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Physik der Börse

James Weatherall

Die Freude von X

Eine Führung durch die Mathematik, von Eins bis Unendlich

Stephen Strogatz

Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem von ihnen die besten Lehrer in der Welt

Angaben des Herausgebers

Zum ersten Mal auf Russisch veröffentlicht

Veröffentlicht mit Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Strogatz, P.

The Pleasure of X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt / Steven Strogatz; Fahrbahn aus dem Englischen - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Dieses Buch kann Ihre Einstellung zur Mathematik radikal verändern. Es besteht aus kurzen Kapiteln, in denen Sie jeweils etwas Neues entdecken werden. Sie werden lernen, wie nützlich Zahlen für das Studium der Welt um Sie herum sind, Sie werden die Schönheit der Geometrie verstehen, Sie werden mit der Anmut der Integralrechnung vertraut gemacht, Sie werden von der Bedeutung der Statistik überzeugt sein und Sie werden mit der Unendlichkeit in Kontakt kommen . Der Autor erklärt grundlegende mathematische Ideen einfach und elegant, mit brillanten Beispielen, die jeder verstehen kann.

Alle Rechte vorbehalten.

Kein Teil dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung der Urheberrechtsinhaber in irgendeiner Form reproduziert werden.

Rechtsbeistand Verlag bietet Anwaltskanzlei„Vegas-Lex“

© Steven Strogatz, 2012 Alle Rechte vorbehalten

© Übersetzung ins Russische, Veröffentlichung auf Russisch, Design. Mann, Ivanov und Ferber LLC, 2014

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Handwerks (er ist Künstler) eine Leidenschaft für die Wissenschaft hat. Wann immer wir uns treffen, redet er begeistert darüber letzte Errungenschaften in Psychologie oder Quantenmechanik. Aber sobald wir anfangen, über Mathematik zu reden, spürt er ein Zittern in den Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur sein Verständnis übersteigen, sondern manchmal auch nicht weiß, wie man sie ausspricht.

Tatsächlich liegt der Grund für seine Ablehnung der Mathematik viel tiefer. Er wird keine Ahnung haben, was Mathematiker im Allgemeinen tun und was sie meinen, wenn sie sagen, dass ein gegebener Beweis elegant ist. Manchmal scherzen wir, dass ich mich einfach hinsetzen und ihm von Grund auf beibringen muss, im wahrsten Sinne des Wortes 1 + 1 = 2, und so tief in die Mathematik eintauchen muss, wie er kann.

Und obwohl diese Idee verrückt erscheint, werde ich in diesem Buch genau das versuchen umzusetzen. Ich führe Sie durch alle wichtigen Zweige der Naturwissenschaften, von der Arithmetik bis zur höheren Mathematik, damit diejenigen, die eine zweite Chance wollten, diese endlich nutzen können. Und dieses Mal müssen Sie nicht an einem Schreibtisch sitzen. Dieses Buch wird Sie nicht zum Mathematikexperten machen. Aber es wird Ihnen helfen zu verstehen, worum es in dieser Disziplin geht und warum sie für diejenigen, die sie verstehen, so faszinierend ist.

Wir werden untersuchen, wie Michael Jordans Slam Dunks dabei helfen können, grundlegende Analysis zu erklären. Ich zeige Ihnen einen einfachen und erstaunlichen Weg, den Grundsatz der euklidischen Geometrie zu verstehen – den Satz des Pythagoras. Wir werden versuchen, einigen großen und kleinen Geheimnissen des Lebens auf den Grund zu gehen: Hat Jay Simpson seine Frau getötet? wie man eine Matratze neu positioniert, damit sie möglichst lange hält; Wie viele Partner müssen vor der Heirat gewechselt werden – und wir werden sehen, warum einige Unendlichkeiten größer sind als andere.

Mathematik ist überall, man muss nur lernen, sie zu erkennen. Sie können die Sinuswelle auf dem Rücken des Zebras sehen und Anklänge an Euklids Theoreme in der Unabhängigkeitserklärung hören. Was soll ich sagen, selbst in den trockenen Berichten, die dem Ersten Weltkrieg vorausgingen, gibt es negative Zahlen. Wie das geht, können Sie auch auf unserer Seite sehen das heutige Leben Neue Richtungen in der Mathematik beeinflussen uns, wenn wir zum Beispiel per Computer nach Restaurants suchen oder versuchen, die beängstigenden Schwankungen des Aktienmarktes zumindest zu verstehen, oder noch besser, zu überleben.

Ende Januar 2010 erschien eine Reihe von 15 Artikeln unter dem allgemeinen Titel „Grundlagen der Mathematik“ online. Als Reaktion auf ihre Veröffentlichung gingen Briefe und Kommentare von Lesern jeden Alters ein, darunter viele Schüler und Lehrer. Es gab auch einfach neugierige Menschen, die aus dem einen oder anderen Grund „den Weg verloren“ hatten, die mathematische Wissenschaft zu verstehen; Jetzt hatten sie das Gefühl, etwas Wertvolles verpasst zu haben und würden es gerne noch einmal versuchen. Besonders gefreut hat mich die Dankbarkeit meiner Eltern, denn mit meiner Hilfe konnten sie ihren Kindern die Mathematik erklären und sie selbst begannen, sie besser zu verstehen. Es schien, dass selbst meine Kollegen und Kameraden, glühende Bewunderer dieser Wissenschaft, die Artikel gerne lasen, mit Ausnahme der Momente, in denen sie miteinander wetteiferten und mir alle möglichen Empfehlungen zur Verbesserung meiner Idee gaben.

Entgegen der landläufigen Meinung besteht in der Gesellschaft ein klares Interesse an Mathematik, auch wenn diesem Phänomen wenig Beachtung geschenkt wird. Alles, was wir hören, ist Angst vor Mathematik, und doch würden viele gerne versuchen, sie besser zu verstehen. Und wenn das einmal passiert, wird es schwierig sein, sie loszureißen.

Dieses Buch führt Sie in die komplexesten und fortschrittlichsten Ideen aus der Welt der Mathematik ein. Die Kapitel sind klein, leicht zu lesen und nicht besonders voneinander abhängig. Darunter sind diejenigen, die in der ersten Artikelserie der New York Times enthalten sind. Wenn Sie also einen leichten mathematischen Hunger verspüren, zögern Sie nicht, mit dem nächsten Kapitel fortzufahren. Wenn Sie eine Frage, die Sie interessiert, genauer verstehen möchten, finden Sie am Ende des Buches Hinweise dazu Weitere Informationen und Empfehlungen, was Sie sonst noch darüber lesen können.

Zur Erleichterung für Leser, die einen schrittweisen Ansatz bevorzugen, habe ich das Material entsprechend der traditionellen Reihenfolge der Lernthemen in sechs Teile unterteilt.

Teil I „Zahlen“ beginnt unsere Reise mit der Arithmetik Kindergarten Und Grundschule. Es zeigt, wie nützlich Zahlen sein können und wie magisch wirksam sie bei der Beschreibung der Welt um uns herum sind.

Teil II, „Verhältnisse“, lenkt die Aufmerksamkeit von den Zahlen selbst auf die Beziehungen zwischen ihnen. Diese Ideen bilden das Herzstück der Algebra und sind die ersten Werkzeuge zur Beschreibung der Auswirkungen einer Sache auf eine andere, indem sie die Ursache-Wirkungs-Beziehung verschiedener Dinge aufzeigen: Angebot und Nachfrage, Reiz und Reaktion – kurz gesagt, alle Arten von Dingen Beziehungen, die die Welt so reich und vielfältig machen.

In Teil III „Figuren“ geht es nicht um Zahlen und Symbole, sondern um Figuren und Raum – den Bereich der Geometrie und Trigonometrie. Diese Themen, zusammen mit der Beschreibung aller beobachtbaren Objekte durch Formen, logisches Denken und Beweisen, heben die Mathematik auf Neues level Genauigkeit.

In Teil IV, Zeit für eine Veränderung, befassen wir uns mit der Analysis, dem spannendsten und vielfältigsten Zweig der Mathematik. Die Infinitesimalrechnung ermöglicht es, die Flugbahn von Planeten und die Gezeitenzyklen vorherzusagen und alle sich periodisch ändernden Prozesse und Phänomene im Universum und in uns zu verstehen und zu beschreiben. Ein wichtiger Platz in diesem Teil wird dem Studium der Unendlichkeit eingeräumt, dessen Befriedung zu einem Durchbruch wurde, der es den Berechnungen ermöglichte, zu funktionieren. Berechnungen halfen bei der Lösung vieler Probleme, die in der Antike auftraten, und dies führte letztendlich zu einer Revolution in der Wissenschaft und moderne Welt.

Teil V, „Die vielen Gesichter von Daten“, befasst sich mit Wahrscheinlichkeit, Statistik, Netzwerken und Datenwissenschaft – noch relativ neuen Bereichen, die aus den weniger immer geordneten Aspekten unseres Lebens wie Chancen und Glück, Unsicherheit und Risiko entstanden sind , Variabilität, Chaos, Interdependenz. Mithilfe der richtigen mathematischen Werkzeuge und der entsprechenden Datentypen lernen wir, Muster im Zufallsfluss zu erkennen.

Am Ende unserer Reise in Teil VI „Die Grenzen des Möglichen“ nähern wir uns den Grenzen des mathematischen Wissens, dem Grenzbereich zwischen dem, was bereits bekannt ist, und dem, was noch schwer fassbar und unbekannt ist. Wir werden die Themen noch einmal in der uns bereits bekannten Reihenfolge durchgehen: Zahlen, Verhältnisse, Figuren, Veränderungen und Unendlichkeit – aber gleichzeitig werden wir jedes einzelne davon auf seine eigene Art und Weise vertiefen. moderne Inkarnation.

Ich hoffe, dass alle in diesem Buch beschriebenen Ideen Sie faszinieren und Sie mehr als einmal ausrufen lassen: „Wow!“ Aber man muss immer irgendwo anfangen, also fangen wir mit einer einfachen, aber faszinierenden Aktivität wie dem Zählen an.

1. Zahlengrundlagen: Fischaddition

Die beste Demonstration von Zahlenkonzepten, die ich je gesehen habe (die klarste und lustigste Erklärung, was Zahlen sind und warum wir sie brauchen), war in einer Folge der beliebten Kindersendung „Sesamstraße“ mit dem Titel „123: Counting Together“ (123 Counter with Me). X...

The Pleasure of X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt Stephen Strogatz

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Titel: The Pleasure of X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Über das Buch „The Pleasure of X: A Fascinating Journey into the World of Mathematics from One of the Best Teachers in the World“ von Stephen Strogatz

Dieses Buch kann Ihre Einstellung zur Mathematik radikal verändern. Es besteht aus kurzen Kapiteln, in denen Sie jeweils etwas Neues entdecken werden. Sie werden lernen, wie nützlich Zahlen für das Studium der Welt um Sie herum sind, Sie werden die Schönheit der Geometrie verstehen, Sie werden mit der Anmut der Integralrechnung vertraut gemacht, Sie werden von der Bedeutung der Statistik überzeugt sein und Sie werden mit der Unendlichkeit in Kontakt kommen . Der Autor erklärt grundlegende mathematische Ideen einfach und elegant, mit brillanten Beispielen, die jeder verstehen kann.

Zum ersten Mal auf Russisch veröffentlicht.

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Die Freude an X

Eine Führung durch die Mathematik, von Eins bis Unendlich

Veröffentlicht mit Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Alle Rechte vorbehalten

© Übersetzung ins Russische, Veröffentlichung auf Russisch, Design. Mann, Ivanov und Ferber LLC, 2014

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil der elektronischen Version dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form oder mit irgendwelchen Mitteln, einschließlich der Veröffentlichung im Internet oder in Unternehmensnetzwerken, für den privaten oder öffentlichen Gebrauch reproduziert werden.

Die rechtliche Betreuung des Verlags erfolgt durch die Anwaltskanzlei Vegas-Lex.

* * *

Dieses Buch wird gut ergänzt durch:

Quanten

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Geldball

Michael Lewis

Flexibles Bewusstsein

Carol Dweck

Physik der Börse

James Weatherall

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Handwerks (er ist Künstler) eine Leidenschaft für die Wissenschaft hat. Wann immer wir zusammenkommen, spricht er begeistert über die neuesten Entwicklungen in der Psychologie oder Quantenmechanik. Aber sobald wir anfangen, über Mathematik zu reden, spürt er ein Zittern in den Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur sein Verständnis übersteigen, sondern manchmal auch nicht weiß, wie man sie ausspricht.

Tatsächlich liegt der Grund für seine Ablehnung der Mathematik viel tiefer. Er wird keine Ahnung haben, was Mathematiker im Allgemeinen tun und was sie meinen, wenn sie sagen, dass ein gegebener Beweis elegant ist. Manchmal scherzen wir, dass ich mich einfach hinsetzen und ihm von Grund auf beibringen muss, im wahrsten Sinne des Wortes 1 + 1 = 2, und so tief in die Mathematik eintauchen muss, wie er kann.

Und obwohl diese Idee verrückt erscheint, werde ich in diesem Buch genau das versuchen umzusetzen. Ich führe Sie durch alle wichtigen Zweige der Naturwissenschaften, von der Arithmetik bis zur höheren Mathematik, damit diejenigen, die eine zweite Chance wollten, diese endlich nutzen können. Und dieses Mal müssen Sie nicht an einem Schreibtisch sitzen. Dieses Buch wird Sie nicht zum Mathematikexperten machen. Aber es wird Ihnen helfen zu verstehen, worum es in dieser Disziplin geht und warum sie für diejenigen, die sie verstehen, so faszinierend ist.

Um zu verdeutlichen, was ich unter dem Leben von Zahlen und ihrem Verhalten verstehe, das wir nicht kontrollieren können, gehen wir zurück zum Furry Paws Hotel. Angenommen, Humphrey wollte gerade die Bestellung übergeben, doch dann riefen ihn unerwartet die Pinguine aus einem anderen Raum und verlangten ebenfalls die gleiche Menge Fisch. Wie oft muss Humphrey das Wort „Fisch“ rufen, nachdem er zwei Befehle erhalten hat? Wenn er nichts über Zahlen lernen würde, müsste er so oft schreien, wie es in beiden Räumen Pinguine gibt. Oder er konnte dem Koch anhand von Zahlen erklären, dass er für eine Zahl sechs und für eine andere sechs Fische brauchte. Aber was er wirklich braucht, ist ein neues Konzept: Ergänzung. Sobald er es beherrscht, wird er stolz sagen, dass er sechs plus sechs (oder, wenn er ein Angeber ist, zwölf) Fische braucht.

Dies ist derselbe kreative Prozess wie bei der ersten Zahlenfindung. So wie Zahlen das Zählen einfacher machen als das Auflisten einzelner Zahlen, erleichtert die Addition die Berechnung beliebiger Beträge. Gleichzeitig entwickelt sich derjenige, der die Rechnung durchführt, zum Mathematiker. Wissenschaftlich lässt sich diese Idee wie folgt formulieren: Die Verwendung der richtigen Abstraktionen führt zu einem tieferen Einblick in das Wesentliche des Problems und zu einer größeren Kraft bei der Lösung des Problems.

Bald wird vielleicht sogar Humphrey erkennen, dass er jetzt immer zählen kann.

Trotz dieser endlosen Perspektive unterliegt unsere Kreativität jedoch immer einigen Einschränkungen. Wir können entscheiden, was wir mit 6 und + meinen, aber sobald wir das tun, liegen die Ergebnisse von Ausdrücken wie 6 + 6 außerhalb unserer Kontrolle. Hier lässt uns die Logik keine Wahl. In diesem Sinne umfasst die Mathematik immer sowohl Erfindung, so und Eröffnung: wir erfinden Konzept, aber offen ihre Folgen. Wie die folgenden Kapitel verdeutlichen werden, liegt unsere Freiheit in der Mathematik in der Fähigkeit, Fragen zu stellen und beharrlich nach Antworten zu suchen, ohne sie selbst erfinden zu müssen.

2. Steinarithmetik

Wie jedes Phänomen im Leben hat auch die Arithmetik zwei Seiten: formal und unterhaltsam (oder spielerisch).

Den formalen Teil haben wir in der Schule gelernt. Dort erklärten sie uns, wie man mit Zahlenkolonnen arbeitet, sie addiert und subtrahiert, wie man sie bei Berechnungen in Tabellenkalkulationen beim Ausfüllen und Vorbereiten von Steuererklärungen schaufelt Jahresberichte. Diese Seite der Arithmetik erscheint vielen aus praktischer Sicht wichtig, aber völlig freudlos.

Die unterhaltsame Seite der Arithmetik kann man erst im Rahmen des Studiums der höheren Mathematik kennenlernen {3}. Es ist jedoch so natürlich wie die Neugier eines Kindes {4}.

In dem Aufsatz „The Mathematician's Lament“ schlägt Paul Lockhart vor, Zahlen anhand konkreterer Beispiele als üblich zu untersuchen: Er fordert uns auf, sie als eine Reihe von Steinen zu betrachten. Die Zahl 6 entspricht beispielsweise dem folgenden Satz Kieselsteine:

Es ist unwahrscheinlich, dass Sie hier etwas Ungewöhnliches sehen werden. Wie es ist. Bis wir anfangen, die Zahlen zu manipulieren, sehen sie ziemlich gleich aus. Das Spiel beginnt, wenn wir eine Aufgabe erhalten.

Schauen wir uns zum Beispiel Sets an, die 1 bis 10 Steine ​​enthalten, und versuchen wir, daraus Quadrate zu bilden. Dies ist nur mit zwei Sätzen von 4 und 9 Steinen möglich, da 4 = 2 × 2 und 9 = 3 × 3. Wir erhalten diese Zahlen, indem wir eine andere Zahl quadrieren (d. h. die Steine ​​in einem Quadrat anordnen).

Hier ist eine Aufgabe, die hat größere Zahl Lösungen: Sie müssen herausfinden, welche Sets ein Rechteck ergeben, wenn Sie die Steine ​​in zwei Reihen mit gleicher Anzahl an Elementen anordnen. Hier eignen sich Sets mit 2, 4, 6, 8 oder 10 Steinen; die Zahl muss gerade sein. Wenn wir versuchen, die restlichen Sets mit einer ungeraden Anzahl an Steinen in zwei Reihen anzuordnen, erhalten wir immer einen zusätzlichen Stein.

Aber mit diesen peinlichen Zahlen ist noch nicht alles verloren! Wenn Sie zwei solcher Mengen nehmen, bilden die zusätzlichen Elemente ein Paar und die Summe ist gerade: ungerade Zahl + ungerade Zahl = gerade Zahl.

Wenn wir diese Regeln auf Zahlen nach 10 erweitern und davon ausgehen, dass die Anzahl der Zeilen in einem Rechteck mehr als zwei betragen kann, dann ermöglichen einige ungerade Zahlen das Hinzufügen solcher Rechtecke. Beispielsweise kann die Zahl 15 ein 3 × 5-Rechteck bilden.

Obwohl 15 zweifellos eine ungerade Zahl ist, ist sie daher eine zusammengesetzte Zahl und kann als drei Reihen mit jeweils fünf Steinen dargestellt werden. Ebenso erzeugt jeder Eintrag in der Multiplikationstabelle eine eigene rechteckige Gruppe von Kieselsteinen.

Aber manche Zahlen, wie 2, 3, 5 und 7, sind völlig hoffnungslos. Sie können nichts davon anordnen, außer sie in Form einer einfachen Linie (einer Reihe) anzuordnen. Diese seltsamen, sturen Menschen sind die berühmten Primzahlen.

Wir sehen also, dass Zahlen seltsame Strukturen haben können, die ihnen einen bestimmten Charakter verleihen. Um jedoch die gesamte Bandbreite ihres Verhaltens zu verstehen, müssen Sie von einzelnen Zahlen Abstand nehmen und beobachten, was während ihrer Interaktion geschieht.

Anstatt beispielsweise nur zwei ungerade Zahlen zu addieren, addieren wir alle möglichen Folgen ungerader Zahlen, beginnend mit 1:

1 + 3 + 5 + 7 = 16

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

Überraschenderweise erweisen sich diese Summen immer als perfekte Quadrate. (Wir haben bereits gesagt, dass 4 und 9 als Quadrate dargestellt werden können, und für 16 = 4 × 4 und 25 = 5 × 5 gilt dies auch.) Eine schnelle Berechnung zeigt, dass diese Regel anscheinend auch für größere ungerade Zahlen und gilt , tendiert gegen Unendlich. Doch welchen Zusammenhang gibt es zwischen den ungeraden Zahlen mit ihren „zusätzlichen“ Steinen und den klassisch symmetrischen Zahlen, die Quadrate bilden? Durch die richtige Platzierung der Kieselsteine ​​können wir deutlich machen, was ist Besonderheit eleganter Beweis. {5}

Der Schlüssel dazu ist die Beobachtung, dass ungerade Zahlen als gleichseitige Winkel dargestellt werden können, deren sukzessive Überlappung ein Quadrat bildet!

Eine ähnliche Argumentation wird in einem anderen kürzlich veröffentlichten Buch vorgestellt. In Yoko Ogawas bezauberndem Roman „The Housekeeper“. und das„Professor“ handelt von einer klugen, aber ungebildeten jungen Frau und ihrem zehnjährigen Sohn. Eine Frau wurde eingestellt, um sich um einen älteren Mathematiker zu kümmern, dessen Kurzzeitgedächtnis aufgrund einer traumatischen Hirnverletzung nur Informationen über die letzten 80 Minuten seines Lebens speichert. Verloren in der Gegenwart, allein in seinem heruntergekommenen Häuschen, mit nichts als Zahlen, versucht der Professor, mit der Haushälterin auf die einzige ihm bekannte Weise zu kommunizieren: indem er sie nach ihrer Schuhgröße oder ihrem Geburtsdatum fragt und mit ihr Smalltalk über ihre Ausgaben führt. Der Professor füttert auch besonderes Mitgefühl an den Sohn der Haushälterin, den er Ruth (Wurzel – Wurzel) nennt, weil der Junge oben einen flachen Kopf hat, was ihn an die mathematische Schreibweise für die Quadratwurzel √ erinnert.

Eines Tages bietet der Professor den Jungen an einfache Aufgabe– Finden Sie die Summe aller Zahlen von 1 bis 10. Nachdem Ruth sorgfältig alle Zahlen addiert und mit der Antwort (55) zurückkommt, bittet ihn der Professor, nach einem einfacheren Weg zu suchen. Wird er die Antwort finden? ohne gewöhnliche Addition von Zahlen? Ruth tritt gegen einen Stuhl und schreit: „Das ist nicht fair!“

Nach und nach gerät auch die Haushälterin in die Welt der Zahlen und versucht heimlich, dieses Problem selbst zu lösen. „Ich verstehe nicht, warum ich mich so für ein Kinderpuzzle interessiere, das keinen praktischen Nutzen hat“, sagt sie. „Zuerst wollte ich dem Professor gefallen, aber nach und nach wurde diese Lektion zu einem Kampf zwischen mir und den Zahlen. Als ich morgens aufwachte, wartete die Gleichung bereits auf mich:

1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,

Stephen Strogatz

Das Vergnügen X. Eine faszinierende Reise in die Welt der Mathematik von einem der besten Lehrer der Welt

Die Freude an X

Eine Führung durch die Mathematik, von Eins bis Unendlich

Veröffentlicht mit Genehmigung von Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

© Steven Strogatz, 2012 Alle Rechte vorbehalten

© Übersetzung ins Russische, Veröffentlichung auf Russisch, Design. Mann, Ivanov und Ferber LLC, 2014

Alle Rechte vorbehalten. Kein Teil der elektronischen Version dieses Buches darf ohne die schriftliche Genehmigung des Urheberrechtsinhabers in irgendeiner Form oder mit irgendwelchen Mitteln, einschließlich der Veröffentlichung im Internet oder in Unternehmensnetzwerken, für den privaten oder öffentlichen Gebrauch reproduziert werden.

Die rechtliche Betreuung des Verlags erfolgt durch die Anwaltskanzlei Vegas-Lex.

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Quanten

Scott Patterson

Brainiac

Ken Jennings

Geldball

Michael Lewis

Flexibles Bewusstsein

Carol Dweck

Physik der Börse

James Weatherall

Vorwort

Ich habe einen Freund, der trotz seines Handwerks (er ist Künstler) eine Leidenschaft für die Wissenschaft hat. Wann immer wir zusammenkommen, spricht er begeistert über die neuesten Entwicklungen in der Psychologie oder Quantenmechanik. Aber sobald wir anfangen, über Mathematik zu reden, spürt er ein Zittern in den Knien, was ihn sehr aufregt. Er beklagt sich darüber, dass diese seltsamen mathematischen Symbole nicht nur sein Verständnis übersteigen, sondern manchmal auch nicht weiß, wie man sie ausspricht.

Tatsächlich liegt der Grund für seine Ablehnung der Mathematik viel tiefer. Er wird keine Ahnung haben, was Mathematiker im Allgemeinen tun und was sie meinen, wenn sie sagen, dass ein gegebener Beweis elegant ist. Manchmal scherzen wir, dass ich mich einfach hinsetzen und ihm von Grund auf beibringen muss, im wahrsten Sinne des Wortes 1 + 1 = 2, und so tief in die Mathematik eintauchen muss, wie er kann.

Und obwohl diese Idee verrückt erscheint, werde ich in diesem Buch genau das versuchen umzusetzen. Ich führe Sie durch alle wichtigen Zweige der Naturwissenschaften, von der Arithmetik bis zur höheren Mathematik, damit diejenigen, die eine zweite Chance wollten, diese endlich nutzen können. Und dieses Mal müssen Sie nicht an einem Schreibtisch sitzen. Dieses Buch wird Sie nicht zum Mathematikexperten machen. Aber es wird Ihnen helfen zu verstehen, worum es in dieser Disziplin geht und warum sie für diejenigen, die sie verstehen, so faszinierend ist.

Wir werden untersuchen, wie Michael Jordans Slam Dunks dabei helfen können, grundlegende Analysis zu erklären. Ich zeige Ihnen einen einfachen und erstaunlichen Weg, den Grundsatz der euklidischen Geometrie zu verstehen – den Satz des Pythagoras. Wir werden versuchen, einigen großen und kleinen Geheimnissen des Lebens auf den Grund zu gehen: Hat Jay Simpson seine Frau getötet? wie man eine Matratze neu positioniert, damit sie möglichst lange hält; Wie viele Partner müssen vor der Heirat gewechselt werden – und wir werden sehen, warum einige Unendlichkeiten größer sind als andere.

Mathematik ist überall, man muss nur lernen, sie zu erkennen. Sie können die Sinuswelle auf dem Rücken des Zebras sehen und Anklänge an Euklids Theoreme in der Unabhängigkeitserklärung hören. Was soll ich sagen, selbst in den trockenen Berichten, die dem Ersten Weltkrieg vorausgingen, gibt es negative Zahlen. Wie neue Bereiche der Mathematik unser heutiges Leben beeinflussen, lässt sich auch beobachten, wenn wir beispielsweise am Computer nach Restaurants suchen oder versuchen, die beängstigenden Schwankungen des Aktienmarktes zumindest zu verstehen, oder besser noch, zu überleben.

Ende Januar 2010 erschien eine Reihe von 15 Artikeln unter dem allgemeinen Titel „Grundlagen der Mathematik“ online. Als Reaktion auf ihre Veröffentlichung gingen Briefe und Kommentare von Lesern jeden Alters ein, darunter viele Schüler und Lehrer. Es gab auch einfach neugierige Menschen, die aus dem einen oder anderen Grund „den Weg verloren“ hatten, die mathematische Wissenschaft zu verstehen; Jetzt hatten sie das Gefühl, etwas Wertvolles verpasst zu haben und würden es gerne noch einmal versuchen. Besonders gefreut hat mich die Dankbarkeit meiner Eltern, denn mit meiner Hilfe konnten sie ihren Kindern die Mathematik erklären und sie selbst begannen, sie besser zu verstehen. Es schien, dass selbst meine Kollegen und Kameraden, glühende Bewunderer dieser Wissenschaft, die Artikel gerne lasen, mit Ausnahme der Momente, in denen sie miteinander wetteiferten und mir alle möglichen Empfehlungen zur Verbesserung meiner Idee gaben.

Entgegen der landläufigen Meinung besteht in der Gesellschaft ein klares Interesse an Mathematik, auch wenn diesem Phänomen wenig Beachtung geschenkt wird. Alles, was wir hören, ist Angst vor Mathematik, und doch würden viele gerne versuchen, sie besser zu verstehen. Und wenn das einmal passiert, wird es schwierig sein, sie loszureißen.

Dieses Buch führt Sie in die komplexesten und fortschrittlichsten Ideen aus der Welt der Mathematik ein. Die Kapitel sind klein, leicht zu lesen und nicht besonders voneinander abhängig. Darunter sind diejenigen, die in der ersten Artikelserie der New York Times enthalten sind. Wenn Sie also einen leichten mathematischen Hunger verspüren, zögern Sie nicht, mit dem nächsten Kapitel fortzufahren. Wenn Sie das Thema, das Sie interessiert, genauer verstehen möchten, finden Sie am Ende des Buches Hinweise mit zusätzlichen Informationen und Empfehlungen, was Sie sonst noch darüber lesen können.

Zur Erleichterung für Leser, die einen schrittweisen Ansatz bevorzugen, habe ich das Material entsprechend der traditionellen Reihenfolge der Lernthemen in sechs Teile unterteilt.

Teil I, Zahlen, beginnt unsere Reise mit Rechnen im Kindergarten und in der Grundschule. Es zeigt, wie nützlich Zahlen sein können und wie magisch wirksam sie bei der Beschreibung der Welt um uns herum sind.

Teil II, „Verhältnisse“, lenkt die Aufmerksamkeit von den Zahlen selbst auf die Beziehungen zwischen ihnen. Diese Ideen bilden das Herzstück der Algebra und sind die ersten Werkzeuge zur Beschreibung der Auswirkungen einer Sache auf eine andere, indem sie die Ursache-Wirkungs-Beziehung verschiedener Dinge aufzeigen: Angebot und Nachfrage, Reiz und Reaktion – kurz gesagt, alle Arten von Dingen Beziehungen, die die Welt so reich und vielfältig machen.

In Teil III „Figuren“ geht es nicht um Zahlen und Symbole, sondern um Figuren und Raum – den Bereich der Geometrie und Trigonometrie. Diese Themen, zusammen mit der Beschreibung aller beobachtbaren Objekte durch Formen, logisches Denken und Beweise, bringen die Mathematik auf ein neues Maß an Präzision.

In Teil IV, Zeit für eine Veränderung, befassen wir uns mit der Analysis, dem spannendsten und vielfältigsten Zweig der Mathematik. Die Infinitesimalrechnung ermöglicht es, die Flugbahn von Planeten und die Gezeitenzyklen vorherzusagen und alle sich periodisch ändernden Prozesse und Phänomene im Universum und in uns zu verstehen und zu beschreiben. Ein wichtiger Platz in diesem Teil wird dem Studium der Unendlichkeit eingeräumt, dessen Befriedung zu einem Durchbruch wurde, der es den Berechnungen ermöglichte, zu funktionieren. Die Informatik half bei der Lösung vieler Probleme, die in der Antike auftraten, und dies führte letztendlich zu einer Revolution in der Wissenschaft und der modernen Welt.

Teil V, „Die vielen Gesichter von Daten“, befasst sich mit Wahrscheinlichkeit, Statistik, Netzwerken und Datenwissenschaft – noch relativ jungen Bereichen, die aus den weniger geordneten Aspekten unseres Lebens wie Chancen und Glück, Unsicherheit und Risiko entstanden sind , Variabilität, Chaos und Interdependenz. Mithilfe der richtigen mathematischen Werkzeuge und der entsprechenden Datentypen lernen wir, Muster im Zufallsfluss zu erkennen.

Am Ende unserer Reise in Teil VI „Die Grenzen des Möglichen“ nähern wir uns den Grenzen des mathematischen Wissens, dem Grenzbereich zwischen dem, was bereits bekannt ist, und dem, was noch schwer fassbar und unbekannt ist. Wir werden die Themen noch einmal in der uns bereits bekannten Reihenfolge durchgehen: Zahlen, Verhältnisse, Zahlen, Veränderungen und Unendlichkeit – aber gleichzeitig werden wir jedes einzelne davon in seiner modernen Inkarnation genauer betrachten.

Ich hoffe, dass alle in diesem Buch beschriebenen Ideen Sie faszinieren und Sie mehr als einmal ausrufen lassen: „Wow!“ Aber man muss immer irgendwo anfangen, also fangen wir mit einer einfachen, aber faszinierenden Aktivität wie dem Zählen an.

Teil I. Zahlen

1. Zahlengrundlagen: Fischaddition

Die beste Demonstration von Zahlenkonzepten, die ich je gesehen habe (die klarste und lustigste Erklärung, was Zahlen sind und warum wir sie brauchen), war in einer Folge der beliebten Kindersendung „Sesamstraße“ mit dem Titel „123: Counting Together“ (123 Counter with Me). Humphrey, ein gutmütiger, aber schwachsinniger Charakter mit rosa Fell und grüner Nase, der im Furry Feet Hotel arbeitet, nimmt zur Mittagszeit telefonisch Bestellungen von den Pinguingästen entgegen. Nachdem er ihnen aufmerksam zugehört hat, gibt Humphrey den Befehl an die Küche weiter: „Fisch, Fisch, Fisch, Fisch, Fisch, Fisch.“ Was er sieht, veranlasst Ernie, Humphrey von den Vorzügen der Nummer sechs zu erzählen.

Wie nützlich sind Zahlen für das Studium der Welt um uns herum, was ist das Schöne an der Geometrie, wie elegant sind ganze Zahlen und wie wichtig sind Statistiken? Darüber spricht Steven Strogatz in seinem Buch The Pleasure of X. Der Autor erklärt grundlegende mathematische Ideen einfach und elegant und liefert Beispiele, die jeder verstehen kann. Die Website veröffentlicht eines der Kapitel des von Mann, Ivanov und Ferber veröffentlichten Buches.

Statistik wurde plötzlich zu einem Trendgebiet. Mit dem Aufkommen des Internets, des E-Commerce, soziale Netzwerke, einem Projekt zur Entschlüsselung des menschlichen Genoms, und auch im Zusammenhang mit der Entwicklung der digitalen Kultur im Allgemeinen begann die Welt in Daten zu ertrinken. Vermarkter studieren unseren Geschmack und unsere Gewohnheiten. Geheimdienste sammeln Informationen über unseren Standort, E-Mails und Telefonanrufe. Sportstatistiker jonglieren mit Zahlen, um zu entscheiden, welche Spieler sie kaufen, wen sie einziehen und wen sie auf die Bank setzen. Jeder ist bestrebt, die Punkte zu einem Diagramm zu verbinden und ein Muster in einer wirren Datensammlung zu entdecken.

Es ist nicht verwunderlich, dass sich diese Trends in der Lehre widerspiegeln. „Schauen wir uns die Statistiken an“, mahnt Greg Mankiw, Wirtschaftswissenschaftler an der Harvard University, in einer Kolumne der New York Times.

"IN Lehrplan in Mathematik in weiterführende Schule Es wird zu viel Zeit mit traditionellen Themen wie der euklidischen Geometrie und der Trigonometrie verbracht. Diese sind nützlich für gewöhnlicher Mensch Mentale Übungen nützen dagegen kaum Alltagsleben. Die Studierenden würden sehr davon profitieren, wenn sie mehr über Wahrscheinlichkeit und Statistik lernen würden.“ David Brooks geht sogar noch weiter. In seinem Artikel über Disziplinen, die Aufmerksamkeit verdienen, um eine angemessene Ausbildung zu erhalten, schreibt er: „Nehmen Sie Statistiken. Sie werden sehen, es wird Ihnen im Leben sehr nützlich sein, zu wissen, was Standardabweichung ist.“

Sehr wahrscheinlich, und es ist auch eine gute Idee zu verstehen, was Verteilung ist. Das ist das Erste, worüber ich sprechen möchte. Und ich möchte mich darauf konzentrieren, denn dies ist eine der wichtigsten Lehren der Statistik: Die Dinge erscheinen einzeln betrachtet hoffnungslos zufällig und unvorhersehbar, aber in ihrer Gesamtheit offenbaren sie ein Muster und eine Vorhersehbarkeit.

Möglicherweise haben Sie bei einigen eine Demonstration dieses Prinzips gesehen Wissenschaftsmuseum(Wenn nicht, können Videos online gefunden werden). Ein typisches Ausstellungsstück ist ein Gerät namens Galton-Brett, das ohne Flipper ein wenig an einen Flipper erinnert. Darin befinden sich in regelmäßigen Abständen gleichmäßige Nadelreihen.

Galtons Vorstand

Das Erlebnis beginnt mit Oberer Teil Galtons Brett wirft Hunderte von Bällen ab. Wenn sie fallen, kollidieren sie mit den Stiften und prallen mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach rechts oder links ab, verteilen sich dann am unteren Rand des Bretts und fallen in Fächer gleicher Breite. Die Höhe einer Kugelsäule gibt an, wie wahrscheinlich es ist, dass die Kugel an einem bestimmten Ort landet. Die meisten Kugeln sind ungefähr in der Mitte platziert, an den Seiten sind es weniger und an den Rändern noch weniger.

Generell ist das Bild äußerst vorhersehbar: Die Kugeln bilden immer eine glockenförmige Verteilung, wobei es unmöglich ist, vorherzusagen, wo jede einzelne Kugel landen wird.

Wie werden aus einzelnen Unfällen allgemeine Muster? Aber so funktioniert der Zufall. Die mittlere Spalte enthält die meisten Bälle, da viele von ihnen vor dem Herunterrollen ungefähr gleich viele Sprünge nach rechts und links machen und dadurch irgendwo in der Mitte landen. Mehrere einzelne Bälle, die sich an den Rändern befinden, bilden die Schwänze der Verteilung – das sind jene Bälle, die beim Zusammenstoß mit den Stiften immer in die gleiche Richtung abprallen. Solche Sprünge sind unwahrscheinlich, weshalb es an den Rändern so wenige Bälle gibt.

So wie die Position jedes Balls durch die Summe vieler zufälliger Ereignisse bestimmt wird, sind viele Phänomene auf dieser Welt das Ergebnis vieler kleiner Umstände und gehorchen ebenfalls einer glockenförmigen Kurve. Sie arbeiten nach diesem Prinzip Versicherungsgesellschaften. Sie können die Zahl ihrer Klienten, die jedes Jahr sterben, genau abschätzen. Allerdings wissen sie nicht genau, wer dieses Mal Pech haben wird.

Oder nehmen Sie zum Beispiel die menschliche Größe. Es hängt von unzähligen Unfällen im Zusammenhang mit Genetik, Biochemie, Ernährung usw. ab Umfeld. Daher besteht eine gute Chance, dass die Körpergrößen erwachsener Männer und Frauen zusammen betrachtet eine glockenförmige Kurve bilden.

In einem Blogbeitrag mit dem Titel „Misthings People Tell About Themselves Online“ veröffentlichte der Statistikdienst der Dating-Website OkCupid kürzlich eine Grafik des Wachstums seiner Kunden bzw. ihrer selbstberichteten Werte. Es zeigte sich, dass die Wachstumsraten beider Geschlechter erwartungsgemäß eine glockenförmige Kurve bilden. Überraschend ist jedoch, dass beide Verteilungen etwa fünf Zentimeter nach rechts von den erwarteten Werten verschoben waren.

Strogatz S. Vergnügen von H. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

Entweder sind die von OkCupid befragten Kunden also größer als der Durchschnitt, oder sie addieren ein paar Zentimeter mehr zu ihrer Körpergröße, wenn sie sich online beschreiben.

Eine idealisierte Version solcher Glockenkurven nennen Mathematiker die Normalverteilung. Dies ist eines der wichtigsten Konzepte der Statistik, das eine theoretische Grundlage hat. Das lässt sich beweisen Normalverteilung tritt bei der Zugabe auf große Menge kleine Zufallsfaktoren, die jeweils unabhängig voneinander wirken. Und viele Ereignisse passieren auf diese Weise.

Aber nicht alles. Und das ist der zweite Punkt, auf den ich aufmerksam machen möchte. Die Normalverteilung ist nicht so allgegenwärtig, wie es scheint. Seit Hunderten von Jahren und insbesondere in den letzten Jahrzehnten haben Wissenschaftler und Statistiker die Existenz vieler Phänomene festgestellt, die von dieser Kurve abweichen und ihrem eigenen Zeitplan folgen. Es ist merkwürdig, dass solche Verteilungstypen in Lehrbüchern zur Elementarstatistik praktisch nicht erwähnt werden und wenn sie gefunden werden, werden sie normalerweise als eine Art Pathologie betrachtet.

Es ist seltsam. Ich werde versuchen, so viele Phänomene zu erklären modernes Leben machen mehr Sinn, wenn wir diese „pathologischen“ Verteilungen verstehen. Das ist die neue Normalität. Nehmen wir zum Beispiel die Verteilung der Stadtgrößen in den Vereinigten Staaten. Anstatt sich um eine durchschnittliche Glockenkurve zu gruppieren, sind die meisten Städte klein und gruppieren sich daher auf der linken Seite des Diagramms.

Strogatz S. Vergnügen von H. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

Und was größere Bevölkerung Städte, desto seltener sind solche Städte anzutreffen. Mit anderen Worten: Insgesamt ähnelt die Verteilung eher einer L-förmigen Kurve als einer glockenförmigen Kurve.

Und das ist nicht überraschend. Jeder weiß, dass es viel weniger Megastädte als Kleinstädte gibt. Obwohl es nicht so offensichtlich ist, folgen die Stadtgrößen einer schönen einfachen Verteilung – wenn man sie auf einer logarithmischen Skala betrachtet.

Wir gehen davon aus, dass der Unterschied zwischen zwei Städten gleich ist, wenn sich ihre Bevölkerung um die gleiche Häufigkeit unterscheidet (so wie sich zwei durch eine Oktave getrennte Klaviertasten immer um die Hälfte in der Frequenz unterscheiden). Und machen wir dasselbe auf der vertikalen Achse.

Strogatz S. Vergnügen von H. - M.: Mann, Ivanov und Ferber, 2014.

Die Daten liegen nun auf einer Kurve, die eine nahezu perfekte Gerade darstellt. Aus den Eigenschaften von Logarithmen lässt sich leicht ableiten, dass die ursprüngliche L-förmige Kurve eine Potenzgesetzabhängigkeit ist, die durch eine Funktion der Form beschrieben wird

Dabei ist x die Einwohnerzahl der Stadt, y die Anzahl der Städte dieser Größe, c eine Konstante und der Exponent a (Potenzgesetz-Exponent) die negative Steigung der Geraden.

Aus Sicht der traditionellen Statistik weisen Stromverteilungen einige unlogische Eigenschaften auf. Im Gegensatz zu einer Normalverteilung stimmen beispielsweise ihre Modi, Mediane und Mittelwerte aufgrund der verzerrten, asymmetrischen Form der L-förmigen Kurven nicht überein.

Präsident Bush profitierte stark davon und sagte im Jahr 2003, dass jede Familie durch Steuersenkungen durchschnittlich 1.586 US-Dollar einsparte. Obwohl dies mathematisch korrekt ist, nutzte er den durchschnittlichen Abzug, der riesige Abzüge von Hunderttausenden Dollar verbarg, die die reichsten 0,1 % der Bevölkerung des Landes erhielten. Es ist bekannt, dass das Ende auf der rechten Seite der Einkommensverteilung einem Potenzgesetz folgt. In einer solchen Situation ist die Verwendung des Durchschnitts irreführend, da dieser weit von seinem tatsächlichen Wert entfernt ist. Tatsächlich erhielten die meisten Familien weniger als 650 US-Dollar zurück. Bei dieser Verteilung liegt der Median deutlich unter dem Mittelwert.

Dieses Beispiel verdeutlicht eine entscheidende Eigenschaft von Potenzgesetzverteilungen: Sie haben schwere Ausläufer im Vergleich zu zumindest den kleinen flüssigen Ausläufern einer Normalverteilung. Große Ausläufer wie dieser sind zwar selten, kommen aber in Datenverteilungen häufiger vor als normale glockenförmige Kurven.

Am Schwarzen Montag, dem 19. Oktober 1987, fiel der Dow Jones Industrial Average um 22 %. Verglichen mit dem üblichen Maß an Instabilität bei Aktienmarkt dieser Rückgang betrug mehr als zwanzig Standardabweichungen. Gemäß der traditionellen Statistik (die die Normalverteilung verwendet) ist ein solches Ereignis nahezu unmöglich: Seine Wahrscheinlichkeit beträgt weniger als eins zu 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 (10 hoch 50). Dies geschah jedoch – weil die Kursschwankungen an der Börse keiner Normalverteilung folgten.

Zur Beschreibung eignen sich Heavy-Tailed-Verteilungen besser. Dies geschieht bei Erdbeben, Bränden und Überschwemmungen und erschwert den Versicherungsgesellschaften das Risikomanagement.

Dasselbe mathematische Modell beschreibt die Zahl der Todesopfer durch Kriege und Terroranschläge sowie andere, viel friedlichere Dinge, etwa die Anzahl der Wörter in einem Roman oder die Anzahl der Sexualpartner, die eine Person hat.

Obwohl die Adjektive zur Beschreibung verwendet werden lange Schweife, zeigen sie in einem nicht sehr günstigen Licht, „tailed“-Verbreitungen tragen stolz ihre Schwänze. Dick, schwer und lang? Ja das stimmt. Aber zeigen Sie mir in diesem Fall, welches normal ist?