Haverá também tarefas para uma solução independente, para as quais você poderá ver as respostas.

Se no problema os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles forem apresentados "em uma bandeja de prata", a condição do problema e sua solução ficarão assim:

Exemplo 1 Os vetores são dados. Encontre o produto escalar de vetores se seus comprimentos e o ângulo entre eles são representados pelos seguintes valores:

Outra definição também é válida, que é completamente equivalente à Definição 1.

Definição 2. O produto escalar de vetores é um número (escalar) igual ao produto do comprimento de um desses vetores e a projeção de outro vetor no eixo determinado pelo primeiro desses vetores. Fórmula de acordo com a definição 2:

Resolveremos o problema usando esta fórmula após o próximo ponto teórico importante.

Definição do produto escalar de vetores em termos de coordenadas

O mesmo número pode ser obtido se os vetores multiplicados forem dados por suas coordenadas.

Definição 3. O produto escalar de vetores é o número igual à soma dos produtos aos pares de suas respectivas coordenadas.

Na superfície

Se dois vetores e no plano são definidos por seus dois Coordenadas cartesianas

então o produto escalar desses vetores é igual à soma dos produtos aos pares de suas respectivas coordenadas:

.

Exemplo 2 Encontre o valor numérico da projeção do vetor no eixo paralelo ao vetor.

Solução. Encontramos o produto escalar de vetores adicionando os produtos aos pares de suas coordenadas:

Agora precisamos igualar o produto escalar resultante ao produto do comprimento do vetor e a projeção do vetor em um eixo paralelo ao vetor (de acordo com a fórmula).

Encontramos o comprimento do vetor como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas:

.

Escreva uma equação e resolva:

Responda. O valor numérico desejado é menos 8.

No espaço

Se dois vetores e no espaço são definidos por suas três coordenadas retangulares cartesianas

,

então o produto escalar desses vetores também é igual à soma dos produtos aos pares de suas respectivas coordenadas, só que já existem três coordenadas:

.

A tarefa de encontrar o produto escalar da maneira considerada é depois de analisar as propriedades do produto escalar. Porque na tarefa será necessário determinar qual ângulo os vetores multiplicados formam.

Propriedades do produto escalar de vetores

Propriedades algébricas

1. (propriedade comutativa: o valor de seu produto escalar não muda ao mudar as posições dos vetores multiplicados).

2. (propriedade associativa em relação a um fator numérico: o produto escalar de um vetor multiplicado por algum fator e outro vetor é igual ao produto escalar desses vetores multiplicado pelo mesmo fator).

3. (propriedade distributiva em relação à soma de vetores: o produto escalar da soma de dois vetores pelo terceiro vetor é igual à soma dos produtos escalares do primeiro vetor pelo terceiro vetor e do segundo vetor pelo terceiro vetor).

4. (quadrado escalar de um vetor maior que zero) se é um vetor diferente de zero, e , se é um vetor zero.

Propriedades geométricas

Nas definições da operação em estudo, já tocamos no conceito de ângulo entre dois vetores. É hora de esclarecer este conceito.

Na figura acima, dois vetores são visíveis, que são trazidos para um início comum. E a primeira coisa que você precisa prestar atenção: existem dois ângulos entre esses vetores - φ 1 e φ 2 . Qual desses ângulos aparece nas definições e propriedades do produto escalar de vetores? A soma dos ângulos considerados é 2 π e, portanto, os cossenos desses ângulos são iguais. A definição do produto escalar inclui apenas o cosseno do ângulo, não o valor de sua expressão. Mas apenas um canto é considerado nas propriedades. E este é um dos dois ângulos que não ultrapassa π ou seja, 180 graus. Este ângulo é mostrado na figura como φ 1 .

1. Dois vetores são chamados ortogonal e o ângulo entre esses vetores é reto (90 graus ou π /2) se o produto escalar desses vetores é zero :

.

A ortogonalidade na álgebra vetorial é a perpendicularidade de dois vetores.

2. Dois vetores diferentes de zero compõem canto afiado (de 0 a 90 graus, ou, o que dá no mesmo, menos π produto escalar é positivo .

3. Dois vetores diferentes de zero compõem ângulo obtuso (de 90 a 180 graus, ou, o que é o mesmo - mais π /2) se e somente se produto escalar é negativo .

Exemplo 3 Os vetores são dados em coordenadas:

.

Calcule os produtos escalares de todos os pares de vetores dados. Que ângulo (agudo, reto, obtuso) esses pares de vetores formam?

Solução. Vamos calcular adicionando os produtos das coordenadas correspondentes.

Temos um número negativo, então os vetores formam um ângulo obtuso.

Temos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Temos zero, então os vetores formam um ângulo reto.

Temos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

.

Temos um número positivo, então os vetores formam um ângulo agudo.

Para autoteste, você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 4 Dados os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles:

.

Determine em que valor do número os vetores e são ortogonais (perpendiculares).

Solução. Multiplicamos os vetores de acordo com a regra de multiplicação de polinômios:

Agora vamos calcular cada termo:

.

Vamos compor uma equação (igualdade do produto a zero), dar termos semelhantes e resolver a equação:

Resposta: temos o valor λ = 1,8 , em que os vetores são ortogonais.

Exemplo 5 Prove que o vetor ortogonal (perpendicular) ao vetor

Solução. Para verificar a ortogonalidade, multiplicamos os vetores e como polinômios, substituindo a expressão dada na condição do problema:

.

Para fazer isso, você precisa multiplicar cada termo (termo) do primeiro polinômio por cada termo do segundo e adicionar os produtos resultantes:

.

Como resultado, a fração devida é reduzida. Obtém-se o seguinte resultado:

Conclusão: como resultado da multiplicação, obtivemos zero, portanto, fica provada a ortogonalidade (perpendicularidade) dos vetores.

Resolva o problema você mesmo e depois veja a solução

Exemplo 6 Dados os comprimentos dos vetores e , E o ângulo entre esses vetores é π /quatro. Determine em que valor μ vetores e são mutuamente perpendiculares.

Para autoteste, você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Representação matricial do produto escalar de vetores e o produto de vetores n-dimensionais

Às vezes, para maior clareza, é vantajoso representar dois vetores multiplicados na forma de matrizes. Em seguida, o primeiro vetor é representado como uma matriz de linha e o segundo - como uma matriz de coluna:

Então o produto escalar de vetores será o produto dessas matrizes :

O resultado é o mesmo obtido pelo método que já consideramos. Temos um único número, e o produto da matriz-linha pela matriz-coluna também é um único número.

Na forma matricial, é conveniente representar o produto de vetores n-dimensionais abstratos. Assim, o produto de dois vetores quadridimensionais será o produto de uma matriz linha com quatro elementos por uma matriz coluna também com quatro elementos, o produto de dois vetores quadridimensionais será o produto de uma matriz linha com cinco elementos por uma matriz coluna também com cinco elementos, e assim por diante.

Exemplo 7 Encontrar produtos escalares de pares de vetores

,

usando representação matricial.

Solução. O primeiro par de vetores. Representamos o primeiro vetor como uma matriz linha e o segundo como uma matriz coluna. Encontramos o produto escalar desses vetores como o produto da matriz linha pela matriz coluna:

Da mesma forma, representamos o segundo par e encontramos:

Como você pode ver, os resultados são os mesmos para os mesmos pares do exemplo 2.

Ângulo entre dois vetores

A derivação da fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores é muito bonita e concisa.

Para expressar o produto escalar de vetores

(1)

na forma de coordenadas, primeiro encontramos o produto escalar dos orts. O produto escalar de um vetor consigo mesmo é por definição:

O que está escrito na fórmula acima significa: o produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado de seu comprimento. O cosseno de zero é igual a um, então o quadrado de cada orth será igual a um:

Uma vez que os vetores

são perpendiculares aos pares, então os produtos aos pares das orts serão iguais a zero:

Agora vamos realizar a multiplicação de polinômios vetoriais:

Substituímos no lado direito da igualdade os valores dos produtos escalares correspondentes das orts:

Obtemos a fórmula para o cosseno do ângulo entre dois vetores:

Exemplo 8 Dados três pontos UMA(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Encontre um ângulo.

Solução. Encontramos as coordenadas dos vetores:

,

.

Usando a fórmula do cosseno de um ângulo, temos:

Consequentemente, .

Para autoteste, você pode usar calculadora online Produto escalar de vetores e cosseno do ângulo entre eles .

Exemplo 9 Dados dois vetores

Encontre a soma, a diferença, o comprimento, o produto escalar e o ângulo entre eles.

2. Diferença

Definição 1

O produto escalar de vetores é chamado de número igual ao produto dos dinas desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles.

A notação para o produto dos vetores a → e b → tem a forma a → , b → . Vamos converter para a fórmula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → e b → denotam os comprimentos dos vetores, a → , b → ^ denotam o ângulo entre os vetores dados. Se pelo menos um vetor for zero, ou seja, tiver valor 0, então o resultado será zero, a → , b → = 0

Ao multiplicar um vetor por ele mesmo, obtemos o quadrado de seu dina:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definição 2

A multiplicação escalar de um vetor por si só é chamada de quadrado escalar.

Calculado pela fórmula:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Escrevendo a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → mostra que n p b → a → é uma projeção numérica de a → sobre b → , n p a → a → - projeção de b → em a → respectivamente.

Formulamos a definição do produto para dois vetores:

O produto escalar de dois vetores a → por b → é chamado de produto do comprimento do vetor a → pela projeção de b → pela direção a → ou produto do comprimento de b → pela projeção de a →, respectivamente.

Produto escalar em coordenadas

O cálculo do produto escalar pode ser feito através das coordenadas dos vetores em um determinado plano ou no espaço.

O produto escalar de dois vetores em um plano, no espaço tridimensional, é chamado de soma das coordenadas dos vetores dados a → e b → .

Ao calcular no plano do produto escalar de vetores dados a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) no sistema cartesiano, use:

a → , b → = a x b x + a y por y ,

para o espaço tridimensional, a expressão é aplicável:

a → , b → = a x b x + a y b y + a z b z .

Na verdade, esta é a terceira definição do produto escalar.

Vamos provar isso.

Prova 1

Para provar isso, usamos a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y para os vetores a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) no sistema cartesiano.

Vetores devem ser adiados

O A → = a → = a x , a y e O B → = b → = b x , by y .

Então o comprimento do vetor A B → será igual a A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considere um triângulo O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) é verdadeiro, baseado no teorema do cosseno.

Por condição, pode-se ver que O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , então escrevemos a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores de forma diferente

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

Então segue da primeira definição que b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , então (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicando a fórmula para calcular o comprimento dos vetores, temos:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y por y

Vamos provar as igualdades:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectivamente para vetores do espaço tridimensional.

O produto escalar de vetores com coordenadas diz que o quadrado escalar de um vetor é igual à soma dos quadrados de suas coordenadas no espaço e no plano, respectivamente. a → = (a x , a y , a z), b → = (b x , b y , b z) e (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produto escalar e suas propriedades

Existem propriedades de produto escalar que se aplicam a a → , b → e c → :

1. comutatividade (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributividade (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → ,c→);
3. propriedade associativa (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - qualquer número;
4. o quadrado escalar é sempre maior que zero (a → , a →) ≥ 0 , onde (a → , a →) = 0 quando a → zero.

Exemplo 1

As propriedades são explicadas pela definição do produto escalar no plano e pelas propriedades de adição e multiplicação de números reais.

Prove a propriedade da comutatividade (a → , b →) = (b → , a →) . Da definição temos que (a → , b →) = a y b y + a y b y e (b → , a →) = b x a x + b y a y .

Pela propriedade da comutatividade, as igualdades a x · b x = b x · a x e a y · b y = b y · a y são verdadeiras, então a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Segue que (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

A distributividade é válida para quaisquer números:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

e (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)),

daí temos

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produto escalar com exemplos e soluções

Qualquer problema de tal plano é resolvido usando as propriedades e fórmulas relativas ao produto escalar:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y ou (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Vejamos alguns exemplos de soluções.

Exemplo 2

O comprimento de a → é 3, o comprimento de b → é 7. Encontre o produto escalar se o ângulo tiver 60 graus.

Solução

Por condição, temos todos os dados, então calculamos pela fórmula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Resposta: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplo 3

Dados os vetores a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Qual é o produto escalar.

Solução

Neste exemplo, a fórmula para calcular as coordenadas é considerada, pois elas são especificadas no enunciado do problema:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Resposta: (a → , b →) = - 9

Exemplo 4

Encontre o produto interno de A B → e A C → . Os pontos A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) são dados no plano de coordenadas.

Solução

Para começar, as coordenadas dos vetores são calculadas, pois as coordenadas dos pontos são dadas por condição:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

Substituindo na fórmula por coordenadas, temos:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

Resposta: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplo 5

Dados os vetores a → = 7 m → + 3 n → e b → = 5 m → + 8 n → , encontre seu produto. m → é igual a 3 e n → é igual a 2 unidades, elas são perpendiculares.

Solução

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Aplicando a propriedade distributiva, temos:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

Tomamos o coeficiente fora do sinal do produto e obtemos:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

Pela propriedade da comutatividade, transformamos:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

Como resultado, obtemos:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

Agora aplicamos a fórmula do produto escalar com o ângulo especificado pela condição:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

Resposta: (a → , b →) = 411

Se houver uma projeção numérica.

Exemplo 6

Encontre o produto interno de a → e b → . O vetor a → tem coordenadas a → = (9 , 3 , - 3) , a projeção b → tem coordenadas (- 3 , - 1 , 1) .

Solução

Por condição, os vetores a → e a projeção b → têm direção oposta, porque a → = - 1 3 n p a → b → → , então a projeção b → corresponde ao comprimento n p a → b → → , e com o “-” sinal:

n p a → b → → = - n p a → b → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

Substituindo na fórmula, obtemos a expressão:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

Resposta: (a → , b →) = - 33 .

Problemas com um produto escalar conhecido, onde é necessário encontrar o comprimento de um vetor ou uma projeção numérica.

Exemplo 7

Que valor λ deve assumir para um determinado produto escalar a → \u003d (1, 0, λ + 1) e b → \u003d (λ, 1, λ) será igual a -1.

Solução

A partir da fórmula, pode-se ver que é necessário encontrar a soma dos produtos das coordenadas:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Dado temos (a → , b →) = - 1 .

Para encontrar λ , calculamos a equação:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , portanto λ = - 1 .

Resposta: λ = - 1 .

O significado físico do produto escalar

A mecânica considera a aplicação do produto escalar.

Ao trabalhar A com uma força constante F → um corpo em movimento do ponto M para N, você pode encontrar o produto dos comprimentos dos vetores F → e M N → com o cosseno do ângulo entre eles, o que significa que o trabalho é igual ao produto dos vetores força e deslocamento:

A = (F → , M N →) .

Exemplo 8

O deslocamento de um ponto material em 3 metros sob a ação de uma força igual a 5 Nton é direcionado em um ângulo de 45 graus em relação ao eixo. Encontre um .

Solução

Como o trabalho é o produto do vetor força pelo deslocamento, então, com base na condição F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , obtemos A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

Resposta: A = 15 2 2 .

Exemplo 9

O ponto material, movendo-se de M (2, - 1, - 3) para N (5, 3 λ - 2, 4) sob a força F → = (3, 1, 2), realizou um trabalho igual a 13 J. Calcule a duração do movimento.

Solução

Para as coordenadas dadas do vetor M N → temos M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

Pela fórmula para encontrar trabalho com vetores F → = (3 , 1 , 2) e M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) obtemos A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

Por condição, é dado que A \u003d 13 J, o que significa 22 + 3 λ \u003d 13. Isso implica λ = - 3 , portanto M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

Para encontrar o comprimento de viagem M N → , aplicamos a fórmula e substituímos os valores:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

Resposta: 158.

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Produto escalar de vetores

Continuamos a lidar com vetores. Na primeira lição Vetores para bonecos consideramos o conceito de vetor, ações com vetores, coordenadas vetoriais e os problemas mais simples com vetores. Se você chegou a esta página pela primeira vez a partir de um mecanismo de busca, recomendo fortemente a leitura do artigo introdutório acima, pois para assimilar o material, você precisa ser guiado nos termos e notação que utilizo, ter conhecimentos básicos de vetores e ser capaz de resolver problemas elementares. Esta lição é uma continuação lógica do tópico, e nela analisarei em detalhes tarefas típicas que usam o produto escalar de vetores. Este é um trabalho MUITO IMPORTANTE.. Tente não pular os exemplos, eles são acompanhados por um bônus útil - a prática ajudará você a consolidar o material abordado e "pegar a mão" na resolução de problemas comuns de geometria analítica.

Adicionando vetores, multiplicando um vetor por um número…. Seria ingênuo pensar que os matemáticos não inventaram outra coisa. Além das ações já consideradas, existem várias outras operações com vetores, a saber: produto escalar de vetores, produto cruzado de vetores e produto misto de vetores. O produto escalar de vetores nos é familiar desde a escola, os outros dois produtos são tradicionalmente relacionados ao curso de matemática superior. Os tópicos são simples, o algoritmo para resolver muitos problemas é estereotipado e compreensível. A única coisa. Há uma quantidade razoável de informações, por isso é indesejável tentar dominar e resolver TUDO E DE UMA VEZ. Isso é especialmente verdade para manequins, acredite, o autor absolutamente não quer se sentir como Chikatilo da matemática. Bem, não da matemática, claro, também =) Alunos mais preparados podem usar os materiais de forma seletiva, em certo sentido, “adquirir” o conhecimento que falta, para você serei um Conde Drácula inofensivo =)

Finalmente, vamos abrir um pouco a porta e dar uma olhada no que acontece quando dois vetores se encontram….

Definição do produto escalar de vetores.
Propriedades do produto escalar. Tarefas típicas

O conceito de produto escalar

Primeiro sobre ângulo entre vetores. Acho que todos entendem intuitivamente qual é o ângulo entre os vetores, mas só por precaução, um pouco mais. Considere vetores diferentes de zero e . Se adiarmos esses vetores de um ponto arbitrário, obtemos uma imagem que muitos já apresentaram mentalmente:

Confesso, aqui descrevi a situação apenas ao nível da compreensão. Se você precisar de uma definição estrita do ângulo entre vetores, consulte o livro didático, mas para tarefas práticas, em princípio, não precisamos. Também AQUI E MAIS ALÉM, às vezes ignoro vetores zero devido ao seu baixo significado prático. Fiz uma reserva especificamente para visitantes avançados do site, que podem me censurar pela incompletude teórica de algumas das seguintes afirmações.

pode assumir valores de 0 a 180 graus (de 0 a radianos) inclusive. Analiticamente, esse fato é escrito como uma dupla desigualdade: ou (em radianos).

Na literatura, o ícone do ângulo é muitas vezes omitido e simplesmente escrito.

Definição: O produto escalar de dois vetores é um NÚMERO igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles:

Agora que é uma definição bastante estrita.

Focamos em informações essenciais:

Designação: o produto escalar é denotado por ou simplesmente .

O resultado da operação é um NUMBER: Multiplique um vetor por um vetor para obter um número. De fato, se os comprimentos dos vetores são números, o cosseno do ângulo é um número, então seu produto também será um número.

Apenas alguns exemplos de aquecimento:

Exemplo 1

Solução: Usamos a fórmula . Nesse caso:

Responda:

Os valores de cosseno podem ser encontrados em tabela trigonométrica. Eu recomendo imprimi-lo - será necessário em quase todas as seções da torre e será necessário muitas vezes.

Do ponto de vista puramente matemático, o produto escalar é adimensional, ou seja, o resultado, neste caso, é apenas um número e pronto. Do ponto de vista dos problemas de física, o produto escalar sempre tem um certo significado físico, ou seja, após o resultado, uma ou outra unidade física deve ser indicada. O exemplo canônico de cálculo do trabalho de uma força pode ser encontrado em qualquer livro (a fórmula é exatamente um produto escalar). O trabalho de uma força é medido em Joules, portanto, a resposta será escrita de forma bastante específica, por exemplo.

Exemplo 2

Encontre se , e o ângulo entre os vetores é .

Este é um exemplo de autodecisão, a resposta está no final da lição.

Ângulo entre vetores e valor do produto escalar

No Exemplo 1, o produto escalar acabou sendo positivo e no Exemplo 2, negativo. Vamos descobrir de que depende o sinal do produto escalar. Vejamos nossa fórmula: . Os comprimentos de vetores diferentes de zero são sempre positivos: , então o sinal pode depender apenas do valor do cosseno.

Observação: Para uma melhor compreensão das informações abaixo, é melhor estudar o gráfico de cosseno no manual Gráficos e propriedades de funções. Veja como o cosseno se comporta no segmento.

Como já observado, o ângulo entre os vetores pode variar dentro de , e os seguintes casos são possíveis:

1) Se canto entre vetores apimentado: (de 0 a 90 graus), então , e produto escalar será positivo co-dirigido, então o ângulo entre eles é considerado zero, e o produto escalar também será positivo. Como , então a fórmula é simplificada: .

2) Se canto entre vetores estúpido: (de 90 a 180 graus), então , e correspondentemente, produto escalar é negativo: . Caso especial: se os vetores dirigido opostamente, então o ângulo entre eles é considerado implantado: (180 graus). O produto escalar também é negativo, pois

As afirmações inversas também são verdadeiras:

1) Se , então o ângulo entre esses vetores é agudo. Alternativamente, os vetores são codirecionais.

2) Se , então o ângulo entre esses vetores é obtuso. Alternativamente, os vetores são direcionados de forma oposta.

Mas o terceiro caso é de particular interesse:

3) Se canto entre vetores direto: (90 graus) então e produto escalar é zero: . A recíproca também é verdadeira: se , então . A declaração compacta é formulada da seguinte forma: O produto escalar de dois vetores é zero se e somente se os vetores dados são ortogonais. Notação matemática curta:

! Observação : repetir fundamentos da logica matematica: ícone de consequência lógica de dupla face geralmente é lido "se e somente então", "se e somente se". Como você pode ver, as setas são direcionadas em ambas as direções - "deste segue isso e vice-versa - disso segue isso". A propósito, qual é a diferença do ícone de acompanhamento unidirecional ? Reivindicações de ícones só isso que "disto segue isso", e não o fato de que o inverso é verdadeiro. Por exemplo: , mas nem todo animal é uma pantera, então o ícone não pode ser usado neste caso. Ao mesmo tempo, em vez do ícone posso use o ícone unilateral. Por exemplo, ao resolver o problema, descobrimos que concluímos que os vetores são ortogonais: - tal registro será correto e ainda mais apropriado do que .

O terceiro caso é de grande importância prática., pois permite verificar se os vetores são ortogonais ou não. Resolveremos esse problema na segunda seção da lição.

Propriedades do produto escalar

Voltemos à situação em que dois vetores co-dirigido. Nesse caso, o ângulo entre eles é zero, , e a fórmula do produto escalar assume a forma: .

O que acontece se um vetor for multiplicado por ele mesmo? É claro que o vetor é co-dirigido consigo mesmo, então usamos a fórmula simplificada acima:

O número é chamado quadrado escalar vetor , e são denotados como .

Nesse caminho, o quadrado escalar de um vetor é igual ao quadrado do comprimento do vetor dado:

A partir dessa igualdade, você pode obter uma fórmula para calcular o comprimento de um vetor:

Embora pareça obscuro, mas as tarefas da lição colocarão tudo em seu lugar. Para resolver problemas, também precisamos propriedades do produto escalar.

Para vetores arbitrários e qualquer número, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) - deslocável ou comutativo lei do produto escalar.

2) - distribuição ou distributivo lei do produto escalar. Simplificando, você pode abrir parênteses.

3) - combinação ou associativo lei do produto escalar. A constante pode ser retirada do produto escalar.

Muitas vezes, todos os tipos de propriedades (que também precisam ser comprovadas!) são percebidos pelos alunos como lixo desnecessário, que só precisa ser memorizado e esquecido com segurança imediatamente após o exame. Parece que o que é importante aqui, todos já sabem desde a primeira série que o produto não muda de uma permutação de fatores:. Devo avisá-lo, em matemática superior com tal abordagem é fácil estragar as coisas. Assim, por exemplo, a propriedade comutativa não é válida para matrizes algébricas. Não é verdade para produto cruzado de vetores. Portanto, é pelo menos melhor se aprofundar em quaisquer propriedades que você encontrará no curso da matemática superior para entender o que pode e o que não pode ser feito.

Exemplo 3

.

Solução: Primeiro, vamos esclarecer a situação com o vetor. Sobre o que é tudo isso? A soma dos vetores e é um vetor bem definido, que é denotado por . Interpretação geométrica de ações com vetores pode ser encontrada no artigo Vetores para bonecos. A mesma salsa com um vetor é a soma dos vetores e .

Então, de acordo com a condição, é necessário encontrar o produto escalar. Em teoria, você precisa aplicar a fórmula de trabalho , mas o problema é que não sabemos os comprimentos dos vetores e o ângulo entre eles. Mas na condição, parâmetros semelhantes são fornecidos para vetores, então vamos para o outro lado:

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios, um trava-língua vulgar pode ser encontrado no artigo Números complexos ou Integração de uma função fracionária-racional. Não vou me repetir =) Aliás, a propriedade distributiva do produto escalar nos permite abrir os colchetes. Nós temos o direito.

(3) No primeiro e no último termos, escrevemos compactamente os quadrados escalares dos vetores: . No segundo termo, usamos a comutabilidade do produto escalar: .

(4) Aqui estão termos semelhantes: .

(5) No primeiro termo, usamos a fórmula do quadrado escalar, que foi mencionada há pouco tempo. No último mandato, respectivamente, funciona a mesma coisa: . O segundo termo é expandido de acordo com a fórmula padrão .

(6) Substituir estas condições , e CUIDADOSAMENTE realize os cálculos finais.

Responda:

O valor negativo do produto escalar indica o fato de que o ângulo entre os vetores é obtuso.

A tarefa é típica, aqui está um exemplo para uma solução independente:

Exemplo 4

Encontre o produto escalar dos vetores e , se for conhecido que .

Agora outra tarefa comum, apenas para a nova fórmula de comprimento vetorial. As designações aqui vão se sobrepor um pouco, então, para maior clareza, vou reescrever com uma letra diferente:

Exemplo 5

Encontre o comprimento do vetor se .

Solução será o seguinte:

(1) Fornecemos a expressão vetorial .

(2) Usamos a fórmula de comprimento: , enquanto temos uma expressão inteira como o vetor "ve".

(3) Usamos a fórmula da escola para o quadrado da soma. Preste atenção em como funciona aqui curiosamente: - de fato, este é o quadrado da diferença e, de fato, é assim. Aqueles que desejarem podem reorganizar os vetores em lugares: - resultou a mesma coisa até um rearranjo dos termos.

(4) O que se segue já é familiar dos dois problemas anteriores.

Responda:

Como estamos falando de comprimento, não se esqueça de indicar a dimensão - "unidades".

Exemplo 6

Encontre o comprimento do vetor se .

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da lição.

Continuamos a extrair coisas úteis do produto escalar. Vamos olhar para a nossa fórmula novamente . Pela regra da proporção, redefinimos os comprimentos dos vetores para o denominador do lado esquerdo:

Vamos trocar as peças:

Qual é o significado desta fórmula? Se os comprimentos de dois vetores e seu produto escalar são conhecidos, então o cosseno do ângulo entre esses vetores pode ser calculado e, consequentemente, o próprio ângulo.

O produto escalar é um número? Número. Os comprimentos dos vetores são números? Números. Portanto, uma fração também é um número. E se o cosseno do ângulo for conhecido: , então usando a função inversa é fácil encontrar o próprio ângulo: .

Exemplo 7

Encontre o ângulo entre os vetores E , Se é conhecido que .

Solução: Usamos a fórmula:

Na etapa final dos cálculos, foi utilizada uma técnica - a eliminação da irracionalidade no denominador. Para eliminar a irracionalidade, multipliquei o numerador e o denominador por .

Então se , então:

Os valores das funções trigonométricas inversas podem ser encontrados por tabela trigonométrica. Embora isso raramente aconteça. Em problemas de geometria analítica, algum tipo de urso desajeitado aparece com muito mais frequência, e o valor do ângulo deve ser encontrado aproximadamente usando uma calculadora. Na verdade, veremos essa imagem de novo e de novo.

Responda:

Novamente, não se esqueça de especificar a dimensão - radianos e graus. Pessoalmente, para deliberadamente “remover todas as perguntas”, prefiro indicar ambas (a menos, é claro, que por condição, seja necessário apresentar a resposta apenas em radianos ou apenas em graus).

Agora você será capaz de lidar com uma tarefa mais difícil por conta própria:

Exemplo 7*

Dado são os comprimentos dos vetores, e o ângulo entre eles. Encontre o ângulo entre os vetores , .

A tarefa não é tão difícil quanto multi-way.
Vamos analisar o algoritmo de solução:

1) De acordo com a condição, é necessário encontrar o ângulo entre os vetores e , então você precisa usar a fórmula .

2) Encontramos o produto escalar (ver Exemplos No. 3, 4).

3) Encontre o comprimento do vetor e o comprimento do vetor (veja os Exemplos No. 5, 6).

4) O final da solução coincide com o Exemplo nº 7 - conhecemos o número , o que significa que é fácil encontrar o próprio ângulo:

Solução curta e resposta no final da lição.

A segunda seção da lição é dedicada ao mesmo produto escalar. Coordenadas. Será ainda mais fácil do que na primeira parte.

Produto escalar de vetores,
dado por coordenadas em uma base ortonormal

Responda:

Escusado será dizer que lidar com coordenadas é muito mais agradável.

Exemplo 14

Encontre o produto escalar de vetores e se

Este é um exemplo de faça você mesmo. Aqui você pode usar a associatividade da operação, ou seja, não contar, mas imediatamente tirar o triplo do produto escalar e multiplicar por ele por último. Solução e resposta no final da lição.

No final do parágrafo, um exemplo provocativo de cálculo do comprimento de um vetor:

Exemplo 15

Encontrar comprimentos de vetores , E se

Solução: novamente o método da seção anterior se sugere: mas há outra maneira:

Vamos encontrar o vetor:

E seu comprimento de acordo com a fórmula trivial :

O produto escalar não é relevante aqui!

Quão fora do negócio é ao calcular o comprimento de um vetor:
Pare. Por que não aproveitar a óbvia propriedade de comprimento de um vetor? O que se pode dizer sobre o comprimento de um vetor? Este vetor é 5 vezes maior que o vetor. A direção é oposta, mas não importa, porque estamos falando de comprimento. Obviamente, o comprimento do vetor é igual ao produto módulo números por comprimento de vetor:
- o sinal do módulo "come" o possível menos do número.

Nesse caminho:

Responda:

A fórmula para o cosseno do ângulo entre vetores que são dados por coordenadas

Agora temos informações completas para expressar a fórmula derivada anteriormente para o cosseno do ângulo entre os vetores em termos das coordenadas dos vetores:

Cosseno do ângulo entre vetores planos e , dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:
.

Cosseno do ângulo entre vetores espaciais, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

Exemplo 16

Três vértices de um triângulo são dados. Encontre (ângulo do vértice ).

Solução: Por condição, o desenho não é necessário, mas ainda assim:

O ângulo necessário é marcado com um arco verde. Recordamos de imediato a designação escolar do ângulo: - atenção especial ao meio carta - este é o vértice do ângulo que precisamos. Por brevidade, também poderia ser escrito de forma simples.

A partir do desenho é bastante óbvio que o ângulo do triângulo coincide com o ângulo entre os vetores e , em outras palavras: .

É desejável aprender a realizar a análise realizada mentalmente.

Vamos encontrar os vetores:

Vamos calcular o produto escalar:

E os comprimentos dos vetores:

Cosseno de um ângulo:

É esta ordem da tarefa que recomendo aos manequins. Leitores mais avançados podem escrever os cálculos "em uma linha":

Aqui está um exemplo de um valor de cosseno "ruim". O valor resultante não é final, então não há muito sentido em se livrar da irracionalidade no denominador.

Vamos encontrar o ângulo:

Se você olhar para o desenho, o resultado é bastante plausível. Para verificar o ângulo também pode ser medido com um transferidor. Não danifique o revestimento do monitor =)

Responda:

Na resposta, não esqueça que perguntou sobre o ângulo do triângulo(e não sobre o ângulo entre os vetores), não esqueça de indicar a resposta exata: e o valor aproximado do ângulo: encontrado com uma calculadora.

Aqueles que gostaram do processo podem calcular os ângulos e certificar-se de que a igualdade canônica é verdadeira

Exemplo 17

Um triângulo é dado no espaço pelas coordenadas de seus vértices. Encontre o ângulo entre os lados e

Este é um exemplo de faça você mesmo. Solução completa e resposta no final da aula

Uma pequena seção final será dedicada às projeções, nas quais o produto escalar também está "envolvido":

Projeção de um vetor em um vetor. Projeção vetorial em eixos coordenados.
Cossenos de direção vetorial

Considere vetores e :

Projetamos o vetor no vetor , para isso omitimos do início e do fim do vetor perpendiculares por vetor (linhas pontilhadas verdes). Imagine que raios de luz estão caindo perpendicularmente em um vetor. Então o segmento (linha vermelha) será a "sombra" do vetor. Neste caso, a projeção de um vetor em um vetor é o COMPRIMENTO do segmento. Ou seja, PROJEÇÃO É UM NÚMERO.

Este NÚMERO é indicado da seguinte forma: , "vetor grande" denota um vetor QUAL O projeto, "pequeno vetor subscrito" denota o vetor NO que é projetado.

A entrada em si é assim: “a projeção do vetor “a” sobre o vetor “ser””.

O que acontece se o vetor "ser" for "muito curto"? Desenhamos uma linha reta contendo o vetor "ser". E o vetor "a" já estará projetado na direção do vetor "ser", simplesmente - em uma linha reta contendo o vetor "ser". A mesma coisa acontecerá se o vetor "a" for colocado de lado no trigésimo reino - ele ainda será facilmente projetado na linha que contém o vetor "ser".

Se o ângulo entre vetores apimentado(como na foto), então

Se os vetores ortogonal, então (a projeção é um ponto cujas dimensões são assumidas como sendo zero).

Se o ângulo entre vetores estúpido(na figura, reorganize mentalmente a seta do vetor), então (o mesmo comprimento, mas com um sinal de menos).

Separe esses vetores de um ponto:

Obviamente, ao mover um vetor, sua projeção não muda

O vetor e o produto escalar facilitam o cálculo do ângulo entre os vetores. Sejam dados dois vetores $\overline(a)$ e $\overline(b)$, o ângulo orientado entre eles é igual a $\varphi$. Vamos calcular os valores $x = (\overline(a),\overline(b))$ e $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Então $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, onde $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ e $\varphi$ é o desejado ou seja, o ponto $(x, y)$ tem um ângulo polar igual a $\varphi$ e, portanto, $\varphi$ pode ser encontrado como atan2(y, x).

Área de um triângulo

Como o produto vetorial contém o produto de dois comprimentos vetoriais e o cosseno do ângulo entre eles, o produto vetorial pode ser usado para calcular a área do triângulo ABC:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Ponto pertencente a uma linha

Seja um ponto $P$ e uma reta $AB$ (dadas por dois pontos $A$ e $B$). É necessário verificar se um ponto pertence à linha $AB$.

Um ponto pertence à reta $AB$ se e somente se os vetores $AP$ e $AB$ são colineares, isto é, se $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Pertencimento de um ponto a um raio

Sejam dados um ponto $P$ e um raio $AB$ (dado por dois pontos - o início do raio $A$ e um ponto sobre o raio $B$). É necessário verificar se o ponto pertence ao raio $AB$.

Uma condição adicional deve ser adicionada à condição de que o ponto $P$ pertença à linha $AB$ - os vetores $AP$ e $AB$ são codirecionais, ou seja, são colineares e seu produto escalar não é negativo, isto é, $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

Ponto pertencente a um segmento

Sejam dados um ponto $P$ e um segmento $AB$. É necessário verificar se o ponto pertence ao segmento $AB$.

Neste caso, o ponto deve pertencer tanto ao raio $AB$ quanto ao raio $BA$, portanto, as seguintes condições devem ser verificadas:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Distância do ponto à linha

Seja um ponto $P$ e uma reta $AB$ (dadas por dois pontos $A$ e $B$). É necessário encontrar a distância do ponto da reta $AB$.

Considere o triângulo ABP. Por um lado, sua área é $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Por outro lado, sua área é $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, onde $h$ é a altura de $P$, ou seja, a distância de $P$ a $ AB $. De onde $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Distância do ponto ao feixe

Sejam dados um ponto $P$ e um raio $AB$ (dado por dois pontos - o início do raio $A$ e um ponto sobre o raio $B$). É necessário encontrar a distância do ponto ao raio, ou seja, o comprimento do segmento mais curto do ponto $P$ a qualquer ponto do raio.

Essa distância é igual ao comprimento $AP$ ou à distância do ponto $P$ até a linha $AB$. Qual dos casos ocorre pode ser facilmente determinado pela posição relativa da viga e do ponto. Se o ângulo PAB é agudo, ou seja, $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, então a resposta é a distância do ponto $P$ até a linha $AB$, caso contrário a resposta é o comprimento do segmento $AB$.

Distância do ponto à linha

Sejam dados um ponto $P$ e um segmento $AB$. É necessário encontrar a distância de $P$ ao segmento $AB$.

Se a base da perpendicular caiu de $P$ para a reta $AB$ cair no segmento $AB$, o que pode ser verificado pelas condições

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

então a resposta é a distância do ponto $P$ até a linha $AB$. Caso contrário, a distância será igual a $\min(AP, BP)$.

Palestra: Coordenadas vetoriais; produto escalar de vetores; ângulo entre vetores

Coordenadas vetoriais

Assim, como mencionado anteriormente, um vetor é um segmento direcionado que tem seu próprio começo e fim. Se o início e o fim são representados por alguns pontos, então eles têm suas próprias coordenadas no plano ou no espaço.

Se cada ponto tiver suas próprias coordenadas, podemos obter as coordenadas de todo o vetor.

Suponha que tenhamos algum vetor cujo início e fim do vetor tenham as seguintes designações e coordenadas: A(A x ; Ay) e B(B x ; By)

Para obter as coordenadas deste vetor, é necessário subtrair as coordenadas iniciais correspondentes das coordenadas do final do vetor:

Para determinar a coordenada de um vetor no espaço, use a seguinte fórmula:

Produto escalar de vetores

Existem duas maneiras de definir o conceito de um produto escalar:

• Maneira geométrica. Segundo ele, o produto escalar é igual ao produto dos valores desses módulos e o cosseno do ângulo entre eles.

• significado algébrico. Do ponto de vista da álgebra, o produto escalar de dois vetores é um determinado valor que resulta da soma dos produtos dos vetores correspondentes.

Se os vetores são dados no espaço, você deve usar uma fórmula semelhante:

Propriedades:

• Se você multiplicar dois vetores idênticos escalarmente, seu produto escalar será não negativo:

• Se o produto escalar de dois vetores idênticos for igual a zero, esses vetores são considerados zero:

• Se um determinado vetor for multiplicado por ele mesmo, o produto escalar será igual ao quadrado de seu módulo:

• O produto escalar tem uma propriedade comunicativa, ou seja, o produto escalar não mudará de uma permutação de vetores:

• O produto escalar de vetores diferentes de zero só pode ser zero se os vetores forem perpendiculares entre si:

• Para o produto escalar de vetores, a lei comutativa é válida no caso de multiplicar um dos vetores por um número:

• Com um produto escalar, você também pode usar a propriedade distributiva da multiplicação:

Ângulo entre vetores