wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen. Jede Seite hat eine 50-prozentige Chance, zu landen. Wenn Sie also diese beiden Wahrscheinlichkeiten addieren, erhalten Sie eine 100-prozentige Chance, „Kopf“ zu bekommen. Wir wissen jedoch, dass das nicht stimmt, da es auch zweimal hintereinander „Zahl“ hätte geben können. Wenn Sie stattdessen die beiden Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, erhalten Sie 50 % * 50 % = 25 %, was die richtige Antwort zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist, zweimal in Folge „Kopf“ zu bekommen.

Beispiel

Kehren wir zum sechsseitigen Würfelspiel zurück, bei dem Sie zuerst eine Zahl größer als 2, dann größer als 3 usw. würfeln müssen. zu 6. Wie hoch sind die Chancen, dass in einer gegebenen Serie von 5 Würfen alle Ergebnisse positiv sind?

Wie oben erwähnt, handelt es sich um unabhängige Versuche, daher berechnen wir die Wahrscheinlichkeit für jeden einzelnen Wurf und multiplizieren sie dann. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des ersten Wurfs günstig ist, beträgt 5/6. Zweiter - 4/6. Dritter - 3/6. Der vierte - 2/6, der fünfte - 1/6. Wenn Sie alle diese Ergebnisse multiplizieren, erhalten Sie etwa 1,5 % ... Gewinne in diesem Spiel sind also ziemlich selten. Wenn Sie also dieses Element zu Ihrem Spiel hinzufügen, benötigen Sie einen ziemlich großen Jackpot.

Negation

Hier ist ein weiterer nützlicher Tipp: Manchmal ist es schwierig, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein Ereignis eintritt, aber es ist einfacher zu bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Ereignis eintritt. wird nicht kommen.

Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben ein anderes Spiel und Sie würfeln 6W6, und wenn mindestens einmal Wenn Sie eine 6 würfeln, gewinnen Sie. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

In diesem Fall müssen Sie viele Optionen in Betracht ziehen. Möglicherweise erscheint eine Zahl, 6, d.h. Einer der Würfel zeigt die Zahl 6, und die anderen haben Zahlen von 1 bis 5, und es gibt 6 Möglichkeiten, welcher Würfel die Zahl 6 zeigt. Dann können Sie die Zahl 6 auf zwei Würfeln oder auf drei bekommen, oder noch mehr, und jedes Mal müssen wir eine separate Berechnung durchführen, sodass es leicht zu Verwirrung kommt.

Aber es gibt einen anderen Weg, dieses Problem zu lösen. Schauen wir es uns von der anderen Seite an. Du du wirst verlieren Wenn auf keinem Die Würfel würfeln nicht mit der Zahl 6. In diesem Fall haben wir sechs unabhängige Versuche, die Wahrscheinlichkeit für jeden von ihnen beträgt 5/6 (jede andere Zahl außer 6 kann auf den Würfel fallen). Multiplizieren Sie sie und Sie erhalten etwa 33 %. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit zu verlieren 1 zu 3.

Daher beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 67 % (oder 2 zu 3).

Aus diesem Beispiel geht hervor, dass Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Ereignis nicht eintritt, müssen Sie das Ergebnis von 100 % subtrahieren. Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit 67 % beträgt, dann ist die Wahrscheinlichkeit verlieren — 100% Minus 67 % oder 33 %. Umgekehrt. Wenn es schwierig ist, eine Wahrscheinlichkeit zu berechnen, das Gegenteil jedoch leicht, berechnen Sie das Gegenteil und subtrahieren Sie dann von 100 %.

Wir kombinieren die Bedingungen für einen unabhängigen Test

Ich habe gerade oben gesagt, dass man niemals Wahrscheinlichkeiten über unabhängige Versuche hinweg addieren sollte. Gibt es Fälle, in denen Kann die Wahrscheinlichkeiten zusammenfassen? - Ja, in einer besonderen Situation.

Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit mehrerer unabhängiger günstiger Ergebnisse in einem einzelnen Versuch berechnen möchten, addieren Sie die Wahrscheinlichkeiten jedes günstigen Ergebnisses. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Zahlen 4, 5 oder 6 auf 1W6 zu würfeln Menge die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 4 zu bekommen, die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 5 zu bekommen und die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 6 zu bekommen. Sie können sich diese Situation auch so vorstellen: Wenn Sie die Konjunktion „oder“ in einer Frage zur Wahrscheinlichkeit verwenden (z. B. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass oder unterschiedlicher Ausgang eines Zufallsereignisses?), die einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen und aufsummieren.

Bitte beachten Sie dies beim Summieren alle möglichen Ergebnisse Spiel muss die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 100 % betragen. Wenn die Summe nicht 100 % beträgt, wurde Ihre Berechnung falsch durchgeführt. Dies ist eine gute Möglichkeit, Ihre Berechnungen noch einmal zu überprüfen. Sie haben beispielsweise die Wahrscheinlichkeit analysiert, beim Poker alle Kombinationen zu erhalten. Wenn Sie alle erhaltenen Ergebnisse addieren, sollten Sie genau 100 % erhalten (oder zumindest einen Wert, der ziemlich nahe an 100 % liegt, wenn Sie einen Taschenrechner verwenden). ein kleiner Rundungsfehler, aber wenn Sie die genauen Zahlen manuell addieren, sollte alles stimmen). Wenn die Summe nicht aufgeht, bedeutet das höchstwahrscheinlich, dass Sie einige Kombinationen nicht berücksichtigt haben oder dass Sie die Wahrscheinlichkeiten einiger Kombinationen falsch berechnet haben und dann Ihre Berechnungen noch einmal überprüfen müssen.

Ungleiche Wahrscheinlichkeiten

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass jede Seite des Würfels mit der gleichen Häufigkeit gewürfelt wird, denn so funktioniert der Würfel. Aber manchmal sind Sie mit einer Situation konfrontiert, in der unterschiedliche Ergebnisse möglich sind und diese anders Drop-Chancen. Beispielsweise gibt es in einer der Erweiterungen des Kartenspiels „Nuclear War“ ein Spielfeld mit einem Pfeil, von dem das Ergebnis eines Raketenstarts abhängt: Im Grunde verursacht er normalen Schaden, stärker oder schwächer, aber manchmal ist der Schaden auch so verdoppelt oder verdreifacht wird oder eine Rakete auf der Startrampe explodiert und Sie verletzt, oder ein anderes Ereignis eintritt. Anders als das Pfeilbrett in „Chutes & Ladders“ oder „A Game of Life“ hat das Spielbrett in „Nuclear War“ ungleiche Ergebnisse. Einige Abschnitte des Spielfelds sind größer und der Pfeil stoppt auf ihnen viel häufiger, während andere Abschnitte sehr klein sind und der Pfeil seltener auf ihnen stoppt.

Auf den ersten Blick sieht der Knochen also ungefähr so ​​aus: 1, 1, 1, 2, 2, 3; Wir haben bereits darüber gesprochen, es ist so etwas wie ein gewichtetes 1W3, also müssen wir alle diese Abschnitte in gleiche Teile aufteilen, die kleinste Maßeinheit finden, von der alles ein Vielfaches ist, und dann die Situation als d522 (oder etwas anderes) darstellen. wo viele Würfelflächen die gleiche Situation darstellen, aber mit mehr Ergebnissen. Und das ist ein Weg, das Problem zu lösen, und es ist technisch machbar, aber es gibt einen einfacheren Weg.

Kehren wir zu unseren standardmäßigen sechsseitigen Würfeln zurück. Wir haben gesagt, dass man, um den Durchschnittswert eines Wurfs für einen normalen Würfel zu berechnen, die Werte auf allen Seiten addieren und durch die Anzahl der Seiten dividieren muss, aber wie genau Ist da eine Berechnung im Gange? Es gibt eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken. Bei einem sechsseitigen Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass jede Seite gewürfelt wird, genau 1/6. Jetzt multiplizieren wir Exodus jedes Gesicht an Wahrscheinlichkeit von diesem Ergebnis (in diesem Fall 1/6 für jede Seite), dann summieren wir die resultierenden Werte. Also Summierung von (1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) erhalten wir das gleiche Ergebnis (3.5) wie in der obigen Berechnung. Tatsächlich zählen wir jedes Mal auf diese Weise: Wir multiplizieren jedes Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses.

Können wir die gleiche Berechnung für den Pfeil auf dem Spielfeld im Spiel „Nuclear War“ durchführen? Klar können wir. Und wenn wir alle gefundenen Ergebnisse zusammenfassen, erhalten wir den Durchschnittswert. Wir müssen lediglich die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses für den Pfeil auf dem Spielbrett berechnen und mit dem Ergebnis multiplizieren.

Ein anderes Beispiel

Diese Methode der Durchschnittsberechnung durch Multiplikation jedes Ergebnisses mit seiner individuellen Wahrscheinlichkeit eignet sich auch dann, wenn die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, aber unterschiedliche Vorteile haben, beispielsweise wenn Sie würfeln und auf einigen Seiten mehr gewinnen als auf anderen. Nehmen wir zum Beispiel ein Spiel wie in einem Casino: Sie platzieren einen Einsatz und würfeln 2W6. Wenn Sie drei Zahlen mit niedrigem Wert (2, 3, 4) oder vier Zahlen mit hohem Wert (9, 10, 11, 12) treffen, gewinnen Sie einen Betrag in Höhe Ihres Einsatzes. Eine Besonderheit sind die Zahlen mit dem niedrigsten und dem höchsten Wert: Wer eine 2 oder 12 würfelt, gewinnt doppelt so viel als Ihr Gebot. Wenn eine andere Zahl gewürfelt wird (5, 6, 7, 8), verlieren Sie Ihren Einsatz. Das ist ein ziemlich einfaches Spiel. Doch wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

Beginnen wir damit, zu zählen, wie oft Sie gewinnen können:

• Die maximale Anzahl an Ergebnissen beim Würfeln von 2W6 beträgt 36. Wie viele günstige Ergebnisse gibt es?
• Es gibt 1 Option für das Würfeln einer Zwei und 1 Option für das Würfeln einer Zwölf.
• Es gibt zwei Möglichkeiten, drei und elf zu würfeln.
• Es gibt drei Möglichkeiten, eine Vier zu würfeln, und drei Möglichkeiten, eine Zehn zu würfeln.
• Es gibt 4 Möglichkeiten, eine Neun zu würfeln.
• Nachdem wir alle Optionen zusammengefasst haben, erhalten wir eine Anzahl günstiger Ergebnisse von 16 von 36.

Unter normalen Bedingungen gewinnen Sie also 16 von 36 möglichen Malen ... die Gewinnwahrscheinlichkeit liegt bei etwas weniger als 50 %.

Aber in zwei dieser 16 Fälle gewinnen Sie doppelt so viel, d. h. Es ist, als würde man zweimal gewinnen! Wenn Sie dieses Spiel 36 Mal spielen, jedes Mal 1 $ setzen und jedes der möglichen Ergebnisse einmal eintritt, gewinnen Sie insgesamt 18 $ (tatsächlich gewinnen Sie 16 Mal, aber zwei dieser Male zählen als zwei Gewinne). Wenn Sie 36 Mal spielen und 18 $ gewinnen, bedeutet das nicht, dass die Chancen gleich sind?

Lass dir Zeit. Wenn Sie zählen, wie oft Sie verlieren können, erhalten Sie 20 und nicht 18. Wenn Sie 36 Mal spielen und jedes Mal 1 $ setzen, gewinnen Sie insgesamt 18 $, wenn Sie alle Gewinntipps treffen ... aber Sie verlieren insgesamt 20 $, wenn alle 20 ungünstigen Ergebnisse eintreten! Dadurch fallen Sie ein wenig ins Hintertreffen: Sie verlieren durchschnittlich 2 $ netto pro 36 Spiele (man kann auch sagen, dass Sie durchschnittlich 1/18 Dollar pro Tag verlieren). Jetzt sehen Sie, wie leicht es ist, in diesem Fall einen Fehler zu machen und die Wahrscheinlichkeit falsch zu berechnen!

Neuordnung

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass die Reihenfolge der Zahlen beim Würfeln keine Rolle spielt. Das Würfeln von 2+4 ist dasselbe wie das Würfeln von 4+2. In den meisten Fällen zählen wir die Anzahl der günstigen Ergebnisse manuell, aber manchmal ist diese Methode unpraktisch und es ist besser, eine mathematische Formel zu verwenden.

Ein Beispiel für diese Situation ist das Würfelspiel „Farkle“. Für jede neue Runde würfelst du 6W6. Wenn Sie Glück haben und alle möglichen Ergebnisse 1-2-3-4-5-6 („Straight“) erhalten, erhalten Sie einen großen Bonus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dies geschieht? In diesem Fall gibt es viele Möglichkeiten, diese Kombination zu erhalten!

Die Lösung lautet wie folgt: Einer der Würfel (und nur einer) muss die Zahl 1 haben! Auf wie viele Arten kann die Zahl 1 mit einem Würfel gewürfelt werden? Sechs, da es 6 Würfel gibt und jeder von ihnen die Zahl 1 landen kann. Nehmen Sie dementsprechend einen Würfel und legen Sie ihn beiseite. Nun soll einer der verbleibenden Würfel die Zahl 2 würfeln. Dafür gibt es fünf Möglichkeiten. Nimm einen weiteren Würfel und lege ihn beiseite. Dann können vier der verbleibenden Würfel eine 3 ergeben, drei der verbleibenden Würfel können eine 4 ergeben, zwei können eine 5 ergeben, und am Ende haben Sie einen Würfel, der eine 6 ergeben sollte (im letzteren Fall gibt es nur einen Würfel und es gibt keine Wahl). Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse für eine Gerade zu berechnen, multiplizieren wir alle verschiedenen, unabhängigen Optionen: 6x5x4x3x2x1 = 720 – es sieht so aus, als ob es eine ganze Reihe von Möglichkeiten gibt, wie diese Kombination zustande kommt.

Um die Wahrscheinlichkeit einer Straße zu berechnen, müssen wir 720 durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse für das Würfeln von 6W6 dividieren. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? Jeder Würfel kann 6 Seiten haben, also multiplizieren wir 6x6x6x6x6x6 = 46656 (die Zahl ist viel höher!). Teilen Sie 720/46656 und erhalten Sie eine Wahrscheinlichkeit von etwa 1,5 %. Wenn Sie dieses Spiel entwerfen würden, wäre es hilfreich, dies zu wissen, damit Sie ein entsprechendes Punktesystem erstellen könnten. Jetzt verstehen wir, warum Sie bei Farkle einen so großen Bonus erhalten, wenn Sie einen Straight bekommen, denn diese Situation kommt ziemlich selten vor!

Das Ergebnis ist auch aus einem anderen Grund interessant. Das Beispiel zeigt, wie selten tatsächlich ein der Wahrscheinlichkeit entsprechendes Ergebnis in einem kurzen Zeitraum auftritt. Wenn wir mehrere tausend Würfel werfen würden, würden natürlich ziemlich oft verschiedene Seiten der Würfel auftauchen. Aber wenn wir nur sechs Würfel werfen, fast niemals Es kommt nicht vor, dass jedes der Gesichter herausfällt! Daraus wird deutlich, dass es dumm ist zu erwarten, dass jetzt ein anderes Gesicht auftaucht, das noch nicht gefallen ist, „weil wir die Zahl 6 schon lange nicht mehr gewürfelt haben, das heißt, sie wird jetzt fallen.“

Hören Sie, Ihr Zufallszahlengenerator ist kaputt ...

Dies bringt uns zu einem weit verbreiteten Missverständnis über Wahrscheinlichkeit: der Annahme, dass alle Ergebnisse mit der gleichen Häufigkeit eintreten. über einen kurzen Zeitraum, was eigentlich nicht der Fall ist. Wenn wir mehrmals würfeln, ist die Häufigkeit, mit der jede Seite ausfällt, nicht gleich.

Wenn Sie schon einmal an einem Online-Spiel mit einem Zufallszahlengenerator gearbeitet haben, sind Sie höchstwahrscheinlich auf eine Situation gestoßen, in der ein Spieler dem technischen Support schreibt und Ihnen mitteilt, dass Ihr Zufallszahlengenerator defekt ist und keine Zufallszahlen anzeigt. und er kam zu diesem Schluss, weil er gerade 4 Monster hintereinander getötet und 4 genau die gleichen Belohnungen erhalten hatte, und diese Belohnungen sollten nur in 10 % der Fälle erscheinen, also das hier Fast nie sollte nicht stattfinden, was dies bedeutet offensichtlich dass Ihr Zufallszahlengenerator kaputt ist.

Sie führen eine mathematische Berechnung durch. 1/10*1/10*1/10*1/10 entspricht 1 zu 10.000, was bedeutet, dass es ziemlich selten vorkommt. Und genau das versucht der Spieler Ihnen zu sagen. Gibt es in diesem Fall ein Problem?

Es hängt alles von den Umständen ab. Wie viele Spieler sind derzeit auf Ihrem Server? Nehmen wir an, Sie haben ein ziemlich beliebtes Spiel und 100.000 Menschen spielen es jeden Tag. Wie viele Spieler können vier Monster hintereinander töten? Alles ist möglich, mehrmals am Tag, aber nehmen wir an, dass die Hälfte von ihnen nur verschiedene Gegenstände in Auktionen tauscht oder auf RP-Servern chattet oder andere Aktivitäten im Spiel ausführt, also jagt nur die Hälfte von ihnen tatsächlich Monster. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass für jemanden wird die gleiche Belohnung erscheinen? In dieser Situation können Sie damit rechnen, dass die gleiche Belohnung zumindest mehrmals am Tag erscheinen kann!

Übrigens, deshalb kommt es mir zumindest alle paar Wochen vor jemand gewinnt im Lotto, auch wenn es jemand ist niemals Es liegt nicht an dir oder deinen Freunden. Wenn genügend Leute jede Woche spielen, ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass es zumindest welche gibt eins Glück gehabt... aber wenn Du Wenn Sie im Lotto spielen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie gewinnen, geringer als die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zu einer Arbeit bei Infinity Ward eingeladen werden.

Karten und Sucht

Wir haben unabhängige Ereignisse besprochen, beispielsweise das Würfeln, und kennen nun viele leistungsstarke Tools zur Analyse des Zufalls in vielen Spielen. Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit ist etwas komplizierter, wenn es darum geht, Karten aus einem Stapel zu ziehen, da jede Karte, die wir ziehen, Auswirkungen auf die verbleibenden Karten im Stapel hat. Wenn Sie ein Standarddeck mit 52 Karten haben und beispielsweise 10 Herzen herausnehmen und die Wahrscheinlichkeit wissen möchten, dass die nächste Karte dieselbe Farbe hat, hat sich die Wahrscheinlichkeit geändert, weil Sie bereits eine Karte der Farbe entfernt haben von Herzen vom Deck. Jede Karte, die Sie entfernen, ändert die Wahrscheinlichkeit der nächsten Karte im Stapel. Da in diesem Fall das vorherige Ereignis das nächste beeinflusst, nennen wir dies Wahrscheinlichkeit abhängig.

Bitte beachten Sie, dass ich mit „Karten“ meine beliebig Spielmechanik, bei der es eine Reihe von Objekten gibt und Sie eines der Objekte entfernen, ohne es zu ersetzen. Ein „Kartenspiel“ ist in diesem Fall analog zu einer Tüte Chips, aus der Sie einen Chip entfernen und ihn nicht ersetzen, oder eine Urne, aus der man farbige Murmeln zieht (ich habe tatsächlich noch nie ein Spiel gesehen, bei dem eine Urne aus farbigen Murmeln gezogen wurde, aber es scheint, dass Wahrscheinlichkeitslehrer dieses Beispiel aus irgendeinem Grund bevorzugen).

Abhängigkeitseigenschaften

Ich möchte klarstellen, dass ich bei Karten davon ausgehe, dass Sie Karten ziehen, sie sich ansehen und sie aus dem Stapel entfernen. Jede dieser Aktionen ist eine wichtige Eigenschaft.

Wenn ich einen Stapel mit, sagen wir, sechs Karten mit den Zahlen 1 bis 6 hätte und sie mischen würde, eine Karte herausnehmen und dann alle sechs Karten noch einmal mischen würde, wäre das so, als würde ich einen sechsseitigen Würfel werfen; Ein Ergebnis hat keinen Einfluss auf die folgenden. Nur wenn ich Karten ziehe und sie nicht ersetze, erhöht das Ergebnis, dass ich eine Karte mit der Zahl 1 ziehe, die Wahrscheinlichkeit, dass ich das nächste Mal eine Karte mit der Zahl 6 ziehe (die Wahrscheinlichkeit steigt, bis ich schließlich diese Karte ziehe bzw bis ich die Karten mische).

Die Tatsache, dass wir sehen auf den Karten ist ebenfalls wichtig. Wenn ich eine Karte aus dem Stapel entferne und sie nicht ansehe, habe ich keine zusätzlichen Informationen und die Wahrscheinlichkeit ändert sich eigentlich nicht. Das mag kontraintuitiv klingen. Wie kann das bloße Umdrehen einer Karte die Chancen auf magische Weise verändern? Aber es ist möglich, weil Sie die Wahrscheinlichkeit für unbekannte Elemente einfach basierend auf Ihren Angaben berechnen können Du weisst. Wenn Sie beispielsweise ein Standard-Kartenspiel mischen, 51 Karten aufdecken und keine davon eine Kreuz-Dame ist, wissen Sie mit 100-prozentiger Sicherheit, dass die verbleibende Karte eine Kreuz-Dame ist. Wenn Sie ein Standardkartenspiel mischen und 51 Karten ziehen, trotz auf sie, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die verbleibende Karte eine Kreuz-Dame ist, immer noch 1/52. Wenn Sie jede Karte öffnen, erhalten Sie weitere Informationen.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für abhängige Ereignisse folgt den gleichen Prinzipien wie für unabhängige Ereignisse, ist jedoch etwas komplizierter, da sich die Wahrscheinlichkeiten ändern, wenn Sie Karten aufdecken. Sie müssen also viele verschiedene Werte multiplizieren, anstatt denselben Wert zu multiplizieren. Was das wirklich bedeutet, ist, dass wir alle Berechnungen, die wir durchgeführt haben, in einer Kombination zusammenfassen müssen.

Beispiel

Sie mischen einen Standardstapel mit 52 Karten und ziehen zwei Karten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie ein Paar ziehen? Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, aber die einfachste ist vielleicht die folgende: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie kein Paar ziehen können, wenn Sie eine Karte ziehen? Diese Wahrscheinlichkeit ist Null, es spielt also keine Rolle, welche erste Karte Sie ziehen, solange sie mit der zweiten übereinstimmt. Egal welche Karte wir zuerst ziehen, wir haben immer noch eine Chance, ein Paar zu ziehen, sodass die Wahrscheinlichkeit, dass wir nach dem Ziehen der ersten Karte ein Paar ziehen können, 100 % beträgt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte mit der ersten übereinstimmt? Es sind noch 51 Karten im Stapel und 3 davon stimmen mit der ersten Karte überein (eigentlich wären es 4 von 52, aber Sie haben bereits eine der passenden Karten entfernt, als Sie die erste Karte gezogen haben!), also beträgt die Wahrscheinlichkeit 1/ 17. (Wenn also der Typ, der Ihnen gegenübersitzt und Texas Hold'em spielt, das nächste Mal sagt: „Cool, noch ein Paar? Ich habe heute Glück gehabt“, wissen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er blufft, ziemlich groß ist.)

Was wäre, wenn wir zwei Joker hinzufügen und nun 54 Karten im Stapel haben und wissen möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, ein Paar zu ziehen? Die erste Karte kann ein Joker sein und dann enthält das Deck nur noch eine Karte eins Karte, nicht drei, die zusammenpassen. Wie findet man in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit? Wir werden die Wahrscheinlichkeiten dividieren und jede Möglichkeit multiplizieren.

Unsere erste Karte könnte ein Joker oder eine andere Karte sein. Die Wahrscheinlichkeit, einen Joker zu ziehen, beträgt 2/54, die Wahrscheinlichkeit, eine andere Karte zu ziehen, beträgt 52/54.

Wenn die erste Karte ein Joker ist (2/54), beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte mit der ersten übereinstimmt, 1/53. Multiplizieren der Werte (wir können sie multiplizieren, da es sich um separate Ereignisse handelt und wir möchten beide Ereignisse sind aufgetreten) und wir erhalten 1/1431 - weniger als ein Zehntel Prozent.

Wenn Sie zuerst eine andere Karte ziehen (52/54), beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Karte passt, 3/53. Wir multiplizieren die Werte und erhalten 78/1431 (etwas mehr als 5,5 %).

Was machen wir mit diesen beiden Ergebnissen? Sie schneiden sich nicht und wir wollen die Wahrscheinlichkeit wissen alle von ihnen, also summieren wir die Werte! Wir erhalten ein Endergebnis von 79/1431 (immer noch etwa 5,5 %).

Wenn wir sicher sein wollten, dass die Antwort richtig ist, könnten wir die Wahrscheinlichkeit aller anderen möglichen Ergebnisse berechnen: einen Joker ziehen und die zweite Karte nicht zusammenpassen oder eine andere Karte ziehen und die zweite Karte nicht zusammenpassen und sie hinzufügen Zusammen mit der Gewinnwahrscheinlichkeit kämen wir auf genau 100 %. Ich werde hier nicht auf die Mathematik eingehen, aber Sie können die Mathematik ausprobieren, um es noch einmal zu überprüfen.

Monty-Hall-Paradoxon

Dies bringt uns zu einem ziemlich berühmten Paradoxon, das viele Menschen oft verwirrt – dem Monty-Hall-Paradoxon. Das Paradoxon ist nach dem Moderator der Fernsehsendung „Let’s Make a Deal“, Monty Hall, benannt. Falls Sie diese Sendung noch nie gesehen haben: Es war das Gegenteil der Fernsehsendung „The Price Is Right“. In „The Price Is Right“ ist der Moderator (der Moderator war früher Bob Barker, jetzt heißt er... Drew Carey? Wie auch immer...) Ihr Freund. Er will So könnt ihr Geld oder coole Preise gewinnen. Es wird versucht, Ihnen jede Chance zu geben, zu gewinnen, solange Sie erraten können, wie viel die von den Sponsoren gekauften Artikel tatsächlich wert sind.

Monty Hall verhielt sich anders. Er war wie Bob Barkers böser Zwilling. Sein Ziel war es, Sie im nationalen Fernsehen wie einen Idioten aussehen zu lassen. Wenn Sie in der Show waren, war er Ihr Gegner, Sie spielten gegen ihn und die Chancen standen zu seinen Gunsten. Vielleicht bin ich zu hart, aber wenn die Chance, als Kandidat ausgewählt zu werden, direkt proportional dazu zu sein scheint, ob man einen lächerlichen Anzug trägt, komme ich zu solchen Schlussfolgerungen.

Aber eines der berühmtesten Memes der Show war dieses: Vor dir befanden sich drei Türen, und sie hießen Tür Nummer 1, Tür Nummer 2 und Tür Nummer 3. Du konntest dir eine Tür aussuchen ... kostenlos! Hinter einer dieser Türen verbarg sich ein prächtiger Preis, zum Beispiel ein neues Auto. Hinter den anderen Türen befanden sich keine Preise; diese beiden Türen waren wertlos. Ihr Ziel war es, dich zu demütigen, und deshalb war hinter ihnen nicht überhaupt nichts, sondern etwas, das dumm aussah, als wäre hinter ihnen eine Ziege oder eine riesige Tube Zahnpasta oder so ... etwas, was genau passiert Nicht ein neuer Personenwagen.

Du hast eine der Türen ausgewählt und Monty wollte sie gerade öffnen, um dir mitzuteilen, ob du gewonnen hast oder nicht ... aber warte, bevor wir es wissen Schauen wir uns eines davon an diese die Tür du nicht gewählt. Da Monty weiß, hinter welcher Tür sich der Preis befindet, gibt es nur einen Preis und zwei Türen, die du nicht gewählt hast, egal was passiert, er kann immer eine Tür öffnen, hinter der sich kein Preis befindet. „Wählen Sie Tür Nummer 3? Dann lasst uns Tür Nr. 1 öffnen, um zu zeigen, dass dahinter kein Preis steckt.“ Und jetzt bietet er Ihnen aus Großzügigkeit die Möglichkeit, die von Ihnen gewählte Tür Nummer 3 gegen das einzutauschen, was sich hinter Tür Nummer 2 befindet. An diesem Punkt stellt sich die Frage der Wahrscheinlichkeit: Erhöht die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen, Ihre Wahrscheinlichkeit? gewinnen oder verringern oder bleibt es gleich? Was meinen Sie?

Richtige Antwort: Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen erhöht sich Gewinnwahrscheinlichkeit von 1/3 bis 2/3. Das ist unlogisch. Wenn Ihnen dieses Paradoxon noch nie begegnet ist, denken Sie wahrscheinlich: Moment, haben wir die Wahrscheinlichkeit auf magische Weise verändert, indem wir eine Tür geöffnet haben? Aber wie wir bereits im Beispiel mit den Karten oben gesehen haben, ist dies genau Was passiert, wenn wir mehr Informationen erhalten? Es ist offensichtlich, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei der ersten Wahl 1/3 beträgt, und ich glaube, dass jeder dem zustimmen wird. Wenn sich eine Tür löst, ändert sich die Gewinnwahrscheinlichkeit für die erste Wahl überhaupt nicht, die Wahrscheinlichkeit beträgt immer noch 1/3, aber das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass dies der Fall ist andere Die Tür ist jetzt zu 2/3 in Ordnung.

Betrachten wir dieses Beispiel aus einer anderen Perspektive. Sie wählen eine Tür. Die Gewinnwahrscheinlichkeit beträgt 1/3. Ich schlage vor, dass Sie sich ändern zwei andere Türen, was Monty Hall tatsächlich vorschlägt. Natürlich öffnet er eine der Türen, um zu zeigen, dass sich dahinter kein Preis verbirgt, sondern er Stets kann dies tun, es ändert also nichts wirklich. Natürlich möchten Sie eine andere Tür wählen!

Wenn Sie über dieses Problem verwirrt sind und eine überzeugendere Erklärung benötigen, klicken Sie auf diesen Link, um zu einer tollen kleinen Flash-Anwendung zu gelangen, mit der Sie dieses Paradoxon detaillierter untersuchen können. Sie können mit etwa 10 Türen beginnen und dann schrittweise zu einem Spiel mit drei Türen übergehen; Es gibt auch einen Simulator, in dem Sie eine beliebige Anzahl von Türen von 3 bis 50 auswählen und mehrere tausend Simulationen spielen oder ausführen können, um zu sehen, wie oft Sie gewinnen würden, wenn Sie spielen würden.

Eine Bemerkung des höheren Mathematiklehrers und Spielbalance-Spezialisten Maxim Soldatov, die Schreiber natürlich nicht hatte, ohne die es aber ziemlich schwierig ist, diese magische Transformation zu verstehen:

Sie wählen eine Tür, eine von drei, die Wahrscheinlichkeit zu „gewinnen“ beträgt 1/3. Jetzt haben Sie zwei Strategien: Ändern Sie, nachdem Sie die falsche Tür geöffnet haben, ob Wahl oder nicht. Wenn Sie Ihre Wahl nicht ändern, bleibt die Wahrscheinlichkeit 1/3, da die Wahl nur in der ersten Phase erfolgt und Sie sofort raten müssen, aber wenn Sie sich ändern, können Sie gewinnen, wenn Sie zuerst die falsche Wahl treffen Tür (dann öffnen sie eine andere falsche, bleiben treu, du änderst deine Meinung und nimmst sie)
Die Wahrscheinlichkeit, zu Beginn die falsche Tür zu wählen, beträgt 2/3. Es stellt sich also heraus, dass Sie durch eine Änderung Ihrer Entscheidung die Gewinnwahrscheinlichkeit um das Zweifache erhöhen

Und noch einmal zum Monty-Hall-Paradoxon

Was die Show selbst angeht, wusste Monty Hall das, denn selbst wenn seine Konkurrenten nicht gut in Mathe waren, Er versteht es gut. Hier ist, was er getan hat, um das Spiel ein wenig zu verändern. Wenn Sie eine Tür ausgewählt haben, hinter der sich ein Preis befand, dessen Wahrscheinlichkeit 1/3 beträgt, ist dies der Fall Stets bot Ihnen die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen. Schließlich hat man sich für ein Auto entschieden, und dann tauscht man es gegen eine Ziege ein und sieht ziemlich dumm aus, was genau das ist, was er braucht, weil er ein ziemlich böser Kerl ist. Aber wenn Sie die Tür wählen, hinter der sich befindet es wird keinen Preis geben, nur entzwei In solchen Fällen wird er Sie auffordern, eine andere Tür zu wählen, in anderen Fällen zeigt er Ihnen einfach Ihre neue Ziege und Sie verlassen den Tatort. Lassen Sie uns dieses neue Spiel analysieren, in dem Monty Hall es kann wählen bieten Ihnen die Möglichkeit, eine andere Tür zu wählen oder nicht.

Nehmen wir an, er folgt diesem Algorithmus: Wenn Sie eine Tür mit einem Preis auswählen, bietet er Ihnen immer die Möglichkeit, eine andere Tür auszuwählen, andernfalls besteht eine 50/50-Chance, dass er Ihnen anbietet, eine andere Tür auszuwählen oder Ihnen eine Ziege zu schenken. Wie hoch ist Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit?

Bei einer der drei Möglichkeiten wählen Sie sofort die Tür aus, hinter der sich der Preis befindet, und der Moderator lädt Sie ein, eine andere Tür auszuwählen.

Von den verbleibenden zwei von drei Optionen (Sie wählen zunächst eine Tür ohne Preis) bietet Ihnen der Moderator in der Hälfte der Fälle an, eine andere Tür auszuwählen, in der anderen Hälfte der Fälle nicht. Die Hälfte von 2/3 ist 1/3, d.h. In einem von drei Fällen erhalten Sie eine Ziege, in einem von drei Fällen wählen Sie die falsche Tür und der Gastgeber fordert Sie auf, eine andere zu wählen, und in einem von drei Fällen wählen Sie die richtige Tür und er wird dich bitten, eine andere Tür zu wählen.

Wenn der Moderator anbietet, eine andere Tür zu wählen, wissen wir bereits, dass dieser eine von drei Fällen, in dem er uns eine Ziege gibt und wir gehen, nicht passiert ist. Dies sind nützliche Informationen, da sie bedeuten, dass sich unsere Gewinnchancen geändert haben. Wenn wir in zwei von drei Fällen die Möglichkeit haben zu wählen, bedeutet das in einem Fall, dass wir richtig geraten haben, und im anderen Fall, dass wir falsch geraten haben Die Wahrscheinlichkeit, dass wir gewinnen, ist 50/50, und es gibt keine mathematisch Vorteile, bleiben Sie bei Ihrer Wahl oder wählen Sie eine andere Tür.

Wie Poker ist es mittlerweile ein psychologisches Spiel, kein mathematisches mehr. Monty hat dir die Wahl gelassen, weil er denkt, dass du ein Idiot bist, der nicht weiß, dass es die „richtige“ Entscheidung ist, die andere Tür zu wählen, und dass du hartnäckig an deiner Wahl festhalten wirst, weil psychologisch gesehen die Situation so ist, als du dich für die andere Tür entschieden hast Auto, und es dann verloren, schwieriger? Oder denkt er, dass Sie schlau sind und eine andere Tür wählen, und bietet Ihnen diese Chance, weil er weiß, dass Sie von Anfang an richtig geraten haben und Sie in die Falle geraten werden? Oder vielleicht ist er ungewöhnlich freundlich zu sich selbst und drängt Sie dazu, etwas in Ihrem persönlichen Interesse zu tun, weil er schon lange kein Auto mehr verschenkt hat und seine Produzenten ihm sagen, dass das Publikum sich langweilt und er besser eines verschenken sollte Bald einen großen Preis gewinnen, damit die Einschaltquoten nicht sinken?

Auf diese Weise gelingt es Monty, (manchmal) Auswahlmöglichkeiten anzubieten und dennoch die Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit bei 1/3 zu halten. Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit, dass Sie völlig verlieren, 1/3 beträgt. Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie auf Anhieb richtig raten, beträgt 1/3, und in 50 % dieser Fälle gewinnen Sie (1/3 x 1/2 = 1/6). Die Wahrscheinlichkeit, dass Sie zunächst falsch geraten haben, dann aber eine Chance haben, eine andere Tür auszuwählen, beträgt 1/3, und in 50 % dieser Fälle gewinnen Sie (ebenfalls 1/6). Addieren Sie zwei unabhängige Gewinnmöglichkeiten und Sie erhalten eine Wahrscheinlichkeit von 1/3. Egal, ob Sie bei Ihrer Wahl bleiben oder eine andere Tür wählen, Ihre Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit während des Spiels beträgt 1/3 ... die Wahrscheinlichkeit wird nicht größer als in einer Situation, in der Sie die Tür erraten würden und der Moderator Ihnen zeigen würde, was sich hinter dieser Tür befindet, ohne die Möglichkeit zu haben, eine andere Tür auszuwählen! Der Zweck der Option, eine andere Tür zu wählen, besteht also nicht darin, die Wahrscheinlichkeit zu ändern, sondern darin, den Entscheidungsprozess im Fernsehen unterhaltsamer zu gestalten.

Dies ist übrigens einer der Gründe, warum Poker so interessant sein kann: Bei den meisten Formaten werden die Karten zwischen den Runden, in denen Einsätze getätigt werden (z. B. Flop, Turn und River bei Texas Hold'em), nach und nach aufgedeckt. Und wenn Sie zu Beginn des Spiels eine Gewinnwahrscheinlichkeit haben, ändert sich diese Wahrscheinlichkeit nach jeder Einsatzrunde, wenn mehr Karten aufgedeckt werden.

Junge-Mädchen-Paradoxon

Dies bringt uns zu einem weiteren berühmten Paradoxon, das normalerweise jeden verwirrt – dem Jungen-Mädchen-Paradoxon. Das Einzige, worüber ich heute schreibe, hat nicht direkt etwas mit Spielen zu tun (obwohl ich denke, dass das nur bedeutet, dass ich Sie dazu ermutigen sollte, relevante Spielmechaniken zu entwickeln). Es ist eher ein Rätsel, aber ein interessantes, und um es zu lösen, müssen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen, über die wir oben gesprochen haben.

Problem: Ich habe einen Freund mit zwei Kindern, mindestens ein das Kind ist ein Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind Dasselbe Mädchen? Nehmen wir an, in jeder Familie besteht eine 50/50-Chance, ein Mädchen oder einen Jungen zu bekommen, und das gilt für jedes Kind (tatsächlich haben einige Männer mehr Spermien mit einem X- oder Y-Chromosom, sodass sich die Wahrscheinlichkeit ändert ein wenig, wenn Sie wissen, dass ein Kind ein Mädchen ist, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu bekommen, etwas höher, außerdem gibt es andere Bedingungen, zum Beispiel Hermaphroditismus, aber um dieses Problem zu lösen, werden wir dies nicht berücksichtigen und davon ausgehen die Geburt eines Kindes ist ein eigenständiges Ereignis und die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen oder ein Mädchen zu bekommen, ist gleich).

Da wir von einer 1/2-Chance sprechen, würden wir intuitiv erwarten, dass die Antwort wahrscheinlich 1/2 oder 1/4 oder eine andere runde Zahl ist, die ein Vielfaches von zwei ist. Aber die Antwort ist: 1/3 . Warte, warum?

Die Schwierigkeit besteht darin, dass die Informationen, die wir haben, die Anzahl der Möglichkeiten verringern. Angenommen, die Eltern sind Fans der Sesamstraße und nennen ihre Kinder A und B, unabhängig davon, ob das Kind als Junge oder Mädchen geboren wurde. Unter normalen Bedingungen gibt es vier gleich wahrscheinliche Möglichkeiten: A und B sind zwei Jungen, A und B sind zwei Mädchen, A ist ein Junge und B ist ein Mädchen, A ist ein Mädchen und B ist ein Junge. Da wir das wissen mindestens ein Wenn das Kind ein Mädchen ist, können wir die Möglichkeit ausschließen, dass A und B zwei Jungen sind, sodass uns drei (immer noch gleich wahrscheinliche) Möglichkeiten bleiben. Wenn alle Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind und es drei davon gibt, wissen wir, dass die Wahrscheinlichkeit jeder von ihnen 1/3 beträgt. Nur in einer dieser drei Optionen sind beide Kinder Mädchen, daher lautet die Antwort 1/3.

Und noch einmal über das Paradoxon eines Jungen und eines Mädchens

Die Lösung des Problems wird noch unlogischer. Stellen Sie sich vor, ich erzähle Ihnen, dass meine Freundin zwei Kinder und ein Kind hat – Mädchen, das am Dienstag geboren wurde. Nehmen wir an, dass unter normalen Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind an einem der sieben Tage der Woche geboren wird, gleich ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ebenfalls ein Mädchen ist? Man könnte meinen, die Antwort wäre immer noch 1/3; Welche Bedeutung hat der Dienstag? Aber selbst in diesem Fall versagt uns die Intuition. Antwort: 13/27 , was nicht nur unintuitiv, sondern auch sehr seltsam ist. Was ist los in diesem Fall?

Tatsächlich ändert der Dienstag die Wahrscheinlichkeit, weil wir es nicht wissen Welche Das Baby wurde am Dienstag geboren oder vielleicht zwei Kinder am Dienstag geboren. In diesem Fall verwenden wir die gleiche Logik wie oben: Wir zählen alle möglichen Kombinationen, wenn mindestens ein Kind ein Mädchen ist, das am Dienstag geboren wurde. Angenommen, die Kinder heißen wie im vorherigen Beispiel A und B, dann sehen die Kombinationen wie folgt aus:

• A ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, B ist ein Junge (in dieser Situation gibt es 7 Möglichkeiten, eine für jeden Wochentag, an dem ein Junge geboren werden könnte).
• B ist ein am Dienstag geborenes Mädchen, A ist ein Junge (ebenfalls 7 Möglichkeiten).
• A ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, B ist ein Mädchen, das am geboren wurde ein anderer Wochentag (6 Möglichkeiten).
• B ist ein Mädchen, das am Dienstag geboren wurde, A ist ein Mädchen, das nicht am Dienstag geboren wurde (ebenfalls 6 Wahrscheinlichkeiten).
• A und B sind zwei Mädchen, die am Dienstag geboren wurden (1 Möglichkeit, darauf müssen Sie achten, um nicht doppelt zu zählen).

Wir addieren und erhalten 27 verschiedene gleich mögliche Kombinationen von Geburten von Kindern und Tagen mit mindestens einer Möglichkeit der Geburt eines Mädchens am Dienstag. Davon gibt es 13 Möglichkeiten, wenn zwei Mädchen geboren werden. Es wirkt außerdem völlig unlogisch und es scheint, als ob diese Aufgabe nur geschaffen wurde, um Kopfschmerzen zu verursachen. Wenn Sie dieses Beispiel immer noch verwirrt, hat der Spieltheoretiker Jesper Juhl auf seiner Website eine gute Erklärung zu diesem Problem.

Wenn Sie gerade an einem Spiel arbeiten ...

Wenn das Spiel, das Sie entwerfen, zufällig ist, ist dies ein guter Zeitpunkt, es zu analysieren. Wählen Sie ein Element aus, das Sie analysieren möchten. Fragen Sie sich zunächst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Element gemäß Ihren Erwartungen ist, wie hoch es Ihrer Meinung nach im Kontext des Spiels sein sollte. Wenn Sie beispielsweise ein Rollenspiel erstellen und sich fragen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein sollte, dass ein Spieler ein Monster im Kampf besiegen kann, fragen Sie sich, welcher Gewinnprozentsatz sich für Sie richtig anfühlt. Wenn man Konsolen-RPGs spielt, sind die Spieler normalerweise sehr verärgert, wenn sie verlieren. Daher ist es am besten, wenn sie nicht oft verlieren ... vielleicht in 10 % der Fälle oder weniger? Wenn Sie ein RPG-Designer sind, wissen Sie es wahrscheinlich besser als ich, aber Sie müssen eine grundlegende Vorstellung davon haben, wie hoch die Wahrscheinlichkeit sein sollte.

Dann fragen Sie sich, ob das etwas ist abhängig(wie Karten) oder unabhängig(wie Würfel). Analysieren Sie alle möglichen Ergebnisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Stellen Sie sicher, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 100 % beträgt. Und zum Schluss vergleichen Sie natürlich Ihre Ergebnisse mit den Ergebnissen Ihrer Erwartungen. Läuft das Würfeln oder Ziehen der Karte so, wie Sie es beabsichtigt haben, oder sehen Sie, dass Sie die Werte anpassen müssen? Und natürlich, wenn Sie du wirst finden Was angepasst werden muss, können Sie mit denselben Berechnungen ermitteln, wie stark etwas angepasst werden muss!

Hausaufgabe

Ihre „Hausaufgaben“ in dieser Woche werden Ihnen helfen, Ihre Wahrscheinlichkeitsfähigkeiten zu verbessern. Hier sind zwei Würfelspiele und ein Kartenspiel, die Sie mithilfe der Wahrscheinlichkeit analysieren werden, sowie eine seltsame Spielmechanik, die ich einmal entwickelt habe und die die Monte-Carlo-Methode testen wird.

Spiel Nr. 1 – Drachenknochen

Dies ist ein Würfelspiel, das meine Kollegen und ich einmal erfunden haben (Danke an Jeb Havens und Jesse King!), und das vor allem mit seinen Wahrscheinlichkeiten die Leute umhaut. Es handelt sich um ein einfaches Casinospiel namens „Dragon Dice“, bei dem es sich um einen Würfelwettbewerb zwischen dem Spieler und dem Haus handelt. Du erhältst einen normalen 1W6-Würfel. Das Ziel des Spiels ist es, eine höhere Zahl als die des Hauses zu würfeln. Tom erhält einen nicht standardmäßigen 1W6 – derselbe wie bei Ihnen, aber anstelle einer 1 ist auf einer Seite ein Bild eines Drachen zu sehen (deshalb hat das Casino einen Drachenwürfel – 2-3-4-5-6). Wenn das Haus den Drachen bekommt, gewinnt es automatisch und Sie verlieren. Wenn beide die gleiche Zahl haben, ist es unentschieden und es wird erneut gewürfelt. Derjenige, der die höchste Zahl würfelt, gewinnt.

Natürlich ist nicht alles ganz zu Gunsten des Spielers, denn das Casino hat einen Vorteil in Form des Dragon’s Edge. Aber ist das wirklich wahr? Das musst du berechnen. Aber überprüfen Sie vorher Ihre Intuition. Nehmen wir an, der Gewinn beträgt 2 zu 1. Wenn Sie also gewinnen, behalten Sie Ihren Einsatz und erhalten das Doppelte Ihres Einsatzes. Wenn Sie beispielsweise 1 $ setzen und gewinnen, behalten Sie diesen Dollar und erhalten 2 weitere obendrauf, also insgesamt 3 $. Wenn Sie verlieren, verlieren Sie nur Ihren Einsatz. Würdest du spielen? Haben Sie also intuitiv das Gefühl, dass die Wahrscheinlichkeit größer als 2 zu 1 ist, oder glauben Sie immer noch, dass sie geringer ist? Mit anderen Worten: Erwarten Sie im Durchschnitt von drei Spielen mehr als einmal, weniger oder einmal zu gewinnen?

Sobald Sie Ihre Intuition geklärt haben, verwenden Sie Mathematik. Für beide Würfel gibt es nur 36 mögliche Positionen, sodass Sie sie problemlos alle zählen können. Wenn Sie sich bei diesem 2-für-1-Angebot nicht sicher sind, bedenken Sie Folgendes: Nehmen wir an, Sie haben das Spiel 36 Mal gespielt (jedes Mal 1 $ gesetzt). Für jeden Gewinn erhalten Sie 2 Dollar, für jede Niederlage verlieren Sie 1 Dollar und ein Unentschieden ändert nichts. Berechnen Sie alle Ihre wahrscheinlichen Gewinne und Verluste und entscheiden Sie, ob Sie einen bestimmten Dollarbetrag verlieren oder gewinnen werden. Dann fragen Sie sich, wie richtig Ihre Intuition war. Und dann wird mir klar, was für ein Bösewicht ich bin.

Und ja, wenn Sie bereits über diese Frage nachgedacht haben – ich verwirre Sie absichtlich, indem ich die tatsächlichen Mechanismen von Würfelspielen falsch darstelle, aber ich bin sicher, dass Sie dieses Hindernis mit nur ein wenig Nachdenken überwinden können. Versuchen Sie, dieses Problem selbst zu lösen. Alle Antworten werde ich nächste Woche hier posten.

Spiel Nr. 2 – Werfen für Glück

Dabei handelt es sich um ein Glücksspiel mit Würfeln namens „Roll for Luck“ (auch „Birdcage“, weil die Würfel manchmal nicht geworfen, sondern in einen großen Drahtkäfig gelegt werden, der an den Käfig aus „Bingo“ erinnert). Es ist ein einfaches Spiel, das im Wesentlichen auf Folgendes hinausläuft: Setzen Sie beispielsweise 1 $ auf eine Zahl von 1 bis 6. Dann würfeln Sie 3W6. Für jeden Würfel, der Ihre Zahl trifft, erhalten Sie 1 $ (und behalten Ihren ursprünglichen Einsatz). Wenn Ihre Zahl bei keinem der Würfel erscheint, erhält das Casino Ihren Dollar und Sie erhalten nichts. Wenn Sie also auf eine 1 setzen und dreimal eine 1 auf den Seiten erhalten, erhalten Sie 3 $.

Intuitiv scheint es, dass dieses Spiel gleiche Chancen hat. Jeder Würfel stellt eine individuelle Gewinnchance von 1 zu 6 dar. Wenn Sie also alle drei addieren, beträgt Ihre Gewinnchance 3 zu 6. Denken Sie jedoch natürlich daran, dass Sie drei separate Würfel hinzufügen und nur hinzufügen dürfen sie, wenn wir über separate Gewinnkombinationen desselben Würfels sprechen. Etwas, das Sie vermehren müssen.

Sobald Sie alle möglichen Ergebnisse berechnet haben (wahrscheinlich einfacher in Excel als von Hand, da es 216 davon gibt), sieht das Spiel auf den ersten Blick immer noch ungerade-gerade aus. Aber in Wirklichkeit hat das Casino immer noch bessere Gewinnchancen – wie viel mehr? Konkret: Wie viel Geld werden Sie Ihrer Meinung nach durchschnittlich pro Spielrunde verlieren? Alles, was Sie tun müssen, ist, die Gewinne und Verluste aller 216 Ergebnisse zu addieren und dann durch 216 zu dividieren, was ziemlich einfach sein sollte ... Aber wie Sie sehen, gibt es ein paar Fallen, in die Sie tappen können, und deshalb habe ich Ich sage Ihnen: Wenn Sie glauben, dass dieses Spiel eine ausgeglichene Gewinnchance hat, dann liegen Sie völlig falsch.

Spiel Nr. 3 – 5 Card Stud Poker

Wenn Sie sich bereits mit früheren Spielen vertraut gemacht haben, schauen wir uns am Beispiel dieses Kartenspiels an, was wir über die bedingte Wahrscheinlichkeit wissen. Stellen wir uns konkret ein Pokerspiel mit einem 52-Karten-Deck vor. Stellen wir uns auch 5 Card Stud vor, bei dem jeder Spieler nur 5 Karten erhält. Sie können keine Karte abwerfen, Sie können keine neue Karte ziehen, es gibt keinen gemeinsamen Stapel – Sie erhalten nur 5 Karten.

Ein Royal Flush besteht aus 10-J-Q-K-A in einer Hand, insgesamt sind es vier, es gibt also vier Möglichkeiten, einen Royal Flush zu bekommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine solche Kombination erhalten.

Ich muss Sie vor einer Sache warnen: Denken Sie daran, dass Sie diese fünf Karten in beliebiger Reihenfolge ziehen können. Das heißt, Sie können zuerst ein Ass oder eine Zehn ziehen, das spielt keine Rolle. Bedenken Sie also bei der Berechnung, dass es tatsächlich mehr als vier Möglichkeiten gibt, einen Royal Flush zu erhalten, vorausgesetzt, die Karten wurden in der richtigen Reihenfolge ausgeteilt!

Spiel Nr. 4 – IWF-Lotterie

Das vierte Problem lässt sich mit den heute besprochenen Methoden nicht so einfach lösen, Sie können die Situation jedoch problemlos per Programmierung oder Excel simulieren. Am Beispiel dieses Problems können Sie die Monte-Carlo-Methode erarbeiten.

Ich habe vorhin das Spiel „Chron X“ erwähnt, an dem ich einmal gearbeitet habe, und dort gab es eine sehr interessante Karte – die IWF-Lotterie. So hat es funktioniert: Sie haben es in einem Spiel verwendet. Nach Ende der Runde wurden die Karten neu verteilt und es bestand eine Chance von 10 %, dass die Karte aus dem Spiel ging und ein zufälliger Spieler 5 Einheiten jeder Art von Ressource erhielt, deren Token auf dieser Karte vorhanden war. Die Karte wurde ohne einen einzigen Chip ins Spiel gebracht, aber jedes Mal, wenn sie zu Beginn der nächsten Runde im Spiel blieb, erhielt sie einen Chip. Es bestand also eine Chance von 10 %, dass die Runde endete, die Karte das Spiel verließ und niemand etwas bekam, wenn man sie ins Spiel brachte. Geschieht dies nicht (90 % Chance), besteht eine 10 % Chance (eigentlich 9 %, da es 10 % von 90 % sind), dass sie in der nächsten Runde das Spiel verlässt und jemand 5 Einheiten Ressourcen erhält. Wenn die Karte nach einer Runde das Spiel verlässt (10 % der verfügbaren 81 %, die Wahrscheinlichkeit beträgt also 8,1 %), erhält jemand 10 Einheiten, eine weitere Runde - 15, eine weitere - 20 und so weiter. Frage: Wie hoch ist der allgemein erwartete Wert der Anzahl an Ressourcen, die Sie von dieser Karte erhalten, wenn sie endgültig das Spiel verlässt?

Normalerweise würden wir versuchen, dieses Problem zu lösen, indem wir die Möglichkeit jedes Ergebnisses ermitteln und mit der Anzahl aller Ergebnisse multiplizieren. Es besteht also eine Chance von 10 %, dass Sie 0 erhalten (0,1*0 = 0). 9 %, dass Sie 5 Ressourceneinheiten erhalten (9 %*5 = 0,45 Ressourcen). 8,1 % von dem, was Sie erhalten, sind 10 (8,1 %*10 = insgesamt 0,81 Ressourcen, erwarteter Wert). Usw. Und dann würden wir alles zusammenfassen.

Und jetzt ist das Problem für Sie offensichtlich: Es besteht immer die Möglichkeit, dass die Karte beschädigt wird Nicht wird das Spiel verlassen, damit sie im Spiel bleiben kann für immer, für unendlich viele Runden, daher ist eine Berechnung möglich jede Möglichkeit existiert nicht. Die Methoden, die wir heute gelernt haben, erlauben es uns nicht, die unendliche Rekursion zu berechnen, daher müssen wir sie künstlich erzeugen.

Wenn Sie gut genug im Programmieren sind, schreiben Sie ein Programm, das diese Karte simuliert. Sie sollten über eine Zeitschleife verfügen, die die Variable auf die Startposition Null bringt, eine Zufallszahl anzeigt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % die Variable aus der Schleife verlässt. Andernfalls wird 5 zur Variablen hinzugefügt und die Schleife wird wiederholt. Wenn die Schleife schließlich verlassen wird, erhöhen Sie die Gesamtzahl der Testläufe um 1 und die Gesamtzahl der Ressourcen (um wie viel hängt davon ab, wo die Variable landet). Setzen Sie dann die Variable zurück und beginnen Sie erneut. Führen Sie das Programm mehrere tausend Mal aus. Teilen Sie abschließend die Gesamtzahl der Ressourcen durch die Gesamtzahl der Läufe – dies ist Ihr erwarteter Monte-Carlo-Wert. Führen Sie das Programm mehrmals aus, um sicherzustellen, dass die erhaltenen Zahlen ungefähr gleich sind. Wenn die Streuung immer noch groß ist, erhöhen Sie die Anzahl der Wiederholungen in der äußeren Schleife, bis Sie beginnen, Übereinstimmungen zu erhalten. Sie können sicher sein, dass alle Zahlen, die Sie am Ende erhalten, annähernd korrekt sind.

Wenn Sie mit Programmierung nicht vertraut sind (und selbst wenn), finden Sie hier eine kleine Übung, um Ihre Excel-Kenntnisse aufzuwärmen. Wenn Sie ein Spieledesigner sind, sind Excel-Kenntnisse nie eine schlechte Sache.

Jetzt werden Sie die IF- und RAND-Funktionen sehr nützlich finden. RAND benötigt keine Werte, es gibt lediglich eine zufällige Dezimalzahl zwischen 0 und 1 aus. Normalerweise kombinieren wir es mit FLOOR und Plus- und Minuspunkten, um das Würfeln zu simulieren, was ich bereits erwähnt habe. Allerdings belassen wir in diesem Fall nur eine Chance von 10 %, dass die Karte das Spiel verlässt, sodass wir einfach prüfen können, ob der RAND-Wert unter 0,1 liegt, und uns darüber keine Sorgen mehr machen müssen.

IF hat drei Bedeutungen. In der Reihenfolge: eine Bedingung, die entweder wahr oder falsch ist, dann ein Wert, der zurückgegeben wird, wenn die Bedingung wahr ist, und ein Wert, der zurückgegeben wird, wenn die Bedingung falsch ist. Die folgende Funktion gibt also in 5 % der Fälle und in den anderen 90 % der Fälle 0 zurück:
=IF(RAND()<0.1,5,0)

Es gibt viele Möglichkeiten, diesen Befehl festzulegen, aber ich würde diese Formel für die Zelle verwenden, die die erste Runde darstellt, sagen wir, es ist Zelle A1:

WENN(RAND()<0.1,0,-1)

Hier verwende ich eine negative Variable, um zu bedeuten: „Diese Karte hat das Spiel nicht verlassen und hat noch keine Ressourcen aufgegeben.“ Wenn also die erste Runde vorbei ist und die Karte das Spiel verlässt, ist A1 0; andernfalls ist es -1.

Für die nächste Zelle, die die zweite Runde darstellt:

IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1))

Wenn also die erste Runde endete und die Karte sofort das Spiel verließ, ist A1 0 (die Anzahl der Ressourcen) und diese Zelle kopiert einfach diesen Wert. Andernfalls ist A1 -1 (die Karte hat das Spiel noch nicht verlassen) und diese Zelle bewegt sich zufällig weiter: In 10 % der Fälle gibt sie 5 Ressourceneinheiten zurück, in der restlichen Zeit bleibt ihr Wert gleich -1. Wenn wir diese Formel auf weitere Felder anwenden, erhalten wir zusätzliche Runden, und welches Feld Sie am Ende erhalten, gibt Ihnen das Endergebnis (oder -1, wenn die Karte das Spiel nach allen gespielten Runden nie verlassen hat).

Nehmen Sie die Zellenreihe, die die einzige Runde mit dieser Karte darstellt, und kopieren Sie mehrere hundert (oder tausend) Zeilen und fügen Sie sie ein. Es kann sein, dass wir dazu nicht in der Lage sind endlos Test für Excel (es gibt eine begrenzte Anzahl von Zellen in einer Tabelle), aber zumindest können wir die meisten Fälle abdecken. Wählen Sie dann eine Zelle aus, in der Sie den Durchschnitt der Ergebnisse aller Runden platzieren (Excel stellt hierfür freundlicherweise eine AVERAGE()-Funktion zur Verfügung).

Unter Windows können Sie zumindest F9 drücken, um alle Zufallszahlen neu zu berechnen. Wiederholen Sie dies wie zuvor ein paar Mal und prüfen Sie, ob die Werte, die Sie erhalten, gleich sind. Wenn die Streuung zu groß ist, verdoppeln Sie die Anzahl der Durchläufe und versuchen Sie es erneut.

Ungelöste Probleme

Wenn Sie einen Abschluss in Wahrscheinlichkeitstheorie haben und die oben genannten Probleme zu einfach erscheinen, finden Sie hier zwei Probleme, über die ich mir seit Jahren den Kopf zerbreche, aber leider bin ich in Mathe nicht gut genug, um sie zu lösen. Wenn du zufällig eine Lösung weißt, poste sie bitte hier in den Kommentaren, ich lese sie gerne.

Ungelöstes Problem Nr. 1: LotterieIWF

Das erste ungelöste Problem ist die vorherige Hausaufgabe. Ich kann die Monte-Carlo-Methode problemlos anwenden (mit C++ oder Excel) und bin zuversichtlich, die Frage „Wie viele Ressourcen erhält der Spieler“ zu beantworten, aber ich weiß nicht genau, wie ich mathematisch eine exakt beweisbare Antwort liefern kann (es ist so). eine unendliche Reihe). Wenn Sie die Antwort kennen, posten Sie sie hier ... natürlich nachdem Sie sie mit Monte Carlo getestet haben.

Ungelöstes Problem Nr. 2: Zahlenfolgen

Dieses Problem (und wiederum geht es weit über die in diesem Blog gelösten Aufgaben hinaus) wurde mir vor mehr als 10 Jahren von einem Gamer-Freund gestellt. Als er in Las Vegas Blackjack spielte, bemerkte er etwas Interessantes: Als er Karten aus einem 8er-Deck-Schuh zog, sah er zehn Figuren in einer Reihe (eine Figur oder Bildkarte – 10, Joker, König oder Königin, also sind es insgesamt 16 in einem Standarddeck mit 52 Karten, also sind es 128 in einem Kartenschuh mit 416 Karten). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in diesem Schuh wenigstens eine Folge von zehn oder mehr Zahlen? Nehmen wir an, dass sie fair und in zufälliger Reihenfolge gemischt wurden. (Oder, wenn Sie es vorziehen, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nirgendwo gefunden eine Folge von zehn oder mehr Figuren?)

Wir können die Aufgabe vereinfachen. Hier ist eine Folge von 416 Teilen. Jeder Teil ist eine 0 oder eine 1. Es gibt 128 Einsen und 288 Nullen, die zufällig über die Sequenz verteilt sind. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 128 Einsen zufällig mit 288 Nullen zu vermischen, und wie oft wird es auf diese Weise mindestens eine Gruppe von zehn oder mehr Einsen geben?

Jedes Mal, wenn ich anfing, dieses Problem zu lösen, schien es mir einfach und offensichtlich, aber sobald ich mich in die Details vertiefte, fiel es plötzlich auseinander und erschien mir einfach unmöglich. Also platzen Sie nicht vorschnell mit der Antwort heraus: Setzen Sie sich hin, denken Sie sorgfältig nach, studieren Sie die Begriffe des Problems, versuchen Sie, reelle Zahlen einzugeben, denn alle Leute, mit denen ich über dieses Problem gesprochen habe (einschließlich einiger Doktoranden, die in diesem Bereich arbeiten). ) reagierte ungefähr gleich: „Es ist völlig offensichtlich... oh nein, warte, es ist überhaupt nicht offensichtlich.“ Dies ist genau der Fall, für den ich keine Methode zur Berechnung aller Optionen habe. Ich könnte das Problem sicherlich durch einen Computeralgorithmus brutal erzwingen, aber ich wäre viel neugieriger, den mathematischen Weg zur Lösung dieses Problems zu kennen.

Übersetzung - Y. Tkachenko, I. Mikheeva

Was sind die drei Gesetze des Zufalls und warum bietet uns die Unvorhersehbarkeit die Möglichkeit, die zuverlässigsten Vorhersagen zu treffen?

Unser Geist wehrt sich mit aller Kraft gegen die Idee des Zufalls. Im Laufe unserer Evolution als Spezies haben wir die Fähigkeit entwickelt, in allem nach Ursache-Wirkungs-Beziehungen zu suchen. Lange vor dem Aufkommen der Wissenschaft wussten wir bereits, dass ein purpurroter Sonnenuntergang einen gefährlichen Sturm ankündigt und dass eine fieberhafte Röte im Gesicht eines Babys bedeutet, dass seine Mutter eine schwierige Nacht haben wird. Unser Verstand versucht automatisch, die Daten, die wir erhalten, so zu strukturieren, dass er uns hilft, aus unseren Beobachtungen Schlussfolgerungen zu ziehen und diese Schlussfolgerungen zu nutzen, um Ereignisse zu verstehen und vorherzusagen.

Die Idee der Zufälligkeit ist so schwer zu akzeptieren, weil sie dem Grundinstinkt widerspricht, der uns zwingt, in der Welt um uns herum nach rationalen Mustern zu suchen. Und Unfälle zeigen uns, dass es solche Muster nicht gibt. Das bedeutet, dass der Zufall unsere Intuition grundsätzlich einschränkt, denn er beweist, dass es Prozesse gibt, deren Ablauf wir nicht vollständig vorhersagen können. Dieses Konzept ist nicht leicht zu akzeptieren, obwohl es ein wesentlicher Teil des Mechanismus des Universums ist. Ohne zu verstehen, was Zufälligkeit ist, stecken wir in einer vollkommen vorhersehbaren Welt fest, die außerhalb unserer Vorstellungskraft einfach nicht existiert.

Ich würde sagen, nur wenn wir die drei Aphorismen – die drei Gesetze des Zufalls – beherrschen, können wir uns von unserem primitiven Wunsch nach Vorhersehbarkeit befreien und das Universum so akzeptieren, wie es ist, und nicht so, wie wir es gerne hätten.

Zufälligkeit existiert

Wir nutzen alle mentalen Mechanismen, um dem Zufall aus dem Weg zu gehen. Die Rede ist von Karma, diesem kosmischen Ausgleich, der scheinbar unzusammenhängende Dinge miteinander verbindet. Wir glauben an gute und schlechte Vorzeichen, an die Tatsache, dass „Gott die Dreifaltigkeit liebt“, und wir behaupten, dass wir von der Position der Sterne, den Mondphasen und der Bewegung der Planeten beeinflusst werden. Wenn bei uns Krebs diagnostiziert wird, versuchen wir automatisch, die Schuld auf etwas (oder jemanden) zu schieben.

Doch viele Ereignisse lassen sich nicht vollständig vorhersagen oder erklären. Katastrophen ereignen sich unvorhersehbar und sowohl gute als auch schlechte Menschen leiden darunter, darunter auch diejenigen, die „unter einem glücklichen Stern“ oder „unter einem günstigen Zeichen“ geboren wurden. Manchmal gelingt es uns, etwas vorherzusagen, aber der Zufall kann selbst die zuverlässigsten Vorhersagen leicht widerlegen. Seien Sie nicht überrascht, wenn Ihr fettleibiger, kettenrauchender Biker-Nachbar länger lebt als Sie.

Darüber hinaus können zufällige Ereignisse vorgeben, nicht zufällig zu sein. Selbst der klügste Wissenschaftler kann Schwierigkeiten haben, zwischen einem echten Effekt und einer zufälligen Fluktuation zu unterscheiden. Der Zufall kann Placebos in magische Heilmittel und harmlose Verbindungen in tödliche Gifte verwandeln; und kann sogar subatomare Teilchen aus dem Nichts erzeugen.

Manche Ereignisse sind nicht vorhersehbar

Wenn Sie in ein Casino in Las Vegas gehen und die Menge der Spieler an den Spieltischen beobachten, werden Sie wahrscheinlich jemanden sehen, der heute glaubt, Glück gehabt zu haben. Er hat mehrere Male hintereinander gewonnen und sein Gehirn versichert ihm, dass er auch weiterhin gewinnen wird, also setzt der Spieler weiter. Sie werden auch jemanden sehen, der gerade verloren hat. Das Gehirn des Verlierers rät ihm ebenso wie das Gehirn des Gewinners, das Spiel fortzusetzen: Da Sie so oft hintereinander verloren haben, bedeutet dies, dass Sie jetzt wahrscheinlich Glück haben werden. Es wäre dumm, jetzt zu gehen und diese Chance zu verpassen.

Aber egal, was unser Gehirn uns sagt, es gibt keine mysteriöse Kraft, die uns eine „Glückssträhne“ bescheren kann, noch eine universelle Gerechtigkeit, die dafür sorgen würde, dass der Verlierer endlich gewinnt. Dem Universum ist es egal, ob du verlierst oder gewinnst. Für sie sind alle Würfelwürfe gleich.

Egal, wie viel Mühe Sie darauf verwenden, zu beobachten, wie die Würfel erneut geworfen werden, und egal, wie genau Sie die Spieler betrachten, die glauben, sie hätten es geschafft, ihr Glück zu nutzen, Sie werden absolut keine Informationen über den nächsten Wurf erhalten. Das Ergebnis jedes Wurfs ist völlig unabhängig von der Historie früherer Würfe. Daher ist jede Erwartung, dass man sich durch das Anschauen des Spiels einen Vorteil verschaffen kann, zum Scheitern verurteilt. Solche Ereignisse – unabhängig von irgendetwas und völlig zufällig – entziehen sich jedem Versuch, Muster zu finden, weil diese Muster einfach nicht existieren.

Zufälligkeit stellt ein Hindernis für den menschlichen Einfallsreichtum dar, weil sie zeigt, dass all unsere Logik, all unsere Wissenschaft und unser Denken das Verhalten des Universums nicht vollständig vorhersagen können. Egal, welche Methoden Sie verwenden, welche Theorie Sie erfinden, egal, welche Logik Sie anwenden, um die Ergebnisse eines Würfelwurfs vorherzusagen, Sie werden fünf von sechs Malen verlieren. Stets.

Ein Komplex zufälliger Ereignisse ist vorhersehbar, auch wenn einzelne Ereignisse dies nicht sind

Zufälligkeit ist beängstigend, sie schränkt die Zuverlässigkeit selbst der ausgefeiltesten Theorien ein und verbirgt bestimmte Elemente der Natur vor uns, egal wie beharrlich wir versuchen, in ihr Wesen einzudringen. Dennoch lässt sich nicht behaupten, dass das Zufällige ein Synonym für das Unerkennbare sei. Das stimmt überhaupt nicht.

Der Zufall gehorcht seinen eigenen Regeln, und diese Regeln machen den Zufallsprozess verständlich und vorhersehbar.

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass einzelne zufällige Ereignisse zwar völlig unvorhersehbar sind, eine ausreichend große Stichprobe dieser Ereignisse jedoch durchaus vorhersehbar sein kann – und je größer die Stichprobe, desto genauer die Vorhersage. Ein weiteres leistungsstarkes mathematisches Werkzeug, die zentralen Grenzwertsätze, zeigt auch, dass die Summe einer ausreichend großen Anzahl von Zufallsvariablen eine Verteilung nahe der Normalverteilung aufweist. Mit diesen Tools können wir Ereignisse auf lange Sicht ziemlich genau vorhersagen, egal wie chaotisch, seltsam und zufällig sie kurzfristig sein mögen.

Die Regeln des Zufalls sind so mächtig, dass sie die Grundlage der unveränderlichsten und unveränderlichsten Gesetze der Physik bilden. Obwohl sich die Atome in einem Gasbehälter zufällig bewegen, wird ihr Gesamtverhalten durch einen einfachen Satz von Gleichungen beschrieben. Sogar die Gesetze der Thermodynamik gehen davon aus, dass eine große Anzahl zufälliger Ereignisse vorhersehbar sind; Diese Gesetze sind gerade deshalb unerschütterlich, weil der Zufall so absolut ist.

Es ist ironisch, dass es die Unvorhersehbarkeit zufälliger Ereignisse ist, die uns die Möglichkeit gibt, unsere zuverlässigsten Vorhersagen zu treffen.

Der Vorteil eines Online-Würfelgenerators gegenüber herkömmlichen Würfeln liegt auf der Hand – er geht nie verloren! Der virtuelle Würfel wird seine Funktionen deutlich besser bewältigen als der reale – eine Manipulation der Ergebnisse ist völlig ausgeschlossen und man kann sich nur auf die Chance Seiner Majestät verlassen. Würfeln online ist unter anderem tolle Unterhaltung in der Freizeit. Das Generieren eines Ergebnisses dauert drei Sekunden, was die Spannung und das Interesse der Spieler steigert. Um Würfelwürfe zu simulieren, müssen Sie lediglich die „1“-Taste auf der Tastatur drücken, sodass Sie beispielsweise nicht von einem spannenden Brettspiel abgelenkt werden.

Anzahl Würfel:

Bitte helfen Sie dem Dienst mit einem Klick: Erzählen Sie Ihren Freunden vom Generator!

Wenn wir einen Begriff wie „Würfel“ hören, kommen wir sofort zu den Casinos, in denen sie einfach nicht darauf verzichten können. Erinnern wir uns zunächst ein wenig daran, um was es sich bei diesem Gegenstand handelt.

Würfel sind Würfel, auf deren beiden Seiten die Zahlen von 1 bis 6 durch Punkte dargestellt sind. Wenn wir sie werfen, sind wir immer in der Hoffnung, dass die Zahl, die wir uns vorgestellt und gewünscht haben, herauskommt. Es gibt jedoch Fälle, in denen ein auf die Kante fallender Würfel die Zahl nicht anzeigt. Das bedeutet, dass derjenige, der auf diese Weise aufgibt, jeden auswählen kann.

Es kommt auch vor, dass der Würfel unter das Bett oder den Schrank rollt und wenn er von dort entfernt wird, ändert sich die Zahl entsprechend. In diesem Fall wird erneut gewürfelt, damit jeder die Zahl gut erkennen kann.

Online-Würfel rollen mit 1 Klick

Bei einem Spiel mit normalen Würfeln kann man sehr leicht schummeln. Um die gewünschte Zahl zu erhalten, müssen Sie diese Seite des Würfels auflegen und so drehen, dass sie gleich bleibt (nur der Seitenteil dreht sich). Dies ist keine vollständige Garantie, aber die Gewinnquote beträgt fünfundsiebzig Prozent.

Wenn Sie zwei Würfel verwenden, sinken die Chancen auf dreißig, aber das ist immer noch ein beachtlicher Prozentsatz. Aufgrund von Betrug verwenden viele Spielerkampagnen nicht gerne Würfel.

Unser wunderbarer Service arbeitet genau daran, solche Situationen zu vermeiden. Betrügen ist bei uns ausgeschlossen, da der Online-Würfelwurf nicht gefälscht werden kann. Auf der Seite erscheint völlig zufällig und unkontrollierbar eine Zahl von 1 bis 6.

Praktischer Würfelgenerator

Ein ganz großer Vorteil ist, dass der Online-Würfelgenerator nicht verloren gehen kann (insbesondere da er mit Lesezeichen versehen werden kann) und ein gewöhnlicher kleiner Würfel leicht irgendwo verloren gehen kann. Ein großer Vorteil ist auch die Tatsache, dass eine Manipulation der Ergebnisse vollständig ausgeschlossen ist. Der Generator verfügt über eine Funktion, mit der Sie zwischen einem und drei Würfeln auswählen können, die gleichzeitig gewürfelt werden sollen.

Der Online-Würfelgenerator ist eine sehr interessante Unterhaltung und eine Möglichkeit, die Intuition zu entwickeln. Nutzen Sie unseren Service und erhalten Sie sofortige und zuverlässige Ergebnisse.