Teorema do cosseno. Guia Visual (2019)
Declaração do teorema do cosseno
Para um triângulo plano com lados a, b, c e ângulo α oposto ao lado a, a seguinte relação é verdadeira:
Fórmulas úteis do teorema do cosseno:
Como pode ser visto acima, usando o teorema do cosseno, você pode encontrar não apenas o lado de um triângulo por dois lados e o ângulo entre eles, você pode, conhecendo as dimensões de todos os lados do triângulo, determinar os cossenos de todos ângulos e também calcular o tamanho de qualquer ângulo do triângulo. O cálculo de qualquer ângulo de um triângulo a partir de seus lados é consequência da transformação da fórmula do teorema do cosseno.
Prova do teorema do cosseno
Considere um triângulo arbitrário ABC. Suponhamos que conhecemos o tamanho do lado AC (é igual a um certo número b), o tamanho do lado AB (é igual a um certo número c) e o ângulo entre esses lados, cujo valor é igual a α. Vamos encontrar o tamanho do lado BC (denotando seu comprimento através da variável a)
Para prova teoremas do cosseno Vamos realizar construções adicionais. Do vértice C ao lado AB baixamos a altura CD.
Vamos encontrar o comprimento do lado AB. Como pode ser visto na figura, como resultado da construção adicional podemos dizer que
AB = ANÚNCIO + BD
Vamos encontrar o comprimento do segmento AD. Com base no fato de que o triângulo ADC é retângulo, sabemos o comprimento de sua hipotenusa (b) e ângulo (α), então o tamanho do lado AD pode ser encontrado a partir da razão de seus lados, usando as propriedades das funções trigonométricas em um triângulo retângulo:
AD/AC = cos α
onde
AD = AC cos α
DE ANÚNCIOS = b cos α
Encontramos o comprimento do lado BD como a diferença entre AB e AD:
BD = AB - ANÚNCIO
BD = c − b cos α
Agora vamos escrever o teorema de Pitágoras para dois triângulos retângulos ADC e BDC:
para triângulo BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
para triângulo ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2
Observemos que ambos os triângulos têm um lado comum - CD. Vamos determinar seu comprimento para cada triângulo - coloque seu valor no lado esquerdo da expressão e o restante no lado direito.
CD 2= BC 2 - BD 2
CD 2= AC 2 - DC 2
Como os lados esquerdos das equações (o quadrado do lado CD) são iguais, igualamos os lados direitos das equações:
AC 2 - BD 2 = AC 2 - DC 2
Com base nos cálculos feitos anteriormente, já sabemos que:
DE ANÚNCIOS = b cos α
BD = c − b cos α
A.C. =b(por condição)
E denotamos o valor do lado BC como a.
AC = uma
(Isso é o que precisamos encontrar)
AC 2 - BD 2 = AC 2 - DC 2
Vamos substituir as designações das letras dos lados pelos resultados de nossos cálculos
a 2 - ( c − b cos α ) 2 = b 2 - ( b cos α ) 2
mova o valor desconhecido (a) para o lado esquerdo e as partes restantes da equação para a direita
a 2 = (c − b cos α ) 2 + b 2 - (b cos α ) 2
vamos abrir os colchetes
a 2 = b 2 + c 2 - 2c b cos α + (b cos α) 2 - (b cos α) 2
Nós temos
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α
O teorema do cosseno foi provado.
Nem todos os alunos, e principalmente os adultos, sabem que o teorema do cosseno está diretamente relacionado ao teorema de Pitágoras. Mais precisamente, este último é um caso especial do primeiro. Este ponto, bem como duas maneiras de provar o teorema do cosseno, ajudarão você a se tornar uma pessoa mais experiente. Além disso, a prática de expressar quantidades a partir de expressões iniciais desenvolve bem o pensamento lógico. A longa fórmula do teorema em estudo certamente o forçará a trabalhar duro e melhorar.
Iniciando uma conversa: introduzindo notação
Este teorema é formulado e comprovado para um triângulo arbitrário. Portanto, pode sempre ser utilizado, em qualquer situação, se forem dados dois lados, e em alguns casos três, e um ângulo, e não necessariamente entre eles. Qualquer que seja o tipo de triângulo, o teorema sempre funcionará.
E agora sobre a designação de quantidades em todas as expressões. É melhor concordar imediatamente, para não ter que explicar várias vezes depois. A tabela a seguir foi compilada para esse fim.
Formulação e notação matemática
Portanto, o teorema do cosseno é formulado da seguinte forma:
O quadrado de um lado de qualquer triângulo é igual à soma dos quadrados dos seus outros dois lados menos o dobro do produto desses mesmos lados e o cosseno do ângulo entre eles.
Claro que é longo, mas se você entender sua essência, será fácil de lembrar. Você pode até imaginar desenhar um triângulo. É sempre mais fácil lembrar visualmente.
A fórmula deste teorema ficará assim:
Um pouco longo, mas tudo é lógico. Se você olhar um pouco mais de perto, verá que as letras se repetem, o que significa que não é difícil lembrar.
Prova comum do teorema
Como isso é verdade para todos os triângulos, você pode escolher qualquer um dos tipos de raciocínio. Que seja uma figura com todos os ângulos agudos. Vamos considerar um triângulo arbitrário de ângulo agudo cujo ângulo C é maior que o ângulo B. Do vértice com esse ângulo grande, você precisa abaixar uma perpendicular ao lado oposto. A altura desenhada dividirá o triângulo em dois retângulos. Isso será necessário para comprovação.
O lado será dividido em dois segmentos: x, y. Eles precisam ser expressos em termos de quantidades conhecidas. A parte que termina em um triângulo com hipotenusa igual a b será expressa através da notação:
x = b * cos A.
O outro será igual a esta diferença:
y = c - in * cos A.
Agora você precisa escrever o teorema de Pitágoras para os dois triângulos retângulos resultantes, tomando a altura como o valor desconhecido. Essas fórmulas ficarão assim:
n 2 = em 2 - (em * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Essas igualdades contêm as mesmas expressões à esquerda. Isso significa que seus lados direitos também serão iguais. É fácil anotar. Agora você precisa abrir os colchetes:
em 2 - em 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * em * cos A - em 2 * (cos A) 2 .
Se você fizer aqui a transferência e redução de termos semelhantes, obterá a fórmula inicial, que é escrita após a formulação, ou seja, o teorema do cosseno. A prova está completa.
Prova do teorema usando vetores
É muito mais curto que o anterior. E se você conhece as propriedades dos vetores, o teorema do cosseno para um triângulo será provado de forma simples.
Se os lados a, b, c são designados pelos vetores BC, AC e AB, respectivamente, então a igualdade é válida:
AC = AC - AB.
Agora você precisa seguir alguns passos. A primeira delas é elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Então a igualdade precisa ser reescrita na forma escalar, levando em consideração que o produto dos vetores é igual ao cosseno do ângulo entre eles e seus valores escalares:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Resta apenas retornar à notação antiga e novamente obteremos o teorema do cosseno:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Fórmulas para outros lados e todos os ângulos
Para encontrar o lado, você precisa extrair a raiz quadrada do teorema do cosseno. A fórmula para os quadrados de um dos outros lados ficará assim:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Para escrever a expressão para o quadrado de um lado V, você precisa substituir na igualdade anterior Com sobre V, e vice-versa, e coloque o ângulo B sob o cosseno.
A partir da fórmula básica do teorema, podemos expressar o valor do cosseno do ângulo A:
cos A = (em 2 + c 2 - a 2) / (2 em * c).
As fórmulas para outros ângulos são derivadas de forma semelhante. É uma boa prática tentar escrevê-los você mesmo.
Naturalmente, não há necessidade de memorizar estas fórmulas. Basta compreender o teorema e a capacidade de derivar essas expressões a partir de sua notação principal.
A fórmula original do teorema permite encontrar o lado se o ângulo não estiver entre dois conhecidos. Por exemplo, você precisa encontrar V, quando os valores são dados: uma, c, uma. Ou desconhecido Com, mas há significados uma, b, uma.
Nesta situação, você precisa mover todos os termos da fórmula para a esquerda. Você obtém a seguinte igualdade:
с 2 - 2 * в * с * cos À + в 2 - а 2 = 0.
Vamos reescrevê-lo de uma forma ligeiramente diferente:
c 2 - (2 * pol * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.
Você pode ver facilmente a equação quadrática. Há uma quantidade desconhecida nele - Com, e todo o resto é dado. Portanto, basta resolvê-lo usando um discriminante. Desta forma o lado desconhecido será encontrado.
A fórmula para o segundo lado é obtida de forma semelhante:
em 2 - (2 * c * cos A) * em + (c 2 - a 2) = 0.
A partir de outras expressões, tais fórmulas também são fáceis de obter de forma independente.
Como você pode descobrir o tipo de ângulo sem calcular o cosseno?
Se você observar atentamente a fórmula do cosseno do ângulo derivada anteriormente, notará o seguinte:
- o denominador de uma fração é sempre um número positivo, pois contém o produto dos lados que não pode ser negativo;
- o valor do ângulo dependerá do sinal do numerador.
O ângulo A será:
- agudo numa situação em que o numerador é maior que zero;
- estúpido se esta expressão for negativa;
- direto quando é igual a zero.
A propósito, a última situação transforma o teorema do cosseno no teorema de Pitágoras. Porque para um ângulo de 90º seu cosseno é zero e o último termo desaparece.
Primeira tarefa
Doença
O ângulo obtuso de algum triângulo arbitrário é 120º. Sobre os lados que o limitam, sabe-se que um deles é 8 cm maior que o outro, conhece-se o comprimento do terceiro lado, é 28 cm, é necessário encontrar o perímetro do triângulo.
Solução
Primeiro você precisa marcar um dos lados com a letra “x”. Neste caso, o outro será igual a (x + 8). Como existem expressões para todos os três lados, podemos usar a fórmula fornecida pelo teorema do cosseno:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
Nas tabelas de cossenos você precisa encontrar o valor correspondente a 120 graus. Este será o número 0,5 com sinal de menos. Agora você precisa abrir os colchetes, seguindo todas as regras, e trazer termos semelhantes:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Esta equação quadrática é resolvida encontrando o discriminante, que será igual a:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Como seu valor é maior que zero, a equação tem duas respostas de raiz.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
A última raiz não pode ser a resposta para o problema, pois o lado deve ser positivo.
Qual é o teorema do cosseno? Imagine isto... Teorema de Pitágoras para um triângulo arbitrário.
O teorema do cosseno: formulação.
O teorema do cosseno afirma: O quadrado de qualquer lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados do triângulo menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
E agora explicarei porque é que isto acontece e o que o teorema de Pitágoras tem a ver com isso.
Afinal, o que diz o teorema de Pitágoras?
O que acontece se, digamos, for picante?
E se eu for estúpido?
Agora vamos descobrir, ou melhor, vamos primeiro formulá-lo e depois prová-lo.
Portanto, para cada triângulo (de ângulo agudo, de ângulo obtuso e até mesmo retangular!), O seguinte é verdadeiro: teorema do cosseno.
Teorema do cosseno:
O que é e?
pode ser expresso a partir de um triângulo (retangular!).
E aqui está (de novo).
Vamos substituir:
Nós revelamos:
Usamos o que temos e... pronto!
2 Caso: deixe.
Então, isto é, estúpido.
E agora, atenção, a diferença!
Isto é de, que agora está fora, e
Nós nos lembramos disso
(leia o tópico se você esqueceu completamente por que isso acontece).
Então é isso! Acabou a diferença!
Como foi, isto é:
Bem, resta um último caso.
3 Caso: deixe.
Então, . Mas então o teorema do cosseno simplesmente se transforma no teorema de Pitágoras:
Em quais problemas o teorema do cosseno é útil?
Bem, por exemplo, se você tiver dados dois lados de um triângulo e o ângulo entre eles, então você imediatamente você pode encontrar um terceiro.
Ou se você todos os três lados são dados, então você o encontrará imediatamente cosseno qualquer ângulo de acordo com a fórmula
E mesmo que você dados dois lados e um ângulo NÃO entre eles, então o terceiro lado também pode ser encontrado resolvendo uma equação quadrática. É verdade que, neste caso, às vezes você obtém duas respostas e precisa descobrir qual escolher ou deixar as duas.
Tente usá-lo e não tenha medo – o teorema do cosseno é quase tão fácil de usar quanto o teorema de Pitágoras.
TEOREMA DOS COSENOS. BREVEMENTE SOBRE AS COISAS PRINCIPAIS
Teorema do cosseno: O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles:
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Teorema do cossenoé um teorema da geometria euclidiana que generaliza o teorema de Pitágoras.
Teorema do cosseno:
Para um triângulo plano cujos lados a, b, c e ângulo α , que é oposto ao lado a, a seguinte relação é válida:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 a.C. cosα.
O quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros 2 lados menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Corolário do teorema do cosseno.
- O teorema do cosseno é usado para determinar porqueângulo do triângulo:
Para ser específico:
- Quando b 2 + c 2 - a 2 > 0 , canto α será picante;
- Quando b 2 + c 2 - a 2 = 0 , canto α será reto (quando o ângulo α é direto, o que significa que o teorema do cosseno entra no teorema de Pitágoras);
- Quando b 2 + c 2 - a 2 < 0 , canto α será estúpido.
Prova clássica do teorema do cosseno.
Que haja um triângulo abc. Do topo C para o lado AB baixou a altura CD. Significa:
DE ANÚNCIOS = b cos α,
DB = c - b cos α
Escrevemos o teorema de Pitágoras para 2 triângulos retângulos ADC E CDB:
h 2 = b 2 - (b cos α) 2 (1)
h 2 = a 2 - (c - b cos α) 2 (2)
Igualamos os lados direitos das equações (1) e (2):
b 2 - (b cos α) 2 = a 2 - (c - b cos α) 2
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α.
Se um dos ângulos da base for obtuso (a altura confina com a continuação da base), é completamente semelhante ao discutido acima.
Determine as partes b E c:
b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ.
Centrado em um ponto A.
α
- ângulo expresso em radianos.
Definição
Seno (sen α)é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto oposto |BC| ao comprimento da hipotenusa |AC|.
Cosseno (cos α)é uma função trigonométrica que depende do ângulo α entre a hipotenusa e o cateto de um triângulo retângulo, igual à razão entre o comprimento do cateto adjacente |AB| ao comprimento da hipotenusa |AC|.
Notações aceitas
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.
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;
.
Gráfico da função seno, y = sin x
Gráfico da função cosseno, y = cos x
Propriedades de seno e cosseno
Periodicidade
Funções y = pecado x e y = porque x periódico com período 2π.
Paridade
A função seno é estranha. A função cosseno é par.
Domínio de definição e valores, extremos, aumento, diminuição
As funções seno e cosseno são contínuas em seu domínio de definição, ou seja, para todo x (ver prova de continuidade). Suas principais propriedades são apresentadas na tabela (n - inteiro).
| você = pecado x | você = porque x | |
| Escopo e continuidade | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Faixa de valores | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Aumentando | ||
| descendente | ||
| Máxima, y = 1 | ||
| Mínimos, y = - 1 | ||
| Zeros, y = 0 | ||
| Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 0 | você = 0 | você = 1 |
Fórmulas básicas
Soma dos quadrados de seno e cosseno
Fórmulas para seno e cosseno de soma e diferença
;
;
Fórmulas para o produto de senos e cossenos
Fórmulas de soma e diferença
Expressando seno através de cosseno
;
;
;
.
Expressando cosseno através de seno
;
;
;
.
Expressão através da tangente
; .
Quando , temos:
;
.
No :
;
.
Tabela de senos e cossenos, tangentes e cotangentes
Esta tabela mostra os valores de senos e cossenos para determinados valores do argumento. 
Expressões através de variáveis complexas
;
Fórmula de Euler
Expressões através de funções hiperbólicas
;
;
Derivados
; . Derivando fórmulas >>>
Derivadas de enésima ordem:
{ -∞ <
x < +∞ }
Secante, cossecante
Funções inversas
As funções inversas de seno e cosseno são arco seno e arco cosseno, respectivamente.
Arco seno, arco seno
Arcoseno, arcos
Referências:
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
