Einfache Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie. Grundformel
Das vorgeschlagene Buch, bestehend aus zwei Teilen, untersucht im Detail die Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik und untersucht detailliert und Schritt für Schritt Lösungen für Probleme, die üblicherweise im CMM an der OGE vorgeschlagen werden. Darüber hinaus werden die einfachsten Konzepte der Kombinatorik (kombinatorische Zahlen für die Anzahl der Permutationen, Platzierungen und Kombinationen ohne Wiederholung) anhand von Beispielen ausführlich vorgestellt. Ebenso ausführlich werden die Grundprinzipien der mathematischen Statistik dargestellt, Beispiele zeigen den Unterschied zwischen dem Stichprobendurchschnitt und dem Modus und Median und es wird erläutert, in welchen Fällen welche dieser Durchschnittswerte verwendet werden sollten.
Der Zweck des Handbuchs besteht darin, die praktischen Fähigkeiten der Studierenden bei der Prüfungsvorbereitung (in) zu entwickeln neue Form) in Mathematik der 9. Klasse. Die Sammlung enthält Antworten auf alle Aufgabenvarianten.
Das Handbuch richtet sich an Lehrkräfte und Methodologen, die Prüfungen zur Vorbereitung auf das Staatsexamen nutzen; es kann auch von Studierenden zur Selbstvorbereitung und Selbstkontrolle genutzt werden.
Beispiele.
Marinas Fernseher ist kaputt und zeigt nur einen zufälligen Kanal. Marina schaltet den Fernseher ein. Derzeit zeigen acht von fünfzig Sendern Comedy-Filme. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Marina auf einem Kanal landet, auf dem keine Comedy gezeigt wird.
An der Turnmeisterschaft nehmen 40 Sportler teil: 12 aus Argentinien, 9 aus Brasilien, der Rest aus Paraguay. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der zuerst antretende Athlet aus Paraguay stammt.
Am Kugelstoßen-Wettbewerb nehmen 4 Athleten aus Argentinien, 7 Athleten aus Brasilien, 10 Athleten aus Paraguay und 4 aus Uruguay teil. Die Reihenfolge, in der die Athleten antreten, wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet, der zuletzt antritt, aus Paraguay stammt.
Die wissenschaftliche Konferenz dauert 5 Tage. Insgesamt sind 75 Berichte geplant – die ersten drei Tage umfassen 11 Berichte, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den vierten und fünften Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Vortrag von Professor M. am letzten Tag der Konferenz stattfinden wird?
INHALT
Einführung
Teil I. Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Das Konzept der Wahrscheinlichkeit
2. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
3. Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitsdefinition
3.1. Summenregel
3.2. Produktregel
3.3. Wahrscheinlichkeitsprobleme
4. Statistische Methode
4.1. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit
4.2. Wahrscheinlichkeitsprobleme
5. Verwendung kombinatorischer Zahlen
5.1. Permutationen ohne Wiederholung
5.2. Probleme, die eine Formel für die Anzahl der Permutationen ohne Wiederholung verwenden
5.3. Platzierungen ohne Wiederholungen
5.4. Kombinationen ohne Wiederholungen
5.5. Paarauswahl
5.6. Zusätzliche Aufgaben
Teil II. Elemente der Statistik, Tabellen, Datenverarbeitung
1. Statistische Merkmale
2. Probleme mit dem arithmetischen Mittel und dem Median
3. Auswahl eines statistischen Merkmals zur Bewertung des Phänomens
4. Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und statistischen Merkmalen
Antworten.
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- OGE 2017, Mathematik, 9. Klasse, Sammlung von Prüfungstests, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G.
- OGE 2016, Mathematik, 9. Klasse, Sammlung von Prüfungstests, Ryazanovsky A.R., Mukhin D.G., 2016
Die folgenden Lehrbücher und Bücher.
BORIS NIKOLAEVICH PERWUSHKIN
Mathematiklehrer der höheren Kategorie
NOU „St. Petersburger Schule „Tete-a-Tete““
Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie für das Einheitliche Staatsexamen der 9. Klasse und das Einheitliche Staatsexamen der 11. Klasse in Mathematik .
Die Wahrscheinlichkeitstheorie für das Einheitliche Staatsexamen besteht aus sehr einfachen Problemen mit der Nummer B10. Jeder kann damit umgehen. Immerhin, um Problem B10 zu lösen Version des Einheitlichen Staatsexamens Es werden nur die grundlegendsten Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt.
Zufällig Das Ereignis wird aufgerufen was sich im Voraus nicht genau vorhersagen lässt. Es kann entweder passieren oder nicht.
Sie haben im Lotto gewonnen – ein zufälliges Ereignis. Sie haben Freunde eingeladen, um Ihren Sieg zu feiern, und auf dem Weg zu Ihnen blieben sie im Aufzug stecken – ebenfalls ein zufälliges Ereignis. Es stellte sich zwar heraus, dass der Meister in der Nähe war und die gesamte Kompanie in zehn Minuten befreite – und auch dies kann als glücklicher Zufall angesehen werden...
Unser Leben ist voller zufälliger Ereignisse. Über jeden von ihnen können wir sagen, dass es bei einigen passieren wird Wahrscheinlichkeit. Höchstwahrscheinlich sind Sie mit diesem Konzept intuitiv vertraut. Wir werden nun die mathematische Definition der Wahrscheinlichkeit geben.
Fangen wir ganz von vorne an einfaches Beispiel. Du wirfst eine Münze. Kopf oder Zahl?
Eine solche Aktion, die zu einem von mehreren Ergebnissen führen kann, nennt man in der Wahrscheinlichkeitstheorie prüfen.
Kopf und Zahl – zwei möglich Ergebnis Tests.
In einem von zwei möglichen Fällen fallen Köpfe heraus. Sie sagen, dass Wahrscheinlichkeit dass die Münze „Kopf“ erhält, ist 1/2.
Lass uns würfeln. Da der Würfel sechs Seiten hat, gibt es auch sechs mögliche Ergebnisse.
Sie haben sich zum Beispiel gewünscht, dass drei Punkte erscheinen würden. Dies ist eines von sechs möglichen Ergebnissen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird es heißen günstiges Ergebnis.
Die Wahrscheinlichkeit, eine Drei zu bekommen, beträgt 1/6 (ein positives Ergebnis von sechs möglichen).
Die Wahrscheinlichkeit von vier beträgt ebenfalls 1/6
Aber die Wahrscheinlichkeit, dass eine Sieben erscheint, ist Null. Schließlich gibt es auf dem Würfel keine Kante mit sieben Punkten.
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse.
Offensichtlich kann die Wahrscheinlichkeit nicht größer als eins sein.
Hier ist ein weiteres Beispiel. In einer Tüte sind 25 Äpfel, 8 davon sind rot, der Rest ist grün. Die Äpfel unterscheiden sich weder in Form noch Größe. Du steckst deine Hand in die Tüte und nimmst zufällig einen Apfel heraus. Die Wahrscheinlichkeit, einen roten Apfel zu ziehen, beträgt 8/25 und die Wahrscheinlichkeit, einen grünen Apfel zu ziehen, 17/25.
Die Wahrscheinlichkeit, einen roten oder grünen Apfel zu bekommen, beträgt 8/25 + 17/25 = 1.
Lassen Sie uns Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie analysieren, die in den Sammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen enthalten sind.
1. Bei einem Taxiunternehmen in dieser Moment Es stehen 15 Autos zur Verfügung: 2 rote, 9 gelbe und 4 grüne. Eines der Autos, das dem Kunden zufällig am nächsten war, reagierte auf den Anruf. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Taxi zu ihr kommt.
Insgesamt sind es 15 Autos, das heißt, eines von fünfzehn kommt beim Kunden an. Es gibt neun gelbe Autos, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein gelbes Auto ankommt, 9/15 beträgt, also 0,6.
2. (Demoversion 2012) In der Ticketsammlung für Biologie gibt es nur 25 Tickets, zwei davon enthalten eine Frage zu Pilzen. Während der Prüfung erhält der Student ein zufällig ausgewähltes Ticket. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ticket keine Frage zu Pilzen enthält.
Offensichtlich beträgt die Wahrscheinlichkeit, ein Los zu ziehen, ohne nach Pilzen zu fragen, 23/25, also 0,92.
3. Das Elternkomitee kaufte 30 Puzzles als Abschlussgeschenke für Kinder. Schuljahr 12 davon mit Gemälden berühmte Künstler und 18 mit Tierbildern. Die Geschenke werden nach dem Zufallsprinzip verteilt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Vovochka ein Rätsel mit einem Tier bekommt.
Das Problem wird auf ähnliche Weise gelöst.
Antwort: 0,6.
4. An der Turnmeisterschaft nehmen 20 Athleten teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der letzte teilnehmende Athlet aus China stammt.
Stellen wir uns vor, alle Sportler näherten sich gleichzeitig dem Hut und zogen daraus Zettel mit Zahlen heraus. Einige von ihnen werden die Nummer zwanzig bekommen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein chinesischer Athlet es schafft, liegt bei 5/20 (da es 5 Athleten aus China gibt). Antwort: 0,25.
5. Ein Schüler wurde gebeten, eine Zahl von 1 bis 100 zu nennen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Zahl nennt, die ein Vielfaches von fünf ist?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100
Jeder fünfte Eine Zahl aus einer gegebenen Menge ist durch 5 teilbar. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit 1/5 beträgt.
6. Ein Würfel wird geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, eine ungerade Punktzahl zu erreichen.
1, 3, 5 - ungerade Zahlen; 2, 4, 6 sind gerade. Die Wahrscheinlichkeit einer ungeraden Punktzahl beträgt 1/2.
Antwort: 0,5.
7. Die Münze wird dreimal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es zwei Köpfe und einen Schwanz gibt?
Beachten Sie, dass das Problem anders formuliert werden kann: Es wurden drei Münzen gleichzeitig geworfen. Dies hat keinen Einfluss auf die Entscheidung.
Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es Ihrer Meinung nach?
Wir werfen eine Münze. Diese Aktion hat zwei mögliche Ergebnisse: Kopf und Zahl.
Zwei Münzen – schon vier Ergebnisse:
Drei Münzen? Das ist richtig, 8 Ergebnisse, da 2 2 2 = 2³ = 8.
Drei von acht Malen erscheinen zwei Köpfe und eine Zahl.
Antwort: 3/8.
8. In einem Zufallsexperiment werfen sie zwei Würfel. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Gesamtpunktzahl 8 Punkte beträgt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
Wir werfen den ersten Würfel – sechs Ergebnisse. Und für jeden von ihnen sind sechs weitere möglich – wenn wir den zweiten Würfel werfen.
Wir stellen fest, dass diese Aktion – zwei Würfel werfen – insgesamt 36 mögliche Ergebnisse hat, da 6² = 36.
Und jetzt - günstige Ergebnisse:
2 6
3 5
4 4
5 3
6 2
Die Wahrscheinlichkeit, acht Punkte zu bekommen, beträgt 5/36 ≈ 0,14.
9. Der Schütze trifft das Ziel mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er das Ziel viermal hintereinander trifft.
Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Treffers 0,9 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags 0,1. Wir argumentieren auf die gleiche Weise wie im vorherigen Problem. Die Wahrscheinlichkeit für zwei Treffer hintereinander beträgt 0,9 0,9 = 0,81. Und die Wahrscheinlichkeit für vier Treffer in Folge beträgt
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
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Wahrscheinlichkeit: Brute-Force-Logik.
Problem B10 zu Münzen aus der Diagnosearbeit am 7. Dezember schien vielen schwierig. Hier ist ihr Zustand:
Petja hatte 2 Münzen zu 5 Rubel und 4 Münzen zu 10 Rubel in seiner Tasche. Petja steckte, ohne hinzusehen, etwa drei Münzen in eine andere Tasche. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Fünf-Rubel-Münzen jetzt in verschiedenen Taschen befinden.
Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses dem Verhältnis der Anzahl günstiger Ergebnisse zur Gesamtzahl der Ergebnisse entspricht. Aber wie berechnet man all diese Ergebnisse?
Sie können natürlich Fünf-Rubel-Münzen mit den Zahlen 1 und Zehn-Rubel-Münzen mit den Zahlen 2 bezeichnen – und dann zählen, auf wie viele Arten Sie drei Elemente aus der Menge 1 1 2 2 2 2 auswählen können.
Es gibt jedoch eine einfachere Lösung:
Wir kodieren die Münzen mit Zahlen: 1, 2 (das sind Fünf-Rubel-Münzen), 3, 4, 5, 6 (das sind Zehn-Rubel-Münzen). Der Problemzustand lässt sich nun wie folgt formulieren:
Es gibt sechs Chips mit den Nummern 1 bis 6. Auf wie viele Arten kann man sie gleichmäßig in zwei Taschen aufteilen, damit die Chips mit den Nummern 1 und 2 nicht zusammen landen?
Schreiben wir auf, was wir in unserer ersten Tasche haben.
Dazu bilden wir alle möglichen Kombinationen aus dem Satz 1 2 3 4 5 6. Ein Satz mit drei Chips ergibt eine dreistellige Zahl. Unter unseren Bedingungen sind 1 2 3 und 2 3 1 offensichtlich der gleiche Chipsatz. Um nichts zu verpassen oder uns zu wiederholen, ordnen wir die entsprechenden dreistelligen Zahlen aufsteigend an:
123, 124, 125, 126...
Und weiter? Wir sagten, dass wir die Zahlen in aufsteigender Reihenfolge anordnen. Das Folgende ist also 134 und dann:
135, 136, 145, 146, 156.
Alle! Wir haben alle möglichen Kombinationen, beginnend mit 1, durchgesehen. Wir fahren fort:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Insgesamt gibt es 20 mögliche Ergebnisse.
Wir haben eine Bedingung: Chips mit den Nummern 1 und 2 sollten nicht zusammen sein. Das bedeutet zum Beispiel, dass die Kombination 356 nicht zu uns passt – das bedeutet, dass die Chips 1 und 2 beide im zweiten Fach landeten, nicht im ersten. Für uns sind die Ergebnisse günstig, wenn es entweder nur 1 oder nur 2 gibt. Hier sind sie:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – insgesamt 12 positive Ergebnisse.
Dann beträgt die gewünschte Wahrscheinlichkeit 12/20.
Ereignisse, die in der Realität oder in unserer Vorstellung passieren, können in drei Gruppen eingeteilt werden. Dies sind bestimmte Ereignisse, die definitiv eintreten werden, unmögliche Ereignisse und zufällige Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht zufällige Ereignisse, d. h. Ereignisse, die eintreten können oder auch nicht. Dieser Artikel wird in vorgestellt in Kürze Wahrscheinlichkeitstheorie, Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, die in Aufgabe 4 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Profilniveau) enthalten sein werden.
Warum brauchen wir Wahrscheinlichkeitstheorie?
Historisch gesehen entstand die Notwendigkeit, diese Probleme im 17. Jahrhundert im Zusammenhang mit der Entwicklung und Professionalisierung zu untersuchen Glücksspiel und die Entstehung von Casinos. Dies war ein reales Phänomen, das eigene Studien und Forschungen erforderte.
Das Spielen von Karten, Würfeln und Roulette schuf Situationen, in denen eine endliche Anzahl gleich möglicher Ereignisse eintreten konnte. Es bestand Bedarf an numerischen Schätzungen der Möglichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses.
Im 20. Jahrhundert wurde klar, dass diese scheinbar frivole Wissenschaft eine wichtige Rolle beim Verständnis der grundlegenden Prozesse im Mikrokosmos spielt. Wurde erstellt moderne Theorie Wahrscheinlichkeiten.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie
Gegenstand des Studiums der Wahrscheinlichkeitstheorie sind Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten. Wenn ein Ereignis komplex ist, kann es in einfache Komponenten zerlegt werden, deren Wahrscheinlichkeiten leicht zu ermitteln sind.
Die Summe der Ereignisse A und B wird als Ereignis C bezeichnet und besteht darin, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B oder die Ereignisse A und B gleichzeitig aufgetreten sind.
Das Produkt der Ereignisse A und B ist ein Ereignis C, was bedeutet, dass sowohl Ereignis A als auch Ereignis B eingetreten sind.
Die Ereignisse A und B werden als inkompatibel bezeichnet, wenn sie nicht gleichzeitig auftreten können.
Ein Ereignis A heißt unmöglich, wenn es nicht eintreten kann. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.
Ein Ereignis A heißt sicher, wenn es sicher eintritt. Ein solches Ereignis wird durch das Symbol angezeigt.
Jedem Ereignis A sei eine Zahl P(A) zugeordnet. Diese Zahl P(A) wird Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, wenn die folgenden Bedingungen mit dieser Entsprechung erfüllt sind.
Ein wichtiger Sonderfall ist der Fall, dass gleichwahrscheinliche Elementarausgänge vorliegen und beliebige dieser Ausfälle Ereignisse A bilden. In diesem Fall kann die Wahrscheinlichkeit über die Formel eingegeben werden. Die auf diese Weise eingeführte Wahrscheinlichkeit wird klassische Wahrscheinlichkeit genannt. Es kann nachgewiesen werden, dass in diesem Fall die Eigenschaften 1-4 erfüllt sind.
Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie, die im Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik auftreten, beziehen sich hauptsächlich auf die klassische Wahrscheinlichkeit. Solche Aufgaben können sehr einfach sein. Besonders einfach sind Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie Demo-Optionen. Es ist einfach, die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen; die Anzahl aller Ergebnisse wird direkt in die Bedingung geschrieben.
Die Antwort erhalten wir mit der Formel.
Ein Beispiel für eine Aufgabe aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Wahrscheinlichkeitsbestimmung
Auf dem Tisch liegen 20 Kuchen – 5 mit Kohl, 7 mit Äpfeln und 8 mit Reis. Marina will den Kuchen essen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie den Reiskuchen nimmt?
Lösung.
Es gibt 20 gleichwahrscheinliche Elementarergebnisse, das heißt, Marina kann jeden der 20 Kuchen nehmen. Aber wir müssen die Wahrscheinlichkeit abschätzen, dass Marina die Reistorte nehmen wird, das heißt, wobei A die Wahl der Reistorte ist. Dies bedeutet, dass die Anzahl der günstigen Ergebnisse (Auswahl an Kuchen mit Reis) nur 8 beträgt. Dann wird die Wahrscheinlichkeit durch die Formel bestimmt:
Unabhängige, gegensätzliche und willkürliche Ereignisse
In der offenen Aufgabendatenbank wurden jedoch zunehmend komplexere Aufgaben gefunden. Lassen Sie uns daher die Aufmerksamkeit des Lesers auf andere Themen lenken, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie untersucht werden.
Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit beider Ereignisse nicht davon abhängt, ob das andere Ereignis eintritt.
Ereignis B bedeutet, dass Ereignis A nicht eingetreten ist, d. h. Ereignis B ist das Gegenteil von Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit des entgegengesetzten Ereignisses ist gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des direkten Ereignisses, d.h. .
Wahrscheinlichkeitsadditions- und Multiplikationssätze, Formeln
Für beliebige Ereignisse A und B ist die Wahrscheinlichkeit der Summe dieser Ereignisse gleich der Summe ihrer Wahrscheinlichkeiten ohne die Wahrscheinlichkeit ihres gemeinsamen Ereignisses, d.h. .
Für die unabhängigen Ereignisse A und B ist die Eintrittswahrscheinlichkeit dieser Ereignisse gleich dem Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten, d.h. in diesem Fall .
Die letzten beiden Aussagen werden als Sätze der Addition und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten bezeichnet.
Die Anzahl der Ergebnisse zu zählen ist nicht immer so einfach. In manchen Fällen ist es notwendig, kombinatorische Formeln zu verwenden. In diesem Fall ist es am wichtigsten, die Anzahl der erfüllten Ereignisse zu zählen bestimmte Bedingungen. Manchmal können solche Berechnungen zu eigenständigen Aufgaben werden.
Auf wie viele Arten können 6 Schüler auf 6 freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Für den dritten Studierenden sind noch 4 Plätze frei, für den vierten 3, für den fünften 2 und der sechste wird den einzigen verbleibenden Platz einnehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden, das mit dem Symbol 6 gekennzeichnet ist! und lautet „sechs Fakultäten“.
Im allgemeinen Fall ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Permutationen von n Elementen.
Betrachten wir nun einen anderen Fall mit unseren Schülern. Auf wie viele Arten können zwei Schüler auf sechs freien Plätzen Platz nehmen? Der erste Student nimmt einen der 6 Plätze ein. Jede dieser Optionen entspricht 5 Möglichkeiten für den zweiten Studierenden, einen Platz einzunehmen. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie das Produkt finden.
Im Allgemeinen wird die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Platzierungen von n Elementen über k Elementen gegeben
In unserem Fall .
Und der letzte Fall dieser Serie. Auf wie viele Arten kann man drei von sechs Schülern auswählen? Der erste Schüler kann auf sechs Arten ausgewählt werden, der zweite auf fünf Arten und der dritte auf vier Arten. Aber unter diesen Optionen tauchen dieselben drei Schüler sechsmal auf. Um die Anzahl aller Optionen zu ermitteln, müssen Sie den Wert berechnen: . Im Allgemeinen ergibt sich die Antwort auf diese Frage durch die Formel für die Anzahl der Elementkombinationen pro Element:
In unserem Fall .
Beispiele für die Lösung von Problemen aus dem Einheitlichen Staatsexamen in Mathematik zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeit
Aufgabe 1. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.
Auf dem Teller liegen 30 Pasteten: 3 mit Fleisch, 18 mit Kohl und 9 mit Kirschen. Sasha wählt zufällig einen Kuchen aus. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er am Ende eine Kirsche bekommt.
.
Antwort: 0,3.
Aufgabe 2. Aus der Sammlung herausgegeben von. Jaschtschenko.
In jeder Charge von 1000 Glühbirnen sind durchschnittlich 20 defekt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert.
Lösung: Die Anzahl der funktionierenden Glühbirnen beträgt 1000-20=980. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus einer Charge entnommene Glühbirne funktioniert:
Antwort: 0,98.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Schüler U. bei einer Mathe-Prüfung mehr als 9 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass U. mehr als 8 Aufgaben richtig löst, beträgt 0,73. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass U genau 9 Probleme richtig löst.
Wenn wir uns einen Zahlenstrahl vorstellen und darauf die Punkte 8 und 9 markieren, dann sehen wir, dass die Bedingung „U. wird genau 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Aufgaben richtig lösen“, gilt jedoch nicht für die Bedingung „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen.“
Die Bedingung „U. wird mehr als 9 Aufgaben richtig lösen“ ist in der Bedingung „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen.“ Wenn wir also Ereignisse bezeichnen: „U. wird genau 9 Probleme richtig lösen“ – durch A, „U. wird mehr als 8 Probleme richtig lösen“ – durch B, „U. wird mehr als 9 Probleme richtig lösen“ durch C. Diese Lösung wird so aussehen:
Antwort: 0,06.
Bei einer Geometrieprüfung beantwortet ein Student eine Frage aus einer Liste von Prüfungsfragen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Trigonometriefrage handelt, beträgt 0,2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,15. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.
Denken wir darüber nach, welche Veranstaltungen wir haben. Wir erhalten zwei inkompatible Ereignisse. Das heißt, entweder bezieht sich die Frage auf das Thema „Trigonometrie“ oder auf das Thema „Außenwinkel“. Gemäß dem Wahrscheinlichkeitssatz ist die Wahrscheinlichkeit inkompatibler Ereignisse gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses. Wir müssen die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse ermitteln, das heißt:
Antwort: 0,35.
Der Raum wird von einer Laterne mit drei Lampen beleuchtet. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe innerhalb eines Jahres durchbrennt, beträgt 0,29. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Lampe im Laufe des Jahres nicht durchbrennt.
Betrachten wir mögliche Ereignisse. Wir haben drei Glühbirnen, von denen jede unabhängig von jeder anderen Glühbirne durchbrennen kann oder auch nicht. Es handelt sich um eigenständige Veranstaltungen.
Dann zeigen wir die Möglichkeiten für solche Veranstaltungen auf. Wir verwenden die folgenden Schreibweisen: - die Glühbirne ist an, - die Glühbirne ist durchgebrannt. Und direkt daneben berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bei dem drei unabhängige Ereignisse „die Glühbirne ist durchgebrannt“, „die Glühbirne ist an“, „die Glühbirne ist an“ aufgetreten: , wobei die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „die Glühbirne.“ ist an“ wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses berechnet, das dem Ereignis „Die Glühbirne ist nicht an“ entgegengesetzt ist, nämlich: .
Beachten Sie, dass es nur 7 inkompatible Ereignisse gibt, die für uns günstig sind. Die Wahrscheinlichkeit solcher Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes der Ereignisse: .
Antwort: 0,975608.
In der Abbildung sehen Sie ein weiteres Problem:
Somit haben wir verstanden, was die Wahrscheinlichkeitstheorie ist, Formeln und Beispiele zur Lösung von Problemen, auf die Sie in der Version des Unified State Exam stoßen können.
Jeder Bildungskomplex
Wahrscheinlichkeitstheorie
für die OGE und das Einheitliche Staatsexamen
Altai-Territorium
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
mit Würfeln
(Würfel)
1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln (Würfel) eine ungerade Punktzahl erhalten.
Die Lösung des Problems:
Ungerade Zahl – 3 (1; 3; 5)
Antwort: P=0,5
2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln weniger als 4 Punkte erhalten.
Die Lösung des Problems:
Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)
Weniger als 4 Punkte – 3 (1; 2; 3)
Antwort: P=0,5
3. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln mehr als 3 Punkte erhalten.
Die Lösung des Problems:
Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)
Mehr als 3 Punkte – 3 (4; 5; 6)
Antwort: P=0,5
4 . Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beim Würfeln mehr als 2 Punkte erhalten. Runden Sie Ihre Antwort auf Zehntel.
Die Lösung des Problems:
Gesamtzahl der Ereignisse – 6 (es können 6 Zahlen von 1 bis 6 erscheinen)
Mehr als 2 Punkte – 2 (3; 4; 5; 6)
P = 4:6 = 0,66...
Antwort: P=0,7
5. Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe zweier gezogener Zahlen ungerade ist.
Die Lösung des Problems:
Der Betrag ist ungerade, wenn: 1) er zum ersten Mal erscheint seltsam Nummer und in der zweiten sogar. 2) zum ersten Mal - sogar, und das zweite Mal seltsam .
1) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.
3:6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.
0,5 · 0,5 = 0,25 – weil Diese beiden Ereignisse müssen zusammen stattfinden. 2) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf eine gerade Zahl zu erhalten.
3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf eine ungerade Zahl zu erhalten.
0,5 · 0,5 = 0,25 – weil Diese beiden Ereignisse müssen zusammen stattfinden.
3) 0,25 + 0,25 = 0,5
Antwort: P=0,5
6. Es wird zweimal gewürfelt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die größere der beiden gezogenen Zahlen 5 ist. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.
Die Lösung des Problems:
1) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 1, oder 2, oder 3, oder 4, oder 5, und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 5. 2) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 5 und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 5 erhält eine 1, eine 2, eine 3, eine 4 oder eine 5
- 5: 6 = 5/6 – Wahrscheinlichkeit, eine 1 zu würfeln; 2; 3; 4; 5
5/6 · 1/6 = 5/36 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
- 1: 6 = 1/6 – Wahrscheinlichkeit, eine 5 zu würfeln
5: 6 = 5/6 – Wahrscheinlichkeit, 1 zu würfeln; 2; 3; 4; 5
1/6 · 5/6 = 5/36 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
- 5/36 + 5/36 = 10/36 = 5/18 = 0,277…
Antwort: 0,3
7. Es wird zweimal gewürfelt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl größer als 3 mindestens einmal gewürfelt wird.
Die Lösung des Problems:
1) Beim ersten Wurf erhalten Sie eine 1, 2 oder 3 und beim zweiten Wurf erhalten Sie eine 4; oder 5 oder 6 2) Beim ersten Wurf wird eine 4 gewürfelt; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf ist das Ergebnis 1, oder 2, oder 3. 3) Beim ersten Wurf ist das Ergebnis 4; oder 5 oder 6, und beim zweiten Wurf erhalten Sie 4, oder 5 oder 6.
2) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6
3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, 1 zu würfeln; 2; 3
0,5 · 0,5 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
3) 3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6
3: 6 = 0,5 – Wahrscheinlichkeit, eine 4 zu würfeln; 5; 6
0,5 · 0,5 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse eintreten
4) 0,25+ 0,25 + 0,25 = 0,75 Antwort: 0,75
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
mit Münzen
8. Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 1 mal .
Die Lösung des Problems: Lassen Sie uns die Anzahl der möglichen Ergebnisse ermitteln und alle möglichen Würfe durchgehen. Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen und alle Optionen zeigen:
2: 4 = 0,5 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.
2) Antwort: 0,5
9. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen dreimal .
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 Wurf
3 Wurf
1: 8 = 0,125 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.
Antwort: 0,125
10. In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau landen 2 mal .
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 Wurf
3 Wurf
3: 8 = 0,375 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf „Kopf“ ergibt.
Antwort: 0,375
elf . Bei einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze dreimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Sie überhaupt keine Köpfe bekommen.
Die Lösung des Problems:
1 Wurf
2 Wurf
3 Wurf
1: 8 = 0,125 – die Wahrscheinlichkeit, dass der Wurf Kopf ergibt.
Antwort: 0,125
Aufgaben
auf Wahrscheinlichkeit
(anders)
12. Es ist bekannt, dass in einer bestimmten Region die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge geboren wird, 0,512 beträgt. Im Jahr 2010 kamen in dieser Region durchschnittlich 477 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Geburtenrate eines Mädchens im Jahr 2010 in dieser Region von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?
Die Lösung des Problems:
- 1 - 0,512 = 0,488 –
2) 477: 1000 = 0,477 – Geburtswahrscheinlichkeit von Mädchen im Jahr 2010
3) 0,488 - 0,477=0,011
Antwort: 0,011
13. Es ist bekannt, dass in einer bestimmten Region die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge geboren wird, 0,486 beträgt. Im Jahr 2011 kamen in dieser Region durchschnittlich 522 Mädchen auf 1.000 Babys. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit der Geburt eines Mädchens im Jahr 2011 in dieser Region von der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses?
Die Lösung des Problems:
- 1 - 0,486 = 0,514 – Wahrscheinlichkeit, Mädchen in der Region zu haben
2) 522: 1000 = 0,522 – Geburtswahrscheinlichkeit von Mädchen im Jahr 2011
3) 0,522 - 0,514 = 0,008
Antwort: 0,008
14. Stas wählt eine dreistellige Zahl. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 48 teilbar ist.
Die Lösung des Problems:
- 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen
2) 999: 48 = 20,8125 - d.h. Gesamt 20 Zahlen sind durch 48 teilbar
- Davon sind zwei Zahlen zweistellig – das sind 48 und 96, dann 20 – 2 = 18
4) 18: 900 = 0,02
Antwort: 0,02
15 . Andrey wählt eine zufällige dreistellige Zahl. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es durch 33 teilbar ist.
Die Lösung des Problems:
- 999 - 99 = 900 – nur dreistellige Zahlen
2) 999: 33 = 30,29… - d.h. Gesamt 30 Zahlen sind durch 33 teilbar
- Davon sind drei zweistellige Zahlen – das sind 33, 66, 99 dann 30 – 3 = 27
4) 27: 900 = 0,03
Antwort: 0,03
16 . Gemäß den Aktionsbedingungen ist in jeder vierten Dose Kaffee ein Preis enthalten. Die Preise werden nach dem Zufallsprinzip auf die Töpfe verteilt. Alya kauft eine Dose Kaffee in der Hoffnung, einen Preis zu gewinnen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Alya den Preis nicht in ihrem Glas findet.
Die Lösung des Problems:
1) 1: 4 = 0,25 – Wahrscheinlichkeit, einen Preis zu gewinnen.
2) 1 – 0,25 = 0,75 – Wahrscheinlichkeit, keinen Preis zu gewinnen
Antwort: 0,75
17. Bei der Geometrieprüfung erhält der Studierende eine Frage aus dem Prüfungsfragenkatalog. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine Frage zu Außenwinkeln handelt, beträgt 0,35. Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich hierbei um eine eingeschriebene Kreisfrage handelt, beträgt 0,2. Es gibt keine Fragen, die sich gleichzeitig auf diese beiden Themen beziehen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Student in der Prüfung eine Frage zu einem dieser beiden Themen erhält.
Lösung:
Die Wahrscheinlichkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse: 0,35 + 0,2 = 0,52
Antwort: 0,52
18. Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Scheiben die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel.
Lösung:
Trefferwahrscheinlichkeit - 0,8
Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags – 0,2
Die Miss- und Hit-Ereignisse sind unabhängig voneinander, das heißt
19. Im Laden gibt es zwei Zahlungsautomaten. Jeder von ihnen kann mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,12 fehlerhaft sein, unabhängig von der anderen Maschine. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Maschine funktioniert.
Lösung:
Lassen Sie uns die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beide Maschinen fehlerhaft sind.
Diese Ereignisse sind unabhängig, d.h. 0,12² = 0,0144
Ein Ereignis, das darin besteht, dass mindestens einer
Maschine – das Gegenteil, das heißt 1 – 0,0144 = 0,9856
Antwort: 0,9856
20.V Einkaufszentrum Zwei identische Maschinen verkaufen Kaffee. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine am Ende des Tages keinen Kaffee mehr hat, liegt bei 0,3. Die Wahrscheinlichkeit, dass beiden Maschinen der Kaffee ausgeht, beträgt 0,16. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass am Ende des Tages noch Kaffee in beiden Maschinen vorhanden ist.
Lösung:
Betrachten wir die Ereignisse:
A – Der Kaffee geht in der ersten Maschine aus
B – In der zweiten Maschine geht der Kaffee aus
А·В – der Kaffee geht in beiden Maschinen aus
A+B - In mindestens einer Maschine geht der Kaffee aus
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des gegenteiligen Ereignisses (Kaffee verbleibt in beiden Maschinen) gleich ist
Antwort: 0,56
21. Zwei Fabriken produzieren identische Gläser für Autoscheinwerfer. Die erste Fabrik produziert 45 % dieser Gläser, die zweite 55 %. Die erste Fabrik produziert 3 % fehlerhaftes Glas, die zweite 1 %. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass versehentlich in einem Geschäft gekauftes Glas defekt ist.
Lösung:
Wahrscheinlichkeit, dass das in der ersten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,45 · 0,03 = 0,0135
Wahrscheinlichkeit, dass das in der zweiten Fabrik gekaufte Glas defekt ist: 0,55 · 0,01 = 0,0055
Das bedeutet, dass die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass versehentlich im Laden gekauftes Glas defekt ist, 0,0135 + 0,0055 = 0,019 beträgt
Antwort: 0,019
Quellen
Aufgaben offene Bank FIPI-Mathematikaufgaben, 2014-2015 http://www.fipi.ru/
Münze - https :// upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Russia-1998-Coin-5.jpg
Würfel - http ://clipstock.ucoz.ru/_ ph/21/365284339.jpg
http ://cs.ankaraschool.ru/DwABAIQAzQISAc0BSv_D-w8/6yi0I7wdPdUVWti_caKcxg/sv/image/bc/d7/32/186172/228/% D0%95%D0%93%D0%AD.jpg?1445859675
OGE 2016 - http :// www.school25.nichost.ru/images/banners/oge.jpg
Beschreibung der Präsentation anhand einzelner Folien:
1 Folie
Folienbeschreibung:
Schlüsselaufgaben in der Wahrscheinlichkeitstheorie Vorbereitung auf die OGE Nr. 9 MBOU „Gymnasium Nr. 4 benannt nach. ALS. Puschkin“ Autor-Compiler: Sofina N.Yu.
2 Folie
Folienbeschreibung:
Grundlegende nachweisbare Anforderungen für mathematische Ausbildung Nr. 9 OGE in Mathematik lösen praktische Probleme, was eine systematische Suche nach Optionen erfordert; Vergleichen Sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens zufälliger Ereignisse, bewerten Sie die Wahrscheinlichkeiten eines zufälligen Ereignisses, vergleichen und erforschen Sie Modelle der realen Situation mithilfe des Wahrscheinlichkeits- und Statistikapparats. Nr. 9 – Grundaufgabe. Die maximale Punktzahl für die Erledigung der Aufgabe beträgt 1.
3 Folie
Folienbeschreibung:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl m der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl n aller gleichermaßen möglichen inkompatiblen Ereignisse, die als Ergebnis eines Tests oder einer Beobachtung auftreten können. Erinnern wir uns an die Formel zur Berechnung der klassischen Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses P = n m
4 Folie
Folienbeschreibung:
Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Beispiel: Das Elternkomitee kaufte am Ende des Schuljahres 40 Malbücher als Geschenk für Kinder. Davon basieren 14 auf Märchen von A.S. Puschkin und 26 basierend auf den Märchen von S. H. Andersen. Die Geschenke werden nach dem Zufallsprinzip verteilt. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit heraus, dass Nastya ein Malbuch nach den Märchen von A.S. erhält. Puschkin. Lösung: m= 14; n= 14 +26=40 P= 14/40= 0,35 Antwort: 0,35.
5 Folie
Folienbeschreibung:
Beispiel: Für die Prüfung gab es 60 Fragen. Drei davon hat Ivan nicht gelernt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auf die gelernte Frage stößt. Lösung: Hier ist n=60. Ivan hat 3 nicht gelernt, was bedeutet, dass er alle anderen gelernt hat, d. h. m= 60-3=57. P=57/60=0,95. Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Antwort: 0,95.
6 Folie
Folienbeschreibung:
„Die Reihenfolge wird durch das Los bestimmt“ Beispiel: An der Turnmeisterschaft nehmen 20 Sportler teil: 8 aus Russland, 7 aus den USA, der Rest aus China. Die Reihenfolge der Turnerinnen wird durch das Los bestimmt. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der fünftplatzierte Athlet aus China stammt. Lösung: In der Problemstellung gibt es ein „Zauberwort“ „lot“, was bedeutet, dass wir die Reihenfolge der Präsentation vergessen. Somit ist m= 20-8-7=5 (aus China); n=20. P = 5/20 = 0,25. Antwort: 0,25.
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Folienbeschreibung:
Beispiel: Eine wissenschaftliche Konferenz findet über 5 Tage statt. Insgesamt sind 75 geplant Berichte - zuerst 3 Tage mit 17 Berichten, der Rest verteilt sich gleichmäßig auf den 4. und 5. Tag. Die Reihenfolge der Berichte wird durch das Los bestimmt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Bericht von Professor Ivanov am letzten Tag der Konferenz stattfinden wird? Lösung: Tragen wir die Daten in eine Tabelle ein. Wir haben herausgefunden, dass m=12; n=75. P=12/75=0,16. Antwort: 0,16. „Die Reihenfolge wird durch das Los bestimmt“ Tag I II III IV V Gesamtzahl der Meldungen 17 17 17 12 12 75
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Folienbeschreibung:
Häufigkeit eines Ereignisses Ebenso wie die Wahrscheinlichkeit wird auch die Häufigkeit eines Ereignisses ermittelt, für die es auch in den Prototypen Aufgaben gibt. Was ist der Unterschied? Wahrscheinlichkeit ist ein vorhergesagter Wert und Häufigkeit ist eine Tatsachenfeststellung. Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein neues Tablet innerhalb eines Jahres im Rahmen der Garantie repariert wird, beträgt 0,045. In einer bestimmten Stadt gingen von 1.000 im Laufe des Jahres verkauften Tablets 51 Einheiten in der Garantiewerkstatt ein. Wie unterscheidet sich die Häufigkeit des Ereignisses „Garantiereparatur“ von seiner Wahrscheinlichkeit in dieser Stadt? Lösung: Finden wir die Häufigkeit des Ereignisses: 51/1000=0,051. Und die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,045 (je nach Zustand). Das bedeutet, dass in dieser Stadt das Ereignis „Garantiereparatur“ häufiger auftritt als erwartet. Finden wir die Differenz ∆= 0,051- 0,045= 0,006. Gleichzeitig müssen wir berücksichtigen, dass für uns NICHT das Vorzeichen der Differenz wichtig ist, sondern nur ihr absoluter Wert. Antwort: 0,006.
Folie 9
Folienbeschreibung:
Probleme beim Aufzählen von Optionen („Münzen“, „Streichhölzer“) Sei k die Anzahl der Münzwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 2k. Beispiel: In einem Zufallsexperiment wird eine symmetrische Münze zweimal geworfen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Köpfe genau einmal auftauchen. Lösung: Münzwurfoptionen: OO; ODER; RR; RO. Somit ist n=4. Günstige Ergebnisse: RR und RO. Das heißt, m= 2. P=2/4 = 1/2 = 0,5. Antwort: 0,5.
10 Folie
Folienbeschreibung:
Beispiel: Vor Beginn eines Fußballspiels wirft der Schiedsrichter eine Münze, um festzustellen, welche Mannschaft den ersten Ballbesitz hat. Das Team „Merkur“ spielt abwechselnd mit den Teams „Mars“, „Jupiter“ und „Uranus“. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Mercury-Team in allen Spielen den Ball gewinnt? Probleme beim Aufzählen von Optionen („Münzen“, „Streichhölzer“) Lösung: Bezeichnen wir den Besitz des ersten Balls der Mannschaft „Mercury“ in einem Spiel mit einer der anderen drei Mannschaften als „Zahl“. Dann ist das Recht auf Besitz des zweiten Balls dieser Mannschaft „Eagle“. Schreiben wir also alle möglichen Ergebnisse auf, wenn wir dreimal eine Münze werfen. „O“ steht für Kopf, „P“ für Zahl. ; d. h. n=8; m=1. P=1/8=0,125. Antwort: 0,125 n = 23 „Mars“ „Jupiter“ „Uranus“ O O O O O R O R O R O R R R R O O R O R R R R
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Folienbeschreibung:
Probleme mit „Würfeln“ (Dice) Sei k die Anzahl der Würfelwürfe, dann die Anzahl der möglichen Ergebnisse: n = 6k. Beispiel: Dascha würfelt zweimal. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie insgesamt 8 Punkte erhält. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. Antwort: 0,14. Lösung: Die beiden Würfel sollten zusammen 8 Punkte ergeben. Dies ist möglich, wenn folgende Kombinationen vorliegen: 2 und 6 6 und 2 3 und 5 5 und 3 4 und 4 m= 5 (5 geeignete Kombinationen) n =36 P= 5/36 = 0,13(8)
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Folienbeschreibung:
Unabhängige Ereignisse und das Gesetz der Multiplikation Die Wahrscheinlichkeit, sowohl das 1., 2. als auch das n-te Ereignis zu finden, wird durch die Formel ermittelt: P = P1*P2*…*Pn Beispiel: Ein Biathlet schießt fünfmal auf Ziele. Die Wahrscheinlichkeit, das Ziel mit einem Schuss zu treffen, beträgt 0,8. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Biathlet die Ziele die ersten drei Mal trifft und die letzten beiden Male verfehlt. Runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel. Antwort: 0,02. Lösung: Das Ergebnis jedes nächsten Schusses hängt nicht von den vorherigen ab. Daher sind die Ereignisse „Treffen beim ersten Schuss“, „Treffen beim zweiten Schuss“ usw. unabhängig. Die Wahrscheinlichkeit jedes Treffers beträgt 0,8. Dies bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschlags 1 – 0,8 = 0,2 beträgt. 1. Schuss: 0,8 2. Schuss: 0,8 3. Schuss: 0,8 4. Schuss: 0,2 5. Schuss: 0,2 Mit der Formel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse erhalten wir: P = 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2 = 0,02048 ≈ 0,02.
Folie 13
Folienbeschreibung:
Kombinationen aus „und“-Gesetzen und „oder“-Gesetzen Beispiel: Ein Büro kauft Büromaterial für Mitarbeiter von drei verschiedenen Unternehmen. Darüber hinaus machen die Produkte des 1. Unternehmens 40 % aller Lieferungen aus, die restlichen 2 – gleichermaßen. Es stellte sich heraus, dass 2 % der Stifte der 2. Firma defekt waren. Die Mängelquote im 1. und 3. Unternehmen beträgt 1 % bzw. 3 %. Mitarbeiter A nahm einen Stift aus einem neuen Vorrat. Finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass es funktioniert. Lösung: Die Produkte von 2 und 3 Unternehmen sind (100 % -40 %): 2 = 30 % der Lieferungen. P(Ehe)= 0,4·0,01+ 0,3·0,02 + 0,3·0,03= 0,019. P(gebrauchsfähige Griffe) = 1- 0,019 = 0,981. Antwort: 0,981.
